3 Yönlü Türevler
Önceki bölümde (Teğet Vektörler) bir \(\mathbf{p}\) noktasına bağlı \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörünü, bu vektörlerin oluşturduğu teğet uzayını ve her noktaya bir teğet vektör atayan vektör alanlarını tanımladık. Bu nesneler şimdilik yalnızca durdukları yerde duran oklardır. Bu bölümde onları çalıştırıyoruz: bir teğet vektör, bir fonksiyonun türevini almanın bir yolu olacak.
Fikir tek değişkenli hesaptan tanıdıktır. Sayı doğrusu üzerinde bir \(f\) fonksiyonunun \(a\) noktasındaki türevi, \(a\)’dan ayrılırken \(f\)’nin ne hızla değiştiğini söyler. Öklid 3-uzayında ise bir \(\mathbf{p}\) noktasından ayrılmanın sonsuz sayıda yönü vardır; “\(f\) ne hızla değişiyor?” sorusu ancak bir yön seçildikten sonra anlamlıdır. Bir teğet vektör tam olarak bu seçimi taşır: \(\mathbf{p}\) nerede durduğumuzu, \(\mathbf{v}\) hangi yöne ve hangi hızla gideceğimizi söyler. Sorduğumuz soru şudur: \(\mathbf{p}\)’de duran biri \(\mathbf{v}\) yönünde yola çıkarsa \(f\)’nin değeri ilk anda ne hızla değişir?
Bölümün planı şöyledir. Önce bu sayıyı, \(\mathbf{p}\)’den geçen bir doğru boyunca türev alarak tanımlayacağız. Sonra onu \(f\)’nin kısmi türevleriyle hesaplayan formülü ispatlayacağız. Ardından her türev işleminin taşıdığı iki özelliği, lineerliği ve Leibniz kuralını, ispatlayacağız. Son olarak tek bir teğet vektör yerine bir vektör alanı alıp \(f\)’nin bu alan boyunca türevi olan \(V[f]\) fonksiyonunu kuracak ve özelliklerini inceleyeceğiz.
3.1 Bir Doğru Boyunca Türev
Bir \(f\) fonksiyonunun bir \(\mathbf{p}\) noktasındaki değişimini ölçmek istiyoruz. Bir teğet vektör \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) (Tanım 2.1) bize hem noktayı hem yönü verir. \(\mathbf{p}\)’den \(\mathbf{v}\) yönünde gitmenin en basit yolu bir doğru üzerinde yürümektir. Her \(t\) gerçel sayısı için
\[\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (p_1 + tv_1,\ p_2 + tv_2,\ p_3 + tv_3)\]
noktasını düşünelim. \(t = 0\) anında \(\mathbf{p}\)’deyiz, \(t = 1\) anında \(\mathbf{p} + \mathbf{v}\)’deyiz; \(t\) büyüdükçe \(\mathbf{v}\) yönünde, \(t\) negatif olduğunda ters yönde ilerleriz. \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\) ise \(t \mapsto \mathbf{p} + t\mathbf{v}\) eşlemesi, \(\mathbf{p}\)’den geçen ve \(\mathbf{v}\) doğrultusundaki doğrudur (straight line); \(\mathbf{v} = \mathbf{0}\) ise her \(t\) için \(\mathbf{p}\)’de kalırız ve aşağıda tanımlanacak türev her \(f\) için \(0\) çıkar. Eğriler konusunda bu doğru, en basit eğri örneği olarak yeniden karşımıza çıkacak.
Şimdi \(f\)’yi bu doğru boyunca okuyalım: \(t \mapsto f(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\). Bu, gerçel sayılardan gerçel sayılara giden sıradan bir tek değişkenli fonksiyondur. \(f\) diferansiyellenebilir (Tanım 1.4) ve doğrunun her koordinatı \(t\)’nin en çok birinci dereceden bir polinomu (\(p_i + tv_i\)) olduğundan, zincir kuralı gereği bu bileşke de her mertebeden türevlenebilir. Tek değişkenli fonksiyonlar için kısaca “türevlenebilir” diyeceğiz; kastedilen, uzaydaki fonksiyonlar için kullandığımız “diferansiyellenebilir” ile aynı şeydir, yani her mertebeden türevin var olmasıdır. Bu bileşkenin \(t = 0\)’daki türevi, \(\mathbf{p}\)’den \(\mathbf{v}\) yönünde yola çıkıldığı andaki değişim hızıdır. Tanım tam olarak budur.
Tanım 3.1 (Bir Teğet Vektöre Göre Türev) \(f\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde diferansiyellenebilir bir gerçel değerli fonksiyon ve \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\), \(\mathbb{R}^3\)’e bir teğet vektör olsun.
\[\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = \left.\dfrac{d}{dt}\bigl(f(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\bigr)\right|_{t = 0}\]
sayısına \(f\)’nin \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)’ye göre türevi (derivative of \(f\) with respect to \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)) ya da yönlü türev (directional derivative) denir.
Yani \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\), “\(\mathbf{p}\)’de dururken \(\mathbf{v}\) yönünde harekete geçersem \(f\) ilk anda ne hızla değişir?” sorusunun cevabı olan tek bir sayıdır.
Üç şeye dikkat edelim. Birincisi, \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) bir sayıdır, fonksiyon değil: \(\mathbf{p}\), \(\mathbf{v}\) ve \(f\) verildiğinde tek bir gerçel sayı elde ederiz. İkincisi, köşeli parantez yeni bir gösterimdir: \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\), \(f\) fonksiyonuna uygulanır ve bir sayı üretir. Böylece bir teğet vektörü, fonksiyonlara uygulanan bir işlem olarak görmeye başlıyoruz. Üçüncüsü, tanımda \(\mathbf{v}\)’nin uzunluğu hakkında hiçbir koşul yoktur.
NotBirim vektör koşulu neden yok?
Temel hesap derslerinde yönlü türev, \(\mathbf{v}\)’nin bir birim vektör (unit vector) olması koşuluyla tanımlanır; böylece sayı yalnızca yöne bağlı olur. Burada bu koşulu koymuyoruz: \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) her teğet vektör için tanımlıdır ve \(\mathbf{v}\)’nin uzunluğuna da bağlıdır (aşağıdaki örneklerde görülecek). Buna rağmen ona yönlü türev demeyi sürdüreceğiz. Birim vektörlü sürüm, bizim tanımımızın özel hâlidir.
Örnek 3.1 (Tanımdan Hesap) \(f = x^2yz\), \(\mathbf{p} = (1, 1, 0)\) ve \(\mathbf{v} = (1, 0, -3)\) olsun; \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısını hesaplayalım. Burada \(f = x^2yz\) yazımı, \(x, y, z\) doğal koordinat fonksiyonları (Tanım 1.3) olmak üzere, her \(\mathbf{q}\) noktası için \(f(\mathbf{q}) = q_1^2 q_2 q_3\) demektir.
Çözüm
Önce doğruyu yazalım:
\[\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (1, 1, 0) + t(1, 0, -3) = (1 + t,\ 1,\ -3t).\]
Bu, \(\mathbf{p}\)’den geçen ve \(\mathbf{v}\) doğrultusundaki doğrudur; aşağıdaki şekilde \(t = -1\), \(t = 0\) ve \(t = 1\) anlarındaki noktalarıyla çizilmiştir.
\(f\)’yi bu doğru üzerinde değerlendirelim. Birinci koordinatın karesi, ikinci koordinat ve üçüncü koordinat çarpılır:
\[f(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = (1 + t)^2 \cdot 1 \cdot (-3t) = -3t(1 + 2t + t^2) = -3t - 6t^2 - 3t^3.\]
Bu, \(t\)’nin bir polinomudur; türevi
\[\dfrac{d}{dt}\bigl(f(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\bigr) = -3 - 12t - 9t^2\]
olur. \(t = 0\) koyunca \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = -3\) bulunur.
Sayının işareti anlamlıdır: \(f(\mathbf{p}) = 0\)’dır ve \(\mathbf{p}\)’den \(\mathbf{v}\) yönünde harekete geçildiğinde \(f\) ilk anda azalır; küçük \(t > 0\) için \(f(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) \approx -3t < 0\) olur. Aşağıdaki şekil, \(t \mapsto f(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\) fonksiyonunun grafiğini ve \(t = 0\)’daki eğimi \(-3\) olan teğetini gösterir.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.2 (Düzlemde Aynı Tanım) Tanım iki boyutta da aynen çalışır: Öklid düzlemi \(\mathbb{R}^2\)’de \(\mathbf{p} = (p_1, p_2)\) ve \(\mathbf{v} = (v_1, v_2)\) alınır, doğru yine \(t \mapsto \mathbf{p} + t\mathbf{v}\)’dir. \(f = x^2 + y^2\), \(\mathbf{p} = (1, 2)\) ve \(\mathbf{v} = (3, -1)\) için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısını bulalım.
Çözüm
Doğru \(\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (1 + 3t,\ 2 - t)\) olur. Bunu \(f\)’ye koyalım:
\[f(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = (1 + 3t)^2 + (2 - t)^2 = (1 + 6t + 9t^2) + (4 - 4t + t^2) = 5 + 2t + 10t^2.\]
Türev \(2 + 20t\), \(t = 0\)’da \(2\); dolayısıyla \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 2\).
Bunu geometrik olarak görelim. \(z = x^2 + y^2\) yüzeyi \(f\)’nin grafiğidir. Düzlemde \(\mathbf{p}\)’den geçen \(\mathbf{v}\) doğrultusundaki doğrunun üzerinde yükselen düşey düzlem, bu yüzeyi bir eğri boyunca keser; \(t \mapsto f(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\) tam olarak bu kesit eğrisinin yüksekliğidir. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 2\) sayısı, kesit eğrisinin \(\mathbf{p}\) üzerindeki \((1, 2, 5)\) noktasında \(t\)’ye göre eğimidir. Aşağıdaki şekil yüzeyi, kesit eğrisini ve \((1, 2, 5)\) noktasındaki teğeti gösterir; şekildeki eğim yatay uzaklığa göre değil, \(t\)’ye göre ölçülmüştür.
\(\blacksquare\)
Etkileşimli sahne: yön değişince yönlü türev. Sahneyi sürükleyerek döndürebilirsiniz; \(\theta\) kaydırıcısı \(\mathbf{p} = (1, 2)\)’den geçen doğrunun yönünü, \(|\mathbf{v}|\) kaydırıcısı \(\mathbf{v} = |\mathbf{v}|(\cos\theta, \sin\theta)\) vektörünün uzunluğunu değiştirir ve başlangıçta örnekteki \(\mathbf{v} = (3, -1)\) seçilidir. Doğrunun üzerindeki düşey düzlem \(z = x^2 + y^2\) yüzeyini kesit eğrisi boyunca keser; turuncu ok bu eğrinin \((1, 2, 5)\) noktasındaki teğetidir ve düşey bileşeni \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 2v_1 + 4v_2\)’dir. \(\theta\) değişirken \(\mathbf{v}\), \(\nabla f(\mathbf{p}) = (2, 4)\) okuyla aynı yöne gelince türev en büyük olur; kesikli \(x^2 + y^2 = 5\) çemberine teğet olunca ok yataylaşır ve türev sıfırlanır. Uzunluğu değiştirmek kesit eğrisini değiştirmez, türevi aynı oranda büyütür ya da küçültür; \(z\) ekseni okunaklılık için sıkıştırılmıştır.
Örnek 3.3 (Uygulama Noktası Önemlidir) \(f = x^2yz\) için Örnek 3.1’taki vektörü koruyup noktayı değiştirelim: aynı \(\mathbf{v} = (1, 0, -3)\), farklı nokta \(\mathbf{q} = (1, 1, 1)\). \(\mathbf{v}_{\mathbf{q}}[f]\) sayısını hesaplayalım.
Çözüm
\(\mathbf{q} + t\mathbf{v} = (1 + t,\ 1,\ 1 - 3t)\) olduğundan
\[f(\mathbf{q} + t\mathbf{v}) = (1 + t)^2 (1 - 3t) = (1 + 2t + t^2)(1 - 3t) = 1 - t - 5t^2 - 3t^3.\]
Türev \(-1 - 10t - 9t^2\), \(t = 0\)’da \(-1\): \(\mathbf{v}_{\mathbf{q}}[f] = -1\). Oysa Örnek 3.1’ta \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = -3\) bulmuştuk. Aynı vektör kısmı, farklı uygulama noktası, farklı sayı. Tanımın \(\mathbf{v}\) yerine \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörünü kullanmasının nedeni budur: uygulama noktası cevabın parçasıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.4 (Vektörün Uzunluğu Önemlidir) \(f = x^2yz\) için Örnek 3.1’taki noktayı koruyup vektörü büyütelim: aynı nokta \(\mathbf{p} = (1, 1, 0)\), iki katı vektör \(\mathbf{w} = 2\mathbf{v} = (2, 0, -6)\). Orada \(\mathbf{v} = (1, 0, -3)\) için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = -3\) bulunmuştu. \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısını hesaplayalım.
Çözüm
\(\mathbf{p} + t\mathbf{w} = (1 + 2t,\ 1,\ -6t)\) olduğundan
\[f(\mathbf{p} + t\mathbf{w}) = (1 + 2t)^2 (-6t) = -6t(1 + 4t + 4t^2) = -6t - 24t^2 - 24t^3.\]
Türev \(t = 0\)’da \(-6\): \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}[f] = -6 = 2\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\). Vektörü iki katına çıkarmak türevi iki katına çıkardı. Nedeni şudur: \(t \mapsto \mathbf{p} + t\mathbf{w}\) aynı doğrudur ama iki kat hızla katedilir; \(f\) de zamana göre iki kat hızlı değişir. Temel hesapta birim vektör istenmesinin sebebi bu bağımlılığı ortadan kaldırmaktır.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.5 (Sabit Fonksiyonun Yönlü Türevi) Sabit fonksiyon \(g = 5\) ve herhangi bir \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörü için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g]\) sayısını bulalım.
Çözüm
\(g = 5\) sabit fonksiyonu için \(g(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = 5\) her \(t\) için aynıdır; sabitin türevi sıfır olduğundan her teğet vektör için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g] = 0\). Değişmeyen bir fonksiyonun hiçbir yönde değişim hızı yoktur.
\(\blacksquare\)
3.2 Kısmi Türevlerle Hesaplama
Tanımdan hesap yapmak her seferinde dört adım ister: doğruyu yaz, \(f\)’ye koy, türev al, \(t = 0\) koy. Aynı noktada başka bir \(\mathbf{v}\) için hepsi baştan yapılır. Oysa \(f\)’nin \(\mathbf{p}\)’den ayrılırken ilk anda nasıl değiştiğine ilişkin bütün bilgi üç sayıda toplanmıştır: \(\mathbf{p}\)’deki üç kısmi türev. Aşağıdaki lemma, \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısının bu üç sayının \(v_1, v_2, v_3\) ağırlıklarıyla alınmış toplamı olduğunu söyler.
Lemma 3.1 (Yönlü Türevin Kısmi Türevlerle Hesabı) \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = (v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}}\), \(\mathbb{R}^3\)’e bir teğet vektör ve \(f\) diferansiyellenebilir bir fonksiyon ise
\[\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = \sum_{i=1}^{3} v_i\, \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p}).\]
Burada \(\partial f/\partial x_i(\mathbf{p})\), \(\partial f/\partial x_i\) kısmi türev fonksiyonunun \(\mathbf{p}\) noktasındaki değeridir.
İspat
\(\mathbf{p} = (p_1, p_2, p_3)\) yazalım. Doğrunun \(t\) anındaki noktası
\[\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (p_1 + tv_1,\ p_2 + tv_2,\ p_3 + tv_3)\]
olduğundan, türevini alacağımız tek değişkenli fonksiyon
\[F(t) = f(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = f(p_1 + tv_1,\ p_2 + tv_2,\ p_3 + tv_3)\]
biçimindedir. Bu, \(f\) ile üç tek değişkenli fonksiyonun bileşkesidir: \(i = 1, 2, 3\) için \(\alpha_i(t) = p_i + tv_i\) koyarsak \(F(t) = f\bigl(\alpha_1(t), \alpha_2(t), \alpha_3(t)\bigr)\) olur. Burada \(\alpha_i(t)\), doğrunun \(t\) anındaki noktasının \(i\)-inci koordinatıdır: \(\alpha_i(t) = x_i(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\). Ona \(x_i(t)\) demiyoruz; \(x_i\) harfi doğal koordinat fonksiyonuna ayrılmıştır ve o, \(t\) sayısına değil \(\mathbb{R}^3\)’ün noktalarına uygulanır. Çok değişkenli zincir kuralı şunu söyler: \(f\) diferansiyellenebilir ve \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) türevlenebilir ise \(F\) türevlenebilirdir ve
\[F'(t) = \sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\bigl(\alpha_1(t), \alpha_2(t), \alpha_3(t)\bigr)\, \alpha_i'(t).\]
Şimdi \(\alpha_i'(t)\) türevlerini hesaplayalım: \(p_i\) sabit olduğundan türevi \(0\), \(tv_i\) teriminin türevi \(v_i\)’dir; dolayısıyla \(\alpha_i'(t) = v_i\) her \(t\) için aynıdır. Ayrıca \(\bigl(\alpha_1(t), \alpha_2(t), \alpha_3(t)\bigr) = \mathbf{p} + t\mathbf{v}\)’dir. Yerine koyunca
\[F'(t) = \sum_{i=1}^{3} v_i\, \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\]
bulunur. \(t = 0\) için \(\mathbf{p} + 0\cdot\mathbf{v} = \mathbf{p}\) olduğundan \(F'(0) = \sum_{i=1}^{3} v_i\, \partial f/\partial x_i(\mathbf{p})\); tanım gereği \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = F'(0)\) olduğundan ispat tamamlanır.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: doğru boyunca her koordinat sabit \(v_i\) hızıyla değişir; zincir kuralı bu hızları \(f\)’nin kısmi türevleriyle tartıp toplar.
İpucuGradyanla bağlantı
Lemmadaki toplam, temel hesaptan tanıdık bir iç çarpımdır. \(\nabla f(\mathbf{p}) = \bigl(\partial f/\partial x(\mathbf{p}),\ \partial f/\partial y(\mathbf{p}),\ \partial f/\partial z(\mathbf{p})\bigr)\) gradyan (gradient) vektörü ise \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = \nabla f(\mathbf{p}) \cdot \mathbf{v}\)’dir. \(\mathbf{v}\) birim vektör olduğunda bu, temel hesabın yönlü türevidir; lemma, tanımımızın o tanımla uyuştuğunu ve onu her uzunluktaki vektöre genişlettiğini gösterir.
Gradyanın sıfır olmadığı bir noktada, sabit uzunluktaki \(\mathbf{v}\) vektörleri arasında en büyük türevi gradyan yönündeki verir; çünkü iç çarpım \(\nabla f(\mathbf{p}) \cdot \mathbf{v}\), iki vektör arasındaki açının kosinüsüyle orantılıdır ve kosinüs açı sıfırken en büyüktür. Bunu Alıştırma 3.16’de sayılarla göreceğiz.
Örnek 3.6 (Aynı Örnek, Lemma ile) Örnek 3.1’taki \(f = x^2yz\), \(\mathbf{p} = (1, 1, 0)\), \(\mathbf{v} = (1, 0, -3)\) verisi için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısını Lemma 3.1 ile yeniden hesaplayalım; sonra aynı noktada \(\mathbf{w} = (0, 2, 1)\) ve \(\mathbf{u} = (4, -5, 2)\) için de bulalım.
Çözüm
Kısmi türevler fonksiyon olarak
\[\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xyz, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 z, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial z} = x^2 y\]
olur. \(\mathbf{p} = (1, 1, 0)\) noktasında değerleri, sırasıyla, \(2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0\), \(1 \cdot 0 = 0\) ve \(1 \cdot 1 = 1\)’dir. Lemma ile
\[\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 = -3;\]
tanımdan bulduğumuz sayıyla aynıdır.
Lemmanın gücü burada görülür: \(\mathbf{p}\)’deki üç kısmi türev bir kez hesaplandıktan sonra aynı noktadaki her teğet vektör için cevap tek satırdır. \(\mathbf{w} = (0, 2, 1)\) için \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}[f] = 0 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1\); \(\mathbf{u} = (4, -5, 2)\) için \(\mathbf{u}_{\mathbf{p}}[f] = 0 + 0 + 2 = 2\). Bu noktada, \(\mathbf{v}\) ne olursa olsun, \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = v_3\)’tür: değişim hızı yalnızca \(\mathbf{v}\)’nin \(z\) bileşenine bağlıdır. \(v_3 = 0\) olan her vektör için, yani \(xy\) düzlemine paralel her yönde \(\mathbf{p}\)’den ayrılırken, \(f\) ilk anda değişmez.
Örnek 3.3’daki sonuç da lemma ile doğrulanır: \(\mathbf{q} = (1, 1, 1)\)’de kısmi türevler \(2, 1, 1\)’dir ve \(\mathbf{v}_{\mathbf{q}}[f] = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + (-3) \cdot 1 = -1\).
\(\blacksquare\)
Örnek 3.7 (Düzlemde Seviye Eğrileri ve Gradyan) Düzlemde lemma iki terimli olur: \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = v_1\, \partial f/\partial x(\mathbf{p}) + v_2\, \partial f/\partial y(\mathbf{p})\). Örnek 3.2’deki \(f = x^2 + y^2\), \(\mathbf{p} = (1, 2)\) verisiyle \(\mathbf{v} = (3, -1)\), \(\mathbf{u} = (2, -1)\) ve \(\mathbf{n} = (1, 2)\) için yönlü türevleri hesaplayalım.
Çözüm
\(\partial f/\partial x = 2x\) ve \(\partial f/\partial y = 2y\); \(\mathbf{p} = (1, 2)\)’de değerleri \(2\) ve \(4\)’tür. Buradan
\[\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 = 2, \qquad \mathbf{u}_{\mathbf{p}}[f] = 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 = 0, \qquad \mathbf{n}_{\mathbf{p}}[f] = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 10.\]
İlk sayı tanımdan bulduğumuzla aynıdır. Diğer ikisinin geometrik anlamı vardır. \(f\)’nin seviye eğrileri, başlangıç noktası merkezli çemberlerdir; \(\mathbf{p}\), \(x^2 + y^2 = 5\) çemberi üzerindedir. \(\mathbf{u} = (2, -1)\) bu çembere \(\mathbf{p}\)’de teğettir: çember boyunca yürürken \(f\) değişmez, dolayısıyla türev \(0\)’dır. \(\mathbf{n} = (1, 2)\) ise gradyan \((2, 4)\) ile aynı yöndedir: çembere diktir ve \(f\)’nin en hızlı arttığı yönü gösterir. Aşağıdaki şekil üç vektörü ve gradyanı seviye çemberleri üzerinde gösterir; \(\mathbf{n}\) oku gradyan okuyla aynı doğrultudadır, onun yarısı uzunluğundadır.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.8 (İki Yoldan Aynı Sayı) \(f = xy + yz + zx\), \(\mathbf{p} = (1, 2, 3)\) ve \(\mathbf{v} = (1, 1, 1)\) için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısını hem lemma ile hem tanımdan hesaplayalım.
Çözüm
Lemma ile: kısmi türevler \(\partial f/\partial x = y + z\), \(\partial f/\partial y = x + z\), \(\partial f/\partial z = x + y\); \(\mathbf{p}\)’de değerleri \(5, 4, 3\). Böylece \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 1 \cdot 5 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 3 = 12\).
Tanımdan: \(\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (1 + t, 2 + t, 3 + t)\) ve
\[f(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = (1 + t)(2 + t) + (2 + t)(3 + t) + (3 + t)(1 + t) = (2 + 3t + t^2) + (6 + 5t + t^2) + (3 + 4t + t^2) = 11 + 12t + 3t^2.\]
Türev \(12 + 6t\), \(t = 0\)’da \(12\). İki yol aynı sayıyı verdi; bundan sonra hesaplarda çoğunlukla lemmayı kullanacağız.
\(\blacksquare\)
3.3 Lineerlik ve Leibniz Kuralı
Bir işlemi türev yapan iki davranış vardır. Birincisi lineerliktir: toplamın türevi türevlerin toplamı, sabit katın türevi türevin sabit katıdır. İkincisi Leibniz kuralıdır: çarpımın türevi, çarpım kuralıyla bulunur. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) ifadesinde iki “yuva” vardır, teğet vektör \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ve fonksiyon \(f\); lineerlik her ikisinde ayrı ayrı sorulmalıdır. Aşağıdaki teorem bu üç özelliği kaydeder. Teoremin (1) şıkkında \(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\), teğet uzayının (Tanım 2.2) işlemleriyle kurulmuş, aynı \(\mathbf{p}\) noktasındaki \((a\mathbf{v} + b\mathbf{w})_{\mathbf{p}}\) teğet vektörüdür.
Teorem 3.1 (Yönlü Türevin Temel Özellikleri) \(f\) ve \(g\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde diferansiyellenebilir fonksiyonlar; \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ve \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) aynı \(\mathbf{p}\) noktasında teğet vektörler; \(a\) ve \(b\) sayılar olsun. O zaman
(1) \((a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}})[f] = a\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] + b\,\mathbf{w}_{\mathbf{p}}[f]\),
(2) \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[af + bg] = a\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] + b\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g]\),
(3) \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[fg] = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\cdot g(\mathbf{p}) + f(\mathbf{p})\cdot \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g]\).
İspat
Üç özelliği de Lemma 3.1’nden türeteceğiz. \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)\) ve \(\mathbf{w} = (w_1, w_2, w_3)\) olsun.
(1) \(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörünün vektör kısmı \(a\mathbf{v} + b\mathbf{w}\)’dir ve \(i\)-inci koordinatı \(av_i + bw_i\)’dir. Lemmayı bu teğet vektöre uygularsak
\[(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}})[f] = \sum_{i=1}^{3} (av_i + bw_i)\, \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p}) = a \sum_{i=1}^{3} v_i\, \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p}) + b \sum_{i=1}^{3} w_i\, \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p})\]
olur; burada toplamı iki toplama ayırdık ve \(a\), \(b\) sabitlerini toplamın dışına aldık. Sağdaki iki toplam, yine lemma gereği, \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) ve \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}[f]\)’dir.
(2) Kısmi türev alma işlemi lineerdir: \(a\) ve \(b\) sabit olduğundan \(\partial (af + bg)/\partial x_i = a\,\partial f/\partial x_i + b\,\partial g/\partial x_i\). Bu eşitliği \(\mathbf{p}\)’de değerlendirip lemmaya koyarsak
\[\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[af + bg] = \sum_{i=1}^{3} v_i \left( a\,\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p}) + b\,\dfrac{\partial g}{\partial x_i}(\mathbf{p}) \right) = a \sum_{i=1}^{3} v_i\, \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p}) + b \sum_{i=1}^{3} v_i\, \dfrac{\partial g}{\partial x_i}(\mathbf{p}),\]
yani \(a\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] + b\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g]\) bulunur.
(3) Kısmi türevin çarpım kuralı, fonksiyonlar arasında bir eşitlik olarak,
\[\dfrac{\partial (fg)}{\partial x_i} = \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\cdot g + f \cdot \dfrac{\partial g}{\partial x_i}\]
biçimindedir. Lemma gereği \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[fg] = \sum_{i=1}^{3} v_i\, \partial (fg)/\partial x_i(\mathbf{p})\); çarpım kuralını \(\mathbf{p}\)’de değerlendirip yerine koyarsak
\[\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[fg] = \sum_{i=1}^{3} v_i \left( \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p})\cdot g(\mathbf{p}) + f(\mathbf{p})\cdot \dfrac{\partial g}{\partial x_i}(\mathbf{p}) \right) = \left( \sum_{i=1}^{3} v_i\, \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p}) \right) g(\mathbf{p}) + f(\mathbf{p}) \left( \sum_{i=1}^{3} v_i\, \dfrac{\partial g}{\partial x_i}(\mathbf{p}) \right)\]
olur. Burada \(g(\mathbf{p})\) ve \(f(\mathbf{p})\) birer sayıdır ve toplama indisi \(i\)’ye bağlı değildir; bu yüzden toplamın dışına alınabilir. Parantez içindeki toplamlar lemma gereği \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) ve \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g]\)’dir; istenen eşitlik çıkar.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: yönlü türev, kısmi türevlerin bir lineer birleşimidir; kısmi türevin lineerliği ve çarpım kuralı bu birleşimden geçerek yönlü türeve taşınır.
İlk iki özellik şöyle özetlenir: \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) hem \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)’de hem \(f\)’de lineerdir (linearity). Üçüncü özellik, ispatının da gösterdiği gibi, çarpımın türevi için bilinen Leibniz kuralının (Leibniz rule) ta kendisidir.
NotTürev nasıl görünürse görünsün
Bu derste türev alma işlemi birçok biçimde karşımıza çıkacak: bir teğet vektöre göre türev, bir vektör alanı boyunca türev, ileride eğrilerin ve vektör alanlarının türevleri. Hangi biçimde gelirse gelsin, her türev işlemi uygun bir lineerlik ve uygun bir Leibniz özelliği taşır. Yeni bir türev kavramıyla karşılaştığınızda ilk sorulacak iki soru bunlardır.
Örnek 3.9 (Leibniz Kuralı Sayılarla) \(f = x^2\), \(g = yz\), \(\mathbf{p} = (1, 1, 0)\) ve \(\mathbf{v} = (1, 0, -3)\) olsun. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) ve \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g]\) sayılarını bulup \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[fg]\)’yi Leibniz kuralıyla hesaplayalım.
Çözüm
\(f = x^2\) için kısmi türevler \(2x, 0, 0\); \(\mathbf{p}\)’de \(2, 0, 0\). Lemma ile \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 1 \cdot 2 = 2\). \(g = yz\) için kısmi türevler \(0, z, y\); \(\mathbf{p}\)’de \(0, 0, 1\). Lemma ile \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g] = (-3) \cdot 1 = -3\). Ayrıca \(f(\mathbf{p}) = 1\) ve \(g(\mathbf{p}) = 0\). Leibniz kuralı,
\[\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[fg] = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\cdot g(\mathbf{p}) + f(\mathbf{p})\cdot \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g] = 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-3) = -3\]
verir. \(fg = x^2yz\) olduğundan bu, Örnek 3.1’taki sonuçla uyuşur.
Yanlış bir kısayola dikkat: türevlerin çarpımı \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\cdot\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g] = 2 \cdot (-3) = -6\), doğru cevap \(-3\) değildir. Çarpımın türevi, türevlerin çarpımı değildir.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.10 (Teğet Vektörde Lineerlik) \(f = x^2yz\) ve \(\mathbf{p} = (1, 1, 0)\) için \(\mathbf{v} = (1, 0, -3)\), \(\mathbf{w} = (0, 2, 1)\) olsun. \((2\mathbf{v}_{\mathbf{p}} - \mathbf{w}_{\mathbf{p}})[f]\) sayısını iki yoldan hesaplayalım.
Çözüm
Örnek 3.6’de \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = -3\) ve \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}[f] = 1\) bulmuştuk. Teoremin (1) şıkkı ile
\[(2\mathbf{v}_{\mathbf{p}} - \mathbf{w}_{\mathbf{p}})[f] = 2 \cdot (-3) - 1 = -7.\]
Doğrudan: \(2\mathbf{v} - \mathbf{w} = (2, -2, -7)\) ve \(\mathbf{p}\)’deki kısmi türevler \(0, 0, 1\) olduğundan lemma ile \(2 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + (-7) \cdot 1 = -7\). Aynı sayı.
Genel gözlem: \(\mathbf{p}\) ve \(f\) sabit tutulduğunda \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} \mapsto \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) eşlemesi, teğet uzayı \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’ten \(\mathbb{R}\)’ye bir lineer dönüşümdür. Bu örnekte o dönüşüm \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} \mapsto v_3\) izdüşümüdür.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.11 (Fonksiyonda Lineerlik) Düzlemde \(f = x^2 + y^2\), \(g = xy\), \(\mathbf{p} = (1, 2)\) ve \(\mathbf{v} = (3, -1)\) olsun. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[3f - 2g]\) sayısını iki yoldan bulalım.
Çözüm
Örnek 3.7’de \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 2\) bulmuştuk. \(g = xy\) için kısmi türevler \(y, x\); \(\mathbf{p}\)’de \(2, 1\); dolayısıyla \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g] = 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 = 5\). Teoremin (2) şıkkı ile \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[3f - 2g] = 3 \cdot 2 - 2 \cdot 5 = -4\).
Doğrudan: \(h = 3f - 2g = 3x^2 + 3y^2 - 2xy\) için kısmi türevler \(6x - 2y\) ve \(6y - 2x\); \(\mathbf{p}\)’de \(2\) ve \(10\); lemma ile \(3 \cdot 2 + (-1) \cdot 10 = -4\). Aynı sayı.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.12 (Sabit Çarpanın Dışarı Alınması) \(f\) diferansiyellenebilir bir fonksiyon, \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) bir teğet vektör ve \(c\) sabit bir sayı olsun. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[cf] = c\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) eşitliğinin Teorem 3.1’nin hem (2) hem (3) şıkkından çıktığını görelim.
Çözüm
\(c\) sabit fonksiyonunun bütün kısmi türevleri sıfırdır, dolayısıyla \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[c] = 0\) (Örnek 3.5). (3) şıkkı, \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[cf] = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[c]\cdot f(\mathbf{p}) + c\cdot\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 0 + c\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) verir; (2) şıkkı ise \(b = 0\) ile aynı eşitliği doğrudan verir. İki şık tutarlıdır.
\(\blacksquare\)
3.4 Vektör Alanı Boyunca Türev
Tek değişkenli hesapta önce bir noktadaki türev \(f'(a)\) tanımlanır; sonra her noktaya o noktadaki türevi karşılık getiren türev fonksiyonu \(df/dx\) kurulur. Aynı adımı burada da atacağız. Bir vektör alanı \(V\) (Tanım 2.4), her \(\mathbf{p}\) noktasına bir \(V(\mathbf{p})\) teğet vektörü verir. Bu teğet vektöre göre \(f\)’nin türevi \(V(\mathbf{p})[f]\) bir sayıdır. Noktasal ilke, bu sayıları bir fonksiyonda toplamamızı söyler.
Tanım 3.2 (Fonksiyonun Bir Vektör Alanı Boyunca Türevi) \(V\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir vektör alanı ve \(f\) diferansiyellenebilir bir fonksiyon olsun. Her \(\mathbf{p}\) noktasına \(V(\mathbf{p})[f]\) sayısını karşılık getiren gerçel değerli fonksiyona \(f\)’nin \(V\) boyunca türevi denir ve \(V[f]\) ile gösterilir:
\[V[f](\mathbf{p}) = V(\mathbf{p})[f] \qquad (\text{her } \mathbf{p} \text{ için}).\]
Yani \(V[f]\), “\(V\)’nin gösterdiği yönde \(f\) ne hızla değişiyor?” sorusunun her noktadaki cevabını bir araya getiren fonksiyondur.
Bu fonksiyonu koordinatlarla yazalım. \(V\)’nin Öklid koordinat fonksiyonları \(v_1, v_2, v_3\) ise Lemma 2.1 gereği \(V = \sum_{i=1}^{3} v_i U_i\), yani her \(\mathbf{p}\) için \(V(\mathbf{p}) = \bigl(v_1(\mathbf{p}), v_2(\mathbf{p}), v_3(\mathbf{p})\bigr)_{\mathbf{p}}\)’dir. Lemma 3.1’ne göre \(V[f](\mathbf{p}) = \sum_{i=1}^{3} v_i(\mathbf{p})\, \partial f/\partial x_i(\mathbf{p})\); bu her \(\mathbf{p}\) için doğru olduğundan fonksiyonlar arasında
\[V[f] = \sum_{i=1}^{3} v_i\, \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\]
eşitliği geçerlidir.
Sağ taraf, diferansiyellenebilir fonksiyonların çarpım ve toplamıdır: \(V\) bir vektör alanı olduğundan (önceki bölümdeki sözleşme gereği koordinat fonksiyonları diferansiyellenebilirdir) \(v_i\)’ler, \(f\) diferansiyellenebilir olduğundan \(\partial f/\partial x_i\)’ler diferansiyellenebilirdir. Dolayısıyla \(V[f]\) yine diferansiyellenebilir bir fonksiyondur ve onun da türevi alınabilir: \(W[V[f]]\) gibi ifadeler anlamlıdır.
Formülün en basit hâli, doğal çatı alanı için ortaya çıkar.
Önerme 3.1 (Doğal Çatı Alanı Boyunca Türev Kısmi Türevdir) \(U_1, U_2, U_3\), \(\mathbb{R}^3\)’ün doğal çatı alanı ise her diferansiyellenebilir \(f\) fonksiyonu için
\[U_i[f] = \dfrac{\partial f}{\partial x_i} \qquad (i = 1, 2, 3).\]
İspat
\(i = 1\) için gösterelim; diğerleri aynıdır. Tanım 2.6 gereği \(U_1(\mathbf{p}) = (1, 0, 0)_{\mathbf{p}}\)’dir. \(\mathbf{p} = (p_1, p_2, p_3)\) için doğru \(\mathbf{p} + t(1, 0, 0) = (p_1 + t, p_2, p_3)\) olur; tanımdan
\[U_1(\mathbf{p})[f] = \left.\dfrac{d}{dt}\, f(p_1 + t,\ p_2,\ p_3)\right|_{t = 0}.\]
Sağ taraf, ikinci ve üçüncü koordinatı sabit tutup birinciye göre türev almaktır; bu, \(\partial f/\partial x_1(\mathbf{p})\) kısmi türevinin tanımının ta kendisidir. Eşitlik her \(\mathbf{p}\) noktasında doğru olduğundan \(U_1[f] = \partial f/\partial x_1\) fonksiyon eşitliğidir.
Aynı sonuç lemmadan da çıkar: \(U_i(\mathbf{p})\)’nin koordinatları, \(j = i\) için \(1\), \(j \neq i\) için \(0\)’dır; toplamdaki üç terimden yalnızca \(i\)-incisi kalır ve \(U_i(\mathbf{p})[f] = 1 \cdot \partial f/\partial x_i(\mathbf{p})\) olur.
\(\blacksquare\)
Bu özdeşlik hesapları kolaylaştırır: \(U_i\) boyunca türev, \(x_i\)’ye göre kısmi türevdir. Yönlü türevi bundan sonra tek tek teğet vektörlerden çok vektör alanları için kullanacağız.
UyarıSayı mı, fonksiyon mu?
Önceki bölümlerdeki nokta–sayı–fonksiyon ayrımı burada yeniden karşımızdadır. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) bir sayıdır. \(V[f]\) bir fonksiyondur; \(V[f](\mathbf{p})\) ise bu fonksiyonun \(\mathbf{p}\)’deki değeri olan sayıdır ve tanım gereği \(V(\mathbf{p})[f]\)’ye eşittir. Aynı biçimde \(\partial f/\partial x\) bir fonksiyon, \(\partial f/\partial x(\mathbf{p})\) bir sayıdır. Parantezlerin yeri, hangisinden söz edildiğini söyler.
Örnek 3.13 (Bir Vektör Alanı Boyunca Türev Hesabı) \(V = xU_1 - y^2U_3\) ve \(f = x^2y + z^3\) olsun. \(V[f]\) fonksiyonunu hesaplayalım ve \(\mathbf{p} = (1, 2, -1)\) noktasındaki değerini iki yoldan doğrulayalım.
Çözüm
\(V\)’nin koordinat fonksiyonları \(v_1 = x\), \(v_2 = 0\), \(v_3 = -y^2\)’dir. \(f\)’nin kısmi türevleri \(\partial f/\partial x = 2xy\), \(\partial f/\partial y = x^2\), \(\partial f/\partial z = 3z^2\). Formülle
\[V[f] = x \cdot 2xy + 0 \cdot x^2 + (-y^2) \cdot 3z^2 = 2x^2y - 3y^2z^2.\]
Aynı hesabı \(U_i[f] = \partial f/\partial x_i\) özdeşliği ve lineerlikle adım adım da yazabiliriz:
\[V[f] = x\,U_1[x^2y] + x\,U_1[z^3] - y^2\,U_3[x^2y] - y^2\,U_3[z^3] = x(2xy) + 0 - 0 - y^2(3z^2) = 2x^2y - 3y^2z^2.\]
\(\mathbf{p} = (1, 2, -1)\)’de bu fonksiyonun değeri \(2 \cdot 1 \cdot 2 - 3 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 12 = -8\)’dir. Doğrulama: \(V(\mathbf{p}) = (1, 0, -4)_{\mathbf{p}}\) teğet vektörüdür ve \(f\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki kısmi türevleri \(4, 1, 3\)’tür; lemma ile \(V(\mathbf{p})[f] = 1 \cdot 4 + 0 \cdot 1 + (-4) \cdot 3 = -8\). İki sayı uyuşur: \(V[f](\mathbf{p}) = V(\mathbf{p})[f]\).
\(\blacksquare\)
Örnek 3.14 (Düzlemde Dönen Alan ve Seviye Çemberleri) Düzlemde \(V = -yU_1 + xU_2\) vektör alanını ve \(f = x^2 + y^2\) fonksiyonunu alalım. \(V[f]\) fonksiyonunu hesaplayıp yorumlayalım.
Çözüm
\(V\)’nin koordinat fonksiyonları \(v_1 = -y\), \(v_2 = x\)’tir. \(f\) için \(\partial f/\partial x = 2x\), \(\partial f/\partial y = 2y\); dolayısıyla
\[V[f] = (-y)(2x) + x(2y) = 0.\]
\(V[f]\) her noktada sıfırdır. Geometrik açıklama şudur: başlangıç noktası dışındaki her \(\mathbf{p}\) için \(V(\mathbf{p})\) vektörü, \(\mathbf{p}\)’den geçen başlangıç noktası merkezli çembere teğettir (bu alan düzlemi başlangıç noktası çevresinde döndürür); \(f\) ise bu çemberler üzerinde sabittir. Çember boyunca giderken \(f\) değişmez, türev sıfırdır. Başlangıç noktasında ise \(V(\mathbf{0})\) sıfır vektörüdür; sıfır vektöre göre türev her fonksiyon için sıfırdır, çünkü lemmadaki toplamda bütün katsayılar sıfırdır. Aşağıdaki şekilde okların seviye çemberlerine teğet olduğu görülür.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.15 (Dönen Alan Boyunca Bir Koordinat Fonksiyonu) Düzlemde \(V = -yU_1 + xU_2\) vektör alanını ve \(g = x\) fonksiyonunu alalım. \(V[g]\) fonksiyonunu hesaplayıp yorumlayalım.
Çözüm
\(V\)’nin koordinat fonksiyonları \(v_1 = -y\), \(v_2 = x\)’tir. \(g = x\) için \(\partial g/\partial x = 1\), \(\partial g/\partial y = 0\); dolayısıyla \(V[g] = -y\). Örneğin \(\mathbf{q} = (0, 1)\) noktasında \(V(\mathbf{q})\)’nun vektör kısmı \((-1, 0)\)’dır, sola bakar; sola giderken \(x\) koordinatı birim hızla azalır ve gerçekten \(V[g](\mathbf{q}) = -1\)’dir.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.16 (Her Noktada Bir Sayı) Düzlemde \(W = xU_1 + yU_2\) (başlangıç noktasından dışarı bakan alan) ve \(f = x^2 + y^2\) olsun. \(W[f]\) fonksiyonunu bulup birkaç noktadaki değerini görelim.
Çözüm
\(w_1 = x\), \(w_2 = y\) ve kısmi türevler \(2x, 2y\) olduğundan \(W[f] = x \cdot 2x + y \cdot 2y = 2(x^2 + y^2) = 2f\). Bu kez türev sıfır değildir: başlangıç noktası dışındaki her \(\mathbf{p}\) noktasında \(W(\mathbf{p})\), o noktadan geçen seviye çemberine diktir ve dışarı bakar; \(f\) bu yönde artar. Başlangıç noktasından uzaklaştıkça hem \(W\)’nin oku hem de gradyan \((2x, 2y) = 2(x, y)\) uzar; \(W[f]\) bu ikisinin iç çarpımıdır ve ikisi aynı yönde olduğundan uzunluklarının çarpımına, \(\sqrt{x^2 + y^2}\cdot 2\sqrt{x^2 + y^2} = 2(x^2 + y^2)\) sayısına eşittir; dolayısıyla dışarı doğru büyür.
Aynı \(f\) için Örnek 3.14’da \(V[f] = 0\) bulmuştuk: \(V[f]\) fonksiyonu yalnızca \(f\)’ye değil, alana da bağlıdır. Değerler tablosu:
| nokta | \(W\) vektörü | \(W[f]\) değeri |
|---|---|---|
| \((1, 0)\) | \((1, 0)\) | \(2\) |
| \((0, 1)\) | \((0, 1)\) | \(2\) |
| \((1, 1)\) | \((1, 1)\) | \(4\) |
| \((2, 0)\) | \((2, 0)\) | \(8\) |
| \((-1, 1)\) | \((-1, 1)\) | \(4\) |
| \((0, 0)\) | \((0, 0)\) | \(0\) |
Başlangıç noktasında \(W(\mathbf{0})\) da sıfır vektörüdür ve Örnek 3.14’daki gerekçeyle \(W[f](\mathbf{0}) = 0\)’dır. Aşağıdaki şekil, \(W[f]\)’nin “her noktada bir sayı” olduğunu gösterir: her okun yanında o noktadaki değer yazılıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.17 (Uzayda Sabit Alan) \(V = U_1 + U_2 + U_3\) ve \(f = xyz\) olsun. \(V[f]\) fonksiyonunu bulup \(\mathbf{p} = (1, 2, 3)\)’teki değerini tanımla doğrulayalım.
Çözüm
\(V\)’nin koordinat fonksiyonları sabit \(1, 1, 1\)’dir: her noktada aynı \((1, 1, 1)\) vektör kısmı. \(f\)’nin kısmi türevleri \(yz, xz, xy\) olduğundan
\[V[f] = yz + xz + xy.\]
\(\mathbf{p} = (1, 2, 3)\)’te değer \(6 + 3 + 2 = 11\). Tanımla: \(V(\mathbf{p})\)’nin vektör kısmı \(\mathbf{v} = (1, 1, 1)\) olduğundan \(\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (1 + t, 2 + t, 3 + t)\) ve
\[f(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = (1 + t)(2 + t)(3 + t) = (2 + 3t + t^2)(3 + t) = 6 + 11t + 6t^2 + t^3;\]
türev \(t = 0\)’da \(11\). Uyuşur.
\(\blacksquare\)
3.5 Vektör Alanı Boyunca Türevin Özellikleri
Teorem 3.1’ndeki üç özellik, noktasal ilke sayesinde \(V[f]\)’ye taşınır. Tek yenilik, (1) şıkkında sayılar yerine fonksiyonların skaler görevi görmesidir: \(fV + gW\) vektör alanı, önceki bölümde tanımlandığı gibi, noktasal olarak \(f(\mathbf{p})V(\mathbf{p}) + g(\mathbf{p})W(\mathbf{p})\) ile verilir.
Sonuç 3.1 (Vektör Alanı Boyunca Türevin Özellikleri) \(V\) ve \(W\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde vektör alanları; \(f, g, h\) diferansiyellenebilir gerçel değerli fonksiyonlar; \(a, b\) sayılar olsun. O zaman
(1) \((fV + gW)[h] = f\,V[h] + g\,W[h]\),
(2) \(V[af + bg] = a\,V[f] + b\,V[g]\),
(3) \(V[fg] = V[f]\cdot g + f\cdot V[g]\).
İspat
İki fonksiyonun eşit olması, her \(\mathbf{p}\) noktasında aynı değeri almaları demektir. Bu yüzden her formülü herhangi bir \(\mathbf{p}\) noktasında değerlendirip Teorem 3.1’ni uygulayacağız. Noktasal ilke gereği tek dikkat edilecek şey parantezlerin yeridir: \(V[h](\mathbf{p})\), “önce fonksiyonu kur, sonra \(\mathbf{p}\)’de değerlendir” demektir ve tanım gereği \(V(\mathbf{p})[h]\) sayısına eşittir.
(1) \((fV + gW)(\mathbf{p}) = f(\mathbf{p})\,V(\mathbf{p}) + g(\mathbf{p})\,W(\mathbf{p})\)’dir; burada \(f(\mathbf{p})\), \(g(\mathbf{p})\) birer sayı, \(V(\mathbf{p})\), \(W(\mathbf{p})\) ise \(\mathbf{p}\)’deki birer teğet vektördür. Teorem 3.1’nin (1) şıkkını \(a = f(\mathbf{p})\), \(b = g(\mathbf{p})\) sayılarıyla uygularsak
\[(fV + gW)[h](\mathbf{p}) = \bigl(f(\mathbf{p})V(\mathbf{p}) + g(\mathbf{p})W(\mathbf{p})\bigr)[h] = f(\mathbf{p})\,V(\mathbf{p})[h] + g(\mathbf{p})\,W(\mathbf{p})[h]\]
olur. \(V(\mathbf{p})[h] = V[h](\mathbf{p})\) ve \(W(\mathbf{p})[h] = W[h](\mathbf{p})\) yazılırsa sağ taraf \(f(\mathbf{p})\,V[h](\mathbf{p}) + g(\mathbf{p})\,W[h](\mathbf{p}) = (f\,V[h] + g\,W[h])(\mathbf{p})\) olur. Bu her \(\mathbf{p}\) için doğru olduğundan iki fonksiyon eşittir.
(2) Tanım ve teoremin (2) şıkkı ile
\[V[af + bg](\mathbf{p}) = V(\mathbf{p})[af + bg] = a\,V(\mathbf{p})[f] + b\,V(\mathbf{p})[g] = a\,V[f](\mathbf{p}) + b\,V[g](\mathbf{p}) = (a\,V[f] + b\,V[g])(\mathbf{p}).\]
(3) Tanım ve teoremin (3) şıkkı ile
\[V[fg](\mathbf{p}) = V(\mathbf{p})[fg] = V(\mathbf{p})[f]\cdot g(\mathbf{p}) + f(\mathbf{p})\cdot V(\mathbf{p})[g] = V[f](\mathbf{p})\cdot g(\mathbf{p}) + f(\mathbf{p})\cdot V[g](\mathbf{p}),\]
ve son ifade \((V[f]\cdot g + f\cdot V[g])(\mathbf{p})\)’dir.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: her noktada teoremi uygula, sonra parantezleri “sayı” tarafından “fonksiyon” tarafına kaydır.
Parantezlerin bu kadar titizce taşınması abartılı görünebilir. Ama tek değişkenli Leibniz formülünün
\[\dfrac{d}{dx}(fg) = \dfrac{df}{dx}\cdot g + f\cdot\dfrac{dg}{dx}\]
titiz bir ispatı da aynı kaydırmaları içerir: iki taraf da fonksiyondur ve eşitlik her \(x\) noktasında sayıların eşitliği olarak denetlenir.
UyarıSkaler olarak fonksiyon mu, sayı mı?
Sonucun (1) şıkkında \(V[f]\)’nin \(V\)’ye göre lineerliği fonksiyonları skaler olarak kabul eder: \((fV)[h] = f\,V[h]\). (2) şıkkında ise \(f\)’ye göre lineerlik yalnızca sayıları skaler olarak kabul eder: \(V[af] = a\,V[f]\) sayılar için doğrudur, ama fonksiyonlar için \(V[fg] = f\,V[g]\) genelde yanlıştır. Nedeni şudur: \(fV\) yalnızca bir çarpmadır, oysa \(V[f]\) bir türevdir ve türev çarpanı dışarı almaz; Leibniz kuralı gereği fazladan bir \(V[f]\cdot g\) terimi çıkar. Somut örnek: \(V = U_1\) ve \(f = g = x\) için \(V[fg] = U_1[x^2] = 2x\), ama \(f\,V[g] = x\,U_1[x] = x\). Aradaki fark tam olarak \(V[f]\cdot g = 1 \cdot x = x\)’tir.
Örnek 3.18 (Leibniz Kuralı Fonksiyonlarla) \(V = U_1 + zU_2\), \(f = x\) ve \(g = y\) olsun. \(V[f]\), \(V[g]\) ve \(V[fg]\) fonksiyonlarını hesaplayıp sonucun (3) şıkkını doğrulayalım.
Çözüm
\(V\)’nin koordinat fonksiyonları \(1, z, 0\)’dır; dolayısıyla her \(h\) için \(V[h] = \partial h/\partial x + z\,\partial h/\partial y\). Buradan \(V[f] = V[x] = 1\), \(V[g] = V[y] = z\) ve
\[V[fg] = V[xy] = y + z \cdot x = y + xz.\]
Öte yandan \(V[f]\cdot g + f\cdot V[g] = 1 \cdot y + x \cdot z = y + xz\). İki taraf aynı fonksiyondur. Bir kez daha, \(f\,V[g] = xz\) tek başına \(V[fg]\)’ye eşit değildir.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.19 (Türevin Türevi) Düzlemde \(V = xU_1 + yU_2\) ve \(f = x^2y\) olsun. \(V[f]\) ve \(V[V[f]]\) fonksiyonlarını hesaplayalım.
Çözüm
\(V[h] = x\,\partial h/\partial x + y\,\partial h/\partial y\) olduğundan
\[V[f] = x \cdot 2xy + y \cdot x^2 = 3x^2y = 3f.\]
\(V[f]\) yine bir fonksiyondur; ona da \(V\) uygulanabilir:
\[V[V[f]] = V[3x^2y] = 3\,V[x^2y] = 3 \cdot 3x^2y = 9x^2y.\]
Burada \(3\) sabit olduğu için (2) şıkkı ile dışarı alındı. Genel gözlem: \(x^ay^b\) tek terimlisi için \(V[x^ay^b] = x \cdot ax^{a-1}y^b + y \cdot bx^ay^{b-1} = (a + b)\,x^ay^b\); yani bu alan, derecesi \(k\) olan her homojen polinomu (bütün terimleri aynı \(k\) dereceden olan polinomu) \(k\) katına çıkarır. \(f = x^2y\) için \(k = 3\)’tür.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.20 (Fonksiyon Skalerli Lineerlik) \(V = U_1\), \(W = U_3\), \(f = y\), \(g = x^2\) ve \(h = xz\) olsun. \((fV + gW)[h]\) fonksiyonunu hem doğrudan hem sonucun (1) şıkkıyla hesaplayalım.
Çözüm
Doğrudan: \(fV + gW = yU_1 + x^2U_3\) alanının koordinat fonksiyonları \(y, 0, x^2\)’dir; \(h = xz\) için kısmi türevler \(z, 0, x\). Dolayısıyla \((fV + gW)[h] = y \cdot z + x^2 \cdot x = yz + x^3\).
Sonuçla: \(V[h] = U_1[xz] = z\) ve \(W[h] = U_3[xz] = x\); buradan \(f\,V[h] + g\,W[h] = yz + x^2 \cdot x = yz + x^3\). Aynı fonksiyon. Fonksiyonlar burada gerçekten skaler gibi davrandı, çünkü \(fV\) yalnızca bir çarpmadır.
\(\blacksquare\)
3.6 Gösterim Üzerine
NotUygulama noktasını atlamak
Her teğet vektörü \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) diye alt indisiyle yazmak, uzun hesaplarda formülleri kalabalıklaştırır. Bundan sonra uygulama noktası bağlamdan belliyse onu yazmayacak, teğet vektöre kısaca \(\mathbf{v}\) diyeceğiz. Harflerin görevi sabit kalacağı için bu bir belirsizlik yaratmaz: \(\mathbf{v}\) ve \(\mathbf{w}\) daima teğet vektör, \(\mathbf{p}\) ve \(\mathbf{q}\) daima \(\mathbb{R}^3\)’ün noktasıdır. Örneğin “\(\mathbf{p}\) noktasında \(\mathbb{R}^3\)’e teğet bir \(\mathbf{v}\) vektörü için \(\mathbf{v}[f] = 2\)” cümlesi, \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 2\) demektir.
Uygulama noktasının hesabın parçası olduğu yerlerde ise alt indisli yazıma geri döneriz. Tanım 3.1’de ve Örnek 3.3’da olduğu gibi, aynı vektör kısmı iki farklı noktada iki farklı türev verebilir; orada \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ile \(\mathbf{v}_{\mathbf{q}}\) ayrımı vazgeçilmezdir.
3.7 Alıştırmalar
Alıştırma 3.1 (Tanımdan Hesap ve Sıfır Çıkan Türev) \(\mathbf{v} = (2, -1, 3)\) ve \(\mathbf{p} = (2, 0, -1)\) olsun. Doğrudan Tanım 3.1’den çalışarak \(f = y^2z\) fonksiyonu için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısını hesaplayınız.
Çözüm
Önce doğruyu yazalım: \(\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (2 + 2t,\ -t,\ -1 + 3t)\).
İkinci koordinatın karesi ile üçüncü koordinat çarpılır: \(f(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = (-t)^2(-1 + 3t) = -t^2 + 3t^3\). Türev \(-2t + 9t^2\), \(t = 0\)’da \(0\). Dolayısıyla \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 0\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.2 (Tanımdan Hesap ve Zincir Kuralı) \(\mathbf{v} = (2, -1, 3)\) ve \(\mathbf{p} = (2, 0, -1)\) olsun. Doğrudan Tanım 3.1’den çalışarak \(f = x^7\) fonksiyonu için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısını hesaplayınız.
Çözüm
Önce doğruyu yazalım: \(\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (2 + 2t,\ -t,\ -1 + 3t)\).
\(f(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = (2 + 2t)^7\). Zincir kuralıyla türev \(7(2 + 2t)^6 \cdot 2 = 14(2 + 2t)^6\); \(t = 0\)’da \(14 \cdot 2^6 = 14 \cdot 64 = 896\). Dolayısıyla \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 896\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.3 (Tanımdan Hesap ve Çarpım Kuralı) \(\mathbf{v} = (2, -1, 3)\) ve \(\mathbf{p} = (2, 0, -1)\) olsun. Doğrudan Tanım 3.1’den çalışarak \(f = e^x \cos y\) fonksiyonu için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısını hesaplayınız.
Çözüm
Önce doğruyu yazalım: \(\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (2 + 2t,\ -t,\ -1 + 3t)\).
\(f(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = e^{2 + 2t}\cos(-t) = e^{2 + 2t}\cos t\), çünkü kosinüs çift fonksiyondur. Çarpım kuralıyla türev \(2e^{2 + 2t}\cos t - e^{2 + 2t}\sin t\); \(t = 0\)’da \(2e^2 \cdot 1 - e^2 \cdot 0 = 2e^2\). Dolayısıyla \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 2e^2\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.4 (Sıfır Çıkan Türev Lemma ile) \(\mathbf{v} = (2, -1, 3)\), \(\mathbf{p} = (2, 0, -1)\) ve \(f = y^2z\) olsun. Alıştırma 3.1’da tanımdan hesaplanan \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısını bu kez Lemma 3.1 ile hesaplayınız.
Çözüm
\(\mathbf{p} = (2, 0, -1)\)’deki üç kısmi türev bulunur ve \(\mathbf{v} = (2, -1, 3)\) ile ağırlıklı toplam alınır.
\(f = y^2z\): \(\partial f/\partial x = 0\), \(\partial f/\partial y = 2yz\), \(\partial f/\partial z = y^2\). \(\mathbf{p}\)’de \(y = 0\) olduğundan üçü de \(0\)’dır; toplam \(0\). Uyuşur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.5 (Zincir Kuralı Yerine Lemma) \(\mathbf{v} = (2, -1, 3)\), \(\mathbf{p} = (2, 0, -1)\) ve \(f = x^7\) olsun. Alıştırma 3.2’de tanımdan hesaplanan \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısını bu kez Lemma 3.1 ile hesaplayınız.
Çözüm
\(\mathbf{p} = (2, 0, -1)\)’deki üç kısmi türev bulunur ve \(\mathbf{v} = (2, -1, 3)\) ile ağırlıklı toplam alınır.
\(f = x^7\): \(\partial f/\partial x = 7x^6\), diğer ikisi \(0\). \(\mathbf{p}\)’de \(7 \cdot 2^6 = 448\); toplam \(2 \cdot 448 = 896\). Uyuşur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.6 (Çarpım Kuralı Yerine Lemma) \(\mathbf{v} = (2, -1, 3)\), \(\mathbf{p} = (2, 0, -1)\) ve \(f = e^x \cos y\) olsun. Alıştırma 3.3’de tanımdan hesaplanan \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısını bu kez Lemma 3.1 ile hesaplayınız.
Çözüm
\(\mathbf{p} = (2, 0, -1)\)’deki üç kısmi türev bulunur ve \(\mathbf{v} = (2, -1, 3)\) ile ağırlıklı toplam alınır.
\(f = e^x\cos y\): \(\partial f/\partial x = e^x\cos y\), \(\partial f/\partial y = -e^x\sin y\), \(\partial f/\partial z = 0\). \(\mathbf{p}\)’de \(e^2\cos 0 = e^2\), \(-e^2\sin 0 = 0\) ve \(0\); toplam \(2 \cdot e^2 + (-1) \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 2e^2\). Uyuşur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.7 (Bir Çarpımın Alan Boyunca Türevi) \(V = y^2U_1 - xU_3\) ve \(f = xy\) olsun. \(V[f]\) fonksiyonunu hesaplayınız.
Çözüm
\(V\)’nin koordinat fonksiyonları \(y^2, 0, -x\) olduğundan her \(h\) için \(V[h] = y^2\,\partial h/\partial x - x\,\partial h/\partial z\).
Buradan \(V[f] = y^2 \cdot y - x \cdot 0 = y^3\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.8 (Bir Kuvvetin Alan Boyunca Türevi) \(V = y^2U_1 - xU_3\) ve \(g = z^3\) olsun. \(V[g]\) fonksiyonunu hesaplayınız.
Çözüm
\(V\)’nin koordinat fonksiyonları \(y^2, 0, -x\) olduğundan her \(h\) için \(V[h] = y^2\,\partial h/\partial x - x\,\partial h/\partial z\).
Buradan \(V[g] = y^2 \cdot 0 - x \cdot 3z^2 = -3xz^2\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.9 (Alan Boyunca Leibniz Kuralı) \(V = y^2U_1 - xU_3\), \(f = xy\) ve \(g = z^3\) olsun. \(V[fg]\) fonksiyonunu hesaplayınız.
Çözüm
\(V\)’nin koordinat fonksiyonları \(y^2, 0, -x\) olduğundan her \(h\) için \(V[h] = y^2\,\partial h/\partial x - x\,\partial h/\partial z\).
Buradan, Alıştırma 3.7 ve Alıştırma 3.8’deki gibi, \(V[f] = y^3\) ve \(V[g] = -3xz^2\) bulunur.
Leibniz kuralı (Sonuç 3.1, (3)) şunu verir:
\[V[fg] = V[f]\cdot g + f\cdot V[g] = y^3z^3 + xy(-3xz^2) = y^3z^3 - 3x^2yz^2\]
Doğrudan denetim: \(fg = xyz^3\) için \(V[fg] = y^2 \cdot yz^3 - x \cdot 3xyz^2 = y^3z^3 - 3x^2yz^2\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.10 (Türevlerle Kurulan Bir Fark) \(V = y^2U_1 - xU_3\), \(f = xy\) ve \(g = z^3\) olsun. \(f\,V[g] - g\,V[f]\) fonksiyonunu hesaplayınız.
Çözüm
\(V\)’nin koordinat fonksiyonları \(y^2, 0, -x\) olduğundan her \(h\) için \(V[h] = y^2\,\partial h/\partial x - x\,\partial h/\partial z\).
Buradan, Alıştırma 3.7 ve Alıştırma 3.8’deki gibi, \(V[f] = y^3\) ve \(V[g] = -3xz^2\) bulunur.
\(f\,V[g] - g\,V[f] = xy(-3xz^2) - z^3 \cdot y^3 = -3x^2yz^2 - y^3z^3\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.11 (Karelerin Toplamının Alan Boyunca Türevi) \(V = y^2U_1 - xU_3\), \(f = xy\) ve \(g = z^3\) olsun. \(V[f^2 + g^2]\) fonksiyonunu hesaplayınız.
Çözüm
\(V\)’nin koordinat fonksiyonları \(y^2, 0, -x\) olduğundan her \(h\) için \(V[h] = y^2\,\partial h/\partial x - x\,\partial h/\partial z\).
Buradan, Alıştırma 3.7 ve Alıştırma 3.8’deki gibi, \(V[f] = y^3\) ve \(V[g] = -3xz^2\) bulunur.
Lineerlik ve Leibniz kuralı ile \(V[f^2] = 2f\,V[f]\) ve \(V[g^2] = 2g\,V[g]\); dolayısıyla \(V[f^2 + g^2] = 2xy \cdot y^3 + 2z^3(-3xz^2) = 2xy^4 - 6xz^5\). Doğrudan denetim: \(f^2 + g^2 = x^2y^2 + z^6\) için \(V[f^2 + g^2] = y^2 \cdot 2xy^2 - x \cdot 6z^5 = 2xy^4 - 6xz^5\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.12 (Alan Boyunca Türevin Yeniden Türevi) \(V = y^2U_1 - xU_3\) ve \(f = xy\) olsun. \(V[V[f]]\) fonksiyonunu hesaplayınız.
Çözüm
\(V\)’nin koordinat fonksiyonları \(y^2, 0, -x\) olduğundan her \(h\) için \(V[h] = y^2\,\partial h/\partial x - x\,\partial h/\partial z\).
Alıştırma 3.7 gereği \(V[f] = y^3\); bu fonksiyonun \(x\)’e ve \(z\)’ye göre kısmi türevleri sıfırdır. Dolayısıyla \(V[V[f]] = V[y^3] = y^2 \cdot 0 - x \cdot 0 = 0\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.13 (Koordinat Fonksiyonları Türevle Geri Alınır) \(x_1, x_2, x_3\) doğal koordinat fonksiyonları olmak üzere her \(V\) vektör alanı için
\[V = \sum_{i=1}^{3} V[x_i]\, U_i\]
özdeşliğini ispatlayınız. (İpucu: \(V = \sum_{i=1}^{3} v_i U_i\) yazıp \(x_j\) üzerinde değerlendiriniz.)
Çözüm
Lemma 2.1 gereği \(V = \sum_{i=1}^{3} v_i U_i\) olacak biçimde \(v_1, v_2, v_3\) koordinat fonksiyonları vardır. Gösterilecek olan, her \(j\) için \(V[x_j] = v_j\) eşitliğidir; bu sağlanırsa \(\sum_i V[x_i]U_i = \sum_i v_iU_i = V\) olur.
Önce \(U_i[x_j]\) hesaplanır. Önerme 3.1 gereği \(U_i[x_j] = \partial x_j/\partial x_i\)’dir. \(x_j\) fonksiyonu, bir noktanın \(j\)-inci koordinatını verir; \(i = j\) ise kendisine göre türevi \(1\), \(i \neq j\) ise (\(x_j\) fonksiyonunun değeri \(i\)-inci koordinata bağlı olmadığından) \(0\)’dır. Yani \(U_i[x_j]\), \(i = j\) için \(1\), aksi hâlde \(0\) olan sabit fonksiyondur.
Şimdi Sonuç 3.1’nin (1) şıkkını kullanalım. Bu şık, \(fV + gW\) biçimindeki iki terimli toplamlar için yazılmıştır; üç terimli \(V = v_1U_1 + v_2U_2 + v_3U_3\) toplamına ulaşmak için onu iki kez uygularız. Önce \(V = v_1U_1 + 1\cdot(v_2U_2 + v_3U_3)\) ayrışımına uygularız; burada \(1\) sabit fonksiyondur ve fonksiyonlar skaler görevi görür. Sonra parantez içindeki iki terimli \(v_2U_2 + v_3U_3\) alanına bir kez daha uygularız. Böylece
\[V[x_j] = \Bigl(\sum_{i=1}^{3} v_iU_i\Bigr)[x_j] = v_1\,U_1[x_j] + v_2\,U_2[x_j] + v_3\,U_3[x_j] = \sum_{i=1}^{3} v_i\,U_i[x_j] = v_j\]
bulunur; toplamda yalnızca \(i = j\) terimi sıfırdan farklıdır. Özdeşlik ispatlanmıştır.
Sayısal denetim: \(V = xU_1 - y^2U_3\) için \(V[x] = x\), \(V[y] = 0\), \(V[z] = -y^2\); gerçekten \(V = V[x]U_1 + V[y]U_2 + V[z]U_3\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.14 (Türevleri Aynı Olan Alanlar Aynıdır) \(V\) ve \(W\) vektör alanları için, \(\mathbb{R}^3\) üzerindeki her \(f\) fonksiyonu için \(V[f] = W[f]\) ise \(V = W\) olduğunu ispatlayınız.
Çözüm
\(V = \sum_i v_iU_i\) ve \(W = \sum_i w_iU_i\) olsun. Varsayımı özel olarak \(f = x_j\) koordinat fonksiyonlarına uygulayalım. Alıştırma 3.13 gereği \(V[x_j] = v_j\) ve \(W[x_j] = w_j\); varsayım \(V[x_j] = W[x_j]\) dediğinden \(v_j = w_j\) olur (\(j = 1, 2, 3\)). Öklid koordinat fonksiyonları eşit olan iki vektör alanı her noktada aynı teğet vektörü verir: \(V(\mathbf{p}) = \bigl(v_1(\mathbf{p}), v_2(\mathbf{p}), v_3(\mathbf{p})\bigr)_{\mathbf{p}} = W(\mathbf{p})\). Dolayısıyla \(V = W\).
Dikkat: ispatta bütün fonksiyonlar değil, yalnızca \(x, y, z\) doğal koordinat fonksiyonları kullanıldı. Bir vektör alanı, bu üç fonksiyonu nasıl türevlediğiyle tamamen belirlenir. Tersi de doğrudur: \(V = W\) ise tanım gereği her \(f\) için \(V[f] = W[f]\)’dir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.15 (Eyer Yüzeyinde İki Yön) Düzlemde \(f = x^2 - y^2\) ve \(\mathbf{p} = (1, 1)\) olsun. \(\mathbf{v} = (1, 1)\) ve \(\mathbf{w} = (1, -1)\) için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) ve \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}[f]\) sayılarını bulunuz.
Çözüm
\(\partial f/\partial x = 2x\) ve \(\partial f/\partial y = -2y\); \(\mathbf{p}\)’de \(2\) ve \(-2\). Lemma ile \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = 0\) ve \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}[f] = 1 \cdot 2 + (-1)(-2) = 4\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.16 (Eyer Yüzeyinde Birim Yönler) Düzlemde \(f = x^2 - y^2\) ve \(\mathbf{p} = (1, 1)\) olsun. \(\mathbf{u}_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)\) birim vektörleri için \((\mathbf{u}_\theta)_{\mathbf{p}}[f]\) sayısını \(\theta\) cinsinden yazınız; en büyük, en küçük ve sıfır olduğu yönleri belirleyiniz.
Çözüm
\(\partial f/\partial x = 2x\) ve \(\partial f/\partial y = -2y\) olduğundan \(\mathbf{p}\)’deki kısmi türevler \(2\) ve \(-2\)’dir. Lemma ile \((\mathbf{u}_\theta)_{\mathbf{p}}[f] = 2\cos\theta - 2\sin\theta = 2\sqrt{2}\cos\bigl(\theta + \tfrac{\pi}{4}\bigr)\); son eşitlik \(\cos(\theta + \pi/4) = (\cos\theta - \sin\theta)/\sqrt{2}\) özdeşliğinden gelir.
Bu ifade \(\theta = -\pi/4\)’te en büyük değeri \(2\sqrt{2}\)’yi alır: yön \((1, -1)/\sqrt{2}\), yani gradyan \((2, -2)\)’nin yönü. \(\theta = 3\pi/4\)’te en küçük değer \(-2\sqrt{2}\): gradyanın tersi. \(\theta = \pi/4\) ve \(\theta = 5\pi/4\)’te sıfırdır: yönler \(\pm(1, 1)/\sqrt{2}\), yani \(\mathbf{p}\)’den geçen \(x^2 - y^2 = 0\) seviye eğrisinin (burada \(y = x\) doğrusunun) teğet yönü. Alıştırma 3.15’daki \(\mathbf{v} = (1, 1)\) vektörü bu teğet yöndedir ve türevi sıfır çıkmıştı. Aşağıdaki şekil seviye eğrilerini ve bu yönleri gösterir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.17 (Yönlü Türev Teğet Uzayında Lineerdir) \(f\) bir fonksiyon ve \(\mathbf{p}\) bir nokta olsun. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} \mapsto \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) eşlemesinin \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’ten \(\mathbb{R}\)’ye bir lineer dönüşüm olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Lineer dönüşüm olmak, toplamı ve skaler katı korumak demektir. Teorem 3.1’nin (1) şıkkı tam olarak bunu söyler: \((a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}})[f] = a\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] + b\,\mathbf{w}_{\mathbf{p}}[f]\). Eşlemenin tanım kümesi teğet uzayı, değer kümesi gerçel sayılardır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.18 (Doğal Çatıda Sıfırsa Her Yönde Sıfır) \(f\) bir fonksiyon ve \(\mathbf{p}\) bir nokta olsun. \(U_1(\mathbf{p})[f] = U_2(\mathbf{p})[f] = U_3(\mathbf{p})[f] = 0\) ise her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 0\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Her teğet vektör doğal çatıda açılır: \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = \sum_{i=1}^{3} v_i\,U_i(\mathbf{p})\), çünkü \(U_i(\mathbf{p})\)’ler \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’ün bir tabanıdır (Tanım 2.6). Alıştırma 3.17’daki lineerlik ile \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = \sum_{i=1}^{3} v_i\,U_i(\mathbf{p})[f] = 0\). Aynı sonuç lemmadan da görülür: \(U_i(\mathbf{p})[f] = \partial f/\partial x_i(\mathbf{p})\) olduğundan varsayım, \(\mathbf{p}\)’deki üç kısmi türevin sıfır olması demektir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.19 (Türevi Sıfır Olan Teğet Vektörler) \(f = x^2yz\) ve \(\mathbf{p} = (1, 1, 1)\) için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 0\) koşulunu sağlayan bütün teğet vektörleri bulunuz.
Çözüm
\(\mathbf{p} = (1, 1, 1)\)’de kısmi türevler \(2xyz, x^2z, x^2y\) değerleri \(2, 1, 1\)’dir. Koşul \(2v_1 + v_2 + v_3 = 0\) olur. Bu, \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\) içinde bir düzlemdir; örneğin \((1, -2, 0)_{\mathbf{p}}\) ve \((0, 1, -1)_{\mathbf{p}}\) vektörleri onu gerer ve genel çözüm \(a(1, -2, 0)_{\mathbf{p}} + b(0, 1, -1)_{\mathbf{p}}\) biçimindedir. Geometrik anlamı şudur: \(\mathbf{p}\), \(f\)’nin \(x^2yz = 1\) seviye yüzeyi üzerindedir ve bu düzlem o yüzeye \(\mathbf{p}\)’de yaslanan düzlemdir; ileride ona yüzeyin \(\mathbf{p}\)’deki teğet düzlemi denecek, burada yalnızca sezgi için anıyoruz.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.20 (Dönen Alan Boyunca Uzaklığın Karesi) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde \(V = -yU_1 + xU_2\) ve \(f = x^2 + y^2 + z^2\) olsun. \(V[f]\) fonksiyonunu hesaplayınız; sonucu geometrik olarak yorumlayınız.
Çözüm
\(V\)’nin koordinat fonksiyonları \(-y, x, 0\) olduğundan her \(k\) fonksiyonu için \(V[k] = -y\,\partial k/\partial x + x\,\partial k/\partial y\).
Buradan \(V[f] = -y(2x) + x(2y) = 0\).
Yorum: \(V\), her noktada \(z\) eksenine dik düzlemde, \(z\) ekseni çevresindeki çembere teğet bir vektör verir; alan uzayı \(z\) ekseni etrafında döndürür. Bu dönme sırasında başlangıç noktasına uzaklık (\(f\)’nin karekökü) değişmez; bu yüzden \(V[f] = 0\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.21 (Dönen Alan Boyunca Bir Çarpım) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde \(V = -yU_1 + xU_2\) ve \(g = xy\) olsun. \(V[g]\) fonksiyonunu hesaplayınız; sonucu geometrik olarak yorumlayınız.
Çözüm
\(V\)’nin koordinat fonksiyonları \(-y, x, 0\) olduğundan her \(k\) fonksiyonu için \(V[k] = -y\,\partial k/\partial x + x\,\partial k/\partial y\).
Buradan \(V[g] = -y \cdot y + x \cdot x = x^2 - y^2\).
Yorum: \(V\), her noktada \(z\) eksenine dik düzlemde, \(z\) ekseni çevresindeki çembere teğet bir vektör verir; alan uzayı \(z\) ekseni etrafında döndürür. \(g = xy\) bu dönme sırasında değişir: \(V[g] = x^2 - y^2\), örneğin \((1, 0, 0)\) noktasında \(1\)’dir. Orada \(V\)’nin vektör kısmı \((0, 1, 0)\)’dır; bu yönde ilerlerken \(x = 1\) sabit kalır, \(y\) artar ve \(xy\) artar.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.22 (Dönen Alan Boyunca İkinci Türev) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde \(V = -yU_1 + xU_2\) ve \(g = xy\) olsun. \(V[V[g]]\) fonksiyonunu hesaplayınız.
Çözüm
\(V\)’nin koordinat fonksiyonları \(-y, x, 0\) olduğundan her \(k\) fonksiyonu için \(V[k] = -y\,\partial k/\partial x + x\,\partial k/\partial y\).
Alıştırma 3.21’deki gibi \(V[g] = -y \cdot y + x \cdot x = x^2 - y^2\). Bu fonksiyona bir kez daha \(V\) uygulanır: \(V[V[g]] = V[x^2 - y^2] = -y(2x) + x(-2y) = -4xy = -4g\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.23 (Dönen Alan Boyunca Yükseklik) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde \(V = -yU_1 + xU_2\) ve \(h = z\) olsun. \(V[h]\) fonksiyonunu hesaplayınız; sonucu geometrik olarak yorumlayınız.
Çözüm
\(V\)’nin koordinat fonksiyonları \(-y, x, 0\) olduğundan her \(k\) fonksiyonu için \(V[k] = -y\,\partial k/\partial x + x\,\partial k/\partial y\).
Buradan \(V[h] = 0\), çünkü \(z\)’nin \(x\)’e ve \(y\)’ye göre kısmi türevleri sıfırdır.
Yorum: \(V\), her noktada \(z\) eksenine dik düzlemde, \(z\) ekseni çevresindeki çembere teğet bir vektör verir; alan uzayı \(z\) ekseni etrafında döndürür. Bu dönme sırasında yükseklik (\(h\)) değişmez; bu yüzden \(V[h] = 0\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.24 (Doğru Boyunca Her Anda Yönlü Türev) \(f\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde diferansiyellenebilir bir fonksiyon olsun. \(\mathbf{p}\) ve \(\mathbf{v}\) sabitken \(F(t) = f(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\) fonksiyonunun her \(t_0\) için \(F'(t_0) = \mathbf{v}_{\mathbf{q}}[f]\) sağladığını gösteriniz; burada \(\mathbf{q} = \mathbf{p} + t_0\mathbf{v}\).
Çözüm
Lemma 3.1’nün ispatında \(F'(t) = \sum_{i=1}^{3} v_i\, \partial f/\partial x_i(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\) eşitliğini her \(t\) için elde etmiştik; oradaki zincir kuralı hesabı \(t = 0\)’a özel değildir. \(t = t_0\) koyunca \(F'(t_0) = \sum_{i=1}^{3} v_i\, \partial f/\partial x_i(\mathbf{q})\) olur ve lemma gereği sağ taraf \(\mathbf{v}_{\mathbf{q}}[f]\)’dir. Yani doğru boyunca herhangi bir anda türev, o andaki noktaya taşınmış aynı vektöre göre yönlü türevdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.25 (Her Yönde Türevi Sıfır Olan Fonksiyon Sabittir) \(f\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde diferansiyellenebilir bir fonksiyon olsun ve her \(\mathbf{p}\) noktası ile her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörü için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 0\) sağlansın. \(f\)’nin sabit olduğunu ispatlayınız.
Çözüm
Herhangi iki nokta \(\mathbf{p}\) ve \(\mathbf{q}\) alalım; \(f(\mathbf{p}) = f(\mathbf{q})\) göstereceğiz. \(\mathbf{v} = \mathbf{q} - \mathbf{p}\) koyalım; \(t \mapsto \mathbf{p} + t\mathbf{v}\) doğrusu \(t = 0\)’da \(\mathbf{p}\)’den, \(t = 1\)’de \(\mathbf{q}\)’dan geçer. \(F(t) = f(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\) için Alıştırma 3.24 ve varsayım gereği \(F'(t_0) = \mathbf{v}_{\mathbf{p} + t_0\mathbf{v}}[f] = 0\), her \(t_0\) için. Türevi her yerde sıfır olan tek değişkenli bir fonksiyon sabittir (ortalama değer teoremi). Dolayısıyla \(F(0) = F(1)\), yani \(f(\mathbf{p}) = f(\mathbf{q})\). \(\mathbf{p}\) ve \(\mathbf{q}\) herhangi iki nokta olduğundan \(f\) sabittir.
Aynı sonuç şöyle de söylenir: \(U_1[f] = U_2[f] = U_3[f] = 0\) ise, yani üç kısmi türev de özdeş olarak sıfırsa, \(f\) sabittir; çünkü Alıştırma 3.18 gereği o zaman her yönlü türev sıfırdır.
\(\blacksquare\)
Bu bölümle Öklid uzayında hesabın temel dili (noktalar ve koordinat fonksiyonları, teğet vektörler ve vektör alanları, bir fonksiyonun bir teğet vektöre ya da bir vektör alanına göre türevi) tamamlandı; bir sonraki Uzayda Eğriler bölümünde bu dili uzayda hareket eden bir noktanın izlediği eğrilere uygulayacağız ve bu bölümde kullandığımız \(t \mapsto \mathbf{p} + t\mathbf{v}\) doğrusu bu eğrilerin en basiti olarak yeniden karşımıza çıkacak.