6  Diferansiyel Formlar

Önceki bölümde (1-Formlar) teğet vektörlere her noktada lineer biçimde sayı veren 1-formları tanımladık ve her 1-formun \(f_1\,dx_1 + f_2\,dx_2 + f_3\,dx_3\) biçiminde tek türlü yazıldığını gördük. O bölümde 1-formları topladık, fonksiyonlarla çarptık ve bir fonksiyonun diferansiyelini aldık. İki soruyu ise hiç sormadık: iki 1-form birbiriyle çarpılabilir mi, ve bir 1-formun kendisinin bir türevi var mı? Bu bölüm bu iki soruya cevap veriyor.

Cevaplar bizi diferansiyel formlar (differential forms) denen daha geniş bir sisteme götürür. Bu sistemi katlı bir yapı gibi düşünebiliriz. En alt katta fonksiyonlar, bir üst katta 1-formlar, onun üstünde iki diferansiyelin çarpımından kurulan 2-formlar, en üstte de üç diferansiyelin çarpımından kurulan 3-formlar durur. Katlar arasında iki işlem gezinir: kama çarpımı iki formu çarparak dereceleri toplanmış yeni bir form üretir, dış türev ise bir formu bir üst kata taşır.

Bu kadar yapıya neden ihtiyaç duyalım? İlk neden hesap kolaylığıdır. Kama çarpımının kuralları, uzun bir kısmi türev hesabında sonunda birbirini götürecek terimleri daha ilk adımda siler. İkinci neden daha derindir: vektör analizinden tanıdığımız gradyan, rotasyonel ve diverjans işlemleri, aslında tek bir işlemin, dış türevin, farklı katlardaki görünümleridir. Bölümü bu gözlemi ispatlayarak bitireceğiz.

import { PLOTLY, watchTheme, fmt, sceneLayout, path, point, label, segment, arrow, surface, cylinder, render } from "../ojs/scene3d.js"

Plotly = require(PLOTLY)

theme = Generators.observe(watchTheme)

6.1 Formları Çarpmak ve Ters Değişme Kuralı

Elimizde iki tür malzeme var: \(\mathbb{R}^3\) üzerindeki fonksiyonlar ve \(dx_1\), \(dx_2\), \(dx_3\) koordinat diferansiyelleri. Bir 1-formu bu malzemeden yalnızca toplama ve fonksiyonla çarpma kullanarak kurarız; \(x\,dx + yz\,dy\) böyle bir ifadedir. Diferansiyelleri birbiriyle de çarpmaya izin verirsek \(e^x\,dx \wedge dz\) ya da \(xy\,dy \wedge dz + dx \wedge dy\) gibi yeni ifadeler ortaya çıkar. Şimdilik kabaca, bu yolla kurulan her ifadeye bir diferansiyel form diyeceğiz. Diferansiyeller arasındaki çarpımı \(\wedge\) işaretiyle gösteririz ve ona kama çarpımı (wedge product) deriz. Bu çarpımın ne kadar alışılmış, ne kadar alışılmadık davrandığını baştan belirleyelim.

Alışılmış olan kısım şudur. Formların toplamı ve kama çarpımı, sayılardaki gibi birleşme ve dağılma kurallarına uyar: her \(\phi\), \(\psi\), \(\theta\) formu için

\[(\phi \wedge \psi) \wedge \theta = \phi \wedge (\psi \wedge \theta), \qquad \phi \wedge (\psi + \theta) = \phi \wedge \psi + \phi \wedge \theta,\]

ve aynı dağılma kuralı soldan toplama için de geçerlidir. Birleşme kuralı sayesinde parantezleri yazmadan \(\phi \wedge \psi \wedge \theta\) yazabiliriz. Fonksiyonlar ise her şeyle serbestçe yer değiştirir: bir \(f\) fonksiyonu için \(f\,\phi = \phi\,f\) ve

\[(f\phi) \wedge \psi = f\,(\phi \wedge \psi) = \phi \wedge (f\psi).\]

Bir fonksiyonla bir formun çarpımını her zaman kama işareti koymadan, \(f\phi\) biçiminde yazarız.

Alışılmadık olan kısım değişme özelliğidir: \(dx_i \wedge dx_j\) ile \(dx_j \wedge dx_i\) genel olarak eşit değildir. Hangi kuralı koymamız gerektiğini görmek için, bu çarpımın ölçmesini istediğimiz bir büyüklüğe bakalım.

Örnek 6.1 (Düzlemde İşaretli Alan) Düzlemde iki vektör \(\mathbf{v} = (v_1, v_2)\) ve \(\mathbf{w} = (w_1, w_2)\) için

\[A(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = v_1w_2 - v_2w_1\]

sayısını tanımlayalım. \(\mathbf{v} = (3, 1)\) ve \(\mathbf{w} = (1, 2)\) için iki vektörün sırasını değiştirmenin \(A(\mathbf{v}, \mathbf{w})\) sayısını nasıl etkilediğini bulalım.

Çözüm

Değer. Tanımdan \(A(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5\).

Geometrik anlamı. \(\mathbf{v}\) ve \(\mathbf{w}\)’nin belirlediği paralelkenarın köşeleri \((0, 0)\), \((3, 1)\), \((4, 3)\) ve \((1, 2)\)’dir. Bu paralelkenar \([0, 4] \times [0, 3]\) dikdörtgeninin içindedir; dikdörtgenin alanı \(12\)’dir. Paralelkenarın dışında kalan parçalar, dik kenarları \(3\) ve \(1\) olan iki üçgen (her biri \(3/2\) alanlı), dik kenarları \(1\) ve \(2\) olan iki üçgen (her biri \(1\) alanlı) ve iki birim karedir. Dolayısıyla paralelkenarın alanı

\[12 - 2 \cdot \dfrac{3}{2} - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 5\]

olur. Demek ki \(A(\mathbf{v}, \mathbf{w})\) bu örnekte paralelkenarın alanıdır.

Sıra değişince. \(A(\mathbf{w}, \mathbf{v}) = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = -5\). Paralelkenar aynıdır, ama sayının işareti değişmiştir. Bu işaret yönü kaydeder: \(\mathbf{v}\)’den \(\mathbf{w}\)’ye saat yönünün tersine dönülürken sayı pozitif, \(\mathbf{w}\)’den \(\mathbf{v}\)’ye saat yönünde dönülürken negatiftir.

Genel olarak. Tanımda iki vektörün rolünü değiştirirsek

\[A(\mathbf{w}, \mathbf{v}) = w_1v_2 - w_2v_1 = -(v_1w_2 - v_2w_1) = -A(\mathbf{v}, \mathbf{w})\]

buluruz. Özel olarak \(\mathbf{w} = \mathbf{v}\) alınırsa \(A(\mathbf{v}, \mathbf{v}) = v_1v_2 - v_2v_1 = 0\); örneğin \(A\bigl((3, 1), (3, 1)\bigr) = 3 - 3 = 0\). Bu da geometrik olarak beklenir: aynı vektörün iki kopyası bir doğru parçasına çökmüş, alanı sıfır olan bir paralelkenar belirler.

v = (3, 1) ve w = (1, 2) vektörlerinin belirlediği, köşeleri (0, 0), (3, 1), (4, 3), (1, 2) olan paralelkenarın alanı 5’tir. Soldaki panelde v’den w’ye saat yönünün tersine dönülür ve A(v, w) = 5 olur; ortadaki panelde paralelkenar aynıdır, ama sıra değiştiği için w’den v’ye saat yönünde dönülür ve A(w, v) = −5 olur. Sağdaki panelde v iki kez alınmıştır: paralelkenar (0, 0) ile (6, 2) arasındaki doğru parçasına çöker ve A(v, v) = 0 olur.

Özetle bu sayı iki özelliğe sahiptir: sıra değişince işaret değiştirir ve tekrar eden vektörde sıfır olur. \(dx \wedge dy\) çarpımının da tam olarak bu tür bir büyüklüğü, iki teğet vektörün belirlediği paralelkenarın \(xy\)-düzlemine izdüşümünün işaretli alanını ölçmesini isteyeceğiz.

\(\blacksquare\)

Örneğin gösterdiği davranışı koordinat diferansiyellerine kural olarak koyarız. Kama çarpımı, her \(i\), \(j\) için

\[dx_i \wedge dx_j = -\,dx_j \wedge dx_i \qquad (1 \le i, j \le 3)\]

eşitliğine uyar. Bu eşitliğe ters değişme kuralı (alternation rule) denir.

Yani iki koordinat diferansiyelinin yerini değiştirmek, çarpımın işaretini değiştirir.

Formların çarpımını her zaman \(\wedge\) işaretiyle, sıradan çarpımdan ayırarak yazmamızın nedeni budur: işaret, hesabın her adımında bu kuralın unutulmaması için bir hatırlatmadır. Aynı kural, temel analizde iki değişkenli fonksiyonların Jacobi determinantında da sessizce iş başındadır; bunu alıştırmalarda göreceğiz (Alıştırma 6.21).

Ters değişme kuralı içinde gizli bir ikinci kural taşır; onu hemen çıkaralım.

Sonuç 6.1 (Tekrar Eden Çarpan Sıfırdır) Her \(i = 1, 2, 3\) için \(dx_i \wedge dx_i = 0\).

İspat

Ters değişme kuralında \(j = i\) alalım. Kural bu durumda

\[dx_i \wedge dx_i = -\,dx_i \wedge dx_i\]

der. İki yana \(dx_i \wedge dx_i\) ekleyelim: sol yan \(2\,dx_i \wedge dx_i\), sağ yan \(0\) olur. Şimdi iki yanı \(1/2\) sabit fonksiyonuyla çarpalım; fonksiyonla çarpım dağılma kuralına uyduğundan sol yan \(dx_i \wedge dx_i\), sağ yan yine \(0\) olur. Böylece \(dx_i \wedge dx_i = 0\).

\(\blacksquare\)

Bu sonuç kısaca “tekrar eden çarpan sıfırdır” (repeats are zero) diye akılda tutulur. Bir çarpımda sıfır bir çarpan bulunursa çarpımın tamamı sıfırdır: her \(\omega\) formu için dağılma kuralı \(0 \wedge \omega = (0 + 0) \wedge \omega = 0 \wedge \omega + 0 \wedge \omega\) verir ve iki yandan \(0 \wedge \omega\) çıkarılınca \(0 \wedge \omega = 0\) bulunur.

UyarıSayılarla karıştırmayın

Fonksiyonlar arasında \(x \cdot x = x^2\) sıfır değildir; ama \(dx \wedge dx = 0\)’dır. Fonksiyonlar formlarla yer değiştirir, \(x\,dy \wedge dz = dy \wedge x\,dz\); ama diferansiyeller birbiriyle yer değiştirince işaret değişir, \(dy \wedge dz = -\,dz \wedge dy\). Kama çarpımında hesap yaparken hangi çarpanın fonksiyon, hangisinin diferansiyel olduğunu her adımda ayırt etmek gerekir.

Örnek 6.2 (Üç Diferansiyelin Çarpımını Sıraya Koymak) \(dz \wedge dy \wedge dx\) çarpımını \(dx \wedge dy \wedge dz\) cinsinden yazalım.

Çözüm

Birleşme kuralı sayesinde ters değişme kuralını her adımda yan yana duran iki çarpana uygulayabiliriz. Her yer değiştirme işareti bir kez değiştirir.

Birinci adım. İlk iki çarpanın yerini değiştirelim: \(dz \wedge dy \wedge dx = -\,dy \wedge dz \wedge dx\).

İkinci adım. Son iki çarpanın yerini değiştirelim: \(-\,dy \wedge dz \wedge dx = dy \wedge dx \wedge dz\).

Üçüncü adım. Yine ilk iki çarpanın yerini değiştirelim: \(dy \wedge dx \wedge dz = -\,dx \wedge dy \wedge dz\).

Sonuç olarak

\[dz \wedge dy \wedge dx = -\,dx \wedge dy \wedge dz.\]

Aynı yöntemle üç farklı diferansiyelin altı sıralamasının hepsini yazabiliriz. Bir sıralamayı \(dx \wedge dy \wedge dz\)’ye çift sayıda yer değiştirmeyle getirebiliyorsak işaret \(+\), tek sayıda yer değiştirmeyle getirebiliyorsak \(-\) olur:

sıralama	\(dx \wedge dy \wedge dz\)	\(dy \wedge dz \wedge dx\)	\(dz \wedge dx \wedge dy\)	\(dx \wedge dz \wedge dy\)	\(dy \wedge dx \wedge dz\)	\(dz \wedge dy \wedge dx\)
işaret	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)

Örneğin \(dy \wedge dz \wedge dx\)’te önce \(dx\)’i \(dz\) ile, sonra \(dy\) ile yer değiştirerek başa getiririz; iki yer değiştirme işareti iki kez değiştirir ve sonuç \(+\,dx \wedge dy \wedge dz\) olur. Bu tabloyu bölüm boyunca sık kullanacağız.

\(\blacksquare\)

Örnek 6.3 (Bitişik Olmayan Bir Tekrar) \(dx \wedge dy \wedge dx\) çarpımının sıfır olduğunu gösterelim.

Çözüm

Tekrar eden iki \(dx\) yan yana değildir, bu yüzden Sonuç 6.1 doğrudan uygulanamaz. Önce onları yan yana getirelim. Son iki çarpanın yerini değiştirirsek

\[dx \wedge dy \wedge dx = -\,dx \wedge dx \wedge dy\]

olur. Sağ yanda \(dx \wedge dx = 0\) çarpanı vardır; birleşme kuralı ve sıfır çarpanlı çarpımın sıfır olması gereği \(dx \wedge dx \wedge dy = 0 \wedge dy = 0\). Dolayısıyla \(dx \wedge dy \wedge dx = 0\).

Aynı akıl yürütme genel bir ilke verir: bir çarpımda aynı diferansiyel nerede olursa olsun iki kez geçiyorsa, aradaki çarpanlarla yer değiştirerek onları yan yana getirebiliriz; bu yalnızca işareti etkiler, sonuç yine sıfırdır.

\(\blacksquare\)

6.2 \(p\)-Formlar ve Standart Yazımları

Bir diferansiyel formun her teriminde kaç tane koordinat diferansiyeli bulunduğu, formun hangi katta yaşadığını söyler. \(x\,dx + yz\,dy\) ifadesinin her teriminde bir diferansiyel, \(e^x\,dx \wedge dz\) teriminde iki diferansiyel vardır. Bu sayımı tanımın merkezine koyuyoruz.

Tanım 6.1 (Diferansiyel Form ve Derecesi) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir diferansiyel form, diferansiyellenebilir fonksiyonların \(dx_1\), \(dx_2\), \(dx_3\) koordinat diferansiyellerinin kama çarpımlarıyla çarpılıp toplanmasıyla elde edilen bir ifadedir; bu ifadeler birleşme ve dağılma kurallarına, fonksiyonların serbestçe yer değiştirmesine ve ters değişme kuralına göre hesaplanır.

Bir diferansiyel formun her teriminde tam \(p\) tane koordinat diferansiyeli bulunuyorsa forma bir \(p\)-form denir; \(p\) sayısı formun derecesidir (degree). Hiç diferansiyel içermeyen bir \(0\)-form, diferansiyellenebilir bir fonksiyondur.

Yani bir \(p\)-form, her teriminde bir fonksiyonla \(p\) tane koordinat diferansiyelinin çarpımı bulunan bir toplamdır.

\(p = 1\) için bu tanım önceki bölümün 1-formlarını verir: bir 1-form \(\sum f_i\,dx_i\) biçimindedir. 2-formlar ve 3-formlar için önceki bölümdeki gibi teğet vektörler üzerinde tanımlı fonksiyonlar kurmuyoruz; onları yukarıdaki kurallarla hesap yapılan ifadeler olarak kullanıyoruz. Yine de bu bölümde ispatlayacağımız hesap kuralları, formlara ileride nasıl bir anlam yüklenirse yüklensin değişmeden kullanılır.

Kurallar sayesinde her \(p\)-form, hangi sırayla yazılmış olursa olsun, dört kalıptan birine getirilebilir. \(x_1, x_2, x_3\) yerine \(x, y, z\) yazarak bu kalıpları sıralayalım.

Önerme 6.1 (Formların Standart Yazımları) \(\mathbb{R}^3\) üzerindeki her \(p\)-form, \(f\), \(g\), \(h\) diferansiyellenebilir fonksiyonlar olmak üzere aşağıdaki biçimlerden birinde yazılabilir:

\[\begin{aligned} &\text{0-form:} && f,\\ &\text{1-form:} && f\,dx + g\,dy + h\,dz,\\ &\text{2-form:} && f\,dx \wedge dy + g\,dx \wedge dz + h\,dy \wedge dz,\\ &\text{3-form:} && f\,dx \wedge dy \wedge dz. \end{aligned}\]

İspat

0-formlar. Terimleri fonksiyon olan bir toplam, fonksiyonların toplamıdır; diferansiyellenebilir fonksiyonların toplamı yine diferansiyellenebilirdir.

1-formlar. Her terim \(k\,dx_i\) biçimindedir. Aynı \(dx_i\)’yi içeren terimleri dağılma kuralıyla birleştiririz: \(k\,dx_i + l\,dx_i = (k + l)\,dx_i\). Sonunda en çok üç terim kalır.

2-formlar. Her terim \(k\,dx_i \wedge dx_j\) biçimindedir. \(i = j\) ise terim Sonuç 6.1 gereği sıfırdır ve atılır. \(i > j\) ise ters değişme kuralıyla terimi \(-k\,dx_j \wedge dx_i\) olarak yazarız; artık küçük indis öndedir. Böylece her terim \(dx \wedge dy\), \(dx \wedge dz\) ya da \(dy \wedge dz\) çarpımlarından birinin bir fonksiyon katıdır. Aynı çarpımı içeren terimleri 1-formlardaki gibi birleştirince istenen biçim çıkar.

3-formlar. Her terim \(k\,dx_i \wedge dx_j \wedge dx_l\) biçimindedir. İndislerden ikisi aynıysa, Örnek 6.3’daki gibi tekrar eden çarpanları yan yana getirip terimin sıfır olduğunu görürüz. Üç indis de farklıysa çarpım \(dx \wedge dy \wedge dz\)’nin bir yeniden sıralamasıdır; Örnek 6.2’daki tabloya göre \(\pm\,dx \wedge dy \wedge dz\)’ye eşittir. Kalan terimleri birleştirince \(f\,dx \wedge dy \wedge dz\) bulunur.

Her durumda yeni katsayılar, eski katsayıların \(\pm\) işaretli toplamlarıdır; bu yüzden diferansiyellenebilirdir.

\(\blacksquare\)

Bu yazımlara formların standart yazımı diyeceğiz. 1-formlar için standart yazımdaki katsayıların tek olduğunu önceki bölümde ispatlamıştık (Lemma 5.1). 2-formlar ve 3-formlar için de aynı şeyi sistemin bir kuralı olarak kabul ederiz: iki \(p\)-form ancak standart yazımlarındaki karşılıklı katsayılar eşitse eşittir. Kama çarpımı hesaplarına geçtiğimizde bu kuralın neden makul olduğunu bir yorumla göreceğiz.

Aynı dereceden iki formu toplamak için standart yazımlarındaki karşılıklı katsayıları toplarız. 1-formlar için bunu zaten biliyoruz; indis gösterimiyle

\[\sum_{i=1}^{3} f_i\,dx_i + \sum_{i=1}^{3} g_i\,dx_i = \sum_{i=1}^{3} (f_i + g_i)\,dx_i.\]

2-formlarda da aynı kural geçerlidir: dağılma kuralı gereği

\[\begin{aligned} &(f_1\,dx \wedge dy + g_1\,dx \wedge dz + h_1\,dy \wedge dz)\\ &\quad + (f_2\,dx \wedge dy + g_2\,dx \wedge dz + h_2\,dy \wedge dz)\\ &\quad = (f_1 + f_2)\,dx \wedge dy + (g_1 + g_2)\,dx \wedge dz + (h_1 + h_2)\,dy \wedge dz, \end{aligned}\]

ve 3-formlar için

\[f\,dx \wedge dy \wedge dz + g\,dx \wedge dy \wedge dz = (f + g)\,dx \wedge dy \wedge dz.\]

Örnek 6.4 (Bir 2-Formu Standart Biçime Getirmek) Aşağıdaki 2-formun standart yazımını bulalım:

\[\eta = 3\,dy \wedge dx + x\,dz \wedge dx + y\,dx \wedge dy + e^z\,dz \wedge dz.\]

Çözüm

Terimleri tek tek ele alalım.

Birinci terim. Ters değişme kuralıyla \(3\,dy \wedge dx = -3\,dx \wedge dy\).

İkinci terim. Yine ters değişme kuralıyla \(x\,dz \wedge dx = -x\,dx \wedge dz\).

Üçüncü terim. \(y\,dx \wedge dy\) zaten standart sıradadır.

Dördüncü terim. \(dz \wedge dz = 0\) olduğundan \(e^z\,dz \wedge dz = 0\).

Birleştirme. \(dx \wedge dy\) içeren iki terimi toplarsak

\[\eta = (y - 3)\,dx \wedge dy - x\,dx \wedge dz + 0\,dy \wedge dz.\]

Katsayılar \(f = y - 3\), \(g = -x\), \(h = 0\)’dır. Örneğin \(\mathbf{p} = (2, 5, 0)\) noktasında bu katsayılar \(2\), \(-2\) ve \(0\) değerini alır. Dördüncü terimin \(e^z\) katsayısı ne kadar karmaşık olursa olsun sonucu etkilemedi: tekrar eden çarpan terimi baştan siler.

\(\blacksquare\)

Örnek 6.5 (İki 2-Formun Toplamı) İki 2-form

\[\eta_1 = x\,dx \wedge dy + dy \wedge dz, \qquad \eta_2 = y\,dy \wedge dx - dy \wedge dz + z\,dx \wedge dz\]

olsun. \(\eta_1 + \eta_2\) toplamının standart yazımını bulalım.

Çözüm

Önce standart yazım. \(\eta_1\) standart biçimdedir: katsayıları \(x\), \(0\), \(1\). \(\eta_2\)’nin ilk terimi sırasızdır; \(y\,dy \wedge dx = -y\,dx \wedge dy\). Böylece

\[\eta_2 = -y\,dx \wedge dy + z\,dx \wedge dz - dy \wedge dz,\]

katsayıları \(-y\), \(z\), \(-1\).

Toplam. Karşılıklı katsayıları toplarsak

\[\eta_1 + \eta_2 = (x - y)\,dx \wedge dy + z\,dx \wedge dz.\]

\(dy \wedge dz\)’nin katsayısı \(1 + (-1) = 0\) olduğundan bu terim kaybolur. Katsayıları toplamadan önce standart yazıma geçmek şarttır: \(\eta_2\)’deki \(y\,dy \wedge dx\) terimini doğrudan \(x\,dx \wedge dy\) ile birleştirip \((x + y)\,dx \wedge dy\) yazmak yanlış olurdu.

\(\blacksquare\)

Örnek 6.6 (Derecesi Olmayan Bir Form) \(\omega = x\,dx + dy \wedge dz\) ifadesinin bir \(p\)-form olup olmadığını belirleyelim.

Çözüm

\(\omega\)’nın birinci teriminde bir, ikinci teriminde iki koordinat diferansiyeli vardır. Bir \(p\)-formun bütün terimlerinde aynı sayıda diferansiyel bulunmalıdır; bu yüzden \(\omega\) ne bir 1-form ne bir 2-formdur. Terimleri ters değişme kuralıyla yeniden düzenlemek bir terimdeki diferansiyel sayısını değiştirmez (en fazla terimi sıfırlar), dolayısıyla \(\omega\)’yı bir \(p\)-form olarak yazmanın başka bir yolu da yoktur.

\(\omega\) yine de bir diferansiyel formdur: bir 1-formla bir 2-formun toplamıdır. Bu bölümde yalnızca \(p\)-formlarla çalışacağız ve iki formu yalnızca dereceleri aynıysa toplayacağız.

Buna karşılık \(dx \wedge dy + dy \wedge dx\) bir 2-formdur ve ters değişme kuralı gereği sıfıra eşittir. Sıfır formu her derecenin bir formu sayılır.

\(\blacksquare\)

Tanımda \(p\)’nin \(3\)’ten büyük olmasına bir engel yoktu; ama üç boyutlu uzayda böyle formlar ilginç değildir.

Önerme 6.2 (Derecesi Üçten Büyük Formlar Sıfırdır) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde derecesi \(3\)’ten büyük her \(p\)-form sıfırdır.

İspat

\(p \ge 4\) olsun ve formun bir terimi \(k\,dx_{i_1} \wedge dx_{i_2} \wedge \cdots \wedge dx_{i_p}\) olsun.

Bir indis tekrar eder. \(p\) tane indisin her biri \(1\), \(2\), \(3\) sayılarından biridir. Dört ya da daha çok indis yalnızca üç değer alabildiğinden en az iki indis eşittir: \(r < s\) konumları için \(i_r = i_s\).

Tekrarları yan yana getirmek. \(s\) konumundaki çarpanı, solundaki çarpanlarla birer birer yer değiştirerek \(r + 1\) konumuna taşıyalım. Bu \(s - r - 1\) yer değiştirme demektir ve her biri işareti bir kez değiştirir. Sonuçta terim, \(\pm\) işaretiyle, içinde yan yana \(dx_{i_r} \wedge dx_{i_r}\) bulunan bir çarpıma eşit olur.

Sıfır. Sonuç 6.1 gereği bu çarpan sıfırdır; birleşme kuralı ve sıfır çarpanlı çarpımın sıfır olması gereği bütün terim sıfırdır. Her terim sıfır olduğundan form sıfırdır.

\(\blacksquare\)

Örnek 6.7 (Dört Diferansiyelin Çarpımı) \(dx \wedge dy \wedge dx \wedge dz\) çarpımını hesaplayalım.

Çözüm

Dört çarpan yalnızca üç farklı diferansiyelden seçildiği için bir tekrar olmalıdır; burada \(dx\) birinci ve üçüncü konumdadır. Üçüncü çarpanı ikinci çarpanla yer değiştirerek sola taşıyalım:

\[dx \wedge dy \wedge dx \wedge dz = -\,dx \wedge dx \wedge dy \wedge dz.\]

Sağ yanda \(dx \wedge dx = 0\) olduğundan çarpım \(0\)’dır. İspatın adımları bu örnekte tek tek görülüyor: tekrar bulundu, yan yana getirildi, sıfır çarpan her şeyi sildi.

\(\blacksquare\)

6.3 Kama Çarpımı Hesapları

Şimdi kuralları iş başında görelim. İki formun kama çarpımını hesaplamanın yolu her zaman aynıdır: dağılma kuralıyla bütün terimleri birbiriyle çarparız, fonksiyon katsayılarını her terimin başına toplarız, diferansiyellerin çarpımlarını ters değişme kuralı ve tekrar eden çarpan kuralıyla sadeleştirir, sonucu standart yazıma getiririz.

NotBir 2-form neyi ölçer?

İspatlarda kullanmayacağımız, ama kuralların neden bunlar olduğunu açıklayan bir yorum vardır. \(\phi\) ve \(\psi\) 1-formları ile aynı \(\mathbf{p}\) noktasındaki \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\), \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\) teğet vektörleri için

\[(\phi \wedge \psi)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}, \mathbf{w}_{\mathbf{p}}) = \phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\,\psi(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}) - \phi(\mathbf{w}_{\mathbf{p}})\,\psi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\]

sayısını düşünelim ve bunu katsayılarla çarpılmış toplamlara terim terim yayalım. İki vektörün yeri değişince bu sayının işareti değişir, iki vektör aynıysa sayı sıfırdır; \(\phi\) ile \(\psi\)’nin yeri değişince de işaret değişir. Özel olarak \(dx \wedge dy\), iki vektörün belirlediği paralelkenarın \(xy\)-düzlemine izdüşümünün işaretli alanını, yani \(v_1w_2 - v_2w_1\) sayısını verir (Örnek 6.1).

Bu yorumda doğal çatının vektörleri standart yazımın katsayılarını tek tek okur. Standart yazımdaki katsayıları \(f\), \(g\), \(h\) olan bir \(\eta\) 2-formu için

\[\begin{aligned} \eta\bigl(U_1(\mathbf{p}), U_2(\mathbf{p})\bigr) &= f(\mathbf{p}),\\ \eta\bigl(U_1(\mathbf{p}), U_3(\mathbf{p})\bigr) &= g(\mathbf{p}),\\ \eta\bigl(U_2(\mathbf{p}), U_3(\mathbf{p})\bigr) &= h(\mathbf{p}) \end{aligned}\]

olur; örneğin \(dx \wedge dz\), \(U_1(\mathbf{p})\) ile \(U_2(\mathbf{p})\) çiftine \(1 \cdot 0 - 0 \cdot 0 = 0\) değerini verir. Dolayısıyla eşit iki 2-formun katsayıları eşit olmak zorundadır; standart yazımın tekliği kuralı bu yüzden makuldür.

Örnek 6.8 (İki 1-Formun Kama Çarpımı) \(\phi = x\,dx - y\,dy\) ve \(\psi = z\,dx + x\,dz\) olsun. \(\phi \wedge \psi\) 2-formunun standart yazımını bulalım.

Çözüm

Dağıtma. Her iki terimi birbiriyle çarpıp katsayıları başa alırsak

\[\begin{aligned} \phi \wedge \psi &= (x\,dx - y\,dy) \wedge (z\,dx + x\,dz)\\ &= xz\,dx \wedge dx + x^2\,dx \wedge dz - yz\,dy \wedge dx - xy\,dy \wedge dz. \end{aligned}\]

Sadeleştirme. \(dx \wedge dx = 0\) olduğundan birinci terim düşer. Üçüncü terimde ters değişme kuralı \(dy \wedge dx = -\,dx \wedge dy\) verir; böylece \(-yz\,dy \wedge dx = yz\,dx \wedge dy\).

Sonuç.

\[\phi \wedge \psi = yz\,dx \wedge dy + x^2\,dx \wedge dz - xy\,dy \wedge dz.\]

İki 1-formun çarpımı bir 2-formdur. Katsayılar noktadan noktaya değişir; örneğin \(\mathbf{p} = (1, 2, 3)\)’te \(yz = 6\), \(x^2 = 1\) ve \(-xy = -2\) olur.

\(\blacksquare\)

Etkileşimli sahne: iki 1-formun çarpımının katsayıları. \(\mathbf{p} = (1, 2, 3)\) noktasında \(\phi\)’nin \(dx\), \(dy\), \(dz\) katsayıları \(\mathbf{a} = (1, -2, 0)\), \(\psi\)’ninkiler \(\mathbf{b} = (3, 0, 1)\)’dir; \(\phi \wedge \psi\)’nin oradaki \(6\), \(1\), \(-2\) katsayıları bu iki üçlünün \(2 \times 2\) determinantlarıdır: \(a_1b_2 - a_2b_1\), \(a_1b_3 - a_3b_1\) ve \(a_2b_3 - a_3b_2\). Sahne bu determinantlar için bir sezgi verir: \(\mathbf{a}\) ile \(\mathbf{b}\)’yi başlangıç noktasından çizilmiş oklar olarak düşünürsek, gerdikleri paralelkenarın \(xy\)-, \(xz\)- ve \(yz\)-düzlemlerine düşen gölgelerinin işaretli alanları (Örnek 6.1) tam bu üç sayıdır; mavi gölgelerin alanı pozitif, turuncu ve kesikli kenarlı gölgelerinki negatiftir. Sahneyi sürükleyerek döndürün ve \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) kaydırıcılarıyla \(\mathbf{b}\)’yi değiştirin: \(\mathbf{b}\), \(\mathbf{a}\)’ya paralel olunca (örneğin \(\mathbf{b} = (-1, 2, 0)\)) paralelkenar da üç gölge de çöker ve çarpım sıfır olur. \(\phi \leftrightarrow \psi\) anahtarı \(\psi \wedge \phi\)’yi gösterir: gölgeler yerinde kalır, üçünün de işareti değişir (Lemma 6.1).

viewof wedgeAreasControls = Inputs.form({
  b1: Inputs.range([-2, 3], { value: 3, step: 0.1, label: "b₁" }),
  b2: Inputs.range([-2, 2], { value: 0, step: 0.1, label: "b₂" }),
  b3: Inputs.range([-1.5, 1.5], { value: 1, step: 0.1, label: "b₃" }),
  swap: Inputs.toggle({ value: false, label: "φ ↔ ψ" })
})

wedgeAreasPlot = html`<div class="scene3d" role="img" aria-label="Dondurulebilir sahne: iki 1-formun katsayi vektorleri a ve b, gerdikleri paralelkenar ve bu paralelkenarin xy, xz, yz duzlemlerine dusen, isaretli alanlari kama carpiminin katsayilari olan golgeleri"></div>`

{
  const { b1, b2, b3, swap } = wedgeAreasControls;
  const a = [1, -2, 0];
  const b = [b1, b2, b3];
  const origin = [0, 0, 0];
  const add = (p, q) => p.map((c, k) => c + q[k]);
  const beyond = (q, gap) => {
    const length = Math.hypot(q[0], q[1], q[2]);
    return length < 1e-9 ? q : q.map((c) => c * (1 + gap / length));
  };
  const polyline = (points, color, { width = 3, dash = "solid", name = "" } = {}) => ({
    type: "scatter3d",
    mode: "lines",
    x: points.map((pt) => pt[0]),
    y: points.map((pt) => pt[1]),
    z: points.map((pt) => pt[2]),
    line: { color, width, dash },
    name,
    showlegend: Boolean(name),
    hoverinfo: "skip"
  });
  // The parallelogram spanned by p and q as a flat patch; hidden (not removed) when it has no area,
  // so that the trace list keeps the same length and order.
  const patch = (p, q, color, opacity, visible) => ({
    ...surface((s, t) => [0, 1, 2].map((k) => s * p[k] + t * q[k]), 0, 1, 0, 1, color, { opacity, nu: 2, nv: 2 }),
    visible
  });
  // The factor written first: phi ∧ psi, or psi ∧ phi when the order is reversed.
  const [first, second] = swap ? [b, a] : [a, b];
  const planes = [
    { i: 0, j: 1, name: "dx∧dy" },
    { i: 0, j: 2, name: "dx∧dz" },
    { i: 1, j: 2, name: "dy∧dz" }
  ].map((plane) => {
    const drop = (q) => q.map((c, k) => (k === plane.i || k === plane.j ? c : 0));
    const value = first[plane.i] * second[plane.j] - first[plane.j] * second[plane.i];
    const sign = value > 1e-9 ? 1 : value < -1e-9 ? -1 : 0;
    const color = sign > 0 ? theme.theory : sign < 0 ? theme.practice : theme.axis;
    return { ...plane, drop, p: drop(first), q: drop(second), value, sign, color };
  });
  const far = add(a, b);
  const area = Math.hypot(planes[0].value, planes[1].value, planes[2].value);
  const traces = [
    // Text traces first: their text never changes, and nothing before them can change the list length.
    ...planes.map((plane) => ({
      ...label(plane.drop(far).map((c) => c / 2), plane.name, theme.text, { position: "middle center", size: 12 }),
      visible: Math.abs(plane.value) > 1e-6
    })),
    label(beyond(a, 0.35), "a", theme.text),
    label(beyond(b, 0.35), "b", theme.base),
    patch(a, b, theme.surface, 0.12, area > 1e-6),
    ...planes.map((plane) => patch(plane.p, plane.q, plane.color, 0.2, Math.abs(plane.value) > 1e-6)),
    ...planes.map((plane) => polyline([origin, plane.p, add(plane.p, plane.q), plane.q, origin], plane.color, { dash: plane.sign < 0 ? "dash" : "solid" })),
    ...planes.map((plane) => segment(far, plane.drop(far), theme.axis, { width: 2, dash: "dot" })),
    polyline([a, far, b], theme.axis, { name: "a ile b'nin paralelkenarı" }),
    ...arrow(origin, a, theme.text, "a: φ'nin katsayıları"),
    ...arrow(origin, b, theme.base, "b: ψ'nin katsayıları")
  ];
  render(Plotly, wedgeAreasPlot, traces, sceneLayout(theme, { x: [-2.5, 4.5], y: [-4.5, 2.5], z: [-2, 2], eye: { x: -1.03, y: -1.03, z: 1.22 } }));
  const signed = (x) => fmt(x).replace("-", "−");
  const [p, q] = swap ? ["b", "a"] : ["a", "b"];
  const sub = ["₁", "₂", "₃"];
  const product = swap ? "ψ ∧ φ" : "φ ∧ ψ";
  // No-break spaces keep each term on one line when the read-out wraps.
  const nb = String.fromCharCode(160);
  const expanded = planes.map(({ value, name }, n) => {
    const text = signed(value);
    const negative = text.startsWith("−");
    const magnitude = negative ? text.slice(1) : text;
    return n === 0 ? `${text}${nb}${name}` : ` ${negative ? "−" : "+"}${nb}${magnitude}${nb}${name}`;
  }).join("");
  const minors = planes.map(({ i, j, value }) => [`${p}${sub[i]}${q}${sub[j]}`, "−", `${p}${sub[j]}${q}${sub[i]}`, "=", signed(value)].join(nb)).join("; ");
  const squares = planes.map(({ value }) => (signed(value).startsWith("−") ? `(${signed(value)})²` : `${signed(value)}²`)).join(" + ");
  return html`<div class="scene3d-readout">${product} = ${expanded}${swap ? " = −(φ ∧ ψ)" : ""}<br>xy-, xz- ve yz-düzlemlerindeki gölgelerin işaretli alanları: ${minors}<br>paralelkenarın alanı √(${squares}) = ${fmt(area)}${area > 1e-6 ? "" : " · a ile b paralel: çarpım sıfır"}</div>`;
}

Örnek 6.9 (Bir Paralelkenarın Koordinat Düzlemlerine İzdüşümleri) \(\phi = x\,dx - y\,dy\), \(\psi = z\,dx + x\,dz\), \(\mathbf{p} = (1, 2, 3)\), \(\mathbf{v} = (2, 0, 1)\) ve \(\mathbf{w} = (0, 3, 1)\) olsun. Yukarıdaki notta verilen yorumla \((\phi \wedge \psi)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}, \mathbf{w}_{\mathbf{p}})\) sayısını bulalım.

Çözüm

Doğrudan formülle. \(\mathbf{p}\)’de \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 3\) olduğundan bu noktada \(\phi\), \(dx - 2\,dy\) gibi; \(\psi\) ise \(3\,dx + dz\) gibi davranır. Buradan

\[\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 2, \qquad \phi(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}) = -6, \qquad \psi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 7, \qquad \psi(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}) = 1\]

bulunur. Nottaki formül

\[(\phi \wedge \psi)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}, \mathbf{w}_{\mathbf{p}}) = 2 \cdot 1 - (-6) \cdot 7 = 44\]

verir.

İzdüşüm alanlarıyla. \(\mathbf{v}\) ve \(\mathbf{w}\)’nin belirlediği paralelkenarı üç koordinat düzlemine izdüşürelim ve her izdüşümün işaretli alanını Örnek 6.1’daki formülle hesaplayalım. \(xy\)-düzleminde vektörler \((2, 0)\) ve \((0, 3)\) olur, işaretli alan \(2 \cdot 3 - 0 \cdot 0 = 6\). \(xz\)-düzleminde \((2, 1)\) ve \((0, 1)\) olur, alan \(2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 2\). \(yz\)-düzleminde \((0, 1)\) ve \((3, 1)\) olur, alan \(0 \cdot 1 - 1 \cdot 3 = -3\). Bunlar sırasıyla \(dx \wedge dy\), \(dx \wedge dz\) ve \(dy \wedge dz\)’nin bu vektör çiftine verdiği sayılardır.

Örnek 6.8’da \(\phi \wedge \psi\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki katsayılarını \(6\), \(1\), \(-2\) bulmuştuk. Standart yazımı terim terim değerlendirirsek

\[6 \cdot 6 + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-3) = 36 + 2 + 6 = 44\]

çıkar; iki yol aynı sayıyı verir. Demek ki bir 2-formun üç katsayısı, paralelkenarın üç koordinat düzlemine düşen gölgelerinin alanlarını tartan ağırlıklardır.

Bir gözlem. Paralelkenarın kendi alanının karesi \(|\mathbf{v}|^2|\mathbf{w}|^2 - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})^2\) sayısıdır; burada bu sayı \(5 \cdot 10 - 1 = 49\), yani alan \(7\)’dir. İzdüşüm alanlarının kareleri toplamı da \(36 + 4 + 9 = 49\)’dur: alanlar için bir Pitagoras bağıntısı.

Mavi ve turuncu oklar v = (2, 0, 1) ve w = (0, 3, 1) vektör kısımlarıdır; gerdikleri gri taralı paralelkenarın alanı 7’dir. Kesikli kılavuzlar köşeleri koordinat düzlemlerine indirir: gölgelerin işaretli alanları xy-düzlemindeki yeşil dikdörtgende 6, xz-düzlemindeki mavi paralelkenarda 2, yz-düzlemindeki turuncu paralelkenarda −3’tür. Bir 2-formun üç katsayısı bu üç alanı tartar; 6² + 2² + (−3)² = 7² eşitliği ise alanlar için bir Pitagoras bağıntısıdır.

\(\blacksquare\)

Örnek 6.10 (Üç 1-Formun Kama Çarpımı) \(\phi = x\,dx - y\,dy\), \(\psi = z\,dx + x\,dz\) ve \(\theta = z\,dy\) olsun. \(\theta \wedge \phi \wedge \psi\) 3-formunun standart yazımını bulalım.

Çözüm

Önceki hesabı kullanmak. Birleşme kuralı gereği \(\theta \wedge \phi \wedge \psi = \theta \wedge (\phi \wedge \psi)\) yazabiliriz. Örnek 6.8’dan \(\phi \wedge \psi\)’yi alıp dağıtırsak

\[\begin{aligned} \theta \wedge \phi \wedge \psi &= z\,dy \wedge (yz\,dx \wedge dy + x^2\,dx \wedge dz - xy\,dy \wedge dz)\\ &= yz^2\,dy \wedge dx \wedge dy + x^2z\,dy \wedge dx \wedge dz - xyz\,dy \wedge dy \wedge dz. \end{aligned}\]

Tekrarları atmak. Birinci terimde \(dy\), üçüncü terimde de \(dy\) iki kez geçer; Örnek 6.3 gereği bu iki terim sıfırdır.

Sıralamak. Ortadaki terimde ilk iki çarpanın yerini değiştirirsek \(dy \wedge dx \wedge dz = -\,dx \wedge dy \wedge dz\). Dolayısıyla

\[\theta \wedge \phi \wedge \psi = -x^2z\,dx \wedge dy \wedge dz.\]

Başka bir gruplamayla denetim. Önce

\[\begin{aligned} \theta \wedge \phi &= z\,dy \wedge (x\,dx - y\,dy)\\ &= xz\,dy \wedge dx - yz\,dy \wedge dy = -xz\,dx \wedge dy \end{aligned}\]

bulunur. Bunu \(\psi\) ile çarparsak

\[-xz\,dx \wedge dy \wedge (z\,dx + x\,dz) = -xz^2\,dx \wedge dy \wedge dx - x^2z\,dx \wedge dy \wedge dz,\]

ve birinci terim tekrar yüzünden sıfır olduğundan yine \(-x^2z\,dx \wedge dy \wedge dz\) elde edilir. Üç 1-formun çarpımı bir 3-formdur.

\(\blacksquare\)

Örnek 6.11 (Bir 1-Form ile Bir 2-Formun Kama Çarpımı) \(\phi = x\,dx - y\,dy\) ve \(\eta = y\,dx \wedge dz + x\,dy \wedge dz\) olsun. \(\phi \wedge \eta\) 3-formunun standart yazımını bulalım.

Çözüm

Dağıtma. Dört terim çıkar:

\[\begin{aligned} \phi \wedge \eta &= xy\,dx \wedge dx \wedge dz + x^2\,dx \wedge dy \wedge dz\\ &\quad - y^2\,dy \wedge dx \wedge dz - xy\,dy \wedge dy \wedge dz. \end{aligned}\]

Tekrarları atmak. Birinci terimde \(dx\), dördüncü terimde \(dy\) tekrar eder; ikisi de sıfırdır. Deneyimle bu terimleri yazmadan atlamayı öğreniriz: bir 1-formun \(dx\) terimini, \(dx\) içeren bir 2-form terimiyle çarpmaya hiç gerek yoktur.

Sıralamak. \(dy \wedge dx \wedge dz = -\,dx \wedge dy \wedge dz\) olduğundan üçüncü terim \(+y^2\,dx \wedge dy \wedge dz\) olur. Toplarsak

\[\phi \wedge \eta = (x^2 + y^2)\,dx \wedge dy \wedge dz.\]

Bir 1-formla bir 2-formun çarpımı bir 3-formdur. Katsayı \(x^2 + y^2\), \(z\) ekseni üzerindeki noktalarda sıfırdır, başka her yerde pozitiftir.

\(\blacksquare\)

Bu örneklerde çarpımın derecesi her seferinde çarpanların derecelerinin toplamı çıktı. Bu bir rastlantı değildir.

Önerme 6.3 (Kama Çarpımında Dereceler Toplanır) \(\phi\) bir \(p\)-form ve \(\psi\) bir \(q\)-form ise \(\phi \wedge \psi\) bir \((p + q)\)-formdur. Özel olarak \(p + q > 3\) ise \(\phi \wedge \psi = 0\).

İspat

Terim terim. \(\phi\)’nin bir terimi \(k\,dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_p}\), \(\psi\)’nin bir terimi \(l\,dx_{j_1} \wedge \cdots \wedge dx_{j_q}\) olsun. Fonksiyonlar serbestçe yer değiştirdiği ve çarpım birleşme kuralına uyduğu için bu iki terimin çarpımı

\[kl\,dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_p} \wedge dx_{j_1} \wedge \cdots \wedge dx_{j_q}\]

olur. Bu terimde \(kl\) diferansiyellenebilir bir fonksiyondur ve tam \(p + q\) tane koordinat diferansiyeli vardır.

Toplam. Dağılma kuralı gereği \(\phi \wedge \psi\), \(\phi\)’nin her terimiyle \(\psi\)’nin her teriminin çarpımlarının toplamıdır. Her biri \(p + q\) diferansiyel içerdiğinden \(\phi \wedge \psi\) bir \((p + q)\)-formdur.

Yüksek derece. \(p + q > 3\) ise Önerme 6.2 gereği bu form sıfırdır.

\(\blacksquare\)

Örnek 6.12 (Derece Sayımıyla Önceden Bilinen Bir Sonuç) \(\eta_1 = xy\,dx \wedge dy + dy \wedge dz\) ve \(\eta_2 = z\,dx \wedge dz\) 2-formlarının kama çarpımını hesaplayalım.

Çözüm

Önceden tahmin. Önerme 6.3 gereği iki 2-formun çarpımının derecesi \(2 + 2 = 4\)’tür; \(4 > 3\) olduğundan sonuç sıfır olmalıdır.

Hesap. Dağılma kuralı ve fonksiyonların yer değiştirmesiyle

\[\eta_1 \wedge \eta_2 = xyz\,dx \wedge dy \wedge dx \wedge dz + z\,dy \wedge dz \wedge dx \wedge dz.\]

Birinci terimde \(dx\), ikinci terimde \(dz\) iki kez geçer. Önerme 6.2’in ispatındaki gibi tekrar eden çarpanları yan yana getirince iki terim de sıfır olur; dolayısıyla \(\eta_1 \wedge \eta_2 = 0\).

Derece üç olunca. Tahminin yalnızca \(p + q > 3\) için geçerli olduğunu görmek için \(\eta_2\)’yi \(y\,dy\) 1-formuyla çarpalım. Bu kez derece \(1 + 2 = 3\)’tür ve sonuç sıfır değildir:

\[y\,dy \wedge z\,dx \wedge dz = yz\,dy \wedge dx \wedge dz = -yz\,dx \wedge dy \wedge dz.\]

\(\blacksquare\)

Sayılarla çarpımda \(ab = ba\) olur; formlarda ise sıranın ne etkisi olduğunu ayrıca incelememiz gerekir. İki 1-form için cevap, ters değişme kuralının aynısıdır.

Lemma 6.1 (İki 1-Formun Ters Değişmesi) \(\phi\) ve \(\psi\) 1-formlar ise

\[\phi \wedge \psi = -\,\psi \wedge \phi.\]

Özel olarak her 1-form için \(\phi \wedge \phi = 0\).

İspat

Koordinatlarla yazmak. \(\phi = \sum_i f_i\,dx_i\) ve \(\psi = \sum_j g_j\,dx_j\) olsun. Dağılma kuralı ve fonksiyonların yer değiştirmesi gereği

\[\phi \wedge \psi = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} f_i\,g_j\,dx_i \wedge dx_j.\]

Ters değişme. Her terimde ters değişme kuralını uygular ve fonksiyonların çarpımında \(f_ig_j = g_jf_i\) yazarsak

\[\begin{aligned} \phi \wedge \psi &= -\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} g_j\,f_i\,dx_j \wedge dx_i\\ &= -\sum_{j=1}^{3} \sum_{i=1}^{3} (g_j\,dx_j) \wedge (f_i\,dx_i) = -\,\psi \wedge \phi. \end{aligned}\]

Son adımda sonlu toplamların sırasını değiştirdik ve dağılma kuralını ters yönde kullandık.

Kendisiyle çarpım. \(\psi = \phi\) alınırsa \(\phi \wedge \phi = -\,\phi \wedge \phi\) olur; Sonuç 6.1’ın ispatındaki gibi iki yana \(\phi \wedge \phi\) ekleyip \(1/2\) ile çarparak \(\phi \wedge \phi = 0\) buluruz.

\(\blacksquare\)

Örnek 6.13 (Ters Sırada Çarpım) \(\phi = x\,dx - y\,dy\) ve \(\psi = z\,dx + x\,dz\) olsun. \(\psi \wedge \phi\)’nin Örnek 6.8’daki \(\phi \wedge \psi\) ile ilişkisini doğrudan hesapla bulalım.

Çözüm

Dağıtma.

\[\psi \wedge \phi = xz\,dx \wedge dx - yz\,dx \wedge dy + x^2\,dz \wedge dx - xy\,dz \wedge dy.\]

Sadeleştirme. Birinci terim sıfırdır. \(dz \wedge dx = -\,dx \wedge dz\) ve \(dz \wedge dy = -\,dy \wedge dz\) olduğundan

\[\psi \wedge \phi = -yz\,dx \wedge dy - x^2\,dx \wedge dz + xy\,dy \wedge dz.\]

Karşılaştırma. Önceki örnekte

\[\phi \wedge \psi = yz\,dx \wedge dy + x^2\,dx \wedge dz - xy\,dy \wedge dz\]

bulmuştuk. Üç katsayının hepsi işaret değiştirmiştir: \(\psi \wedge \phi = -\,\phi \wedge \psi\), tam da Lemma 6.1’nin söylediği gibi.

\(\blacksquare\)

Örnek 6.14 (Bir 1-Form ile Bir 2-Form Yer Değiştirince) \(\phi = x\,dx - y\,dy\) ve \(\eta = y\,dx \wedge dz + x\,dy \wedge dz\) olsun. \(\eta \wedge \phi\)’nin Örnek 6.11’daki \(\phi \wedge \eta\) ile ilişkisini doğrudan hesapla bulalım.

Çözüm

Dağıtma.

\[\begin{aligned} \eta \wedge \phi &= xy\,dx \wedge dz \wedge dx - y^2\,dx \wedge dz \wedge dy\\ &\quad + x^2\,dy \wedge dz \wedge dx - xy\,dy \wedge dz \wedge dy. \end{aligned}\]

Sadeleştirme. Birinci ve dördüncü terimlerde tekrar vardır, sıfırdırlar. Örnek 6.2’daki tabloya göre \(dx \wedge dz \wedge dy = -\,dx \wedge dy \wedge dz\) ve \(dy \wedge dz \wedge dx = +\,dx \wedge dy \wedge dz\). Dolayısıyla

\[\eta \wedge \phi = y^2\,dx \wedge dy \wedge dz + x^2\,dx \wedge dy \wedge dz = (x^2 + y^2)\,dx \wedge dy \wedge dz.\]

Karşılaştırma. Bu, \(\phi \wedge \eta\)’nın ta kendisidir: işaret değişmemiştir. Nedeni sayımdadır. Bir \(dx_i\)’yi iki diferansiyelin çarpımının öbür yanına geçirmek iki yer değiştirme gerektirir ve işaret iki kez değişip geri gelir. Lemma 6.1 yalnızca iki 1-form hakkındadır; “kama çarpımında sıra değişince hep eksi gelir” diye genellemek yanlıştır.

\(\blacksquare\)

6.4 Dış Türev

Önceki bölümün \(d\) işlemine (Tanım 5.5) katlar gözüyle bakalım: bu işlem en alt kattaki bir \(f\) fonksiyonunu, yani bir \(0\)-formu, bir üst kattaki \(df\) 1-formuna taşır. Aynı işi her katta yapan bir işlem kurmak zor değildir: bir formun katsayı fonksiyonlarının diferansiyellerini alır ve her birini kendi diferansiyel çarpımının önüne kama çarpımıyla yerleştiririz. Böylece her terime bir diferansiyel eklenir ve bir \(p\)-form bir \((p + 1)\)-forma dönüşür. İlk ve en önemli durum \(p = 1\)’dir.

Tanım 6.2 (Bir 1-Formun Dış Türevi) \(\phi = \sum_{i=1}^{3} f_i\,dx_i\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir 1-form olsun. \(\phi\)’nin dış türevi (exterior derivative)

\[d\phi = \sum_{i=1}^{3} df_i \wedge dx_i\]

2-formudur.

Yani \(\phi\)’nin dış türevini bulmak için her katsayıyı diferansiyeliyle değiştirir ve bu diferansiyeli kendi \(dx_i\)’sinin önüne kama çarpımıyla koyarız.

Tanımın anlamlı olması, \(f_i\) katsayılarının \(\phi\) tarafından tek türlü belirlenmesine dayanır (Lemma 5.1): aynı 1-formu iki farklı standart yazımla yazamayacağımız için \(d\phi\) yalnızca \(\phi\)’ye bağlıdır. \(df_i\)’leri kısmi türevlerle açarsak dış türevin koordinatlarla tam bir formülü çıkar.

Önerme 6.4 (Dış Türevin Koordinat Formülü) \(\phi = f_1\,dx_1 + f_2\,dx_2 + f_3\,dx_3\) ise

\[\begin{aligned} d\phi &= \left(\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} - \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}\right) dx_1 \wedge dx_2\\ &\quad + \left(\dfrac{\partial f_3}{\partial x_1} - \dfrac{\partial f_1}{\partial x_3}\right) dx_1 \wedge dx_3\\ &\quad + \left(\dfrac{\partial f_3}{\partial x_2} - \dfrac{\partial f_2}{\partial x_3}\right) dx_2 \wedge dx_3. \end{aligned}\]

İspat

Diferansiyelleri açmak. Sonuç 5.1 gereği her \(i\) için \(df_i = \sum_j (\partial f_i/\partial x_j)\,dx_j\). Bunu tanıma koyup dağıtırsak

\[d\phi = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}\,dx_j \wedge dx_i\]

buluruz. Bu toplamda dokuz terim vardır.

Tekrarlar. \(j = i\) olan üç terimde \(dx_i \wedge dx_i = 0\) bulunur; bu terimler sıfırdır.

Eşleştirme. Kalan altı terimi, aynı iki indisi içeren çiftler hâlinde toplayalım. \((i, j) = (2, 1)\) ve \((i, j) = (1, 2)\) terimleri

\[\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1}\,dx_1 \wedge dx_2 + \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}\,dx_2 \wedge dx_1 = \left(\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} - \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}\right) dx_1 \wedge dx_2\]

verir; burada ters değişme kuralıyla \(dx_2 \wedge dx_1 = -\,dx_1 \wedge dx_2\) yazdık. Aynı biçimde \((3, 1)\) ile \((1, 3)\) terimleri \(dx_1 \wedge dx_3\)’ün, \((3, 2)\) ile \((2, 3)\) terimleri de \(dx_2 \wedge dx_3\)’ün katsayısını verir. Üç katsayı formüldekilerdir.

\(\blacksquare\)

Bu formülün asıl yararı genel akıl yürütmelerdedir; örneğin alıştırmalarda \(d(df) = 0\) eşitliğini onunla ispatlayacağız. Somut bir 1-form verildiğinde ise altı kısmi türevi ezberden yerine koymak yerine tanımı uygulayıp kama çarpımının kurallarıyla sadeleştirmek daha az hataya açıktır.

Örnek 6.15 (Tanımla Bir Dış Türev Hesabı) \(\phi = xy\,dx + x^2\,dz\) 1-formunun dış türevini bulalım.

Çözüm

Katsayıların diferansiyelleri. \(\phi\)’nin katsayıları \(f_1 = xy\), \(f_2 = 0\), \(f_3 = x^2\)’dir. Lemma 5.2 gereği \(d(xy) = y\,dx + x\,dy\); Sonuç 5.1 gereği \(d(x^2) = 2x\,dx\).

Tanım. \(f_2 = 0\) terimi katkı vermez. Kalan iki terim

\[\begin{aligned} d\phi &= d(xy) \wedge dx + d(x^2) \wedge dz\\ &= (y\,dx + x\,dy) \wedge dx + 2x\,dx \wedge dz\\ &= x\,dy \wedge dx + 2x\,dx \wedge dz \end{aligned}\]

verir; \(y\,dx \wedge dx\) terimi tekrar yüzünden düştü.

Standart yazım. \(dy \wedge dx = -\,dx \wedge dy\) olduğundan

\[d\phi = -x\,dx \wedge dy + 2x\,dx \wedge dz.\]

Formülle denetim. Önerme 6.4’ndeki katsayılar: \(dx \wedge dy\) için \(0 - x = -x\); \(dx \wedge dz\) için \(2x - 0 = 2x\); \(dy \wedge dz\) için \(0 - 0 = 0\). Uyuşur.

\(\blacksquare\)

Örnek 6.16 (Bir Diferansiyel ile Bir Dönme Formu) \(\psi = -y\,dx + x\,dy\) 1-formunun dış türevinin, \(d(xy) = y\,dx + x\,dy\) diferansiyelinin dış türevinden nasıl ayrıldığını bulalım.

Çözüm

Dönme formu. Katsayılar \(-y\) ve \(x\)’tir; diferansiyelleri \(-dy\) ve \(dx\). Tanımdan

\[d\psi = (-dy) \wedge dx + dx \wedge dy = dx \wedge dy + dx \wedge dy = 2\,dx \wedge dy.\]

Diferansiyel. \(y\,dx + x\,dy\) için aynı hesap \(dy \wedge dx + dx \wedge dy = 0\) verir.

Karşılaştırma. İki 1-form yalnızca bir işaretle farklıdır, ama dış türevleri çok farklıdır. Bunun bir anlamı var: alıştırmalarda her diferansiyelin dış türevinin sıfır olduğunu ispatlayacağız (Alıştırma 6.8). Buna göre \(d\psi \neq 0\) olduğundan \(\psi\) hiçbir fonksiyonun diferansiyeli olamaz. Dış türev, bir 1-formun bir diferansiyel olmaktan ne kadar uzak olduğunu ölçen bir araçtır. Dönme adının nereden geldiğini bölümün sonunda göreceğiz: \(\psi\)’ye karşılık gelen vektör alanı başlangıç noktası çevresinde döner.

\(\blacksquare\)

Aynı fikir daha yüksek dereceli formlara da uygulanır. 3-formun dış türevi derecesi \(4\) olan bir form olacağından Önerme 6.2 gereği sıfırdır; asıl yeni durum 2-formlardır.

Tanım 6.3 (Bir 2-Formun ve Bir 3-Formun Dış Türevi) Standart yazımı

\[\eta = f\,dx \wedge dy + g\,dx \wedge dz + h\,dy \wedge dz\]

olan bir 2-formun dış türevi

\[d\eta = df \wedge dx \wedge dy + dg \wedge dx \wedge dz + dh \wedge dy \wedge dz\]

3-formudur. Bir 3-formun dış türevi \(0\)’dır.

Yani burada da katsayılar diferansiyelleriyle değiştirilir. Bu tanımı da koordinatlarla açalım. \(df \wedge dx \wedge dy\)’de \(df\)’nin \(dx\) ve \(dy\) terimleri tekrar yüzünden düşer ve yalnızca \(dz\) terimi kalır; aynı biçimde \(dg \wedge dx \wedge dz\)’de yalnızca \(dg\)’nin \(dy\) terimi, \(dh \wedge dy \wedge dz\)’de yalnızca \(dh\)’nin \(dx\) terimi kalır. Kalan üç terim

\[\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial z}\,dz \wedge dx \wedge dy &= \dfrac{\partial f}{\partial z}\,dx \wedge dy \wedge dz,\\ \dfrac{\partial g}{\partial y}\,dy \wedge dx \wedge dz &= -\dfrac{\partial g}{\partial y}\,dx \wedge dy \wedge dz,\\ \dfrac{\partial h}{\partial x}\,dx \wedge dy \wedge dz &= \dfrac{\partial h}{\partial x}\,dx \wedge dy \wedge dz \end{aligned}\]

olur. Toplarsak

\[d\eta = \left(\dfrac{\partial f}{\partial z} - \dfrac{\partial g}{\partial y} + \dfrac{\partial h}{\partial x}\right) dx \wedge dy \wedge dz.\]

İlk olarak dış türevin, önceki bölümdeki diferansiyel gibi lineer olduğunu gösterelim.

Önerme 6.5 (Dış Türevin Lineerliği) \(\phi\) ve \(\psi\) aynı dereceden iki form (\(0\)-, \(1\)-, \(2\)- ya da \(3\)-form), \(a\) ve \(b\) sayılar ise

\[d(a\phi + b\psi) = a\,d\phi + b\,d\psi.\]

İspat

0-formlar. \(\phi = f\) ve \(\psi = g\) fonksiyonlar olsun. Kısmi türev almak lineerdir:

\[\dfrac{\partial(af + bg)}{\partial x_i} = a\,\dfrac{\partial f}{\partial x_i} + b\,\dfrac{\partial g}{\partial x_i}.\]

Sonuç 5.1 ve dağılma kuralıyla

\[d(af + bg) = \sum_{i=1}^{3} \left(a\,\dfrac{\partial f}{\partial x_i} + b\,\dfrac{\partial g}{\partial x_i}\right) dx_i = a\,df + b\,dg.\]

1-formlar. \(\phi = \sum f_i\,dx_i\) ve \(\psi = \sum g_i\,dx_i\) olsun. \(a\phi + b\psi\)’nin standart yazımı \(\sum (af_i + bg_i)\,dx_i\)’dir. Tanım, \(0\)-formlar için az önce ispatladığımız eşitlik ve dağılma kuralı sırasıyla

\[\begin{aligned} d(a\phi + b\psi) &= \sum_{i=1}^{3} d(af_i + bg_i) \wedge dx_i = \sum_{i=1}^{3} (a\,df_i + b\,dg_i) \wedge dx_i\\ &= a\sum_{i=1}^{3} df_i \wedge dx_i + b\sum_{i=1}^{3} dg_i \wedge dx_i = a\,d\phi + b\,d\psi \end{aligned}\]

verir.

2-formlar. İki 2-formun standart yazımları

\[\begin{aligned} \phi &= f_1\,dx \wedge dy + g_1\,dx \wedge dz + h_1\,dy \wedge dz,\\ \psi &= f_2\,dx \wedge dy + g_2\,dx \wedge dz + h_2\,dy \wedge dz \end{aligned}\]

olsun. Dağılma kuralı ve fonksiyonların yer değiştirmesi gereği \(a\phi + b\psi\)’nin standart katsayıları \(af_1 + bf_2\), \(ag_1 + bg_2\) ve \(ah_1 + bh_2\)’dir. Tanım 6.3, \(0\)-formlar için az önce ispatladığımız eşitlik ve dağılma kuralı sırasıyla

\[\begin{aligned} d(a\phi + b\psi) &= d(af_1 + bf_2) \wedge dx \wedge dy\\ &\quad + d(ag_1 + bg_2) \wedge dx \wedge dz\\ &\quad + d(ah_1 + bh_2) \wedge dy \wedge dz\\ &= (a\,df_1 + b\,df_2) \wedge dx \wedge dy\\ &\quad + (a\,dg_1 + b\,dg_2) \wedge dx \wedge dz\\ &\quad + (a\,dh_1 + b\,dh_2) \wedge dy \wedge dz \end{aligned}\]

verir. Terimleri \(a\) ve \(b\) çarpanlarına göre gruplarsak

\[\begin{aligned} d(a\phi + b\psi) &= a\,(df_1 \wedge dx \wedge dy + dg_1 \wedge dx \wedge dz + dh_1 \wedge dy \wedge dz)\\ &\quad + b\,(df_2 \wedge dx \wedge dy + dg_2 \wedge dx \wedge dz + dh_2 \wedge dy \wedge dz)\\ &= a\,d\phi + b\,d\psi \end{aligned}\]

buluruz; son adımda yine Tanım 6.3 kullanıldı.

3-formlar. \(a\phi + b\psi\) de bir 3-formdur. Tanım gereği her 3-formun dış türevi \(0\) olduğundan sol yan \(0\), sağ yan \(a \cdot 0 + b \cdot 0 = 0\)’dır.

\(\blacksquare\)

Örnek 6.17 (Lineerlikle Dış Türev) \(\phi = xy\,dx + x^2\,dz\) ve \(\psi = z\,dy\) olsun. \(d(2\phi - 3\psi)\)’yi hem doğrudan hem de Önerme 6.5 ile bulalım.

Çözüm

Doğrudan. \(2\phi - 3\psi\)’nin \(dx\), \(dy\), \(dz\) katsayıları \(2xy\), \(-3z\) ve \(2x^2\)’dir. Tanımdan

\[\begin{aligned} d(2\phi - 3\psi) &= (2y\,dx + 2x\,dy) \wedge dx - 3\,dz \wedge dy + 4x\,dx \wedge dz\\ &= -2x\,dx \wedge dy + 4x\,dx \wedge dz + 3\,dy \wedge dz. \end{aligned}\]

Lineerlikle. Örnek 6.15’nda \(d\phi = -x\,dx \wedge dy + 2x\,dx \wedge dz\) bulmuştuk. \(d\psi = dz \wedge dy = -\,dy \wedge dz\). Dolayısıyla

\[2\,d\phi - 3\,d\psi = -2x\,dx \wedge dy + 4x\,dx \wedge dz + 3\,dy \wedge dz.\]

İki sonuç aynıdır.

\(\blacksquare\)

Dış türevi tanımlarken standart yazımı kullandık. Pratikte formlar çoğu zaman standart olmayan bir sırayla karşımıza çıkar; örneğin iki 1-formun çarpımı önce \(\sum f_ig_j\,dx_i \wedge dx_j\) biçiminde gelir. Aşağıdaki lemma, dış türevi standart yazıma geçmeden de hesaplayabileceğimizi söyler.

Lemma 6.2 (Dış Türev Her Yazılıştan Hesaplanabilir) Her \(i, j = 1, 2, 3\) için \(h_{ij}\) diferansiyellenebilir bir fonksiyon ve

\[\eta = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} h_{ij}\,dx_i \wedge dx_j\]

ise \(d\eta = \sum_{i,j} dh_{ij} \wedge dx_i \wedge dx_j\). Benzer biçimde \(\phi = \sum_k h_k\,dx_{i_k}\) sonlu bir toplamsa (indisler tekrar edebilir) \(d\phi = \sum_k dh_k \wedge dx_{i_k}\).

İspat

2-formlar için standart yazım. \(i = j\) terimleri sıfırdır. \(i > j\) terimlerini ters değişme kuralıyla çevirirsek \(\eta\)’nın standart katsayıları

\[f = h_{12} - h_{21}, \qquad g = h_{13} - h_{31}, \qquad h = h_{23} - h_{32}\]

olur.

Tanımı uygulamak. Tanım 6.3 ve \(0\)-formlar için lineerlik gereği

\[\begin{aligned} d\eta &= (dh_{12} - dh_{21}) \wedge dx_1 \wedge dx_2\\ &\quad + (dh_{13} - dh_{31}) \wedge dx_1 \wedge dx_3\\ &\quad + (dh_{23} - dh_{32}) \wedge dx_2 \wedge dx_3. \end{aligned}\]

Geri çevirmek. Son iki çarpanın yeri değişince işaret değiştiği için, örneğin

\[-\,dh_{21} \wedge dx_1 \wedge dx_2 = dh_{21} \wedge dx_2 \wedge dx_1\]

olur. Bütün eksi işaretli terimleri böyle çevirince \(d\eta\), \(i \neq j\) olan altı terimin \(dh_{ij} \wedge dx_i \wedge dx_j\) toplamı olur. \(i = j\) olan terimler de \(dh_{ii} \wedge dx_i \wedge dx_i = 0\) olduğundan toplama eklenebilir; böylece istenen eşitlik çıkar.

1-formlar. Her \(i\) için \(i_k = i\) olan \(h_k\)’ların toplamı standart katsayı \(f_i\)’dir. \(0\)-formlar için lineerlik gereği \(df_i\) bu \(h_k\)’ların diferansiyellerinin toplamıdır; tanıma koyup dağıtınca \(\sum_k dh_k \wedge dx_{i_k}\) bulunur.

Son olarak aynı sıralı \((i, j)\) çiftine ait birden çok terim varsa, önce katsayıları toplanarak lemmadaki biçime getirilir; lineerlik gereği bu, sonucu değiştirmez.

\(\blacksquare\)

Örnek 6.18 (Bir 2-Formun Dış Türevi) Aşağıdaki 2-formun dış türevini bulalım:

\[\eta = x^2\,dx \wedge dy + xyz\,dx \wedge dz + z\,dy \wedge dz.\]

Çözüm

Tanım. Katsayıların diferansiyelleri \(d(x^2) = 2x\,dx\), \(d(xyz) = yz\,dx + xz\,dy + xy\,dz\) ve \(dz\)’dir. Buna göre

\[d\eta = 2x\,dx \wedge dx \wedge dy + (yz\,dx + xz\,dy + xy\,dz) \wedge dx \wedge dz + dz \wedge dy \wedge dz.\]

Tekrarlar. Birinci ve üçüncü terimler tekrar yüzünden sıfırdır. Ortadaki terimde \(dx\) ve \(dz\) zaten var olduğundan yalnızca \(xz\,dy\) katkı verir:

\[d\eta = xz\,dy \wedge dx \wedge dz = -xz\,dx \wedge dy \wedge dz.\]

Formülle denetim. \(f = x^2\), \(g = xyz\), \(h = z\) için

\[\dfrac{\partial f}{\partial z} - \dfrac{\partial g}{\partial y} + \dfrac{\partial h}{\partial x} = 0 - xz + 0 = -xz.\]

Uyuşur.

\(\blacksquare\)

Örnek 6.19 (Sırasız Yazılmış Bir 2-Formun Dış Türevi) \(\eta = y^2\,dz \wedge dx\) 2-formunun dış türevini, önce standart yazıma geçerek ve sonra doğrudan Lemma 6.2 ile hesaplayıp karşılaştıralım.

Çözüm

Standart yazımla. \(\eta = -y^2\,dx \wedge dz\) olduğundan tanım

\[d\eta = -2y\,dy \wedge dx \wedge dz = 2y\,dx \wedge dy \wedge dz\]

verir.

Lemma ile. Sırayı değiştirmeden

\[d\eta = d(y^2) \wedge dz \wedge dx = 2y\,dy \wedge dz \wedge dx.\]

Örnek 6.2’daki tabloya göre \(dy \wedge dz \wedge dx = dx \wedge dy \wedge dz\); sonuç yine \(2y\,dx \wedge dy \wedge dz\).

İki yol aynı sonucu verir; lemma bize sıralama işini en sona bırakma serbestliği tanır.

\(\blacksquare\)

6.5 Dış Türev ve Kama Çarpımı

Fonksiyonlar için \(d(fg) = g\,df + f\,dg\) çarpım kuralını biliyoruz. Kama çarpımı da bir çarpım olduğuna göre, dış türevin onunla nasıl etkileştiğini sormak doğaldır. Aşağıdaki teorem bu kuralın üç kattaki biçimini verir; tek yeni ayrıntı, iki 1-formun çarpımında ortaya çıkan bir eksi işaretidir.

Teorem 6.1 (Dış Türevin Çarpım Kuralları) \(f\) ve \(g\) diferansiyellenebilir fonksiyonlar, \(\phi\) ve \(\psi\) 1-formlar olsun. O zaman

(1) \(d(fg) = df\,g + f\,dg\),

(2) \(d(f\phi) = df \wedge \phi + f\,d\phi\),

(3) \(d(\phi \wedge \psi) = d\phi \wedge \psi - \phi \wedge d\psi\).

Her zamanki gibi çarpım toplama ve çıkarmadan önce yapılır: üçüncü formülün sağ yanı \((d\phi \wedge \psi) - (\phi \wedge d\psi)\) diye okunur.

İspat

(1) Lemma 5.2 \(d(fg) = g\,df + f\,dg\) der. Fonksiyonlar formlarla yer değiştirdiğinden \(g\,df = df\,g\); bu, istenen eşitliktir.

(2) \(\phi = \sum_i f_i\,dx_i\) olsun. \(f\phi\)’nin standart yazımı \(\sum_i (ff_i)\,dx_i\)’dir. Tanım ve (1) gereği

\[d(f\phi) = \sum_{i=1}^{3} d(ff_i) \wedge dx_i = \sum_{i=1}^{3} (f_i\,df + f\,df_i) \wedge dx_i.\]

Dağılma kuralıyla iki toplama ayıralım. Birinci toplamda \(f_i\) fonksiyonunu \(df\)’nin sağına geçirebiliriz:

\[\sum_{i=1}^{3} f_i\,df \wedge dx_i = df \wedge \sum_{i=1}^{3} f_i\,dx_i = df \wedge \phi.\]

İkinci toplamda \(f\) ortak çarpandır; dışarı alınınca \(f \sum_i df_i \wedge dx_i = f\,d\phi\) kalır. İki toplam birlikte (2)’yi verir.

(3) \(\phi = \sum_i f_i\,dx_i\) ve \(\psi = \sum_j g_j\,dx_j\) olsun.

Çarpımın dış türevi. Lemma 6.1’nin ispatındaki gibi \(\phi \wedge \psi = \sum_{i,j} f_ig_j\,dx_i \wedge dx_j\). Lemma 6.2 ve (1) gereği

\[\begin{aligned} d(\phi \wedge \psi) &= \sum_{i,j} d(f_ig_j) \wedge dx_i \wedge dx_j\\ &= \sum_{i,j} g_j\,df_i \wedge dx_i \wedge dx_j + \sum_{i,j} f_i\,dg_j \wedge dx_i \wedge dx_j. \end{aligned}\]

Birinci toplam. \(g_j\) fonksiyonunu \(dx_j\)’nin önüne taşıyıp birleşme ve dağılma kurallarını kullanırsak

\[\sum_{i,j} (df_i \wedge dx_i) \wedge (g_j\,dx_j) = \Bigl(\sum_i df_i \wedge dx_i\Bigr) \wedge \Bigl(\sum_j g_j\,dx_j\Bigr) = d\phi \wedge \psi.\]

İkinci toplam ve eksi işareti. Burada \(dg_j\), \(dx_i\)’nin önünde duruyor; oysa \(\phi\)’nin parçası olan \(dx_i\)’nin başa, \(\psi\)’nin parçası olan \(dg_j\)’nin \(dx_j\)’nin yanına gitmesi gerekir. \(dg_j\) ve \(dx_i\) iki 1-formdur; Lemma 6.1 gereği \(dg_j \wedge dx_i = -\,dx_i \wedge dg_j\). Dolayısıyla

\[\sum_{i,j} f_i\,dg_j \wedge dx_i \wedge dx_j = -\sum_{i,j} (f_i\,dx_i) \wedge (dg_j \wedge dx_j) = -\,\phi \wedge d\psi.\]

İki toplamı birleştirince (3) çıkar.

\(\blacksquare\)

Eksi işaretini hatırlamak için \(d\)’yi bir an için formların soluna yazılan bir 1-form gibi düşünebiliriz. \(d\phi \wedge \psi\) teriminde \(d\) doğrudan \(\phi\)’nin önündedir. \(\phi \wedge d\psi\) teriminde ise \(d\), \(\psi\)’ye ulaşmak için \(\phi\) ile yer değiştirmek zorunda kalmıştır; iki 1-formun yer değiştirmesi Lemma 6.1 gereği bir eksi işareti getirir. (2)’de \(d\)’nin geçtiği \(f\) bir \(0\)-formdur, bu yüzden orada işaret değişmez.

Örnek 6.20 (Eksi İşaretinin Rolü) \(\phi = z\,dx\) ve \(\psi = z\,dy\) olsun. Teorem 6.1’nın üçüncü formülünün iki yanını ayrı ayrı hesaplayalım.

Çözüm

Sol yan. \(\phi \wedge \psi = z^2\,dx \wedge dy\) ve \(d(z^2) = 2z\,dz\) olduğundan

\[d(\phi \wedge \psi) = 2z\,dz \wedge dx \wedge dy = 2z\,dx \wedge dy \wedge dz;\]

son adımda \(dz \wedge dx \wedge dy\)’nin çift sayıda yer değiştirmeyle \(dx \wedge dy \wedge dz\)’ye geldiğini kullandık.

Birinci terim. \(d\phi = dz \wedge dx\) olduğundan

\[d\phi \wedge \psi = z\,dz \wedge dx \wedge dy = z\,dx \wedge dy \wedge dz.\]

İkinci terim. \(d\psi = dz \wedge dy\) olduğundan

\[\phi \wedge d\psi = z\,dx \wedge dz \wedge dy = -z\,dx \wedge dy \wedge dz.\]

Sağ yan. İki terimi yerine koyarsak

\[\begin{aligned} d\phi \wedge \psi - \phi \wedge d\psi &= z\,dx \wedge dy \wedge dz - (-z\,dx \wedge dy \wedge dz)\\ &= 2z\,dx \wedge dy \wedge dz \end{aligned}\]

bulunur. İki yan eşittir.

Eksi yerine artı olsaydı sağ yan \(z - z = 0\) verirdi ve formül bu örnekte yanlış olurdu. Eksi işareti bir dizgi ayrıntısı değil, formülün doğru olmasının koşuludur.

\(\blacksquare\)

Örnek 6.21 (Fonksiyonla Çarpımın Dış Türevi) \(f = x^2\) ve \(\phi = y\,dx + dz\) olsun. \(d(f\phi)\)’yi doğrudan ve Teorem 6.1’nın ikinci formülüyle hesaplayalım.

Çözüm

Doğrudan. \(f\phi = x^2y\,dx + x^2\,dz\). Tanımdan

\[\begin{aligned} d(f\phi) &= (2xy\,dx + x^2\,dy) \wedge dx + 2x\,dx \wedge dz\\ &= -x^2\,dx \wedge dy + 2x\,dx \wedge dz. \end{aligned}\]

Kuralla. \(df = 2x\,dx\) olduğundan

\[df \wedge \phi = 2xy\,dx \wedge dx + 2x\,dx \wedge dz = 2x\,dx \wedge dz.\]

\(d\phi = dy \wedge dx = -\,dx \wedge dy\) olduğundan \(f\,d\phi = -x^2\,dx \wedge dy\). Toplam doğrudan hesaptaki sonuçtur.

\(\blacksquare\)

Üçüncü formülün hoş bir sonucu, dış türevi sıfır olan iki 1-formun çarpımının da dış türevinin sıfır olmasıdır. Örneğin Örnek 6.8’daki \(\phi = x\,dx - y\,dy\) ve \(\psi = z\,dx + x\,dz\) için \(d\phi = dx \wedge dx - dy \wedge dy = 0\) ve \(d\psi = dz \wedge dx + dx \wedge dz = 0\)’dır; kural \(d(\phi \wedge \psi) = 0\) der. Doğrudan hesap da bunu doğrular: \(yz\,dx \wedge dy + x^2\,dx \wedge dz - xy\,dy \wedge dz\) formunun dış türevinde yalnızca \(y\,dz \wedge dx \wedge dy\) ve \(-y\,dx \wedge dy \wedge dz\) terimleri kalır ve bunlar birbirini götürür.

6.6 Dış Türev ve Vektör Analizi

Şimdiye kadar gördüklerimizi toparlayalım. Kama çarpımı, hesabın sonunda nasılsa birbirini götürecek terimleri daha dağıtma aşamasında ortadan kaldırarak kısmi türev hesaplarını kısaltır. Dış türevin katkısı ise çok daha büyüktür: vektör analizindeki üç ayrı türev işlemini tek bir işlemde toplar. Bunu görmek için önce iki dili birbirine çevirmemiz gerekir.

Vektör analizinde formlar yerine vektör alanlarıyla çalışılır. \(\mathbb{R}^3\)’te bir 1-formu da bir 2-formu da, katsayılarını taşıyarak bir vektör alanına dönüştüren birer birebir eşleme vardır:

\[\sum_{i=1}^{3} f_i\,dx_i \overset{(1)}{\longleftrightarrow} \sum_{i=1}^{3} f_i\,U_i \overset{(2)}{\longleftrightarrow} f_3\,dx_1 \wedge dx_2 - f_2\,dx_1 \wedge dx_3 + f_1\,dx_2 \wedge dx_3.\]

Bu dilde kısmi türevlerden kurulan üç işlem vardır: bir \(f\) fonksiyonunun gradyanı (gradient), bir \(V = \sum f_i\,U_i\) vektör alanının rotasyoneli (curl) ve diverjansı (divergence).

\[\operatorname{grad} f = \sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\,U_i, \qquad \operatorname{div} V = \sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial f_i}{\partial x_i},\]

\[\begin{aligned} \operatorname{rot} V &= \left(\dfrac{\partial f_3}{\partial x_2} - \dfrac{\partial f_2}{\partial x_3}\right) U_1 + \left(\dfrac{\partial f_1}{\partial x_3} - \dfrac{\partial f_3}{\partial x_1}\right) U_2\\ &\quad + \left(\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} - \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}\right) U_3. \end{aligned}\]

Bu üç işlem ilk bakışta birbirinden bağımsız formüller gibi görünür. Oysa dış türev, her birini tek başına üstlenir:

form	derecesi	dış türevi	vektör analizindeki karşılığı
\(f\)	\(0\)	\(df\), bir 1-form	\(\operatorname{grad} f\)
\(\phi \overset{(1)}{\longleftrightarrow} V\)	\(1\)	\(d\phi\), bir 2-form	\(\operatorname{rot} V\)
\(\eta \overset{(2)}{\longleftrightarrow} V\)	\(2\)	\(d\eta\), bir 3-form	\((\operatorname{div} V)\,dx \wedge dy \wedge dz\)

Tablonun üç satırını alıştırmalarda ispatlayacağız (Alıştırma 6.17, Alıştırma 6.18, Alıştırma 6.19). Vektör analizinde üç ayrı işlem olan şey, formlar dilinde tek bir \(d\) işlemidir; hangi kata uygulandığına göre farklı adlar alır.

ÖnemliDış türevin karesi sıfırdır

Alıştırmalarda her \(f\) fonksiyonu için \(d(df) = 0\) (Alıştırma 6.8) ve her \(\phi\) 1-formu için \(d(d\phi) = 0\) (Alıştırma 6.16) olduğunu göreceğiz. Bir 2-formun dış türevi bir 3-formdur ve onun dış türevi derece \(4\) olduğundan zaten sıfırdır. Kısaca her \(\xi\) formu için \(d(d\xi) = 0\); bu gerçek \(d^2 = 0\) diye yazılır. Yukarıdaki tabloyla birlikte okununca bu tek eşitlik, vektör analizindeki \(\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f) = 0\) ve \(\operatorname{div}(\operatorname{rot} V) = 0\) özdeşliklerinin ikisini birden içerir.

6.7 Alıştırmalar

İlk altı alıştırmada aynı üç 1-formu kullanacağız:

\[\phi = yz\,dx + dz, \qquad \psi = \sin z\,dx + \cos z\,dy, \qquad \xi = dy + z\,dz.\]

Alıştırma 6.1 (Birinci ve İkinci Formun Kama Çarpımı) \(\phi = yz\,dx + dz\) ve \(\psi = \sin z\,dx + \cos z\,dy\) olsun. \(\phi \wedge \psi\)’nin standart yazımını bulunuz.

Çözüm

Dağıtma. Dört terim çıkar:

\[\phi \wedge \psi = yz\sin z\,dx \wedge dx + yz\cos z\,dx \wedge dy + \sin z\,dz \wedge dx + \cos z\,dz \wedge dy.\]

Sadeleştirme. Birinci terim tekrar yüzünden sıfırdır. Ters değişme kuralı \(dz \wedge dx = -\,dx \wedge dz\) ve \(dz \wedge dy = -\,dy \wedge dz\) verir.

Sonuç.

\[\phi \wedge \psi = yz\cos z\,dx \wedge dy - \sin z\,dx \wedge dz - \cos z\,dy \wedge dz.\]

Denetim. \(\mathbf{p} = (0, 1, 0)\)’da \(\phi\), \(dz\) gibi; \(\psi\) ise \(dy\) gibi davranır. O noktada \(\phi \wedge \psi\), \(dz \wedge dy = -\,dy \wedge dz\) olmalıdır. Formülde \(z = 0\) koyunca katsayılar \(0\), \(0\), \(-1\) çıkar; uyuşur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.2 (İkinci ve Üçüncü Formun Kama Çarpımı) \(\psi = \sin z\,dx + \cos z\,dy\) ve \(\xi = dy + z\,dz\) olsun. \(\psi \wedge \xi\)’nin standart yazımını bulunuz.

Çözüm

Dağıtma.

\[\psi \wedge \xi = \sin z\,dx \wedge dy + z\sin z\,dx \wedge dz + \cos z\,dy \wedge dy + z\cos z\,dy \wedge dz.\]

Sadeleştirme. Üçüncü terimde \(dy \wedge dy = 0\). Kalan terimler zaten standart sıradadır.

Sonuç.

\[\psi \wedge \xi = \sin z\,dx \wedge dy + z\sin z\,dx \wedge dz + z\cos z\,dy \wedge dz.\]

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.3 (Üçüncü ve Birinci Formun Kama Çarpımı) \(\xi = dy + z\,dz\) ve \(\phi = yz\,dx + dz\) olsun. \(\xi \wedge \phi\)’nin standart yazımını bulunuz.

Çözüm

Dağıtma.

\[\xi \wedge \phi = yz\,dy \wedge dx + dy \wedge dz + yz^2\,dz \wedge dx + z\,dz \wedge dz.\]

Sadeleştirme. Son terim sıfırdır. \(dy \wedge dx = -\,dx \wedge dy\) ve \(dz \wedge dx = -\,dx \wedge dz\).

Sonuç.

\[\xi \wedge \phi = -yz\,dx \wedge dy - yz^2\,dx \wedge dz + dy \wedge dz.\]

Bir gözlem. Lemma 6.1 gereği \(\phi \wedge \xi\) bunun negatifidir:

\[\phi \wedge \xi = yz\,dx \wedge dy + yz^2\,dx \wedge dz - dy \wedge dz.\]

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.4 (Birinci Formun Dış Türevi) \(\phi = yz\,dx + dz\) 1-formunun dış türevini bulunuz.

Çözüm

Katsayılar. \(f_1 = yz\), \(f_2 = 0\), \(f_3 = 1\). Lemma 5.2 gereği \(d(yz) = z\,dy + y\,dz\); sabit fonksiyonun diferansiyeli sıfırdır.

Tanım.

\[d\phi = (z\,dy + y\,dz) \wedge dx + 0 = z\,dy \wedge dx + y\,dz \wedge dx.\]

Standart yazım.

\[d\phi = -z\,dx \wedge dy - y\,dx \wedge dz.\]

Formülle denetim. Önerme 6.4’ndeki katsayılar: \(dx \wedge dy\) için \(0 - z\), \(dx \wedge dz\) için \(0 - y\), \(dy \wedge dz\) için \(0 - 0\). Uyuşur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.5 (İkinci Formun Dış Türevi) \(\psi = \sin z\,dx + \cos z\,dy\) 1-formunun dış türevini bulunuz.

Çözüm

Katsayıların diferansiyelleri. Lemma 5.3 gereği \(d(\sin z) = \cos z\,dz\) ve \(d(\cos z) = -\sin z\,dz\).

Tanım.

\[d\psi = \cos z\,dz \wedge dx - \sin z\,dz \wedge dy.\]

Standart yazım. İki terimde de ters değişme kuralını uygularsak

\[d\psi = -\cos z\,dx \wedge dz + \sin z\,dy \wedge dz.\]

Formülle denetim. \(f_1 = \sin z\), \(f_2 = \cos z\), \(f_3 = 0\) için \(dx \wedge dz\) katsayısı \(0 - \cos z\), \(dy \wedge dz\) katsayısı \(0 - (-\sin z) = \sin z\), \(dx \wedge dy\) katsayısı \(0 - 0\). Uyuşur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.6 (Üçüncü Formun Dış Türevi) \(\xi = dy + z\,dz\) 1-formunun dış türevini bulunuz.

Çözüm

Tanım. Katsayılar \(1\) ve \(z\)’dir; diferansiyelleri \(0\) ve \(dz\). Buna göre

\[d\xi = 0 \wedge dy + dz \wedge dz = 0.\]

Yorum. Sonucun sıfır çıkması rastlantı değildir. \(\xi = d\bigl(y + z^2/2\bigr)\) olduğu Sonuç 5.1 ile hemen görülür; bir diferansiyelin dış türevi her zaman sıfırdır (Alıştırma 6.8).

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.7 (Çarpım Kuralını Sayılarla Denetlemek) \(y \neq 0\) olan noktalarda \(\phi = dx/y\) ve \(\psi = z\,dy\) olsun. Teorem 6.1’nın \(d(\phi \wedge \psi) = d\phi \wedge \psi - \phi \wedge d\psi\) formülünü, üç terimi ayrı ayrı hesaplayarak denetleyiniz.

Çözüm

Tanım kümesi. \(1/y\) yalnızca \(y \neq 0\) olan açık kümede tanımlıdır; bütün hesaplar bu kümede yapılır ve kurallar orada da geçerlidir.

Sol yan. \(\phi \wedge \psi = (z/y)\,dx \wedge dy\). Bileşke ve çarpım kurallarıyla

\[d\left(\dfrac{z}{y}\right) = -\dfrac{z}{y^2}\,dy + \dfrac{1}{y}\,dz.\]

\(dy\) terimi \(dx \wedge dy\) ile çarpılınca tekrar yüzünden düşer, dolayısıyla

\[d(\phi \wedge \psi) = \dfrac{1}{y}\,dz \wedge dx \wedge dy = \dfrac{1}{y}\,dx \wedge dy \wedge dz.\]

Birinci terim. Tanımdan

\[d\phi = d(1/y) \wedge dx = -\dfrac{1}{y^2}\,dy \wedge dx = \dfrac{1}{y^2}\,dx \wedge dy.\]

Bunu \(\psi = z\,dy\) ile çarparsak \(dy\) tekrar eder: \(d\phi \wedge \psi = 0\).

İkinci terim. \(d\psi = dz \wedge dy = -\,dy \wedge dz\), dolayısıyla

\[\phi \wedge d\psi = -\dfrac{1}{y}\,dx \wedge dy \wedge dz.\]

Karşılaştırma. Sağ yan

\[d\phi \wedge \psi - \phi \wedge d\psi = 0 - \Bigl(-\dfrac{1}{y}\,dx \wedge dy \wedge dz\Bigr) = \dfrac{1}{y}\,dx \wedge dy \wedge dz\]

olur; sol yanla aynıdır. Bu örnekte sonucun tamamı eksi işaretli terimden gelir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.8 (Bir Diferansiyelin Dış Türevi Sıfırdır) Her diferansiyellenebilir \(f\) fonksiyonu için \(d(df) = 0\) olduğunu ispatlayınız.

Çözüm

Diferansiyelin katsayıları. Sonuç 5.1 gereği \(df = \sum_i f_i\,dx_i\), burada \(f_i = \partial f/\partial x_i\).

Dış türev formülü. Önerme 6.4’ne göre \(d(df)\)’nin \(dx_1 \wedge dx_2\) katsayısı

\[\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} - \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} - \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1}\]

olur. Öteki iki katsayı da aynı biçimdedir: \(dx_1 \wedge dx_3\) için \(x_1\) ve \(x_3\)’e, \(dx_2 \wedge dx_3\) için \(x_2\) ve \(x_3\)’e göre iki karışık kısmi türevin farkı.

Karışık kısmi türevler. Tanım 1.4 gereği \(f\)’nin her mertebeden kısmi türevleri vardır ve süreklidir; bu yüzden karışık kısmi türevler türev alma sırasına bağlı değildir. Üç katsayı da sıfırdır ve \(d(df) = 0\).

Sayısal örnek. \(f = x^2y\) için \(df = 2xy\,dx + x^2\,dy\) ve

\[d(df) = 2x\,dy \wedge dx + 2x\,dx \wedge dy = 0.\]

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.9 (Bir Fonksiyonla Bir Diferansiyelin Çarpımı) Her diferansiyellenebilir \(f\), \(g\) fonksiyonu için \(d(f\,dg) = df \wedge dg\) olduğunu, \(d(dg) = 0\) eşitliğinden yararlanarak gösteriniz.

Çözüm

Çarpım kuralı. Teorem 6.1’nın ikinci formülünü \(\phi = dg\) 1-formuna uygulayalım:

\[d(f\,dg) = df \wedge dg + f\,d(dg).\]

Sonuç. Alıştırma 6.8 gereği \(d(dg) = 0\); ikinci terim düşer ve \(d(f\,dg) = df \wedge dg\) kalır.

Sayısal örnek. \(f = z\), \(g = xy\) için \(f\,dg = yz\,dx + xz\,dy\). Tanımdan

\[d(f\,dg) = (z\,dy + y\,dz) \wedge dx + (z\,dx + x\,dz) \wedge dy = -y\,dx \wedge dz - x\,dy \wedge dz,\]

çünkü \(z\,dy \wedge dx\) ile \(z\,dx \wedge dy\) birbirini götürür. Öte yandan

\[df \wedge dg = dz \wedge (y\,dx + x\,dy) = -y\,dx \wedge dz - x\,dy \wedge dz.\]

Uyuşur.

\(\blacksquare\)

Bundan sonraki dört alıştırmada \(f\) ve \(g\) diferansiyellenebilir fonksiyonlardır ve Alıştırma 6.8 ile Alıştırma 6.9’nin sonuçlarını serbestçe kullanabiliriz.

Alıştırma 6.10 (İki Çapraz Terimin Dış Türevi) \(f\) ve \(g\) diferansiyellenebilir fonksiyonlar olsun. \(d(f\,dg + g\,df)\) formunu sadeleştiriniz.

Çözüm

Lineerlik. Önerme 6.5 gereği \(d(f\,dg + g\,df) = d(f\,dg) + d(g\,df)\).

Her terim. Alıştırma 6.9 gereği \(d(f\,dg) = df \wedge dg\) ve \(d(g\,df) = dg \wedge df\).

Ters değişme. Lemma 6.1 gereği \(dg \wedge df = -\,df \wedge dg\). Toplam

\[d(f\,dg + g\,df) = df \wedge dg - df \wedge dg = 0.\]

Başka bir yol. Lemma 5.2 gereği \(f\,dg + g\,df = d(fg)\); bir diferansiyelin dış türevi sıfırdır.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.11 (Bir Fark ile Bir Toplamın Çarpımının Dış Türevi) \(f\) ve \(g\) diferansiyellenebilir fonksiyonlar olsun. \(d\bigl((f - g)(df + dg)\bigr)\) formunu sadeleştiriniz.

Çözüm

Çarpım kuralı. Teorem 6.1’nın ikinci formülünü \(f - g\) fonksiyonu ve \(df + dg\) 1-formuyla uygulayalım:

\[d\bigl((f - g)(df + dg)\bigr) = d(f - g) \wedge (df + dg) + (f - g)\,d(df + dg).\]

İkinci terim. Lineerlik ve \(d^2 = 0\) gereği \(d(df + dg) = d(df) + d(dg) = 0\).

Birinci terim. \(d(f - g) = df - dg\). Dağıtırsak

\[(df - dg) \wedge (df + dg) = df \wedge df + df \wedge dg - dg \wedge df - dg \wedge dg.\]

Lemma 6.1 gereği \(df \wedge df = dg \wedge dg = 0\) ve \(-\,dg \wedge df = df \wedge dg\).

Sonuç. İki terim birleşince aranan form \(2\,df \wedge dg\) olur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.12 (İki Diferansiyel Çarpımının Dış Türevi) \(f\) ve \(g\) diferansiyellenebilir fonksiyonlar olsun. \(d(f\,dg \wedge g\,df)\) formunu sadeleştiriniz.

Çözüm

Çarpım kuralı. \(f\,dg\) ve \(g\,df\) iki 1-formdur. Teorem 6.1’nın üçüncü formülü

\[d(f\,dg \wedge g\,df) = d(f\,dg) \wedge g\,df - f\,dg \wedge d(g\,df)\]

verir.

Parçalar. Alıştırma 6.9 gereği \(d(f\,dg) = df \wedge dg\) ve \(d(g\,df) = dg \wedge df\). Yerine koyup fonksiyonları başa alırsak

\[d(f\,dg \wedge g\,df) = g\,df \wedge dg \wedge df - f\,dg \wedge dg \wedge df.\]

Tekrarlar. İkinci terimde \(dg \wedge dg = 0\). Birinci terimde \(df\) iki kez geçer; son iki çarpanın yerini değiştirince \(df \wedge dg \wedge df = -\,df \wedge df \wedge dg\) olur ve bu da \(df \wedge df = 0\) yüzünden sıfırdır.

Sonuç. \(d(f\,dg \wedge g\,df) = 0\).

Başka bir yol. Fonksiyonları başa alırsak \(f\,dg \wedge g\,df = (-fg\,df) \wedge dg\) olur. Üçüncü formülü \(-fg\,df\) ve \(dg\) 1-formlarına uygulayalım; \(d(dg) = 0\) olduğundan yalnızca \(d(-fg\,df) \wedge dg\) terimi kalır. Alıştırma 6.9 ve lineerlik gereği

\[d(-fg\,df) = -\,d(fg) \wedge df = -(g\,df + f\,dg) \wedge df = -f\,dg \wedge df.\]

Bunu \(dg\) ile çarpınca \(dg\) tekrar eder; sonuç yine sıfırdır.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.13 (İki Dış Türevin Toplamı) \(f\) ve \(g\) diferansiyellenebilir fonksiyonlar olsun. \(d(gf\,df) + d(f\,dg)\) formunu sadeleştiriniz.

Çözüm

Birinci terim. Alıştırma 6.9’nı \(gf\) fonksiyonu ve \(df\) diferansiyeliyle uygularsak \(d(gf\,df) = d(gf) \wedge df\). Çarpım kuralıyla \(d(gf) = f\,dg + g\,df\), dolayısıyla

\[d(gf\,df) = f\,dg \wedge df + g\,df \wedge df = f\,dg \wedge df = -f\,df \wedge dg.\]

İkinci terim. \(d(f\,dg) = df \wedge dg\).

Sonuç.

\[d(gf\,df) + d(f\,dg) = -f\,df \wedge dg + df \wedge dg = (1 - f)\,df \wedge dg.\]

Sayısal denetim. \(f = x\), \(g = y\) için sonuç \((1 - x)\,dx \wedge dy\) olmalıdır. Doğrudan: \(d(xy\,dx) = x\,dy \wedge dx\), yani \(-x\,dx \wedge dy\); ayrıca \(d(x\,dy) = dx \wedge dy\). Toplam \((1 - x)\,dx \wedge dy\).

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.14 (Üç 1-Formun Çarpımı ve Determinant) \(i = 1, 2, 3\) için \(\phi_i = \sum_{j} f_{ij}\,dx_j\) üç 1-form olsun.

\[\phi_1 \wedge \phi_2 \wedge \phi_3 = \begin{vmatrix} f_{11} & f_{12} & f_{13}\\ f_{21} & f_{22} & f_{23}\\ f_{31} & f_{32} & f_{33} \end{vmatrix} dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3\]

olduğunu ispatlayınız.

Çözüm

Dağıtma. Dağılma kuralı ve fonksiyonların yer değiştirmesi gereği

\[\phi_1 \wedge \phi_2 \wedge \phi_3 = \sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} \sum_{l=1}^{3} f_{1j}\,f_{2k}\,f_{3l}\,dx_j \wedge dx_k \wedge dx_l.\]

Tekrarlar. \(j\), \(k\), \(l\) indislerinden ikisi eşit olan her terim sıfırdır (Örnek 6.3). Geriye \((j, k, l)\)’nin \((1, 2, 3)\)’ün bir sıralaması olduğu altı terim kalır.

İşaretler. Örnek 6.2’daki tabloya göre \(dx_j \wedge dx_k \wedge dx_l\), \((j, k, l)\) sırasıyla \((1, 2, 3)\), \((2, 3, 1)\), \((3, 1, 2)\) ise \(+\,dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3\); \((1, 3, 2)\), \((2, 1, 3)\), \((3, 2, 1)\) ise \(-\,dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3\)’tür. Dolayısıyla katsayı

\[\begin{aligned} &f_{11}f_{22}f_{33} + f_{12}f_{23}f_{31} + f_{13}f_{21}f_{32}\\ &\quad - f_{11}f_{23}f_{32} - f_{12}f_{21}f_{33} - f_{13}f_{22}f_{31} \end{aligned}\]

olur.

Determinant. Determinantı birinci satıra göre açarsak

\[\begin{aligned} &f_{11}(f_{22}f_{33} - f_{23}f_{32}) - f_{12}(f_{21}f_{33} - f_{23}f_{31})\\ &\quad + f_{13}(f_{21}f_{32} - f_{22}f_{31}) \end{aligned}\]

bulunur; parantezler açılınca yukarıdaki altı terimin aynısı çıkar. İspat tamamdır.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.15 (Silindirik Koordinatlarda Hacim Elemanı) \(r\), \(\vartheta\), \(z\) silindirik koordinat fonksiyonları (cylindrical coordinates) olsun: \(x = r\cos\vartheta\), \(y = r\sin\vartheta\), \(z = z\). \(\mathbb{R}^3\)’ün hacim elemanı (volume element) \(dx \wedge dy \wedge dz\)’yi \(r\), \(\vartheta\), \(z\) fonksiyonları ve bunların diferansiyelleri cinsinden yazınız.

Çözüm

Tanım kümesi. \(r\) ve \(\vartheta\) bütün uzayda diferansiyellenebilir fonksiyonlar değildir. Örneğin \(x \le 0\), \(y = 0\) yarım düzlemini çıkardığımız açık kümede \(r = \sqrt{x^2 + y^2} > 0\) ve \(\vartheta\), \((-\pi, \pi)\) aralığında değer alan diferansiyellenebilir bir fonksiyondur. Hesabı bu kümede yaparız; kurallar orada da geçerlidir.

Diferansiyeller. Çarpım ve bileşke kurallarıyla

\[\begin{aligned} dx &= \cos\vartheta\,dr - r\sin\vartheta\,d\vartheta,\\ dy &= \sin\vartheta\,dr + r\cos\vartheta\,d\vartheta. \end{aligned}\]

İki diferansiyelin çarpımı. \(dr \wedge dr = d\vartheta \wedge d\vartheta = 0\) olduğundan yalnızca karışık terimler kalır:

\[dx \wedge dy = r\cos^2\vartheta\,dr \wedge d\vartheta - r\sin^2\vartheta\,d\vartheta \wedge dr.\]

\(d\vartheta \wedge dr = -\,dr \wedge d\vartheta\) ve \(\cos^2\vartheta + \sin^2\vartheta = 1\) olduğundan \(dx \wedge dy = r\,dr \wedge d\vartheta\).

Sonuç. \(dz\) ile çarparsak

\[dx \wedge dy \wedge dz = r\,dr \wedge d\vartheta \wedge dz.\]

Anlamı. \(\mathbf{p}\) noktasının çevresindeki küçük bir silindirik parça, kenarları yaklaşık \(dr\), \(r\,d\vartheta\) ve \(dz\) olan bir kutudur; hacminin \(r\) çarpanı taşıması bu yüzdendir. Örneğin köşesi \((r, \vartheta, z) = (2, \pi/6, 0)\) olan ve \(r\)’yi \(1/2\), \(\vartheta\)’yı \(\pi/12\), \(z\)’yi \(3/5\) artırarak elde edilen parçanın bu köşeden çıkan kenarları \(1/2\), \(2 \cdot \pi/12 \approx 0{,}52\) ve \(3/5\)’tir. Yaklaşık hacim

\[r\,dr\,d\vartheta\,dz = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{12} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{\pi}{20} \approx 0{,}157\]

olur. Parçanın gerçek hacmi ise taban halka diliminin alanı çarpı yüksekliktir:

\[\dfrac{1}{2}\,\bigl(2{,}5^2 - 2^2\bigr) \cdot \dfrac{\pi}{12} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{9\pi}{160} \approx 0{,}177.\]

Parça küçüldükçe iki değerin oranı \(1\)’e yaklaşır. Aynı sonuca Alıştırma 6.14’deki hesapla da ulaşılır: \(dx\), \(dy\), \(dz\)’nin \(dr\), \(d\vartheta\), \(dz\) cinsinden katsayılarının determinantı \(r\cos^2\vartheta + r\sin^2\vartheta = r\)’dir.

Mavi taralı küçük parça, r = 2 ve r = 2,5 silindirleri (gri), ϑ = π/6 ve ϑ = π/4 yarım düzlemleri ile z = 0 ve z = 0,6 düzlemleri arasında kalır; köşesi (r, ϑ, z) = (2, π/6, 0) noktasıdır. Bu köşeden çıkan üç kenar parçayı yaklaşık bir kutu gibi ölçer: radyal kenar dr = 1/2, r = 2 çemberi üzerindeki yay r dϑ = 2 · π/12 ≈ 0,52 ve dikey kenar dz = 3/5. Yay kenarının boyu dϑ değil r dϑ olduğundan kutunun hacmi r dr dϑ dz = π/20 ≈ 0,157 çıkar; parçanın gerçek hacmi ise 9π/160 ≈ 0,177'dir. Parça küçüldükçe iki değerin oranı 1'e yaklaşır.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.16 (Bir Dış Türevin Dış Türevi Sıfırdır) Katsayıları \(f\), \(g\), \(h\) olan standart yazımlı bir \(\eta\) 2-formunun dış türevi, katsayılar diferansiyelleriyle değiştirilerek elde edilen

\[d\eta = df \wedge dx \wedge dy + dg \wedge dx \wedge dz + dh \wedge dy \wedge dz\]

3-formudur. Her \(\phi\) 1-formu için \(d(d\phi) = 0\) olduğunu ispatlayınız.

Çözüm

2-formun dış türevi. Tanımı koordinatlarla açtığımızda

\[d\eta = \left(\dfrac{\partial f}{\partial z} - \dfrac{\partial g}{\partial y} + \dfrac{\partial h}{\partial x}\right) dx \wedge dy \wedge dz\]

bulmuştuk: \(df\)’den yalnızca \(dz\) terimi, \(dg\)’den yalnızca \(dy\) terimi (eksi işaretle), \(dh\)’den yalnızca \(dx\) terimi kalır.

\(d\phi\)’nin katsayıları. \(\phi = f_1\,dx + f_2\,dy + f_3\,dz\) ise Önerme 6.4 gereği \(d\phi\)’nin standart katsayıları

\[f = \dfrac{\partial f_2}{\partial x} - \dfrac{\partial f_1}{\partial y}, \qquad g = \dfrac{\partial f_3}{\partial x} - \dfrac{\partial f_1}{\partial z}, \qquad h = \dfrac{\partial f_3}{\partial y} - \dfrac{\partial f_2}{\partial z}.\]

Yerine koymak. \(d(d\phi)\)’nin katsayısı

\[\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial z} - \dfrac{\partial g}{\partial y} + \dfrac{\partial h}{\partial x} &= \dfrac{\partial^2 f_2}{\partial z\,\partial x} - \dfrac{\partial^2 f_1}{\partial z\,\partial y} - \dfrac{\partial^2 f_3}{\partial y\,\partial x}\\ &\quad + \dfrac{\partial^2 f_1}{\partial y\,\partial z} + \dfrac{\partial^2 f_3}{\partial x\,\partial y} - \dfrac{\partial^2 f_2}{\partial x\,\partial z}. \end{aligned}\]

Karışık kısmi türevler sıraya bağlı olmadığından terimler çiftler hâlinde birbirini götürür: \(f_2\)’li iki terim, \(f_1\)’li iki terim ve \(f_3\)’lü iki terim. Katsayı sıfırdır, yani \(d(d\phi) = 0\).

Koordinatsız ikinci yol. \(d\phi = \sum_i df_i \wedge dx_i\) iki 1-formun çarpımlarının toplamıdır. Lineerlik ve Teorem 6.1’nın üçüncü formülü gereği

\[d(d\phi) = \sum_{i=1}^{3} \bigl(d(df_i) \wedge dx_i - df_i \wedge d(dx_i)\bigr),\]

ve Alıştırma 6.8 gereği \(d(df_i) = 0\), \(d(dx_i) = 0\) olduğundan toplam sıfırdır.

\(\blacksquare\)

Vektör analizine ayrılan sıradaki üç alıştırmada şu birebir eşlemeleri kullanıyoruz:

\[\sum_{i=1}^{3} f_i\,dx_i \overset{(1)}{\longleftrightarrow} \sum_{i=1}^{3} f_i\,U_i \overset{(2)}{\longleftrightarrow} f_3\,dx_1 \wedge dx_2 - f_2\,dx_1 \wedge dx_3 + f_1\,dx_2 \wedge dx_3.\]

Alıştırma 6.17 (Gradyan Bir Dış Türevdir) Birinci eşleme, bir \(\sum_i f_i\,dx_i\) 1-formunu katsayıları aynı olan \(\sum_i f_i\,U_i\) vektör alanına götürür. Bir \(f\) fonksiyonunun gradyanı \(\operatorname{grad} f = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,U_i\) vektör alanıdır. Birinci eşleme altında \(df\)’nin \(\operatorname{grad} f\)’ye karşılık geldiğini gösteriniz.

Çözüm

Diferansiyelin katsayıları. Sonuç 5.1 gereği \(df = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,dx_i\); katsayılar \(f_i = \partial f/\partial x_i\)’dir.

Eşleme. Birinci eşleme her \(dx_i\)’yi \(U_i\) ile değiştirir ve katsayılara dokunmaz. Dolayısıyla \(df\)’nin karşılığı \(\sum_i (\partial f/\partial x_i)\,U_i = \operatorname{grad} f\)’dir.

Sayısal örnek. \(f = x^2y + z\) için \(df = 2xy\,dx + x^2\,dy + dz\) ve \(\operatorname{grad} f = 2xy\,U_1 + x^2\,U_2 + U_3\). Gradyanın tanımı yalnızca katsayı üçlüsünü kaydeder; \(df\) ise aynı üçlüyü teğet vektörlerde değerlendirilebilen bir form olarak taşır.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.18 (Rotasyonel Bir Dış Türevdir) Birinci eşleme \(\sum_i f_i\,dx_i\) 1-formunu \(\sum_i f_i\,U_i\) vektör alanına, ikinci eşleme de \(\sum_i f_i\,U_i\) vektör alanını

\[f_3\,dx_1 \wedge dx_2 - f_2\,dx_1 \wedge dx_3 + f_1\,dx_2 \wedge dx_3\]

2-formuna götürür. \(V = \sum_i f_i\,U_i\) vektör alanının rotasyoneli

\[\operatorname{rot} V = \left(\dfrac{\partial f_3}{\partial x_2} - \dfrac{\partial f_2}{\partial x_3}\right) U_1 + \left(\dfrac{\partial f_1}{\partial x_3} - \dfrac{\partial f_3}{\partial x_1}\right) U_2 + \left(\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} - \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}\right) U_3\]

vektör alanıdır. \(\phi = \sum_i f_i\,dx_i\) 1-formu birinci eşleme altında \(V\)’ye karşılık geliyorsa, \(d\phi\)’nin ikinci eşleme altında \(\operatorname{rot} V\)’ye karşılık geldiğini gösteriniz.

Çözüm

Dış türev. Önerme 6.4 gereği

\[d\phi = a\,dx_1 \wedge dx_2 + b\,dx_1 \wedge dx_3 + c\,dx_2 \wedge dx_3,\]

burada

\[a = \dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} - \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}, \qquad b = \dfrac{\partial f_3}{\partial x_1} - \dfrac{\partial f_1}{\partial x_3}, \qquad c = \dfrac{\partial f_3}{\partial x_2} - \dfrac{\partial f_2}{\partial x_3}.\]

İkinci eşlemeyi tersine okumak. İkinci eşlemede \(dx_1 \wedge dx_2\)’nin katsayısı \(U_3\)’ün katsayısı, \(dx_1 \wedge dx_3\)’ün katsayısı \(U_2\)’nin katsayısının negatifi, \(dx_2 \wedge dx_3\)’ün katsayısı \(U_1\)’in katsayısıdır. Dolayısıyla \(d\phi\)’ye karşılık gelen vektör alanı \(c\,U_1 - b\,U_2 + a\,U_3\)’tür.

Karşılaştırma. \(c\), \(\operatorname{rot} V\)’nin \(U_1\) katsayısıdır. \(-b = \partial f_1/\partial x_3 - \partial f_3/\partial x_1\), \(U_2\) katsayısıdır. \(a\), \(U_3\) katsayısıdır. Böylece \(d\phi \overset{(2)}{\longleftrightarrow} \operatorname{rot} V\).

Sayısal örnek. \(V = -y\,U_1 + x\,U_2\) için \(\phi = -y\,dx + x\,dy\) ve Örnek 6.16’nda \(d\phi = 2\,dx \wedge dy\) bulmuştuk. İkinci eşleme altında bu \(2\,U_3\)’tür. Formülden: \(U_1\) ve \(U_2\) katsayıları \(0\), \(U_3\) katsayısı \(1 - (-1) = 2\). Alan \(z\) ekseni çevresinde saat yönünün tersine döner ve rotasyonel, dönme ekseni doğrultusunda sabit bir vektördür.

V = −yU₁ + xU₂ alanının −2..2 tam sayı ızgarasındaki okları; okunaklılık için her ok gerçek boyunun 0,4 katıyla çizilmiş, boyu arttıkça maviden mora doğru renklendirilmiştir. Her ok, başlangıç noktası merkezli ve kendi noktasından geçen çembere teğettir, gerçek boyu da o çemberin yarıçapına eşittir; yarıçapı 1 ve 2 olan kesikli çemberlerdeki küçük oklar, alanın z ekseni çevresinde saat yönünün tersine döndüğünü gösterir. Okların boyu merkezden uzaklaştıkça artsa da dönmenin ölçüsü her yerde aynıdır: dx ile dy’nin kama çarpımının 2 katı olan dφ, ikinci eşleme altında sabit rot V = 2U₃ alanına karşılık gelir. Başlangıç noktasındaki, ortasında nokta bulunan küçük daire bu vektörün sayfadan dışarıya, dönme ekseni doğrultusunda baktığını gösterir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.19 (Diverjans Bir Dış Türevdir) İkinci eşleme, \(V = \sum_i f_i\,U_i\) vektör alanını

\[f_3\,dx_1 \wedge dx_2 - f_2\,dx_1 \wedge dx_3 + f_1\,dx_2 \wedge dx_3\]

2-formuna götürür. \(V\)’nin diverjansı \(\operatorname{div} V = \sum_i \partial f_i/\partial x_i\) fonksiyonudur. \(\eta\), ikinci eşleme altında \(V\)’ye karşılık gelen 2-form ise

\[d\eta = (\operatorname{div} V)\,dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3\]

olduğunu gösteriniz.

Çözüm

2-form. İkinci eşleme gereği

\[\eta = f_3\,dx_1 \wedge dx_2 - f_2\,dx_1 \wedge dx_3 + f_1\,dx_2 \wedge dx_3.\]

Dış türev. Tanım 6.3 gereği

\[d\eta = df_3 \wedge dx_1 \wedge dx_2 - df_2 \wedge dx_1 \wedge dx_3 + df_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3.\]

Tekrarları atmak. Birinci terimde \(df_3\)’ün yalnızca \(dx_3\) terimi, ikincide \(df_2\)’nin yalnızca \(dx_2\) terimi, üçüncüde \(df_1\)’in yalnızca \(dx_1\) terimi kalır:

\[d\eta = \dfrac{\partial f_3}{\partial x_3}\,dx_3 \wedge dx_1 \wedge dx_2 - \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}\,dx_2 \wedge dx_1 \wedge dx_3 + \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}\,dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3.\]

Sıralamak. \(dx_3 \wedge dx_1 \wedge dx_2\) çarpımı iki yer değiştirmeyle, \(dx_2 \wedge dx_1 \wedge dx_3\) çarpımı bir yer değiştirmeyle \(dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3\)’e getirilir; birincinin işareti \(+\), ikincininki \(-\) olur. İkinci terimdeki eksi, bu eksiyle çarpılıp artıya döner. Böylece

\[d\eta = \left(\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} + \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2} + \dfrac{\partial f_3}{\partial x_3}\right) dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 = (\operatorname{div} V)\,dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3.\]

Sayısal örnek. Konum alanı \(V = x\,U_1 + y\,U_2 + z\,U_3\) için ikinci eşleme

\[\eta = z\,dx \wedge dy - y\,dx \wedge dz + x\,dy \wedge dz\]

2-formunu verir; dış türevi

\[d\eta = dz \wedge dx \wedge dy - dy \wedge dx \wedge dz + dx \wedge dy \wedge dz = 3\,dx \wedge dy \wedge dz;\]

gerçekten \(\operatorname{div} V = 1 + 1 + 1 = 3\). Alan her noktadan dışarı doğru yayılır; diverjans bu yayılmanın hızını ölçer.

Konum alanı V = x U₁ + y U₂ + z U₃’ün z = 0 düzlemindeki kesiti: −2..2 tam sayı ızgarasının her noktasındaki ok, o noktanın konum vektörünü okunaklılık için gerçek uzunluğunun 0,4 katıyla gösterir. Oklar, alanın sıfır olduğu başlangıç noktasından (kırmızı nokta) uzaklaştıkça uzar ve turuncudan kırmızıya döner. Köşeleri (±0,5; ±0,5) olan kesikli mavi karenin her kenarında alan dışarı doğru akar, içeri aktığı hiçbir yer yoktur; diverjansın ölçtüğü yayılma budur. Düzlemdeki oklar diverjansa 1 + 1 katkısını verir, üçüncü 1 düzleme dik z yönündeki yayılmadan gelir; böylece div V = 3 olur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.20 (Düzlemde İki Diferansiyelin Çarpımı) Öklid düzleminde diferansiyel formlar \(dx\) ve \(dy\) ile aynı kurallarla kurulur. \(f\) ve \(g\), \(\mathbb{R}^2\) üzerinde diferansiyellenebilir fonksiyonlar olsun.

\[df \wedge dg = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x} & \dfrac{\partial f}{\partial y}\\[2mm] \dfrac{\partial g}{\partial x} & \dfrac{\partial g}{\partial y} \end{vmatrix} dx \wedge dy\]

olduğunu ispatlayınız.

Çözüm

Diferansiyeller. Düzlemde Sonuç 5.1’nün karşılığı \(df = f_x\,dx + f_y\,dy\) ve \(dg = g_x\,dx + g_y\,dy\)’dir; burada \(f_x = \partial f/\partial x\) gibi kısaltmalar kullanıyoruz.

Dağıtma.

\[df \wedge dg = f_xg_x\,dx \wedge dx + f_xg_y\,dx \wedge dy + f_yg_x\,dy \wedge dx + f_yg_y\,dy \wedge dy.\]

Sadeleştirme. Birinci ve dördüncü terimler sıfırdır; \(dy \wedge dx = -\,dx \wedge dy\). Dolayısıyla

\[df \wedge dg = (f_xg_y - f_yg_x)\,dx \wedge dy,\]

ve parantezdeki ifade tam olarak \(2 \times 2\) determinanttır. Bu determinanta \(f\) ve \(g\)’nin Jacobi determinantı (Jacobian determinant) denir.

Sayısal örnek. \(f = 2x + y\) ve \(g = -x + y\) için determinant \(2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) = 3\)’tür; \(df \wedge dg = 3\,dx \wedge dy\). \((x, y) \mapsto (f, g)\) lineer dönüşümü birim kareyi köşeleri \((0, 0)\), \((2, -1)\), \((3, 0)\), \((1, 1)\) olan, alanı \(3\) olan bir paralelkenara götürür; \(U_1\)’in görüntüsü \((2, -1)\)’den \(U_2\)’nin görüntüsü \((1, 1)\)’e saat yönünün tersine dönülür, yani yön korunur.

Sırayı değiştirirsek \(dg \wedge df = -3\,dx \wedge dy\) olur. Buna karşılık gelen \((x, y) \mapsto (g, f)\) dönüşümü birim kareyi köşeleri \((0, 0)\), \((-1, 2)\), \((0, 3)\), \((1, 1)\) olan paralelkenara götürür. Bu, iki koordinatın yeri değiştiği için öncekinin köşegen doğrusuna göre yansımasıdır: alanı yine \(3\)’tür, ama \((-1, 2)\)’den \((1, 1)\)’e saat yönünde dönülür, yani yön ters çevrilmiştir. İşaret alanın büyüklüğünü değil, yönünü kaydeder.

Solda birim kare, ortada ve sağda iki lineer dönüşüm altındaki görüntüleri; üç panel aynı ölçekle çizildiğinden iki paralelkenarın da karenin üç katı alan kapladığı görülür. Mavi oklar U₁’i ve görüntülerini, turuncu oklar U₂’yi ve görüntülerini gösterir. (f, g) = (2x + y, −x + y) altında maviden turuncuya dönüş karedeki gibi saat yönünün tersinedir ve katsayı 3 çıkar; koordinatların yeri değişince paralelkenar yansır, dönüş saat yönüne çevrilir ve katsayı −3 olur. İşaret alanın büyüklüğünü değil, yönünü kaydeder.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.21 (Jacobi Formülünden Ters Değişme Kuralına) Düzlemdeki diferansiyellenebilir \(f\), \(g\) fonksiyonları için

\[df \wedge dg = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\,\dfrac{\partial g}{\partial y} - \dfrac{\partial f}{\partial y}\,\dfrac{\partial g}{\partial x}\right) dx \wedge dy\]

formülünün her \(f\), \(g\) için doğru olduğunu kabul edelim. Bu formülün düzlemdeki ters değişme kuralını gerektirdiğini gösteriniz.

Çözüm

Amaç. Düzlemde ters değişme kuralı, \(i, j \in \{1, 2\}\) için \(dx_i \wedge dx_j = -\,dx_j \wedge dx_i\) demektir. \(i \neq j\) için bu tek bir eşitliktir: \(dy \wedge dx = -\,dx \wedge dy\). \(i = j\) için kural \(dx \wedge dx = -\,dx \wedge dx\) ve \(dy \wedge dy = -\,dy \wedge dy\) der; bunlar \(dx \wedge dx = 0\) ve \(dy \wedge dy = 0\) eşitliklerinden hemen çıkar, çünkü \(0 = -0\). Dolayısıyla şu üç eşitliği formülden elde etmek yeterlidir: \(dy \wedge dx = -\,dx \wedge dy\), \(dx \wedge dx = 0\) ve \(dy \wedge dy = 0\).

Sıra değiştirme. \(f = y\), \(g = x\) alalım. \(f_x = 0\), \(f_y = 1\), \(g_x = 1\), \(g_y = 0\) olduğundan formül

\[dy \wedge dx = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1)\,dx \wedge dy = -\,dx \wedge dy\]

verir.

Tekrarlar. \(f = g = x\) için determinant \(1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0\), dolayısıyla \(dx \wedge dx = 0\). \(f = g = y\) için determinant \(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 0\), dolayısıyla \(dy \wedge dy = 0\).

Genel hâli. Formül daha fazlasını da söyler: bir determinantın iki satırının yeri değişince işareti değişir, bu yüzden her \(f\), \(g\) için \(dg \wedge df = -\,df \wedge dg\). Temel analizdeki değişken değiştirme formülünde yer alan Jacobi determinantı da bu işaretli büyüklüktür; alan ve hacim hesaplarında onun mutlak değerinin kullanılmasının nedeni budur.

\(\blacksquare\)

Son olarak bölümdeki fikirleri pekiştiren birkaç yeni alıştırma.

Alıştırma 6.22 (Üstel Katsayılı Bir 2-Formun Dış Türevi) Aşağıdaki 2-formun dış türevini \(k\,dx \wedge dy \wedge dz\) biçiminde yazdığımızda \(k\) katsayısının \(\mathbf{p} = (0, 1, 0)\) noktasındaki değerini bulunuz:

\[\eta = xz\,dx \wedge dy + y^2\,dx \wedge dz + e^x\,dy \wedge dz.\]

Çözüm

Tanım. Katsayıların diferansiyelleri \(d(xz) = z\,dx + x\,dz\), \(d(y^2) = 2y\,dy\) ve \(d(e^x) = e^x\,dx\)’tir. Tanım 6.3 gereği

\[d\eta = (z\,dx + x\,dz) \wedge dx \wedge dy + 2y\,dy \wedge dx \wedge dz + e^x\,dx \wedge dy \wedge dz.\]

Tekrarlar ve sıra. Birinci terimde yalnızca \(x\,dz \wedge dx \wedge dy = x\,dx \wedge dy \wedge dz\) kalır. İkinci terimde \(dy \wedge dx \wedge dz = -\,dx \wedge dy \wedge dz\). Dolayısıyla

\[d\eta = (x - 2y + e^x)\,dx \wedge dy \wedge dz.\]

Formülle denetim. Katsayı formülü de

\[\dfrac{\partial f}{\partial z} - \dfrac{\partial g}{\partial y} + \dfrac{\partial h}{\partial x} = x - 2y + e^x\]

verir. Uyuşur.

Noktada. \(k = x - 2y + e^x\) olduğundan \(\mathbf{p} = (0, 1, 0)\)’da \(k = 0 - 2 + 1 = -1\).

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.23 (Gradyanın Rotasyoneli) Her diferansiyellenebilir \(f\) fonksiyonu için \(\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f) = 0\) olduğunu dış türev yardımıyla gösteriniz.

Çözüm

Çeviri. Alıştırma 6.17 gereği \(\operatorname{grad} f\), birinci eşleme altında \(df\) 1-formuna karşılık gelir.

Rotasyonel. Alıştırma 6.18’yi \(\phi = df\) ve \(V = \operatorname{grad} f\) ile uygularsak \(\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f)\), ikinci eşleme altında \(d(df)\) 2-formuna karşılık gelir.

Sonuç. Alıştırma 6.8 gereği \(d(df) = 0\). İkinci eşleme birebirdir ve sıfır 2-formu sıfır vektör alanına götürür; dolayısıyla \(\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f) = 0\).

Doğrudan denetim. \(\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f)\)’nin \(U_1\) katsayısı \(\partial^2 f/\partial x_2\,\partial x_3 - \partial^2 f/\partial x_3\,\partial x_2 = 0\)’dır; öteki iki katsayı da aynı nedenle sıfırdır.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.24 (Rotasyonelin Diverjansı) Her diferansiyellenebilir \(V\) vektör alanı için \(\operatorname{div}(\operatorname{rot} V) = 0\) olduğunu dış türev yardımıyla gösteriniz.

Çözüm

Çeviri. \(V\)’ye birinci eşleme altında karşılık gelen 1-form \(\phi\) olsun. Alıştırma 6.18 gereği \(d\phi\), ikinci eşleme altında \(\operatorname{rot} V\)’ye karşılık gelir.

Diverjans. Alıştırma 6.19’yi \(\eta = d\phi\) ve \(\operatorname{rot} V\) alanıyla uygularsak

\[d(d\phi) = \bigl(\operatorname{div}(\operatorname{rot} V)\bigr)\,dx \wedge dy \wedge dz.\]

Sonuç. Alıştırma 6.16 gereği sol yan sıfırdır. Standart yazımın tekliği gereği katsayı da sıfırdır: \(\operatorname{div}(\operatorname{rot} V) = 0\).

Sayısal örnek. \(V = -y\,U_1 + x\,U_2\) için \(\operatorname{rot} V = 2\,U_3\) ve bunun diverjansı \(\partial 2/\partial z = 0\)’dır.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 6.25 (Determinantla Üçlü Kama Çarpımı) Alıştırma 6.14’deki determinant formülüyle şu çarpımı hesaplayınız:

\[(dx + dy) \wedge (dy + dz) \wedge (dx + dz).\]

Çözüm

Katsayı matrisi. Üç 1-formun \(dx\), \(dy\), \(dz\) katsayıları satır satır \((1, 1, 0)\), \((0, 1, 1)\) ve \((1, 0, 1)\)’dir.

Determinant. Birinci satıra göre açarsak

\[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 - 0) - 1 \cdot (0 - 1) + 0 = 2.\]

Sonuç. Çarpım \(2\,dx \wedge dy \wedge dz\)’dir.

Doğrudan denetim. \(dy \wedge dy = 0\) olduğundan

\[(dx + dy) \wedge (dy + dz) = dx \wedge dy + dx \wedge dz + dy \wedge dz.\]

Bunu \(dx + dz\) ile çarpınca yalnızca \(dx \wedge dy \wedge dz\) ve \(dy \wedge dz \wedge dx\) terimleri tekrar içermez; ikincisi de \(+\,dx \wedge dy \wedge dz\)’dir. Toplam \(2\,dx \wedge dy \wedge dz\).

\(\blacksquare\)

Etkileşimli sahne: üç 1-formun çarpımı ve işaretli hacim. \(\phi_1 = dx + dy\), \(\phi_2 = dy + dz\) ve \(\phi_3 = dx + dz\) formlarının katsayı üçlüleri başlangıç noktasından ok olarak çizilmiştir. Sezgi olarak, Alıştırma 6.14’deki determinant bu üç okun gerdiği paralelyüzün işaretli hacmidir: hacim pozitifken paralelyüz mavi, negatifken turuncu ve kesikli kenarlıdır. Sahneyi sürükleyerek döndürün; \(c_1\), \(c_2\), \(c_3\) kaydırıcıları üçüncü formu \(\phi_3 = c_1\,dx + c_2\,dy + c_3\,dz\) yapar ve determinant \(c_1 - c_2 + c_3\) olur. \(c_2\)’yi \(0\)’dan \(3\)’e götürün: \(\phi_3\)’ün oku ilk iki okun düzleminden geçerken paralelyüz yassılaşır, \(c_2 = 2\)’de hacim ve çarpım sıfırdır, ardından işaret değişir. \(\phi_1 \leftrightarrow \phi_2\) anahtarı ilk iki çarpanın yerini değiştirir: paralelyüz aynı kalır, hacmin işareti değişir.

viewof tripleWedgeControls = Inputs.form({
  c1: Inputs.range([-2, 2], { value: 1, step: 0.1, label: "c₁" }),
  c2: Inputs.range([-2, 3], { value: 0, step: 0.1, label: "c₂" }),
  c3: Inputs.range([-2, 2], { value: 1, step: 0.1, label: "c₃" }),
  swap: Inputs.toggle({ value: false, label: "φ₁ ↔ φ₂" })
})

tripleWedgePlot = html`<div class="scene3d" role="img" aria-label="Dondurulebilir sahne: uc 1-formun katsayi vektorlerinin gerdigi paralelyuz; rengi, katsayi determinanti olan isaretli hacmin isaretini gosterir"></div>`

{
  const { c1, c2, c3, swap } = tripleWedgeControls;
  const u = [1, 1, 0];
  const v = [0, 1, 1];
  const w = [c1, c2, c3];
  const origin = [0, 0, 0];
  const add = (...points) => [0, 1, 2].map((k) => points.reduce((sum, pt) => sum + pt[k], 0));
  const beyond = (q, gap) => {
    const length = Math.hypot(q[0], q[1], q[2]);
    return length < 1e-9 ? q : q.map((c) => c * (1 + gap / length));
  };
  // The factors in the order of the product: phi1 ∧ phi2 ∧ phi3, or phi2 ∧ phi1 ∧ phi3 when reversed.
  const [first, second] = swap ? [v, u] : [u, v];
  const det =
    first[0] * (second[1] * w[2] - second[2] * w[1]) -
    first[1] * (second[0] * w[2] - second[2] * w[0]) +
    first[2] * (second[0] * w[1] - second[1] * w[0]);
  const sign = det > 1e-9 ? 1 : det < -1e-9 ? -1 : 0;
  const color = sign > 0 ? theme.theory : sign < 0 ? theme.practice : theme.axis;
  const solid = Math.abs(det) > 1e-6;
  // One face of the parallelepiped; hidden (not removed) when the solid is flat, so the trace list keeps its order.
  const face = (corner, p, q) => ({
    ...surface((s, t) => [0, 1, 2].map((k) => corner[k] + s * p[k] + t * q[k]), 0, 1, 0, 1, color, { opacity: 0.14, nu: 2, nv: 2 }),
    visible: solid
  });
  // All twelve edges in one line: bottom face, top face, then the remaining side edges (three edges are retraced).
  const edges = [origin, u, add(u, v), v, origin, w, add(w, u), add(w, u, v), add(w, v), w, add(w, u), u, add(u, v), add(u, v, w), add(v, w), v];
  const traces = [
    // Text traces first: their text never changes, and nothing before them can change the list length.
    label(beyond(u, 0.35), "φ₁", theme.text),
    label(beyond(v, 0.35), "φ₂", theme.text),
    label(beyond(w, 0.35), "φ₃", theme.base),
    surface((s, t) => [0, 1, 2].map((k) => s * u[k] + t * v[k]), -1, 2, -1, 2, theme.surface, { opacity: 0.07, nu: 2, nv: 2 }),
    face(origin, u, v),
    face(w, u, v),
    face(origin, u, w),
    face(v, u, w),
    face(origin, v, w),
    face(u, v, w),
    {
      type: "scatter3d",
      mode: "lines",
      x: edges.map((pt) => pt[0]),
      y: edges.map((pt) => pt[1]),
      z: edges.map((pt) => pt[2]),
      line: { color, width: 3, dash: sign < 0 ? "dash" : "solid" },
      name: "paralelyüz",
      showlegend: true,
      hoverinfo: "skip"
    },
    ...arrow(origin, u, theme.text, "φ₁, φ₂ (sabit)"),
    ...arrow(origin, v, theme.text, "", { legend: false }),
    ...arrow(origin, w, theme.base, "φ₃ = c₁dx + c₂dy + c₃dz")
  ];
  render(Plotly, tripleWedgePlot, traces, sceneLayout(theme, { x: [-2.5, 3.5], y: [-2.5, 5.5], z: [-2.5, 3.5], eye: { x: -1.68, y: 0.61, z: 0.65 } }));
  const volume = fmt(det).replace("-", "−");
  const product = swap ? "φ₂ ∧ φ₁ ∧ φ₃" : "φ₁ ∧ φ₂ ∧ φ₃";
  return html`<div class="scene3d-readout">${product} = ${swap ? "−" : ""}(c₁ − c₂ + c₃) dx∧dy∧dz = ${volume} dx∧dy∧dz<br>paralelyüzün işaretli hacmi ${volume}${solid ? "" : " · üç ok aynı düzlemde: hacim ve çarpım sıfır"}</div>`;
}

Bu bölümde fonksiyonları, 1-formları, 2-formları ve 3-formları kama çarpımı ve dış türevle tek bir sisteme bağladık; sıradaki bölümde (Dönüşümler) bakışımızı bir Öklid uzayından ötekine giden fonksiyonlara çevirecek ve türevin bu fonksiyonlar için ne anlama geldiğini soracağız.