6 Amortisman Hesapları
Bir kredi çektiğinizde banka size bir ödeme planı verir: her ay şu kadar ödeyeceksiniz, şu kadarı faiz, şu kadarı anapara, kalan borcunuz şu kadar olacak. Bu tabloyu üreten hesaba amortisman diyoruz.
Matematiği yeni değil: bir amortisman, bugünkü değeri borca eşit olan bir anüitedir. Yeni olan, o anüitenin içini açıp her taksidin ne kadarının faize, ne kadarının anaparaya gittiğini göstermektir. Bölümün ikinci yarısında da uzun vadeli bir kredide en sık sorulan soruyu cevaplıyoruz: bugün itibarıyla ne kadar borç kaldı?
6.1 Amortisman
Tanım 6.1 (Amortisman) Faize bağlı borçların eşit taksitlerle ve eşit zaman aralıklarıyla geri ödenmesine amortisman denir.
Anüitelerin en önemli uygulama alanlarından biri de uzun vadeli borçların amortismanıdır. Ev kredisi gibi uzun vadeli borçlar genellikle eşit taksitlerle ve eşit zaman aralıklarıyla geri ödenirler. Çözüm sırası hep aynıdır:
- Periyodik ödeme \(R\) belirlenir: borç, taksitlerin bugünkü değerine eşitlenir.
- Son ödeme hesaplanır (yuvarlamadan doğan farkı kapatmak için).
- Amortisman tablosu oluşturulur.
Tablonun her satırı üç basit kuralla doldurulur:
Tanım 6.2 (Amortisman Tablosunun Kuralları) Her satırda sırasıyla
- Ödemenin faiz kısmı \(=\) (bir önceki satırdaki kalan borç) \(\times\ i\),
- Ödemenin borç kısmı \(=\) periyodik ödeme \(-\) faiz kısmı,
- Kalan borç \(=\) (bir önceki kalan borç) \(-\) borç kısmı
hesaplanır. Son satırdaki kalan borç \(0\) olmalıdır.
Her satırda ödemeden önce o dönemin faizi ayrılır, geri kalan anaparayı düşürür. Kalan borç azaldıkça faiz kısmı da azalır, dolayısıyla anaparaya giden pay her dönem büyür. Ödeme tutarı \(R\) tam olarak borcun bugünkü değerinden hesaplandığı için son dönemin sonunda borç sıfırlanır.
Örnek 6.1 (Altı Dönemlik Amortisman) \(6000\) TL’lik bir borç \(j_2 = \%16\) oranından \(3\) yılda altı aylık eşit \(R\) ödemeleri ile amorti edilecektir. İlk ödeme altı ay sonra yapılacağına göre a) Periyodik \(R\) ödemesini bulunuz, b) Son ödemeyi bulunuz, c) Amortisman tablosunu oluşturunuz.
Çözüm
\(A = 6000\), \(i = \dfrac{0{,}16}{2} = 0{,}08\), \(n = 3 \cdot 2 = 6\).
a) Altı taksidin bugünkü değeri borca eşittir:
\[6000 = R \cdot \frac{1 - (1{,}08)^{-6}}{0{,}08} = R \cdot 4{,}622880\]
\[\Longrightarrow \quad \boxed{R = 1297{,}89 \ \text{TL}}\]
b) Son ödemeyi bulmak için ilk \(5\) taksidi tam ödeme kabul edip, \(6\). dönemdeki ödemeye \(X\) diyelim:
\[6000 = 1297{,}89 \cdot \frac{1 - (1{,}08)^{-5}}{0{,}08} + X(1{,}08)^{-6}\]
\[6000 = 1297{,}89 \cdot 3{,}992710 + X \cdot 0{,}630170 = 5182{,}10 + X \cdot 0{,}630170\]
\[X = \frac{6000 - 5182{,}10}{0{,}630170} = \boxed{1297{,}91 \ \text{TL}}\]
c) Amortisman tablosu.
| Ödeme sayısı | Periyodik ödeme | Ödemenin faiz kısmı | Ödemenin borç kısmı | Kalan borç |
|---|---|---|---|---|
| \(6000{,}00\) | ||||
| \(1\) | \(1297{,}89\) | \(480{,}00\) | \(817{,}89\) | \(5182{,}11\) |
| \(2\) | \(1297{,}89\) | \(414{,}57\) | \(883{,}32\) | \(4298{,}79\) |
| \(3\) | \(1297{,}89\) | \(343{,}90\) | \(953{,}99\) | \(3344{,}80\) |
| \(4\) | \(1297{,}89\) | \(267{,}58\) | \(1030{,}31\) | \(2314{,}49\) |
| \(5\) | \(1297{,}89\) | \(185{,}16\) | \(1112{,}73\) | \(1201{,}76\) |
| \(6\) | \(1297{,}90^{\ast}\) | \(96{,}14\) | \(1201{,}76\) | \(0{,}00\) |
\(^{\ast}\) Son ödeme yuvarlamadan kaynaklanan hatayı gidermek için yeniden düzenlenmiştir.
İlk satırın nasıl doldurulduğuna bakalım: faiz kısmı \(6000 \cdot 0{,}08 = 480{,}00\) TL, borç kısmı \(1297{,}89 - 480{,}00 = 817{,}89\) TL, kalan borç \(6000 - 817{,}89 = 5182{,}11\) TL. İkinci satırda faiz artık \(5182{,}11 \cdot 0{,}08 = 414{,}57\) TL üzerinden hesaplanır ve böyle devam eder.
Tablodaki son ödeme, o satırdaki kalan borç ile faizinin toplamıdır: \(1201{,}76 + 96{,}14 = 1297{,}90\) TL. b) şıkkında bulduğumuz \(1297{,}91\) TL’den \(1\) kuruş farklıdır; çünkü tablo her satırda kuruşa yuvarlanmış değerlerle ilerler, b) şıkkı ise tek adımda hesaplar. Bankalar tabloyu esas alır.
Taksitin içeriğinin dönemden döneme nasıl kaydığını görmek öğreticidir:
\(\blacksquare\)
Örnek 6.2 (Genel Anüite Biçiminde Amortisman) \(2000\) TL’lik bir borç \(j_{12} = \%24\) oranından \(3\) aylık ödemeler ile \(2\) yılda bitirilecektir. İlk ödeme \(3\) ay sonra yapılacaktır. a) Periyodik \(R\) ödemesini bulunuz, b) Son ödemeyi bulunuz, c) Amortisman tablosunu oluşturunuz.
Çözüm
\(A = 2000\), \(n = 2 \cdot 4 = 8\) ödeme. Ödemeler üç ayda bir, faiz ise aylık işlediğinden bu bir genel anüitedir; önce üç aylık denk oranı bulmalıyız:
\[(1+i)^4 = \left(1 + \frac{0{,}24}{12}\right)^{12} = (1{,}02)^{12} \quad \Longrightarrow \quad 1 + i = (1{,}02)^{3} \quad \Longrightarrow \quad i = 0{,}061208\]
a) \[2000 = R \cdot \frac{1 - (1{,}061208)^{-8}}{0{,}061208} = R \cdot 6{,}180214 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{R = 323{,}61 \ \text{TL}}\]
b) İlk \(7\) ödeme tam, \(8\). ödeme \(X\) olsun:
\[2000 = 323{,}61 \cdot \frac{1 - (1{,}061208)^{-7}}{0{,}061208} + X(1{,}061208)^{-8}\]
\[2000 = 323{,}61 \cdot 5{,}558492 + X \cdot 0{,}621721 = 1798{,}78 + X \cdot 0{,}621721\]
\[X = \frac{2000 - 1798{,}78}{0{,}621721} = \boxed{323{,}64 \ \text{TL}}\]
c) Amortisman tablosu.
| Ödeme sayısı | Periyodik ödeme | Ödemenin faiz kısmı | Ödemenin borç kısmı | Kalan borç |
|---|---|---|---|---|
| \(2000{,}00\) | ||||
| \(1\) | \(323{,}61\) | \(122{,}42\) | \(201{,}19\) | \(1798{,}81\) |
| \(2\) | \(323{,}61\) | \(110{,}10\) | \(213{,}51\) | \(1585{,}30\) |
| \(3\) | \(323{,}61\) | \(97{,}03\) | \(226{,}58\) | \(1358{,}72\) |
| \(4\) | \(323{,}61\) | \(83{,}16\) | \(240{,}45\) | \(1118{,}27\) |
| \(5\) | \(323{,}61\) | \(68{,}45\) | \(255{,}16\) | \(863{,}11\) |
| \(6\) | \(323{,}61\) | \(52{,}83\) | \(270{,}78\) | \(592{,}33\) |
| \(7\) | \(323{,}61\) | \(36{,}26\) | \(287{,}35\) | \(304{,}98\) |
| \(8\) | \(323{,}65^{\ast}\) | \(18{,}67\) | \(304{,}98\) | \(0{,}00\) |
\(^{\ast}\) Son ödeme yuvarlamadan kaynaklanan hatayı gidermek için yeniden düzenlenmiştir.
Sekiz taksidin toplamı \(7 \cdot 323{,}61 + 323{,}65 = 2588{,}92\) TL’dir; borç \(2000\) TL olduğuna göre ödenen toplam faiz \(588{,}92\) TL’dir. Aynı sayıyı tablonun faiz sütununu toplayarak da bulabilirsiniz.
\(\blacksquare\)
- Faiz kısmını ilk kalan borç yerine sabit anapara üzerinden hesaplamak. Faiz her zaman bir önceki satırın kalan borcu üzerinden işler.
- Genel anüitede denk oranı bulmayı atlayıp \(j_m/m\)’yi doğrudan kullanmak.
- Son satırda kalan borcun sıfırlanmasını kontrol etmemek. Sıfırlanmıyorsa ya \(R\) ya da bir satırın aritmetiği yanlıştır.
6.2 Kalan Borcun Hesaplanması
Uzun vadeli bir kredide “şu an ne kadar borcum kaldı?” sorusu sık sorulur: erken kapatma, yeniden yapılandırma ya da evi satma durumunda gerekir. Cevabı bulmak için yüzlerce satırlık tabloyu doldurmaya gerek yoktur; iki kısa formülden biri yeter.
Bir \(A\) borcu dönem başına \(i\) faiz oranından \(n\) dönemde, dönem sonu \(R\) ödemeleri ile ödensin. \(k\). ödemeden sonra kalan borcu \(P_k\) ile gösterelim.
Önerme 6.1 (Kalan Borcun İki Hesabı) 1. Yöntem (geçmişe bakarak hesaplama). Ana borcun \(k\). döneme taşınmış değerinden, yapılan ödemelerin o tarihte biriktirdiği tutar çıkarılır:
\[A(1+i)^k = R \cdot s_{\overline{k}|i} + P_k \quad \Longrightarrow \quad \boxed{P_k = A(1+i)^k - R \cdot s_{\overline{k}|i}}\]
2. Yöntem (geleceğe bakarak hesaplama). Henüz yapılmamış \(n-k\) ödemenin o tarihteki iskontolu değeri alınır:
\[\boxed{P_k = R \cdot a_{\overline{n-k}|i}}\]
İspat
1. yöntem. \(k\). dönemi odak noktası seçelim. Borç ile ödemeler denk olduğuna göre, ana borcun o tarihteki değeri, yapılan \(k\) ödemenin o tarihteki değeri ile kalan borcun toplamına eşittir. Bu, tanımı gereği doğrudur: kalan borç, “henüz karşılığı ödenmemiş olan kısım”dır.
2. yöntem. Aynı odak noktasında borç–ödeme denkliğini yazalım. Bütün ödemelerin \(k\). dönemdeki değeri ana borcun o tarihteki değerine eşittir:
\[A(1+i)^k = \underbrace{R \cdot s_{\overline{k}|i}}_{\text{yapılmış } k \text{ ödeme}} + \underbrace{R \cdot a_{\overline{n-k}|i}}_{\text{kalan } n-k \text{ ödeme}}\]
(Kalan ödemeler \(k\). dönemden sonra geldiği için, o tarihe göre normal bir anüite oluşturur.) İlk yöntemdeki eşitlikle karşılaştırılırsa
\[P_k = A(1+i)^k - R \cdot s_{\overline{k}|i} = R \cdot a_{\overline{n-k}|i}\]
bulunur.
\(\blacksquare\)
Aksi belirtilmedikçe amortisman hesaplarında kalan borç 1. yöntem ile hesaplanacaktır.
\(R\) yuvarlanmamışsa evet, birebir aynı. Uygulamada \(R\) kuruşa (bazen \(10\) kuruşa) yuvarlandığı için aralarında birkaç kuruşluk fark oluşabilir. Gerçekte ödenen taksit yuvarlanmış tutar olduğundan, borçlunun defterindeki doğru değer 1. yöntemin verdiğidir.
6.3 Uzun Vadeli Kredi Örneği
Örnek 6.3 (Yirmi Dokuz Yıllık Ev Kredisi) Bir aile \(1.5.1994\)’te \(65000\) TL’ye bir ev satın alıyor. %\(20\) peşin ödeme yapılıyor. Geriye kalan kısım \(j_{12} = \%10\) oranından \(29\) yılda ödenecek şekilde sözleşme imzalanıyor. Borç, virgülden sonra bir basamağa yuvarlanmış olan aylık eşit taksitlerle amorti edilecektir. İlk ödeme \(1.6.1994\)’te yapılırsa \(1994\) yılı içinde ödenen faiz ve borç miktarlarını bulunuz. Amortisman tablosunun ilk üç ve son üç satırını oluşturunuz.
Çözüm
Ana borç. Peşinat \(65000 \cdot 0{,}20 = 13000\) TL olduğundan
\[A = 65000 - 13000 = 52000 \ \text{TL}.\]
\(n = 29 \cdot 12 = 348\) aylık ödeme vardır ve \(i = \dfrac{0{,}10}{12} = \dfrac{5}{600}\).
Periyodik ödeme.
\[52000 = R \cdot \frac{1 - \left(1 + \frac{5}{600}\right)^{-348}}{\frac{5}{600}} = R \cdot 113{,}317392\]
\[R = 458{,}89 \approx 458{,}9 \ \text{TL} \qquad (\text{soru gereği bir basamağa yuvarlandı})\]
1994 yılı. İlk ödeme \(1.6.1994\)’te yapıldığına göre \(1994\) içinde Haziran’dan Aralık’a \(7\) ödeme yapılır; \(1.12.1994\)’teki kalan borç \(P_7\)’dir. 1. yöntemle:
\[P_7 = 52000\left(1 + \tfrac{5}{600}\right)^{7} - 458{,}9 \cdot s_{\overline{7}|\frac{5}{600}} = 55110{,}23 - 3293{,}73 = 51816{,}50 \ \text{TL}\]
Buradan
\[\text{1994 içinde ana borçtan ödenen} = 52000 - 51816{,}50 = \boxed{183{,}50 \ \text{TL}}\]
\[\text{1994 içinde ödenen faiz} = 7 \cdot 458{,}9 - 183{,}50 = 3212{,}30 - 183{,}50 = \boxed{3028{,}80 \ \text{TL}}\]
Yani yedi ayda ödenen \(3212{,}30\) TL’nin yalnızca \(183{,}50\) TL’si borcu azaltmıştır; geri kalanı faizdir.
Tablo. Son üç satırı yazabilmek için \(345\). ödemeden sonraki kalan borca ihtiyacımız var:
\[P_{345} = 52000\left(1 + \tfrac{5}{600}\right)^{345} - 458{,}9 \cdot s_{\overline{345}|\frac{5}{600}} = 1330{,}41 \ \text{TL}\]
| Ödeme sayısı | Periyodik ödeme | Ödemenin faiz kısmı | Ödemenin borç kısmı | Kalan borç |
|---|---|---|---|---|
| \(52000{,}00\) | ||||
| \(1\) | \(458{,}9\) | \(433{,}33\) | \(25{,}57\) | \(51974{,}43\) |
| \(2\) | \(458{,}9\) | \(433{,}12\) | \(25{,}78\) | \(51948{,}65\) |
| \(3\) | \(458{,}9\) | \(432{,}91\) | \(25{,}99\) | \(51922{,}66\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(345\) | \(458{,}9\) | \(1330{,}41\) | ||
| \(346\) | \(458{,}9\) | \(11{,}09\) | \(447{,}81\) | \(882{,}60\) |
| \(347\) | \(458{,}9\) | \(7{,}36\) | \(451{,}54\) | \(431{,}06\) |
| \(348\) | \(434{,}65^{\ast}\) | \(3{,}59\) | \(431{,}06\) | \(0{,}00\) |
\(^{\ast}\) Son ödeme yuvarlamadan kaynaklanan hatayı gidermek için yeniden düzenlenmiştir.
Tablonun iki ucu arasındaki fark çarpıcıdır: 1. ödemede \(458{,}9\) TL’nin \(433{,}33\) TL’si faize giderken, 346. ödemede yalnızca \(11{,}09\) TL’si faize gider. Kalan borcun zamana göre nasıl eridiğini görelim:
\(\blacksquare\)
6.4 Alıştırmalar
Alıştırma 6.1 (İki Yıllık Amortisman Tablosu) \(40000\) TL’lik bir borç \(j_4 = \%4\) oranından \(2\) yılda üç aylık eşit \(R\) ödemeleri ile amorti edilecektir. İlk ödeme üç ay sonra yapılacağına göre a) Periyodik \(R\) ödemesini bulunuz, b) Son ödemeyi bulunuz, c) Amortisman tablosunu oluşturunuz.
Çözüm
\(A = 40000\), \(i = \dfrac{0{,}04}{4} = 0{,}01\), \(n = 2 \cdot 4 = 8\).
a) \[40000 = R \cdot \frac{1 - (1{,}01)^{-8}}{0{,}01} = R \cdot 7{,}651678 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{R = 5227{,}61 \ \text{TL}}\]
b) İlk \(7\) ödeme tam, \(8\). ödeme \(X\) olsun:
\[40000 = 5227{,}61 \cdot a_{\overline{7}|0{,}01} + X(1{,}01)^{-8} = 5227{,}61 \cdot 6{,}728195 + X \cdot 0{,}923483\]
\[40000 = 35172{,}39 + X \cdot 0{,}923483 \quad \Longrightarrow \quad X = \frac{4827{,}61}{0{,}923483} = \boxed{5227{,}62 \ \text{TL}}\]
c) Amortisman tablosu.
| Ödeme sayısı | Periyodik ödeme | Ödemenin faiz kısmı | Ödemenin borç kısmı | Kalan borç |
|---|---|---|---|---|
| \(40000{,}00\) | ||||
| \(1\) | \(5227{,}61\) | \(400{,}00\) | \(4827{,}61\) | \(35172{,}39\) |
| \(2\) | \(5227{,}61\) | \(351{,}72\) | \(4875{,}89\) | \(30296{,}50\) |
| \(3\) | \(5227{,}61\) | \(302{,}97\) | \(4924{,}64\) | \(25371{,}86\) |
| \(4\) | \(5227{,}61\) | \(253{,}72\) | \(4973{,}89\) | \(20397{,}97\) |
| \(5\) | \(5227{,}61\) | \(203{,}98\) | \(5023{,}63\) | \(15374{,}34\) |
| \(6\) | \(5227{,}61\) | \(153{,}74\) | \(5073{,}87\) | \(10300{,}47\) |
| \(7\) | \(5227{,}61\) | \(103{,}00\) | \(5124{,}61\) | \(5175{,}86\) |
| \(8\) | \(5227{,}62^{\ast}\) | \(51{,}76\) | \(5175{,}86\) | \(0{,}00\) |
\(^{\ast}\) Son ödeme yuvarlamadan kaynaklanan hatayı gidermek için yeniden düzenlenmiştir.
Vade kısa ve oran düşük olduğu için taksitin büyük kısmı en baştan itibaren anaparaya gitmiştir; Örnek 6.3’ndeki \(29\) yıllık kredinin tam tersi bir tablo.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 6.2 (Altı Yıllık Konut Kredisi) \(1.12.2004\)’te \(120000\) TL’ye bir ev satın alınsın. Borç \(j_{12} = \%12\) oranından \(6\) yılda ödenecek şekilde anlaşma yapılsın. Borç aylık eşit taksitlerle ödenecek olup ilk taksit \(1.1.2005\)’te ödenecek olsun. Bu durumda a) Periyodik \(R\) ödemesini bulunuz, b) \(P_{36}\) ve \(P_{48}\) değerlerini bulunuz, c) \(2008\) yılı içinde ödenen toplam faiz ve ana borçtan düşen toplam miktarı bulunuz, d) Amortisman tablosunun ilk üç ve son üç satırını oluşturunuz.
Çözüm
\(A = 120000\), \(i = \dfrac{0{,}12}{12} = 0{,}01\), \(n = 6 \cdot 12 = 72\).
a) \[120000 = R \cdot \frac{1 - (1{,}01)^{-72}}{0{,}01} = R \cdot 51{,}150391 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{R = 2346{,}02 \ \text{TL}}\]
b) İlk taksit \(1.1.2005\)’te ödendiğine göre \(36\). ödeme \(1.12.2007\)’de, \(48\). ödeme \(1.12.2008\)’de yapılır. 1. yöntemle:
\[P_{36} = 120000(1{,}01)^{36} - 2346{,}02 \cdot s_{\overline{36}|0{,}01} = 171692{,}25 - 101059{,}22 = \boxed{70633{,}03 \ \text{TL}}\]
\[P_{48} = 120000(1{,}01)^{48} - 2346{,}02 \cdot s_{\overline{48}|0{,}01} = 193467{,}13 - 143629{,}46 = \boxed{49837{,}67 \ \text{TL}}\]
c) \(2008\) yılı, \(37\). ödemeden \(48\). ödemeye kadar olan \(12\) taksidi kapsar. Ana borçtan düşen miktar iki kalan borcun farkıdır:
\[P_{36} - P_{48} = 70633{,}03 - 49837{,}67 = \boxed{20795{,}36 \ \text{TL}}\]
Bir yılda ödenen toplam tutar \(12 \cdot 2346{,}02 = 28152{,}24\) TL olduğuna göre faiz kısmı
\[28152{,}24 - 20795{,}36 = \boxed{7356{,}88 \ \text{TL}}\]
d) Amortisman tablosu (ilk üç ve son üç satır). Son satırlar için \(69\). ödemeden sonraki kalan borç gerekir:
\[P_{69} = 120000(1{,}01)^{69} - 2346{,}02 \cdot s_{\overline{69}|0{,}01} = 238427{,}33 - 231527{,}41 = 6899{,}92 \ \text{TL}\]
| Ödeme sayısı | Periyodik ödeme | Ödemenin faiz kısmı | Ödemenin borç kısmı | Kalan borç |
|---|---|---|---|---|
| \(120000{,}00\) | ||||
| \(1\) | \(2346{,}02\) | \(1200{,}00\) | \(1146{,}02\) | \(118853{,}98\) |
| \(2\) | \(2346{,}02\) | \(1188{,}54\) | \(1157{,}48\) | \(117696{,}50\) |
| \(3\) | \(2346{,}02\) | \(1176{,}96\) | \(1169{,}06\) | \(116527{,}44\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(69\) | \(2346{,}02\) | \(6899{,}92\) | ||
| \(70\) | \(2346{,}02\) | \(69{,}00\) | \(2277{,}02\) | \(4622{,}90\) |
| \(71\) | \(2346{,}02\) | \(46{,}23\) | \(2299{,}79\) | \(2323{,}11\) |
| \(72\) | \(2346{,}34^{\ast}\) | \(23{,}23\) | \(2323{,}11\) | \(0{,}00\) |
\(^{\ast}\) Son ödeme yuvarlamadan kaynaklanan hatayı gidermek için yeniden düzenlenmiştir.
\(\blacksquare\)