5  1-Formlar

Önceki bölümde (Uzayda Eğriler) uzayda hareket eden noktaları, yani eğrileri ve onların hız vektörlerini inceledik. O bölümden ve daha öncekilerden elimizde çalışan bir araç var: bir \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörü bir \(f\) fonksiyonuna uygulanır ve \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısını, yani \(f\)’nin \(\mathbf{p}\)’den \(\mathbf{v}\) yönünde çıkarken ilk andaki değişim hızını verir. Şimdiye kadar bu işlemde teğet vektörü sabit tutup fonksiyonu değiştirdik. Bu bölümde bakışı çeviriyoruz: fonksiyonu sabit tutacak, teğet vektörü değiştireceğiz.

Bu bakış açısı, temel hesaptan tanıdık ama hiçbir zaman tam açıklanmamış bir formülü anlamlı hâle getirir. Bir fonksiyonun diferansiyeli çoğu zaman \(df = f_x\,dx + f_y\,dy + f_z\,dz\) biçiminde yazılır ve “\(dx\), \(x\)’teki çok küçük bir değişimdir” diye açıklanır. Ne kadar küçük? \(df\) bir sayı mı, bir fonksiyon mu? Bu bölümün sonunda bu soruların kesin cevapları olacak: \(dx\), \(dy\), \(dz\) ve \(df\), teğet vektörlere sayı karşılık getiren, her noktada lineer olan fonksiyonlardır. Bunlara 1-form diyeceğiz.

Plan şöyle. Önce diferansiyel formülünün neyi anlatmaya çalıştığını bir örnekle görüp 1-form kavramını tanımlayacağız; 1-formları toplamayı, fonksiyonlarla çarpmayı ve vektör alanlarında değerlendirmeyi öğreneceğiz. Sonra bir fonksiyonun diferansiyelini bir 1-form olarak tanımlayıp koordinat diferansiyellerini \(dx_1, dx_2, dx_3\) inceleyeceğiz. Her 1-formun bu üçüyle yazılabildiğini ispatlayınca başlangıçtaki formül bir sonuç olarak karşımıza çıkacak. Son olarak diferansiyelin toplam, çarpım ve bileşke kurallarını ispatlayacak ve bunlarla hızlı hesap yapmayı öğreneceğiz.

import { PLOTLY, watchTheme, fmt, sceneLayout, path, point, label, segment, arrow, surface, cylinder, render } from "../ojs/scene3d.js"

Plotly = require(PLOTLY)

theme = Generators.observe(watchTheme)

5.1 Diferansiyel Ne Demek?

Temel hesap derslerinde \(\mathbb{R}^3\) üzerindeki gerçel değerli bir \(f\) fonksiyonunun diferansiyeli şöyle yazılır:

\[df = \dfrac{\partial f}{\partial x}\,dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}\,dy + \dfrac{\partial f}{\partial z}\,dz.\]

Bu eşitlik çok kullanışlıdır, ama biçimseldir: sağ yanda ne tür nesnelerin toplandığı söylenmez. \(dx\) bir sayı olsaydı hangi sayı olurdu? Kısmi türevler bir noktada mı değerlendiriliyor? Sol yandaki \(df\) neyin eşitidir? Bu soruları cevaplamak için önce \(f\) hakkında hangi bilgiyi toplamak istediğimizi soralım.

Bir \(\mathbf{p}\) noktasının yakınında \(f\)’nin nasıl değiştiğini bilmek, \(\mathbf{p}\)’den çıkılabilecek her yön için değişim hızını bilmek demektir. Her yön bir teğet vektörle verilir ve o yöndeki değişim hızı \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısıdır. Demek ki aradığımız nesne, \(\mathbf{p}\)’deki her teğet vektöre bir sayı veren

\[\mathbf{v}_{\mathbf{p}} \longmapsto \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\]

kuralıdır. Bu kuralın nasıl göründüğüne bir örnekte bakalım.

Örnek 5.1 (Bir Noktadaki Bütün Yönlü Türevler) \(f = x^2y + z\) ve \(\mathbf{p} = (1, 2, -1)\) olsun. \(\mathbf{p}\)’deki bir \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörü için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısının \(\mathbf{v}\)’ye nasıl bağlı olduğunu bulalım.

Çözüm

Lemma 3.1’ne göre \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = \sum_i v_i\, \partial f/\partial x_i(\mathbf{p})\)’dir. Kısmi türevler

\[\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial z} = 1\]

olup \(\mathbf{p} = (1, 2, -1)\)’de sırasıyla \(4\), \(1\) ve \(1\) değerini alır. Dolayısıyla \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)\) için

\[\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 4v_1 + v_2 + v_3.\]

Örneğin \(\mathbf{v} = (2, -1, 3)\) için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 8 - 1 + 3 = 10\) bulunur.

Bu formülün üç özelliği göze çarpar. Birincisi, \(\mathbf{v}\)’nin koordinatlarına lineer biçimde bağlıdır: sabit terim yoktur, \(v_i\)’lerin kareleri ya da çarpımları yoktur. İkincisi, bütün kural yalnızca üç sayıyla, \(4\), \(1\) ve \(1\) ile belirlenir; bunlar kuralın \((1, 0, 0)_{\mathbf{p}}\), \((0, 1, 0)_{\mathbf{p}}\) ve \((0, 0, 1)_{\mathbf{p}}\) üzerindeki değerleridir. Gerçekten

\[(2, -1, 3) = 2(1, 0, 0) - (0, 1, 0) + 3(0, 0, 1)\]

olduğundan lineerlik

\[\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 2 \cdot 4 - 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 10\]

sonucunu hiç türev almadan verir. Üçüncüsü, bu üç sayı \(f\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki kısmi türevleridir.

Şimdi temel hesaptaki formülü aynı noktada yazalım: \(df = 4\,dx + 1\,dy + 1\,dz\). Bu ifadede \(dx\) yerine \(v_1\), \(dy\) yerine \(v_2\), \(dz\) yerine \(v_3\) koyarsak tam olarak yukarıdaki kuralı elde ederiz. Biçimsel formülün gizlice anlattığı şey budur: \(df\), teğet vektörü “yiyip” onun yönündeki değişim hızını veren bir makinedir; \(dx\) ise teğet vektörün birinci koordinatını okuyan makinedir.

\(\blacksquare\)

Örnekteki gözlem geneldir. Teorem 3.1’nin birinci özelliği, \(\mathbf{p}\) ve \(f\) sabitken \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} \mapsto \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) kuralının her zaman lineer olduğunu söyler. Öyleyse diferansiyeli anlamak için doğru nesne, her noktada o noktanın teğet vektörlerine lineer biçimde sayı veren bir fonksiyondur. Bu nesneyi, herhangi bir \(f\) fonksiyonuna bağlamadan, kendi başına tanımlayarak başlıyoruz.

5.2 1-Formun Tanımı

Tanım 5.1 (Uzayda 1-Form) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir 1-form \(\phi\), \(\mathbb{R}^3\)’e teğet bütün vektörlerin kümesi üzerinde tanımlı, gerçel değerli ve her noktada lineer olan bir fonksiyondur. Her noktada lineer olmak şu demektir: aynı \(\mathbf{p}\) noktasındaki her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\), \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörleri ve her \(a\), \(b\) sayıları için

\[\phi(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}) = a\,\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + b\,\phi(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}).\]

\(\phi\)’nin \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\) teğet uzayına kısıtlanışı \(\phi_{\mathbf{p}} : T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3) \to \mathbb{R}\) ile gösterilir.

Yani bir 1-form, uzayın her noktasında o noktadaki oklara lineer biçimde sayı veren bir kuraldır.

Tanımda iki katman vardır. Birinci katmanda \(\phi\) tek bir fonksiyondur: her teğet vektöre, hangi noktada uygulanmış olursa olsun, bir \(\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\) sayısı verir. İkinci katmanda lineerlik yalnızca aynı noktadaki teğet vektörler için istenir. Bunun nedeni basittir: farklı noktalardaki teğet vektörleri toplamayı tanımlamadık (Tanım 2.2), dolayısıyla \(\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + \mathbf{w}_{\mathbf{q}})\) gibi bir ifade anlamsızdır. Böylece her \(\mathbf{p}\) için \(\phi_{\mathbf{p}}\), \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\) vektör uzayından \(\mathbb{R}\)’ye bir lineer dönüşümdür; ama \(\phi_{\mathbf{p}}\) ile \(\phi_{\mathbf{q}}\) birbirinden tamamen farklı dönüşümler olabilir.

Lineerliğin hemen çıkan bir sonucu, tanım dışı kuralları ayıklamakta işe yarar. Tanımda \(a = b = 0\) alınırsa \(0\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + 0\,\mathbf{w}_{\mathbf{p}} = \mathbf{0}_{\mathbf{p}}\) olduğundan

\[\phi(\mathbf{0}_{\mathbf{p}}) = 0 \cdot \phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + 0 \cdot \phi(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}) = 0\]

bulunur: bir 1-form, her noktadaki sıfır vektörüne \(0\) değerini verir.

NotDual uzay

Doğrusal cebirde bir \(E\) vektör uzayından \(\mathbb{R}\)’ye giden bütün lineer dönüşümlerin kümesine \(E\)’nin dual uzayı (dual space) denir ve \(E^*\) ile gösterilir. İki lineer dönüşüm noktasal olarak toplanıp sayılarla çarpılabildiğinden \(E^*\) de bir vektör uzayıdır; \(E\) üç boyutluysa \(E^*\) de üç boyutludur. \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\) üç boyutlu bir vektör uzayı olduğundan, tanım şunu söyler: her \(\mathbf{p}\) noktasında \(\phi_{\mathbf{p}}\), \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’ün dual uzayının bir elemanıdır.

Bir vektör alanı her noktaya \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’ün bir elemanını, bir 1-form ise her noktaya bu uzayın dualinin bir elemanını atar. Vektör alanlarıyla 1-formlar bu yüzden birbirinin eşi gibi davranır: biri okları, öteki oklardan sayı üreten kuralları taşır. Bölüm boyunca bu ikiliğin somut yüzlerini göreceğiz.

Örnek 5.2 (Sabit Katsayılı Bir 1-Form) Her \(\mathbf{p}\) noktasındaki her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = (v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}}\) teğet vektörü için

\[\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 2v_1 - v_2 + 3v_3\]

olsun. \(\phi\)’nin bir 1-form olduğunu gösterelim.

Çözüm

\(\phi\) her teğet vektöre bir sayı verdiğinden, teğet vektörler üzerinde gerçel değerli bir fonksiyondur. Lineerliği denetleyelim. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ve \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) aynı noktada, \(a\) ve \(b\) sayılar olsun. Teğet uzayındaki işlemlerin tanımı gereği \(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörünün vektör kısmı \(a\mathbf{v} + b\mathbf{w}\)’dir; bunun \(i\)-inci koordinatı \(av_i + bw_i\)’dir. Dolayısıyla

\[\begin{aligned} \phi(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}) &= 2(av_1 + bw_1) - (av_2 + bw_2) + 3(av_3 + bw_3)\\ &= a(2v_1 - v_2 + 3v_3) + b(2w_1 - w_2 + 3w_3)\\ &= a\,\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + b\,\phi(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}). \end{aligned}\]

İkinci satırda yalnızca parantezleri açıp \(a\) ve \(b\) içeren terimleri ayrı ayrı topladık. \(\phi\) bir 1-formdur.

Bir sayısal örnek: \(\mathbf{p} = (5, 0, 2)\) için \(\phi\bigl((1, 1, 1)_{\mathbf{p}}\bigr) = 2 - 1 + 3 = 4\) ve başlangıç noktasında da \(\phi\bigl((1, 1, 1)_{\mathbf{0}}\bigr) = 4\). İki değer aynıdır, çünkü formül uygulama noktasını hiç kullanmıyor. Bu 1-formun katsayıları (\(2\), \(-1\), \(3\)) noktadan noktaya değişmez; ileride bu 1-formun \(2\,dx - dy + 3\,dz\) olduğunu göreceğiz.

\(\blacksquare\)

Örnek 5.3 (Düzlemde Bir 1-Formun Seviye Doğruları) Öklid düzleminde 1-formlar aynı biçimde tanımlanır; yalnızca teğet vektörlerin iki koordinatı vardır. \(\phi\bigl((v_1, v_2)_{\mathbf{p}}\bigr) = 2p_1v_1 + p_2v_2\) kuralını ele alalım ve \(\mathbf{p} = (1, 1)\) noktasında \(\phi\)’nin aynı değeri verdiği teğet vektörlerin uçlarının nasıl bir küme oluşturduğunu bulalım.

Çözüm

\(\mathbf{p} = (1, 1)\)’de katsayılar \(2p_1 = 2\) ve \(p_2 = 1\) sayılarıdır; dolayısıyla bu noktada \(\phi_{\mathbf{p}}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 2v_1 + v_2\) olur. Bu, Örnek 5.2’dakiyle aynı hesapla lineerdir; \(\mathbf{p}\) değişince katsayılar değişir ama her noktada yine iki sayıdır, bu yüzden \(\phi\) bir 1-formdur.

Birkaç teğet vektörü değerleri ve uç noktalarıyla listeleyelim. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) okunun ucu \(\mathbf{p} + \mathbf{v}\) noktasıdır.

\(\mathbf{v}\)	\((1, 0)\)	\((0, 1)\)	\((1, 1)\)	\((-1, 2)\)	\((-1, 1)\)	\((0, -2)\)
\(\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\)	\(2\)	\(1\)	\(3\)	\(0\)	\(-1\)	\(-2\)
uç nokta	\((2, 1)\)	\((1, 2)\)	\((2, 2)\)	\((0, 3)\)	\((0, 2)\)	\((1, -1)\)

Ucu \((x, y)\) olan ok için \(\mathbf{v} = (x - 1, y - 1)\)’dir. \(\phi\)’nin bu oka verdiği değerin \(c\) olması

\[2(x - 1) + (y - 1) = c, \quad \text{yani} \quad 2x + y = 3 + c\]

demektir. Bu bir doğru denklemidir. Demek ki \(\phi_{\mathbf{p}}\)’nin seviye kümeleri, uç noktalarıyla çizildiğinde, birbirine paralel doğrulardır: \(c = 0\) doğrusu \(\mathbf{p}\)’nin kendisinden geçer (sıfır vektörünün ucu \(\mathbf{p}\)’dir ve değeri \(0\)’dır), \(c\) bir artınca doğru aynı miktarda kayar. Paralel ve eşit aralıklı doğrular lineerliğin görüntüsüdür: bir okun iki katının değeri iki kat olduğundan, uç iki kat uzaktaki doğruya düşer.

p = (1, 1) noktasında φ_p(v_p) = 2v₁ + v₂ kuralı: p'den çıkan altı okun ucundaki turuncu sayılar, φ'nin o oka verdiği değerlerdir. Değeri c olan her okun ucu 2x + y = 3 + c doğrusunun üzerine düşer; gri doğrular c = −2, −1, 0, 1, 2, 3 için bu seviye doğrularıdır ve daha kalın çizilen c = 0 doğrusu p'den geçer. Doğruların paralel ve eşit aralıklı olması, φ_p'nin lineer olmasının görüntüsüdür.

Başka bir noktada tablo değişir. Örneğin \(\mathbf{q} = (2, -1)\)’de \(\phi_{\mathbf{q}}(\mathbf{v}_{\mathbf{q}}) = 4v_1 - v_2\)’dir; seviye doğruları yine paraleldir ama doğrultuları ve aralıkları farklıdır.

\(\blacksquare\)

Örnek 5.4 (Katsayıları Noktayla Değişen Bir 1-Form) Her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = (v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}}\) için

\[\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = p_3v_1 + (p_1 + p_2)v_2 - p_1p_2v_3\]

olsun. \(\phi\)’nin bir 1-form olduğunu gösterelim.

Çözüm

Bir \(\mathbf{p}\) noktası sabitlendiğinde \(c_1 = p_3\), \(c_2 = p_1 + p_2\) ve \(c_3 = -p_1p_2\) birer sayıdır ve \(\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3\) olur. Aynı noktadaki \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\), \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) ve \(a\), \(b\) sayıları için \(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\)’nin uygulama noktası yine \(\mathbf{p}\)’dir; bu yüzden katsayılar değişmez ve

\[\begin{aligned} \phi(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}) &= \sum_{i=1}^{3} c_i(av_i + bw_i)\\ &= a\sum_{i=1}^{3} c_iv_i + b\sum_{i=1}^{3} c_iw_i = a\,\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + b\,\phi(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}) \end{aligned}\]

bulunur. \(\phi\) bir 1-formdur.

Katsayıların noktaya bağlı olması lineerliği bozmaz, çünkü lineerlik tek bir noktada sınanır. Ama aynı vektör kısmı farklı noktalarda farklı değer alabilir. \(\mathbf{v} = (1, 0, 2)\) için \(\mathbf{p} = (1, 2, 3)\)’te katsayılar \(3\), \(3\), \(-2\) olduğundan \(\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 3 - 4 = -1\); \(\mathbf{q} = (2, -1, 0)\)’da katsayılar \(0\), \(1\), \(2\) olduğundan \(\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{q}}) = 0 + 0 + 4 = 4\).

\(\blacksquare\)

Örnek 5.5 (Lineer Olmayan Bir Kural) Her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) için \(\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = v_1v_2\) olsun. \(\phi\) bir 1-form mudur?

Çözüm

Hayır. Herhangi bir \(\mathbf{p}\) noktasında \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = (1, 1, 0)_{\mathbf{p}}\) alalım. \(\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 1 \cdot 1 = 1\)’dir. \(2\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = (2, 2, 0)_{\mathbf{p}}\) olduğundan \(\phi(2\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 2 \cdot 2 = 4\) olur. Oysa lineerlik (tanımda \(a = 2\), \(b = 0\)) \(\phi(2\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 2\,\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 2\) gerektirir. \(4 \neq 2\) olduğundan \(\phi\) hiçbir noktada lineer değildir; bir 1-form değildir.

Aynı türden başka kurallar da benzer biçimde elenir. Vektör kısmının uzunluğu \(\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\), \(\mathbf{v}\) ile \(-\mathbf{v}\)’ye aynı pozitif değeri verir, oysa lineer bir kural işaret değiştirmelidir. \(v_1 + 1\) kuralı sıfır vektörüne \(1\) verir, oysa her 1-form \(\phi(\mathbf{0}_{\mathbf{p}}) = 0\) sağlar. Bir 1-formun her noktadaki değeri, vektör kısmının koordinatlarının sabit terimsiz, birinci dereceden bir ifadesi olmak zorundadır; bunun tam ifadesini ileride bir lemma olarak ispatlayacağız.

\(\blacksquare\)

1-formlarla cebir yapmak için yine noktasal ilkeyi kullanıyoruz. İki 1-formun aynı teğet vektördeki değerleri iki sayıdır ve toplanabilir; bir fonksiyonun \(\mathbf{p}\)’deki değeri de bir sayıdır ve bir 1-formun \(\mathbf{p}\)’deki bir teğet vektörde aldığı değerle çarpılabilir.

Tanım 5.2 (İki 1-Formun Toplamı ve Fonksiyonla Çarpımı) \(\phi\) ve \(\psi\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde 1-formlar, \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) üzerinde gerçel değerli bir fonksiyon olsun. \(\phi + \psi\) ve \(f\phi\), her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörü için

\[(\phi + \psi)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + \psi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}), \qquad (f\phi)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = f(\mathbf{p})\,\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\]

ile tanımlanan fonksiyonlardır.

Yani toplamın bir okta aldığı değer iki formun o oktaki değerlerinin toplamıdır; \(f\phi\)’nin değeri ise \(\phi\)’nin değerinin, okun uygulama noktasındaki \(f(\mathbf{p})\) sayısıyla çarpılmışıdır. \(f\) sabit bir \(c\) sayısıysa \(c\phi\) yazarız; \(-\phi\), \((-1)\phi\) demektir.

Tanım bu yeni fonksiyonları kurar; onların yine 1-form olduğunu ise ayrıca göstermek gerekir.

Önerme 5.1 (Toplam ve Fonksiyonla Çarpım Yine 1-Formdur) \(\phi\) ve \(\psi\) 1-formlar, \(f\) gerçel değerli bir fonksiyon ise \(\phi + \psi\) ve \(f\phi\) de 1-formdur.

İspat

İki fonksiyon da teğet vektörler üzerinde gerçel değerlidir; her noktada lineer olduklarını göstermek yeter. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ve \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) aynı \(\mathbf{p}\) noktasında, \(a\) ve \(b\) sayılar olsun.

Toplam için, önce toplamın tanımını, sonra \(\phi\) ve \(\psi\)’nin ayrı ayrı lineerliğini, en sonda terimleri yeniden gruplayıp toplamın tanımını geriye doğru kullanırız:

\[\begin{aligned} (\phi + \psi)(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}) &= \phi(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}) + \psi(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}})\\ &= a\,\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + b\,\phi(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}) + a\,\psi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + b\,\psi(\mathbf{w}_{\mathbf{p}})\\ &= a\,(\phi + \psi)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + b\,(\phi + \psi)(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}). \end{aligned}\]

Fonksiyonla çarpım için kritik nokta şudur: \(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\)’nin uygulama noktası da \(\mathbf{p}\)’dir, dolayısıyla üç teğet vektörün hepsinde çarpan aynı \(f(\mathbf{p})\) sayısıdır:

\[\begin{aligned} (f\phi)(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}) &= f(\mathbf{p})\,\phi(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}})\\ &= f(\mathbf{p})\bigl(a\,\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + b\,\phi(\mathbf{w}_{\mathbf{p}})\bigr)\\ &= a\,f(\mathbf{p})\,\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + b\,f(\mathbf{p})\,\phi(\mathbf{w}_{\mathbf{p}})\\ &= a\,(f\phi)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + b\,(f\phi)(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}). \end{aligned}\]

İki eşitlik de her \(\mathbf{p}\), her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\), \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) ve her \(a\), \(b\) için geçerlidir.

\(\blacksquare\)

Bu işlemler sayılarla yapılan işlemlerin bütün alışılmış kurallarına uyar: \(\phi + \psi = \psi + \phi\), \(f(\phi + \psi) = f\phi + f\psi\), \((f + g)\phi = f\phi + g\phi\), \(f(g\phi) = (fg)\phi\) ve benzerleri. Her birinin ispatı aynıdır: iki tarafı keyfi bir \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) üzerinde değerlendirince sayılar arasında bilinen bir özdeşlik elde edilir. Örneğin \(f(g\phi)\)’nin \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)’deki değeri \(f(\mathbf{p})\,g(\mathbf{p})\,\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\)’dir, \((fg)\phi\)’nin değeri de öyledir. Bundan sonra 1-formlarla hesaplarda parantez açma, ortak çarpan parantezine alma ve fonksiyon katsayılarını toplamın dışına çıkarma işlemlerini bu gerekçeyle serbestçe yapacağız.

Örnek 5.6 (Toplam ve Fonksiyonla Çarpım Sayılarla) \(\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = v_1 + v_3\), \(\psi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = p_1v_2\) ve \(f = x + y^2\) olsun. \(f\phi + \psi\) 1-formunun \(\mathbf{p} = (2, 1, 0)\) noktasındaki \(\mathbf{v} = (3, -1, 4)\) vektörü üzerindeki değerini bulalım.

Çözüm

Tanıma göre

\[(f\phi + \psi)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = f(\mathbf{p})\,\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + \psi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\]

olur. Parçaları ayrı ayrı hesaplayalım:

\[f(\mathbf{p}) = 2 + 1^2 = 3, \qquad \phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 3 + 4 = 7, \qquad \psi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 2 \cdot (-1) = -2.\]

Dolayısıyla istenen değer \(3 \cdot 7 + (-2) = 19\)’dur.

Genel bir teğet vektör için aynı hesap

\[(f\phi + \psi)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = (p_1 + p_2^2)(v_1 + v_3) + p_1v_2\]

formülünü verir. Her noktada katsayılar sayı olduğundan, Önerme 5.1’un söylediği gibi, bu kural gerçekten her noktada lineerdir.

\(\blacksquare\)

UyarıÇarpan okun başında okunur

\((f\phi)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\) hesabında \(f\), okun uygulama noktası \(\mathbf{p}\)’de değerlendirilir; okun ucu \(\mathbf{p} + \mathbf{v}\)’de değil. Yukarıdaki örnekte ok \((2, 1, 0)\)’dan \((5, 0, 4)\)’e uzanır. \(f\)’yi yanlışlıkla uçta değerlendirmek \(f(5, 0, 4) = 5\) ve \((f\phi)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 35\) gibi yanlış bir sonuç verir; doğrusu \(3 \cdot 7 = 21\)’dir. Uçta değerlendirme ayrıca lineerliği de bozardı: \(\mathbf{v}\) büyüdükçe çarpan da değişirdi.

5.3 Bir 1-Formu Bir Vektör Alanında Değerlendirmek

Bir 1-form tek tek teğet vektörlere sayı verir. Bir vektör alanı \(V\) ise her \(\mathbf{p}\) noktasına bir \(V(\mathbf{p})\) teğet vektörü verir (Tanım 2.4). İkisini birleştirince her noktada bir sayı elde ederiz: \(\mathbf{p}\)’deki ok \(V(\mathbf{p})\)’dir ve \(\phi\) bu oka \(\phi\bigl(V(\mathbf{p})\bigr)\) sayısını verir. Noktasal ilke bu sayıları tek bir fonksiyonda toplar.

Tanım 5.3 (Bir 1-Formun Bir Vektör Alanındaki Değeri) \(\phi\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir 1-form ve \(V\) bir vektör alanı olsun. Her \(\mathbf{p}\) noktasındaki değeri

\[\phi(V)(\mathbf{p}) = \phi\bigl(V(\mathbf{p})\bigr)\]

olan gerçel değerli fonksiyona \(\phi\)’nin \(V\) üzerindeki değeri denir ve \(\phi(V)\) ile gösterilir.

Yani bir 1-forma bir vektör alanı verince karşılığında bir fonksiyon alırız: form, alanın her noktadaki okunu o noktadaki lineer kuralıyla bir sayıya dönüştürür.

Bu, yönlü türevleri incelerken kurduğumuz \(V[f]\) yapısının bir tür aynasıdır. Orada bir vektör alanı, fonksiyonları fonksiyonlara çeviriyordu; burada bir 1-form, vektör alanlarını fonksiyonlara çeviriyor. Türev almak için elimizdeki fonksiyonların diferansiyellenebilir olması gerekir; bu yüzden şu tanımı yapıyoruz.

Tanım 5.4 (Diferansiyellenebilir 1-Form) Diferansiyellenebilir her \(V\) vektör alanı için \(\phi(V)\) fonksiyonu diferansiyellenebilir oluyorsa \(\phi\) 1-formuna diferansiyellenebilir (differentiable) denir.

Yani diferansiyellenebilir bir 1-form, düzgün alanları düzgün fonksiyonlara çevirir.

ÖnemliBundan sonra

Vektör alanlarında yaptığımız gibi, bundan böyle “1-form” sözünden diferansiyellenebilir 1-form anlaşılacaktır. Aşağıdaki örneklerin hepsinde katsayılar polinom olduğundan bu koşul sağlanır; sağlanmadığı bir örneği de ayrıca göreceğiz.

Örnek 5.7 (Bir Vektör Alanında Değer Hesabı) \(\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = p_2v_1 + p_1v_3\) ve \(V = zU_1 + U_2 + yU_3\) olsun. \(\phi(V)\) fonksiyonunu bulalım.

Çözüm

Önce \(V\)’nin bir \(\mathbf{p}\) noktasındaki okunu yazalım. Doğal çatının tanımı (Tanım 2.6) ve alan işlemlerinin noktasal tanımı gereği

\[V(\mathbf{p}) = p_3\,(1, 0, 0)_{\mathbf{p}} + (0, 1, 0)_{\mathbf{p}} + p_2\,(0, 0, 1)_{\mathbf{p}} = (p_3, 1, p_2)_{\mathbf{p}}.\]

Bu oka \(\phi\)’yi uygularken \(v_1 = p_3\), \(v_2 = 1\), \(v_3 = p_2\) koyarız:

\[\phi\bigl(V(\mathbf{p})\bigr) = p_2 \cdot p_3 + p_1 \cdot p_2 = p_2p_3 + p_1p_2.\]

Bu her \(\mathbf{p}\) için geçerli olduğundan \(\phi(V) = yz + xy\) bulunur.

Denetim: \(\mathbf{p} = (1, 2, 3)\)’te formül \(6 + 2 = 8\) verir. Doğrudan: \(V(\mathbf{p}) = (3, 1, 2)_{\mathbf{p}}\) ve \(\phi\bigl((3, 1, 2)_{\mathbf{p}}\bigr) = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 = 8\). Uyuşur.

\(\blacksquare\)

Örnek 5.8 (Düzlemde Bir Alanı Fonksiyona Çevirmek) Düzlemde \(\phi\bigl((v_1, v_2)_{\mathbf{p}}\bigr) = -p_2v_1 + p_1v_2\) 1-formunu ve her noktada \((1, 1)\) vektör kısmına sahip \(V = U_1 + U_2\) alanını ele alalım. \(\phi(V)\) fonksiyonunu bulup \(x, y \in \{-1, 0, 1\}\) ızgarasındaki değerlerini gösterelim.

Çözüm

Her \(\mathbf{p}\) noktasında \(V(\mathbf{p}) = (1, 1)_{\mathbf{p}}\) olduğundan

\[\phi(V)(\mathbf{p}) = -p_2 \cdot 1 + p_1 \cdot 1 = p_1 - p_2,\]

yani \(\phi(V) = x - y\). Alan her yerde aynı oku çizer, ama \(\phi\)’nin katsayıları noktayla değiştiğinden çıkan sayılar değişir. Izgara değerleri:

	\(x = -1\)	\(x = 0\)	\(x = 1\)
\(y = 1\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)
\(y = 0\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)
\(y = -1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)

\(y = x\) doğrusu üzerinde değer \(0\)’dır: orada \((1, 1)\) oku, \(\phi\)’nin o noktadaki sıfır doğrultusu boyuncadır.

V = U₁ + U₂ alanı dokuz ızgara noktasının her birinde aynı (1, 1) okunu çizer (mavi; okunaklılık için her ok gerçek uzunluğunun 0,35 katıyla çizilmiştir). Turuncu sayılar, φ((v₁, v₂)_p) = −p₂v₁ + p₁v₂ 1-formunun her noktadaki oka verdiği değerlerdir, yani φ(V) = x − y: ok hiç değişmediği hâlde φ'nin katsayıları noktayla değiştiği için sayılar değişir. Kesikli y = x doğrusu üzerinde ok, φ'nin o noktadaki sıfır doğrultusu boyunca durur ve değer 0 olur.

Aynı 1-formu başka bir alanda değerlendirmek bambaşka bir fonksiyon verir. Örneğin \(W = xU_1 + yU_2\) için \(W(\mathbf{p}) = (p_1, p_2)_{\mathbf{p}}\) ve \(\phi(W)(\mathbf{p}) = -p_2p_1 + p_1p_2 = 0\) olur: bu 1-form, başlangıç noktasından dışarı bakan okların hepsine \(0\) verir.

\(\blacksquare\)

Örnek 5.9 (Diferansiyellenebilir Olmayan Bir 1-Form) \(\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = |p_1|\,v_2\) kuralını ele alalım. \(\phi\) diferansiyellenebilir bir 1-form mudur?

Çözüm

Her \(\mathbf{p}\) noktasında \(|p_1|\) bir sayıdır ve \(\phi_{\mathbf{p}}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = |p_1|\,v_2\) olur; Örnek 5.4’daki hesap aynen geçerlidir, yani \(\phi\) her noktada lineerdir ve bir 1-formdur.

Şimdi \(\phi\)’yi diferansiyellenebilir bir alanda değerlendirelim. \(U_2\)’nin koordinat fonksiyonları \(0, 1, 0\) sabitleridir, dolayısıyla \(U_2\) diferansiyellenebilir bir vektör alanıdır. \(U_2(\mathbf{p}) = (0, 1, 0)_{\mathbf{p}}\) olduğundan

\[\phi(U_2)(\mathbf{p}) = |p_1| \cdot 1 = |p_1|,\]

yani \(\phi(U_2) = |x|\). Bu fonksiyonun \(p_1 = 0\) olan noktalarda \(x\)’e göre kısmi türevi yoktur: \(h \to 0\) iken \(\bigl(|h| - 0\bigr)/h\) oranı sağdan \(1\)’e, soldan \(-1\)’e yaklaşır. Diferansiyellenebilir bir alan diferansiyellenebilir olmayan bir fonksiyona dönüştüğünden \(\phi\) diferansiyellenebilir değildir.

Sorunun kaynağı katsayıdır: \(\phi\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki katsayıları \(0\), \(|p_1|\), \(0\)’dır ve \(|p_1|\) düzgün değildir. Aşağıda her 1-formun katsayılarını birer fonksiyon olarak yazdığımızda bu gözlem kesinleşecek.

\(\blacksquare\)

Değerlendirme işlemi iki girdisine göre de lineerdir; üstelik bu kez katsayılar sayı değil, fonksiyon olabilir.

Önerme 5.2 (Değerlendirmenin Lineerliği) \(\phi\) ve \(\psi\) 1-formlar; \(V\) ve \(W\) vektör alanları; \(f\) ve \(g\) gerçel değerli fonksiyonlar olsun. O zaman

(1) \(\phi(fV + gW) = f\,\phi(V) + g\,\phi(W)\),

(2) \((f\phi + g\psi)(V) = f\,\phi(V) + g\,\psi(V)\).

İspat

Her iki eşitliğin iki yanı da gerçel değerli fonksiyondur. İki fonksiyon, her noktada aynı değeri alıyorlarsa eşittir; bu yüzden keyfi bir \(\mathbf{p}\) noktasında değerlendirip karşılaştıracağız.

(1) Vektör alanı işlemlerinin noktasal tanımı gereği

\[(fV + gW)(\mathbf{p}) = f(\mathbf{p})\,V(\mathbf{p}) + g(\mathbf{p})\,W(\mathbf{p})\]

olur. Burada \(f(\mathbf{p})\) ve \(g(\mathbf{p})\) sayı, \(V(\mathbf{p})\) ve \(W(\mathbf{p})\) ise aynı \(\mathbf{p}\) noktasındaki teğet vektörlerdir. \(\phi\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki lineerliğini \(a = f(\mathbf{p})\), \(b = g(\mathbf{p})\) ile kullanırsak

\[\begin{aligned} \phi(fV + gW)(\mathbf{p}) &= \phi\bigl(f(\mathbf{p})\,V(\mathbf{p}) + g(\mathbf{p})\,W(\mathbf{p})\bigr)\\ &= f(\mathbf{p})\,\phi\bigl(V(\mathbf{p})\bigr) + g(\mathbf{p})\,\phi\bigl(W(\mathbf{p})\bigr)\\ &= f(\mathbf{p})\,\phi(V)(\mathbf{p}) + g(\mathbf{p})\,\phi(W)(\mathbf{p})\\ &= \bigl(f\,\phi(V) + g\,\phi(W)\bigr)(\mathbf{p}) \end{aligned}\]

bulunur. Birinci satır Tanım 5.3’dir; üçüncü satır aynı tanımın geriye doğru kullanılışı, dördüncüsü fonksiyonların noktasal toplam ve çarpımıdır.

(2) \(V(\mathbf{p})\)’nin uygulama noktası \(\mathbf{p}\) olduğundan, Tanım 5.2’deki çarpanlar \(f(\mathbf{p})\) ve \(g(\mathbf{p})\)’dir:

\[\begin{aligned} (f\phi + g\psi)(V)(\mathbf{p}) &= (f\phi + g\psi)\bigl(V(\mathbf{p})\bigr)\\ &= f(\mathbf{p})\,\phi\bigl(V(\mathbf{p})\bigr) + g(\mathbf{p})\,\psi\bigl(V(\mathbf{p})\bigr)\\ &= \bigl(f\,\phi(V) + g\,\psi(V)\bigr)(\mathbf{p}). \end{aligned}\]

Her iki hesap da her \(\mathbf{p}\) için geçerli olduğundan eşitlikler fonksiyonlar arasında doğrudur.

\(\blacksquare\)

İspatın özü: bir noktada her şey sayıdır ve 1-formun o noktadaki lineerliği fonksiyon katsayılarını, o noktadaki değerleri olarak dışarı taşır.

Örnek 5.10 (Fonksiyon Katsayılarla Lineerlik) \(\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = p_2v_1 + p_1v_3\), \(V = U_1\), \(W = U_3\), \(f = z\) ve \(g = x^2\) olsun. \(\phi(fV + gW)\) fonksiyonunu doğrudan ve Önerme 5.2 ile hesaplayalım.

Çözüm

Doğrudan: \(fV + gW = zU_1 + x^2U_3\) alanının \(\mathbf{p}\)’deki oku \((p_3, 0, p_1^2)_{\mathbf{p}}\)’dir. \(\phi\)’yi uygularsak \(p_2p_3 + p_1 \cdot p_1^2\), yani

\[\phi(fV + gW) = yz + x^3.\]

Önerme ile: \(U_1(\mathbf{p}) = (1, 0, 0)_{\mathbf{p}}\) olduğundan \(\phi(U_1)(\mathbf{p}) = p_2\), yani \(\phi(U_1) = y\). Benzer biçimde \(U_3(\mathbf{p}) = (0, 0, 1)_{\mathbf{p}}\) için \(\phi(U_3) = x\). Birinci özellik

\[\phi(zU_1 + x^2U_3) = z\,\phi(U_1) + x^2\,\phi(U_3) = zy + x^2 \cdot x = yz + x^3\]

verir. İki yol aynı fonksiyona ulaşır.

\(\blacksquare\)

UyarıBurada fonksiyonlar dışarı çıkar, türevde çıkmaz

Önerme 5.2’nde \(\phi(fV) = f\,\phi(V)\)’dir: \(f\) çarpanı hiçbir düzeltme terimi olmadan dışarı çıkar. Yönlü türevlerde ise durum farklıydı: genelde \(V[fg] \neq f\,V[g]\)’dir, çünkü Leibniz kuralı fazladan bir \(V[f]\,g\) terimi üretir. Fark şuradan gelir: \(\phi(V)\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki değeri yalnızca \(V\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki okuna bağlıdır, dolayısıyla \(f\) de yalnızca \(\mathbf{p}\)’deki değeriyle işe karışır. \(V[f]\) ise bir türevdir; \(\mathbf{p}\)’deki değeri \(f\)’nin \(\mathbf{p}\) yakınındaki değerlerine bağlıdır ve \(f\)’nin değişimi de hesaba girer.

5.4 Bir Fonksiyonun Diferansiyeli

Artık başlangıçtaki gözlemi bir tanıma dönüştürebiliriz. Diferansiyellenebilir bir \(f\) fonksiyonu verildiğinde her teğet vektöre, \(f\)’nin o vektöre göre türevini karşılık getirelim.

Tanım 5.5 (Bir Fonksiyonun Diferansiyeli) \(f\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde diferansiyellenebilir gerçel değerli bir fonksiyon olsun. Her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörü için

\[df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\]

kuralıyla tanımlanan \(df\) 1-formuna \(f\)’nin diferansiyeli (differential) denir.

Yani \(df\), \(f\)’nin her noktadaki her yöndeki değişim hızını bir arada tutan nesnedir: ona bir ok verin, \(f\)’nin o ok boyunca ilk anda ne hızla değiştiğini söylesin.

Tanımda \(df\)’ye 1-form dedik; bunun doğru olduğunu, üstelik \(df\)’nin diferansiyellenebilir olduğunu göstermemiz gerekir.

Önerme 5.3 (Diferansiyel Bir 1-Formdur) \(f\) diferansiyellenebilir ise \(df\) diferansiyellenebilir bir 1-formdur ve her \(V\) vektör alanı için \(df(V) = V[f]\) olur.

İspat

Teğet vektörler üzerinde fonksiyon. Her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) tek bir gerçel sayıdır (Tanım 3.1); dolayısıyla \(df\), teğet vektörler üzerinde gerçel değerli bir fonksiyondur.

Her noktada lineerlik. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) ve \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) aynı noktada, \(a\) ve \(b\) sayılar olsun. Teorem 3.1’nin birinci özelliği gereği

\[df(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}) = (a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}})[f] = a\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] + b\,\mathbf{w}_{\mathbf{p}}[f],\]

ve sağ yan \(a\,df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + b\,df(\mathbf{w}_{\mathbf{p}})\)’dir. Demek ki \(df\) bir 1-formdur.

Vektör alanlarındaki değer. \(V\) bir vektör alanı olsun. Her \(\mathbf{p}\) için \(df(V)(\mathbf{p}) = df\bigl(V(\mathbf{p})\bigr) = V(\mathbf{p})[f]\)’dir ve bu, \(V[f]\) fonksiyonunun \(\mathbf{p}\)’deki değeridir. Böylece \(df(V) = V[f]\).

Diferansiyellenebilirlik. \(V\)’nin Öklid koordinat fonksiyonları \(v_1, v_2, v_3\) olsun (Lemma 2.1). Lemma 3.1 her noktada uygulanınca

\[df(V) = V[f] = \sum_{i=1}^{3} v_i\,\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\]

bulunur. \(V\) diferansiyellenebilir ise \(v_i\)’ler, \(f\) diferansiyellenebilir olduğundan da \(\partial f/\partial x_i\)’ler diferansiyellenebilirdir. Diferansiyellenebilir fonksiyonların çarpımları ve toplamı yine diferansiyellenebilir olduğundan \(df(V)\) diferansiyellenebilirdir. Bu, Tanım 5.4’in istediği şeydir.

\(\blacksquare\)

\(f\) hakkında birinci mertebeden bilinebilecek her şey, yani her noktadaki her yöndeki değişim hızı, \(df\)’nin içindedir. Bu yüzden \(\mathbb{R}^3\) üzerinde analiz yaparken diferansiyellere sık sık başvuracağız. Tanımı koordinat kullanmadan yaptık; birazdan koordinatlara geçince temel hesaptan bildiğimiz formüllere ulaşacağız. Önce iki örnek.

Örnek 5.11 (Diferansiyelin Bir Teğet Vektördeki Değeri) \(f = xyz\), \(\mathbf{p} = (1, -1, 2)\) ve \(\mathbf{v} = (3, 1, -2)\) olsun. \(df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\) sayısını önce doğrudan yönlü türevin tanımından, sonra kısmi türevlerle bulalım.

Çözüm

Tanıma göre \(df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\)’dir. \(\mathbf{p}\)’den \(\mathbf{v}\) doğrultusunda geçen doğrunun \(t\) anındaki noktası \(\mathbf{p} + t\mathbf{v}\), yani \((1 + 3t, -1 + t, 2 - 2t)\)’dir; bu doğru üzerinde

\[f(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = (1 + 3t)(-1 + t)(2 - 2t).\]

İlk iki çarpanın çarpımı \(-1 - 2t + 3t^2\)’dir; bunu \(2 - 2t\) ile çarparsak

\[f(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = -2 - 2t + 10t^2 - 6t^3\]

bulunur. Türev \(-2 + 20t - 18t^2\), \(t = 0\)’da \(-2\)’dir. Dolayısıyla \(df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = -2\).

Kısmi türevlerle: \(\partial f/\partial x = yz\), \(\partial f/\partial y = xz\), \(\partial f/\partial z = xy\); \(\mathbf{p}\)’de \(-2\), \(2\), \(-1\). Lemma 3.1 ile

\[df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 3 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) = -6 + 2 + 2 = -2.\]

İki yol aynı sayıyı verir. Negatif işaret, \(\mathbf{p}\)’den \(\mathbf{v}\) yönünde çıkarken \(f\)’nin ilk anda azaldığını söyler.

\(\blacksquare\)

Örnek 5.12 (Sabit Fonksiyonun Diferansiyeli) \(c\) bir sayı ve \(f = c\) sabit fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun \(dc\) diferansiyelini bulalım.

Çözüm

Her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) için \(f(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = c\), \(t\)’ye bağlı olmayan bir sayıdır; türevi \(0\)’dır. Dolayısıyla \(dc(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 0\). Her teğet vektöre \(0\) veren 1-forma sıfır 1-form diyelim ve onu \(0\) ile gösterelim; bulduğumuz şey \(dc = 0\) eşitliğidir.

Şimdi herhangi bir diferansiyellenebilir \(g\) fonksiyonu için \(g\) ile \(g + c\)’yi karşılaştıralım. Teorem 3.1’nin ikinci özelliği gereği

\[d(g + c)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g + c] = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g] + \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[c] = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g] = dg(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}).\]

Yani \(d(g + c) = dg\). Örneğin \(x^2\) ile \(x^2 + 5\) farklı fonksiyonlardır ama diferansiyelleri aynıdır. Diferansiyel, fonksiyonun değerlerini değil, değişimini kaydeder; sabit bir kaydırma bu değişimi etkilemez. Alıştırmalarda bunun tersini de ispatlayacağız: \(\mathbb{R}^3\)’ün tamamında diferansiyeli sıfır olan bir fonksiyon sabittir.

\(\blacksquare\)

5.5 Koordinat Fonksiyonlarının Diferansiyelleri

En basit fonksiyonlar doğal koordinat fonksiyonlarıdır (Tanım 1.3): \(x_1 = x\), \(x_2 = y\), \(x_3 = z\). Bunlar birinci dereceden polinom olduklarından diferansiyellenebilirdir ve diferansiyelleri \(dx_1, dx_2, dx_3\) (başka yazımla \(dx\), \(dy\), \(dz\)) birer 1-formdur. Bu üç 1-formun ne yaptığını bulmak için kısa bir gösterime ihtiyacımız var.

Tanım 5.6 (Kronecker Deltası) \(i, j \in \{1, 2, 3\}\) için

\[\delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j \text{ ise},\\ 0, & i \neq j \text{ ise} \end{cases}\]

sayısına Kronecker deltası (Kronecker delta) denir.

Yani \(\delta_{ij}\), \(3 \times 3\) birim matrisin \(i\)-inci satır, \(j\)-inci sütunundaki girdidir: köşegende \(1\), başka her yerde \(0\). Bu gösterimin en çok kullanılan özelliği toplamları çökertmesidir: \(a_1, a_2, a_3\) sayıları için \(\sum_j a_j\,\delta_{ij}\) toplamında yalnızca \(j = i\) terimi sıfırdan farklıdır, dolayısıyla

\[\sum_{j=1}^{3} a_j\,\delta_{ij} = a_i.\]

Örneğin \(i = 2\) için toplam \(a_1 \cdot 0 + a_2 \cdot 1 + a_3 \cdot 0 = a_2\)’dir.

Örnek 5.13 (Koordinat Diferansiyellerinin Değeri) \(dx_1, dx_2, dx_3\) 1-formlarının keyfi bir \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = (v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}}\) teğet vektöründeki değerini bulalım.

Çözüm

Önce \(x_i\)’nin kısmi türevlerini hesaplayalım. \(x_i(\mathbf{q}) = q_i\) olduğundan, yalnızca \(j\)-inci koordinat değiştirildiğinde \(x_i\)’nin değeri \(j = i\) ise tam o koordinat kadar değişir, \(j \neq i\) ise hiç değişmez. Dolayısıyla

\[\dfrac{\partial x_i}{\partial x_j} = \delta_{ij}\]

sabit fonksiyonudur. Şimdi diferansiyelin tanımını ve Lemma 3.1’nü kullanalım:

\[dx_i(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[x_i] = \sum_{j=1}^{3} v_j\,\dfrac{\partial x_i}{\partial x_j}(\mathbf{p}) = \sum_{j=1}^{3} v_j\,\delta_{ij} = v_i.\]

Son eşitlik Kronecker deltasının toplamı çökertme özelliğidir. Aynı sonuca doğrudan tanımdan da ulaşılır: \(\mathbf{p} + t\mathbf{v}\) doğrusu üzerinde \(x_i(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = p_i + tv_i\) olur ve bunun \(t\)’ye göre türevi her \(t\) için \(v_i\)’dir.

Sonuç: \(dx_i\)’nin bir teğet vektördeki değeri, o teğet vektörün vektör kısmının \(i\)-inci koordinatıdır ve uygulama noktasına bağlı değildir.

Sayısal olarak, \(\mathbf{p} = (1, 2, 1)\) ve \(\mathbf{v} = (2, 1, 3)\) için \(dx(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 2\), \(dy(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 1\) ve \(dz(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 3\)’tür. Aynı vektör kısmı başlangıç noktasında uygulansa da üç değer değişmez.

Kalın ok, p = (1, 2, 1) noktasındaki v_p = (2, 1, 3)_p teğet vektörüdür ve (1, 2, 1)'den (3, 3, 4)'e gider. Okun başından sonuna eksenlere paralel basamaklarla gidildiğinde önce x yönünde 2 (turuncu), sonra y yönünde 1 (yeşil), en son z yönünde 3 (mavi) birim yürünür. Bu üç uzunluk sırasıyla dx(v_p), dy(v_p) ve dz(v_p) değerleridir: her biri vektör kısmının bir koordinatını okur ve uygulama noktası p'ye bağlı değildir.

\(\blacksquare\)

Etkileşimli sahne: \(dx_i\) teğet vektörün koordinatını okur. Sahneyi sürükleyerek döndürebilirsiniz. Turuncu ok \(\mathbf{p} = (1, 2, 1)\) noktasındaki \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörü, kesikli yeşil basamaklar onun \(U_1\), \(U_2\), \(U_3\) yönlerindeki parçaları, noktalı gri çizgiler de okun başıyla ucunu karşılıklı köşe kabul eden koordinat kutusudur. \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\) kaydırıcılarıyla vektör kısmını değiştirin: \(dx(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\), \(dy(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\) ve \(dz(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\) her an bu basamakların işaretli uzunlukları, yani \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\)’tür. Bu üç sayı sahnenin altındaki satırda okunur. Nokta seçimini \(\mathbf{0}\) yapınca ok başlangıç noktasına taşınır ama üç değer aynı kalır: \(dx_i\) yalnızca vektör kısmını okur.

viewof formReadingControls = Inputs.form({
  v1: Inputs.range([-3, 3], { value: 2, step: 0.1, label: "v₁" }),
  v2: Inputs.range([-3, 3], { value: 1, step: 0.1, label: "v₂" }),
  v3: Inputs.range([-3, 3], { value: 3, step: 0.1, label: "v₃" }),
  at: Inputs.radio(["p", "0"], { value: "p", label: "nokta", format: (key) => (key === "p" ? "p = (1, 2, 1)" : "0 = (0, 0, 0)") })
})

formReadingPlot = html`<div class="scene3d" role="img" aria-label="Dondurulebilir sahne: p = (1, 2, 1) noktasindaki teget vektor, eksenlere paralel bilesenleri ve koordinat kutusu; dx, dy, dz degerleri vektor kisminin koordinatlaridir ve uygulama noktasina bagli degildir"></div>`

{
  const { v1, v2, v3, at } = formReadingControls;
  const atOrigin = at === "0";
  const v = [v1, v2, v3];
  const start = atOrigin ? [0, 0, 0] : [1, 2, 1];
  const tip = start.map((c, i) => c + v[i]);
  const pointName = atOrigin ? "0" : "p";
  // Axis-parallel staircase from the start of the arrow to its tip: v1 U1, then v2 U2, then v3 U3.
  const steps = [start, [tip[0], start[1], start[2]], [tip[0], tip[1], start[2]], tip];
  // The other nine edges of the box whose opposite corners are the start and the tip.
  const corner = (i, j, k) => [i ? tip[0] : start[0], j ? tip[1] : start[1], k ? tip[2] : start[2]];
  const boxEdges = [];
  for (const s of [0, 1]) {
    for (const t of [0, 1]) {
      if (s || t) boxEdges.push([corner(0, s, t), corner(1, s, t)]);
      if (!(s === 1 && t === 0)) boxEdges.push([corner(s, 0, t), corner(s, 1, t)]);
      if (!(s === 1 && t === 1)) boxEdges.push([corner(s, t, 0), corner(s, t, 1)]);
    }
  }
  const middle = (a, b) => a.map((c, i) => (c + b[i]) / 2);
  const readings = [["dx", v1], ["dy", v2], ["dz", v3]];
  // In the view below +x points to the left, so the x step runs left when v1 >= 0: keep the dy and dz
  // labels and the point name on the outer side of the staircase. On screen the arrow runs above the
  // x step when 2 v3 >= v2 (y points about 0.4 down, z about 0.9 up), so dx goes on the other side.
  const outside = v1 >= 0 ? "middle left" : "middle right";
  const labelSides = [2 * v3 >= v2 ? "bottom center" : "top center", outside, outside];
  const traces = [
    ...boxEdges.map(([a, b]) => segment(a, b, theme.axis, { width: 2, dash: "dot" })),
    ...arrow(start, v, theme.practice, `teğet vektör v<sub>${pointName}</sub>`),
    ...readings.map((reading, i) => ({
      ...segment(steps[i], steps[i + 1], theme.base, { width: 5, name: i === 0 ? "bileşenler v₁U₁, v₂U₂, v₃U₃" : undefined }),
      legendgroup: "components"
    })),
    // 3D labels keep constant text: WebGL text whose content changed on a slider move was drawn at
    // half size after the update, so the changing values live in the read-out line below the scene.
    ...readings.map(([name], i) => label(middle(steps[i], steps[i + 1]), name, theme.base, { position: labelSides[i] })),
    point(start, theme.text, pointName, { legend: false }),
    // Both name labels always exist in the same order and only their visibility follows the choice,
    // so no WebGL text changes; 0 and p lie almost on one line of sight in this camera.
    { ...label([1, 2, 1], "p", theme.text, { position: v1 >= 0 ? "middle right" : "middle left" }), visible: !atOrigin },
    { ...label([0, 0, 0], "0", theme.text, { position: v1 >= 0 ? "middle right" : "middle left" }), visible: atOrigin }
  ];
  // Seen from the +y side as in the static figure; the default camera hid the y step behind the x step.
  render(Plotly, formReadingPlot, traces, sceneLayout(theme, { x: [-3.5, 4.5], y: [-3.5, 5.5], z: [-3.5, 4.5], eye: { x: 0.55, y: 1.6, z: 0.82 } }));
  return html`<div class="scene3d-readout">uygulama noktası <b>${pointName}</b> = ${atOrigin ? "(0, 0, 0)" : "(1, 2, 1)"} &nbsp;·&nbsp; <b>v</b> = (${fmt(v1)}; ${fmt(v2)}; ${fmt(v3)})<br><i>dx</i>(<b>v</b><sub><b>${pointName}</b></sub>) = <i>v</i><sub>1</sub> = ${fmt(v1)} &nbsp;·&nbsp; <i>dy</i>(<b>v</b><sub><b>${pointName}</b></sub>) = <i>v</i><sub>2</sub> = ${fmt(v2)} &nbsp;·&nbsp; <i>dz</i>(<b>v</b><sub><b>${pointName}</b></sub>) = <i>v</i><sub>3</sub> = ${fmt(v3)}</div>`;
}

Noktalar için doğal koordinat fonksiyonları ne işe yarıyorsa, teğet vektörler için \(dx_1, dx_2, dx_3\) o işe yarar: \(x_i\) bir noktanın \(i\)-inci koordinatını okur; \(dx_i\) bir teğet vektörün (vektör kısmının) \(i\)-inci koordinatını okur.

Aynı ilişkiye doğal çatı alanı tarafından da bakılabilir. \(U_j(\mathbf{p})\)’nin vektör kısmının \(i\)-inci koordinatı, \(j = i\) ise \(1\), değilse \(0\)’dır; yani \(\delta_{ij}\)’dir. Örnekteki sonuç ve Tanım 5.3 gereği her \(\mathbf{p}\) için \(dx_i(U_j)(\mathbf{p}) = \delta_{ij}\) olur. Dolayısıyla \(dx_i(U_j)\) fonksiyonu, değeri \(\delta_{ij}\) olan sabit fonksiyondur:

	\(U_1\)	\(U_2\)	\(U_3\)
\(dx_1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(dx_2\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(dx_3\)	\(0\)	\(0\)	\(1\)

Doğrusal cebirde, bir \(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\) tabanı verildiğinde her birine \(1\), ötekilere \(0\) veren üç lineer dönüşüme bu tabanın dual tabanı (dual basis) denir. Tablo, her \(\mathbf{p}\) noktasında \(dx_1, dx_2, dx_3\)’ün \(\mathbf{p}\)’deki kısıtlanışlarının, \(U_1(\mathbf{p}), U_2(\mathbf{p}), U_3(\mathbf{p})\) tabanının dual tabanı olduğunu söyler. \(dx_i\)’lerin \(U_i\)’lerin “dualleri” diye anılmasının nedeni budur.

Örnek 5.14 (Fonksiyon Katsayılı Bir 1-Formun Değeri) \(f_1, f_2, f_3\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde gerçel değerli fonksiyonlar ve

\[\psi = f_1\,dx_1 + f_2\,dx_2 + f_3\,dx_3\]

olsun. \(\psi\)’nin keyfi bir \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = (v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}}\) teğet vektöründeki değerini bulalım.

Çözüm

Önce \(\psi\)’nin gerçekten bir 1-form olduğunu not edelim. Her \(dx_i\) bir 1-formdur (Önerme 5.3). Önerme 5.1 gereği her \(f_i\,dx_i\) bir 1-formdur; aynı önerme iki 1-formun toplamının 1-form olduğunu söyler. Önce \(f_1\,dx_1 + f_2\,dx_2\)’ye, sonra buna \(f_3\,dx_3\) eklenmesine uygulanınca \(\psi\)’nin bir 1-form olduğu çıkar.

Değeri bulmak için toplamın tanımını iki kez, fonksiyonla çarpımın tanımını üç kez ve Örnek 5.13’nin sonucunu kullanırız:

\[\begin{aligned} \psi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) &= \sum_{i=1}^{3} (f_i\,dx_i)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \sum_{i=1}^{3} f_i(\mathbf{p})\,dx_i(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\\ &= \sum_{i=1}^{3} f_i(\mathbf{p})\,v_i = f_1(\mathbf{p})\,v_1 + f_2(\mathbf{p})\,v_2 + f_3(\mathbf{p})\,v_3. \end{aligned}\]

Bu formül şunu söyler: \(\mathbf{p}\) noktasında \(\psi\), katsayıları \(f_1(\mathbf{p})\), \(f_2(\mathbf{p})\), \(f_3(\mathbf{p})\) sayıları olan sabit katsayılı kuraldır. Katsayılar \(\mathbf{p}\)’de, okun başında hesaplanır; vektör kısmının koordinatlarıyla çarpılıp toplanır.

\(\blacksquare\)

Örnek 5.15 (Fonksiyon Katsayılı Formun Sayısal Değeri) \(\psi = xy\,dx - z\,dy + x^2\,dz\) olsun. \(\psi\)’nin \(\mathbf{p} = (2, 1, -1)\) noktasındaki \(\mathbf{v} = (1, 3, 2)\) vektörü üzerindeki değerini bulalım.

Çözüm

Katsayı fonksiyonları \(f_1 = xy\), \(f_2 = -z\) ve \(f_3 = x^2\)’dir. \(\mathbf{p} = (2, 1, -1)\)’de

\[f_1(\mathbf{p}) = 2 \cdot 1 = 2, \qquad f_2(\mathbf{p}) = -(-1) = 1, \qquad f_3(\mathbf{p}) = 2^2 = 4.\]

Örnek 5.14’daki formülle

\[\psi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 2 + 3 + 8 = 13.\]

Karşılaştırma için aynı vektör kısmını başlangıç noktası \(\mathbf{0}\)’da uygulayalım: orada üç katsayı da \(0\)’dır ve \(\psi\bigl((1, 3, 2)_{\mathbf{0}}\bigr) = 0\) olur. \(dx_i\)’lerin tersine, fonksiyon katsayılı bir 1-formun değeri uygulama noktasına bağlıdır.

\(\blacksquare\)

5.6 Her 1-Form Koordinatlarla Yazılır

Örnek 5.14, \(\sum f_i\,dx_i\) biçimindeki her ifadenin bir 1-form olduğunu gösterdi. Ters yön de doğrudur ve çok daha kullanışlıdır: hangi 1-formu alırsak alalım, onu bu biçimde yazabiliriz. Bu, bir vektör alanının \(V = \sum v_i\,U_i\) biçiminde yazılışının (Lemma 2.1) 1-formlardaki karşılığıdır.

Lemma 5.1 (Bir 1-Formun Öklid Koordinat Fonksiyonları) \(\phi\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir 1-form olsun ve \(i = 1, 2, 3\) için \(f_i = \phi(U_i)\) fonksiyonlarını tanımlayalım. O zaman

\[\phi = \sum_{i=1}^{3} f_i\,dx_i = f_1\,dx_1 + f_2\,dx_2 + f_3\,dx_3.\]

Bu eşitliği sağlayan \(f_1, f_2, f_3\) fonksiyonları tektir. Bunlara \(\phi\)’nin Öklid koordinat fonksiyonları (Euclidean coordinate functions of \(\phi\)) denir.

İspat

Bir 1-form, teğet vektörler üzerinde bir fonksiyondur. Dolayısıyla \(\phi\) ile \(\sum f_i\,dx_i\) ancak ve ancak her teğet vektörde aynı değeri alırlarsa eşittir. Keyfi bir \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = (v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}}\) alalım ve iki tarafın bu vektördeki değerini hesaplayalım.

Sağ taraf. Örnek 5.14 gereği

\[\Bigl(\sum_{i=1}^{3} f_i\,dx_i\Bigr)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \sum_{i=1}^{3} f_i(\mathbf{p})\,v_i.\]

Sol taraf. \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’teki toplama ve skalerle çarpmanın tanımı ile doğal çatının tanımı gereği

\[\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = v_1\,(1, 0, 0)_{\mathbf{p}} + v_2\,(0, 1, 0)_{\mathbf{p}} + v_3\,(0, 0, 1)_{\mathbf{p}} = \sum_{i=1}^{3} v_i\,U_i(\mathbf{p}).\]

\(\phi\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki lineerliği iki terimli toplamlar için yazılmıştır; üç terime ulaşmak için onu iki kez uygularız: önce \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)’yi \(v_1U_1(\mathbf{p})\) ile kalan iki terimin toplamına ayırarak, sonra bu iki terimli toplamın kendisine. Böylece

\[\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \sum_{i=1}^{3} v_i\,\phi\bigl(U_i(\mathbf{p})\bigr) = \sum_{i=1}^{3} v_i\,\phi(U_i)(\mathbf{p}) = \sum_{i=1}^{3} v_i\,f_i(\mathbf{p})\]

bulunur; ikinci eşitlik Tanım 5.3, üçüncüsü \(f_i\)’nin tanımıdır. İki taraf aynı sayıyı verdiğinden \(\phi = \sum f_i\,dx_i\).

Teklik. \(\phi = \sum g_i\,dx_i\) olacak biçimde başka \(g_1, g_2, g_3\) fonksiyonları da bulunsun. İki tarafı \(U_j(\mathbf{p})\) üzerinde değerlendirelim. \(U_j(\mathbf{p})\)’nin vektör kısmının \(i\)-inci koordinatı \(\delta_{ij}\) olduğundan Örnek 5.14’daki formül

\[\phi(U_j)(\mathbf{p}) = \sum_{i=1}^{3} g_i(\mathbf{p})\,\delta_{ij} = g_j(\mathbf{p})\]

verir. Bu her \(\mathbf{p}\) için doğru olduğundan \(g_j = \phi(U_j) = f_j\) olur.

\(\blacksquare\)

Lemmadan sonra \(\mathbb{R}^3\) üzerindeki 1-formları \(f\,dx + g\,dy + h\,dz\) ifadeleriyle özdeşleştirebiliriz. Temel hesaptaki aynı görünümlü ifadelerden farkı, bunların artık teğet vektörler üzerinde kesin olarak tanımlı fonksiyonlar olmasıdır. Her noktada bir 1-form üç sayıyla belirlenir: \(f_1(\mathbf{p})\), \(f_2(\mathbf{p})\), \(f_3(\mathbf{p})\). Bu da hem dual uzayın üç boyutlu olmasıyla, hem de bir 1-formun her noktada vektör kısmının sabit terimsiz, birinci dereceden bir ifadesi olmasıyla uyumludur.

Lemma diferansiyellenebilirliği de koordinatlara indirir. Bir \(V = \sum v_i\,U_i\) vektör alanı için \(V(\mathbf{p}) = \bigl(v_1(\mathbf{p}), v_2(\mathbf{p}), v_3(\mathbf{p})\bigr)_{\mathbf{p}}\) olduğundan, Örnek 5.14’daki formül her noktada

\[\phi(V)(\mathbf{p}) = \sum_{i=1}^{3} f_i(\mathbf{p})\,v_i(\mathbf{p}), \quad \text{yani} \quad \phi(V) = \sum_{i=1}^{3} f_i\,v_i\]

verir. \(f_i\)’ler diferansiyellenebilir ise diferansiyellenebilir her \(V\) için bu toplam diferansiyellenebilirdir, yani \(\phi\) diferansiyellenebilirdir. Tersine, \(\phi\) diferansiyellenebilir ise \(U_i\) alanları (sabit koordinatlı oldukları için) diferansiyellenebilir olduğundan \(f_i = \phi(U_i)\) fonksiyonları diferansiyellenebilirdir. Sonuç: bir 1-form ancak ve ancak Öklid koordinat fonksiyonları diferansiyellenebilir ise diferansiyellenebilirdir. Örnek 5.9’daki 1-formun koordinat fonksiyonları \(0\), \(|x|\), \(0\)’dır ve ortadaki diferansiyellenebilir değildir.

Vektör alanlarıyla 1-formlar arasındaki ikiliği şimdi tek bir tabloda toplayabiliriz. Son satırdaki \(v_i = dx_i(V)\) eşitliği, \(dx_i(V)(\mathbf{p})\)’nin \(V(\mathbf{p})\)’nin vektör kısmının \(i\)-inci koordinatı, yani \(v_i(\mathbf{p})\) olmasından gelir.

	vektör alanı \(V\)	1-form \(\phi\)
\(\mathbf{p}\)’de verdiği	bir ok	lineer bir kural
temel nesneler	\(U_1, U_2, U_3\)	\(dx_1, dx_2, dx_3\)
standart biçim	\(V = \sum v_i\,U_i\)	\(\phi = \sum f_i\,dx_i\)
koordinatlar	\(v_i = dx_i(V)\)	\(f_i = \phi(U_i)\)

Örnek 5.16 (Koordinat Fonksiyonlarını Bulmak) Örnek 5.4’da her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) için

\[\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = p_3v_1 + (p_1 + p_2)v_2 - p_1p_2v_3\]

kuralıyla verilen \(\phi\) 1-formunu \(\sum f_i\,dx_i\) biçiminde yazalım.

Çözüm

Lemma, \(f_i = \phi(U_i)\) fonksiyonlarını hesaplamamızı söyler. \(U_1(\mathbf{p}) = (1, 0, 0)_{\mathbf{p}}\) olduğundan \(v_1 = 1\), \(v_2 = v_3 = 0\) koyarız:

\[f_1(\mathbf{p}) = \phi\bigl((1, 0, 0)_{\mathbf{p}}\bigr) = p_3.\]

Benzer biçimde \(f_2(\mathbf{p}) = \phi\bigl((0, 1, 0)_{\mathbf{p}}\bigr) = p_1 + p_2\) ve \(f_3(\mathbf{p}) = \phi\bigl((0, 0, 1)_{\mathbf{p}}\bigr) = -p_1p_2\). Fonksiyon olarak \(f_1 = z\), \(f_2 = x + y\), \(f_3 = -xy\). Dolayısıyla

\[\phi = z\,dx + (x + y)\,dy - xy\,dz.\]

Denetim: \(\mathbf{p} = (1, 2, 3)\) ve \(\mathbf{v} = (1, 0, 2)\) için bu yazılış \(3 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + (-2) \cdot 2 = -1\) verir; Örnek 5.4’da aynı sayıyı bulmuştuk. Koordinat fonksiyonları polinom olduğundan \(\phi\) diferansiyellenebilirdir.

\(\blacksquare\)

Örnek 5.17 (Doğal Çatıda Eşit Olan 1-Formlar) \(\phi\) ve \(\psi\) iki 1-form olsun ve her \(i = 1, 2, 3\) için \(\phi(U_i) = \psi(U_i)\) fonksiyon eşitliği sağlansın. \(\phi = \psi\) olduğunu gösterelim.

Çözüm

Lemma 5.1 her iki 1-forma uygulanırsa

\[\phi = \sum_{i=1}^{3} \phi(U_i)\,dx_i = \sum_{i=1}^{3} \psi(U_i)\,dx_i = \psi\]

bulunur; ortadaki eşitlik varsayımdır. Demek ki bir 1-formu tanımak için onun her teğet vektördeki değerini bilmek gerekmez: üç alan, \(U_1\), \(U_2\) ve \(U_3\) üzerindeki değerleri yeter.

Üç alanın yerine tek bir alan yetmez. \(dx\) ve \(dy\) 1-formları \(V = U_1 + U_2\) alanında aynı sabit fonksiyonu verir: \(dx(V) = 1 = dy(V)\). Ama \(dx(U_1) = 1\), \(dy(U_1) = 0\) olduğundan \(dx \neq dy\).

\(\blacksquare\)

5.7 Diferansiyelin Koordinat Formülü

Şimdi bölümün başındaki soruya dönebiliriz. Bir fonksiyonun diferansiyelini (Tanım 5.5) yönlü türevle, koordinat kullanmadan tanımladık. Aşağıdaki sonuç, bu tanımın temel hesaptaki biçimsel formülle aynı şeyi söylediğini gösterir.

Sonuç 5.1 (Diferansiyelin Kısmi Türevlerle Yazılışı) \(f\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde diferansiyellenebilir bir fonksiyon ise

\[df = \sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i = \dfrac{\partial f}{\partial x_1}\,dx_1 + \dfrac{\partial f}{\partial x_2}\,dx_2 + \dfrac{\partial f}{\partial x_3}\,dx_3.\]

İspat

İki tarafın keyfi bir \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = (v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}}\) teğet vektöründe aynı değeri aldığını göstereceğiz. Sağ taraf, katsayıları \(f_i = \partial f/\partial x_i\) olan fonksiyon katsayılı bir 1-formdur; Örnek 5.14 gereği değeri

\[\Bigl(\sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i\Bigr)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p})\,v_i\]

olur. Sol tarafın değeri tanım gereği \(df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\)’dir ve Lemma 3.1 bu sayının tam olarak yukarıdaki toplam olduğunu söyler. İki 1-form her teğet vektörde aynı değeri aldığından eşittir.

Aynı sonuca Lemma 5.1 üzerinden de ulaşılır. \(df\)’nin koordinat fonksiyonları \(df(U_i)\)’dir ve Önerme 5.3 gereği \(df(U_i) = U_i[f]\). \(U_i(\mathbf{p})\)’nin vektör kısmının \(j\)-inci koordinatı \(\delta_{ij}\) olduğundan

\[U_i[f](\mathbf{p}) = \sum_{j=1}^{3} \delta_{ij}\,\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(\mathbf{p}) = \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p}).\]

Demek ki \(df\)’nin Öklid koordinat fonksiyonları \(f\)’nin kısmi türevleridir ve lemma istenen eşitliği verir.

\(\blacksquare\)

Böylece başlangıçtaki formül

\[df = \dfrac{\partial f}{\partial x}\,dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}\,dy + \dfrac{\partial f}{\partial z}\,dz\]

artık bir teoremdir ve her sembolün kesin bir anlamı vardır. Eşitliğin iki yanı da teğet vektörler üzerinde tanımlı fonksiyonlardır, yani 1-formdur. \(dx\), \(dy\), \(dz\) “çok küçük sayılar” değil, bir teğet vektörün vektör kısmının koordinatlarını okuyan 1-formlardır. Kısmi türevler birer fonksiyondur ve bir teğet vektörde değerlendirirken okun uygulama noktasında hesaplanır. İki yanı \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)’ye uygulamak, yönlü türevin kısmi türevlerle hesap formülünü verir. Katsayı üçlüsü \((\partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \partial f/\partial z)\) temel hesaptaki gradyan (gradient) vektörüdür; \(df\) bu üçlünün teğet vektörler üzerinde çalışan hâlidir.

İlk kural toplamlarla ilgilidir: bir toplamın diferansiyeli, terimlerin diferansiyellerinin toplamıdır.

Önerme 5.4 (Toplamın Diferansiyeli) \(f\) ve \(g\) diferansiyellenebilir fonksiyonlar, \(a\) ve \(b\) sayılar ise

\[d(af + bg) = a\,df + b\,dg.\]

Özel olarak \(d(f + g) = df + dg\) ve \(d(-f) = -df\).

İspat

Keyfi bir \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) alalım. Diferansiyelin tanımı, Teorem 3.1’nin ikinci özelliği ve Tanım 5.2 (sabit \(a\), \(b\) fonksiyonlarıyla) sırasıyla

\[\begin{aligned} d(af + bg)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) &= \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[af + bg] = a\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] + b\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g]\\ &= a\,df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + b\,dg(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = (a\,df + b\,dg)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) \end{aligned}\]

verir. Her teğet vektörde değerler eşit olduğundan 1-formlar eşittir. \(a = b = 1\) ve \(a = -1\), \(b = 0\) özel hâllerdir.

Formül yoluyla da görülebilir: kısmi türev alma lineer olduğundan \(af + bg\)’nin \(i\)-inci kısmi türevi \(a\,\partial f/\partial x_i + b\,\partial g/\partial x_i\) olur. Bunu Sonuç 5.1’ne koyup 1-formlarla cebir kurallarıyla iki toplama ayırırsak yine \(a\,df + b\,dg\) bulunur.

\(\blacksquare\)

Örnek 5.18 (Formülle Diferansiyel) \(f = x^2 + y\sin z\) olsun. \(df\)’yi Sonuç 5.1 ile bulup \(\mathbf{p} = (1, 2, 0)\) noktasındaki \(\mathbf{v} = (1, 1, 1)\) vektörü üzerindeki değerini hesaplayalım.

Çözüm

Kısmi türevler

\[\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2x, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y} = \sin z, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial z} = y\cos z\]

olduğundan \(df = 2x\,dx + \sin z\,dy + y\cos z\,dz\). \(\mathbf{p} = (1, 2, 0)\)’da katsayılar \(2\), \(\sin 0 = 0\) ve \(2\cos 0 = 2\)’dir. Dolayısıyla

\[df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 4.\]

Denetim için doğrudan tanıma gidelim: \(\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (1 + t, 2 + t, t)\) ve

\[f(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = (1 + t)^2 + (2 + t)\sin t.\]

Türev \(2(1 + t) + \sin t + (2 + t)\cos t\)’dir; \(t = 0\)’da \(2 + 0 + 2 = 4\). Uyuşur.

\(\blacksquare\)

Örnek 5.19 (Sabit Katsayılı Her 1-Form Bir Diferansiyeldir) \(a\), \(b\), \(c\) sayılar olsun. \(a\,dx + b\,dy + c\,dz\) 1-formunun bir fonksiyonun diferansiyeli olduğunu gösterelim.

Çözüm

\(f = ax + by + cz\) fonksiyonunu alalım. Önerme 5.4’nı iki kez uygulayınca

\[df = d(ax + by + cz) = a\,dx + b\,dy + c\,dz\]

bulunur. Aynı sonuç Sonuç 5.1’nden de çıkar: \(f\)’nin kısmi türevleri \(a\), \(b\), \(c\) sabitleridir.

Özel olarak Örnek 5.2’daki \(\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 2v_1 - v_2 + 3v_3\) 1-formu, Örnek 5.14 gereği \(2\,dx - dy + 3\,dz\)’dir ve bu da \(d(2x - y + 3z)\)’dir. Bir başka özel hâl tutarlılık denetimidir: \(f = x_i\) için formül \(dx_i = \sum_j \delta_{ij}\,dx_j\) verir ve toplam çöktüğünde gerçekten \(dx_i\) kalır.

Katsayılar fonksiyon olunca durum değişir. Örneğin \(y\,dx\) hiçbir fonksiyonun diferansiyeli değildir; bunu alıştırmalarda ispatlayacağız. Her diferansiyel bir 1-formdur, ama her 1-form bir diferansiyel değildir.

\(\blacksquare\)

5.8 Çarpım ve Bileşke Kuralları

Geriye iki soru kalıyor: iki fonksiyonun çarpımının ve bir bileşkenin diferansiyeli, parçaların diferansiyelleri cinsinden nasıl yazılır? Bu iki kural, toplam kuralıyla birlikte, diferansiyelleri kısmi türevlerle tek tek uğraşmadan hesaplamayı sağlar.

Lemma 5.2 (Çarpım Kuralı) \(f\) ve \(g\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde diferansiyellenebilir fonksiyonlar ve \(fg\) bunların çarpımı ise

\[d(fg) = g\,df + f\,dg.\]

İspat

\(fg\) diferansiyellenebilir fonksiyonların çarpımı olduğundan diferansiyellenebilirdir. Kısmi türevin çarpım kuralı, öteki iki koordinat sabit tutulup tek değişkenli çarpım kuralı uygulanarak elde edilir:

\[\dfrac{\partial (fg)}{\partial x_i} = \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\,g + f\,\dfrac{\partial g}{\partial x_i}.\]

Bunu Sonuç 5.1’ne koyalım:

\[\begin{aligned} d(fg) &= \sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial (fg)}{\partial x_i}\,dx_i = \sum_{i=1}^{3} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\,g + f\,\dfrac{\partial g}{\partial x_i}\right) dx_i\\ &= g\sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i + f\sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial g}{\partial x_i}\,dx_i = g\,df + f\,dg. \end{aligned}\]

İkinci satıra geçerken 1-formlarla cebir kurallarını kullandık: parantezi açtık ve \(g\), \(f\) fonksiyon çarpanlarını toplamların dışına aldık. Son eşitlik yine Sonuç 5.1’dür.

\(\blacksquare\)

Alıştırmalarda aynı kuralı koordinat kullanmadan, doğrudan diferansiyelin tanımından ispatlayacağız.

Örnek 5.20 (Çarpım Kuralıyla Diferansiyel) \(f = x^2yz\) olsun. \(df\)’yi çarpım kuralıyla bulup \(\mathbf{p} = (1, 1, 0)\) noktasındaki \(\mathbf{v} = (1, 0, -3)\) vektörü üzerindeki değerini hesaplayalım.

Çözüm

\(f = (x^2)(yz)\) biçiminde yazalım. Sonuç 5.1 ile \(d(x^2) = 2x\,dx\) (kısmi türevler \(2x, 0, 0\)). \(yz\) için çarpım kuralı bir kez daha: \(d(yz) = z\,dy + y\,dz\). Dolayısıyla

\[d(x^2yz) = yz\,d(x^2) + x^2\,d(yz) = 2xyz\,dx + x^2z\,dy + x^2y\,dz.\]

Katsayılar gerçekten \(f\)’nin kısmi türevleridir: \(\partial f/\partial x = 2xyz\), \(\partial f/\partial y = x^2z\), \(\partial f/\partial z = x^2y\).

\(\mathbf{p} = (1, 1, 0)\)’da katsayılar \(0\), \(0\), \(1\)’dir; bu yüzden

\[df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-3) = -3.\]

Yönlü türevleri incelerken aynı fonksiyonun aynı teğet vektöre göre türevini, doğru boyunca tek değişkenli türev alarak da \(-3\) bulmuştuk.

Kuralın biçimine dikkat: \(d(fg)\), “\(df\) ile \(dg\)’nin çarpımı” değildir; iki 1-formun çarpımı henüz tanımlı bile değildir. Doğru kural, her diferansiyeli öteki fonksiyonla çarparak toplar.

\(\blacksquare\)

Lemma 5.3 (Bileşke Kuralı) \(f\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) ve \(h\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) diferansiyellenebilir fonksiyonlar olsun. O zaman \(h(f)\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) bileşke fonksiyonu da diferansiyellenebilirdir ve

\[d\bigl(h(f)\bigr) = h'(f)\,df.\]

Burada \(h'\) tek değişkenli türevdir; \(h'(f)\) de her \(\mathbf{p}\)’yi \(h'\bigl(f(\mathbf{p})\bigr)\) sayısına götüren bileşke fonksiyondur.

İspat

Kısmi türevler. \(\mathbf{p}\) noktasını ve bir \(i\) indisini sabitleyelim; \(F(t)\), \(f\)’nin \(\mathbf{p}\)’nin yalnızca \(i\)-inci koordinatına \(t\) eklenerek elde edilen noktadaki değeri olsun. Tanım gereği \(F'(0) = \partial f/\partial x_i(\mathbf{p})\) ve \(F(0) = f(\mathbf{p})\)’dir. Tek değişkenli zincir kuralı \(t \mapsto h\bigl(F(t)\bigr)\) fonksiyonunun \(t = 0\)’daki türevini \(h'\bigl(F(0)\bigr)\,F'(0)\) olarak verir. Bu, \(h(f)\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki \(i\)-inci kısmi türevidir; her \(\mathbf{p}\) için geçerli olduğundan

\[\dfrac{\partial\, h(f)}{\partial x_i} = h'(f)\,\dfrac{\partial f}{\partial x_i}.\]

Diferansiyellenebilirlik. Sağ taraf, \(h'(f)\) ile \(\partial f/\partial x_i\)’nin çarpımıdır. \(h'\) de diferansiyellenebilir bir tek değişkenli fonksiyon olduğundan \(h'(f)\) aynı türden bir bileşkedir; ona aynı formül uygulanınca \(\partial\, h'(f)/\partial x_j = h''(f)\,\partial f/\partial x_j\) çıkar. Kısmi türevin çarpım kuralını da kullanarak mertebe üzerinden tümevarımla şunu elde ederiz: \(h(f)\)’nin her mertebeden kısmi türevi vardır ve \(h^{(k)}(f)\) biçimindeki bileşkelerle \(f\)’nin kısmi türevlerinin çarpımlarının sonlu bir toplamıdır. Bu çarpanların her biri süreklidir (\(h^{(k)}\) ile \(f\) sürekli olduğundan bileşkeleri de süreklidir). Dolayısıyla bütün kısmi türevler süreklidir ve \(h(f)\) diferansiyellenebilirdir.

Diferansiyel. Sonuç 5.1’nü \(h(f)\)’ye uygulayıp ortak çarpan \(h'(f)\)’yi dışarı alırsak

\[d\bigl(h(f)\bigr) = \sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial\, h(f)}{\partial x_i}\,dx_i = \sum_{i=1}^{3} h'(f)\,\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i = h'(f)\,df\]

bulunur; son adımda \(f\) için yine Sonuç 5.1 kullanıldı.

\(\blacksquare\)

NotYalnızca bir aralıkta tanımlı dış fonksiyonlar

İspat, \(h\)’nin yalnızca \(f\)’nin aldığı değerlerde ve onların yakınında türevlenebilir olmasını kullanır. Bu yüzden \(h\) açık bir \(J\) aralığında, örneğin \((0, \infty)\)’da diferansiyellenebilirse ve \(f\)’nin bütün değerleri \(J\)’nin içindeyse, aynı formül geçerlidir. \(f\) yalnızca \(\mathbb{R}^3\)’ün açık bir parçasında tanımlıysa da (örneğin başlangıç noktası çıkarılmış uzayda) sonuç o parçada doğrudur. Örnekler: \(f > 0\) ise \(d(\sqrt{f}) = df/(2\sqrt{f})\) ve \(d(\log f) = df/f\); burada \(\log\) doğal logaritmadır.

Örnek 5.21 (Bileşke Kuralıyla Diferansiyel) \(f = \sin(x^2 + z)\) olsun. \(df\)’yi bileşke kuralıyla bulup \(\mathbf{p} = (0, 5, \pi)\) noktasındaki \(\mathbf{v} = (1, 2, 3)\) vektörü üzerindeki değerini hesaplayalım.

Çözüm

İç fonksiyon \(g = x^2 + z\), dış fonksiyon \(h = \sin\)’dir; \(h' = \cos\). Önce iç fonksiyonun diferansiyeli: \(d(x^2)\), Lemma 5.3’nın \(h(s) = s^2\) ve iç fonksiyon \(x\) ile özel hâlidir, \(d(x^2) = 2x\,dx\). Toplam kuralıyla \(dg = 2x\,dx + dz\). Bileşke kuralı

\[\begin{aligned} d\bigl(\sin(x^2 + z)\bigr) &= \cos(x^2 + z)\,(2x\,dx + dz)\\ &= 2x\cos(x^2 + z)\,dx + \cos(x^2 + z)\,dz \end{aligned}\]

verir. \(dy\) terimi yoktur, çünkü \(f\) ikinci koordinata bağlı değildir.

\(\mathbf{p} = (0, 5, \pi)\)’de \(x^2 + z = \pi\) ve \(\cos\pi = -1\)’dir; katsayılar \(0\), \(0\), \(-1\) olur. Dolayısıyla

\[df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 = -3.\]

\(\blacksquare\)

İpucuDiferansiyeli hesaplamanın pratik yolu

Somut bir fonksiyonun diferansiyeli gerektiğinde, kısmi türevleri tek tek hesaplayıp Sonuç 5.1’ne yerleştirmek yerine toplam, çarpım ve bileşke kurallarıyla ilerlemek genellikle daha az iş çıkarır. Sonucu \(\sum f_i\,dx_i\) biçiminde topladığımızda katsayılar, Lemma 5.1’ndaki teklik sayesinde, \(f\)’nin kısmi türevlerinin ta kendisidir. Üstelik iş orada bitmez: bulunan \(df\)’yi herhangi bir teğet vektörde değerlendirmek, \(f\)’nin o yöndeki türevini verir. Tek bir hesapla bütün yönlü türevler elde edilmiş olur.

Örnek 5.22 (Kurallarla Diferansiyel ve Bütün Yönlü Türevler) \(f = (x^2 - 1)y + (y^2 + 2)z\) olsun. \(df\)’yi kurallarla bulalım ve buradan \(f\)’nin keyfi bir \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörüne göre türevini veren formülü yazalım.

Çözüm

Toplam kuralı. İki terimin diferansiyelleri ayrı ayrı alınıp toplanır:

\[df = d\bigl((x^2 - 1)y\bigr) + d\bigl((y^2 + 2)z\bigr).\]

Çarpım kuralı. Her terim bir çarpımdır:

\[\begin{aligned} d\bigl((x^2 - 1)y\bigr) &= y\,d(x^2 - 1) + (x^2 - 1)\,dy,\\ d\bigl((y^2 + 2)z\bigr) &= z\,d(y^2 + 2) + (y^2 + 2)\,dz. \end{aligned}\]

İç diferansiyeller. Sabitin diferansiyeli sıfır ve \(d(x^2) = 2x\,dx\) olduğundan \(d(x^2 - 1) = 2x\,dx\); benzer biçimde \(d(y^2 + 2) = 2y\,dy\).

Toplama. Yerine koyup \(dx\), \(dy\), \(dz\) katsayılarını toplarsak

\[\begin{aligned} df &= (2x\,dx)\,y + (x^2 - 1)\,dy + (2y\,dy)\,z + (y^2 + 2)\,dz\\ &= 2xy\,dx + (x^2 + 2yz - 1)\,dy + (y^2 + 2)\,dz. \end{aligned}\]

Teklik gereği katsayılar kısmi türevlerdir: \(\partial f/\partial x = 2xy\), \(\partial f/\partial y = x^2 + 2yz - 1\), \(\partial f/\partial z = y^2 + 2\). Birini doğrudan denetleyelim: \(y\)’ye göre türevde \((x^2 - 1)y\) terimi \(x^2 - 1\), \((y^2 + 2)z\) terimi \(2yz\) verir; toplam uyuşur.

Bütün yönlü türevler. \(df\)’yi \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = (v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}}\) üzerinde değerlendirmek için katsayıları \(\mathbf{p}\)’de hesaplayıp \(v_i\)’lerle çarparız:

\[\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 2p_1p_2\,v_1 + (p_1^2 + 2p_2p_3 - 1)\,v_2 + (p_2^2 + 2)\,v_3.\]

Sayısal bir denetim: \(\mathbf{p} = (1, 1, 1)\) ve \(\mathbf{v} = (1, -1, 2)\) için formül \(2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = 6\) verir. Doğrudan tanımdan: \(\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (1 + t, 1 - t, 1 + 2t)\) ve

\[f(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = (2t + t^2)(1 - t) + (3 - 2t + t^2)(1 + 2t).\]

Birinci terimin \(t = 0\)’daki türevi \(2\), ikinci terimin türevi \((-2) \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 4\)’tür; toplam \(6\). Uyuşur.

\(\blacksquare\)

5.9 Alıştırmalar

Alıştırma 5.1 (Tek Terimli Bir 1-Formun Değeri) \(\mathbf{p} = (0, -2, 1)\) ve \(\mathbf{v} = (1, 2, -3)\) olsun. \(y^2\,dx\) 1-formunun \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörü üzerindeki değerini bulunuz.

Çözüm

Örnek 5.14 gereği fonksiyon katsayılı bir 1-formun değeri, katsayıların okun uygulama noktasındaki değerleriyle vektör kısmının koordinatlarının çarpımlarının toplamıdır. Burada tek katsayı \(y^2\)’dir ve \(dx\) ile çarpılmıştır.

Katsayı. \(\mathbf{p} = (0, -2, 1)\)’de \(y = -2\) olduğundan \(y^2 = 4\).

Koordinat. \(dx(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = v_1 = 1\).

Değer. \((y^2\,dx)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 4 \cdot 1 = 4\).

Katsayı okun başında, \(\mathbf{p}\)’de hesaplanır. Okun ucu \(\mathbf{p} + \mathbf{v} = (1, 0, -2)\)’de \(y^2 = 0\) olurdu ve yanlış olarak \(0\) bulunurdu.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.2 (İki Terimli Bir 1-Formun Değeri) \(\mathbf{p} = (0, -2, 1)\) ve \(\mathbf{v} = (1, 2, -3)\) olsun. \(z\,dy - y\,dz\) 1-formunun \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörü üzerindeki değerini bulunuz.

Çözüm

Katsayılar. \(dy\)’nin katsayısı \(z\), \(dz\)’nin katsayısı \(-y\)’dir. \(\mathbf{p} = (0, -2, 1)\)’de \(z = 1\) ve \(-y = 2\).

Koordinatlar. \(dy(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = v_2 = 2\) ve \(dz(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = v_3 = -3\).

Değer. Terimleri toplarsak

\[(z\,dy - y\,dz)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) = 2 - 6 = -4.\]

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.3 (Üç Terimli Bir 1-Formun Değeri) \(\mathbf{p} = (0, -2, 1)\) ve \(\mathbf{v} = (1, 2, -3)\) olsun. \((z^2 - 1)\,dx - dy + x^2\,dz\) 1-formunun \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörü üzerindeki değerini bulunuz.

Çözüm

Katsayılar. Katsayı fonksiyonları \(f_1 = z^2 - 1\), \(f_2 = -1\) ve \(f_3 = x^2\)’dir. \(\mathbf{p} = (0, -2, 1)\)’de

\[f_1(\mathbf{p}) = 1 - 1 = 0, \qquad f_2(\mathbf{p}) = -1, \qquad f_3(\mathbf{p}) = 0.\]

Değer. Vektör kısmının koordinatları \(1\), \(2\), \(-3\) olduğundan

\[\bigl((z^2 - 1)\,dx - dy + x^2\,dz\bigr)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 0 \cdot (-3) = -2.\]

Bu noktada iki katsayı sıfır olduğundan 1-form, \(\mathbf{p}\)’deki teğet vektörler üzerinde \(-dy\) gibi davranır: yalnızca ikinci koordinatı okuyup işaretini değiştirir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.4 (Standart Biçimdeki Formu Bir Alanda Değerlendirmek) \(\phi = \sum f_i\,dx_i\) bir 1-form ve \(V = \sum v_i\,U_i\) bir vektör alanı ise \(\phi(V) = \sum f_i\,v_i\) olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Birinci yol: noktasal. Doğal çatının tanımı ve alan işlemlerinin noktasal tanımı gereği her \(\mathbf{p}\) için

\[V(\mathbf{p}) = \bigl(v_1(\mathbf{p}), v_2(\mathbf{p}), v_3(\mathbf{p})\bigr)_{\mathbf{p}}.\]

Tanım 5.3 ve Örnek 5.14 ile

\[\phi(V)(\mathbf{p}) = \phi\bigl(V(\mathbf{p})\bigr) = \sum_{i=1}^{3} f_i(\mathbf{p})\,v_i(\mathbf{p}) = \Bigl(\sum_{i=1}^{3} f_i\,v_i\Bigr)(\mathbf{p})\]

bulunur; son eşitlik fonksiyonların noktasal toplam ve çarpımıdır. Bu her \(\mathbf{p}\) için doğru olduğundan \(\phi(V) = \sum f_i\,v_i\).

İkinci yol: lineerlikle. Önerme 5.2’nin birinci özelliğini (iki kez) \(V = \sum_j v_j\,U_j\)’ye uygularsak \(\phi(V) = \sum_j v_j\,\phi(U_j)\) olur. İkinci özellik ve \(dx_i(U_j) = \delta_{ij}\) gereği

\[\phi(U_j) = \sum_{i=1}^{3} f_i\,dx_i(U_j) = \sum_{i=1}^{3} f_i\,\delta_{ij} = f_j.\]

Dolayısıyla \(\phi(V) = \sum_j v_j\,f_j\); bu, istenen toplamdır.

Sayısal denetim. \(\phi = z\,dx + (x + y)\,dy - xy\,dz\) ve \(V = U_1 + U_3\) için formül \(\phi(V) = z - xy\) verir. \(\mathbf{p} = (1, 2, 3)\)’te bu \(3 - 2 = 1\)’dir. Doğrudan: \(V(\mathbf{p}) = (1, 0, 1)_{\mathbf{p}}\) ve katsayılar \(3\), \(3\), \(-2\) olduğundan değer \(3 + 0 - 2 = 1\). Uyuşur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.5 (Konum Alanında Değer) \(\phi = x^2\,dx - y^2\,dz\) olsun. \(\phi\)’nin \(V = xU_1 + yU_2 + zU_3\) vektör alanındaki değerini bulunuz.

Çözüm

Alıştırma 5.4’deki formülü kullanacağız.

Koordinatlar. \(\phi\)’nin Öklid koordinat fonksiyonları \(f_1 = x^2\), \(f_2 = 0\), \(f_3 = -y^2\); \(V\)’nin koordinat fonksiyonları \(v_1 = x\), \(v_2 = y\), \(v_3 = z\)’dir.

Değer. Karşılıklı çarpıp toplarsak

\[\phi(V) = x^2 \cdot x + 0 \cdot y + (-y^2) \cdot z = x^3 - y^2z.\]

Denetim. \(\mathbf{p} = (2, 1, 3)\)’te formül \(8 - 3 = 5\) verir. Doğrudan: \(V(\mathbf{p}) = (2, 1, 3)_{\mathbf{p}}\); katsayılar \(4\), \(0\), \(-1\) olduğundan değer \(4 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 5\).

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.6 (İki Terimli Alanda Değer) \(\phi = x^2\,dx - y^2\,dz\) olsun. \(\phi\)’nin \(W = xy\,(U_1 - U_3) + yz\,(U_1 - U_2)\) vektör alanındaki değerini bulunuz.

Çözüm

Standart biçim. Parantezleri açıp aynı \(U_i\)’leri toplarsak

\[W = (xy + yz)\,U_1 - yz\,U_2 - xy\,U_3.\]

Değer. \(\phi\)’nin koordinat fonksiyonları \(x^2\), \(0\), \(-y^2\) olduğundan Alıştırma 5.4 ile

\[\phi(W) = x^2(xy + yz) + 0 \cdot (-yz) + (-y^2)(-xy) = x^3y + x^2yz + xy^3.\]

İkinci yol. Önerme 5.2 ile doğrudan da gidilebilir. \(\phi(U_1) = x^2\), \(\phi(U_2) = 0\), \(\phi(U_3) = -y^2\) olduğundan \(\phi(U_1 - U_3) = x^2 + y^2\) ve \(\phi(U_1 - U_2) = x^2\). Buradan

\[\phi(W) = xy\,(x^2 + y^2) + yz \cdot x^2 = x^3y + xy^3 + x^2yz,\]

aynı sonuç.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.7 (Fonksiyon Katsayılı Birleşimde Değer) \(\phi = x^2\,dx - y^2\,dz\), \(V = xU_1 + yU_2 + zU_3\) ve \(W = xy\,(U_1 - U_3) + yz\,(U_1 - U_2)\) olsun. \(\phi\)’nin, \(x \neq 0\) ve \(y \neq 0\) olan noktalarda tanımlı \((1/x)V + (1/y)W\) vektör alanındaki değerini bulunuz.

Çözüm

Tanım kümesi. \(1/x\) ve \(1/y\) katsayıları yalnızca \(x \neq 0\), \(y \neq 0\) olan noktalarda tanımlıdır. Bu noktaların kümesi açıktır ve orada her şey noktasal tanımlandığından Önerme 5.2 aynı ispatla geçerlidir.

Lineerlik. Önermenin birinci özelliği \(f = 1/x\) ve \(g = 1/y\) ile

\[\phi\Bigl(\tfrac{1}{x}V + \tfrac{1}{y}W\Bigr) = \dfrac{1}{x}\,\phi(V) + \dfrac{1}{y}\,\phi(W)\]

verir.

Değer. Alıştırma 5.5 ve Alıştırma 5.6’deki sonuçları yerine koyarsak

\[\begin{aligned} \phi\Bigl(\tfrac{1}{x}V + \tfrac{1}{y}W\Bigr) &= \dfrac{x^3 - y^2z}{x} + \dfrac{x^3y + x^2yz + xy^3}{y}\\ &= x^2 - \dfrac{y^2z}{x} + x^3 + x^2z + xy^2. \end{aligned}\]

Doğrudan denetim. Alanın koordinat fonksiyonları

\[\Bigl(1 + x + z,\ \ \dfrac{y}{x} - z,\ \ \dfrac{z}{x} - x\Bigr)\]

olur (birinci koordinat \(x/x + (xy + yz)/y\), ötekiler benzer biçimde). \(\phi\)’nin katsayıları \(x^2\), \(0\), \(-y^2\) ile çarpılıp toplanınca \(x^2 + x^3 + x^2z - y^2z/x + xy^2\) elde edilir; aynı fonksiyon. Örneğin \((1, 1, 1)\) noktasında değer \(3\)’tür.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.8 (Beşinci Kuvvetin Diferansiyeli) \(f\) diferansiyellenebilir bir fonksiyon olsun. \(d(f^5)\)’i \(df\) cinsinden yazınız.

Çözüm

Dış fonksiyon. \(f^5 = h(f)\) olur; burada \(h(s) = s^5\) bütün \(\mathbb{R}\) üzerinde diferansiyellenebilirdir ve \(h'(s) = 5s^4\).

Bileşke kuralı. Lemma 5.3 ile

\[d(f^5) = h'(f)\,df = 5f^4\,df.\]

Denetim. \(f = x + y\) için sonuç

\[d\bigl((x + y)^5\bigr) = 5(x + y)^4\,(dx + dy)\]

olur. \((x + y)^5\)’in \(x\)’e ve \(y\)’ye göre kısmi türevlerinin ikisi de \(5(x + y)^4\), \(z\)’ye göre türevi \(0\)’dır; Sonuç 5.1 ile uyuşur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.9 (Karekökün Diferansiyeli) \(f\), her noktada \(f > 0\) olan diferansiyellenebilir bir fonksiyon olsun. \(d(\sqrt{f})\)’yi \(df\) cinsinden yazınız.

Çözüm

Dış fonksiyon. \(h(s) = \sqrt{s}\) fonksiyonu \((0, \infty)\) aralığında diferansiyellenebilirdir ve \(h'(s) = 1/(2\sqrt{s})\). \(f\)’nin bütün değerleri bu aralıkta olduğundan, bileşke kuralının ardındaki nottaki genişletme uygulanır.

Bileşke kuralı.

\[d(\sqrt{f}) = h'(f)\,df = \dfrac{df}{2\sqrt{f}}.\]

Örnek. \(f = 1 + x^2\) için \(df = 2x\,dx\) ve \(d\bigl(\sqrt{1 + x^2}\bigr) = x\,dx/\sqrt{1 + x^2}\).

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.10 (Logaritmik Bileşkenin Diferansiyeli) \(f\) diferansiyellenebilir bir fonksiyon olsun. \(d\bigl(\log(1 + f^2)\bigr)\)’yi \(df\) cinsinden yazınız; burada \(\log\) doğal logaritmadır.

Çözüm

Dış fonksiyon. \(1 + s^2 \geq 1 > 0\) olduğundan \(h(s) = \log(1 + s^2)\) bütün \(\mathbb{R}\) üzerinde diferansiyellenebilirdir. Tek değişkenli zincir kuralıyla

\[h'(s) = \dfrac{2s}{1 + s^2}.\]

Bileşke kuralı. Lemma 5.3 doğrudan uygulanır:

\[d\bigl(\log(1 + f^2)\bigr) = h'(f)\,df = \dfrac{2f}{1 + f^2}\,df.\]

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.11 (Uzaklık Fonksiyonunun Diferansiyeli) Başlangıç noktasına uzaklığı veren \(r = (x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}\) fonksiyonunun diferansiyelini, başlangıç noktası dışındaki noktalarda \(\sum f_i\,dx_i\) biçiminde yazınız.

Çözüm

Tanım kümesi. \(x\) ekseni üzerinde \(r(t, 0, 0) = |t|\) olduğundan \(r\)’nin başlangıç noktasında \(x\)’e göre kısmi türevi yoktur. Başlangıç noktası çıkarılmış uzay açık bir kümedir ve orada \(g = x^2 + y^2 + z^2 > 0\)’dır.

İç diferansiyel. Toplam kuralı ve \(d(x^2) = 2x\,dx\) ile \(dg = 2x\,dx + 2y\,dy + 2z\,dz\).

Bileşke kuralı. \(r = \sqrt{g}\) ve Alıştırma 5.9 gereği

\[dr = \dfrac{dg}{2\sqrt{g}} = \dfrac{x\,dx + y\,dy + z\,dz}{r}.\]

Standart biçim. Katsayıları ayırırsak

\[dr = \dfrac{x}{r}\,dx + \dfrac{y}{r}\,dy + \dfrac{z}{r}\,dz.\]

Yorum. \(\mathbf{p} = (3, 0, 4)\)’te \(r = 5\) ve \(dr(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = (3v_1 + 4v_3)/5\) olur. Dışarı doğru \(\mathbf{v} = (3, 0, 4)\) için değer \(25/5 = 5\)’tir; gerçekten \(r(\mathbf{p} + t\mathbf{p}) = 5(1 + t)\) ve türevi \(5\)’tir. Küreye teğet \(\mathbf{v} = (4, 0, -3)\) için değer \((12 - 12)/5 = 0\)’dır: bu yönde uzaklık ilk anda değişmez.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.12 (Açı Fonksiyonunun Diferansiyeli) \(\tan^{-1}(y/x)\) fonksiyonunun diferansiyelini, \(x \neq 0\) olan noktalarda \(\sum f_i\,dx_i\) biçiminde yazınız.

Çözüm

Tanım kümesi. \(x \neq 0\) olan noktaların kümesi açıktır ve \(y/x\) orada diferansiyellenebilirdir.

Bölümün diferansiyeli. \(h(s) = 1/s\) fonksiyonu \(s \neq 0\) olan her noktanın yakınında diferansiyellenebilirdir ve \(h'(s) = -1/s^2\); bileşke kuralının ardındaki not gereği \(d(1/x) = -dx/x^2\). Çarpım kuralı

\[d\Bigl(\dfrac{y}{x}\Bigr) = \dfrac{1}{x}\,dy + y\,d\Bigl(\dfrac{1}{x}\Bigr) = \dfrac{x\,dy - y\,dx}{x^2}\]

verir.

Ters tanjant. \(\tan^{-1}\) bütün \(\mathbb{R}\)’de diferansiyellenebilirdir ve türevi \(1/(1 + s^2)\)’dir. Bileşke kuralı ile

\[d\Bigl(\tan^{-1}\dfrac{y}{x}\Bigr) = \dfrac{1}{1 + y^2/x^2}\cdot\dfrac{x\,dy - y\,dx}{x^2} = \dfrac{x\,dy - y\,dx}{x^2 + y^2}.\]

Standart biçim.

\[d\Bigl(\tan^{-1}\dfrac{y}{x}\Bigr) = \dfrac{-y}{x^2 + y^2}\,dx + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\,dy + 0\,dz.\]

Yorum. \(x > 0\) olan yarı uzayda \(\tan^{-1}(y/x)\), noktanın \(xy\)-düzlemine izdüşümünün kutupsal açısıdır. \(\mathbf{p} = (1, 0, 0)\)’da birim çember boyunca saat yönünün tersine giden \(\mathbf{v} = (0, 1, 0)\) için değer \(1 \cdot 1/1 = 1\)’dir: açı birim hızla artar. Sonuçtaki 1-formun katsayıları \(x = 0\), \(y \neq 0\) noktalarında da anlamlıdır, ama \(\tan^{-1}(y/x)\) orada tanımlı değildir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.13 (Bir Polinomun Diferansiyeli ve Yönlü Türevi) \(f = xy^2 - yz^2\) olsun. \(df\)’yi bulunuz ve onu kullanarak \(\mathbf{p} = (0, -2, 1)\) noktasındaki \(\mathbf{v} = (1, 2, -3)\) vektörü için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısını hesaplayınız.

Çözüm

Diferansiyel. Çarpım kuralıyla \(d(xy^2) = y^2\,dx + 2xy\,dy\) ve \(d(yz^2) = z^2\,dy + 2yz\,dz\). Toplam kuralıyla

\[df = y^2\,dx + (2xy - z^2)\,dy - 2yz\,dz.\]

Katsayılar \(\mathbf{p}\)’de. \(\mathbf{p} = (0, -2, 1)\) için \(y^2 = 4\), \(2xy - z^2 = 0 - 1 = -1\) ve \(-2yz = -2(-2)(1) = 4\).

Yönlü türev. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\) olduğundan

\[\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 4 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 4 \cdot (-3) = 4 - 2 - 12 = -10.\]

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.14 (Üstel Bir Çarpımın Diferansiyeli ve Yönlü Türevi) \(f = xe^{yz}\) olsun. \(df\)’yi bulunuz ve onu kullanarak \(\mathbf{p} = (0, -2, 1)\) noktasındaki \(\mathbf{v} = (1, 2, -3)\) vektörü için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısını hesaplayınız.

Çözüm

Diferansiyel. Bileşke kuralı (\(h = \exp\), \(h' = \exp\)) ve çarpım kuralı ile \(d(yz) = z\,dy + y\,dz\) ve \(d(e^{yz}) = e^{yz}(z\,dy + y\,dz)\). Bir kez daha çarpım kuralıyla

\[df = e^{yz}\,dx + x\,d(e^{yz}) = e^{yz}\,dx + xze^{yz}\,dy + xye^{yz}\,dz.\]

Katsayılar \(\mathbf{p}\)’de. \(yz = -2\) olduğundan birinci katsayı \(e^{-2}\)’dir; \(x = 0\) olduğundan öteki iki katsayı \(0\)’dır.

Yönlü türev.

\[\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = e^{-2} \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot (-3) = e^{-2}.\]

Denetim. Doğru üzerinde \(f = t\,e^{(-2 + 2t)(1 - 3t)}\); bir \(t\,g(t)\) çarpımının \(t = 0\)’daki türevi \(g(0)\) olduğundan türev \(e^{-2}\)’dir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.15 (Trigonometrik Bir Çarpımın Diferansiyeli ve Yönlü Türevi) \(f = \sin(xy)\cos(xz)\) olsun. \(df\)’yi bulunuz ve onu kullanarak \(\mathbf{p} = (0, -2, 1)\) noktasındaki \(\mathbf{v} = (1, 2, -3)\) vektörü için \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) sayısını hesaplayınız.

Çözüm

Parçalar. Bileşke kuralıyla

\[\begin{aligned} d\bigl(\sin(xy)\bigr) &= \cos(xy)\,(y\,dx + x\,dy),\\ d\bigl(\cos(xz)\bigr) &= -\sin(xz)\,(z\,dx + x\,dz). \end{aligned}\]

Çarpım kuralı. \(f\), \(\sin(xy)\) ile \(\cos(xz)\)’nin çarpımı olduğundan

\[\begin{aligned} df &= \cos(xz)\,d\bigl(\sin(xy)\bigr) + \sin(xy)\,d\bigl(\cos(xz)\bigr)\\ &= \cos(xy)\cos(xz)\,(y\,dx + x\,dy)\\ &\quad - \sin(xy)\sin(xz)\,(z\,dx + x\,dz). \end{aligned}\]

Standart biçim. \(dx\) katsayılarını toplarsak

\[\begin{aligned} df &= \bigl(y\cos(xy)\cos(xz) - z\sin(xy)\sin(xz)\bigr)\,dx\\ &\quad + x\cos(xy)\cos(xz)\,dy - x\sin(xy)\sin(xz)\,dz. \end{aligned}\]

Katsayılar \(\mathbf{p}\)’de. \(x = 0\) olduğundan \(xy = xz = 0\), \(\cos 0 = 1\), \(\sin 0 = 0\). Katsayılar \(y = -2\), \(0\) ve \(0\) olur.

Yönlü türev.

\[\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = (-2) \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot (-3) = -2.\]

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.16 (Vektör Kısmının Koordinat Farkı) Her \((v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}}\) teğet vektörüne \(v_1 - v_3\) sayısını karşılık getiren \(\phi\) kuralı bir 1-form mudur? Öyleyse \(\phi\)’yi \(\sum f_i\,dx_i\) biçiminde yazınız.

Çözüm

Lineerlik. Aynı \(\mathbf{p}\) noktasındaki \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\), \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) ve \(a\), \(b\) sayıları için \(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\)’nin birinci ve üçüncü koordinatları \(av_1 + bw_1\) ve \(av_3 + bw_3\)’tür. Dolayısıyla

\[\phi(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}) = (av_1 + bw_1) - (av_3 + bw_3) = a(v_1 - v_3) + b(w_1 - w_3),\]

yani \(a\,\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + b\,\phi(\mathbf{w}_{\mathbf{p}})\). \(\phi\) bir 1-formdur.

Koordinat fonksiyonları. Lemma 5.1’na göre \(f_i = \phi(U_i)\). \(U_1(\mathbf{p}) = (1, 0, 0)_{\mathbf{p}}\) için değer \(1 - 0 = 1\); \(U_2\) için \(0 - 0 = 0\); \(U_3\) için \(0 - 1 = -1\). Dolayısıyla

\[\phi = dx_1 - dx_3 = dx - dz.\]

Bu 1-form, Örnek 5.19 gereği \(x - z\) fonksiyonunun diferansiyelidir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.17 (Uygulama Noktasının Koordinat Farkı) Her \((v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}}\) teğet vektörüne \(p_1 - p_3\) sayısını karşılık getiren \(\phi\) kuralı bir 1-form mudur? Öyleyse \(\phi\)’yi \(\sum f_i\,dx_i\) biçiminde yazınız.

Çözüm

Sıfır vektörü sınaması. Her 1-form her noktadaki sıfır vektörüne \(0\) verir. \(\mathbf{p} = (1, 0, 0)\) noktasında ise

\[\phi(\mathbf{0}_{\mathbf{p}}) = 1 - 0 = 1 \neq 0.\]

Dolayısıyla \(\phi\) bir 1-form değildir.

Lineerliğin doğrudan bozulması. Aynı noktada herhangi bir \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) için \(\phi(2\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 1\), oysa \(2\,\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 2\).

Not. \(p_1 = p_3\) olan noktalarda kural her oka \(0\) verir ve orada lineerdir. Ama tanım lineerliği her noktada ister; tek bir bozuk nokta yeter. Kuralın sorunu, değerin vektör kısmına hiç bağlı olmamasıdır.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.18 (Nokta ve Vektör Koordinatlarının Karışık Çarpımı) Her \((v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}}\) teğet vektörüne \(v_1p_3 + v_2p_1\) sayısını karşılık getiren \(\phi\) kuralı bir 1-form mudur? Öyleyse \(\phi\)’yi \(\sum f_i\,dx_i\) biçiminde yazınız.

Çözüm

Lineerlik. \(\mathbf{p}\) sabitlenince \(p_3\) ve \(p_1\) birer sayıdır; kural \(c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3\) biçimindedir (\(c_1 = p_3\), \(c_2 = p_1\), \(c_3 = 0\)). Örnek 5.4’daki hesap aynen geçerlidir: \(\phi\) her noktada lineerdir, dolayısıyla bir 1-formdur.

Koordinat fonksiyonları. \(\phi(U_1)(\mathbf{p}) = 1 \cdot p_3 + 0 = p_3\), \(\phi(U_2)(\mathbf{p}) = p_1\) ve \(\phi(U_3)(\mathbf{p}) = 0\). Fonksiyon olarak \(f_1 = z\), \(f_2 = x\), \(f_3 = 0\); yani

\[\phi = z\,dx + x\,dy.\]

Denetim. \((z\,dx + x\,dy)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = p_3v_1 + p_1v_2\); verilen kuralla aynıdır.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.19 (Bir Yönlü Türev Kuralı) Her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörüne \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[x^2 + y^2]\) sayısını karşılık getiren \(\phi\) kuralı bir 1-form mudur? Öyleyse \(\phi\)’yi \(\sum f_i\,dx_i\) biçiminde yazınız.

Çözüm

Bir diferansiyel. Diferansiyelin tanımı gereği \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[x^2 + y^2] = d(x^2 + y^2)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\). Yani \(\phi = d(x^2 + y^2)\) ve Önerme 5.3 gereği \(\phi\) bir 1-formdur.

Standart biçim. Toplam kuralı ve \(d(x^2) = 2x\,dx\), \(d(y^2) = 2y\,dy\) ile

\[\phi = 2x\,dx + 2y\,dy.\]

Denetim. Lemma 3.1 ile \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[x^2 + y^2] = 2p_1v_1 + 2p_2v_2\); bu, \(2x\,dx + 2y\,dy\)’nin \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)’deki değeridir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.20 (Sıfır Kuralı) Her teğet vektöre \(0\) sayısını karşılık getiren \(\phi\) kuralı bir 1-form mudur? Öyleyse \(\phi\)’yi \(\sum f_i\,dx_i\) biçiminde yazınız.

Çözüm

Lineerlik. Aynı noktadaki her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\), \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) ve \(a\), \(b\) için

\[\phi(a\mathbf{v}_{\mathbf{p}} + b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}) = 0 = a \cdot 0 + b \cdot 0 = a\,\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + b\,\phi(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}).\]

\(\phi\) bir 1-formdur; Örnek 5.12’daki sıfır 1-formdur.

Koordinat fonksiyonları. Her \(i\) için \(\phi(U_i) = 0\); dolayısıyla

\[\phi = 0\,dx + 0\,dy + 0\,dz.\]

Bu 1-form her sabit fonksiyonun diferansiyelidir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.21 (Birinci Koordinatın Karesi) Her \((v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}}\) teğet vektörüne \((p_1)^2\) sayısını karşılık getiren \(\phi\) kuralı bir 1-form mudur? Öyleyse \(\phi\)’yi \(\sum f_i\,dx_i\) biçiminde yazınız.

Çözüm

Sıfır vektörü sınaması. \(\mathbf{p} = (1, 0, 0)\)’da \(\phi(\mathbf{0}_{\mathbf{p}}) = 1^2 = 1 \neq 0\). Her 1-form sıfır vektörüne \(0\) verdiğinden \(\phi\) bir 1-form değildir.

Karşılaştırma. Noktanın koordinatları bir 1-formda yer alabilir, ama yalnızca vektör kısmının koordinatlarının katsayısı olarak. Örneğin \((p_1)^2\,v_1\) kuralı bir 1-formdur, \(x^2\,dx\)’tir. \((p_1)^2\) ise hiçbir \(v_i\) ile çarpılmamıştır: sabit bir \(\mathbf{p}\) için vektör kısmına bağlı olmayan bir “sabit terim”dir ve bu lineerliği bozar. Alıştırma 5.17’deki kural da aynı nedenle elenmişti.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.22 (Çarpım Kuralı Doğrudan Tanımdan) Lemma 5.2’nı, Sonuç 5.1’nü kullanmadan, doğrudan diferansiyelin tanımından ispatlayınız.

Çözüm

Ne gösterilecek. \(d(fg)\) ve \(g\,df + f\,dg\) birer 1-formdur; her teğet vektörde aynı değeri aldıklarını göstermek yeter.

Hesap. Keyfi bir \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) alalım. Diferansiyelin tanımı, Teorem 3.1’nin üçüncü özelliği (Leibniz kuralı), yine diferansiyelin tanımı ve Tanım 5.2 sırasıyla

\[\begin{aligned} d(fg)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) &= \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[fg] = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\cdot g(\mathbf{p}) + f(\mathbf{p})\cdot\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g]\\ &= g(\mathbf{p})\,df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + f(\mathbf{p})\,dg(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\\ &= (g\,df)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) + (f\,dg)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = (g\,df + f\,dg)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) \end{aligned}\]

verir. İkinci satırda sayıların çarpımının değişme özelliğini kullandık; üçüncü satırda fonksiyonla çarpımın tanımına göre \(g\) ve \(f\), okun uygulama noktası \(\mathbf{p}\)’de değerlendirildi. Her teğet vektörde değerler eşit olduğundan \(d(fg) = g\,df + f\,dg\).

Yorum. Bu ispat, diferansiyelin çarpım kuralının, yönlü türevin Leibniz kuralının teğet vektörler üzerinde okunuşundan ibaret olduğunu gösterir; koordinatlara hiç ihtiyaç yoktur.

Sayısal denetim. \(f = x\), \(g = y\), \(\mathbf{p} = (2, 3, 0)\), \(\mathbf{v} = (1, 1, 0)\) olsun. Kural \(d(xy) = y\,dx + x\,dy\) verir ve değer \(3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 5\) olur. Doğrudan: \((2 + t)(3 + t) = 6 + 5t + t^2\) ve türevi \(t = 0\)’da \(5\).

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.23 (Kritik Nokta Ölçütü) Bir \(\phi\) 1-formu, \(\mathbf{p}\)’deki her teğet vektör için \(\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 0\) oluyorsa \(\mathbf{p}\) noktasında sıfırdır denir. Bir \(f\) fonksiyonunun diferansiyeli \(df\)’nin sıfır olduğu noktalara \(f\)’nin kritik noktaları (critical point) denir. \(\mathbf{p}\)’nin \(f\)’nin bir kritik noktası olması için gerek ve yeter koşulun

\[\dfrac{\partial f}{\partial x}(\mathbf{p}) = \dfrac{\partial f}{\partial y}(\mathbf{p}) = \dfrac{\partial f}{\partial z}(\mathbf{p}) = 0\]

olduğunu ispatlayınız.

Çözüm

Araç. Sonuç 5.1 ve Örnek 5.14 gereği her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} = (v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}}\) için

\[df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p})\,v_i.\]

Koşul yeterlidir. Üç kısmi türev \(\mathbf{p}\)’de sıfırsa toplamın her terimi sıfırdır; dolayısıyla her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) için \(df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 0\) olur ve \(\mathbf{p}\) bir kritik noktadır.

Koşul gereklidir. \(\mathbf{p}\) bir kritik nokta olsun. \(j = 1, 2, 3\) için özel olarak \(U_j(\mathbf{p})\) teğet vektörünü alalım; vektör kısmının \(i\)-inci koordinatı \(\delta_{ij}\)’dir. Varsayım gereği

\[0 = df\bigl(U_j(\mathbf{p})\bigr) = \sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p})\,\delta_{ij} = \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(\mathbf{p}).\]

Böylece üç kısmi türev de \(\mathbf{p}\)’de sıfırdır.

Yorum. Aynı akıl yürütme genel olarak şunu verir: \(\phi = \sum f_i\,dx_i\) 1-formu \(\mathbf{p}\)’de ancak ve ancak \(f_1(\mathbf{p}) = f_2(\mathbf{p}) = f_3(\mathbf{p}) = 0\) ise sıfırdır. Kritik bir noktada \(f\), hiçbir yönde ilk mertebeden değişmez.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.24 (Kritik Noktaları Bulmak) \(f = (1 - x^2)y + (1 - y^2)z\) fonksiyonunun bütün kritik noktalarını bulunuz. Kısmi türevleri \(df\)’yi hesaplayarak elde ediniz.

Çözüm

Diferansiyel. Çarpım ve toplam kurallarıyla

\[\begin{aligned} d\bigl((1 - x^2)y\bigr) &= -2xy\,dx + (1 - x^2)\,dy,\\ d\bigl((1 - y^2)z\bigr) &= -2yz\,dy + (1 - y^2)\,dz. \end{aligned}\]

Toplarsak

\[df = -2xy\,dx + (1 - x^2 - 2yz)\,dy + (1 - y^2)\,dz.\]

Katsayılar \(f\)’nin kısmi türevleridir.

Denklemler. Alıştırma 5.23 gereği kritik noktalar

\[-2xy = 0, \qquad 1 - x^2 - 2yz = 0, \qquad 1 - y^2 = 0\]

sisteminin çözümleridir.

Çözüm. Üçüncü denklem \(y = 1\) ya da \(y = -1\) verir. Her iki durumda \(y \neq 0\) olduğundan birinci denklem \(x = 0\) gerektirir. İkinci denklem bu durumda \(1 - 2yz = 0\), yani \(z = 1/(2y)\) olur. \(y = 1\) için \(z = 1/2\), \(y = -1\) için \(z = -1/2\). Her adımda seçenekler zorunlu olduğundan başka çözüm yoktur. Kritik noktalar

\[\bigl(0, 1, \tfrac{1}{2}\bigr) \quad \text{ve} \quad \bigl(0, -1, -\tfrac{1}{2}\bigr),\]

ve \(f\)’nin buralardaki değerleri sırasıyla \(1\) ve \(-1\)’dir.

Geometri. İki nokta da \(x = 0\) düzlemindedir. Bu düzlemde \(f = y + z - y^2z\) olur ve

\[f - 1 = -(y - 1)(yz + z - 1), \qquad f + 1 = -(y + 1)(yz - z - 1)\]

çarpanlarına ayrılır. Dolayısıyla düzlemdeki \(f = 1\) seviye kümesi \(y = 1\) doğrusu ile \(z = 1/(1 + y)\) eğrisinin birleşimidir ve bu ikisi tam \(\bigl(0, 1, \tfrac{1}{2}\bigr)\)’de kesişir. \(f = -1\) seviye kümesi de \(y = -1\) doğrusu ile \(z = 1/(y - 1)\) eğrisinin birleşimidir ve kesişim \(\bigl(0, -1, -\tfrac{1}{2}\bigr)\)’dir.

x = 0 düzleminde f = y + z − y²z fonksiyonunun c = −2, −1, 0, 1, 2 seviye eğrileri: c > 0 için eğriler mavi, c < 0 için turuncu, c = 0 için gri; sağ kenardaki sayılar eğrilerin c değeridir. Kalın mavi f = 1 kümesi y = 1 doğrusu ile z = 1/(1 + y) eğrisinin birleşimidir ve ikisi kritik nokta (0, 1, 1/2)'de kesişir; kalın turuncu f = −1 kümesi y = −1 doğrusu ile z = 1/(y − 1) eğrisinden oluşur ve kesişim (0, −1, −1/2)'dir. Kesişen iki eğri noktanın çevresini dört bölgeye ayırır; f − 1 (ya da f + 1) bu bölgelerde sırayla işaret değiştirdiği için kritik noktalar ekstremum değildir.

Ekstremum değil. \(\bigl(0, 1, \tfrac{1}{2}\bigr)\)’de \(f\) ne yerel maksimum ne yerel minimum değerini alır. \(x\) ekseni yönünde \(f(s, 1, \tfrac{1}{2}) = 1 - s^2 < 1\) olur. Öte yandan küçük \(s > 0\) için \(y = 1 - s\), \(z = \tfrac{1}{2} + s\) koyunca \(f = 1 + \tfrac{3}{2}s^2 - s^3 > 1\) bulunur. Kritik nokta olmak ekstremum olmayı gerektirmez.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.25 (Yerel Ekstremumlar Kritik Noktalardır) Bir \(\varepsilon > 0\) sayısı bulunuyor ve \(\mathbf{p}\)’ye uzaklığı \(\varepsilon\)’dan küçük her \(\mathbf{q}\) için \(f(\mathbf{q}) \leq f(\mathbf{p})\) oluyorsa \(f\)’nin \(\mathbf{p}\)’de yerel maksimumu (local maximum) vardır denir. Eşitsizlik \(f(\mathbf{q}) \geq f(\mathbf{p})\) ise yerel minimum (local minimum) söz konusudur. Diferansiyellenebilir bir \(f\)’nin yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının kritik nokta olduğunu ispatlayınız.

Çözüm

Yerel maksimum. \(f\)’nin \(\mathbf{p}\)’de yerel maksimumu olsun ve \(\varepsilon\) tanımdaki sayı olsun. \(df\)’nin \(\mathbf{p}\)’de sıfır olduğunu, yani her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) için \(df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 0\) olduğunu göstereceğiz. \(\mathbf{v} = \mathbf{0}\) ise bu doğrudur. \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\) olsun ve \(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\) yazalım.

Tek değişkene indirgeme. \(g(t) = f(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\) tek değişkenli ve türevlenebilir bir fonksiyondur ve tanım gereği \(g'(0) = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\). \(\mathbf{p}\) ile \(\mathbf{p} + t\mathbf{v}\) arasındaki uzaklık \(|t|\,\|\mathbf{v}\|\) olduğundan, \(\delta = \varepsilon/\|\mathbf{v}\|\) için \(|t| < \delta\) iken \(g(t) \leq g(0)\).

İşaret incelemesi. \(0 < t < \delta\) için

\[\dfrac{g(t) - g(0)}{t} \leq 0,\]

çünkü pay sıfırdan büyük değil, payda pozitiftir; \(t \to 0^+\) limitinde \(g'(0) \leq 0\) bulunur. \(-\delta < t < 0\) için pay yine sıfırdan büyük değil ama payda negatiftir; oran \(\geq 0\) olur ve \(t \to 0^-\) limitinde \(g'(0) \geq 0\). İki eşitsizlik birlikte \(g'(0) = 0\) verir.

Sonuç. Her \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) için \(df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 0\); yani \(df\), \(\mathbf{p}\)’de sıfırdır ve \(\mathbf{p}\) bir kritik noktadır.

Yerel minimum. \(f\)’nin \(\mathbf{p}\)’de yerel minimumu varsa \(-f\)’nin orada yerel maksimumu vardır. Yukarıdaki sonuç \(d(-f)\)’nin \(\mathbf{p}\)’de sıfır olduğunu söyler. Önerme 5.4 gereği \(d(-f) = -df\) olduğundan \(df\) de \(\mathbf{p}\)’de sıfırdır.

Tersi yanlıştır. \(f = x^3 - 3x + y^2\) fonksiyonu \(z\)’ye bağlı değildir ve

\[df = (3x^2 - 3)\,dx + 2y\,dy.\]

Kritik noktalar \(x = \pm 1\), \(y = 0\) olan noktalardır. \(f + 2 = (x - 1)^2(x + 2) + y^2\) özdeşliği, \(x > -2\) iken sağ tarafın negatif olmadığını gösterir; dolayısıyla \(x = 1\), \(y = 0\) noktalarında yerel minimum vardır ve değer \(-2\)’dir. \(f - 2 = (x + 1)^2(x - 2) + y^2\) özdeşliği ise \(x = -1\), \(y = 0\) noktalarında durumu gösterir: \(x\) yönünde \(f(-1 + s, 0, z) = 2 - 3s^2 + s^3\) küçük \(s \neq 0\) için \(2\)’den küçüktür; \(y\) yönünde ise \(f(-1, s, z) = 2 + s^2\), \(2\)’den büyüktür. Burada \(df\) sıfırdır ama \(f\)’nin ne yerel maksimumu ne yerel minimumu vardır.

f = x³ − 3x + y² fonksiyonunun xy-düzlemindeki seviye eğrileri; f, z'ye bağlı olmadığından her z için aynı resim görülür. Mavi eğrilerin (c = −1,5; −1; 0; 1) ilmeğin içindeki kapalı parçaları (1, 0)'a doğru iç içe küçülür: orada f'nin yerel minimumu vardır ve değeri −2'dir. Kalın c = 2 eğrisi y² = (x + 1)²(2 − x) ise (−1, 0)'da kendini keser; bu noktanın solunda ve sağında f < 2 (mavi), altında ve üstünde f > 2 (turuncu) olduğundan df orada sıfır olduğu hâlde ekstremum yoktur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.26 (Lineer Yaklaşımın Anlamı) \(df\) için sık kullanılan bir ifade, onun \(f\)’deki \(\Delta f\) değişiminin lineer yaklaşımı (linear approximation) olduğudur. Bir \(\mathbf{p}\) noktası ve bir \(\mathbf{v}\) için \(\Delta f = f(\mathbf{p} + \mathbf{v}) - f(\mathbf{p})\) olsun. \(df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\) sayısının hangi anlamda \(\Delta f\)’nin lineer bir yaklaşımı olduğunu açıklayınız.

Çözüm

İfade iki ayrı iddia taşır; ikisini de kesinleştirelim. \(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\) yazalım.

Lineer. \(\mathbf{p}\) sabitken \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}} \mapsto df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\) bir lineer dönüşümdür (Önerme 5.3). \(\Delta f\) ise genelde \(\mathbf{v}\)’ye lineer bağlı değildir: \(\mathbf{v}\)’yi iki katına çıkarmak \(\Delta f\)’yi iki katına çıkarmaz.

Yaklaşım. Hata \(R(\mathbf{v}) = \Delta f - df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\) olsun. İddia, hatanın \(\mathbf{v}\)’nin kendisinden bile hızlı küçüldüğüdür:

\[\dfrac{R(\mathbf{v})}{\|\mathbf{v}\|} \to 0 \qquad (\mathbf{v} \to \mathbf{0}).\]

İspat. \(g(t) = f(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\) tek değişkenli türevlenebilir bir fonksiyondur ve \(\Delta f = g(1) - g(0)\). Ortalama değer teoremine göre \(\Delta f = g'(\theta)\) olacak biçimde bir \(\theta \in (0, 1)\) vardır. \(g(\theta + t) = f\bigl((\mathbf{p} + \theta\mathbf{v}) + t\mathbf{v}\bigr)\) olduğundan \(g'(\theta)\), \(\mathbf{v}\) vektör kısmının \(\mathbf{p} + \theta\mathbf{v}\)’de uygulanmasıyla elde edilen teğet vektöre göre türevdir; Lemma 3.1 ile \(g'(\theta) = \sum_i v_i\,\partial f/\partial x_i(\mathbf{p} + \theta\mathbf{v})\). Öte yandan \(df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \sum_i v_i\,\partial f/\partial x_i(\mathbf{p})\). Farkları

\[R(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^{3} v_i\Bigl(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p} + \theta\mathbf{v}) - \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p})\Bigr)\]

olur. Her \(i\) için \(|v_i| \leq \|\mathbf{v}\|\) olduğundan

\[\dfrac{|R(\mathbf{v})|}{\|\mathbf{v}\|} \leq \sum_{i=1}^{3} \Bigl|\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p} + \theta\mathbf{v}) - \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p})\Bigr|.\]

\(\mathbf{v} \to \mathbf{0}\) iken \(\mathbf{p} + \theta\mathbf{v}\) noktasının \(\mathbf{p}\)’ye uzaklığı \(\theta\|\mathbf{v}\| \leq \|\mathbf{v}\|\) sıfıra gider. \(f\) diferansiyellenebilir olduğundan kısmi türevleri süreklidir; sağdaki her fark, dolayısıyla toplam, sıfıra gider.

Teklik. Bu özelliği taşıyan lineer kural yalnızca \(df_{\mathbf{p}}\)’dir. \(L\), \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\) üzerinde aynı özelliği taşıyan bir lineer dönüşüm olsun. İki hatanın farkı alınınca \(\bigl(df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) - L(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\bigr)/\|\mathbf{v}\| \to 0\) olur. Sabit bir \(\mathbf{w} \neq \mathbf{0}\) için \(\mathbf{v} = s\mathbf{w}\) alıp \(s \to 0^+\) yaklaşalım; lineerlik gereği oran \(s\)’ye bağlı olmayan \(\bigl(df(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}) - L(\mathbf{w}_{\mathbf{p}})\bigr)/\|\mathbf{w}\|\) sayısıdır. Sıfıra gidiyorsa sıfırdır. Yani \(L = df_{\mathbf{p}}\).

Özet. \(df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\), \(\Delta f\)’ye küçük \(\mathbf{v}\)’ler için, hatası \(\|\mathbf{v}\|\)’ye oranla ihmal edilebilir olacak biçimde yaklaşan tek lineer ifadedir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.27 (Lineer Yaklaşım Sayılarla) \(f = x^2y/z\) olsun. Koordinatları noktalı virgülle ayırarak yazarsak, \(f(0{,}9;\ 1{,}6;\ 1{,}2) - f(1;\ 1{,}5;\ 1)\) farkının gerçek değerini ve \(df\) ile verilen yaklaşık değerini hesaplayınız.

Çözüm

Tanım kümesi. \(f\), \(z \neq 0\) olan noktalarda tanımlı ve diferansiyellenebilirdir; iki nokta da \(z > 0\) bölgesindedir.

Nokta ve vektör. \(\mathbf{p} = (1;\ 1{,}5;\ 1)\) ve \(\mathbf{p} + \mathbf{v} = (0{,}9;\ 1{,}6;\ 1{,}2)\) olduğundan \(\mathbf{v} = (-0{,}1;\ 0{,}1;\ 0{,}2)\).

Gerçek fark. İki değer

\[f(\mathbf{p} + \mathbf{v}) = \dfrac{0{,}81 \cdot 1{,}6}{1{,}2} = \dfrac{1{,}296}{1{,}2} = 1{,}08, \qquad f(\mathbf{p}) = \dfrac{1 \cdot 1{,}5}{1} = 1{,}5\]

olduğundan

\[\Delta f = 1{,}08 - 1{,}5 = -0{,}42.\]

Diferansiyel. \(f = x^2 \cdot y \cdot z^{-1}\) çarpımına çarpım kuralı ve \(d(1/z) = -dz/z^2\) uygulanırsa

\[df = \dfrac{2xy}{z}\,dx + \dfrac{x^2}{z}\,dy - \dfrac{x^2y}{z^2}\,dz.\]

\(\mathbf{p}\)’de katsayılar \(2 \cdot 1 \cdot 1{,}5 = 3\), \(1\) ve \(-1{,}5\)’tir.

Yaklaşık fark.

\[df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 3 \cdot (-0{,}1) + 1 \cdot 0{,}1 + (-1{,}5) \cdot 0{,}2 = -0{,}3 + 0{,}1 - 0{,}3 = -0{,}5.\]

Hata. Gerçek fark ile yaklaşık fark arasındaki hata \(-0{,}42 - (-0{,}5) = 0{,}08\)’dir. Burada \(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{0{,}06} \approx 0{,}245\); adım çok küçük olmadığından hata da göz ardı edilecek kadar küçük değildir.

Adımı küçültmek. Aynı yönde \(\mathbf{v}/k\) adımları için değerler şöyledir (\(df\) sütunu lineerlik gereği tam olarak \(-0{,}5/k\)’dır):

\(k\)	gerçek \(\Delta f\)	\(df\) ile	hata
\(1\)	\(-0{,}42\)	\(-0{,}5\)	\(0{,}08\)
\(2\)	\(-0{,}2283\)	\(-0{,}25\)	\(0{,}0217\)
\(10\)	\(-0{,}04907\)	\(-0{,}05\)	\(0{,}00093\)

Adım \(k\) kez küçülünce yaklaşık değer \(k\) kez küçülür, hata ise yaklaşık \(k^2\) kez küçülür (\(4\) kat ve \(86\) kat civarı). Alıştırma 5.26’daki \(R(\mathbf{v})/\|\mathbf{v}\| \to 0\) davranışı budur.

p = (1; 1,5; 1) noktasından v = (−0,1; 0,1; 0,2) yönünde giderken f = x²y/z'nin aldığı değerler mavi eğridir; turuncu kesikli doğru, eğrinin t = 0'daki teğeti 1,5 − 0,5t'dir. t = 1'de, yani p + v noktasında, eğri 1,5'ten 1,08'e iner ve gerçek fark −0,42 olur; teğet ise 1,0'a iner ve bu düşüş, teğetin eğimi olan df(v_p) = −0,5'tir. İki nokta arasındaki 0,08'lik aralık lineer yaklaşımın hatasıdır: eğri teğetten ancak bükülerek ayrıldığı için bu aralık, adım küçüldükçe adımın kendisinden çok daha hızlı küçülür.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.28 (Diferansiyeli Verilen Fonksiyon) Diferansiyeli

\[2xy\,dx + (x^2 + \cos z)\,dy - y\sin z\,dz\]

1-formu olan bir \(f\) fonksiyonu bulunuz.

Çözüm

Koşullar. Sonuç 5.1 ve Lemma 5.1’ndaki teklik gereği \(df\)’nin verilen 1-forma eşit olması, üç kısmi türev koşuluna denktir:

\[\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 + \cos z, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial z} = -y\sin z.\]

Birinci koşul. \(g = f - x^2y\) için \(\partial g/\partial x = 0\) olur. \(y\) ve \(z\) sabit tutulunca \(t \mapsto g(t, y, z)\) fonksiyonunun türevi her yerde sıfırdır; ortalama değer teoremi gereği sabittir. Demek ki \(g\) yalnızca \(y\) ve \(z\)’ye bağlıdır: \(f = x^2y + C(y, z)\).

İkinci koşul. \(\partial f/\partial y = x^2 + \partial C/\partial y\) olduğundan \(\partial C/\partial y = \cos z\). Aynı akıl yürütmeyle \(C = y\cos z + D(z)\).

Üçüncü koşul. \(\partial f/\partial z = -y\sin z + D'(z)\) olduğundan \(D'(z) = 0\) ve \(D\) bir sabit \(c\)’dir.

Sonuç ve denetim. \(f = x^2y + y\cos z + c\). Kurallarla: \(d(x^2y) = 2xy\,dx + x^2\,dy\) ve \(d(y\cos z) = \cos z\,dy - y\sin z\,dz\); toplam verilen 1-formdur. Alıştırma 5.30, cevabın bir sabit dışında tek olduğunu gösterir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.29 (Diferansiyel Olmayan Bir 1-Form) \(y\,dx\) 1-formunun hiçbir diferansiyellenebilir fonksiyonun diferansiyeli olmadığını ispatlayınız.

Çözüm

Varsayım. Bir \(f\) için \(df = y\,dx = y\,dx + 0\,dy + 0\,dz\) olsun.

Kısmi türevler. Sonuç 5.1 ve koordinat fonksiyonlarının tekliği gereği

\[\dfrac{\partial f}{\partial x} = y, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y} = 0, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial z} = 0.\]

Çelişki. Birinci eşitliğin \(y\)’ye göre türevi \(\partial^2 f/\partial y\,\partial x = 1\), ikincisinin \(x\)’e göre türevi \(\partial^2 f/\partial x\,\partial y = 0\) verir. Oysa Öklid uzayı bölümünde gördüğümüz gibi diferansiyellenebilir bir fonksiyonun karışık kısmi türevleri türev alma sırasına bağlı değildir. \(1 \neq 0\) olduğundan böyle bir \(f\) yoktur.

Genel ders. \(\phi = \sum f_i\,dx_i\) bir diferansiyelse, aynı akıl yürütme her \(i\), \(j\) için

\[\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j} = \dfrac{\partial f_j}{\partial x_i}\]

olmasını gerektirir. Bu koşul, Alıştırma 5.18’deki \(z\,dx + x\,dy\) için de bozulur (\(\partial z/\partial y = 0\), \(\partial x/\partial x = 1\)). Alıştırma 5.28’deki 1-form ise koşulu sağlar; örneğin \(2xy\)’nin \(y\)’ye göre türevi de \(x^2 + \cos z\)’nin \(x\)’e göre türevi de \(2x\)’tir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 5.30 (Diferansiyeli Sıfır Olan Fonksiyon) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde diferansiyellenebilir bir \(f\) fonksiyonu için \(df = 0\) ise \(f\)’nin sabit olduğunu ispatlayınız.

Çözüm

Bir doğru parçasına indirgeme. Bir \(\mathbf{p}\) noktası sabitleyelim ve \(g(t) = f(t\mathbf{p})\) tanımlayalım; \(t = 0\)’da başlangıç noktasındayız, \(t = 1\)’de \(\mathbf{p}\)’deyiz.

Türev. Her \(s\) için \(g(s + t) = f(s\mathbf{p} + t\mathbf{p})\) olduğundan \(g'(s)\), vektör kısmı \(\mathbf{p}\) olan ve \(s\mathbf{p}\) noktasında uygulanan teğet vektöre göre \(f\)’nin türevidir. Diferansiyelin tanımı gereği bu sayı \(df\)’nin o teğet vektördeki değeridir ve varsayım gereği \(0\)’dır. Yani her \(s\) için \(g'(s) = 0\).

Sonuç. Türevi her yerde sıfır olan tek değişkenli bir fonksiyon, ortalama değer teoremi gereği sabittir. Dolayısıyla \(f(\mathbf{p}) = g(1) = g(0) = f(\mathbf{0})\). \(\mathbf{p}\) keyfi olduğundan \(f\), \(f(\mathbf{0})\) değerini alan sabit fonksiyondur.

Teklik. \(df = dg\) ise \(d(f - g) = df - dg = 0\) (Önerme 5.4) ve \(f - g\) sabittir. Aynı diferansiyele sahip iki fonksiyon bir sabitle farklıdır; Alıştırma 5.28’deki cevap bu anlamda tektir.

Uyarı. İspat, başlangıç noktasından \(\mathbf{p}\)’ye giden doğru parçasının tanım kümesinde kalmasını kullandı. Birbirinden kopuk parçalardan oluşan bir açık kümede sonuç yanlış olabilir: \(x \neq 0\) olan noktalarda \(x > 0\) için \(1\), \(x < 0\) için \(-1\) değerini alan fonksiyonun diferansiyeli sıfırdır ama fonksiyon sabit değildir.

\(\blacksquare\)

Bu bölümde kurduğumuz 1-formlar, diferansiyel formlar denen daha geniş bir sistemin ilk basamağıdır; bir sonraki Diferansiyel Formlar bölümünde formları kama çarpımıyla birbirleriyle çarpacak ve dış türevle türevleyerek bu sistemi 2-formlara ve 3-formlara genişleteceğiz.