Diferansiyel Geometri

Diferansiyel Geometri 1 ve 2 ders notlarının müfredatı: Öklid uzayında analiz, eğriler, 1-formlar, Frenet formülleri, çatı alanları ve Öklid geometrisi; yüzeyler, şekil operatörleri, yüzeylerin geometrisi, Riemann geometrisi ve yüzeylerin global yapısı.

Diferansiyel geometri, eğrileri ve yüzeyleri analizin araçlarıyla inceler: bir eğrinin ne kadar büküldüğünü, bir yüzeyin bir noktada hangi yönlere eğildiğini, bir yüzeyin üzerinde yaşayan birinin yalnızca ölçüm yaparak neleri öğrenebileceğini kesin tanımlara ve hesaplanabilir büyüklüklere dönüştürür. Bu notlar iki dönemlik bir ders olarak düzenlenmiştir.

Diferansiyel Geometri 1, \(\mathbb{R}^3\)’te analizin dilini kurar ve bu dili eğrilere uygular: teğet vektörler, yönlü türevler, 1-formlar, eğrilik ve burulma, hareketli çatılar ve Öklid uzayının izometrileri. Diferansiyel Geometri 2 aynı araçları yüzeylere taşır: şekil operatörü, Gauss eğriliği, yüzeylerin içsel geometrisi, jeodezikler ve Gauss–Bonnet teoremi. Her kavram önce bir motivasyonla sunulur, ardından sade bir dille açıklanır; her örnek ve her alıştırma kendi kutusunda, adım adım çözümüyle verilir.

Diferansiyel Geometri 1’in ilk kısmı olan Öklid uzayında analiz tamamlanmıştır; ikinci kısım Çatı Alanları’nın bağlantı formlarına kadar olan altı konusu da hazırdır. Hepsine aşağıdaki bağlantılardan ulaşılabilir. Kalan konular hazırlanma aşamasındadır; tamamlandıkça bu sayfadan bağlantılanacaktır.

Diferansiyel Geometri 1 — Eğriler ve Öklid Geometrisi

Öklid uzayında noktalar, teğet vektörler ve diferansiyel formlarla analizin dilini kurar; eğrilerin eğriliğini ve burulmasını hareketli çatılarla inceler; son olarak Öklid uzayının izometrilerini ve eğrilerin hangi büyüklüklerle tamamen belirlendiğini gösterir.

1. Öklid Uzayında Analiz

2. Çatı Alanları

3. Öklid Geometrisi

  • \(\mathbb{R}^3\)’ün izometrileri: ötelemeler ve ortogonal dönüşümler
  • Bir izometrinin teğet dönüşümü
  • Yönlendirme: yönü koruyan ve ters çeviren izometriler
  • Öklid geometrisi: izometrilerin koruduğu kavramlar
  • Eğrilerin kongrüansı: eğrilik ve burulma bir eğriyi belirler

Diferansiyel Geometri 2 — Yüzeyler ve Riemann Geometrisi

Birinci dönemin araçlarını yüzeylere taşır: yüzey üzerinde analiz, şekil operatörü ve eğrilikler, yüzeyin yalnızca iç ölçümlerle belirlenen geometrisi, jeodezikler, Gauss–Bonnet teoremi ve yüzeylerin global yapısı.

4. Yüzeyler Üzerinde Analiz

  • \(\mathbb{R}^3\)’te yüzeyler: yamalar, düzgün yüzey tanımı ve temel örnekler
  • Yama hesapları: parametre eğrileri ve birinci temel form katsayıları \(E\), \(F\), \(G\)
  • Yüzey üzerinde diferansiyellenebilir fonksiyonlar ve teğet vektörler
  • Yüzey üzerinde diferansiyel formlar
  • Yüzeyler arasındaki dönüşümler
  • Formların integrali ve Stokes teoremi
  • Yüzeylerin topolojik özellikleri: bağlantılılık, kompaktlık, yönlendirilebilirlik
  • Manifoldlar

5. Şekil Operatörleri

  • Şekil operatörü ve birim normal alan
  • Normal eğrilik, asal eğrilikler ve Euler formülü
  • Gauss eğriliği ve ortalama eğrilik
  • Hesaplama teknikleri: ikinci temel form katsayıları \(L\), \(M\), \(N\)
  • Örtük denklemle verilen yüzeyler
  • Yüzeydeki özel eğriler: eğrilik çizgileri, asimptotik eğriler ve jeodezikler
  • Dönel yüzeyler

6. \(\mathbb{R}^3\)’teki Yüzeylerin Geometrisi

  • Temel denklemler: Gauss ve Codazzi denklemleri
  • Formlarla hesap
  • Bazı global teoremler: Liebmann teoremi
  • İzometriler ve yerel izometriler
  • Yüzeylerin içsel geometrisi: Gauss’un Theorema Egregium’u
  • Ortogonal koordinatlar
  • İntegral ve yönlendirme
  • Toplam eğrilik
  • Yüzeylerin kongrüansı

7. Riemann Geometrisi

  • Geometrik yüzeyler ve Riemann metriği
  • Gauss eğriliği
  • Kovaryant türev
  • Jeodezikler
  • Clairaut parametrelendirmeleri
  • Gauss–Bonnet teoremi
  • Gauss–Bonnet teoreminin uygulamaları

8. Yüzeylerin Global Yapısı

  • Jeodeziklerin uzunluğu en aza indirme özelliği
  • Tam yüzeyler
  • Eğrilik ve eşlenik noktalar
  • Örtü yüzeyleri
  • İç çarpımı koruyan dönüşümler
  • Sabit eğrilikli yüzeyler
  • Bonnet ve Hadamard teoremleri

Notları indirin