2  Teğet Vektörler

Öklid Uzayı bölümünde \(\mathbb{R}^3\)’ün noktalarını, doğal koordinat fonksiyonlarını ve diferansiyellenebilir fonksiyonları tanıdık. Orada her şey “nokta” ve “fonksiyon” diliyle yazıldı. Bu bölümde sahneye üçüncü bir nesne giriyor: ok. Fizikte bir kuvvet, bir hız ya da bir yer değiştirme hep bir okla gösterilir; okun çıktığı bir nokta, bir doğrultusu ve bir uzunluğu vardır.

Okun yalnızca doğrultusu ve uzunluğu değil, nereden çıktığı da önemlidir. Aynı kuvvet bir kapının menteşesine ya da koluna uygulandığında çok farklı sonuçlar verir. Bu yüzden bir oku, uygulama noktası ile vektör kısmından oluşan bir çift olarak tanımlayacak ve ona teğet vektör diyeceğiz. Bir noktadan çıkan bütün okları bir araya getirince o noktanın teğet uzayı, her noktaya bir ok yerleştirince bir vektör alanı ortaya çıkar.

Bölümün sonunda her vektör alanının üç fonksiyonla, \(V = v_1 U_1 + v_2 U_2 + v_3 U_3\) biçiminde yazılabildiğini göreceğiz. Bu yazım, sonraki bölümde yönlü türevi hesaplarken ve ilerideki bütün eğri ve yüzey hesaplarında kullanacağımız temel araçtır.

import { PLOTLY, watchTheme, fmt, sceneLayout, path, point, label, segment, arrow, surface, cylinder, render } from "../ojs/scene3d.js"

Plotly = require(PLOTLY)

theme = Generators.observe(watchTheme)

2.1 Ok kavramını kesinleştirmek: teğet vektör

Lisede vektör deyince aklımıza bir ok gelir: bir yerden çıkar, bir yöne bakar, belli bir uzunluğu vardır. Ama “ok” bir tanım değildir; okla hesap yapabilmek için onu sayılarla anlatmamız gerekir. O hâlde şunu sormalıyız: bir oku ne belirler?

Bir oku iki şey tamamen belirler: çıktığı nokta \(\mathbf{p}\) ve bu noktadan okun ucuna varmak için gereken yer değiştirme \(\mathbf{v}\). Okun ucu \(\mathbf{p} + \mathbf{v}\) noktasıdır; başka hiçbir bilgiye gerek yoktur. Burada dikkat edilecek nokta şudur: \(\mathbf{v}\)’yi “yer değiştirme” diye okusak da o, kesin konuşursak, \(\mathbb{R}^3\)’ün sıradan bir noktasıdır; yani üç sayıdan oluşan sıralı bir üçlüdür. Oku, iki noktadan oluşan bir çift olarak tanımlıyoruz.

Tanım 2.1 (Teğet Vektör) \(\mathbb{R}^3\)’e bir teğet vektör (tangent vector) \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\), \(\mathbb{R}^3\)’ün iki noktasından oluşur: vektör kısmı (vector part) \(\mathbf{v}\) ve uygulama noktası (point of application) \(\mathbf{p}\).

İki teğet vektör \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ve \(\mathbf{w}_{\mathbf{q}}\) ancak ve ancak vektör kısımları aynı (\(\mathbf{v} = \mathbf{w}\)) ve uygulama noktaları aynı (\(\mathbf{p} = \mathbf{q}\)) ise eşittir.

Tanımı iki resimle somutlaştıralım. İlk şekil bir teğet vektörün iki parçasını, ikincisi ise eşitlik kuralının neden iki koşulu birden istediğini gösterir.

Bir teğet vektör iki bilgiden oluşur: nereden çıktığını söyleyen uygulama noktası p = (1, 2) ve ne kadar yer değiştirdiğini söyleyen vektör kısmı v = (3, 1). Teğet vektör v_p, p'den p + v = (4, 3) noktasına giden ok olarak resmedilir; kesikli gri ok aynı yer değiştirmeyi 0 noktasından yapar. Noktalı kenarlar bu iki okun bir paralelkenarın karşılıklı kenarları olduğunu gösterir.

v_p ile v_q'nun vektör kısmı aynı v = (1, 2, 2) olduğundan oklar paralel ve eşit uzunluktadır; ancak uygulama noktaları p = (1, 1, 1) ile q = (3, 2, 1) farklı olduğu için bunlar farklı teğet vektörlerdir. v_p ile w_p aynı p noktasında durur, fakat vektör kısımları v ile w = (2, −1, 1) farklı olduğundan onlar da farklıdır. İki teğet vektörün eşit olması için vektör kısımlarının ve uygulama noktalarının ikisinin birden aynı olması gerekir.

Yani \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\), “\(\mathbf{p}\) noktasından çıkıp \(\mathbf{p} + \mathbf{v}\) noktasında biten ok”tur; teğet vektörü her zaman böyle resmedeceğiz. Vektör kısmı \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)\) açıkça yazılacaksa \((v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}}\) gösterimini kullanırız; örneğin \((1, 0, -3)_{\mathbf{p}}\), vektör kısmı \((1, 0, -3)\) olan ve \(\mathbf{p}\)’de uygulanan teğet vektördür.

Tanımdaki “teğet” sözcüğü şimdilik yalnızca bir addır; ileride eğriler ve yüzeyler konusunda doğrudan bir geometrik anlam kazanacaktır.

UyarıBir ok, iki nokta

Teğet vektör tek bir nokta değil, sıralı bir nokta çiftidir: \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) yazımında hem \(\mathbf{v}\) hem \(\mathbf{p}\) birer \(\mathbb{R}^3\) noktasıdır. Eşitlik kuralı bu yüzden iki koşul ister. Vektör kısımları aynı ama uygulama noktaları farklı iki ok da, uygulama noktaları aynı ama vektör kısımları farklı iki ok da farklı teğet vektörlerdir. Bu bölümde “başlangıç noktası” sözü her zaman orijin \(\mathbf{0} = (0, 0, 0)\) anlamına gelir; okun çıktığı nokta için “uygulama noktası” ya da “çıkış noktası” deriz.

Örnek 2.1 (Uzayda Bir Teğet Vektörün Çizimi) \(\mathbf{p} = (1, 1, 3)\) ve \(\mathbf{v} = (2, 3, 2)\) olsun. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörünün çıkış noktasını ve bitiş noktasını bulalım, oku çizelim ve aynı vektör kısmının başlangıç noktası \(\mathbf{0} = (0, 0, 0)\)’da uygulanmasıyla elde edilen \(\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\) ile karşılaştıralım.

Çözüm

Ok \(\mathbf{p} = (1, 1, 3)\) noktasından çıkar. Bitiş noktası, uygulama noktasına vektör kısmının eklenmesiyle bulunur:

\[\mathbf{p} + \mathbf{v} = (1 + 2,\ 1 + 3,\ 3 + 2) = (3, 4, 5).\]

Yani \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = (2, 3, 2)_{(1, 1, 3)}\), \((1, 1, 3)\) noktasından \((3, 4, 5)\) noktasına giden oktur. Aşağıdaki şekilde her iki nokta kesikli koordinat kutularıyla, ok ise bu iki noktayı birleştiren doğru parçası olarak görülür.

Teğet vektör v_p = (2, 3, 2)_{(1, 1, 3)}: uygulama noktası p = (1, 1, 3), bitiş noktası ise p + v = (3, 4, 5). Kesikli koordinat kutuları her iki noktanın koordinatlarını eksenlerden okutur; ok, iki noktayı birleştiren yönlü doğru parçasıdır. Aynı vektör kısmı 0 noktasında uygulansaydı ok orijinden (2, 3, 2) noktasına giderdi.

\(\mathbf{v}_{\mathbf{0}} = (2, 3, 2)_{(0, 0, 0)}\) ise başlangıç noktası \(\mathbf{0}\)’dan \((2, 3, 2)\) noktasına giden oktur. İki okun vektör kısmı aynıdır (\(\mathbf{v} = (2, 3, 2)\)), ama uygulama noktaları farklıdır (\(\mathbf{p} \ne \mathbf{0}\)). Tanım gereği \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} \ne \mathbf{v}_{\mathbf{0}}\): bunlar aynı uzunlukta ve aynı doğrultuda, ama uzayın farklı yerlerinde duran iki farklı oktur.

\(\blacksquare\)

Etkileşimli sahne: teğet vektör kurucusu. Sahneyi sürükleyerek döndürebilirsiniz; \(v_1, v_2, v_3\) kaydırıcıları vektör kısmı \(\mathbf{v}\)’yi değiştirir, \(s\) kaydırıcısı ise uygulama noktasını \(\mathbf{p} = s\,(1, 1, 3)\) noktasına taşır. Turuncu ok \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\), soluk kesikli ok ise aynı vektör kısmının başlangıç noktasında uygulanmış hâli \(\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\)’dır; kesikli kılavuzlar \(\mathbf{p}\) ile \(\mathbf{p} + \mathbf{v}\)’nin koordinatlarını eksenlerden okutur. \(s\) değişince ok yönünü ve uzunluğunu koruyarak kayar, ucu ise hep \(\mathbf{p} + \mathbf{v}\)’de kalır. İki ok ancak \(s = 0\) iken, yani uygulama noktaları da aynı olduğunda, aynı teğet vektördür.

viewof tangentBuilderControls = Inputs.form({
  v1: Inputs.range([-3, 3], { value: 2, step: 0.1, label: "v₁" }),
  v2: Inputs.range([-3, 3], { value: 3, step: 0.1, label: "v₂" }),
  v3: Inputs.range([-3, 3], { value: 2, step: 0.1, label: "v₃" }),
  s: Inputs.range([0, 1.5], { value: 1, step: 0.01, label: "s" })
})

tangentBuilderPlot = html`<div class="scene3d" role="img" aria-label="Dondurulebilir sahne: p noktasinda uygulanan v_p teget vektoru, ayni vektor kisminin baslangic noktasindaki kopyasi v_0 ve koordinat kilavuzlari"></div>`

{
  const { v1, v2, v3, s } = tangentBuilderControls;
  const v = [v1, v2, v3];
  const p = [s, s, 3 * s];
  const tip = p.map((c, i) => c + v[i]);
  const origin = [0, 0, 0];
  // Dashed guides from a point down to the xy-plane and across to the x- and y-axes.
  const guides = (q) => {
    const foot = [q[0], q[1], 0];
    return [
      segment(q, foot, theme.axis, { width: 2 }),
      segment(foot, [q[0], 0, 0], theme.axis, { width: 2 }),
      segment(foot, [0, q[1], 0], theme.axis, { width: 2 })
    ];
  };
  // A legend click should hide an arrow's shaft and head together.
  const group = (traces, name) => traces.map((trace) => ({ ...trace, legendgroup: name }));
  // The same vector part applied at the origin: faint, with a dashed shaft.
  const ghost = group(arrow(origin, v, theme.base, "v<sub>0</sub> (0'da)", { width: 5 }), "tangentBuilderOrigin").map((trace) =>
    trace.mode === "lines" ? { ...trace, opacity: 0.5, line: { ...trace.line, dash: "dash" } } : { ...trace, opacity: 0.5 }
  );
  const traces = [
    // A larger head and a small end marker keep the arrowhead visible at p + v.
    ...group(arrow(p, v, theme.practice, "v<sub>p</sub> (p'de)", { head: 0.5 }), "tangentBuilderPoint"),
    ...ghost,
    ...guides(p),
    ...guides(tip),
    point(origin, theme.text, "", { size: 3, text: "0", position: "bottom center" }),
    point(p, theme.text, "", { text: "p" }),
    point(tip, theme.text, "", { size: 3, text: "p + v" })
  ];
  // Oblique view as in the static figure (x toward the reader, y to the right); the default camera looks along v = (2, 3, 2).
  const layout = sceneLayout(theme, { x: [-3.5, 5], y: [-3.5, 5], z: [-3.5, 8], eye: { x: 1.9, y: 0.5, z: 0.85 } });
  layout.legend.traceorder = "normal";
  render(Plotly, tangentBuilderPlot, traces, layout);
  const triple = (q) => `(${fmt(q[0])}; ${fmt(q[1])}; ${fmt(q[2])})`;
  const status = p.every((c) => c === 0)
    ? html`<span><b>p</b> = <b>0</b>: iki ok aynı teğet vektördür, <b>v</b><sub><b>p</b></sub> = <b>v</b><sub><b>0</b></sub>.</span>`
    : html`<span><b>p</b> ≠ <b>0</b>: <b>v</b><sub><b>p</b></sub> ile <b>v</b><sub><b>0</b></sub> paraleldir ama eşit değildir.</span>`;
  return html`<div class="scene3d-readout"><b>v</b><sub><b>p</b></sub> = ${triple(v)}<sub>${triple(p)}</sub> &nbsp;·&nbsp; uç nokta <b>p</b> + <b>v</b> = ${triple(tip)}<br>${status}</div>`;
}

Düzlemde aynı şey şöyle görünür.

Örnek 2.2 (Düzlemde Bir Teğet Vektörün Oku) Öklid düzlemi \(\mathbb{R}^2\)’de teğet vektör tamamen aynı biçimde tanımlanır: iki nokta, biri vektör kısmı biri uygulama noktası. \(\mathbf{p} = (2, 1)\) ve \(\mathbf{v} = (1, 3)\) için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) okunu bulalım.

Çözüm

Ok \((2, 1)\) noktasından çıkar ve \(\mathbf{p} + \mathbf{v} = (2 + 1, 1 + 3) = (3, 4)\) noktasında biter. Yani \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = (1, 3)_{(2, 1)}\), \((2, 1)\)’den \((3, 4)\)’e giden oktur.

\(\blacksquare\)

Tersini de yapabiliriz: bize ok verildiğinde, onun hangi teğet vektör olduğunu okuyalım.

Örnek 2.3 (Düzlemde Oktan Teğet Vektöre) Öklid düzlemi \(\mathbb{R}^2\)’de \((-1, 2)\) noktasından \((3, 0)\) noktasına giden ok hangi teğet vektördür?

Çözüm

Uygulama noktası okun çıktığı noktadır: \(\mathbf{p} = (-1, 2)\). Vektör kısmı, bitiş noktasından çıkış noktasının çıkarılmasıyla bulunur, çünkü \(\mathbf{p} + \mathbf{v}\) bitiş noktası olmalıdır:

\[\mathbf{v} = (3, 0) - (-1, 2) = (3 - (-1),\ 0 - 2) = (4, -2).\]

Aranan teğet vektör \((4, -2)_{(-1, 2)}\)’dir. Genel kural: \(\mathbf{a}\)’dan \(\mathbf{b}\)’ye giden ok, \((\mathbf{b} - \mathbf{a})_{\mathbf{a}}\) teğet vektörüdür.

\(\blacksquare\)

Paralel teğet vektörler

İlk örnekte aynı vektör kısmına sahip, ama farklı noktalarda uygulanan iki okla karşılaştık: \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ve \(\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\). Bu duruma bir ad verelim: vektör kısımları aynı, uygulama noktaları farklı olan \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ve \(\mathbf{v}_{\mathbf{q}}\) teğet vektörlerine paralel (parallel) denir. Paralel iki ok aynı uzunlukta ve aynı yöndedir; yalnızca uzayda durdukları yer farklıdır.

Paralel oklar birbirinin kopyası gibi görünse de \(\mathbf{p} \ne \mathbf{q}\) olduğu sürece \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ile \(\mathbf{v}_{\mathbf{q}}\) farklı nesnelerdir; eşitlik kuralı bunu açıkça söyler.

Bu ayrımın neden gerekli olduğunu bir somun anahtarıyla görebiliriz. Anahtarı önce somuna yakın bir yerinden, sonra sapının ucundan aynı \(\mathbf{v}\) kuvvetiyle itelim. Kuvvet aynıdır, yani okun vektör kısmı aynıdır; ama ikinci durumda somun çok daha kolay döner. Sonucu değiştiren, kuvvetin uygulandığı yerdir. Fizikte bu etkiyi kuvvet momenti ölçer ve moment yalnızca kuvvete değil, uygulama noktasına da bağlıdır. Teğet vektörün uygulama noktasını kendi üzerinde taşıması tam da bu bilgiyi korumak içindir.

Örnek 2.4 (Düzlemde Paralel İki Ok) Düzlemde \(\mathbf{v} = (2, 1)\), \(\mathbf{p} = (1, 1)\) ve \(\mathbf{q} = (4, 3)\) olsun. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ve \(\mathbf{v}_{\mathbf{q}}\) oklarını bulalım.

Çözüm

\(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\), \((1, 1)\)’den \((1, 1) + (2, 1) = (3, 2)\)’ye; \(\mathbf{v}_{\mathbf{q}}\), \((4, 3)\)’ten \((4, 3) + (2, 1) = (6, 4)\)’e giden oktur. Vektör kısımları aynı, uygulama noktaları farklıdır; iki ok paraleldir. Aşağıdaki şekilde iki ok aynı uzunlukta ve aynı yönde, ama düzlemin farklı yerlerinde görülür.

Aynı vektör kısmı v = (2, 1), iki farklı noktaya uygulanmıştır: v_p oku p = (1, 1)'den (3, 2)'ye, v_q oku q = (4, 3)'ten (6, 4)'e gider. İki ok aynı uzunlukta ve aynı yöndedir; yalnızca uygulama noktaları farklıdır. Bu yüzden paraleldirler, ama teğet vektör olarak birbirine eşit değildirler.

\(\blacksquare\)

Uzayda da paralelliği yalnızca vektör kısımlarını karşılaştırarak anlarız.

Örnek 2.5 (Uzayda Paralellik Denetimi) Uzayda \((0, 1, 2)\)’den \((2, 2, 2)\)’ye giden ok ile \((3, 3, 3)\)’ten \((5, 4, 3)\)’e giden ok paralel midir?

Çözüm

İlk okun vektör kısmı \((2, 2, 2) - (0, 1, 2) = (2, 1, 0)\), ikincisininki \((5, 4, 3) - (3, 3, 3) = (2, 1, 0)\)’dır. Vektör kısımları aynı, uygulama noktaları \((0, 1, 2) \ne (3, 3, 3)\) farklıdır. Evet, paraleldirler; teğet vektör olarak \((2, 1, 0)_{(0, 1, 2)}\) ve \((2, 1, 0)_{(3, 3, 3)}\) yazılırlar ve birbirine eşit değildirler.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.6 (Aynı Doğru Üzerinde Duran İki Ok) Başlangıç noktası \(\mathbf{0}\)’dan \((1, 1, 1)\)’e giden ok ile yine \(\mathbf{0}\)’dan \((2, 2, 2)\)’ye giden ok paralel midir?

Çözüm

İki okun vektör kısımları \((1, 1, 1)\) ve \((2, 2, 2)\)’dir; bunlar farklıdır. Dolayısıyla tanımımıza göre bu oklar paralel değildir; üstelik uygulama noktaları da aynıdır (\(\mathbf{0}\)). Bu iki ok aynı doğru üzerinde durur, ama biri diğerinin iki katı uzunluktadır.

\(\blacksquare\)

UyarıParalel sözcüğü burada dar anlamlıdır

Lise geometrisinde aynı doğrultudaki bütün oklara “paralel” denir. Bizim tanımımız daha dardır: paralellik için vektör kısımlarının tamamen aynı olması gerekir, yalnızca orantılı olması yetmez. Yukarıdaki son örnekteki iki ok bu anlamda paralel değildir. Bu dar tanım, ileride “bir oku başka bir noktaya taşımak” fikrini kesin biçimde ifade etmemizi sağlayacak.

2.2 Teğet uzayı

Bir noktayı sabitleyelim ve o noktadan çıkan bütün okları bir araya toplayalım. Böylece elde edilen kümenin özel bir yapısı vardır: uygulama noktaları ortak olduğundan bu oklar birbiriyle toplanabilir ve sayılarla çarpılabilir. Önce kümeyi adlandıralım.

Tanım 2.2 (Teğet Uzayı) \(\mathbf{p}\), \(\mathbb{R}^3\)’ün bir noktası olsun. Uygulama noktası \(\mathbf{p}\) olan bütün teğet vektörlerin kümesine \(\mathbb{R}^3\)’ün \(\mathbf{p}\) noktasındaki teğet uzayı (tangent space) denir ve \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\) ile gösterilir:

\[T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3) = \{\, \mathbf{v}_{\mathbf{p}} : \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3 \,\}.\]

Yani \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\), “\(\mathbf{p}\)’den çıkan oklar demeti”dir; her \(\mathbf{v}\) noktası için bir ok içerir, dolayısıyla \(\mathbb{R}^3\)’ün noktaları kadar elemanı vardır.

Şunu vurgulayalım: \(\mathbb{R}^3\)’ün her noktasında ayrı bir teğet uzayı vardır. \(\mathbf{p} \ne \mathbf{q}\) ise \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\) ile \(T_{\mathbf{q}}(\mathbb{R}^3)\) ortak eleman içermez, çünkü bir teğet vektör uygulama noktasını kendi üzerinde taşır: \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) birinci kümeye, \(\mathbf{v}_{\mathbf{q}}\) ikinci kümeye aittir ve bunlar farklı teğet vektörlerdir. Uzayın her noktasına, o noktaya iliştirilmiş kendi “ok deposu” eşlik eder.

Örnek 2.7 (Bir Noktadaki Oklar Demeti) Düzlemde \(\mathbf{p} = (2, 2)\) ve \(\mathbf{q} = (0, 0)\) olsun. Aşağıdaki teğet vektörlerden hangileri \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^2)\)’ye aittir? Ait olanların bitiş noktalarını bulalım:

\[(1, 2)_{\mathbf{p}},\ (3, 1)_{\mathbf{p}},\ (2, -1)_{\mathbf{p}},\ (-2, -1)_{\mathbf{p}},\ (-1, -2)_{\mathbf{p}},\ (0, -2)_{\mathbf{p}},\ (1, 2)_{\mathbf{q}}.\]

Çözüm

Teğet uzayına aitlik yalnızca uygulama noktasına bakar. İlk altı teğet vektörün uygulama noktası \(\mathbf{p}\)’dir; hepsi \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^2)\)’nin elemanıdır. Sonuncusunun uygulama noktası \(\mathbf{q} = (0, 0) \ne \mathbf{p}\)’dir; o \(T_{\mathbf{q}}(\mathbb{R}^2)\)’ye aittir, \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^2)\)’ye değil. Vektör kısmının \((1, 2)_{\mathbf{p}}\) ile aynı olması bunu değiştirmez.

Bitiş noktaları, \(\mathbf{p} = (2, 2)\)’ye vektör kısımlarının eklenmesiyle bulunur:

teğet vektör	bitiş noktası
\((1, 2)_{\mathbf{p}}\)	\((3, 4)\)
\((3, 1)_{\mathbf{p}}\)	\((5, 3)\)
\((2, -1)_{\mathbf{p}}\)	\((4, 1)\)
\((-2, -1)_{\mathbf{p}}\)	\((0, 1)\)
\((-1, -2)_{\mathbf{p}}\)	\((1, 0)\)
\((0, -2)_{\mathbf{p}}\)	\((2, 0)\)

Aşağıdaki şekilde altı ok da \(\mathbf{p} = (2, 2)\) noktasından çıkar; teğet uzayı, bu okların (ve \(\mathbf{p}\)’den çıkan bütün diğerlerinin) oluşturduğu demettir.

p = (2, 2) noktasından çıkan altı ok, (1, 2)_p, (3, 1)_p, (2, −1)_p, (−2, −1)_p, (−1, −2)_p ve (0, −2)_p teğet vektörleridir; bitiş noktaları sırasıyla (3, 4), (5, 3), (4, 1), (0, 1), (1, 0) ve (2, 0)'dır. Teğet uzayı T_p(ℝ²), bu okların ve p'den çıkan bütün diğer okların oluşturduğu demettir. Kesikli gri ok (1, 2)_q ise q = (0, 0)'dan çıkar: vektör kısmı (1, 2)_p ile aynı olduğu hâlde uygulama noktası farklı olduğundan T_p(ℝ²)'ye ait değildir.

\(\blacksquare\)

Uzayda ölçüt aynıdır: aitlik yalnızca uygulama noktasına bakar. Bir okun uygulama noktası çıktığı noktadır; vektör kısmı ise bitiş noktasından çıkış noktasının çıkarılmasıyla bulunur. Aşağıdaki beş örnekte hep \(\mathbf{p} = (1, 3, 2)\) noktasının demetine bakıyoruz; bu kez vektör kısmı sıfır olan ok ile aynı doğru parçasının iki zıt yönde okunması da işin içine giriyor.

Örnek 2.8 (Doğrudan Verilen Bir Teğet Vektör) \(\mathbf{p} = (1, 3, 2)\) olsun. \((3, -1, 4)_{\mathbf{p}}\) teğet vektörü \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’e ait midir?

Çözüm

Uygulama noktası \(\mathbf{p}\)’dir; ok \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’e aittir. Bitiş noktası \((1, 3, 2) + (3, -1, 4) = (4, 2, 6)\)’dır.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.9 (Çıkış ve Bitiş Noktası Aynı Olan Ok) \(\mathbf{p} = (1, 3, 2)\) olsun. \((1, 3, 2)\)’den yine \((1, 3, 2)\)’ye giden oku, yani çıkış ve bitiş noktası aynı olan oku, teğet vektör olarak yazalım ve \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’e ait olup olmadığını belirleyelim.

Çözüm

Vektör kısmı \((1, 3, 2) - (1, 3, 2) = (0, 0, 0)\)’dır; ok \(\mathbf{0}_{\mathbf{p}}\)’dir, yani \(\mathbf{p}\)’deki sıfır okudur. Uygulama noktası \(\mathbf{p}\) olduğundan \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’e aittir. Her demetin kendi sıfır oku vardır: \(\mathbf{q} \ne \mathbf{p}\) ise \(\mathbf{0}_{\mathbf{q}} \ne \mathbf{0}_{\mathbf{p}}\), çünkü uygulama noktaları farklıdır.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.10 (Başlangıç Noktasından Çıkan Ok) \(\mathbf{p} = (1, 3, 2)\) olsun. Başlangıç noktası \(\mathbf{0}\)’dan \((1, 3, 2)\)’ye giden oku teğet vektör olarak yazalım ve \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’e ait olup olmadığını belirleyelim.

Çözüm

Uygulama noktası \(\mathbf{0}\), vektör kısmı \((1, 3, 2) - (0, 0, 0) = (1, 3, 2)\)’dir; ok \((1, 3, 2)_{\mathbf{0}}\)’dır ve \(T_{\mathbf{0}}(\mathbb{R}^3)\)’e aittir, \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’e değil. Okun ucunun \(\mathbf{p}\)’de olması onu \(\mathbf{p}\)’nin demetine sokmaz; demeti okun ucu değil, çıktığı nokta belirler.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.11 (Başlangıç Noktasına Giden Ok) \(\mathbf{p} = (1, 3, 2)\) olsun. \((1, 3, 2)\)’den başlangıç noktası \(\mathbf{0}\)’a giden oku teğet vektör olarak yazalım ve \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’e ait olup olmadığını belirleyelim.

Çözüm

Uygulama noktası \(\mathbf{p}\), vektör kısmı \((0, 0, 0) - (1, 3, 2) = (-1, -3, -2)\)’dir; ok \((-1, -3, -2)_{\mathbf{p}}\)’dir ve \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’e aittir. \(\mathbf{0}\)’dan \(\mathbf{p}\)’ye giden ok (Örnek 2.10) ile bu ok aynı doğru parçasının iki zıt yönde okunmasıdır; ama biri \(\mathbf{0}\)’ın, diğeri \(\mathbf{p}\)’nin demetindedir.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.12 (Başka Bir Noktadan Çıkan Ok) \(\mathbf{p} = (1, 3, 2)\) olsun. \((2, 1, 1)\)’den \((3, 4, 3)\)’e giden oku teğet vektör olarak yazalım ve \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’e ait olup olmadığını belirleyelim.

Çözüm

Uygulama noktası \((2, 1, 1) \ne \mathbf{p}\), vektör kısmı \((3, 4, 3) - (2, 1, 1) = (1, 3, 2)\)’dir; ok \((1, 3, 2)_{(2, 1, 1)}\)’dir ve \(T_{(2, 1, 1)}(\mathbb{R}^3)\)’e aittir. Vektör kısmı, \(\mathbf{0}\)’dan \(\mathbf{p}\)’ye giden okunkiyle (Örnek 2.10) aynıdır, dolayısıyla bu iki ok paraleldir; ama ikisi de \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’te değildir.

\(\blacksquare\)

Beş oku birlikte düşünürsek \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’e ait olanlar \(\mathbf{p}\)’den çıkan üç oktur: \((3, -1, 4)_{\mathbf{p}}\), \(\mathbf{0}_{\mathbf{p}}\) ve \((-1, -3, -2)_{\mathbf{p}}\).

Teğet uzayında toplama ve skalerle çarpma

Bir teğet uzayındaki bütün oklar aynı noktadan çıkar. Bu sayede \(\mathbb{R}^3\)’ün toplama ve skalerle çarpma işlemlerini ödünç alıp \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’e taşıyabiliriz: iki okun vektör kısımları toplanır, sonuç yine \(\mathbf{p}\)’de uygulanır.

Tanım 2.3 (Teğet Uzayında İşlemler) \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ve \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\), \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’ün elemanları ve \(c\) bir gerçel sayı olsun. Toplam ve skalerle çarpım (scalar multiplication) şöyle tanımlanır:

\[\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{p}} = (\mathbf{v} + \mathbf{w})_{\mathbf{p}}, \qquad c\,(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = (c\mathbf{v})_{\mathbf{p}}.\]

Yani toplama, vektörler için alışık olduğumuz paralelkenar kuralından (parallelogram law) başka bir şey değildir: \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ve \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) oklarının gerdiği paralelkenarın \(\mathbf{p}\)’den çıkan köşegeni \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{p}}\)’dir. Skalerle çarpma ise okun uzunluğunu \(|c|\) ile çarpar: \(|c| > 1\) ise ok uzar, \(|c| < 1\) ise kısalır, \(c = 0\) ise sıfırlanır; \(c < 0\) ise ok ayrıca yönünü ters çevirir. Toplamın da çarpımın da uygulama noktası yine \(\mathbf{p}\)’dir; oklar demetten çıkmaz.

UyarıFarklı noktalardaki oklar toplanmaz

\(\mathbf{p} \ne \mathbf{q}\) ise \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{q}}\) tanımsızdır. Toplama yalnızca aynı teğet uzayı içinde yapılır. Örneğin \((1, 0, 0)_{(0, 0, 0)} + (0, 1, 0)_{(5, 5, 5)}\) ifadesinin bir anlamı yoktur; iki okun ortak bir uygulama noktası olmadığından sonucun nerede uygulanacağı söylenemez. Bu yüzden tanımladığımız toplama, \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3) \cup T_{\mathbf{q}}(\mathbb{R}^3)\) birleşimi üzerinde bir işlem değildir; birazdan göreceğimiz vektör uzayı yapısı her teğet uzayının kendi içinde kurulur, birleşim üzerinde değil.

Örnek 2.13 (Paralelkenar Kuralı ve Skaler Katlar) Düzlemde \(\mathbf{p} = (1, 1)\), \(\mathbf{v} = (3, 0)\), \(\mathbf{w} = (1, 2)\) ve \(\mathbf{u} = (1, -1)\) olsun. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{p}}\), \(2\mathbf{u}_{\mathbf{p}}\) ve \(-\tfrac{3}{2}\mathbf{u}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörlerini hesaplayıp okları çizelim.

Çözüm

Tanıma göre vektör kısımlarıyla işlem yapılır, uygulama noktası \(\mathbf{p}\) olarak kalır:

\[\begin{aligned} \mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{p}} &= (3 + 1,\ 0 + 2)_{\mathbf{p}} = (4, 2)_{\mathbf{p}},\\ 2\mathbf{u}_{\mathbf{p}} &= (2 \cdot 1,\ 2 \cdot (-1))_{\mathbf{p}} = (2, -2)_{\mathbf{p}},\\ -\tfrac{3}{2}\mathbf{u}_{\mathbf{p}} &= \bigl(-\tfrac{3}{2} \cdot 1,\ -\tfrac{3}{2} \cdot (-1)\bigr)_{\mathbf{p}} = \bigl(-\tfrac{3}{2}, \tfrac{3}{2}\bigr)_{\mathbf{p}}. \end{aligned}\]

Bitiş noktaları: \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) için \((4, 1)\), \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) için \((2, 3)\), \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) için \((5, 3)\), \(\mathbf{u}_{\mathbf{p}}\) için \((2, 0)\), \(2\mathbf{u}_{\mathbf{p}}\) için \((3, -1)\), \(-\tfrac{3}{2}\mathbf{u}_{\mathbf{p}}\) için \(\bigl(-\tfrac{1}{2}, \tfrac{5}{2}\bigr)\).

Aşağıdaki şekilde \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ve \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\)’nin gerdiği paralelkenar kesikli çizgilerle tamamlanmıştır; \(\mathbf{p}\)’den çıkan köşegen toplamdır. \(2\mathbf{u}_{\mathbf{p}}\), \(\mathbf{u}_{\mathbf{p}}\) ile aynı yönde ve iki kat uzun; \(-\tfrac{3}{2}\mathbf{u}_{\mathbf{p}}\) ise ters yönde ve bir buçuk kat uzundur.

p = (1, 1) noktasındaki teğet vektörler ok olarak çizilmiştir. v_p = (3, 0)_p ve w_p = (1, 2)_p bir paralelkenar gerer; kesikli kenarlarla tamamlanan bu paralelkenarın p’den çıkan köşegeni toplam v_p + w_p = (4, 2)_p’dir. Yeşil oklar skaler katı gösterir: 2u_p, u_p = (1, −1)_p ile aynı yönde ve iki kat uzun, −(3/2)u_p ise ters yönde ve bir buçuk kat uzundur.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.14 (Uzayda Teğet Vektörlerle Hesap) \(\mathbf{p} = (1, 0, 2)\), \(\mathbf{v} = (2, -1, 3)\) ve \(\mathbf{w} = (0, 4, 1)\) olsun. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{p}}\), \(3\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\), \(-2\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) ve \(2\mathbf{v}_{\mathbf{p}} - \mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörlerini bulalım; sonuncusunun bitiş noktasını yazalım.

Çözüm

Her işlem vektör kısımlarında yapılır:

\[\begin{aligned} \mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{p}} &= (2 + 0,\ -1 + 4,\ 3 + 1)_{\mathbf{p}} = (2, 3, 4)_{\mathbf{p}},\\ 3\mathbf{v}_{\mathbf{p}} &= (6, -3, 9)_{\mathbf{p}},\\ -2\mathbf{w}_{\mathbf{p}} &= (0, -8, -2)_{\mathbf{p}},\\ 2\mathbf{v}_{\mathbf{p}} - \mathbf{w}_{\mathbf{p}} &= (4, -2, 6)_{\mathbf{p}} + (0, -4, -1)_{\mathbf{p}} = (4, -6, 5)_{\mathbf{p}}. \end{aligned}\]

Burada \(2\mathbf{v}_{\mathbf{p}} - \mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) ifadesi, tanım gereği \(2\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + (-1)\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) demektir. Sonuncu okun bitiş noktası \(\mathbf{p} + (4, -6, 5) = (5, -6, 7)\)’dir.

\(\blacksquare\)

Aynı vektör kısımlarını bu kez farklı noktalara uygularsak durum değişir.

Örnek 2.15 (İki Ayrı Demetten Gelen Oklar) \(\mathbf{p} = (1, 0, 2)\), \(\mathbf{q} = (0, 0, 0)\), \(\mathbf{v} = (2, -1, 3)\) ve \(\mathbf{w} = (0, 4, 1)\) olsun. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{q}}\) nedir?

Çözüm

\(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{q}}\) tanımsızdır: \(\mathbf{p} = (1, 0, 2) \ne \mathbf{q} = (0, 0, 0)\) olduğundan iki ok farklı teğet uzaylarındadır ve aralarında toplama tanımlanmamıştır.

\(\blacksquare\)

Bu işlemlerle \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’ün bir vektör uzayı olduğunu ve aslında \(\mathbb{R}^3\)’ün “\(\mathbf{p}\)’ye taşınmış bir kopyası”ndan başka bir şey olmadığını göstermek istiyoruz. Bunu kesin söylemenin yolu, \(\mathbf{v} \mapsto \mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) eşlemesinin bir lineer izomorfizma (linear isomorphism), yani birebir ve örten bir lineer dönüşüm olduğunu göstermektir.

Önerme 2.1 (Teğet Uzayı Bir Vektör Uzayıdır) \(\mathbf{p}\), \(\mathbb{R}^3\)’ün sabit bir noktası olsun.

1. \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\), yukarıdaki toplama ve skalerle çarpma ile bir vektör uzayıdır. Sıfır vektörü \(\mathbf{0}_{\mathbf{p}}\), \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)’nin toplamsal tersi \((-\mathbf{v})_{\mathbf{p}}\)’dir.

2. \(\varphi_{\mathbf{p}} : \mathbb{R}^3 \to T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\), \(\varphi_{\mathbf{p}}(\mathbf{v}) = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) fonksiyonu bir lineer izomorfizmadır.

3. \((1, 0, 0)_{\mathbf{p}},\ (0, 1, 0)_{\mathbf{p}},\ (0, 0, 1)_{\mathbf{p}}\) teğet vektörleri \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’ün bir tabanıdır; dolayısıyla \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\) üç boyutludur.

İspat

Önce \(\varphi_{\mathbf{p}}\)’nin özelliklerini, sonra vektör uzayı aksiyomlarını gösterelim; ikisi de doğrudan işlemlerin tanımından çıkar.

\(\varphi_{\mathbf{p}}\) birebirdir. \(\varphi_{\mathbf{p}}(\mathbf{v}) = \varphi_{\mathbf{p}}(\mathbf{w})\), yani \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = \mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) olsun. Teğet vektörlerin eşitlik kuralı gereği vektör kısımları eşittir: \(\mathbf{v} = \mathbf{w}\).

\(\varphi_{\mathbf{p}}\) örtendir. \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’ün her elemanı tanım gereği bir \(\mathbf{v} \in \mathbb{R}^3\) için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = \varphi_{\mathbf{p}}(\mathbf{v})\) biçimindedir.

\(\varphi_{\mathbf{p}}\) işlemleri korur. Teğet uzayındaki işlemlerin tanımı doğrudan şunu söyler:

\[\varphi_{\mathbf{p}}(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\mathbf{v} + \mathbf{w})_{\mathbf{p}} = \mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{p}} = \varphi_{\mathbf{p}}(\mathbf{v}) + \varphi_{\mathbf{p}}(\mathbf{w}), \qquad \varphi_{\mathbf{p}}(c\mathbf{v}) = (c\mathbf{v})_{\mathbf{p}} = c\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = c\,\varphi_{\mathbf{p}}(\mathbf{v}).\]

Vektör uzayı aksiyomları. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}, \mathbf{w}_{\mathbf{p}}, \mathbf{u}_{\mathbf{p}} \in T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\) ve \(a, b\) gerçel sayılar olsun. Her aksiyom, işlemlerin tanımıyla \(\mathbb{R}^3\)’teki karşılığına indirgenir; \(\mathbb{R}^3\)’ün bir vektör uzayı olduğunu biliyoruz. Adım adım:

\[\begin{aligned} \mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{p}} &= (\mathbf{v} + \mathbf{w})_{\mathbf{p}} = (\mathbf{w} + \mathbf{v})_{\mathbf{p}} = \mathbf{w}_{\mathbf{p}} + \mathbf{v}_{\mathbf{p}} && \text{(değişme)},\\ (\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{p}}) + \mathbf{u}_{\mathbf{p}} &= \bigl((\mathbf{v} + \mathbf{w}) + \mathbf{u}\bigr)_{\mathbf{p}} = \bigl(\mathbf{v} + (\mathbf{w} + \mathbf{u})\bigr)_{\mathbf{p}} = \mathbf{v}_{\mathbf{p}} + (\mathbf{w}_{\mathbf{p}} + \mathbf{u}_{\mathbf{p}}) && \text{(birleşme)},\\ \mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{0}_{\mathbf{p}} &= (\mathbf{v} + \mathbf{0})_{\mathbf{p}} = \mathbf{v}_{\mathbf{p}} && \text{(sıfır)},\\ \mathbf{v}_{\mathbf{p}} + (-\mathbf{v})_{\mathbf{p}} &= (\mathbf{v} - \mathbf{v})_{\mathbf{p}} = \mathbf{0}_{\mathbf{p}} && \text{(ters)},\\ a\,(b\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) &= a\,(b\mathbf{v})_{\mathbf{p}} = \bigl(a(b\mathbf{v})\bigr)_{\mathbf{p}} = \bigl((ab)\mathbf{v}\bigr)_{\mathbf{p}} = (ab)\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}} && \text{(skaler birleşme)},\\ 1 \cdot \mathbf{v}_{\mathbf{p}} &= (1\mathbf{v})_{\mathbf{p}} = \mathbf{v}_{\mathbf{p}} && \text{(birim)},\\ a\,(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{p}}) &= \bigl(a(\mathbf{v} + \mathbf{w})\bigr)_{\mathbf{p}} = (a\mathbf{v} + a\mathbf{w})_{\mathbf{p}} = a\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + a\,\mathbf{w}_{\mathbf{p}} && \text{(dağılma 1)},\\ (a + b)\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}} &= \bigl((a + b)\mathbf{v}\bigr)_{\mathbf{p}} = (a\mathbf{v} + b\mathbf{v})_{\mathbf{p}} = a\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}} && \text{(dağılma 2)}. \end{aligned}\]

Her satırdaki ortadaki eşitlik \(\mathbb{R}^3\)’ün ilgili aksiyomudur; diğer eşitlikler işlemlerin tanımıdır. Böylece (1) ve (2) ispatlanmıştır.

Taban. Lineer bağımsızlık: \(a_1 (1, 0, 0)_{\mathbf{p}} + a_2 (0, 1, 0)_{\mathbf{p}} + a_3 (0, 0, 1)_{\mathbf{p}} = \mathbf{0}_{\mathbf{p}}\) olsun. İşlemlerin tanımıyla sol taraf \((a_1, a_2, a_3)_{\mathbf{p}}\)’dir; eşitlik kuralı gereği \((a_1, a_2, a_3) = (0, 0, 0)\). Germe: herhangi bir \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = (v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}}\) için, yine işlemlerin tanımıyla,

\[(v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}} = v_1 (1, 0, 0)_{\mathbf{p}} + v_2 (0, 1, 0)_{\mathbf{p}} + v_3 (0, 0, 1)_{\mathbf{p}}.\]

Üç elemanlı bir taban bulunduğundan boyut üçtür; (3) ispatlanmıştır.

\(\blacksquare\)

İspatın özü: \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ile \(\mathbf{v}\) arasında hiçbir bilgi kaybetmeyen birebir ve örten bir eşleme vardır ve işlemler bu eşlemeyle taşınmıştır; \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’te yaptığımız her hesap aslında \(\mathbb{R}^3\)’te yapılan bir hesaptır. Bu yüzden ilerideki hesaplarda teğet vektörlerin vektör kısımlarıyla rahatça çalışacağız; uygulama noktası yalnızca “hangi demetteyiz” bilgisini taşır.

Aşağıdaki üç örnekte bu gözlemi kullanıyoruz: Önerme 2.1 gereği teğet uzayındaki her soru, vektör kısımları için \(\mathbb{R}^3\)’te sorulan bir soruya dönüşür.

Örnek 2.16 (Orantılı İki Teğet Vektör) \(\mathbf{p} = (0, 0, 5)\) olsun. \((1, 2, 0)_{\mathbf{p}}\) ve \((2, 4, 0)_{\mathbf{p}}\) lineer bağımsız mıdır?

Çözüm

\((2, 4, 0) = 2\,(1, 2, 0)\) olduğundan \((2, 4, 0)_{\mathbf{p}} = 2\,(1, 2, 0)_{\mathbf{p}}\); yani \(2\,(1, 2, 0)_{\mathbf{p}} - (2, 4, 0)_{\mathbf{p}} = \mathbf{0}_{\mathbf{p}}\) sıfır olmayan katsayılı bir bağıntıdır. Lineer bağımlıdırlar.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.17 (Teğet Uzayında Lineer Bağımsızlık) \(\mathbf{p} = (0, 0, 5)\) olsun. \((1, 2, 0)_{\mathbf{p}}\) ve \((0, 1, 1)_{\mathbf{p}}\) lineer bağımsız mıdır?

Çözüm

\(a\,(1, 2, 0)_{\mathbf{p}} + b\,(0, 1, 1)_{\mathbf{p}} = (a,\ 2a + b,\ b)_{\mathbf{p}} = \mathbf{0}_{\mathbf{p}}\) ise birinci bileşenden \(a = 0\), üçüncüden \(b = 0\) çıkar. Lineer bağımsızdırlar.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.18 (Teğet Vektörü Yeni Bir Tabanda Yazmak) \(\mathbf{p} = (0, 0, 5)\) olsun. \((3, 7, 1)_{\mathbf{p}}\) teğet vektörünü \((1, 2, 0)_{\mathbf{p}}\), \((0, 1, 1)_{\mathbf{p}}\), \((0, 0, 1)_{\mathbf{p}}\) cinsinden yazalım.

Çözüm

Şu denklemi çözelim:

\[a\,(1, 2, 0) + b\,(0, 1, 1) + c\,(0, 0, 1) = (a,\ 2a + b,\ b + c) = (3, 7, 1)\]

Buradan \(a = 3\); \(2 \cdot 3 + b = 7\) verir \(b = 1\); \(1 + c = 1\) verir \(c = 0\). Dolayısıyla

\[(3, 7, 1)_{\mathbf{p}} = 3\,(1, 2, 0)_{\mathbf{p}} + (0, 1, 1)_{\mathbf{p}} + 0 \cdot (0, 0, 1)_{\mathbf{p}}.\]

Bu üç teğet vektör lineer bağımsızdır da. Bunu görmek için şu bağıntıyı ele alalım:

\[a\,(1, 2, 0)_{\mathbf{p}} + b\,(0, 1, 1)_{\mathbf{p}} + c\,(0, 0, 1)_{\mathbf{p}} = (a,\ 2a + b,\ b + c)_{\mathbf{p}} = \mathbf{0}_{\mathbf{p}}\]

Birinci bileşenden \(a = 0\), sonra ikinciden \(b = 0\), sonra üçüncüden \(c = 0\) çıkar. Dolayısıyla bunlar \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’ün bir tabanıdır ve yukarıdaki yazım tektir.

\(\blacksquare\)

2.3 Vektör alanları

Bir nehrin yüzeyine bakalım: suyun her noktasında akıntı belli bir yöne, belli bir hızla gider. Her noktaya oradaki akış hızını gösteren bir ok yerleştirsek nehrin “hız alanı” dediğimiz resmini elde ederiz. Aynı resim yerçekiminde de vardır: uzayın her noktasında, oraya konan bir cismi yerkürenin merkezine doğru çeken bir kuvvet vardır; bu kuvvetleri ok olarak çizersek yerkürenin çekim alanını, fiziğin diliyle bir kuvvet alanını görürüz. Bir mıknatısın çevresinde gezdirilen pusula iğnesi de her noktada belli bir yöne döner. Bu örneklerin ortak yapısı şudur: her noktada, o noktadan çıkan bir ok. Bu yapıyı teğet vektör diliyle kesinleştirelim.

Tanım 2.4 (Vektör Alanı) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir vektör alanı (vector field) \(V\), \(\mathbb{R}^3\)’ün her \(\mathbf{p}\) noktasına, \(\mathbb{R}^3\)’ün \(\mathbf{p}\) noktasındaki bir \(V(\mathbf{p})\) teğet vektörünü karşılık getiren bir fonksiyondur. Başka bir deyişle, her \(\mathbf{p}\) için

\[V(\mathbf{p}) \in T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3).\]

Yani vektör alanı, kabaca, uzaya yayılmış kocaman bir oklar topluluğudur: her noktada tam olarak bir ok, o da o noktadan çıkar. Tanımdaki kritik koşul budur: \(\mathbf{p}\)’ye karşılık gelen ok \(\mathbf{p}\)’de uygulanmış olmalıdır; alan, bir noktaya başka bir yerden çıkan bir ok veremez.

Örnek 2.19 (Aşağı Bakan Sabit Alan) Her \(\mathbf{p}\) için \(V(\mathbf{p}) = (0, 0, -1)_{\mathbf{p}}\) olsun. Bu kuralın bir vektör alanı tanımladığını görelim ve \(V\)’nin \((1, 2, 3)\) ile \((-5, 0, 0)\) noktalarındaki değerlerini bulalım.

Çözüm

Her \(\mathbf{p}\)’ye, \(\mathbf{p}\)’de uygulanan bir teğet vektör karşılık geliyor; bu bir vektör alanıdır. \(V(1, 2, 3) = (0, 0, -1)_{(1, 2, 3)}\), yani \((1, 2, 3)\)’ten \((1, 2, 2)\)’ye giden ok; \(V(-5, 0, 0) = (0, 0, -1)_{(-5, 0, 0)}\), yani \((-5, 0, 0)\)’dan \((-5, 0, -1)\)’e giden ok. Her noktada aşağı yönlü, uzunluğu \(1\) olan bir ok: bu, “düzgün yerçekimi” alanının bir modelidir. Bütün okları birbirine paraleldir, ama hiçbiri diğerine eşit değildir.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.20 (Dışarı Bakan Radyal Alan) Her \(\mathbf{p}\) için \(W(\mathbf{p}) = \mathbf{p}_{\mathbf{p}}\), yani vektör kısmı da \(\mathbf{p}\) olan teğet vektör olsun. Bu kuralın bir vektör alanı tanımladığını görelim ve \(W\)’nin \((1, 2, 3)\) ile \(\mathbf{0}\) noktalarındaki değerlerini bulalım.

Çözüm

Her \(\mathbf{p}\)’ye \(\mathbf{p}\)’de uygulanan bir teğet vektör karşılık geliyor; \(W\) bir vektör alanıdır. \(W(1, 2, 3) = (1, 2, 3)_{(1, 2, 3)}\), yani \((1, 2, 3)\)’ten \((1, 2, 3) + (1, 2, 3) = (2, 4, 6)\)’ya giden ok. \(W(\mathbf{0}) = \mathbf{0}_{\mathbf{0}}\), başlangıç noktası \(\mathbf{0}\)’daki sıfır vektörü. Her ok, başlangıç noktası \(\mathbf{0}\)’dan “dışarı doğru” bakar ve noktanın \(\mathbf{0}\)’a uzaklığı arttıkça uzar; buna radyal alan denir.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.21 (Düzlemde Dönen Alan) Öklid düzleminde her \(\mathbf{p} = (p_1, p_2)\) için \(V(\mathbf{p}) = (-p_2, p_1)_{\mathbf{p}}\) olsun. \(V\)’nin \((1, 0)\), \((0, 1)\), \((-1, 0)\), \((0, -1)\), \((1, 1)\), \((-1, 1)\), \((2, 0)\) ve \((0, 0)\) noktalarındaki değerlerini bulalım ve okları çizelim.

Çözüm

Her noktada vektör kısmı için önce koordinatların yeri değiştirilir, sonra yeni birinci bileşenin işareti çevrilir: \((p_1, p_2) \mapsto (-p_2, p_1)\). Sonuçlar şöyledir:

\(\mathbf{p}\)	\(V(\mathbf{p})\)	bitiş noktası
\((1, 0)\)	\((0, 1)_{\mathbf{p}}\)	\((1, 1)\)
\((0, 1)\)	\((-1, 0)_{\mathbf{p}}\)	\((-1, 1)\)
\((-1, 0)\)	\((0, -1)_{\mathbf{p}}\)	\((-1, -1)\)
\((0, -1)\)	\((1, 0)_{\mathbf{p}}\)	\((1, -1)\)
\((1, 1)\)	\((-1, 1)_{\mathbf{p}}\)	\((0, 2)\)
\((-1, 1)\)	\((-1, -1)_{\mathbf{p}}\)	\((-2, 0)\)
\((2, 0)\)	\((0, 2)_{\mathbf{p}}\)	\((2, 2)\)
\((0, 0)\)	\((0, 0)_{\mathbf{p}}\)	\((0, 0)\)

Aşağıdaki şekil bu okları (ve bir ızgaradaki başka noktalarda hesaplanmış birkaçını daha) gösterir. Oklar başlangıç noktası \(\mathbf{0}\)’ın etrafında saat yönünün tersine döner; \(\mathbf{0}\)’dan uzaklaştıkça uzar; \(\mathbf{0}\)’da ok sıfırdır. Bu, sabit açısal hızla dönen bir diskin hız alanıdır.

Düzlemde V(p) = (−p₂, p₁)_p alanının −2..2 tam sayı ızgarasındaki okları; örnekteki sekiz nokta koyu, ızgaranın geri kalanı açık mavidir. Okunaklılık için her ok gerçek uzunluğunun 0,4 katıyla çizilmiştir; yönler ve uzunluk oranları doğrudur. Oklar başlangıç noktasının etrafında saat yönünün tersine döner, 0'dan uzaklaştıkça uzar ve 0'da sıfır olduğundan orada yalnızca nokta görünür.

\(\blacksquare\)

Tanımdaki koşulların neden gerekli olduğunu, onları sağlamayan kurallarda görelim.

Örnek 2.22 (Yanlış Noktada Uygulanan Oklar) \(\mathbf{p} \mapsto (1, 0, 0)_{2\mathbf{p}}\) kuralı \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir vektör alanı tanımlar mı?

Çözüm

\(\mathbf{p} \ne \mathbf{0}\) için karşılık gelen teğet vektörün uygulama noktası \(2\mathbf{p} \ne \mathbf{p}\)’dir; yani değer \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’te değil, \(T_{2\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’tedir. Tanımın “\(\mathbf{p}\)’de uygulanmış” koşulu sağlanmaz; bu bir vektör alanı değildir. Kural bir fonksiyon olarak kusursuzdur, ama yanlış demetlerden ok seçmektedir.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.23 (Noktaya Nokta Karşılık Getiren Kural) Her noktaya kendisini karşılık getiren \(\mathbf{p} \mapsto (p_1, p_2, p_3)\) kuralı \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir vektör alanı tanımlar mı?

Çözüm

Bu kural her noktaya bir teğet vektör değil, bir nokta karşılık getirir; \(\mathbb{R}^3\)’ten \(\mathbb{R}^3\)’e bir fonksiyondur, vektör alanı değildir. Ancak “bu noktayı \(\mathbf{p}\)’de uygulanan vektör kısmı olarak oku” dersek radyal alan \(\mathbf{p} \mapsto \mathbf{p}_{\mathbf{p}}\) elde edilir. Aradaki fark tam olarak uygulama noktası bilgisidir: \(\mathbf{p}\) noktası tek başına nerede uygulandığını söylemez, \(\mathbf{p}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörü söyler.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.24 (Her Yerde Tanımlı Olmayan Kural) \(\mathbf{p} \mapsto (1/p_1,\ 0,\ 0)_{\mathbf{p}}\) kuralı \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir vektör alanı tanımlar mı?

Çözüm

\(p_1 = 0\) olan noktalarda \(1/p_1\) tanımsızdır; kural bütün \(\mathbb{R}^3\) üzerinde tanımlı değildir. Dolayısıyla \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir vektör alanı değildir. Tanım kümesi \(p_1 \ne 0\) açık kümesiyle sınırlanırsa o küme üzerinde bir vektör alanı elde edilir; biz bu bölümde bütün \(\mathbb{R}^3\) üzerinde tanımlı alanlarla çalışıyoruz.

\(\blacksquare\)

Noktasal ilke: vektör alanlarında cebir

İki vektör alanını toplamak ne demektir? Önce bildiğimiz bir şeye bakalım: iki fonksiyonu nasıl topluyoruz? \(f + g\) fonksiyonunu, her \(\mathbf{p}\) noktasındaki değerini \((f + g)(\mathbf{p}) = f(\mathbf{p}) + g(\mathbf{p})\) olarak belirleyerek tanımlarız. Bunu yapabilmemizin tek nedeni, \(f(\mathbf{p})\) ile \(g(\mathbf{p})\)’nin toplanabilen nesneler, yani sayılar, olmasıdır. Şimdi iki vektör alanı \(V\) ve \(W\) alalım. Bir \(\mathbf{p}\) noktasında \(V(\mathbf{p})\) ve \(W(\mathbf{p})\), aynı teğet uzayı \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\) içinde duran iki oktur; bu okları toplamayı bir önceki kesimde öğrendik. O hâlde \(V + W\)’yi de aynı yolla kurabiliriz: her noktada oradaki iki ok toplanır, sonuç o noktaya yerleştirilir.

NotNoktasal ilke

Az önce yaptığımız şey genel bir tariftir ve ileride defalarca kullanılacaktır; ona noktasal ilke (pointwise principle) diyeceğiz. İki fonksiyonun bir \(\mathbf{p}\) noktasındaki değerleri üzerinde yapılabilen bir işlem varsa, aynı işlem fonksiyonların kendisi için de tanımlanır: yeni fonksiyonun \(\mathbf{p}\)’deki değeri, eski fonksiyonların \(\mathbf{p}\)’deki değerlerine o işlemin uygulanmasıyla bulunur. Fonksiyonların toplamı ve çarpımı, vektör alanlarının toplamı ve birazdan tanımlayacağımız fonksiyonla çarpım hep bu ilkenin örnekleridir.

Tanım 2.5 (Vektör Alanlarının Toplamı ve Fonksiyonla Çarpımı) \(V\) ve \(W\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde vektör alanları, \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) üzerinde gerçel değerli bir fonksiyon olsun. \(V + W\) ve \(fV\), her \(\mathbf{p}\) için

\[(V + W)(\mathbf{p}) = V(\mathbf{p}) + W(\mathbf{p}), \qquad (fV)(\mathbf{p}) = f(\mathbf{p})\,V(\mathbf{p})\]

ile tanımlanan vektör alanlarıdır.

Yani \(V + W\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki oku, \(V\) ile \(W\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki oklarının paralelkenar kuralıyla toplamıdır; \(fV\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki oku ise \(V\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki okunun \(f(\mathbf{p})\) sayısıyla çarpılmışıdır. İkinci tanım, noktasal ilkenin teğet uzaylarındaki skalerle çarpmaya uygulanmasıdır; skaler, noktadan noktaya değişen \(f(\mathbf{p})\) sayısıdır. Sağ taraflardaki işlemler \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\) içinde yapıldığından sonuçlar yine \(\mathbf{p}\)’de uygulanır; dolayısıyla \(V + W\) ve \(fV\) gerçekten vektör alanıdır. \(f\) sabit bir \(c\) sayısıysa \(cV\) yazarız.

Örnek 2.25 (Alanların Toplamı ve Fonksiyonla Çarpımı) \(V(\mathbf{p}) = (p_1, 0, p_3)_{\mathbf{p}}\), \(W(\mathbf{p}) = (1, p_2, -1)_{\mathbf{p}}\) ve \(f = x^2 + z\) olsun. Burada \(f = x^2 + z\) yazımı, her \(\mathbf{p}\) için \(f(\mathbf{p}) = p_1^2 + p_3\) demektir. \((V + W)(\mathbf{p})\) ve \((fV)(\mathbf{p})\)’yi genel bir \(\mathbf{p}\) için, sonra \(\mathbf{p} = (1, 2, -1)\) ve \(\mathbf{q} = (2, 1, 1)\) için hesaplayalım.

Çözüm

Genel formüller, teğet uzayındaki işlemlerin tanımından:

\[(V + W)(\mathbf{p}) = (p_1 + 1,\ p_2,\ p_3 - 1)_{\mathbf{p}}, \qquad (fV)(\mathbf{p}) = (p_1^2 + p_3)\,(p_1, 0, p_3)_{\mathbf{p}} = \bigl((p_1^2 + p_3)p_1,\ 0,\ (p_1^2 + p_3)p_3\bigr)_{\mathbf{p}}.\]

\(\mathbf{p} = (1, 2, -1)\) için \(V(\mathbf{p}) = (1, 0, -1)_{\mathbf{p}}\), \(W(\mathbf{p}) = (1, 2, -1)_{\mathbf{p}}\); dolayısıyla \((V + W)(\mathbf{p}) = (2, 2, -2)_{\mathbf{p}}\). Ayrıca \(f(\mathbf{p}) = 1^2 + (-1) = 0\), dolayısıyla \((fV)(\mathbf{p}) = 0 \cdot (1, 0, -1)_{\mathbf{p}} = \mathbf{0}_{\mathbf{p}}\): bu noktada \(fV\)’nin oku sıfırdır.

\(\mathbf{q} = (2, 1, 1)\) için \(f(\mathbf{q}) = 4 + 1 = 5\), \(V(\mathbf{q}) = (2, 0, 1)_{\mathbf{q}}\), \(W(\mathbf{q}) = (1, 1, -1)_{\mathbf{q}}\); dolayısıyla

\[(V + W)(\mathbf{q}) = (3, 1, 0)_{\mathbf{q}}, \qquad (fV)(\mathbf{q}) = 5\,(2, 0, 1)_{\mathbf{q}} = (10, 0, 5)_{\mathbf{q}}, \qquad (fW)(\mathbf{q}) = (5, 5, -5)_{\mathbf{q}}.\]

Aynı \(f\), farklı noktalarda farklı çarpanlar üretir: \(\mathbf{p}\)’de \(0\), \(\mathbf{q}\)’da \(5\).

\(\blacksquare\)

Düzlemde aynı şey şöyle görünür.

Örnek 2.26 (Düzlemde Dönen Alan ile Sabit Alanın Toplamı) Öklid düzleminde \(V(\mathbf{p}) = (-p_2, p_1)_{\mathbf{p}}\) dönen alan, \(W(\mathbf{p}) = (1, 0)_{\mathbf{p}}\) her noktada sağa bakan sabit alan ve \(f = x\) olsun; yani \(f(\mathbf{p}) = p_1\). \((V + W)(\mathbf{p})\) ve \((fV)(\mathbf{p})\)’yi genel bir \(\mathbf{p}\) için yazalım; sonra \((0, 1)\), \((2, 1)\), \((1, -1)\) ve \((-1, 2)\) noktalarında hesaplayalım.

Çözüm

Tanıma göre her noktada vektör kısımlarıyla işlem yapılır, uygulama noktası \(\mathbf{p}\) olarak kalır:

\[(V + W)(\mathbf{p}) = (1 - p_2,\ p_1)_{\mathbf{p}}, \qquad (fV)(\mathbf{p}) = p_1\,(-p_2, p_1)_{\mathbf{p}} = (-p_1 p_2,\ p_1^2)_{\mathbf{p}}.\]

Dört noktadaki değerler şöyledir:

\(\mathbf{p}\)	\(V(\mathbf{p})\)	\(W(\mathbf{p})\)	\((V + W)(\mathbf{p})\)	\(f(\mathbf{p})\)	\((fV)(\mathbf{p})\)
\((0, 1)\)	\((-1, 0)_{\mathbf{p}}\)	\((1, 0)_{\mathbf{p}}\)	\((0, 0)_{\mathbf{p}}\)	\(0\)	\((0, 0)_{\mathbf{p}}\)
\((2, 1)\)	\((-1, 2)_{\mathbf{p}}\)	\((1, 0)_{\mathbf{p}}\)	\((0, 2)_{\mathbf{p}}\)	\(2\)	\((-2, 4)_{\mathbf{p}}\)
\((1, -1)\)	\((1, 1)_{\mathbf{p}}\)	\((1, 0)_{\mathbf{p}}\)	\((2, 1)_{\mathbf{p}}\)	\(1\)	\((1, 1)_{\mathbf{p}}\)
\((-1, 2)\)	\((-2, -1)_{\mathbf{p}}\)	\((1, 0)_{\mathbf{p}}\)	\((-1, -1)_{\mathbf{p}}\)	\(-1\)	\((2, 1)_{\mathbf{p}}\)

\(fV\) için çarpan \(f(\mathbf{p}) = p_1\) noktadan noktaya değişir. \(p_1 > 0\) olan noktalarda ok \(V\) ile aynı yöne bakar ve uzunluğu \(p_1\) katına çıkar (\((2, 1)\)’de iki kat); \(p_1 = 0\) olan \(y\) ekseni üzerinde ok sıfırlanır; \(p_1 < 0\) olan noktalarda ise yön tersine döner: \((-1, 2)\)’de \(V(\mathbf{p}) = (-2, -1)_{\mathbf{p}}\) iken \((fV)(\mathbf{p}) = (2, 1)_{\mathbf{p}}\)’dir.

\(\blacksquare\)

Tablonun ilk satırında \(V + W\) sıfır çıktı. Bu toplamın sıfır olduğu başka noktalar da var mı, bakalım.

Örnek 2.27 (Dönen Alan ile Sabit Alanın Toplamı Nerede Sıfır?) Öklid düzleminde \(V(\mathbf{p}) = (-p_2, p_1)_{\mathbf{p}}\) dönen alan ve \(W(\mathbf{p}) = (1, 0)_{\mathbf{p}}\) her noktada sağa bakan sabit alan olsun. \(V + W\) hangi noktalarda sıfırdır?

Çözüm

Tanıma göre her noktada vektör kısımlarıyla işlem yapılır, uygulama noktası \(\mathbf{p}\) olarak kalır:

\[(V + W)(\mathbf{p}) = (1 - p_2,\ p_1)_{\mathbf{p}}.\]

\((0, 1)\) noktasında dönen alanın oku sola, sabit alanın oku sağa bakar ve ikisi birbirini götürür: \((V + W)(\mathbf{p}) = \mathbf{0}_{\mathbf{p}}\). Genel formülden \(V + W\)’nin sıfır olması için \(1 - p_2 = 0\) ve \(p_1 = 0\) gerekir; yani \(V + W\) yalnızca \((0, 1)\) noktasında sıfırdır. Dönen alana sabit bir alan eklenince tam bir noktada durgunluk oluşur.

\(\blacksquare\)

UyarıVektör alanı mı, teğet vektör mü, sayı mı?

Üç ayrı düzeydeki nesneleri karıştırmamak gerekir. \(V\) bir vektör alanıdır: bütün uzaya yayılmış bir oklar topluluğu. \(V(\mathbf{p})\) tek bir teğet vektördür: \(\mathbf{p}\)’deki ok. \(f(\mathbf{p})\) bir sayıdır. \(fV\) yine bir vektör alanıdır, \(f(\mathbf{p})V(\mathbf{p})\) ise tek bir teğet vektör. Bir eşitliğin iki yanındaki nesnelerin aynı türden olup olmadığını denetlemek, hataların çoğunu daha baştan önler.

2.4 Doğal çatı alanı

Buraya kadar vektör alanlarını hep “her noktaya bir ok” diye, kural vererek tanımladık. Bu tanım doğru ama hesap için hantaldır; bir alanı üç fonksiyonla yazabilseydik onu toplamak, çarpmak, karşılaştırmak ve ileride türevini almak çok kolaylaşırdı. Bunun yolu, \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’ün tabanı olan \((1, 0, 0)_{\mathbf{p}}, (0, 1, 0)_{\mathbf{p}}, (0, 0, 1)_{\mathbf{p}}\) teğet vektörlerini tek tek noktalarda değil, bütün noktalarda birden seçmektir. Böylece üç özel vektör alanı elde ederiz; birazdan her vektör alanının bu üçünün fonksiyon katsayılı bir birleşimi olduğunu göreceğiz.

Tanım 2.6 (Doğal Çatı Alanı) \(U_1, U_2, U_3\), \(\mathbb{R}^3\)’ün her \(\mathbf{p}\) noktası için

\[U_1(\mathbf{p}) = (1, 0, 0)_{\mathbf{p}}, \qquad U_2(\mathbf{p}) = (0, 1, 0)_{\mathbf{p}}, \qquad U_3(\mathbf{p}) = (0, 0, 1)_{\mathbf{p}}\]

olan vektör alanları olsun. \(U_1, U_2, U_3\) üçlüsüne \(\mathbb{R}^3\)’ün doğal çatı alanı (natural frame field) denir.

Yani \(U_i\) (\(i = 1, 2, 3\)), pozitif \(x_i\) yönündeki, uzunluğu \(1\) olan birim vektör (unit vector) alanıdır: her noktada aynı yöne bakan, aynı uzunluktaki bir ok. Vektör kısmı noktadan noktaya değişmediği için \(U_i\)’nin farklı noktalardaki değerleri birbirine paraleldir; ama uygulama noktaları farklı olduğundan bunlar farklı teğet vektörlerdir. \(U_1\) bir vektör alanıdır; \(U_1(\mathbf{p})\) ise \(\mathbf{p}\)’deki tek bir oktur.

Düzlemde aynı şey şöyle görünür: \(\mathbb{R}^2\)’nin doğal çatı alanı iki alandan oluşur, her \(\mathbf{p}\) için \(U_1(\mathbf{p}) = (1, 0)_{\mathbf{p}}\) ve \(U_2(\mathbf{p}) = (0, 1)_{\mathbf{p}}\). Örneğin \(\mathbf{p} = (3, -1)\)’de \(U_1(\mathbf{p})\), \((3, -1)\)’den \((4, -1)\)’e giden yatay birim ok; \(U_2(\mathbf{p})\) ise \((3, -1)\)’den \((3, 0)\)’a giden dikey birim oktur. Bundan sonraki düzlem örneklerinde \(U_1, U_2\) yazdığımızda bu iki alanı kastediyoruz; düzlemdeki her vektör alanının \(v_1 U_1 + v_2 U_2\) biçiminde yazılabildiği, aşağıdaki lemmanın iki bileşenli hâlidir.

Örnek 2.28 (Doğal Çatının İki Noktadaki Değerleri) \(\mathbf{p} = (1, 2, 1)\) ve \(\mathbf{q} = (3, 0, 2)\) noktalarında \(U_1, U_2, U_3\)’ün değerlerini ve bu okların bitiş noktalarını bulalım.

Çözüm

Tanıma göre vektör kısımları her noktada aynıdır; yalnızca uygulama noktası değişir:

alan	\(\mathbf{p} = (1, 2, 1)\)’deki değeri	bitiş	\(\mathbf{q} = (3, 0, 2)\)’deki değeri	bitiş
\(U_1\)	\((1, 0, 0)_{\mathbf{p}}\)	\((2, 2, 1)\)	\((1, 0, 0)_{\mathbf{q}}\)	\((4, 0, 2)\)
\(U_2\)	\((0, 1, 0)_{\mathbf{p}}\)	\((1, 3, 1)\)	\((0, 1, 0)_{\mathbf{q}}\)	\((3, 1, 2)\)
\(U_3\)	\((0, 0, 1)_{\mathbf{p}}\)	\((1, 2, 2)\)	\((0, 0, 1)_{\mathbf{q}}\)	\((3, 0, 3)\)

Aşağıdaki şekilde her iki noktada eksenlere paralel üçer birim ok görülür: her noktada küçük bir “koordinat çatısı”.

Doğal çatı U₁, U₂, U₃'ün p = (1, 2, 1) ve q = (3, 0, 2) noktalarındaki değerleri. Her noktada eksenlere paralel üç birim ok vardır: U₁ için (1, 0, 0), U₂ için (0, 1, 0), U₃ için (0, 0, 1); aynı renk aynı alanı gösterir. U₁(p) ile U₁(q) paraleldir ama uygulama noktaları farklı olduğundan eşit değildir.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.29 (Farklı Noktalarda Aynı Çatı Alanı) \(\mathbf{p} = (1, 2, 1)\) ve \(\mathbf{q} = (3, 0, 2)\) olsun. \(U_1(\mathbf{p})\) ile \(U_1(\mathbf{q})\) teğet vektörleri eşit midir?

Çözüm

\(U_1(\mathbf{p})\) ve \(U_1(\mathbf{q})\)’nun vektör kısımları aynı (\((1, 0, 0)\)), uygulama noktaları farklıdır; paraleldirler ama eşit değildirler.

\(\blacksquare\)

Bir vektör alanının koordinat fonksiyonları

Bir vektör alanı \(V\) verilsin. \(V(\mathbf{p})\)’nin vektör kısmı \(\mathbf{p}\)’ye bağlı bir üçlüdür; üçlünün her bileşeni, \(\mathbf{p}\)’ye bir sayı karşılık getirdiğinden, bir gerçel değerli fonksiyondur. Bu gözlem, her vektör alanının üç fonksiyonla tamamen belirlendiğini söyler ve vektör alanlarını hesaplanabilir nesnelere dönüştürür. Aşağıdaki lemma bu bölümün ana sonucudur.

Lemma 2.1 (Vektör Alanının Koordinat Fonksiyonları) \(V\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir vektör alanı olsun. \(\mathbb{R}^3\) üzerinde tek türlü belirlenmiş \(v_1, v_2, v_3\) gerçel değerli fonksiyonları vardır ve

\[V = v_1 U_1 + v_2 U_2 + v_3 U_3\]

olur. \(v_1, v_2, v_3\) fonksiyonlarına \(V\)’nin Öklid koordinat fonksiyonları (Euclidean coordinate functions) denir.

İspat

Varlık. Tanım gereği \(V\), her \(\mathbf{p}\) noktasına \(\mathbf{p}\)’de uygulanan bir \(V(\mathbf{p})\) teğet vektörü karşılık getirir. Dolayısıyla \(V(\mathbf{p})\)’nin vektör kısmı \(\mathbf{p}\)’ye bağlı bir üçlüdür; bu üçlüyü \(\bigl(v_1(\mathbf{p}), v_2(\mathbf{p}), v_3(\mathbf{p})\bigr)\) diye yazalım. Bu yazım \(v_1, v_2, v_3\)’ü \(\mathbb{R}^3\) üzerinde gerçel değerli fonksiyonlar olarak tanımlar: \(v_i(\mathbf{p})\), \(V(\mathbf{p})\)’nin vektör kısmının \(i\)-inci bileşenidir. Şimdi her \(\mathbf{p}\) için

\[\begin{aligned} V(\mathbf{p}) &= \bigl(v_1(\mathbf{p}), v_2(\mathbf{p}), v_3(\mathbf{p})\bigr)_{\mathbf{p}}\\ &= v_1(\mathbf{p})\,(1, 0, 0)_{\mathbf{p}} + v_2(\mathbf{p})\,(0, 1, 0)_{\mathbf{p}} + v_3(\mathbf{p})\,(0, 0, 1)_{\mathbf{p}}\\ &= v_1(\mathbf{p})\,U_1(\mathbf{p}) + v_2(\mathbf{p})\,U_2(\mathbf{p}) + v_3(\mathbf{p})\,U_3(\mathbf{p})\\ &= (v_1 U_1)(\mathbf{p}) + (v_2 U_2)(\mathbf{p}) + (v_3 U_3)(\mathbf{p})\\ &= (v_1 U_1 + v_2 U_2 + v_3 U_3)(\mathbf{p}). \end{aligned}\]

Adımların gerekçeleri sırasıyla şunlardır:

• birinci satır: \(v_i\)’lerin tanımı;
• ikinci satır: \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’teki toplama ve skalerle çarpmanın tanımı (Önerme 2.1’nın ispatındaki germe adımı);
• üçüncü satır: \(U_i\)’lerin tanımı;
• dördüncü satır: \(fV\) çarpımının noktasal tanımı (\(f = v_i\) ile);
• beşinci satır: \(V + W\) toplamının noktasal tanımı (iki kez uygulanmış).

Böylece \(V\) ile \(v_1 U_1 + v_2 U_2 + v_3 U_3\) vektör alanları her noktada aynı teğet vektör değerini alır. İki fonksiyon her noktada aynı değeri alıyorsa eşittir; dolayısıyla \(V = v_1 U_1 + v_2 U_2 + v_3 U_3\).

Teklik. \(V = w_1 U_1 + w_2 U_2 + w_3 U_3\) de sağlansın. Yukarıdaki hesap \(w_i\)’ler için de geçerlidir; dolayısıyla her \(\mathbf{p}\) için

\[\bigl(v_1(\mathbf{p}), v_2(\mathbf{p}), v_3(\mathbf{p})\bigr)_{\mathbf{p}} = V(\mathbf{p}) = \bigl(w_1(\mathbf{p}), w_2(\mathbf{p}), w_3(\mathbf{p})\bigr)_{\mathbf{p}}.\]

Teğet vektörlerin eşitlik kuralı gereği vektör kısımları eşittir: her \(\mathbf{p}\) ve her \(i\) için \(v_i(\mathbf{p}) = w_i(\mathbf{p})\). Yani \(v_i = w_i\); koordinat fonksiyonları tek türlü belirlidir.

\(\blacksquare\)

İspatın özü: \(v_i(\mathbf{p})\), \(V(\mathbf{p})\)’nin vektör kısmının \(i\)-inci bileşeninden başka bir şey değildir; lemma, bu bileşenleri “\(\mathbf{p}\)’nin fonksiyonu” olarak okumaktan ibarettir. Koordinat fonksiyonlarını bulmak için \(V(\mathbf{p})\)’nin vektör kısmına bakmak ve her bileşeni \(p_1, p_2, p_3\) cinsinden yazıp \(x, y, z\) koordinat fonksiyonlarıyla (bkz. Tanım 1.3) ifade etmek yeter.

NotToplam yazımı ve ispat sonu işareti

Bundan sonra \(\sum_{i=1}^{3} v_i U_i\) toplamını kısaca \(\sum_i v_i U_i\), hatta yalnızca \(\sum v_i U_i\) diye yazacağız; indeksin \(i = 1, 2, 3\) üzerinden dolaştığı her zaman anlaşılır. Lemma bu yazımla \(V = \sum v_i U_i\) biçimini alır; buna \(V\)’nin standart biçimi diyeceğiz. İkinci bir yazım sözleşmesini de burada belirtelim: ispatların ve çözümlerin sonundaki \(\blacksquare\) işareti, ispatın ya da çözümün bittiğini gösterir; kitap boyunca bu işareti kullanacağız.

İspatın içinde geçen özdeşliği ayrıca kaydedelim; çok sık kullanılacaktır.

Sonuç 2.1 (Teğet Vektörün Doğal Çatıda Ayrışımı) Her \(\mathbf{p}\) noktası ve her \((a_1, a_2, a_3)\) üçlüsü için

\[(a_1, a_2, a_3)_{\mathbf{p}} = a_1 U_1(\mathbf{p}) + a_2 U_2(\mathbf{p}) + a_3 U_3(\mathbf{p}) = \sum_{i=1}^{3} a_i\,U_i(\mathbf{p}).\]

İspat

\(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’teki işlemlerin tanımıyla sağ taraf \((a_1, 0, 0)_{\mathbf{p}} + (0, a_2, 0)_{\mathbf{p}} + (0, 0, a_3)_{\mathbf{p}} = (a_1, a_2, a_3)_{\mathbf{p}}\)’dir; \(U_i(\mathbf{p})\)’lerin yerine tanımlarındaki teğet vektörler yazılmıştır.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.30 (Bir Alanın Bir Noktadaki Ayrışımı) \(V = xy\,U_1 + (y + z)\,U_2 + 2z\,U_3\) olsun. \(\mathbf{p} = (1, 2, 1)\) ve \(\mathbf{q} = (0, -1, 1)\) noktalarında \(V\)’nin değerini, koordinat fonksiyonlarının değerlerini ve okun bitiş noktasını bulalım.

Çözüm

Koordinat fonksiyonları \(v_1 = xy\), \(v_2 = y + z\), \(v_3 = 2z\)’dir; \(v_1(\mathbf{p}) = p_1 p_2\), \(v_2(\mathbf{p}) = p_2 + p_3\), \(v_3(\mathbf{p}) = 2p_3\) demektir.

\(\mathbf{p} = (1, 2, 1)\) için \(v_1(\mathbf{p}) = 1 \cdot 2 = 2\), \(v_2(\mathbf{p}) = 2 + 1 = 3\), \(v_3(\mathbf{p}) = 2 \cdot 1 = 2\). Dolayısıyla

\[V(\mathbf{p}) = 2\,U_1(\mathbf{p}) + 3\,U_2(\mathbf{p}) + 2\,U_3(\mathbf{p}) = (2, 3, 2)_{\mathbf{p}},\]

yani \((1, 2, 1)\)’den \((3, 5, 3)\)’e giden ok. Aşağıdaki şekil bu oku, üç bileşen oku \(2U_1(\mathbf{p})\), \(3U_2(\mathbf{p})\), \(2U_3(\mathbf{p})\) ile birlikte gösterir: \(V(\mathbf{p})\), kenarları bu üç ok olan dikdörtgen kutunun \(\mathbf{p}\)’den çıkan köşegenidir.

Kalın ok, p = (1, 2, 1) noktasındaki V(p) = (2, 3, 2)_p teğet vektörüdür: (1, 2, 1)'den (3, 5, 3)'e gider. Eksenlere paralel üç bileşen oku 2U₁(p), 3U₂(p), 2U₃(p) toplandığında V(p)'yi verir; V(p), kenarları bu üç ok olan 2×3×2 kutunun p'den çıkan köşegenidir. Koordinat fonksiyonlarının p'deki değerleri v₁(p) = 2, v₂(p) = 3, v₃(p) = 2 kutunun kenar uzunluklarıdır.

\(\mathbf{q} = (0, -1, 1)\) için \(v_1(\mathbf{q}) = 0 \cdot (-1) = 0\), \(v_2(\mathbf{q}) = -1 + 1 = 0\), \(v_3(\mathbf{q}) = 2\); \(V(\mathbf{q}) = (0, 0, 2)_{\mathbf{q}} = 2U_3(\mathbf{q})\), yani \((0, -1, 1)\)’den \((0, -1, 3)\)’e giden dikey ok.

\(\blacksquare\)

Etkileşimli sahne: doğal çatı ve bir alanın ayrışımı. Sahneyi sürükleyerek döndürebilirsiniz; \(p_1, p_2, p_3\) kaydırıcıları \(\mathbf{p}\) noktasını taşır ve sahne \(V = xy\,U_1 + (y + z)\,U_2 + 2z\,U_3\) alanının o noktadaki değerini ayrıştırarak çizer. Kısa birim oklar \(U_1(\mathbf{p}), U_2(\mathbf{p}), U_3(\mathbf{p})\), ince turuncu oklar \(v_i(\mathbf{p})\,U_i(\mathbf{p})\) bileşenleri, kalın turuncu ok ise bunların toplamı ve kesikli kutunun köşegeni olan \(V(\mathbf{p})\)’dir. \(\mathbf{p}\) nereye giderse gitsin oradaki çatı, soluk çizilen öteki noktalardaki çatılarla aynıdır; değişen yalnızca katsayılardır: \(v_1(\mathbf{p}) = p_1 p_2\), \(v_2(\mathbf{p}) = p_2 + p_3\), \(v_3(\mathbf{p}) = 2p_3\). \(\mathbf{p}\)’yi \(\mathbf{q} = (0, -1, 1)\) noktasına götürünce ilk iki bileşen kaybolur ve \(V(\mathbf{q}) = 2U_3(\mathbf{q})\) kalır.

viewof frameFieldControls = Inputs.form({
  p1: Inputs.range([-1, 1.5], { value: 1, step: 0.1, label: "p₁" }),
  p2: Inputs.range([-1, 2.5], { value: 2, step: 0.1, label: "p₂" }),
  p3: Inputs.range([-1, 1.5], { value: 1, step: 0.1, label: "p₃" })
})

frameFieldPlot = html`<div class="scene3d" role="img" aria-label="Dondurulebilir sahne: p noktasinda dogal cati U1, U2, U3, V alaninin uc bilesen oku ve toplam V(p); baska noktalarda ayni cati soluk cizilir"></div>`

{
  const { p1, p2, p3 } = frameFieldControls;
  const p = [p1, p2, p3];
  // Euclidean coordinate functions of V = xy U1 + (y + z) U2 + 2z U3, evaluated at p.
  const coefficients = [p1 * p2, p2 + p3, 2 * p3];
  const tip = p.map((c, i) => c + coefficients[i]);
  const units = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]];
  const unitNames = ["U₁", "U₂", "U₃"];
  // A legend click should hide an arrow's shaft and head together.
  const group = (traces, name, extra = {}) => traces.map((trace) => ({ ...trace, ...extra, legendgroup: name }));
  const frame = units.flatMap((u, i) =>
    group(arrow(p, u, theme.base, i === 0 ? "U₁, U₂, U₃ (p'de)" : "", { width: 8 }), "frameFieldFrame")
  );
  const frameLabels = group(
    // U2 is written below its arrow: above it the label would sit on the V(p) arrow in the default view.
    units.map((u, i) => label(p.map((c, k) => c + 1.25 * u[k]), unitNames[i], theme.base, { size: 12, ...(i === 1 ? { position: "bottom center" } : {}) })),
    "frameFieldFrame"
  );
  const parts = units.flatMap((u, i) =>
    group(arrow(p, u.map((c) => c * coefficients[i]), theme.practice, i === 0 ? "bileşenler" : "", { width: 4, head: 0.25 }), "frameFieldParts")
  );
  // The same unit frame at a few fixed points, drawn faint: the frame field is identical at every point.
  const others = [[-2, -2, -2], [4, -2, 3], [-2, 5, 3], [4, 5, -2]];
  const otherFrames = others.flatMap((q, j) =>
    units.flatMap((u, i) =>
      group(arrow(q, u, theme.base, j === 0 && i === 0 ? "başka noktalarda çatı" : "", { width: 4, head: 0.25 }), "frameFieldOthers", { opacity: 0.35 })
    )
  );
  // Dashed edges of the box spanned by the component arrows, except the three that start at p; null breaks the line.
  const corner = (mask) => p.map((c, i) => c + ((mask >> i) & 1) * coefficients[i]);
  const box = { type: "scatter3d", mode: "lines", x: [], y: [], z: [], line: { color: theme.axis, width: 2, dash: "dash" }, showlegend: false, hoverinfo: "skip" };
  for (let mask = 1; mask < 8; mask++) {
    for (let i = 0; i < 3; i++) {
      if (mask & (1 << i)) continue;
      const a = corner(mask);
      const b = corner(mask | (1 << i));
      box.x.push(a[0], b[0], null);
      box.y.push(a[1], b[1], null);
      box.z.push(a[2], b[2], null);
    }
  }
  const traces = [
    ...group(arrow(p, coefficients, theme.practice, "V(p)", { width: 9, head: 0.4 }), "frameFieldValue"),
    ...parts,
    ...frame,
    ...frameLabels,
    ...otherFrames,
    box,
    point(p, theme.text, "", { text: "p", position: "bottom center" })
  ];
  // Oblique view as in the static figure; the default camera looks along V(p) = (2, 3, 2) and shortens it.
  const layout = sceneLayout(theme, { x: [-4, 6], y: [-3.5, 7], z: [-3.5, 5], eye: { x: 1.7, y: 0.49, z: 0.79 } });
  layout.legend.traceorder = "normal";
  render(Plotly, frameFieldPlot, traces, layout);
  const triple = (q) => `(${fmt(q[0])}; ${fmt(q[1])}; ${fmt(q[2])})`;
  // "+ 3,00" or "− 1,00": the sign is taken after rounding so it agrees with the printed digits.
  const term = (c, first = false) => {
    const rounded = Math.round(c * 100) / 100;
    const sign = rounded < 0 ? (first ? "−" : " − ") : first ? "" : " + ";
    return sign + fmt(Math.abs(rounded));
  };
  const [c1, c2, c3] = coefficients;
  return html`<div class="scene3d-readout"><i>v</i>₁(<b>p</b>) = p₁p₂ = ${fmt(c1)} &nbsp;·&nbsp; <i>v</i>₂(<b>p</b>) = p₂ + p₃ = ${fmt(c2)} &nbsp;·&nbsp; <i>v</i>₃(<b>p</b>) = 2p₃ = ${fmt(c3)}<br><i>V</i>(<b>p</b>) = ${term(c1, true)} <i>U</i>₁(<b>p</b>)${term(c2)} <i>U</i>₂(<b>p</b>)${term(c3)} <i>U</i>₃(<b>p</b>) = ${triple(coefficients)}<sub><b>p</b></sub> &nbsp;·&nbsp; uç nokta ${triple(tip)}</div>`;
}

Tersine, bir alan noktalardaki değerleriyle verildiğinde standart biçimini okuyabiliriz. Yöntem her zaman aynıdır: \(v_i(\mathbf{p})\), vektör kısmının \(i\)-inci bileşenidir; bunu \(x, y, z\) ile yazarız (\(x(\mathbf{p}) = p_1\), \(y(\mathbf{p}) = p_2\), \(z(\mathbf{p}) = p_3\)).

Örnek 2.31 (Değerlerden Standart Biçime Geçiş) Her \(\mathbf{p}\) için \(V(\mathbf{p}) = (p_2,\ -p_1,\ p_3^2)_{\mathbf{p}}\) olsun. \(V\)’nin koordinat fonksiyonlarını bulup \(V\)’yi \(\sum v_i U_i\) standart biçiminde yazalım.

Çözüm

\(v_1(\mathbf{p}) = p_2 = y(\mathbf{p})\), \(v_2(\mathbf{p}) = -p_1 = -x(\mathbf{p})\), \(v_3(\mathbf{p}) = p_3^2 = z^2(\mathbf{p})\). Dolayısıyla \(V = y\,U_1 - x\,U_2 + z^2\,U_3\).

\(\blacksquare\)

Örnek 2.32 (Bitiş Noktalarıyla Verilen Alan) Her \(\mathbf{p}\) için \(W(\mathbf{p})\), \(\mathbf{p}\)’den \((p_1 + p_2,\ 2p_2,\ p_3 - 1)\) noktasına giden ok olsun. \(W\)’nin koordinat fonksiyonlarını bulup \(W\)’yi standart biçimde yazalım.

Çözüm

Vektör kısmı, bitiş noktasından \(\mathbf{p}\)’nin çıkarılmasıyla bulunur: \((p_1 + p_2 - p_1,\ 2p_2 - p_2,\ p_3 - 1 - p_3) = (p_2,\ p_2,\ -1)\). Dolayısıyla \(W = y\,U_1 + y\,U_2 - U_3\).

\(\blacksquare\)

Örnek 2.33 (Eksene Doğru Bakan Oklar) Her \(\mathbf{p}\) için \(Z(\mathbf{p})\), \(\mathbf{p}\)’den \(z\) ekseni üzerindeki \((0, 0, p_3)\) noktasına giden ok olsun. \(Z\)’nin koordinat fonksiyonlarını bulup \(Z\)’yi standart biçimde yazalım.

Çözüm

Vektör kısmı \((0, 0, p_3) - (p_1, p_2, p_3) = (-p_1, -p_2, 0)\)’dır. Dolayısıyla \(Z = -x\,U_1 - y\,U_2\); üçüncü koordinat fonksiyonu sıfır fonksiyonudur. Her ok, noktadan \(z\) eksenine doğru, eksene dik olarak bakar.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.34 (Dönen Alanın Standart Biçimi) Düzlemdeki dönen alan her \(\mathbf{p}\) için \(V(\mathbf{p}) = (-p_2, p_1)_{\mathbf{p}}\) ile verilir (Örnek 2.21). \(V\)’nin koordinat fonksiyonlarını bulup \(V\)’yi standart biçimde yazalım.

Çözüm

Düzlemde iki koordinat fonksiyonu vardır: \(v_1(\mathbf{p}) = -p_2\), \(v_2(\mathbf{p}) = p_1\); yani \(V = -y\,U_1 + x\,U_2\). Bu, dönen alanın standart biçimidir.

\(\blacksquare\)

Vektör alanlarıyla yapılan hesaplar her zaman koordinat fonksiyonları cinsinden ifade edilebilir. Toplama ve fonksiyonla çarpma için formüller şunlardır.

Önerme 2.2 (Koordinatlarla Toplama ve Çarpma) \(V = \sum v_i U_i\) ve \(W = \sum w_i U_i\) vektör alanları, \(f\) bir fonksiyon olsun. O zaman

\[\sum v_i U_i + \sum w_i U_i = \sum (v_i + w_i)\,U_i, \qquad f\Bigl(\sum v_i U_i\Bigr) = \sum (f v_i)\,U_i.\]

Yani \(V + W\)’nin koordinat fonksiyonları \(v_i + w_i\), \(fV\)’ninkiler \(f v_i\)’dir.

İspat

Her iki eşitlik de vektör alanları arasında olduğundan, her \(\mathbf{p}\) noktasında değerlerin eşit olduğunu göstermek yeter. Toplama için, noktasal tanımlar ve Sonuç 2.1 ile

\[\begin{aligned} (V + W)(\mathbf{p}) &= V(\mathbf{p}) + W(\mathbf{p}) = \bigl(v_1(\mathbf{p}), v_2(\mathbf{p}), v_3(\mathbf{p})\bigr)_{\mathbf{p}} + \bigl(w_1(\mathbf{p}), w_2(\mathbf{p}), w_3(\mathbf{p})\bigr)_{\mathbf{p}}\\ &= \bigl(v_1(\mathbf{p}) + w_1(\mathbf{p}),\ v_2(\mathbf{p}) + w_2(\mathbf{p}),\ v_3(\mathbf{p}) + w_3(\mathbf{p})\bigr)_{\mathbf{p}} = \sum (v_i + w_i)(\mathbf{p})\,U_i(\mathbf{p}), \end{aligned}\]

ve son ifade \(\sum (v_i + w_i) U_i\) alanının \(\mathbf{p}\)’deki değeridir; ikinci satırdaki ilk eşitlik \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’teki toplamanın tanımı, ikincisi ise fonksiyon toplamının noktasal tanımı ile ayrışım özdeşliğidir. Çarpma için benzer biçimde

\[(fV)(\mathbf{p}) = f(\mathbf{p})\,V(\mathbf{p}) = f(\mathbf{p})\bigl(v_1(\mathbf{p}), v_2(\mathbf{p}), v_3(\mathbf{p})\bigr)_{\mathbf{p}} = \bigl(f(\mathbf{p})v_1(\mathbf{p}),\ f(\mathbf{p})v_2(\mathbf{p}),\ f(\mathbf{p})v_3(\mathbf{p})\bigr)_{\mathbf{p}} = \sum (f v_i)(\mathbf{p})\,U_i(\mathbf{p}),\]

burada üçüncü eşitlik \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’teki skalerle çarpmanın tanımı, dördüncüsü fonksiyon çarpımının noktasal tanımı ile ayrışım özdeşliğidir. Son ifade \(\sum (f v_i) U_i\) alanının \(\mathbf{p}\)’deki değeridir.

\(\blacksquare\)

Bu önerme, vektör alanlarıyla yapılan cebiri “koordinat koordinat” yapmamıza izin verir: \(U_1, U_2, U_3\) sembolleri sanki birer değişkenmiş gibi toplanır, fonksiyonlarla çarpılır ve benzer terimler birleştirilir.

Örnek 2.35 (Standart Biçimde Hesap) \(V = x\,U_1 + y\,U_2 + z\,U_3\), \(W = -y\,U_1 + x\,U_2\) ve \(f = z\) olsun. \(V + W\), \(fW\) ve \(2V - 3W\) alanlarını standart biçimde yazalım; sonra \(\mathbf{p} = (1, 2, 3)\)’teki değerlerini bulalım.

Çözüm

Önerme 2.2 ile benzer terimleri birleştiririz:

\[\begin{aligned} V + W &= (x - y)\,U_1 + (y + x)\,U_2 + z\,U_3,\\ fW &= z(-y\,U_1 + x\,U_2) = -yz\,U_1 + xz\,U_2,\\ 2V - 3W &= (2x + 3y)\,U_1 + (2y - 3x)\,U_2 + 2z\,U_3. \end{aligned}\]

\(\mathbf{p} = (1, 2, 3)\) için \(x(\mathbf{p}) = 1\), \(y(\mathbf{p}) = 2\), \(z(\mathbf{p}) = 3\); koordinat fonksiyonlarını bu sayılarda değerlendiririz:

\[(V + W)(\mathbf{p}) = (-1, 3, 3)_{\mathbf{p}}, \qquad (fW)(\mathbf{p}) = (-6, 3, 0)_{\mathbf{p}}, \qquad (2V - 3W)(\mathbf{p}) = (8, 1, 6)_{\mathbf{p}}.\]

Denetim için sonuncusunu doğrudan hesaplayalım: \(V(\mathbf{p}) = (1, 2, 3)_{\mathbf{p}}\), \(W(\mathbf{p}) = (-2, 1, 0)_{\mathbf{p}}\); \(2V(\mathbf{p}) - 3W(\mathbf{p}) = (2, 4, 6)_{\mathbf{p}} - (-6, 3, 0)_{\mathbf{p}} = (8, 1, 6)_{\mathbf{p}}\). İki yol aynı sonucu verir.

\(\blacksquare\)

2.5 Diferansiyellenebilir vektör alanları

Bir sonraki bölümde fonksiyonların vektör alanları boyunca türevini alacağız; türev hesabına giren her nesnenin diferansiyellenebilir olması gerekir. Peki bir vektör alanının diferansiyellenebilir olması ne demektir? Lemma sayesinde cevap hazırdır: bir vektör alanı üç koordinat fonksiyonundan ibarettir; öyleyse alanın diferansiyellenebilirliğini bu üç fonksiyonun diferansiyellenebilirliğine bağlamak en doğal seçimdir.

Tanım 2.7 (Diferansiyellenebilir Vektör Alanı) Bir \(V = \sum v_i U_i\) vektör alanının Öklid koordinat fonksiyonları \(v_1, v_2, v_3\)’ün her biri Tanım 1.4 anlamında diferansiyellenebilir ise \(V\)’ye diferansiyellenebilir (differentiable) vektör alanı denir.

Yani \(V\)’nin diferansiyellenebilir olması, üç koordinat fonksiyonunun her birinin her mertebeden bütün kısmi türevlerinin var ve sürekli olması demektir.

ÖnemliBundan sonra

Bundan böyle “vektör alanı” sözünden diferansiyellenebilir vektör alanı anlaşılacaktır. Şimdiye kadar verdiğimiz vektör alanı örneklerinin tamamı (koordinat fonksiyonları polinom olan alanlar) bu koşulu sağlar.

Örnek 2.36 (Üstel ve Trigonometrik Katsayılı Alan) \(V = e^{x}\,U_1 + \sin(yz)\,U_2 + (x^2 + y^2 + z^2)\,U_3\) diferansiyellenebilir bir vektör alanı mıdır?

Çözüm

Koordinat fonksiyonları \(e^{x}\), \(\sin(yz)\) ve \(x^2 + y^2 + z^2\)’dir. Üstel, sinüs ve polinom fonksiyonlarının bileşkeleri ve toplamları her mertebeden sürekli kısmi türevlere sahiptir; üçü de diferansiyellenebilirdir. \(V\) diferansiyellenebilir bir vektör alanıdır.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.37 (Mutlak Değer Katsayılı Alan) Her \(\mathbf{p}\) için \(W(\mathbf{p}) = (|p_1|,\ 0,\ 0)_{\mathbf{p}}\) olsun. \(W\) diferansiyellenebilir bir vektör alanı mıdır?

Çözüm

\(W = |x|\,U_1\) olduğundan \(w_1 = |x|\), \(w_2 = w_3 = 0\). Ama \(|x|\) fonksiyonunun \(x\)’e göre kısmi türevi \(p_1 = 0\) olan noktalarda yoktur: \(h \to 0\) için \(\bigl(|h| - 0\bigr)/h\) oranı sağdan \(1\), soldan \(-1\)’e gider. Dolayısıyla \(w_1\) diferansiyellenebilir değildir; \(W\), teğet vektör atama anlamında bir vektör alanıdır ama diferansiyellenebilir değildir. Sözleşmemize göre bundan böyle \(W\)’ye “vektör alanı” demeyeceğiz.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.38 (Radyal Alanın Diferansiyellenebilirliği) Radyal alan \(\mathbf{p} \mapsto \mathbf{p}_{\mathbf{p}}\) diferansiyellenebilir bir vektör alanı mıdır?

Çözüm

Radyal alanın vektör kısmı \((p_1, p_2, p_3)\)’tür; koordinat fonksiyonları \(x, y, z\)’dir. Bunlar polinomdur, dolayısıyla diferansiyellenebilirdir: \(\mathbf{p} \mapsto \mathbf{p}_{\mathbf{p}} = x\,U_1 + y\,U_2 + z\,U_3\) diferansiyellenebilir bir vektör alanıdır.

\(\blacksquare\)

Örnek 2.39 (Uzunluğu Uzaklığa Eşit Yatay Oklar) Düzlemde her \(\mathbf{p}\) için \(Z(\mathbf{p}) = \bigl(\sqrt{p_1^2 + p_2^2},\ 0\bigr)_{\mathbf{p}}\) olsun; yani \(Z(\mathbf{p})\), sağa bakan ve uzunluğu noktanın \(\mathbf{0}\)’a uzaklığı kadar olan oktur. \(Z\) diferansiyellenebilir bir vektör alanı mıdır?

Çözüm

\(Z\)’nin koordinat fonksiyonları \(\sqrt{x^2 + y^2}\) ve \(0\)’dır. Birincisi başlangıç noktası dışında her yerde her mertebeden sürekli kısmi türevlere sahiptir; ama \(\mathbf{0} = (0, 0)\) noktasında \(x\)’e göre kısmi türevi yoktur, çünkü \(x\) ekseni üzerinde \(\sqrt{x^2 + 0} = |x|\) olur ve \(|x|\) fonksiyonunda gördüğümüz \(|h|/h\) oranı (Örnek 2.37) yine karşımıza çıkar. Tek bir noktadaki bu kusur yeter: \(Z\) bir vektör alanıdır, ama diferansiyellenebilir bir vektör alanı değildir. Düzlemdeki dönen alan \(-y\,U_1 + x\,U_2\) ise polinom katsayılı olduğundan diferansiyellenebilirdir.

\(\blacksquare\)

Diferansiyellenebilir alanlarla yaptığımız cebir bizi bu sınıfın dışına çıkarmaz: \(V\) ve \(W\) diferansiyellenebilir vektör alanları, \(f\) diferansiyellenebilir bir fonksiyon ise \(V + W\) ve \(fV\) de diferansiyellenebilirdir. Çünkü Önerme 2.2 gereği bunların koordinat fonksiyonları \(v_i + w_i\) ve \(f v_i\)’dir; diferansiyellenebilir fonksiyonların toplamı ve çarpımı, toplam ve çarpım kurallarıyla her mertebeden sürekli kısmi türevlere sahip olduğundan, yine diferansiyellenebilirdir.

2.6 Alıştırmalar

Alıştırma 2.1 (Çatı Vektörleriyle Lineer Birleşim) \(\mathbf{v} = (-2, 1, -1)\) ve \(\mathbf{w} = (0, 1, 3)\) olsun. Herhangi bir \(\mathbf{p}\) noktasında \(3\mathbf{v}_{\mathbf{p}} - 2\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörünü \(U_1(\mathbf{p}), U_2(\mathbf{p}), U_3(\mathbf{p})\)’nin lineer birleşimi olarak yazın.

Çözüm

Önce vektör kısmıyla işlem yapalım: \(3\mathbf{v} = (-6, 3, -3)\) ve \(2\mathbf{w} = (0, 2, 6)\), dolayısıyla \(3\mathbf{v} - 2\mathbf{w} = (-6, 1, -9)\). Teğet uzayındaki işlemlerin tanımıyla \(3\mathbf{v}_{\mathbf{p}} - 2\mathbf{w}_{\mathbf{p}} = (-6, 1, -9)_{\mathbf{p}}\) ve Sonuç 2.1 ile

\[3\mathbf{v}_{\mathbf{p}} - 2\mathbf{w}_{\mathbf{p}} = -6\,U_1(\mathbf{p}) + U_2(\mathbf{p}) - 9\,U_3(\mathbf{p}).\]

Katsayılar \(\mathbf{p}\)’ye bağlı değildir; \(\mathbf{p}\) yalnızca okun nereden çıktığını belirler.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.2 (Bir Noktadan Çıkan Dört Okun Çizimi) \(\mathbf{v} = (-2, 1, -1)\), \(\mathbf{w} = (0, 1, 3)\) ve \(\mathbf{p} = (1, 1, 0)\) olsun. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\), \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\), \(-2\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ve \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörlerini gösteren ölçekli ve dikkatli bir çizim yapın.

Çözüm

Dört okun vektör kısımları \(\mathbf{v} = (-2, 1, -1)\), \(\mathbf{w} = (0, 1, 3)\), \(-2\mathbf{v} = (4, -2, 2)\) ve \(\mathbf{v} + \mathbf{w} = (-2, 2, 2)\)’dir. Hepsi \(\mathbf{p} = (1, 1, 0)\)’dan çıkar; bitiş noktaları \(\mathbf{p}\)’ye vektör kısımlarının eklenmesiyle bulunur:

teğet vektör	vektör kısmı	bitiş noktası
\(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)	\((-2, 1, -1)\)	\((-1, 2, -1)\)
\(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\)	\((0, 1, 3)\)	\((1, 2, 3)\)
\(-2\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)	\((4, -2, 2)\)	\((5, -1, 2)\)
\(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{p}}\)	\((-2, 2, 2)\)	\((-1, 3, 2)\)

Aşağıdaki şekilde \(-2\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)’nin \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ile ters yönde ve iki kat uzun olduğu, \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{p}}\)’nin ise \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ve \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\)’nin gerdiği paralelkenarın köşegeni olduğu görülür.

p = (1, 1, 0) noktasından çıkan dört teğet vektör: v_p = (−2, 1, −1)_p, w_p = (0, 1, 3)_p, −2v_p ve v_p + w_p. Her okun ucu, p'ye vektör kısmının eklenmesiyle bulunur; kesikli kılavuzlar uç noktaların koordinatlarını okutur. −2v_p, v_p ile aynı doğru üzerinde ters yönde ve iki kat uzundur; v_p + w_p ise v_p ile w_p'nin gerdiği paralelkenarın köşegenidir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.3 (Bir Alan Hesabı) \(V = x\,U_1 + y\,U_2\) ve \(W = 2x^2\,U_2 - U_3\) olsun. \(W - xV\) vektör alanını hesaplayın ve \(\mathbf{p} = (-1, 0, 2)\) noktasındaki değerini bulun.

Çözüm

Önce \(xV = x(x\,U_1 + y\,U_2) = x^2\,U_1 + xy\,U_2\) (Önerme 2.2). Sonra benzer terimleri birleştirerek

\[W - xV = 2x^2\,U_2 - U_3 - x^2\,U_1 - xy\,U_2 = -x^2\,U_1 + (2x^2 - xy)\,U_2 - U_3.\]

\(\mathbf{p} = (-1, 0, 2)\) için \(x(\mathbf{p}) = -1\), \(y(\mathbf{p}) = 0\): koordinat fonksiyonlarının değerleri \(-(-1)^2 = -1\), \(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 0 = 2\) ve \(-1\)’dir. Dolayısıyla

\[(W - xV)(\mathbf{p}) = -U_1(\mathbf{p}) + 2\,U_2(\mathbf{p}) - U_3(\mathbf{p}) = (-1, 2, -1)_{\mathbf{p}},\]

yani \((-1, 0, 2)\)’den \((-2, 2, 1)\)’e giden ok.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.4 (Bir Denklemden Standart Biçim) \(V\) vektör alanı \(2z^2\,U_1 = 7V + xy\,U_3\) eşitliğini sağlasın. \(V\)’yi \(\sum v_i U_i\) standart biçiminde yazın.

Çözüm

Denklemi \(V\) için çözelim: \(7V = 2z^2\,U_1 - xy\,U_3\), dolayısıyla

\[V = \frac{2z^2}{7}\,U_1 - \frac{xy}{7}\,U_3;\]

yani \(v_1 = 2z^2/7\), \(v_2 = 0\), \(v_3 = -xy/7\). Bölme, koordinat fonksiyonlarının sabit \(1/7\) ile çarpılmasıdır.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.5 (Değerleriyle Verilen Bir Alan) Her \(\mathbf{p}\) için \(V(\mathbf{p}) = (p_1,\ p_3 - p_1,\ 0)_{\mathbf{p}}\) olsun. \(V\)’yi \(\sum v_i U_i\) standart biçiminde yazın.

Çözüm

\(v_1(\mathbf{p}) = p_1\), \(v_2(\mathbf{p}) = p_3 - p_1\), \(v_3(\mathbf{p}) = 0\); koordinat fonksiyonlarıyla \(v_1 = x\), \(v_2 = z - x\), \(v_3 = 0\). Dolayısıyla \(V = x\,U_1 + (z - x)\,U_2\).

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.6 (Parantezleri Açarak Standart Biçim) \(V = 2(x\,U_1 + y\,U_2) - x(U_1 - y^2\,U_3)\) vektör alanını \(\sum v_i U_i\) standart biçiminde yazın.

Çözüm

Dağıtıp benzer terimleri birleştirelim:

\[V = 2x\,U_1 + 2y\,U_2 - x\,U_1 + xy^2\,U_3 = x\,U_1 + 2y\,U_2 + xy^2\,U_3.\]

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.7 (Bitiş Noktası Noktaya Bağlı Oklar) Her \(\mathbf{p}\) noktasında \(V(\mathbf{p})\), \((p_1, p_2, p_3)\) noktasından \((1 + p_1,\ p_2 p_3,\ p_2)\) noktasına giden vektör olsun. \(V\)’yi \(\sum v_i U_i\) standart biçiminde yazın.

Çözüm

Vektör kısmı, bitiş noktasından \(\mathbf{p}\)’nin çıkarılmasıyla bulunur: \((1 + p_1 - p_1,\ p_2 p_3 - p_2,\ p_2 - p_3) = (1,\ p_2 p_3 - p_2,\ p_2 - p_3)\). Dolayısıyla

\[V = U_1 + (yz - y)\,U_2 + (y - z)\,U_3.\]

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.8 (Başlangıç Noktasına Doğru Bakan Alan) Her \(\mathbf{p}\) noktasında \(V(\mathbf{p})\), \(\mathbf{p}\)’den başlangıç noktası \(\mathbf{0}\)’a giden vektör olsun. \(V\)’yi \(\sum v_i U_i\) standart biçiminde yazın.

Çözüm

\(\mathbf{p}\)’den başlangıç noktası \(\mathbf{0}\)’a giden vektörün vektör kısmı \(\mathbf{0} - \mathbf{p} = (-p_1, -p_2, -p_3)\)’tür. Dolayısıyla \(V = -x\,U_1 - y\,U_2 - z\,U_3\); bu, radyal alanın \(-1\) katıdır ve her ok \(\mathbf{0}\)’a doğru bakar.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.9 (Yalnızca İki Çatı Alanı) \(V = y^2\,U_1 - x^2\,U_3\) ve \(W = x^2\,U_1 - z\,U_2\) olsun. \(fV + gW\) vektör alanının yalnızca \(U_2\) ve \(U_3\) cinsinden yazılabileceği \(f\) ve \(g\) fonksiyonlarını bulun.

Çözüm

Önerme 2.2 ile

\[fV + gW = (f y^2 + g x^2)\,U_1 - g z\,U_2 - f x^2\,U_3.\]

Alanın yalnızca \(U_2\) ve \(U_3\) cinsinden yazılabilmesi, koordinat fonksiyonlarının tekliği gereği, \(U_1\)’in katsayısının sıfır fonksiyonu olması demektir: her noktada \(f y^2 + g x^2 = 0\). Bu, \(f = x^2\) ve \(g = -y^2\) seçimiyle sağlanır, çünkü \(x^2 y^2 - y^2 x^2 = 0\). Bu seçimle

\[fV + gW = y^2 z\,U_2 - x^4\,U_3.\]

Daha genel olarak, herhangi bir \(h\) fonksiyonu için \(f = x^2 h\) ve \(g = -y^2 h\) da işe yarar; \(h = 0\) ise sıfır alanı elde edilir. \(f = g = 0\) da bir çözümdür, ama ilginç olan sıfırdan farklı çözümlerdir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.10 (Her Noktada Lineer Bağımsız Üç Alan) \(V_1 = U_1 - x\,U_3\), \(V_2 = U_2\) ve \(V_3 = x\,U_1 + U_3\) olsun. \(V_1(\mathbf{p}), V_2(\mathbf{p}), V_3(\mathbf{p})\) teğet vektörlerinin \(\mathbb{R}^3\)’ün her noktasında lineer bağımsız olduğunu gösterin.

Çözüm

\(\mathbf{p} = (p_1, p_2, p_3)\) noktasında koordinat fonksiyonlarını değerlendirerek

\[V_1(\mathbf{p}) = (1, 0, -p_1)_{\mathbf{p}}, \qquad V_2(\mathbf{p}) = (0, 1, 0)_{\mathbf{p}}, \qquad V_3(\mathbf{p}) = (p_1, 0, 1)_{\mathbf{p}}.\]

\(a\,V_1(\mathbf{p}) + b\,V_2(\mathbf{p}) + c\,V_3(\mathbf{p}) = \mathbf{0}_{\mathbf{p}}\) olsun. Sol taraf \((a + c p_1,\ b,\ -a p_1 + c)_{\mathbf{p}}\)’dir; eşitlik kuralı gereği üç bileşen de sıfırdır:

\[a + c p_1 = 0, \qquad b = 0, \qquad -a p_1 + c = 0.\]

Birinci denklemden \(a = -c p_1\); bunu üçüncüde yerine koyunca \(c p_1^2 + c = c(1 + p_1^2) = 0\) olur. \(1 + p_1^2 \ge 1 > 0\) olduğundan \(c = 0\), dolayısıyla \(a = 0\); ikinci denklemden \(b = 0\). Bütün katsayılar sıfıra zorlandığından üç teğet vektör lineer bağımsızdır. Bu, \(\mathbf{p}\)’nin ne olduğuna bağlı olmadan geçerlidir. Üç boyutlu \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’te üç lineer bağımsız vektör bir taban oluşturur; dolayısıyla her noktada her teğet vektör bunların birleşimi olarak yazılabilir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.11 (Radyal Alanı Yeni Bir Üçlüyle Yazmak) \(V_1 = U_1 - x\,U_3\), \(V_2 = U_2\) ve \(V_3 = x\,U_1 + U_3\) olsun. \(x\,U_1 + y\,U_2 + z\,U_3\) vektör alanını \(V_1, V_2, V_3\)’ün lineer birleşimi olarak yazın.

Çözüm

\(x\,U_1 + y\,U_2 + z\,U_3 = f_1 V_1 + f_2 V_2 + f_3 V_3\) olacak \(f_1, f_2, f_3\) fonksiyonlarını arıyoruz. Sağ tarafı standart biçime getirelim:

\[f_1 V_1 + f_2 V_2 + f_3 V_3 = (f_1 + x f_3)\,U_1 + f_2\,U_2 + (-x f_1 + f_3)\,U_3.\]

Koordinat fonksiyonlarının tekliği gereği katsayılar eşleşmelidir:

\[f_1 + x f_3 = x, \qquad f_2 = y, \qquad -x f_1 + f_3 = z.\]

Birinci denklemden \(f_1 = x - x f_3\). Üçüncüde yerine koyalım: \(-x(x - x f_3) + f_3 = z\), yani \(-x^2 + x^2 f_3 + f_3 = z\), yani \((1 + x^2) f_3 = z + x^2\). \(1 + x^2\) hiçbir noktada sıfır olmadığından

\[f_3 = \frac{x^2 + z}{1 + x^2}, \qquad f_1 = x - \frac{x(x^2 + z)}{1 + x^2} = \frac{x(1 + x^2) - x(x^2 + z)}{1 + x^2} = \frac{x(1 - z)}{1 + x^2}, \qquad f_2 = y.\]

Denetleyelim: \(f_1 + x f_3 = \frac{x(1 - z) + x(x^2 + z)}{1 + x^2} = \frac{x + x^3}{1 + x^2} = x\) ve \(-x f_1 + f_3 = \frac{-x^2(1 - z) + x^2 + z}{1 + x^2} = \frac{x^2 z + z}{1 + x^2} = z\). Dolayısıyla

\[x\,U_1 + y\,U_2 + z\,U_3 = \frac{x(1 - z)}{1 + x^2}\,V_1 + y\,V_2 + \frac{x^2 + z}{1 + x^2}\,V_3.\]

Paydalar hiçbir noktada sıfırlanmadığından \(f_1, f_2, f_3\) bütün \(\mathbb{R}^3\) üzerinde diferansiyellenebilir fonksiyonlardır.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.12 (Eşit mi, Paralel mi, Aynı Demette mi?) Aşağıdaki dört oku \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) biçiminde yazın; hangi teğet uzayına ait olduklarını söyleyin; eşit çiftleri, paralel çiftleri ve aynı teğet uzayında bulunan çiftleri belirleyin.

• A: \((1, 2, 3)\)’ten \((2, 4, 6)\)’ya giden ok.
• B: \((0, 0, 0)\)’dan \((1, 2, 3)\)’e giden ok.
• C: \((1, 2, 3)\)’ten \((3, 6, 9)\)’a giden ok.
• D: \((2, 1, 0)\)’dan \((3, 3, 3)\)’e giden ok.

Çözüm

Her okun uygulama noktası çıktığı noktadır; vektör kısmı ise bitiş noktasından çıkış noktası çıkarılarak bulunur:

ok	uygulama noktası	vektör kısmı	teğet vektör	teğet uzayı
A	\((1, 2, 3)\)	\((1, 2, 3)\)	\((1, 2, 3)_{(1, 2, 3)}\)	\(T_{(1, 2, 3)}(\mathbb{R}^3)\)
B	\((0, 0, 0)\)	\((1, 2, 3)\)	\((1, 2, 3)_{\mathbf{0}}\)	\(T_{\mathbf{0}}(\mathbb{R}^3)\)
C	\((1, 2, 3)\)	\((2, 4, 6)\)	\((2, 4, 6)_{(1, 2, 3)}\)	\(T_{(1, 2, 3)}(\mathbb{R}^3)\)
D	\((2, 1, 0)\)	\((1, 2, 3)\)	\((1, 2, 3)_{(2, 1, 0)}\)	\(T_{(2, 1, 0)}(\mathbb{R}^3)\)

Eşit çiftler: hiçbiri. Eşitlik hem vektör kısmının hem uygulama noktasının aynı olmasını ister; A, B, D’nin uygulama noktaları birbirinden farklı, C’nin vektör kısmı ise A’nınkinden farklıdır.

Paralel çiftler: A–B, A–D ve B–D; üçünün de vektör kısmı \((1, 2, 3)\)’tür ve uygulama noktaları farklıdır. C’nin vektör kısmı \((2, 4, 6)\) hiçbirininkiyle aynı olmadığından C hiçbir okla paralel değildir.

Aynı teğet uzayında bulunan çift: yalnızca A ile C. Bu ikisi toplanabilir ve skalerle çarpılabilir; gerçekten \(C = 2A\), çünkü \((2, 4, 6)_{(1, 2, 3)} = 2\,(1, 2, 3)_{(1, 2, 3)}\). A ile B ise, aynı vektör kısmına sahip olsalar da, farklı demetlerde bulunur ve toplanamazlar.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.13 (Uzayda Dönen Alanın Üç Değeri) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde \(V = -y\,U_1 + x\,U_2\) olsun. \(V\)’nin \((1, 0, 0)\), \((0, 1, 0)\) ve \((2, 3, 5)\) noktalarındaki değerlerini bulun.

Çözüm

Koordinat fonksiyonları \(v_1 = -y\), \(v_2 = x\), \(v_3 = 0\)’dır; yani her \(\mathbf{p}\) için \(V(\mathbf{p}) = (-p_2, p_1, 0)_{\mathbf{p}}\). Koordinat fonksiyonlarını verilen noktalarda değerlendirirsek \(V(1, 0, 0) = (0, 1, 0)_{(1, 0, 0)}\), \(V(0, 1, 0) = (-1, 0, 0)_{(0, 1, 0)}\) ve \(V(2, 3, 5) = (-3, 2, 0)_{(2, 3, 5)}\) bulunur. Oklar her zaman yataydır (\(v_3 = 0\)) ve \(z\) ekseni etrafında döner.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.14 (Dönen Alanın Sıfır Olduğu Noktalar) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde \(V = -y\,U_1 + x\,U_2\) olsun. \(V(\mathbf{p}) = \mathbf{0}_{\mathbf{p}}\) olan bütün \(\mathbf{p}\) noktalarını belirleyin.

Çözüm

\(V(\mathbf{p}) = (-p_2, p_1, 0)_{\mathbf{p}}\)’nin sıfır olması için \(-p_2 = 0\) ve \(p_1 = 0\) gerekir; \(p_3\) serbesttir. Yani \(V\) tam olarak \(z\) ekseni üzerindeki noktalarda, \(\mathbf{p} = (0, 0, p_3)\), sıfırdır. Dönme ekseni üzerinde hız yoktur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.15 (Dönen Alanın Katı Olarak Bir Çatı Alanı) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde \(V = -y\,U_1 + x\,U_2\) olsun. \(fV = U_2\) olacak bir \(f\) fonksiyonu var mıdır?

Çözüm

\(fV = -yf\,U_1 + xf\,U_2\). Bunun \(U_2 = 0 \cdot U_1 + 1 \cdot U_2 + 0 \cdot U_3\) olması için koordinat fonksiyonlarının tekliği gereği her noktada \(-yf = 0\) ve \(xf = 1\) olmalıdır. Ama \(\mathbf{p} = (0, 0, 0)\) noktasında ikinci koşul \(0 \cdot f(\mathbf{0}) = 1\) der; bu olanaksızdır. Böyle bir \(f\) yoktur. Daha genel bir gözlem: \(V\) bir noktada sıfırsa \(fV\) de o noktada sıfırdır; \(U_2\) ise hiçbir noktada sıfır değildir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.16 (Dönen Alanı Uzatan Fonksiyon) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde \(V = -y\,U_1 + x\,U_2\) olsun. \(gV = -y(x^2 + y^2)\,U_1 + x(x^2 + y^2)\,U_2\) olacak bir \(g\) fonksiyonu bulun.

Çözüm

\(gV = -yg\,U_1 + xg\,U_2\) ile istenen alanın koordinat fonksiyonlarını eşleştirelim: \(-yg = -y(x^2 + y^2)\) ve \(xg = x(x^2 + y^2)\). \(g = x^2 + y^2\) her iki eşitliği her noktada sağlar. Dolayısıyla \(g = x^2 + y^2\) aranan fonksiyondur; \(gV\), dönen alanın \(z\) eksenine uzaklığın karesiyle uzatılmış hâlidir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.17 (Üstel Bileşenli Bir Kural) Her \(\mathbf{p}\) için \(V(\mathbf{p}) = (p_1^2,\ e^{p_2},\ p_1 p_3)_{\mathbf{p}}\) kuralı \(\mathbb{R}^3\) üzerinde diferansiyellenebilir bir vektör alanı tanımlar mı? Gerekçeleyin.

Çözüm

Her \(\mathbf{p}\)’ye \(\mathbf{p}\)’de uygulanan bir teğet vektör karşılık gelir; bir vektör alanıdır ve standart biçimi \(V = x^2\,U_1 + e^{y}\,U_2 + xz\,U_3\)’tür. Koordinat fonksiyonları polinom ve üstel fonksiyonlardır, her mertebeden sürekli kısmi türevleri vardır. Diferansiyellenebilir bir vektör alanıdır.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.18 (Mutlak Değer İçeren Bir Alan) \(W = |x|\,U_1 + z\,U_3\) kuralı \(\mathbb{R}^3\) üzerinde diferansiyellenebilir bir vektör alanı tanımlar mı? Gerekçeleyin.

Çözüm

Bir vektör alanıdır, ama \(w_1 = |x|\) fonksiyonu \(p_1 = 0\) olan noktalarda \(x\)’e göre kısmi türeve sahip değildir (Örnek 2.37). Diferansiyellenebilir değildir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.19 (Düzleme Dik İnen Oklar) Her \(\mathbf{p}\) için \(Z(\mathbf{p})\), \(\mathbf{p}\)’den \((p_1, p_2, 0)\) noktasına giden ok olsun. Bu kural \(\mathbb{R}^3\) üzerinde diferansiyellenebilir bir vektör alanı tanımlar mı? Gerekçeleyin.

Çözüm

Vektör kısmı \((p_1, p_2, 0) - (p_1, p_2, p_3) = (0, 0, -p_3)\)’tür; \(Z = -z\,U_3\). Koordinat fonksiyonları \(0, 0, -z\) diferansiyellenebilirdir. Diferansiyellenebilir bir vektör alanıdır; her ok, noktadan \(xy\) düzlemine dik olarak, noktanın düzlem üzerindeki izdüşümüne kadar uzanır: \(p_3 > 0\) ise aşağı, \(p_3 < 0\) ise yukarı bakar, düzlem üzerindeki noktalarda sıfırdır.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 2.20 (İki Katı Noktada Uygulanan Oklar) \(\mathbf{p} \mapsto (1, 0, 0)_{2\mathbf{p}}\) kuralı \(\mathbb{R}^3\) üzerinde diferansiyellenebilir bir vektör alanı tanımlar mı? Gerekçeleyin.

Çözüm

\(\mathbf{p} \ne \mathbf{0}\) için karşılık gelen teğet vektör \(2\mathbf{p}\)’de uygulanmıştır, \(\mathbf{p}\)’de değil. Bu kural bir vektör alanı bile değildir; diferansiyellenebilirlik sorusu sorulamaz.

\(\blacksquare\)

Bu bölümde oku bir nokta çiftine, bir noktadan çıkan okları bir vektör uzayına, uzaya yayılmış okları üç fonksiyona indirgedik; bir sonraki adım, bir fonksiyonun bir ok yönünde nasıl değiştiğini ölçmektir: Yönlü Türevler.