5 Anüitede Dönem, Faiz Oranı ve Özel Türler
Anüite formüllerinde beş harf vardır: \(R\), \(n\), \(i\), \(S\) ve \(A\). Önceki bölümde hep \(S\) ya da \(A\) arandı; şimdi sıra diğer ikisinde. Dönem sayısı logaritma ile çekilir ama tam sayı çıkmayabilir; faiz oranı ise cebirsel olarak hiç çekilemez ve yaklaşık yöntem gerektirir.
Bölümün ikinci yarısında anüite ailesinin üç özel üyesini tamamlıyoruz: ödeme aralığı ile faiz aralığının uyuşmadığı genel anüiteler, hiç bitmeyen daimi gelirler ve ödemelerin sabit kalmayıp arttığı değişik ödemeli anüiteler. Üçünde de yeni bir teori kurmuyoruz; elimizdeki iki formülü uygun biçimde hazırlayıp kullanıyoruz.
5.1 Bilinmeyen Dönem Sayısı
Anüite formüllerinde \(n\) bilinmeyen olduğunda, o da üstte durduğu için logaritma ile çekilir. Ancak burada bileşik faizdekinden farklı bir sorun ortaya çıkar: bulunan \(n\) genellikle tam sayı değildir ve kesirli sayıda taksit ödenemez. Örneğin \(n = 21{,}002\) çıkmışsa “21 tam ödeme yapılır, sonra ne olur?” sorusunu cevaplamamız gerekir.
\[S = R \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i} \qquad \text{ya da} \qquad A = R \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\]
eşitliklerinden \(n\) logaritma yardımıyla bulunur. Bulunan bu \(n\) dönem sayısı tam sayı olmayabilir; bu durumda tam ödemeler ve son ödeme kavramları yardımıyla ödeme planı oluşturulur.
Tanım 5.1 (Tam Ödemeler ve Son Ödeme) Kesirli çıkan \(n\) için ödeme planı iki yöntemden biriyle kurulur:
- Son ödemeye bir fark eklemek.
- Son tam ödemeden \(1\) dönem sonra, bir tam ödemenin miktarından küçük olan bir ödeme daha yapmak. Bazı durumlarda bu son küçük ödemeyi yapmaya gerek kalmayabilir.
Aksi belirtilmedikçe 2. yöntem kullanılacaktır.
Kesirli \(n\), “hedefe tam bir ödemeden az bir şey kala varılıyor” demektir. Bu küçük açığı ya son taksidi biraz büyüterek kapatırsınız (1. yöntem) ya da bir dönem sonra küçük bir ödeme daha yaparak (2. yöntem). İkinci yöntemde ödeme bir dönem geç yapıldığından, arada geçen dönemde tam ödemeler de faiz kazanmaya devam eder; bu yüzden bazen açık kendiliğinden kapanır ve ek ödemeye gerek kalmaz.
Örnek 5.1 (Fon Oluşturmada Son Ödeme) Yarı-yıllık \(200\) TL’lik ödemeler ile \(8000\) TL’lik bir fon oluşturulmak istenmektedir; paranın değeri \(j_2 = \%12\)’dir. Tam ödemelerin sayısını ve son ödemeyi iki yöntem ile de bulunuz.
Çözüm
\(S = 8000\), \(R = 200\), \(i = \dfrac{0{,}12}{2} = 0{,}06\).
\[200 \cdot \frac{(1{,}06)^n - 1}{0{,}06} = 8000 \quad \Longrightarrow \quad (1{,}06)^n - 1 = \frac{8000 \cdot 0{,}06}{200} = 2{,}4\]
\[(1{,}06)^n = 3{,}4 \quad \Longrightarrow \quad n = \frac{\log 3{,}4}{\log 1{,}06} = 21{,}00220291\]
Yani \(21\) tam ödeme yeterli değildir, ama \(22\) ödeme de fazladır. İki yöntemi sırayla uygulayalım.
1. yöntem: farkı son ödemeye eklemek. Bütün ödemeler \(21\). döneme taşınır; eksik kalan tutar aynı tarihte son ödemenin üzerine eklenir.
\(21\) ödemenin \(21\). dönemdeki değeri:
\[200 \cdot s_{\overline{21}|0{,}06} = 200 \cdot \frac{(1{,}06)^{21} - 1}{0{,}06} = 200 \cdot 39{,}992727 = 7998{,}55 \ \text{TL}.\]
Eksik kalan tutar aynı tarihte eklenir:
\[7998{,}55 + X = 8000 \quad \Longrightarrow \quad X = 1{,}45 \ \text{TL}.\]
\[\boxed{21 \ \text{tam ödeme; } 21. \text{ ödeme } 200 + 1{,}45 = 201{,}45 \ \text{TL}}\]
2. yöntem: bir dönem sonra küçük bir ödeme. Bu kez odak noktası \(22\). dönemdir. Ödemeler önce kendi tarihlerinde, yani \(21\). dönemde toplanır; bu toplam bir dönem daha faiz görerek \(22\). döneme taşınır ve orada \(Y\) ödemesiyle tamamlanır.
\[200 \cdot s_{\overline{21}|0{,}06}(1{,}06) + Y = 8000\]
\[7998{,}55 \cdot 1{,}06 + Y = 8000 \quad \Longrightarrow \quad 8478{,}46 + Y = 8000 \quad \Longrightarrow \quad Y = -478{,}46 \ \text{TL}.\]
Buradaki eksi işareti, \(22\). dönemin sonunda ödeme yapılmasının gerekmediği anlamındadır; \(21\) ödemenin bir dönem daha faiz kazanması hedefi zaten aşmıştır.
\[\boxed{21 \ \text{tam ödeme; } 22. \text{ dönemde ödeme yapmaya gerek yoktur}}\]
\(\blacksquare\)
Örnek 5.2 (Borç Ödemesinde Son Taksit) \(4000\) TL’lik borç \(j_2 = \%12\)’den yarı-yıllık \(400\) TL’lik ödemeler ile geri ödenecektir. Tam ödemelerin sayısını ve son ödemeyi bulunuz.
Çözüm
\(A = 4000\), \(R = 400\), \(i = \dfrac{0{,}12}{2} = 0{,}06\).
\[400 \cdot \frac{1 - (1{,}06)^{-n}}{0{,}06} = 4000 \quad \Longrightarrow \quad 1 - (1{,}06)^{-n} = \frac{4000 \cdot 0{,}06}{400} = 0{,}6\]
\[(1{,}06)^{-n} = 0{,}4 \quad \Longrightarrow \quad -n \log 1{,}06 = \log 0{,}4 \quad \Longrightarrow \quad n = -\frac{\log 0{,}4}{\log 1{,}06} = 15{,}72520854\]
Demek ki \(15\) tam ödeme yapılacak, geri kalan küçük tutar \(16\). dönemde ödenecektir.
Bugünkü değerler eşitlenir: borç, \(15\) tam ödemenin bugünkü değeri ile \(16\). dönemdeki \(X\) ödemesinin bugünkü değerinin toplamına eşittir.
\[4000 = 400 \cdot a_{\overline{15}|0{,}06} + X(1{,}06)^{-16}\]
\[400 \cdot \frac{1 - (1{,}06)^{-15}}{0{,}06} = 400 \cdot 9{,}712249 = 3884{,}90 \ \text{TL}\]
\[4000 - 3884{,}90 = 115{,}10 = X(1{,}06)^{-16}\]
\[X = 115{,}10 \cdot (1{,}06)^{16} = 115{,}10 \cdot 2{,}540352 = 292{,}39 \ \text{TL}.\]
\[\boxed{15 \ \text{tam ödeme ve } 16. \text{ dönemde } 292{,}39 \ \text{TL'lik son küçük ödeme}}\]
Son ödemenin bir tam taksitten (\(400\) TL) küçük çıkması beklenen sonuçtur; büyük çıksaydı hesapta bir hata olduğunu anlardık.
\(\blacksquare\)
Toplam değer (\(S\)) verilmişse ödemeleri son tarihe, borç (\(A\)) verilmişse bugüne taşımak en kısa yoldur. İki yol da doğrudur ama yanlış tarafı seçmek gereksiz bir taşıma çarpanı daha getirir.
5.2 Anüitenin Faiz Oranının Bulunması
Anüitede \(R\), \(n\) ve \(S\) (ya da \(A\)) biliniyor, faiz oranı aranıyorsa iş zorlaşır. Çünkü
\[s_{\overline{n}|i} = \frac{(1+i)^n - 1}{i} = k\]
denklemi \(i\)’ye göre \(n\). dereceden bir denklemdir; \(n \ge 5\) için genel bir çözüm formülü yoktur. Bu yüzden oran, yaklaşık yöntemlerle bulunur. Bu derste kullanacağımız yöntem doğrusal yaklaşımdır.
Fikir basittir: \(s_{\overline{n}|i}\) çarpanı \(i\)’ye göre eğri bir fonksiyondur, ama çok dar bir aralıkta neredeyse düz görünür. Aranan değeri içine alan iki oran seçilir, o iki noktadaki çarpanlar hesaplanır ve aradaki eğri bir doğru kabul edilerek aranan oran okunur.
Aramaya nereden başlanacağını belirlemek için de yaklaşık bir başlangıç değeri kullanılır.
Tanım 5.2 (Başlangıç Değeri)
- Eğer \(s_{\overline{n}|i} = k\) denkleminden \(i\) bulunmak isteniyorsa başlangıç değeri olarak
\[i_0 = \frac{\left(\frac{k}{n}\right)^{2} - 1}{k}\]
- Eğer \(a_{\overline{n}|i} = k\) denkleminden \(i\) bulunmak isteniyorsa başlangıç değeri olarak
\[i_0 = \frac{1 - \left(\frac{k}{n}\right)^{2}}{k}\]
alınır.
Bu derste bu tür sorularda aranan \(j_m\) oranını bulmak için kullanılacak doğrusal yaklaşım, aralarındaki fark %\(1\) olan ilgili iki oran arasına sıkıştırılarak yapılacaktır. Farklı yaklaşımlar farklı sonuçlar verebilir.
İnterpolasyon formülü, iki noktadan geçen doğrunun denkleminden gelir. \((x_1, y_1)\) ve \((x_2, y_2)\) bilinen iki nokta, \(y\) aranan değere karşılık gelen çarpan olmak üzere
\[\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}\]
orantısı kurulur ve \(x\) çekilir.
\(i_0\) yalnızca “hangi iki tam yüzde arasına bakayım?” sorusunu cevaplar. Seçtiğiniz aralıkta hesapladığınız iki çarpan, aranan \(k\) değerini arasına almıyorsa (ikisi de \(k\)’den büyük ya da ikisi de küçükse) aralık yanlıştır; bir alt ya da bir üst yüzdeye kayıp yeniden bakmak gerekir.
Örnek 5.3 (Anüitenin Faiz Oranı) Yarı-yıllık \(500\) TL’lik ödemeler ile \(5\) yılda \(6000\) TL toplanmak isteniyor. Bu durumda geçerli olan \(j_2\) oranı nedir?
Çözüm
\(S = 6000\), \(R = 500\), \(n = 5 \cdot 2 = 10\) dönem.
Adım 1: Çarpanı yalnız bırak.
\[6000 = 500 \cdot s_{\overline{10}|i} \quad \Longrightarrow \quad s_{\overline{10}|i} = \underbrace{12}_{k}\]
Adım 2: Başlangıç değerini hesapla. \(s\) tipi denklem olduğundan birinci formül kullanılır:
\[i_0 = \frac{\left(\frac{k}{n}\right)^2 - 1}{k} = \frac{\left(\frac{12}{10}\right)^2 - 1}{12} = \frac{1{,}44 - 1}{12} = 0{,}03666667\]
\[\Longrightarrow \quad j_2 = 2 \cdot i_0 = 0{,}0733 = \%7{,}33\]
Demek ki aranan oran %\(7\) ile %\(8\) arasındadır.
Adım 3: Aralığın uçlarındaki çarpanları hesapla.
\(j_2 = \%7\) için \(i = \dfrac{0{,}07}{2} = 0{,}035\):
\[s_{\overline{10}|0{,}035} = \frac{(1{,}035)^{10} - 1}{0{,}035} = 11{,}7314\]
\(j_2 = \%8\) için \(i = \dfrac{0{,}08}{2} = 0{,}04\):
\[s_{\overline{10}|0{,}04} = \frac{(1{,}04)^{10} - 1}{0{,}04} = 12{,}0061\]
Aranan \(12\) değeri bu ikisinin arasındadır (\(11{,}7314 < 12 < 12{,}0061\)), yani aralık doğrudur.
Adım 4: İnterpolasyon.
| \(j_2\) | \(s_{\overline{n}|i}\) |
|---|---|
| \(0{,}07\) | \(11{,}7314\) |
| \(x\) | \(12\) |
| \(0{,}08\) | \(12{,}0061\) |
\[\frac{x - 0{,}07}{0{,}08 - 0{,}07} = \frac{12 - 11{,}7314}{12{,}0061 - 11{,}7314} \quad \Longrightarrow \quad \frac{x - 0{,}07}{0{,}01} = \frac{0{,}2686}{0{,}2747}\]
\[x - 0{,}07 = 0{,}01 \cdot 0{,}977794 = 0{,}009778 \quad \Longrightarrow \quad x = 0{,}0798\]
\[\boxed{j_2 \approx \%7{,}98}\]
\(\blacksquare\)
Bulduğunuz oranı formüle geri koyup çarpanı hesaplayın: \(i = \frac{0{,}0798}{2} = 0{,}0399\) için \(s_{\overline{10}|0{,}0399} = 12{,}0005\) çıkar; hedef \(12\) olduğuna göre yaklaşım çok iyidir. Kalan küçük sapma, eğriyi doğru saymanın bedelidir ve aralık ne kadar dar tutulursa o kadar küçülür.
5.3 Genel Anüiteler
Tanım 5.3 (Genel Anüite) Ödeme aralığı ile faiz aralığının çakışmadığı anüitelere genel anüite denir. Genel anüiteler basit anüitelere dönüştürülerek hesaplanırlar.
Dönüştürme yolu şudur: verilen faiz oranına denk olan ve ödeme aralığıyla çakışan yeni bir oran bulunur (Önerme 3.3). Artık problem basit bir anüitedir.
Örnek 5.4 (Aylık Ödeme, Üç Aylık Faiz) \(5\) yıl boyunca her ayın sonunda \(300\) TL’lik ödemelerin \(j_4 = 0{,}06\) oranından toplam değeri ne olur?
Çözüm
Ödeme aralığı \(1\) ay, ancak faiz periyodu \(3\) aydır. Dolayısıyla bu bir genel anüitedir. Bu anüiteyi basit anüiteye çevirmek için verilen \(j_4\) oranına denk olan \(j_{12}\) oranı bulunup işlem yapılır.
Bileşik faizdeki denk oranların bulunmasında kullandığımız yöntem yardımıyla, \(i = \dfrac{j_{12}}{12}\) olmak üzere bir yıllık büyüme çarpanları eşitlenir:
\[(1+i)^{12} = \left(1 + \frac{0{,}06}{4}\right)^{4} = (1{,}015)^4\]
\[1 + i = (1{,}015)^{\frac{4}{12}} = (1{,}015)^{\frac{1}{3}} \quad \Longrightarrow \quad i = 0{,}004975209\]
Artık ödeme aralığı ile faiz aralığı çakışıyor; \(n = 5 \cdot 12 = 60\) ile
\[S = 300 \cdot \frac{(1{,}004975209)^{60} - 1}{0{,}004975209} = 300 \cdot 69{,}716709 = \boxed{20915{,}01 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
5.4 Daimi Gelir
Tanım 5.4 (Daimi Gelir) Belli bir tarihte başlayan ve sonsuza kadar devam eden ödemelerin oluşturduğu anüitelere daimi gelir denir.
Bazı yatırımlar anaparayı muhafaza edip sadece faizini kullanırlar. Örneğin bir hayırseverin sonsuza dek her yıl \(5000\) TL’lik bir burs verebilmek için her yıl \(5000\) TL faiz getirecek bir bağış bırakması; ya da vakıf gibi bağış fonları ile yaşamlarını sürdüren kurumların fonları; ya da geri çağrılabilir olmayan hisse senetleri üzerindeki kâr payları daimi gelir örnekleridir. Pratikte bu ödemeler sonsuza kadar sürmez ancak matematiksel olarak sonsuza dek sürdüğü kabul edilebilir.
Daimi gelirin toplam değerini bulmak mümkün değildir — ödemeler bitmediği için taşınacak bir “son tarih” yoktur ve toplam sonsuza gider. Ancak şimdiki değerini tespit edebiliriz; çünkü uzaktaki ödemelerin bugünkü değeri hızla küçülür.
Önerme 5.1 (Daimi Gelirin Şimdiki Değeri) Dönem sonlarında sonsuza kadar ödenen \(R\) tutarlarının şimdiki değeri
\[A_\infty = \frac{R}{i}\]
olur.
İspat
Bütün ödemeleri bugüne taşıyıp toplayalım:
\[A_\infty = R(1+i)^{-1} + R(1+i)^{-2} + R(1+i)^{-3} + \cdots\]
Ortak çarpan \(R(1+i)^{-1}\) parantezine alınırsa
\[A_\infty = R(1+i)^{-1}\left[1 + (1+i)^{-1} + (1+i)^{-2} + \cdots\right]\]
Köşeli parantez içi, ortak çarpanı \((1+i)^{-1}\) olan sonsuz geometrik seridir. \(i > 0\) olduğundan \(0 < (1+i)^{-1} < 1\)’dir ve seri yakınsar; toplamı \(\dfrac{1}{1 - (1+i)^{-1}}\)’dir. Böylece
\[A_\infty = R \cdot \frac{1}{1+i} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{1+i}} = R \cdot \frac{1}{1+i} \cdot \frac{1+i}{i} = \frac{R}{i}.\]
\(\blacksquare\)
\(A_\infty = \frac{R}{i}\) eşitliğini \(R = A_\infty \cdot i\) diye ters çevirirsek anlamı ortaya çıkar: elinizde \(A_\infty\) kadar anapara varsa, her dönem yalnızca onun faizi olan \(A_\infty \cdot i\) kadarını harcarsanız anapara hiç azalmaz ve ödeme sonsuza dek sürer.
Örnek 5.5 (Aylık Daimi Gelirin Şimdiki Değeri) Her ay \(50\) TL ödenen daimi gelirin şimdiki değerini a) \(j_{12} = \%9\) ve b) \(j_{12} = \%12\) oranlarına göre hesaplayınız.
Çözüm
a) \(i = \dfrac{0{,}09}{12} = 0{,}0075\):
\[A_\infty = \frac{R}{i} = \frac{50}{0{,}0075} = \boxed{6666{,}67 \ \text{TL}}\]
b) \(i = \dfrac{0{,}12}{12} = 0{,}01\):
\[A_\infty = \frac{R}{i} = \frac{50}{0{,}01} = \boxed{5000{,}00 \ \text{TL}}\]
Faiz oranı yükseldiğinde aynı geliri sağlamak için gereken anapara azalır; çünkü her lira daha çok faiz üretir.
\(\blacksquare\)
5.5 Değişik Ödemeli Anüiteler
Tanım 5.5 (Değişik Ödemeli Anüite) Anüite ödemeleri üzerinde belli bir artma ya da azalma koşulu olan anüitelere değişik ödemeli anüite denir. Örneğin bir sonraki ödemesi önceki ödemenin %\(10\) fazlası olan ya da \(2\) katı olan anüiteler böyledir.
En sık karşılaşılan biçim, ödemelerin \(R\), \(2R\), \(3R\), \(\dots\) diye sabit bir miktarda arttığı aritmetik artan anüitedir.
Örnek 5.6 (Artan Ödemeli Anüitenin Kapalı Formülü) Dönem sonunda \(R, 2R, 3R, \dots, nR\) ödemelerinin yapıldığı ve dönem başına faiz oranının \(i\) olduğu anüitenin iskontolu ve toplam değerini bulunuz.
Çözüm
Bütün ödemeleri bugüne taşıyıp toplayalım:
\[A = R(1+i)^{-1} + 2R(1+i)^{-2} + \cdots + (n-1)R(1+i)^{-(n-1)} + nR(1+i)^{-n} \tag{1}\]
Bu toplam ne geometrik ne aritmetiktir; doğrudan bir formülü yoktur. Kullanılan hile şudur: \((1)\) eşitliğinin iki tarafını \((1+i)\) ile çarpalım. Her terimin üssü bir azalır:
\[(1+i)A = R + 2R(1+i)^{-1} + \cdots + (n-1)R(1+i)^{-(n-2)} + nR(1+i)^{-(n-1)} \tag{2}\]
\((2)\) eşitliğinden \((1)\) eşitliği taraf tarafa çıkarılırsa, aynı üsse sahip terimlerin katsayıları \(k - (k-1) = 1\) olur ve elimizde sabit ödemeli bir anüite kalır:
\[iA = R + R(1+i)^{-1} + R(1+i)^{-2} + \cdots + R(1+i)^{-(n-1)} - nR(1+i)^{-n}\]
Baştaki \(n\) terim, ortak çarpanı \((1+i)^{-1}\) olan geometrik bir toplamdır:
\[iA = R \cdot \frac{(1+i)^{-n} - 1}{(1+i)^{-1} - 1} - nR(1+i)^{-n}\]
Payı ve paydayı \(-1\) ile çarpıp paydayı düzenleyelim: \(1 - \frac{1}{1+i} = \frac{i}{1+i}\) olduğundan
\[iA = R \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{\frac{i}{1+i}} - nR(1+i)^{-n} = R \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}(1+i) - nR(1+i)^{-n}\]
\[iA = R\left[(1+i)\,a_{\overline{n}|i} - n(1+i)^{-n}\right]\]
Buradan aranan değerler bulunur:
\[\boxed{A = \frac{R}{i}\left[(1+i)\,a_{\overline{n}|i} - n(1+i)^{-n}\right]} \qquad \text{ve} \qquad \boxed{S = A(1+i)^{n}}\]
\(\blacksquare\)
5.6 Alıştırmalar
Alıştırma 5.1 (Tam Ödemeler ve Son Ödeme) Bir kişi \(5000\) TL biriktirmek için her yıl sonu bankaya \(1000\) TL yatırsın. \(j_1 = \%5\) oranından kaç tam ödeme yapmalı ve son ödeme ne olmalıdır?
Çözüm
\(S = 5000\), \(R = 1000\), \(i = 0{,}05\).
\[1000 \cdot \frac{(1{,}05)^n - 1}{0{,}05} = 5000 \quad \Longrightarrow \quad (1{,}05)^n = 1 + \frac{5000 \cdot 0{,}05}{1000} = 1{,}25\]
\[n = \frac{\ln 1{,}25}{\ln 1{,}05} = \frac{0{,}223144}{0{,}048790} = 4{,}573536\]
Demek ki \(4\) tam ödeme yapılacak, kalan tutar \(5\). dönemde ödenecektir (2. yöntem). \(4\) ödemenin \(5\). dönemdeki değeri:
\[1000 \cdot s_{\overline{4}|0{,}05}(1{,}05) = 1000 \cdot 4{,}310125 \cdot 1{,}05 = 4525{,}63 \ \text{TL}\]
\[X = 5000 - 4525{,}63 = \boxed{474{,}37 \ \text{TL}}\]
\[\boxed{4 \ \text{tam ödeme ve } 5. \text{ dönemde } 474{,}37 \ \text{TL'lik son ödeme}}\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 5.2 (Çekilişte Kazanılan Paranın Taksitlendirilmesi) Bir çekilişte \(10000\) TL kazanan biri onun yerine \(12\) aylık \(1000\) TL almayı kabul etmiş ise talihlinin bu tercih ile elde ettiği faiz oranı \(j_{12}\) nedir? Talihliye ilk ödeme \(1\) ay sonra yapılacaktır.
Çözüm
Bugün vazgeçilen \(10000\) TL, \(12\) aylık ödemelerin bugünkü değerine eşittir:
\[10000 = 1000 \cdot a_{\overline{12}|i} \quad \Longrightarrow \quad a_{\overline{12}|i} = \underbrace{10}_{k}\]
Başlangıç değeri. \(a\) tipi denklem olduğundan ikinci formül kullanılır (\(n = 12\)):
\[i_0 = \frac{1 - \left(\frac{k}{n}\right)^2}{k} = \frac{1 - \left(\frac{10}{12}\right)^2}{10} = \frac{1 - 0{,}694444}{10} = 0{,}030556\]
\[j_{12} = 12 \cdot i_0 = 0{,}366667 = \%36{,}67\]
Aralığın kontrolü. Başlangıç değeri %\(36\) ile %\(37\) arasını işaret ediyor; oraya bakalım:
\[a_{\overline{12}|\frac{0{,}36}{12}} = a_{\overline{12}|0{,}03} = 9{,}9540, \qquad a_{\overline{12}|\frac{0{,}37}{12}} = 9{,}9041\]
İkisi de aranan \(10\) değerinden küçüktür; yani \(10\) bu aralıkta değildir. \(a_{\overline{n}|i}\) oran büyüdükçe küçüldüğüne göre daha küçük oranlara bakmalıyız. Bir alt aralığı deneyelim:
\[a_{\overline{12}|\frac{0{,}35}{12}} = a_{\overline{12}|0{,}0291667} = 10{,}0037, \qquad a_{\overline{12}|0{,}03} = 9{,}9540\]
Bu kez \(9{,}9540 < 10 < 10{,}0037\) olduğundan aralık doğrudur.
İnterpolasyon.
| \(j_{12}\) | \(a_{\overline{n}|i}\) |
|---|---|
| \(0{,}35\) | \(10{,}0037\) |
| \(x\) | \(10\) |
| \(0{,}36\) | \(9{,}9540\) |
\[\frac{x - 0{,}35}{0{,}36 - 0{,}35} = \frac{10 - 10{,}0037}{9{,}9540 - 10{,}0037} = \frac{-0{,}0037}{-0{,}0497} = 0{,}074447\]
\[x = 0{,}35 + 0{,}01 \cdot 0{,}074447 = 0{,}350744 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{j_{12} \approx \%35{,}07}\]
\(i_0\) formülü yalnızca kaba bir tahmindir ve oranın büyük olduğu durumlarda sapması artar. Bu yüzden aralığı doğrulama adımı atlanmamalıdır: hesapladığınız iki çarpan aranan değeri arasına almıyorsa aralık kaydırılır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 5.3 (Her Yıl %10 Artan Ödemeler) İlk ödemesi \(1000\) TL olan ve bir sonraki yıllarda her yıl %\(10\) artış ile \(4\) yıl ödenen bir anüitenin \(j_1 = 0{,}12\) oranından toplam değerini bulunuz.
Çözüm
Ödemeler her yıl \(1{,}10\) katına çıkıyor:
\[R_1 = 1000, \quad R_2 = 1100, \quad R_3 = 1210, \quad R_4 = 1331.\]
Her ödemeyi \(4\). yıla taşıyıp toplayalım (\(i = 0{,}12\)):
\[S = 1000(1{,}12)^3 + 1100(1{,}12)^2 + 1210(1{,}12)^1 + 1331\]
\[S = 1404{,}93 + 1379{,}84 + 1355{,}20 + 1331{,}00 = \boxed{5470{,}97 \ \text{TL}}\]
Ödemeler \(q = 1{,}10\) katıyla geometrik olarak arttığında toplam da geometrik bir seridir ve kapalı biçimi vardır. \(q \neq 1+i\) olmak üzere
\[S = \sum_{k=1}^{n} R\,q^{k-1}(1+i)^{n-k} = R \cdot \frac{(1+i)^n - q^n}{(1+i) - q}.\]
Bu örnekte
\[S = 1000 \cdot \frac{(1{,}12)^4 - (1{,}10)^4}{1{,}12 - 1{,}10} = 1000 \cdot \frac{1{,}57351936 - 1{,}4641}{0{,}02} = 1000 \cdot 5{,}470968 = 5470{,}97 \ \text{TL}.\]
Dört terim için elle toplamak kolaydır; ödeme sayısı büyükse bu formül işi çok kısaltır.
\(\blacksquare\)