3 Bileşik Faiz
Basit faizde kazanılan faiz kenarda bekler; anaparaya eklenmez ve kendisi faiz getirmez. Oysa bir bankada mevduatınız varsa, her ay işleyen faiz hesabınıza eklenir ve ertesi ay o faiz de faiz getirir. Bu düzeneğe bileşik faiz diyoruz ve modern finansın hemen tamamı bunun üzerine kuruludur.
Bu bölüm dersin en geniş bölümüdür, çünkü bileşik faizin bütün soru tipleri burada toplanmıştır: formülün kurulması ve faiz döneminin sonsuz sıklaştığı sınır durumu olan sürekli bileşik faiz; farklı sıklıktaki oranların birbirine çevrilmesi; dönem sayısının kesirli çıktığı durum; bilinmeyenin oran ya da süre olduğu problemler; bileşik faizin basit faize göre en önemli üstünlüğü olan odak noktasından bağımsızlık; ve son olarak iskontonun bileşik hâli.
3.1 Tanım ve Notasyon
Tanım 3.1 (Bileşik Faiz) Faiz ödenen her dönemden sonra tahakkuk eden (elde edilen) faizin anaparaya eklenmesiyle hesaplanan faiz türüne bileşik faiz denir.
Bileşik faiz işlemlerinde faiz işleyen periyot yıl, yarıyıl (\(6\) ayda bir), çeyrek yıl (\(3\) ayda bir), ay, hafta, gün veya sürekli olabilir. Bu esneklik yüzünden notasyon biraz kalabalıktır; hepsini bir arada görmek en kolayıdır.
| Simge | Anlamı |
|---|---|
| \(P\) | Anapara; \(S\)’nin şimdiki (iskontolu) değeri |
| \(S\) | Toplam değer, birikmiş değer; \(P\)’nin bileşik değeri |
| \(t\) | Yıl cinsinden zaman |
| \(m\) | Bir yılda faiz ödenen dönem sayısı |
| \(n\) | Toplam faiz ödenen dönem sayısı: \(n = m \cdot t\) |
| \(j_m\) | Yılda \(m\) kez işleyecek olan yıllık faiz oranı |
| \(i\) | Dönem başına işleyen faiz oranı: \(i = \dfrac{j_m}{m}\) |
\(j_m\) yıllık, \(i\) ise dönemliktir. Formüllerde üsse giden dönem sayısı \(n\) ile birlikte her zaman dönemlik oran \(i\) kullanılır. \(j_{12} = \%24\) demek, aylık oranın %\(2\) olması demektir — yılda \(12\) kez %\(24\) değil.
Örnek 3.1 (Dönem Faiz Oranı) \(j_{12} = \%24\) ise \(i = ?\)
Çözüm
\(m = 12\) dönem (ay) vardır; aylık (dönemlik) faiz oranı
\[i = \frac{j_{12}}{12} = \frac{0{,}24}{12} = 0{,}02 = \boxed{\%2}\]
\(\blacksquare\)
3.2 Birikmiş Değer Formülü
Önerme 3.1 (Bileşik Faizde Birikmiş Değer) Bir \(P\) anaparası, \(1\). dönemin başında dönem başına \(i\) faiz oranı ile yatırıldığında \(n\). dönemin sonundaki birikmiş değeri
\[S = P(1+i)^n\]
ya da daha açık bir ifadeyle
\[S = P\left(1 + \frac{j_m}{m}\right)^{m \cdot t}\]
olur. Buradan şimdiki değer
\[P = S(1+i)^{-n} = S\left(1 + \frac{j_m}{m}\right)^{-m \cdot t}\]
formülüyle bulunur.
İspat
İlk birkaç dönemi tek tek yazalım. \(1\). dönem sonunda faiz \(I = P \cdot i\) ve birikmiş değer
\[S_1 = P + P i = P(1+i).\]
\(2\). dönemde faiz artık \(P\) üzerinden değil, \(S_1\) üzerinden işler:
\[I = P(1+i) \cdot i, \qquad S_2 = P(1+i) + P(1+i)i = P(1+i)(1+i) = P(1+i)^2.\]
\(3\). dönemde aynı adım tekrarlanır:
\[S_3 = P(1+i)^2 + P(1+i)^2 i = P(1+i)^2(1+i) = P(1+i)^3.\]
Genel durumu tümevarımla gösterelim. \(n = 1\) için iddia yukarıda doğrulandı. \(n = k\) için \(S_k = P(1+i)^k\) olduğunu varsayalım. \((k+1)\). dönemde bu tutar üzerinden \(S_k \cdot i\) kadar faiz işler ve anaparaya eklenir:
\[S_{k+1} = S_k + S_k i = S_k(1+i) = P(1+i)^k (1+i) = P(1+i)^{k+1}.\]
Böylece iddia her \(n \in \mathbb{N}\) için doğrudur. Son olarak \(i = \frac{j_m}{m}\) ve \(n = mt\) yerine konursa ikinci biçim elde edilir; \((1+i)^n \neq 0\) olduğundan iki yan bu çarpana bölünerek \(P = S(1+i)^{-n}\) bulunur.
\(\blacksquare\)
Basit faizle aradaki farkı bir grafikte görmek, formülü ezberlemekten daha kalıcıdır.
Basit faizde \(S = P(1+rt)\) ifadesi \(t\)’nin birinci dereceden bir fonksiyonudur: grafiği bir doğrudur. Bileşik faizde \(S = P(1+i)^n\) ifadesi \(n\)’nin üstel bir fonksiyonudur. İlk dönemlerde ikisi neredeyse aynıdır; fark, zaman uzadıkça açılır.
Örnek 3.2 (Basit Faiz ile Bileşik Faizin Karşılaştırılması) a) \(1000\) TL’nin %\(12\)’den \(2\) yıllık basit faizini bulunuz.
b) \(1000\) TL’nin \(6\) aylık faiz ödemeli %\(12\)’den \(2\) yıllık faizini bulunuz.
Çözüm
a) \(P = 1000\), \(r = 0{,}12\), \(t = 2\):
\[I = Prt = 1000 \cdot 0{,}12 \cdot 2 = \boxed{240 \ \text{TL}}\]
b) Periyot \(6\) ay olduğundan \(1\) yıldaki dönem sayısı \(m = 2\) ve \(t = 2\) olduğundan toplam dönem sayısı \(n = m \cdot t = 2 \cdot 2 = 4\)’tür.
\[P = 1000, \quad j_2 = 0{,}12, \quad i = \frac{0{,}12}{2} = 0{,}06\]
\[S = P(1+i)^n = 1000(1 + 0{,}06)^4 = 1262{,}48 \ \text{TL}\]
Bu durumda faiz
\[I = S - P = 1262{,}48 - 1000 = \boxed{262{,}48 \ \text{TL}}\]
Aynı %\(12\)’den, yalnızca faizin altı ayda bir anaparaya eklenmesi sayesinde \(22{,}48\) TL fazla kazanılmıştır.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.3 (Yirmi Yıllık Birikim) Bir kimse emekliliği için tasarruf yapmak üzere Şubat \(2010\)’da bankaya \(100000\) TL yatırırsa, aylık faiz ödemeli %\(12\) yıllık bileşik faiz oranından Şubat \(2030\)’da kaç parası olur?
Çözüm
\(P = 100000\), \(t = 20\) yıl, \(m = 12\) olduğundan \(n = 20 \cdot 12 = 240\) dönem ve
\[j_{12} = 0{,}12 \quad \Longrightarrow \quad i = \frac{0{,}12}{12} = 0{,}01.\]
\[S = P(1+i)^n = 100000\left(1 + \frac{0{,}12}{12}\right)^{240} = 100000 \cdot 10{,}892554 = \boxed{1089255{,}37 \ \text{TL}}\]
Yirmi yılda para on kattan fazlasına çıkmıştır; oysa aynı sürede basit faiz yalnızca \(100000(1 + 0{,}12 \cdot 20) = 340000\) TL verirdi.
\(\blacksquare\)
3.3 Sürekli Bileşik Faiz
Faiz dönemini sıklaştırdıkça (\(m\) büyüdükçe) birikmiş değer artar. Peki \(m\)’yi sonsuza götürürsek para da sonsuza mı gider? Cevap hayır; bir sınıra yaklaşır.
Tanım 3.2 (Sürekli Bileşik Faiz Oranı) \(m \to \infty\) hâlinde faiz ödenen dönem kesikli olmaktan çıkıp sürekli hâle geldiğinden, bu durumda kullanılan bileşik faiz oranına sürekli bileşik faiz oranı denir ve \(j_\infty\) ile gösterilir.
Önerme 3.2 (Sürekli Bileşik Faizde Birikmiş Değer) Sürekli bileşik faizde birikmiş değer
\[S = P \cdot e^{\,j_\infty \cdot t}\]
formülüyle hesaplanır.
İspat
\(\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1 + \frac{x}{m}\right)^m = e^x\) bilgisini kullanarak
\[S = \lim_{m \to \infty} P\left(1 + \frac{j_m}{m}\right)^{m \cdot t} = P \cdot \left[\lim_{m \to \infty}\left(1 + \frac{j_m}{m}\right)^{m}\right]^{t} = P \cdot \left(e^{\,j_\infty}\right)^{t} = P\,e^{\,j_\infty t}.\]
\(\blacksquare\)
\(10000\) TL, \(j_m = \%12\)’den \(10\) yıl bekletilsin. \(m = 1\) için birikim \(31058{,}48\) TL, \(m = 365\) için \(33194{,}62\) TL, sürekli bileşik faizde ise
\[10000 \cdot e^{0{,}12 \cdot 10} = 10000\,e^{1{,}2} = 33201{,}17 \ \text{TL}\]
olur. Yani günlük bileşik faizden sürekli bileşik faize geçiş yalnızca \(6{,}55\) TL kazandırır. Bu tablonun ayrıntısı Örnek 3.4 içinde verilmiştir.
Bileşik faizin bu kadar çok “yıllık oran” tanımına izin vermesi bir sorun doğurur: \(j_1 = \%10{,}08\) ile \(j_{12} = \%9{,}64\) hangisi daha iyidir? İki oranı karşılaştırabilmek için önce onları eşdeğer kılmayı öğrenmemiz gerekiyor; bölümün bundan sonraki konusu budur.
3.4 Eşdeğer Oranlar
Bir banka “yıllık %\(10{,}08\), yılda bir ödemeli”, diğeri “yıllık %\(9{,}64\), ayda bir ödemeli” desin. Hangisi daha iyi? Oranların çıplak hâllerine bakarak karar veremeyiz; çünkü ikinci bankada faiz on iki kez anaparaya ekleniyor. Karşılaştırma yapabilmek için ikisini aynı sıklığa çevirmemiz gerekir.
Tanım 3.3 (Eşdeğer Oranlar) Farklı \(m\) değerlerine sahip iki \(j_m\) oranı, aynı zaman sürecinde aynı \(S\) değerini veriyorlarsa bunlara eşdeğer oranlar denir.
Önerme 3.3 (Eşdeğerlik Koşulu) \(j_{m_1}\) ve \(j_{m_2}\) oranlarının eşdeğer olması için gerek ve yeter koşul
\[\left(1 + \frac{j_{m_1}}{m_1}\right)^{m_1} = \left(1 + \frac{j_{m_2}}{m_2}\right)^{m_2}\]
olmasıdır.
İspat
Aynı \(P\) anaparası için iki oranın \(t\) yıl sonunda aynı \(S\)’yi vermesi
\[P\left(1 + \frac{j_{m_1}}{m_1}\right)^{m_1 t} = P\left(1 + \frac{j_{m_2}}{m_2}\right)^{m_2 t}\]
demektir. \(P \neq 0\) ile sadeleştirip iki yanın \(\frac{1}{t}\). kuvvetini alırsak (tabanlar pozitif olduğundan bu işlem denkliği bozmaz) istenen eşitlik elde edilir. Tersine, eşitlik sağlanıyorsa iki yanın \(t\). kuvveti alınıp \(P\) ile çarpılarak her \(t\) için aynı \(S\) bulunur.
\(\blacksquare\)
İfadenin anlamı basittir: bir yılda paranın kaç katına çıktığı eşitlenir. \(\left(1+\frac{j_m}{m}\right)^m\) ifadesi bir yıllık büyüme çarpanıdır; iki oran ancak bu çarpanları aynıysa eşdeğerdir. Sürekli bileşik faiz için bu çarpan \(e^{j_\infty}\)’dur.
Örnek 3.4 (m Büyüdükçe Birikim) \(10000\) TL’nin \(j_m = 0{,}12\) oranından \(m = 1, 2, 4, 12, 52, 365\) için ayrı ayrı \(10\) yıl sonra ne kadar olacağını hesaplayınız.
Çözüm
Her satırda \(i = \frac{0{,}12}{m}\), \(n = 10m\) ve \(S = 10000(1+i)^n\) hesaplanır:
| \(m\) | \(t\) | \(n\) | \(i\) | \(P\) | \(S = P(1+i)^n\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(10\) | \(10\) | \(0{,}12\) | \(10000\) | \(31058{,}48\) |
| \(2\) | \(10\) | \(20\) | \(\frac{0{,}12}{2}\) | \(10000\) | \(32071{,}35\) |
| \(4\) | \(10\) | \(40\) | \(\frac{0{,}12}{4}\) | \(10000\) | \(32620{,}38\) |
| \(12\) | \(10\) | \(120\) | \(\frac{0{,}12}{12}\) | \(10000\) | \(33003{,}87\) |
| \(52\) | \(10\) | \(520\) | \(\frac{0{,}12}{52}\) | \(10000\) | \(33155{,}30\) |
| \(365\) | \(10\) | \(3650\) | \(\frac{0{,}12}{365}\) | \(10000\) | \(33194{,}62\) |
Görüldüğü gibi \(m\) arttıkça \(S\) de artar, ama artış hızla yavaşlar: \(m = 1\)’den \(m = 2\)’ye geçiş \(1012{,}87\) TL kazandırırken, \(m = 52\)’den \(m = 365\)’e geçiş yalnızca \(39{,}32\) TL kazandırır. Sınır değer sürekli bileşik faizin verdiği \(10000\,e^{1{,}2} = 33201{,}17\) TL’dir.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.5 (Denk Oranların Bulunması) Aşağıda istenilen denk oranları bulunuz.
a) \(j_1 = \%10{,}08\)’e denk gelen \(j_{12} = ?\)
b) \(j_4 = \%12\)’ye denk olan \(j_2 = ?\)
c) \(j_\infty = \%9\)’a denk olan \(j_4 = ?\)
Çözüm
a) Bir yıllık büyüme çarpanlarını eşitleriz:
\[\left(1 + \frac{j_{12}}{12}\right)^{12} = \left(1 + \frac{j_1}{1}\right)^{1} = 1 + 0{,}1008 = 1{,}1008\]
İki yanın \(12\). dereceden kökünü alalım:
\[1 + \frac{j_{12}}{12} = (1{,}1008)^{\frac{1}{12}} \quad \Longrightarrow \quad j_{12} = 12\left[(1{,}1008)^{\frac{1}{12}} - 1\right] = 0{,}09642251 \approx \boxed{\%9{,}64}\]
b) \[\left(1 + \frac{j_2}{2}\right)^{2} = \left(1 + \frac{j_4}{4}\right)^{4} = \left(1 + \tfrac{0{,}12}{4}\right)^4 = (1{,}03)^4\]
İki yanın karekökü alınırsa
\[1 + \frac{j_2}{2} = (1{,}03)^2 \quad \Longrightarrow \quad j_2 = 2\left[(1{,}03)^2 - 1\right] = 2 \cdot 0{,}0609 = \boxed{\%12{,}18}\]
c) Sürekli bileşik faizde bir yıllık büyüme çarpanı \(e^{j_\infty}\)’dur:
\[\left(1 + \frac{j_4}{4}\right)^{4} = e^{\,j_\infty} = e^{0{,}09}\]
\[1 + \frac{j_4}{4} = e^{\frac{0{,}09}{4}} \quad \Longrightarrow \quad j_4 = 4\left[e^{\frac{0{,}09}{4}} - 1\right] = 0{,}0910201 \approx \boxed{\%9{,}10}\]
\(\blacksquare\)
Bulunan denk oran her zaman daha sık ödemeli olan tarafta daha küçük olmalıdır: \(j_{12} = \%9{,}64 < j_1 = \%10{,}08\), \(j_2 = \%12{,}18 > j_4 = \%12\), \(j_4 = \%9{,}10 > j_\infty = \%9\). Sonucunuz bu sıralamaya uymuyorsa bir yerde \(m\) değerlerini karıştırmışsınızdır.
3.5 Kesirli Toplam Dönemler
Bileşik faizde faiz uygulanan toplam dönem sayısı tam sayı değil de kesirli olarak verilmişse iki yöntem kullanılır.
Tanım 3.4 (Teorik ve Pratik Metod)
- Teorik Metod: \(n\) toplam dönem sayısı kesirli olarak işleme katılır; yani \((1+i)^n\) ifadesinde \(n\) kesirli üs olarak kullanılır.
- Pratik Metod: Birikmiş değeri bulurken ilgili tarihi geçmeyen en büyük tam dönem sayısı kadar ileriye doğru bileşik faiz, geriye kalan ve \(1\) dönem etmeyen kısım için de ileriye doğru basit faiz uygulanır. Geçmişteki değeri bulurken ise ilgili tarihi içeren en küçük dönem kadar geriye doğru bileşik faiz ile gidilir ve daha sonra ilgili tarihe kadar ileriye doğru basit faiz uygulanır.
Aksi belirtilmedikçe pratik metod uygulanır.
Bir dönemden kısa süreler için \((1+i)^{x}\) ile \(1 + ix\) aynı şey değildir. \(0 < x < 1\) iken \((1+i)^x < 1+ix\) olur; yani pratik metod, kesirli parça için biraz daha fazla kazandırır. Fark küçüktür ama vardır — aşağıdaki örnekte \(0{,}62\) TL’dir.
Örnek 3.6 (Kesirli Dönemde Birikmiş Değer) \(1000\) TL’nin \(5\) yıl \(7\) ay sonra \(j_2 = \%13{,}50\) oranından değerini a) Teorik, b) Pratik Metod uygulayarak bulunuz.
Çözüm
\(P = 1000\), \(j_2 = 0{,}1350\), dönem \(6\) aydır (\(m = 2\)), yani \(i = \frac{0{,}1350}{2} = 0{,}0675\).
a) Teorik Metod. Süre yıl cinsinden \(t = 5 + \frac{7}{12} = \frac{67}{12}\) yıl, dönem sayısı
\[n = 2 \cdot \frac{67}{12} = \frac{67}{6} \approx 11{,}1667.\]
\[S = 1000\left(1 + \tfrac{0{,}1350}{2}\right)^{\frac{67}{6}} = 1000(1{,}0675)^{\frac{67}{6}} = \boxed{2073{,}84 \ \text{TL}}\]
b) Pratik Metod. \(5\) yıl \(7\) ay \(=\) \(11\) tane \(6\) ay \(+\) \(1\) ay.
Önce \(11\) tam dönem bileşik faiz, sonra artan \(1\) ay için basit faiz:
\[S = 1000(1{,}0675)^{11} \cdot \left(1 + 0{,}1350 \cdot \tfrac{1}{12}\right) = 2051{,}382851 \cdot 1{,}01125 = \boxed{2074{,}46 \ \text{TL}}\]
Kesirli parça için basit faiz kullanıldığından pratik metod \(0{,}62\) TL fazla vermiştir.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.7 (Kesirli Dönemde Şimdiki Değer) \(j_1 = \%10\)’dan \(3\) yıl \(7\) ay sonraki \(2800\) TL’nin şimdiki değerini a) Teorik, b) Pratik Metod uygulayarak bulunuz.
Çözüm
\(S = 2800\), \(j_1 = 0{,}10\), \(m = 1\) olduğundan \(i = 0{,}10\) ve dönem \(1\) yıldır.
a) Teorik Metod. \(t = 3 + \frac{7}{12} = \frac{43}{12}\) yıl, \(n = \frac{43}{12}\) dönem:
\[P = S(1+i)^{-n} = 2800(1{,}10)^{-\frac{43}{12}} = \boxed{1989{,}91 \ \text{TL}}\]
b) Pratik Metod. Geçmişteki değer arandığı için tarihi içeren en küçük tam dönem sayısı kadar geriye gidilir: \(3\) yıl \(7\) ay, \(4\) tam yılın içindedir. Yani \(-3\) yıl \(-7\) ay \(= -4\) tam yıl \(+ 5\) ay.
\(4\) dönem geriye bileşik faiz, sonra \(5\) ay ileriye basit faiz:
\[P = 2800(1{,}10)^{-4}\left(1 + 0{,}10 \cdot \tfrac{5}{12}\right) = 2800 \cdot 0{,}683013 \cdot 1{,}041667 = \boxed{1992{,}12 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
İki durumda da bileşik faiz adımı hedefin uzağına, basit faiz adımı ise hedefe doğru atılır:
- İleri giderken: tarihi geçmeden dur (11 dönem), kalanı basit faizle ileri al.
- Geri gelirken: tarihi geçerek dur (\(4\) dönem geri), fazlasını basit faizle ileri al.
3.6 Faiz Oranının Bulunması
Bileşik faiz formülü \(S = P(1+i)^n\) dört harf içerir. Şimdiye kadar hep \(S\) ya da \(P\) arandı; sıra diğer ikisinde. Oran tabanda durduğu için kök alarak, süre üste yerleştiği için logaritma ile çekilir.
Bilinmeyen \(i\) üste değil tabandadır; bu yüzden kök alarak çekilir.
Örnek 3.8 (Parayı Üç Katına Çıkaran Oran) Bir yatırım şirketi paranızı \(10\) yılda \(3\) katına çıkaracağını vaat etmektedir. Buna göre aylık ödemeli bileşik faiz oranı nedir?
Çözüm
\(P = X\), \(S = 3X\), \(t = 10\), \(m = 12\) olduğundan \(n = 120\) ve aranan \(j_{12}\)’dir.
\[S = P\left(1 + \frac{j_m}{m}\right)^{n} \quad \Longrightarrow \quad 3X = X\left(1 + \frac{j_{12}}{12}\right)^{120}\]
\(X \neq 0\) ile sadeleşir; iki yanın \(120\). dereceden kökü alınır:
\[3^{\frac{1}{120}} = 1 + \frac{j_{12}}{12} \quad \Longrightarrow \quad j_{12} = 12\left(3^{\frac{1}{120}} - 1\right) = 0{,}1103656 \approx \boxed{\%11{,}04}\]
Anaparanın bilinmemesi sonucu etkilemedi; “kaç katına çıkma” sorusu her zaman anaparadan bağımsızdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.9 (Sürekli Bileşik Faiz Oranı) \(3\) yılda %\(50\) değer artışı getirecek sürekli bileşik faiz oranı nedir?
Çözüm
\(P = X\), \(S = 1{,}5X\), \(t = 3\) ve aranan \(j_\infty\)’dur.
\[S = P e^{\,j_\infty t} \quad \Longrightarrow \quad 1{,}5X = X e^{\,3 j_\infty}\]
İki yanın doğal logaritması alınır:
\[\ln 1{,}5 = 3 j_\infty \ln e = 3 j_\infty \quad \Longrightarrow \quad j_\infty = \frac{\ln 1{,}5}{3} = \frac{0{,}405465}{3} \approx \boxed{\%13{,}52}\]
\(\blacksquare\)
3.7 Zamanın Bulunması
Bilinmeyen üste olduğunda logaritma alınır. Çıkan \(n\) genellikle tam sayı değildir; sonucu yıl-ay-gün olarak yazmak için şu üç adım izlenir:
- \(t = \dfrac{n}{m}\) ile süre yıla çevrilir; tam kısmı yıl sayısıdır.
- Kalan ondalık kısım \(12\) ile çarpılır; tam kısmı ay sayısıdır.
- Kalan ondalık kısım \(30\) ile çarpılır ve en yakın tam sayıya yuvarlanarak gün sayısı bulunur.
Örnek 3.10 (Belli Bir Faizin Kazanılma Süresi) \(2000\) TL’nin \(j_4 = 0{,}10\) oranından \(800\) TL faiz getirmesi için ne kadar zaman geçer?
Çözüm
\(P = 2000\), \(j_4 = 0{,}10\), \(m = 4\), \(I = 800\). Önce hedef birikmiş değeri bulalım:
\[S = P + I = 2000 + 800 = 2800 \ \text{TL}.\]
\[2800 = 2000\left(1 + \tfrac{0{,}10}{4}\right)^{n} \quad \Longrightarrow \quad \frac{28}{20} = (1{,}025)^n \quad \Longrightarrow \quad 1{,}4 = 1{,}025^n\]
İki yanın logaritması alınır:
\[\log 1{,}4 = n \log 1{,}025 \quad \Longrightarrow \quad n = \frac{\log 1{,}4}{\log 1{,}025} = 13{,}62643323 \ \text{dönem}.\]
Şimdi yıl-ay-güne çevirelim (\(m = 4\), yani dönem \(3\) aydır):
\[t = \frac{n}{m} = \frac{13{,}62643323}{4} = 3{,}406608306 \ \text{yıl}\]
\[0{,}406608306 \times 12 = 4{,}879299672 \ \text{ay}\]
\[0{,}879299672 \times 30 = 26{,}37899016 \ \text{gün}\]
\[\boxed{3 \ \text{yıl} \ 4 \ \text{ay} \ 26 \ \text{gün}}\]
\(\blacksquare\)
Örnek 3.11 (İki Katından Üç Katına) Bir yatırım aylık ödemeli bir faiz oranıyla \(6\) yılda \(2\) katına çıkıyorsa, aynı yatırımın \(3\) katına çıkması için ne kadar zaman geçer?
Çözüm
Önce verilen bilgiden dönem çarpanını çekelim. \(P = X\), \(S = 2X\), \(t = 6\), \(m = 12\) olduğundan \(n = 72\):
\[2X = X(1+i)^{72} \quad \Longrightarrow \quad 1 + i = 2^{\frac{1}{72}}.\]
Oranı sayı olarak bulmaya gerek yok; doğrudan üç katına çıkma denklemine taşıyalım. Aranan dönem sayısına \(n_1\) diyelim:
\[3X = X(1+i)^{n_1} = X\left(2^{\frac{1}{72}}\right)^{n_1} = X \cdot 2^{\frac{n_1}{72}}\]
\[\Longrightarrow \quad 3 = 2^{\frac{n_1}{72}} \quad \Longrightarrow \quad \log 3 = \frac{n_1}{72}\log 2\]
\[n_1 = \frac{72 \log 3}{\log 2} = 114{,}1173001 \ \text{dönem}.\]
Yıl-ay-güne çevirelim (\(m = 12\)):
\[\frac{114{,}1173001}{12} = 9{,}509775004 \ \text{yıl}\]
\[0{,}509775004 \times 12 = 6{,}117300048 \ \text{ay}\]
\[0{,}117300480 \times 30 = 3{,}51901440 \ \text{gün} \approx 4 \ \text{gün}\]
\[\boxed{9 \ \text{yıl} \ 6 \ \text{ay} \ 4 \ \text{gün}}\]
İki katına çıkmak \(6\) yıl sürdüğüne göre üç katına çıkmak \(9\) yıl civarındadır, \(18\) yıl değil. Çünkü bileşik faizde katlanma çarpımsaldır: \(6\) yılda \(2\) kat, \(12\) yılda \(4\) kat olur. \(3\) kat, \(2\) ile \(4\) arasında olduğundan süre de \(6\) ile \(12\) yıl arasına düşer.
\(\blacksquare\)
3.8 Bileşik Faizde Paranın Değer Denklikleri
Basit faizde odak noktasını değiştirmek cevabı da değiştiriyordu (Önerme 1.2). Bileşik faizde ise durum çok daha rahattır: bir tutarı \(n\) dönem ileri taşımak \((1+i)^{n}\) ile, \(n\) dönem geri taşımak \((1+i)^{-n}\) ile çarpmaktır ve bu çarpanlar art arda uygulandığında üsler toplanır.
Önerme 3.4 (Değer Denkliğinin İki Özelliği) 1) \(X, Y, Z\) para değerlerini, \(n_1, n_2, n_3\) ise dönemleri göstermek üzere
\[Y = X(1+i)^{n_2 - n_1}, \qquad Z = Y(1+i)^{n_3 - n_2}\]
ise
\[Z = X(1+i)^{n_2-n_1}(1+i)^{n_3-n_2} = X(1+i)^{n_3-n_1}\]
olur.
2) İki ayrı ödemeler kümesi aynı bir odak tarihinde birbirine denk iseler, bu iki ödemeler kümesi herhangi bir odak tarihinde de denktir.
İspat
1) Doğrudan üs kuralıdır: \((1+i)^{a}(1+i)^{b} = (1+i)^{a+b}\) olduğundan iki adımda taşımak tek adımda taşımakla aynıdır.
2) \(\{A_k\}\) ve \(\{B_l\}\) ödemeler kümeleri \(n_0\) odak tarihinde denk olsun; yani her ödeme \(n_0\)’a taşındığında
\[\sum_k A_k (1+i)^{n_0 - a_k} = \sum_l B_l (1+i)^{n_0 - b_l}.\]
Şimdi başka bir \(n^\ast\) odak tarihi alalım. Her terimi \(n^\ast\)’a taşımak, üsse \(n^\ast - n_0\) eklemek demektir; yani iki yan da \((1+i)^{n^\ast - n_0}\) sabitiyle çarpılır:
\[\sum_k A_k (1+i)^{n^\ast - a_k} = (1+i)^{n^\ast - n_0}\sum_k A_k (1+i)^{n_0 - a_k}\]
ve aynısı \(B\) tarafı için geçerlidir. Bir eşitliğin iki yanı sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılınca eşitlik bozulmayacağından, iki küme \(n^\ast\) tarihinde de denktir.
\(\blacksquare\)
Yukarıdaki iki özellik basit faiz için geçerli değildir. Bunun nedenini Önerme 1.2’da görmüştük: basit faizde \((1+rt_1)(1+rt_2) \neq 1 + r(t_1+t_2)\)’dir. Bu yüzden basit faizde odak noktası sözleşmede belirtilirken, bileşik faizde istediğimiz tarihi seçebiliriz.
Örnek 3.12 (Bir Borcun Farklı Tarihlerdeki Denkleri) \(7\) yıl sonra ödenecek \(2500\) TL’lik bir borç ve paranın değeri \(j_{12} = \%10\) olsun. a) \(3\) yıl sonundaki, b) \(10\) yıl sonundaki denk borcu bulunuz.
Çözüm
\(m = 12\) olduğundan dönem \(1\) aydır ve \(i = \frac{0{,}10}{12}\). Yılları döneme çevirelim: \(3\) yıl \(= 36\), \(7\) yıl \(= 84\), \(10\) yıl \(= 120\) dönem.
a) \(84\). dönemden \(36\). döneme \(84 - 36 = 48\) dönem geri gidilir:
\[X = 2500\left(1 + \tfrac{0{,}10}{12}\right)^{-48} = \boxed{1678{,}58 \ \text{TL}}\]
b) \(84\). dönemden \(120\). döneme \(120 - 84 = 36\) dönem ileri gidilir:
\[Y = 2500\left(1 + \tfrac{0{,}10}{12}\right)^{36} = \boxed{3370{,}45 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
Örnek 3.13 (İki Borcun Tek Ödemeye Dönüştürülmesi) Bir kişinin \(18\) ay sonra ödenmek üzere \(1000\) TL ve \(4\) yıl sonra ödenmek üzere \(1500\) TL borcu vardır. Paranın değeri \(j_4 = \%6\) ise bu borçları a) şimdi, b) \(2\) yıl sonra tek seferde ödemek kaç TL ile mümkündür?
Çözüm
\(m = 4\) olduğuna göre faiz periyodu \(3\) aydır. Şu hâlde \(3\) aylık periyot \(1\) dönem yapar ve \(i = \frac{0{,}06}{4} = 0{,}015\). Süreleri döneme çevirelim:
\[18 \ \text{ay} = 6 \ \text{dönem}, \qquad 2 \ \text{yıl} = 8 \ \text{dönem}, \qquad 4 \ \text{yıl} = 16 \ \text{dönem}.\]
a) Her iki borç da bugüne (\(0\). döneme) geri taşınır:
\[X = 1000\left(1 + \tfrac{0{,}06}{4}\right)^{-6} + 1500\left(1 + \tfrac{0{,}06}{4}\right)^{-16} = 914{,}54 + 1182{,}05 = \boxed{2096{,}59 \ \text{TL}}\]
b) \(8\). döneme taşınır: ilk borç \(2\) dönem ileri, ikinci borç \(8\) dönem geri gider:
\[Y = 1000\left(1 + \tfrac{0{,}06}{4}\right)^{2} + 1500\left(1 + \tfrac{0{,}06}{4}\right)^{-8} = 1030{,}23 + 1331{,}57 = \boxed{2361{,}79 \ \text{TL}}\]
Sağlama: Önerme 3.4 gereği \(X\)’i \(8\) dönem ileri taşırsak \(Y\)’yi bulmalıyız. Gerçekten \(2096{,}59 \cdot (1{,}015)^{8} = 2361{,}79\) TL’dir. Basit faizde böyle bir sağlama yapılamazdı.
\(\blacksquare\)
3.9 Bileşik İskonto
Tanım 3.5 (Bileşik İskonto) \(d^{(m)}\) yılda \(m\) kez yapılan yıllık iskonto oranını, \(\dfrac{d^{(m)}}{m}\) ise dönem başına yapılan iskonto oranını göstermek üzere, \(S\) üzerinden hesaplanan iskontolu değer
\[P = S\left(1 - \frac{d^{(m)}}{m}\right)^{n}\]
şeklinde bulunur. Bu durumda birikmiş değer
\[S = P\left(1 - \frac{d^{(m)}}{m}\right)^{-n}\]
formülü ile hesaplanır.
Basit iskontodaki mantığın aynısı burada dönem dönem uygulanır: her dönemde kalan tutardan \(\frac{d^{(m)}}{m}\) oranında indirim yapılır, dolayısıyla çarpan \(n\) kez uygulanır.
Örnek 3.14 (Bileşik İskonto Hesabı) \(2\) yıl sonraki \(1000\) TL’nin iskontolu değerini a) \(d^{(12)} = \%12\), b) \(d^{(365)} = \%7\) için hesaplayınız.
Çözüm
a) \(m = 12\), \(t = 2\) olduğundan \(n = 24\) ve dönemlik iskonto oranı \(\frac{0{,}12}{12} = 0{,}01\):
\[P = 1000\left(1 - \tfrac{0{,}12}{12}\right)^{2 \cdot 12} = 1000(0{,}99)^{24} = \boxed{785{,}68 \ \text{TL}}\]
b) \(m = 365\), \(n = 730\):
\[P = 1000\left(1 - \tfrac{0{,}07}{365}\right)^{2 \cdot 365} = \boxed{869{,}35 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
3.10 Alıştırmalar
Alıştırma 3.1 (İki Eşit Taksitle Ödeme) Bir kişinin şimdi \(50000\) TL borcu var olsun. Bu borcu \(j_1 = 0{,}09\) oranından \(1\). ve \(2\). yıl sonunda \(X\) TL eşit taksitlerle ödeyeceğine göre \(X\) nedir?
Çözüm
\(m = 1\) olduğundan \(i = 0{,}09\) ve dönem \(1\) yıldır. Odak noktası olarak bugünü seçelim (bileşik faizde hangisini seçtiğimiz önemsizdir):
\[50000 = X(1{,}09)^{-1} + X(1{,}09)^{-2} = X\left[(1{,}09)^{-1} + (1{,}09)^{-2}\right]\]
\[50000 = X(0{,}917431 + 0{,}841680) = X \cdot 1{,}759111\]
\[\Longrightarrow \quad \boxed{X = 28423{,}44 \ \text{TL}}\]
İki taksidin toplamı \(56846{,}88\) TL’dir; aradaki \(6846{,}88\) TL ödenen faizdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.2 (Hedeflenen Tutara Ulaşma Süresi) Altı ayda bir ödemeli \(0{,}07\) bileşik faiz oranından \(200\) TL ne kadar zamanda \(350\) TL olur?
Çözüm
\(m = 2\), \(j_2 = 0{,}07\) olduğundan \(i = \frac{0{,}07}{2} = 0{,}035\).
\[350 = 200(1{,}035)^n \quad \Longrightarrow \quad (1{,}035)^n = \frac{350}{200} = 1{,}75\]
\[n = \frac{\ln 1{,}75}{\ln 1{,}035} = \frac{0{,}559616}{0{,}034401} = 16{,}267226 \ \text{dönem}.\]
Yıl-ay-güne çevirelim (\(m = 2\), dönem \(6\) aydır):
\[t = \frac{16{,}267226}{2} = 8{,}133613 \ \text{yıl}\]
\[0{,}133613 \times 12 = 1{,}603356 \ \text{ay}\]
\[0{,}603356 \times 30 = 18{,}100680 \ \text{gün} \approx 18 \ \text{gün}\]
\[\boxed{8 \ \text{yıl} \ 1 \ \text{ay} \ 18 \ \text{gün}}\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.3 (Sürekli Bileşik Faizde Şimdiki Değer) \(0{,}125\) sürekli bileşik faiz oranından \(3\) yılda \(25000\) TL biriktirmek için şimdi kaç TL’lik yatırım yapmak gerekir?
Çözüm
\(S = 25000\), \(j_\infty = 0{,}125\), \(t = 3\). \(S = P e^{\,j_\infty t}\) formülünden \(P\) çekilir:
\[P = S e^{-j_\infty t} = 25000\,e^{-0{,}125 \cdot 3} = 25000\,e^{-0{,}375} = 25000 \cdot 0{,}687289 = \boxed{17182{,}23 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.4 (Denk İskonto ve Faiz Oranları) Aşağıda istenen denk oranları bulunuz.
a) \(d^{(2)} = \%6\)’ya denk olan \(d^{(12)} = ?\)
b) \(j_{12} = \%12\)’ye denk olan \(d^{(4)} = ?\)
c) \(j_\infty = \%9\)’a denk olan \(d^{(1)} = ?\)
Çözüm
Eşdeğerlik ölçütü yine aynıdır: bir yıllık çarpanlar eşitlenir. İskonto tarafında bir yıllık çarpan \(\left(1 - \frac{d^{(m)}}{m}\right)^{m}\)’dir.
a) \[\left(1 - \frac{d^{(12)}}{12}\right)^{12} = \left(1 - \frac{d^{(2)}}{2}\right)^{2} = (1 - 0{,}03)^2 = (0{,}97)^2 = 0{,}9409\]
\[1 - \frac{d^{(12)}}{12} = (0{,}9409)^{\frac{1}{12}} = 0{,}994936\]
\[d^{(12)} = 12(1 - 0{,}994936) = 0{,}060764 \approx \boxed{\%6{,}08}\]
b) Faiz tarafındaki çarpan \(\left(1 + \frac{j_{12}}{12}\right)^{12}\), iskonto tarafındaki \(\left(1 - \frac{d^{(4)}}{4}\right)^{-4}\)’tür:
\[\left(1 - \frac{d^{(4)}}{4}\right)^{-4} = (1{,}01)^{12} = 1{,}126825\]
\[\left(1 - \frac{d^{(4)}}{4}\right)^{4} = \frac{1}{1{,}126825} = 0{,}887449 \quad \Longrightarrow \quad 1 - \frac{d^{(4)}}{4} = (0{,}887449)^{\frac{1}{4}} = 0{,}970590\]
\[d^{(4)} = 4(1 - 0{,}970590) = 0{,}117639 \approx \boxed{\%11{,}76}\]
c) \[\left(1 - d^{(1)}\right)^{-1} = e^{\,j_\infty} = e^{0{,}09} \quad \Longrightarrow \quad 1 - d^{(1)} = e^{-0{,}09} = 0{,}913931\]
\[d^{(1)} = 1 - 0{,}913931 = 0{,}086069 \approx \boxed{\%8{,}61}\]
Her üç sonuçta da iskonto oranının kendisine denk faiz oranından küçük çıktığına dikkat edin.
\(\blacksquare\)