1 Basit Faiz
Bir kimse parasını bir süreliğine başkasına verdiğinde, o süre boyunca o parayla yapabileceği her şeyden vazgeçmiş olur. Bu vazgeçişin bedeline faiz diyoruz. Finans matematiğinin bütün formülleri, aslında tek bir sorunun farklı biçimlerdeki cevabıdır: bugünkü bir tutar ile gelecekteki bir tutar nasıl karşılaştırılır?
Bu ilk bölümde en yalın modeli, basit faizi kuruyoruz. Basit faizde faiz yalnızca anapara üzerinden işler; kazanılan faiz tekrar faiz getirmez. Önce faizin tanımını, zamanın yıl cinsinden nasıl yazılacağını ve iki tarih arasındaki gün sayısının nasıl hesaplanacağını göreceğiz. Ardından tek bir tutarı ileri geri taşımaktan, birden çok ödemeden oluşan planları karşılaştırmaya geçiyoruz; burada odak noktası kavramıyla ve basit faize özgü şaşırtıcı bir sonuçla karşılaşacağız. Bölümün son kısmı bir borcun ara ödemelerle kapatılmasına ayrılmıştır ve konunun tamamını kapsayan tam çözümlü alıştırmalarla kapanır.
- Para tutarları ve oranlar virgülden sonra iki basamağa yuvarlanır: \(1435{,}41\) TL, %\(11{,}43\).
- Ara işlemlerde hesap makinesindeki tam değerle devam edilir; yuvarlama yalnızca yazarken yapılır. (Amortisman ve Amerikan Kuralı gibi, bankanın fiilen kuruşa yuvarladığı hesaplarda yuvarlanmış değerle devam edilir; bu durumlar yeri geldiğinde ayrıca belirtilecektir.)
- Ondalık ayırıcı virgüldür: \(0{,}06\) yazılır, \(0.06\) yazılmaz.
- Yüzde işareti sayının önüne gelir: %\(12\).
- Varyans ve standart sapmada da aynı kural geçerlidir: önce varyans iki basamağa yuvarlanır, karekök bu yuvarlanmış değerden alınır.
1.1 Faiz, Anapara ve Birikmiş Değer
Tanım 1.1 (Faiz) Paranın satın alma gücünden belli bir süre vazgeçme karşılığında ödenen ve paranın bir yüzdesi şeklinde tanımlanan bedele faiz denir.
Ders boyunca kullanacağımız üç temel büyüklük şunlardır:
| Simge | Adı | Anlamı |
|---|---|---|
| \(P\) | Anapara | Paranın şimdiki değeri; \(S\)’nin iskontolu değeri |
| \(I\) | Faiz | Anaparadan elde edilen faiz değeri |
| \(S\) | Toplam para | Anaparanın gelecekteki değeri; birikmiş değer |
Tanım gereği \(S := P + I\)’dir. Buradan, \(P\) anaparası belli bir zaman sonra \(S\) toplamına erişmişse elde edilen faiz
\[I = S - P\]
formülüyle hesaplanır. Bu üç harf, dersin sonuna kadar aynı anlamda kullanılacaktır.
1.2 Basit Faiz
Tanım 1.2 (Yıllık Basit Faiz Oranı) Bir \(P\) anaparasından bir yıl sonra \(I\) faizi elde edilmişse, bu işlemde geçerli olan yıllık basit faiz oranı
\[r := \frac{I}{P}\]
ile belirlenir. Buna göre \(P\) ve \(r\) biliniyorsa bir yıllık basit faiz \(I = P \cdot r\) olur.
Peki faizin işlediği süre bir yıl değil de birkaç yıl, birkaç ay ya da birkaç gün ise ne olacak? Basit faizin tanımı gereği faiz her yıl aynı anapara üzerinden hesaplandığı için, faiz süreyle doğru orantılıdır: iki katı sürede iki katı faiz elde edilir.
Önerme 1.1 (Basit Faiz Formülleri) \(t\) yıl cinsinden zamanı göstermek üzere, \(P\) anaparası üzerinden yıllık \(r\) basit faiz oranıyla \(t\) yılda elde edilecek basit faiz
\[I = P \cdot r \cdot t\]
ve birikmiş değer
\[S = P(1 + rt)\]
formülleriyle hesaplanır. Buradan anapara çekilirse
\[P = S(1 + rt)^{-1}\]
elde edilir.
İspat
Bir yılda kazanılan faiz \(P \cdot r\)’dir ve basit faizde bu tutar her yıl aynı kalır (kazanılan faiz anaparaya eklenmez). Dolayısıyla \(t\) yıl boyunca kazanılan toplam faiz \(I = P \cdot r \cdot t\) olur. O hâlde
\[S = P + I = P + P \cdot r \cdot t = P(1 + rt)\]
bulunur. Son eşitlikte \(1 + rt \neq 0\) olduğundan iki yan bu çarpana bölünerek \(P = S(1+rt)^{-1}\) elde edilir.
\(\blacksquare\)
Bu iki çarpanın kendine ait adları vardır ve dersin sonuna kadar bu adlarla anılacaklardır.
Tanım 1.3 (Birikme ve İskonto Çarpanı) \(S = P(1+rt)\) formülündeki \(1 + rt\) çarpanına basit faizde birikme çarpanı, \(P = S(1+rt)^{-1}\) formülündeki \((1+rt)^{-1}\) çarpanına basit faizde iskonto (indirim) çarpanı denir. Bu durumda \(P\) değerine, \(S\)’nin \(r\) oranından \(t\) yıl için iskontolu değeri veya şimdiki değeri denir.
Şemanın anlattığı şey tek cümleyle şudur: zaman ekseninde sağa gitmek çarpmak, sola gitmek bölmektir. Bir problemde hangi formülün kullanılacağını hatırlamaya çalışmak yerine, okun yönüne bakmak yeterlidir.
1.3 Zamanın Yıl Cinsinden Yazılması
\(t\) zamanı mutlaka yıl cinsinden yazılmalıdır. Formüldeki \(r\) yıllık bir oran olduğu için, süreyi ay ya da gün olarak bırakmak sonucu 12 ya da 360 kat şişirir.
Süre ay olarak verilmişse
\[t = \frac{\text{ay sayısı}}{12}\]
alınır. Süre gün olarak verilmişse iki ayrı hesap yapılabilir:
Tanım 1.4 (Tam ve Normal Basit Faiz) Süre gün cinsinden verildiğinde
- Tam basit faiz için \(t = \dfrac{\text{gün sayısı}}{365}\),
- Normal basit faiz için \(t = \dfrac{\text{gün sayısı}}{360}\)
alınır.
Aksi belirtilmemişse normal basit faiz hesaplanacaktır.
Normal basit faiz, yılı 12 eşit aya (her biri 30 gün) bölmenin doğal sonucudur ve ticari hayatta hesabı kolaylaştırdığı için tercih edilir. Payda küçüldüğü için normal basit faiz her zaman tam basit faizden büyük çıkar — aradaki fark \(\frac{365}{360} \approx 1{,}014\) katıdır, yani yaklaşık %\(1{,}4\).
Örnek 1.1 (Tam ve Normal Basit Faiz) \(2000\) TL için %\(5\)’ten \(50\) günlük tam ve normal basit faizi bulunuz.
Çözüm
\(P = 2000\) TL, \(r = 0{,}05\) ve süre \(50\) gündür.
Tam basit faiz: \(t = \dfrac{50}{365}\) olduğundan
\[I = Prt = 2000 \cdot 0{,}05 \cdot \frac{50}{365} = 13{,}70 \ \text{TL}.\]
Normal basit faiz: \(t = \dfrac{50}{360}\) olduğundan
\[I = Prt = 2000 \cdot 0{,}05 \cdot \frac{50}{360} = 13{,}89 \ \text{TL}.\]
Beklendiği gibi normal basit faiz biraz daha büyüktür.
\(\blacksquare\)
1.4 İki Tarih Arasındaki Zaman Hesabı
Bir problemde süre doğrudan “50 gün” diye verilmeyip iki tarih verilmişse, önce aradaki gün sayısını bulmamız gerekir. Bunun da iki yolu vardır.
Tanım 1.5 (Tam ve Yaklaşık Zaman) Verilen iki tarih arasında
- Tam zaman: Bir takvim yardımıyla günlerin sayısı tam olarak sayılır.
- Yaklaşık zaman: Her bir ayın \(30\) gün olduğu kabul edilir; tarihler yıl : ay : gün biçiminde yazılıp çıkarılır.
Tam zaman sayılırken, verilen başlangıç ve bitiş tarihlerinden yalnızca biri toplama dâhil edilir; ikisi birden dâhil edilmez.
Örnek 1.2 (İki Tarih Arasındaki Zaman) \(20\) Haziran \(2019\) ile \(24\) Ağustos \(2019\) arasındaki tam ve yaklaşık zamanı bulunuz.
Çözüm
Tam zaman. Haziran’ın \(30\) günü vardır; ayın \(20\)’sinden sonra \(30 - 20 = 10\) gün kalır. Temmuz tam olarak \(31\) gün, Ağustos’tan ise \(24\) gün sayılır:
\[\underbrace{10}_{\text{Haziran}} + \underbrace{31}_{\text{Temmuz}} + \underbrace{24}_{\text{Ağustos}} = 65 \ \text{gün}.\]
Başlangıç günü (\(20\) Haziran) sayılmamış, bitiş günü (\(24\) Ağustos) sayılmıştır; kuralın istediği de budur.
Yaklaşık zaman. Tarihler yıl : ay : gün biçiminde alt alta yazılıp çıkarılır:
\[ \begin{array}{r r r r} & 2019 & 8 & 24 \\ - & 2019 & 6 & 20 \\ \hline & 0 & 2 & 4 \end{array} \]
Yani \(2\) ay \(4\) gün; her ay \(30\) gün sayıldığından
\[2 \cdot 30 + 4 = 64 \ \text{gün}.\]
\(\blacksquare\)
Dört olası hesap ve Banker Kuralı
Zamanı iki türlü (tam / yaklaşık), faizi iki türlü (\(365\) / \(360\)) hesaplayabildiğimize göre karşımıza dört kombinasyon çıkar:
| Tam faiz (\(365\)) | Normal faiz (\(360\)) | |
|---|---|---|
| Tam zaman (takvim) | Tam zaman – tam faiz | Banker Kuralı |
| Yaklaşık zaman (\(30\)’ar gün) | Yaklaşık zaman – tam faiz | Yaklaşık zaman – normal faiz |
Tanım 1.6 (Banker Kuralı) Gün sayısı takvimden tam olarak sayılıp, faiz \(360\) günlük yıl üzerinden hesaplanırsa (yani tam zaman ile normal faiz birlikte kullanılırsa) uygulanan yönteme Banker Kuralı denir.
Aksi belirtilmedikçe Banker Kuralı ile hesap yapılacaktır.
Banker Kuralı’nın alacaklı için en kârlı seçenek olduğuna dikkat edin: gün sayısı en büyük (takvimden tam sayım), payda ise en küçük (\(360\)) alınır.
Örnek 1.3 (Dört Hesabın Karşılaştırılması) \(20\) Nisan \(2019\)’da bankaya %\(6\) faiz oranıyla yatırılan \(2000\) TL’nin \(1\) Temmuz \(2019\) tarihinde getirdiği tam ve normal faizi a) tam zaman, b) yaklaşık zaman kullanarak hesaplayınız.
Çözüm
Önce iki tarih arasındaki süreyi iki türlü bulalım.
Tam zaman:
\[\underbrace{10}_{\text{Nisan}} + \underbrace{31}_{\text{Mayıs}} + \underbrace{30}_{\text{Haziran}} + \underbrace{1}_{\text{Temmuz}} = 72 \ \text{gün}.\]
Yaklaşık zaman:
\[ \begin{array}{r r r r} & 2019 & 7 & 1 \\ - & 2019 & 4 & 20 \\ \hline & 0 & 2 & 11 \end{array} \]
\(2\) ay \(11\) gün, yani \(2 \cdot 30 + 11 = 71\) gün.
\(1 - 20\) eksi çıktığı için ay hanesinden \(1\) ay (\(30\) gün) ödünç alınır: gün hanesi \(1 + 30 = 31\), ay hanesi \(7 - 1 = 6\) olur. Böylece \(31 - 20 = 11\) gün ve \(6 - 4 = 2\) ay bulunur.
Şimdi \(P = 2000\), \(r = 0{,}06\) ile dört hesabı yapalım.
a) Tam zaman (\(72\) gün):
\[I = 2000 \cdot 0{,}06 \cdot \frac{72}{365} = 23{,}67 \ \text{TL} \qquad (\text{tam faiz})\]
\[I = 2000 \cdot 0{,}06 \cdot \frac{72}{360} = 24{,}00 \ \text{TL} \qquad (\text{normal faiz} = \textbf{Banker Kuralı})\]
b) Yaklaşık zaman (\(71\) gün):
\[I = 2000 \cdot 0{,}06 \cdot \frac{71}{365} = 23{,}34 \ \text{TL} \qquad (\text{tam faiz})\]
\[I = 2000 \cdot 0{,}06 \cdot \frac{71}{360} = 23{,}67 \ \text{TL} \qquad (\text{normal faiz})\]
Dört sonuç arasında en büyüğü Banker Kuralı’nın verdiği \(24{,}00\) TL’dir. Soruda bir yöntem belirtilmemişse bu değeri alırız.
\(\blacksquare\)
Dört sonucun da birbirine yakın çıkması gerekir; aralarındaki fark yüzde birkaçı geçmez. Sonuçlardan biri diğerlerinden çok farklıysa, büyük olasılıkla süre yıla çevrilmemiş ya da gün sayımında bir ay atlanmıştır.
Bundan sonra bu formülleri tek bir tutar için değil, birden çok ödemeden oluşan planlar için kullanacağız; orada odak noktası kavramı devreye girecek.
1.5 Şimdiki Değer
Gelecekteki bir tutarın bugünkü karşılığını bulmak, iskonto çarpanıyla çarpmaktan ibarettir (Tanım 1.3). Buna paranın şimdiki değeri diyoruz.
Örnek 1.4 (Bir Birikimin Şimdiki Değeri) \(9\) ayda %\(6\) basit faiz ile \(1500\) TL olacak bir birikimin şimdiki değeri nedir?
Çözüm
Verilenler: \(S = 1500\) TL, \(r = 0{,}06\), \(t = \dfrac{9}{12}\).
Ok geriye doğru olduğu için iskonto çarpanı kullanılır:
\[P = S(1+rt)^{-1} = \frac{1500}{1 + 0{,}06 \cdot \frac{9}{12}} = \frac{1500}{1{,}045} = 1435{,}41 \ \text{TL}.\]
Aradaki \(1500 - 1435{,}41 = 64{,}59\) TL, dokuz ayda işleyen faizdir.
\(\blacksquare\)
1.6 Odak Noktası ve Denk Ödemeler
Tanım 1.7 (Odak Noktası) Paranın değerinin hesaplanacağı zamana, zaman şemasında odak noktası denir.
Tanım 1.8 (Denk Ödemeler) İki ödemeler kümesi, seçilen bir odak noktasına taşındıklarında toplamları eşit oluyorsa bu iki kümeye o odak noktasında denk ödemeler denir.
Denklik denklemi kurulurken izlenecek yol hep aynıdır:
- Zaman şemasını çiz; ödemeleri kendi tarihlerine yerleştir.
- Odak noktasını işaretle.
- Her ödemeyi, kendi tarihi ile odak noktası arasındaki süreyle taşı: odaktan önceyse ileri (çarp), sonraysa geri (böl).
- İki tarafın toplamlarını eşitle.
Örnek 1.5 (İki Ödeme Seçeneğinin Denkliği) Bir tüketicinin aldığı borcu ödemesi için iki seçeneği var olsun.
- Birinci seçenek: \(5\) ay sonra \(2000\) TL ve \(10\) ay sonra \(3000\) TL ödemek,
- İkinci seçenek: \(3\) ay sonra \(X\) TL ve \(6\) ay sonra \(2X\) TL ödemek.
Her iki seçenek birbirine denk ve paranın değeri (enflasyon, piyasadaki basit faiz vb.) %\(12\) ise \(X\) değerini odak noktalarını \(6\). ay ve \(3\). ay alarak bulup sonuçları karşılaştırınız.
Çözüm
Odak noktası \(3\). ay alınırsa. \(5\). aydaki ödeme \(2\) ay, \(10\). aydaki ödeme \(7\) ay geri gelir; \(6\). aydaki \(2X\) ise \(3\) ay geri gelir. \(3\). aydaki \(X\) zaten yerindedir.
\[2000\left(1 + 0{,}12 \cdot \tfrac{2}{12}\right)^{-1} + 3000\left(1 + 0{,}12 \cdot \tfrac{7}{12}\right)^{-1} = X + 2X\left(1 + 0{,}12 \cdot \tfrac{3}{12}\right)^{-1}\]
Sol tarafı hesaplayalım:
\[\frac{2000}{1{,}02} + \frac{3000}{1{,}07} = 1960{,}78 + 2803{,}74 = 4764{,}52.\]
Sağ tarafta \(2X\)’in çarpanı \(\dfrac{2}{1{,}03} = 1{,}941747573\) olduğundan
\[4764{,}52 = X + 1{,}941747573\,X = 2{,}941747573\,X\]
\[\Longrightarrow \quad \boxed{X = 1619{,}62 \ \text{TL}}\]
Odak noktası \(6\). ay alınırsa. Bu kez \(5\). aydaki ödeme \(1\) ay ileri, \(10\). aydaki ödeme \(4\) ay geri gelir; \(3\). aydaki \(X\) ise \(3\) ay ileri gider. \(6\). aydaki \(2X\) yerindedir.
\[2000\left(1 + 0{,}12 \cdot \tfrac{1}{12}\right) + 3000\left(1 + 0{,}12 \cdot \tfrac{4}{12}\right)^{-1} = X\left(1 + 0{,}12 \cdot \tfrac{3}{12}\right) + 2X\]
\[2020 + 2884{,}62 = 1{,}03X + 2X = 3{,}03X\]
\[\Longrightarrow \quad \boxed{X = 1618{,}69 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
Dikkat edilirse odak noktası \(3\). ay olduğunda \(X = 1619{,}62\) TL, \(6\). ay olduğunda \(X = 1618{,}69\) TL bulunmuştur. Yani farklı odak noktaları farklı değerler vermiştir.
Basit faizde odak noktası değişince hesaplanan değerler farklılık gösterebilir. Bu nedenle basit faiz ile yapılan finansal işlemlerde odak noktası önceden bellidir; sözleşmede yazar ya da soruda verilir. İleride göreceğimiz gibi bileşik faizde böyle bir sorun yoktur (Bölüm 3.8).
Peki bu neden oluyor? Cevap tek satırlık bir cebirsel gözlemde saklı.
Önerme 1.2 (Basit Faizde Çarpanlar Birleşmez) \(r > 0\) ve \(t_1, t_2 > 0\) olsun. O zaman
\[(1 + rt_1)(1 + rt_2) > 1 + r(t_1 + t_2)\]
olur; yani bir tutarı önce \(t_1\), sonra \(t_2\) kadar taşımak, doğrudan \(t_1 + t_2\) kadar taşımakla aynı sonucu vermez.
İspat
Sol tarafı açalım:
\[(1 + rt_1)(1 + rt_2) = 1 + rt_1 + rt_2 + r^2 t_1 t_2 = \bigl[1 + r(t_1+t_2)\bigr] + r^2 t_1 t_2.\]
\(r > 0\) ve \(t_1, t_2 > 0\) olduğundan \(r^2 t_1 t_2 > 0\)’dır; dolayısıyla sol taraf sağ taraftan kesinlikle büyüktür.
\(\blacksquare\)
Aradaki \(r^2 t_1 t_2\) farkı, “faizin faizi”dir: iki adımda taşırken ilk adımda kazanılan faiz ikinci adımda da faiz getirir, oysa basit faiz tanımı gereği bunu yasaklar. İşte odak noktası değişince taşıma yollarının uzunlukları değiştiği için sonuç da kayar. Bileşik faizde çarpan \((1+i)^n\) biçiminde olduğundan \((1+i)^{n_1}(1+i)^{n_2} = (1+i)^{n_1+n_2}\) olur ve bu sorun tamamen ortadan kalkar.
Soruda odak noktası belirtilmişse tartışma yoktur. Belirtilmemişse, hesabı kolaylaştıran tarih seçilir: genellikle bilinmeyenin bulunduğu tarih ya da ödemelerden birinin tarihi. Örneğin Örnek 1.5’de odak \(3\). ay seçilirse \(X\) hiç taşınmadan denklemde yer alır.
1.7 Taksitli Ödemeler: İki Kural
Şimdiye kadar borçlar tek seferde ödeniyordu. Gerçekte ise borçlu, vadeden önce elindeki parayla ara ödemeler yapar. Bu ödemeler borcu nasıl azaltır? İki farklı hesap geleneği vardır ve ikisi farklı sonuçlar verir; hangisinin uygulanacağı sözleşmede belirlenir.
Tanım 1.9 (Tüccar Kuralı) Tüm taksitler ve ana borç, borcun bitim tarihine odaklanır. Yani odak noktası vade tarihidir; ana borcun o tarihe taşınmış değerinden, taksitlerin o tarihe taşınmış değerleri çıkarılarak kalan borç bulunur.
Tanım 1.10 (Amerikan Kuralı) Her taksitten sonra ödenmemiş geriye kalan kısım bir sonraki taksit zamanına faizlenir.
- Eğer o taksidin bedeli hesaplanan faizden çok ise ödeme yapılır ve geriye kalan kısım bir sonraki taksit zamanına faizlenir.
- Eğer o taksidin bedeli hesaplanan faizden az ise o taksit ödenmez ve o ödeme bir sonraki taksit ile birlikte hesaba katılır.
Aksi belirtilmedikçe Tüccar Kuralı ile hesap yapılacaktır.
Aradaki fark özde şudur: Tüccar Kuralı bütün ödemeleri tek bir odak noktasında toplar, Amerikan Kuralı ise borcu adım adım günceller. İkinci yöntemde ödenmemiş faizin faiz getirmemesi sağlandığı için borçlu lehinedir; bu yüzden tüketici kredilerinde daha yaygındır.
Amerikan Kuralı’ndaki ikinci madde, faizin faizini engellemek içindir. Küçük bir taksit, o güne kadar işlemiş faizden azsa ve yine de düşülseydi, kalan borcun içinde ödenmemiş faiz kalır ve sonraki dönemde o faiz de faiz getirirdi. Basit faiz sözleşmesinde bu kabul edilemez; bu yüzden küçük taksit bekletilir.
1.8 İki Kuralın Karşılaştırılması
Örnek 1.6 (Aynı Borcun İki Kurala Göre Kapatılması) Bir tüketici \(15.1.2011\)’de %\(16\)’dan \(1000\) TL borç aldı. \(12.4.2011\)’de \(350\) TL, \(10.8.2011\)’de \(20\) TL ve \(3.10.2011\)’de \(400\) TL ödedi. \(1.12.2011\)’de borcu kapatmak için ödeyeceği bedeli a) Tüccar Kuralı b) Amerikan Kuralı ile hesaplayınız.
Çözüm
Önce gerekli gün sayılarını takvimden bulalım (Banker Kuralı: tam zaman, \(360\) günlük yıl):
| Aralık | Gün |
|---|---|
| \(15.1.2011 \to 1.12.2011\) | \(320\) |
| \(12.4.2011 \to 1.12.2011\) | \(233\) |
| \(10.8.2011 \to 1.12.2011\) | \(113\) |
| \(3.10.2011 \to 1.12.2011\) | \(59\) |
| \(15.1.2011 \to 12.4.2011\) | \(87\) |
| \(12.4.2011 \to 10.8.2011\) | \(120\) |
| \(12.4.2011 \to 3.10.2011\) | \(174\) |
a) Tüccar Kuralı. Odak noktası \(1.12.2011\)’dir; her şey oraya taşınır.
\[1000\left(1 + 0{,}16 \cdot \tfrac{320}{360}\right) = X + 400\left(1 + 0{,}16 \cdot \tfrac{59}{360}\right) + 20\left(1 + 0{,}16 \cdot \tfrac{113}{360}\right) + 350\left(1 + 0{,}16 \cdot \tfrac{233}{360}\right)\]
Terimleri tek tek hesaplayalım:
\[1000 \cdot 1{,}142222 = 1142{,}22, \qquad 400 \cdot 1{,}026222 = 410{,}49,\] \[20 \cdot 1{,}050222 = 21{,}00, \qquad 350 \cdot 1{,}103556 = 386{,}24.\]
Böylece
\[1142{,}22 = X + 410{,}49 + 21{,}00 + 386{,}24 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{X = 324{,}49 \ \text{TL}}\]
b) Amerikan Kuralı. Borcu taksitten taksite taşıyalım.
Birinci taksit. \(1000\) TL için \(87\) günlük faiz:
\[1000 \cdot 0{,}16 \cdot \frac{87}{360} = 38{,}67 \ \text{TL}, \qquad 38{,}67 < 350\]
Taksit faizden büyük olduğu için ödeme yapılır. \(12.4.2011\)’deki toplam borç \(1000 + 38{,}67 = 1038{,}67\) TL; \(350\) TL ödenince kalan borç
\[1038{,}67 - 350 = 688{,}67 \ \text{TL}.\]
İkinci taksit. \(688{,}67\) TL için \(120\) günlük faiz:
\[688{,}67 \cdot 0{,}16 \cdot \frac{120}{360} = 36{,}73 \ \text{TL}, \qquad 36{,}73 \nless 20\]
Taksit (\(20\) TL) faizden küçük olduğu için bu taksit ödenmez, sonraki taksite katılır.
Üçüncü taksit. Borç \(12.4.2011\)’den \(3.10.2011\)’e, yani \(174\) gün taşınır:
\[688{,}67 \cdot 0{,}16 \cdot \frac{174}{360} = 53{,}26 \ \text{TL}, \qquad 53{,}26 < 420\]
\(3.10.2011\)’deki toplam borç \(688{,}67 + 53{,}26 = 741{,}93\) TL. Bu tarihte \(400 + 20 = 420\) TL ödenince geriye kalan borç
\[741{,}93 - 420 = 321{,}93 \ \text{TL}.\]
Kapanış. \(1.12.2011\)’e \(59\) gün kalmıştır:
\[X = 321{,}93\left(1 + 0{,}16 \cdot \tfrac{59}{360}\right) = \boxed{330{,}37 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
Tüccar Kuralı \(324{,}49\) TL, Amerikan Kuralı \(330{,}37\) TL verdi. Fark, \(20\) TL’lik taksidin işlem gördüğü tarihten kaynaklanır: Tüccar Kuralı onu \(10.8.2011\)’de ödenmiş sayıp \(113\) gün faizlendirir, Amerikan Kuralı ise \(3.10.2011\)’e erteler. Ayrıca Amerikan Kuralı’nda banka defterindeki tutarlar kuruşa yuvarlanarak taşındığı için, ara adımlarda yuvarlanmış değerlerle devam edilmiştir.
1.9 Alıştırmalar
Alıştırma 1.1 (Altı Yıllık Basit Faiz) \(2019\) yılında \(60000\) TL’yi %\(18\)’den bankaya yatıran bir kişi, parasını \(6\) yıl sonra çekerse bu yatırımdan elde edeceği faiz miktarını ve parasının birikmiş değerini bulunuz.
Çözüm
\(P = 60000\) TL, \(r = 0{,}18\), \(t = 6\) yıl. Süre zaten yıl cinsinden verilmiş:
\[I = Prt = 60000 \cdot 0{,}18 \cdot 6 = 64800 \ \text{TL},\]
\[S = P + I = 60000 + 64800 = \boxed{124800 \ \text{TL}}\]
(Aynı sonuç \(S = P(1+rt)\) formülünden, \(60000(1 + 1{,}08) = 60000 \cdot 2{,}08\) olarak da bulunur.)
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.2 (Peşin mi, Vadeli mi?) Cep telefonu almak isteyen bir alıcıya, satıcı ya peşin \(3000\) TL ya da \(6\) ay sonra \(3200\) TL ödeme seçeneği sunmuş olsun. Paranın değerinin %\(6\) olduğu biliniyorsa, alıcı hangi seçeneği tercih etmelidir, neden?
Çözüm
İki seçeneği karşılaştırmak için ikisini de aynı tarihe taşımalıyız. Odak noktası olarak \(6\). ayı seçelim.
Alıcı bugün \(3000\) TL ödemek yerine o parayı %\(6\)’dan değerlendirseydi \(6\) ay sonra
\[3000\left(1 + 0{,}06 \cdot \tfrac{6}{12}\right) = 3000 \cdot 1{,}03 = 3090 \ \text{TL}\]
olurdu. Vadeli seçenekte ise aynı tarihte \(3200\) TL ödeyecektir. Aradaki fark
\[3200 - 3090 = 110 \ \text{TL}.\]
Yani peşin almalıdır; \(6\) ay sonra alırsa \(110\) TL fazladan ödemiş olur.
Odak bugün seçilseydi \(3200\) TL’nin şimdiki değeri \(\frac{3200}{1{,}03} = 3106{,}80\) TL bulunur, yine peşin ödeme ucuz çıkardı (\(3106{,}80 > 3000\)). Sayısal fark (\(106{,}80\)’e karşı \(110\)) odak noktasının değişmesinden kaynaklanır — Önerme 1.2’ın söylediği tam da budur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.3 (Paranın İki Katına Çıkması) Bankaya %\(12{,}5\)’ten yatırdığımız bir miktar paranın iki katına çıkması için kaç yıl gerekir?
Çözüm
Anaparaya \(P\) diyelim; istenen \(S = 2P\) olmasıdır:
\[2P = P(1 + 0{,}125\,t) \quad \Longrightarrow \quad 2 = 1 + 0{,}125\,t \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{1}{0{,}125} = \boxed{8 \ \text{yıl}}\]
Anaparanın kendisinin bilinmemesi sonucu etkilemez: basit faizde ikiye katlanma süresi yalnızca orana bağlıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.4 (Bir Yatırım Teklifinin Değerlendirilmesi) Paranın değerinin %\(10\) olduğu bir zaman diliminde, size \(6\) ay sonra \(25000\) TL ve \(1\) yıl sonra \(20000\) TL ödeme yapacak bir yatırımı şimdi \(40000\) TL’ye satın alır mısınız? Neden?
Çözüm
Odak noktası bugün alınır ve iki ödemenin şimdiki değerleri toplanır:
\[P = \frac{25000}{1 + 0{,}10 \cdot \frac{6}{12}} + \frac{20000}{1 + 0{,}10 \cdot 1} = \frac{25000}{1{,}05} + \frac{20000}{1{,}10}\]
\[P = 23809{,}52 + 18181{,}82 = 41991{,}34 \ \text{TL}.\]
Yatırımın bugünkü değeri \(41991{,}34\) TL, istenen fiyat ise \(40000\) TL’dir:
\[41991{,}34 - 40000 = \boxed{1991{,}34 \ \text{TL}}\]
Evet, satın alınmalıdır; değerinin \(1991{,}34\) TL altında almış oluruz.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.5 (Erken Ödeme) Ahmet Bey, Osman Bey’den %\(15\) oranından \(9\) ay sonra \(2000\) TL ödeyeceği bir miktar borç alsın. Eğer \(3\) ay sonra bu borcunu şimdiki değer üzerinden %\(14\) oranı ile geri öderse Ahmet Bey bu erken ödeme işleminden kaç para kâr eder?
Bu sorunun tek bir cevabı yoktur
Bu soru, birden çok okumaya açık olduğu için tek bir sayıya götürmez. Alınan borç
\[P = 2000\left(1 + 0{,}15 \cdot \tfrac{9}{12}\right)^{-1} = \frac{2000}{1{,}1125} = 1797{,}75 \ \text{TL}\]
olarak bellidir. Belirsizlik, “\(3\) ay sonra şimdiki değer üzerinden %\(14\) ile ödemek” ifadesindedir:
- Birinci okuma: \(3\). ayda, kalan \(6\) aylık süre için %\(14\)’ten iskonto edilmiş tutar ödenir: \(2000\left(1 + 0{,}14 \cdot \tfrac{6}{12}\right)^{-1} = 1869{,}16\) TL.
- İkinci okuma: Alınan \(1797{,}75\) TL, \(3\) ay için %\(14\) ile faizlendirilerek ödenir: \(1797{,}75\left(1 + 0{,}14 \cdot \tfrac{3}{12}\right) = 1860{,}67\) TL.
Üstelik “kâr” da tanımsızdır: kârın hangi tarihe göre ölçüleceği (ödeme tarihi mi, vade tarihi mi) söylenmemiştir. Farklı seçimler farklı sayılar verdiğinden sorunun tek bir doğru cevabı yoktur. Bir problemde taşınacak tutarın, taşınacağı tarihin ve kullanılacak oranın üçünün birden belirtilmiş olması gerektiğini gösteren iyi bir örnektir.
\(\boxtimes\)
Alıştırma 1.6 (İki Kuralın Karşılaştırılması) \(A\) şirketinin \(15\) Ocak \(2019\) tarihinde \(B\) şirketine \(3000\) TL borcu var olsun. \(A\) şirketi \(15\) Nisan \(2019\)’da \(1000\) TL ve \(15\) Ekim \(2019\)’da \(1500\) TL borç ödemesi yapmış ise \(15\) Ocak \(2020\) tarihinde \(B\) şirketine ne kadarlık bir ödeme yaparsa borcunu kapatmış olur? Sonucu a) Tüccar Kuralı, b) Amerikan Kuralı kullanarak ve geçerli faiz oranını %\(16\) alarak hesaplayınız.
Çözüm
Gerekli gün sayıları (\(2019\) artık yıl değildir):
| Aralık | Gün |
|---|---|
| \(15.1.2019 \to 15.1.2020\) | \(365\) |
| \(15.4.2019 \to 15.1.2020\) | \(275\) |
| \(15.10.2019 \to 15.1.2020\) | \(92\) |
| \(15.1.2019 \to 15.4.2019\) | \(90\) |
| \(15.4.2019 \to 15.10.2019\) | \(183\) |
a) Tüccar Kuralı. Odak noktası \(15.1.2020\):
\[3000\left(1 + 0{,}16 \cdot \tfrac{365}{360}\right) = X + 1000\left(1 + 0{,}16 \cdot \tfrac{275}{360}\right) + 1500\left(1 + 0{,}16 \cdot \tfrac{92}{360}\right)\]
\[3486{,}67 = X + 1122{,}22 + 1561{,}33\]
\[\Longrightarrow \quad \boxed{X = 803{,}12 \ \text{TL}}\]
b) Amerikan Kuralı.
Birinci taksit. \(15.1 \to 15.4\) arası \(90\) gün:
\[3000 \cdot 0{,}16 \cdot \frac{90}{360} = 120{,}00 \ \text{TL}, \qquad 120{,}00 < 1000\]
Taksit faizden büyük, ödeme yapılır. Kalan borç:
\[3000 + 120{,}00 - 1000 = 2120{,}00 \ \text{TL}.\]
İkinci taksit. \(15.4 \to 15.10\) arası \(183\) gün:
\[2120{,}00 \cdot 0{,}16 \cdot \frac{183}{360} = 172{,}43 \ \text{TL}, \qquad 172{,}43 < 1500\]
Kalan borç:
\[2120{,}00 + 172{,}43 - 1500 = 792{,}43 \ \text{TL}.\]
Kapanış. \(15.10 \to 15.1.2020\) arası \(92\) gün:
\[X = 792{,}43\left(1 + 0{,}16 \cdot \tfrac{92}{360}\right) = 792{,}43 \cdot 1{,}040889 = \boxed{824{,}83 \ \text{TL}}\]
Amerikan Kuralı burada da daha yüksek bir kapanış tutarı verdi; çünkü ödemeler borcu kademe kademe düşürürken ana borcun tamamı ilk günden itibaren faiz işletmeye devam etmemiş, buna karşılık taksitler de vade tarihine kadar faiz kazanmamıştır.
\(\blacksquare\)