17 Çatı Alanlarının Özeti
Bu kısmı açarken (İç Çarpım) bir yöntem seçmiştik: incelenen nesnenin her noktasına birbirine dik üç birim vektör yerleştirmek ve bu çatının nasıl döndüğünü yine çatının kendi vektörleri cinsinden yazmak. Bu hedefe vardık. “Hareketli çatı” sezgisi kesin bir nesneye, çatı alanına dönüştü; çatı alanı ya bir eğri boyunca ya da \(\mathbb{R}^3\)’ün bir açık kümesi üzerinde tanımlıdır. Eğri durumunda yalnızca eğrinin Frenet çatısını, \(T, N, B\)’yi kullandık; bu alanların türevlerini alanların kendisi cinsinden yazınca eğrilik ve burulma ortaya çıktı. Açık küme durumunda keyfi bir \(E_1, E_2, E_3\) çatı alanıyla çalıştık; Cartan’ın bağlantı denklemleri aynı işi yaptı ve katsayılar bu kez 1-formlar, yani bağlantı formları oldu.
Bu bölüm yeni tanım getirmiyor. Kısmın nesnelerini ve türevlerini bir tabloda topluyor, Cartan’ın denklemlerini Frenet formüllerinin yanına koyuyor ve iki yöntemin ortak iskeletini görünür kılıyor: her türev ortonormal açılımla çatının kendisi cinsinden yazılır, katsayılar birer dönme hızıdır ve ters simetriktir, bu simetri de hep aynı yerden, sabit iç çarpımların türevinden gelir. Sonda birden çok bölümün araçlarını birlikte kullanan çözümlü tekrar soruları var.
17.1 Nesneler ve Türevleri
Tabloda \(\alpha\) düzgün, \(\beta\) birim hızlı bir eğridir (Frenet çatısının geçtiği satırlarda ayrıca \(\kappa > 0\)); \(v = \|\alpha'\|\) ise \(\alpha\)’nın süratidir; \(Y\), \(Z\) bir eğri üzerinde, \(V\), \(W\) ise uzayda vektör alanlarıdır. Kısmın ilk bölümündeki iki araç bütün satırların altında durur: bir noktadaki çatıya göre ortonormal açılım (Teorem 9.1) ve bir çatının doğal çatıya göre duruş matrisi (Tanım 9.8).
| nesne | türevi | çatı cinsinden | kurallar ve hesap |
|---|---|---|---|
| Eğri: \(\alpha\) | hız \(\alpha'\), ivme \(\alpha''\) (Tanım 10.4); sürat \(v\) ve yay uzunluğu (Tanım 10.1) | \(\alpha' = vT\), \(\alpha'' = v'\,T + \kappa v^2 N\) (Lemma 12.2) | düzgün her eğrinin birim hızlı bir yeniden parametrelendirmesi vardır (Teorem 10.1) |
| Eğri üzerinde vektör alanı: \(Y\) | \(Y'\), koordinat fonksiyonlarının türevi (Tanım 10.4) | bir çatıya göre katsayılar iç çarpımlardır | \((fY)' = f'\,Y + f\,Y'\) ve \((Y \cdot Z)' = Y' \cdot Z + Y \cdot Z'\) (Lemma 10.1); \(\|Y\|\) sabitse \(Y' \cdot Y = 0\) (Lemma 10.2); \(Y' = 0\) ancak ve ancak \(Y\) paralel (Lemma 10.4) |
| Frenet çatısı: \(T, N, B\), \(\beta\) boyunca | \(T'\), \(N'\), \(B'\) | \(T' = \kappa N\), \(N' = -\kappa T + \tau B\), \(B' = -\tau N\) (Teorem 11.1) | \(\kappa = \|T'\|\) (Tanım 11.1); \(N = T'/\kappa\), \(B = T \times N\) (Tanım 11.2); \(\tau = -B' \cdot N\) (Tanım 11.3) |
| Keyfi hızlı eğrinin çatısı: \(T, N, B\), \(\alpha\) boyunca | \(T'\), \(N'\), \(B'\) | aynı formüller, katsayılar \(v\) ile çarpılmış (Lemma 12.1) | \(\kappa = \|\alpha' \times \alpha''\| / \|\alpha'\|^3\) ve \(\tau = (\alpha' \times \alpha'') \cdot \alpha''' / \|\alpha' \times \alpha''\|^2\) (Teorem 12.1) |
| Vektör alanı: \(W\) | kovaryant türev \(\nabla_{\mathbf{v}} W = \bigl(W(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\bigr)'(0)\) (Tanım 13.2) ve \(\nabla_V W\) (Tanım 13.3) | \(\nabla_{\mathbf{v}} W = \sum_i \mathbf{v}[w_i]\, U_i(\mathbf{p})\) (Lemma 13.1) | lineerlik ve Leibniz kuralları (Teorem 13.1); eğri boyunca \(\nabla_{\alpha'(t)} W = W_\alpha'(t)\) (Alıştırma 13.11) |
| Çatı alanı: \(E_1, E_2, E_3\) | \(\nabla_V E_i\) | \(\nabla_V E_i = \sum_j \omega_{ij}(V)\, E_j\) (Teorem 15.1) | \(\omega_{ij}(\mathbf{v}) = \nabla_{\mathbf{v}} E_i \cdot E_j(\mathbf{p})\) (Tanım 15.1); \(\omega_{ij} = -\omega_{ji}\) (Lemma 15.1); \(\omega = dA\, A^{\mathsf{T}}\) (Teorem 15.2) |
| Dual formlar ve bağlantı formları: \(\theta_i\), \(\omega_{ij}\) | dış türevler \(d\theta_i\), \(d\omega_{ij}\) | \(d\theta = \omega\,\theta\) ve \(d\omega = \omega\,\omega\) (Teorem 16.1) | \(\theta_i(\mathbf{v}) = \mathbf{v} \cdot E_i(\mathbf{p})\) (Tanım 16.1); \(\theta = A\, d\xi\) (Önerme 16.1); \(df = \sum_i E_i[f]\, \theta_i\) (Sonuç 16.1) |
Üçüncü sütunda bir örüntü var: her satırda türev, yeni bir nesne getirilmeden eldeki nesnelerin diliyle yazılıyor. Frenet satırında \(T', N', B'\) yine \(T, N, B\) cinsinden; çatı alanı satırında \(\nabla_V E_i\) yine \(E_1, E_2, E_3\) cinsinden; son satırda dual formların ve bağlantı formlarının dış türevleri yine aynı formların kama çarpımları cinsinden yazılıyor. Basamaktan basamağa yalnızca katsayıların türü değişir: Frenet formüllerinde katsayılar fonksiyondur (\(\kappa\) ve \(\tau\)), bağlantı denklemlerinde 1-formdur (\(\omega_{ij}\)), yapı denklemlerinin sağ yanlarında ise 1-formların kama çarpımları, yani 2-formlar durur.
Satırlar birbirine de bağlanır. Keyfi hızlı eğri satırı birim hızlı satırın, zamanı \(s(t)\) yay uzunluğu fonksiyonuyla yeniden ayarlanmış hâlidir; formüllerdeki \(v\) çarpanı bu ayarın izidir. Kovaryant türev, eğri üzerindeki alanlar için tanımladığımız türevi uzaya yayılmış alanlara taşır ve bir eğri boyunca yeniden ona döner: \(\nabla_{\alpha'(t)} W = W_\alpha'(t)\). Bu son eşitlik, Frenet formülleri ile bağlantı denklemleri arasındaki köprüdür; bir sonraki başlıkta bu köprüden geçeceğiz.
17.2 Cartan ve Frenet Yan Yana
Bağlantı denklemlerinde \(V\)’yi gösterimden çıkarıp kısaca \(\nabla E_i = \sum_j \omega_{ij} E_j\) yazalım; bu yazılış, her \(V\) vektör alanı için \(\nabla_V E_i = \sum_j \omega_{ij}(V)\, E_j\) demektir. Ters simetriyi ve sıfır köşegeni kullanarak açarsak solda Cartan’ın denklemleri, sağda Frenet formülleri yan yana durur:
\[\begin{array}{rrrl} \nabla E_1 = & & \omega_{12} E_2 & {}+ \omega_{13} E_3,\\ \nabla E_2 = & -\omega_{12} E_1 & & {}+ \omega_{23} E_3,\\ \nabla E_3 = & -\omega_{13} E_1 & {}- \omega_{23} E_2, & \end{array} \qquad \begin{array}{rrrl} T' = & & \kappa N, & \\ N' = & -\kappa T & & {}+ \tau B,\\ B' = & & -\tau N. & \end{array}\]
İki sistemin kalıbı aynıdır: her satırda bir çatı üyesinin türevi öteki iki üyenin bir bileşimidir, katsayı matrisleri ters simetriktir ve köşegenleri sıfırdır. Cartan’ın denklemleri Frenet’inkilerden gözle görülür ölçüde karmaşık değildir. Bunun nedeni, katsayılar için hazır bir kavramımızın, 1-formların, bulunmasıdır: bir çatı alanı uzayda her yöne başka bir hızla döner ve 1-form, her yöne kendi sayısını lineer biçimde veren nesnedir. 1-formlar olmasaydı her yön için ayrı bir katsayı takımı taşımamız gerekirdi.
Benzerlikleri ve farkları bir tabloda toplayalım.
| Frenet | Cartan | |
|---|---|---|
| çatı | eğriye uyarlanmış \(T, N, B\) (Tanım 11.2) | keyfi \(E_1, E_2, E_3\) (Tanım 14.2) |
| nerede tanımlı | yalnızca eğri boyunca | \(\mathbb{R}^3\)’ün bir açık kümesinde |
| türev | eğri boyunca türev (Tanım 10.4) | her yönde kovaryant türev (Tanım 13.2) |
| katsayılar | iki fonksiyon: \(\kappa\), \(\tau\) | üç 1-form: \(\omega_{12}\), \(\omega_{13}\), \(\omega_{23}\) |
| katsayının anlamı | birim yol başına dönme hızı | seçilen yönde dönme hızı |
| katsayının hesabı | \(\kappa = T' \cdot N\), \(\tau = N' \cdot B\) | \(\omega_{ij}(\mathbf{v}) = \nabla_{\mathbf{v}} E_i \cdot E_j(\mathbf{p})\) ya da \(\omega = dA\, A^{\mathsf{T}}\) |
| ters simetrinin kaynağı | \(T, N, B\) ortonormaldir; Lemma 10.2 | \(E_i \cdot E_j = \delta_{ij}\); Teorem 13.1, (4) |
| hep sıfır olan katsayı | \(T'\)’nün \(B\) bileşeni, çünkü \(N\) öyle seçildi | yok; üç form da sıfırdan farklı olabilir |
| katsayılar sıfırsa | \(\kappa = 0\): doğru (Önerme 11.2); \(\tau = 0\): düzlem eğrisi (Sonuç 11.1) | \(\omega = 0\): \(\mathbb{R}^3\) üzerinde çatı her noktada aynı (Örnek 15.10) |
| dış türev basamağı | yok: \(\kappa\) ve \(\tau\) yalnızca eğri boyunca tanımlı fonksiyonlardır | yapı denklemleri (Teorem 16.1) |
Tablonun iki sütunu birbirinden bağımsız değildir: Frenet formülleri, bağlantı denklemlerinin bir eğri boyunca yazılışıdır. \(\beta\), \(\kappa > 0\) olan birim hızlı bir eğri ve \(E_1, E_2, E_3\), \(\beta\)’nın noktalarını içeren bir açık kümede tanımlı ve \(\beta\) boyunca \(T, N, B\) ile çakışan bir çatı alanı olsun. Böyle bir alan her eğri için bulunmayabilir; örneğin kendini kesen bir eğri kesişme noktasından iki farklı teğetle geçiyorsa \(E_1\) o noktada iki değer birden alamaz. Bulunduğunda ise Sonuç 15.1 \(T', N', B'\) türevlerini katsayıları \(\omega_{ij}(T)\) olan bir sistemle verir; bu sistemi Frenet formülleriyle karşılaştırınca (Alıştırma 15.12)
\[\omega_{12}(T) = \kappa, \qquad \omega_{13}(T) = 0, \qquad \omega_{23}(T) = \tau\]
bulunur. Yani eğrilik ve burulma, eğriye uyarlanmış bir çatı alanının bağlantı formlarının birim teğete uygulanmasıyla okunur; Frenet formüllerinde \(\omega_{13}\)’ün karşılığının bulunmaması da \(N\)’nin seçiminin sonucudur. Eğri keyfi hızlıysa \(\alpha' = vT\)’dir ve bağlantı formları her noktada lineer olduğundan \(\omega_{ij}(\alpha') = v\,\omega_{ij}(T)\) olur: keyfi hızlı eğrilerin Frenet formüllerindeki \(v\) çarpanı buradan gelir (Alıştırma 17.2). Helisler için böyle bir çatı alanını Örnek 15.5’te açıkça kurmuştuk; aşağıdaki örnek, onun bağlantı formlarının helis boyunca ve başka yönlerde ne söylediğini karşılaştırıyor.
Örnek 17.1 (Bir Form Matrisi, Her Yöne Bir Sayı Matrisi) \(E_1, E_2, E_3\) silindirik çatı alanı olmak üzere Örnek 15.5’teki çatı alanını \(a = 4\), \(b = 3\), \(c = 5\) için alalım:
\[H_1 = \tfrac{4}{5}\, E_2 + \tfrac{3}{5}\, E_3, \qquad H_2 = -E_1, \qquad H_3 = -\tfrac{3}{5}\, E_2 + \tfrac{4}{5}\, E_3.\]
Birim hızlı
\[\beta(s) = \bigl(4\cos(s/5),\ 4\sin(s/5),\ 3s/5\bigr)\]
helisinin \(\mathbf{p} = \beta(0) = (4, 0, 0)\) noktasında, bu çatı alanının bağlantı formlarının matrisini helisin birim teğetine, silindirik \(E_2\)’ye, \(E_1\)’e ve \(E_3\)’e uygulayalım.
Çözüm
Form matrisi. Örnek 15.5’e göre \(\omega_{12} = \tfrac{4}{5}\, d\vartheta\), \(\omega_{13} = 0\) ve \(\omega_{23} = \tfrac{3}{5}\, d\vartheta\)’dır. Ters simetriyle
\[\omega = d\vartheta \begin{pmatrix} 0 & 4/5 & 0 \\ -4/5 & 0 & 3/5 \\ 0 & -3/5 & 0 \end{pmatrix}\]
olur. \(\mathbf{p}\)’deki bir \(\mathbf{v}\) teğet vektörü için \(\omega(\mathbf{v})\), girdileri \(\omega_{ij}(\mathbf{v})\) sayıları olan matristir; yani sabit matrisin \(d\vartheta(\mathbf{v})\) katıdır.
\(d\vartheta\)’nın değerleri. \(d\vartheta = (-y\, dx + x\, dy)/(x^2 + y^2)\) olduğundan (Örnek 15.3) \(\mathbf{p} = (4, 0, 0)\)’da \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)_{\mathbf{p}}\) için \(d\vartheta(\mathbf{v}) = v_2/4\)’tür. Helisin hızının vektör kısmı \(\bigl(-\tfrac{4}{5}\sin(s/5), \tfrac{4}{5}\cos(s/5), \tfrac{3}{5}\bigr)\) olduğundan \(T(0) = (0, 4/5, 3/5)_{\mathbf{p}}\); ayrıca \(E_1(\mathbf{p}) = (1, 0, 0)_{\mathbf{p}}\), \(E_2(\mathbf{p}) = (0, 1, 0)_{\mathbf{p}}\), \(E_3(\mathbf{p}) = (0, 0, 1)_{\mathbf{p}}\)’dir. Buradan
\[d\vartheta(T) = \dfrac{1}{5}, \qquad d\vartheta(E_2) = \dfrac{1}{4}, \qquad d\vartheta(E_1) = d\vartheta(E_3) = 0.\]
Helis boyunca. \(T\) yönünde
\[\omega(T) = \begin{pmatrix} 0 & 4/25 & 0 \\ -4/25 & 0 & 3/25 \\ 0 & -3/25 & 0 \end{pmatrix}\]
bulunur. Bu, Frenet formüllerinin katsayı matrisidir: \(\kappa = 4/25\) ve \(\tau = 3/25\). Örnek 11.5’teki \(\kappa = a/c^2\) ve \(\tau = b/c^2\) formülleri de aynı sayıları verir.
Eksen etrafında yatay. Silindirik \(E_2\) yönünde
\[\omega(E_2) = \begin{pmatrix} 0 & 1/5 & 0 \\ -1/5 & 0 & 3/20 \\ 0 & -3/20 & 0 \end{pmatrix}\]
olur. Burada çatı helis boyuncakinden daha hızlı döner: \(\mathbf{p}\) noktası eksen etrafında yatay ve birim hızla ilerlerken \(\vartheta\) açısı \(1/r = 1/4\) hızıyla artar; helis boyunca ise hızın bir kısmı yukarı çıkmaya gider. Gerçekten \(T = \tfrac{4}{5}\, E_2(\mathbf{p}) + \tfrac{3}{5}\, E_3(\mathbf{p})\) ve bağlantı formları lineer olduğundan
\[\omega(T) = \tfrac{4}{5}\, \omega(E_2) + \tfrac{3}{5}\, \omega(E_3) = \tfrac{4}{5}\, \omega(E_2);\]
örneğin \(\tfrac{4}{5} \cdot \tfrac{1}{5} = \tfrac{4}{25}\) ve \(\tfrac{4}{5} \cdot \tfrac{3}{20} = \tfrac{3}{25}\).
Dışa ve yukarı. \(E_1\) ve \(E_3\) yönünde \(d\vartheta\) sıfırdır, dolayısıyla \(\omega(E_1)\) ve \(\omega(E_3)\) sıfır matrisidir: eksenden dışa ya da yukarı ilerleyişte çatı hiç dönmez.
Yorum. Bir 1-form matrisi her teğet vektöre bir sayı matrisi verir. Frenet formüllerinin \(\kappa\) ve \(\tau\) sayıları bu sayı matrislerinden yalnızca birini, helisin kendi yönündekini okur; öteki yönlerdeki matrisler aynı çatı alanının dönmesini anlatır, ama helis hakkında bilgi taşımaz.
\(\blacksquare\)
17.3 Ortak Örüntüler
Kısmın bütün hesapları birkaç basit fikrin üzerine kurulu. Bunları ayrı ayrı adlandırmak, ileride yüzeylere uyarlanmış çatılarla çalışırken nereye bakacağımızı bilmemizi sağlar.
Katsayılar iç çarpımdır. Bir noktadaki çatıya göre bir vektörün katsayısı, o vektörün çatı üyesiyle iç çarpımıdır (Teorem 9.1). Kısmın adı konmuş büyüklüklerinin çoğu bu tek işlemin örnekleridir: duruş matrisinin girdileri \(a_{ij} = E_i \cdot U_j\), eğrilik ve burulma \(\kappa = T' \cdot N\) ve \(\tau = N' \cdot B\), bağlantı formları \(\omega_{ij}(\mathbf{v}) = \nabla_{\mathbf{v}} E_i \cdot E_j(\mathbf{p})\), dual formlar \(\theta_i(\mathbf{v}) = \mathbf{v} \cdot E_i(\mathbf{p})\).
Ters simetri hep aynı yerden gelir. \(F_i \cdot F_j = \delta_{ij}\) sabittir; Leibniz kuralıyla türev alınca \(F_i' \cdot F_j + F_i \cdot F_j' = 0\) bulunur. Eğri üzerindeki alanlarda bu Lemma 10.2’dır ve bir eğri üzerindeki her çatının türev katsayılarını ters simetrik yapar (Alıştırma 17.1). Uzaydaki alanlarda aynı hesabı kovaryant türevin iç çarpım kuralı yapar (Lemma 15.1); matris dilinde ise \(A A^{\mathsf{T}} = I\) eşitliğinin diferansiyeli \(\omega + \omega^{\mathsf{T}} = 0\) verir (Örnek 15.9). Ters simetri dokuz katsayıyı üçe indirir; Frenet çatısında \(N\)’nin seçimi bir katsayıyı daha sıfırlar ve geriye iki fonksiyon, \(\kappa\) ile \(\tau\), kalır.
Katsayılar dönme hızıdır. \(\omega_{ij}(\mathbf{v})\), \(\mathbf{p}\) noktası \(\mathbf{v}\) yönünde harekete geçtiğinde \(E_i\)’nin \(E_j\)’ye doğru dönmeye başlama hızıdır. \(\kappa\), birim yol başına \(T\)’nin \(N\)’ye doğru, \(\tau\) da \(N\)’nin \(B\)’ye doğru dönme hızıdır. Düzlemde dönme tek bir açıyla anlatılır ve iki dil tam olarak çakışır: açısı \(\psi\) olan bir çatı alanının bağlantı formu \(d\psi\)’dir (Örnek 15.3), eğim açısı \(\varphi\) olan bir eğrinin düzlem eğriliği \(\varphi'\)’dür (Alıştırma 11.13) ve ikincisi birincisinin eğri boyunca değeridir (Alıştırma 17.4).
Uyarlanmış çatı. Frenet çatısı eğriye uyarlanmıştır; bu yüzden \(\kappa\) ve \(\tau\) eğrinin kendisi hakkında bilgi verir. Keyfi bir çatı alanının bağlantı formları ise yalnızca o çatı alanının dönmesini kaydeder. Yöntemin gücü, çatıyı probleme göre seçebilmemizdedir; Cartan Yapı Denklemleri bölümünün sonundaki dört adımlı reçete bunu söyler. Uyarlanmış bir çatı alanı birden çok nesneye aynı anda uyarlanmış olabilir: Örnek 15.6’ndeki çatı alanı ekseni \(z\) ekseni ve eğimi \(3/4\) olan bütün helislerin, silindirik çatıdan kurulan bir düzlem çatı alanı da \(xy\) düzleminde merkezi orijin olan ve saatin tersi yönünde dolaşılan bütün çemberlerin Frenet çatısını birden taşır.
17.4 Tekrar Soruları
Her soru birden çok bölümün araçlarını birlikte kullanır.
Alıştırma 17.1 (Bir Eğri Üzerindeki Çatının Türev Katsayıları) \(\alpha : I \to \mathbb{R}^3\) bir eğri, \(F_1, F_2, F_3\) de \(\alpha\) üzerinde, her \(t\) için \(F_1(t), F_2(t), F_3(t)\) bir çatı olacak biçimde vektör alanları olsun. \(c_{ij} = F_i' \cdot F_j\) fonksiyonları için
\[F_i' = \sum_{j=1}^{3} c_{ij}\, F_j \qquad \text{ve} \qquad c_{ij} = -c_{ji}\]
olduğunu gösteriniz; Frenet formüllerinin ve bir eğri boyunca bağlantı denklemlerinin bu sistemin özel hâlleri olduğunu açıklayınız.
Çözüm
Açılım. \(t \in I\) sabit olsun. \(F_i'(t)\), \(\alpha(t)\) noktasında bir teğet vektördür (Tanım 10.4) ve aynı noktada \(F_1(t), F_2(t), F_3(t)\) bir çatıdır. Ortonormal açılım (Teorem 9.1)
\[F_i'(t) = \sum_{j=1}^{3} \bigl(F_i'(t) \cdot F_j(t)\bigr)\, F_j(t) = \sum_{j=1}^{3} c_{ij}(t)\, F_j(t)\]
verir. Bu her \(t\) için doğru olduğundan \(F_i' = \sum_j c_{ij} F_j\)’dir.
Ters simetri. Çatı koşulu gereği \(F_i \cdot F_j\) fonksiyonu sabittir: \(i = j\) ise \(1\), \(i \neq j\) ise \(0\). Lemma 10.2 bu durumda \(F_i' \cdot F_j = -F_i \cdot F_j'\) verir. İç çarpım simetrik olduğundan sağ yan \(-F_j' \cdot F_i = -c_{ji}\)’dir; yani \(c_{ij} = -c_{ji}\). Özel olarak \(c_{11} = c_{22} = c_{33} = 0\) olur ve sistem üç fonksiyonla, \(c_{12}\), \(c_{13}\), \(c_{23}\) ile belirlenir.
Frenet formülleri. \(\alpha = \beta\) birim hızlı, \(\kappa > 0\) ve \(F_1, F_2, F_3 = T, N, B\) olsun. \(N\)’nin tanımı gereği \(T' = \kappa N\)’dir (Tanım 11.2), dolayısıyla \(c_{12} = \kappa N \cdot N = \kappa\) ve \(c_{13} = \kappa N \cdot B = 0\). Burulmanın tanımı \(B' = -\tau N\) olduğundan (Tanım 11.3) \(c_{32} = -\tau\), ters simetriyle \(c_{23} = \tau\). Genel sistem bu üç sayıyla
\[T' = \kappa N, \qquad N' = -\kappa T + \tau B, \qquad B' = -\tau N\]
olur; Frenet formüllerinin ispatının özü (Teorem 11.1) tam olarak bu hesaptır.
Bağlantı denklemleri. \(F_i\), bir \(E_1, E_2, E_3\) çatı alanının \(\alpha\)’ya kısıtlanışı olsun. Sonuç 15.1 \(F_i' = \sum_j \omega_{ij}(\alpha')\, F_j\) verir. Açılımdaki katsayılar tek olduğundan her \(t\) için \(c_{ij}(t) = \omega_{ij}\bigl(\alpha'(t)\bigr)\)’dir. Bu durumda ters simetri iki yoldan gelir: yukarıdaki hesaptan ve bağlantı formlarının kendi ters simetrisinden (Lemma 15.1).
Yani bir eğri boyunca her çatı, Frenet biçiminde ters simetrik bir sistemle değişir. Frenet çatısının özelliği, \(F_1 = T\) seçildiğinde \(c_{13} = T' \cdot F_3\) katsayısının sıfır olmasıdır; \(N\) tam da bunu sağlayacak biçimde seçilmiştir; bağlantı denklemlerini ayıran ise katsayıların uzaydaki 1-formlardan, yani eğriden bağımsız bir kaynaktan gelmesidir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 17.2 (Sürat Çarpanı Bağlantı Formlarının Lineerliğinden Gelir) \(\alpha : I \to \mathbb{R}^3\), eğriliği \(\kappa > 0\) olan düzgün bir eğri, \(v\) sürati ve \(T, N, B\) Frenet çatı alanı olsun. \(E_1, E_2, E_3\), tanım kümesi \(\alpha\)’nın noktalarını içeren ve her \(t\) için \(E_1(\alpha(t)) = T(t)\), \(E_2(\alpha(t)) = N(t)\), \(E_3(\alpha(t)) = B(t)\) eşitliklerini sağlayan bir çatı alanı olsun. Keyfi hızlı eğriler için Frenet formüllerini (Lemma 12.1) bağlantı denklemlerinden çıkarınız.
Çözüm
Birim hızlı kopyada. \(\bar\alpha\), \(\alpha\)’nın birim hızlı yeniden parametrelendirmesi olsun: \(s\) bir yay uzunluğu fonksiyonu ve \(\alpha = \bar\alpha(s)\). \(\bar\alpha\), \(s\)’nin görüntüsü olan aralıkta tanımlıdır; yani her parametre değeri bir \(t \in I\) için \(s(t)\) biçimindedir. Frenet aparatının tanımı (Tanım 12.1) \(T(t) = \bar T(s(t))\) der; dolayısıyla
\[E_1\bigl(\bar\alpha(s(t))\bigr) = E_1\bigl(\alpha(t)\bigr) = T(t) = \bar T\bigl(s(t)\bigr),\]
ve aynı biçimde \(E_2\), \(E_3\) de \(\bar\alpha\) boyunca \(\bar N\), \(\bar B\) ile çakışır. Alıştırma 15.12’i \(\bar\alpha\)’ya uygulayıp \(s(t)\)’de değerlendirirsek
\[\omega_{12}\bigl(T(t)\bigr) = \kappa(t), \qquad \omega_{13}\bigl(T(t)\bigr) = 0, \qquad \omega_{23}\bigl(T(t)\bigr) = \tau(t)\]
buluruz; çünkü \(\bar T(s(t)) = T(t)\), \(\bar\kappa(s(t)) = \kappa(t)\) ve \(\bar\tau(s(t)) = \tau(t)\)’dir.
Lineerlik. Lemma 12.2 gereği \(\alpha'(t) = v(t)\, T(t)\)’dir. Bağlantı formları her noktada lineer olduğundan (Lemma 15.1)
\[\omega_{ij}\bigl(\alpha'(t)\bigr) = v(t)\, \omega_{ij}\bigl(T(t)\bigr).\]
Böylece \(\omega_{12}(\alpha') = \kappa v\), \(\omega_{13}(\alpha') = 0\) ve \(\omega_{23}(\alpha') = \tau v\).
Bağlantı denklemleri eğri boyunca. \(E_1, E_2, E_3\)’ün \(\alpha\)’ya kısıtlanışları \(T, N, B\)’dir. Sonuç 15.1 ile, ters simetriyi ve sıfır köşegeni kullanarak,
\[\begin{aligned} T' &= \omega_{12}(\alpha')\, N + \omega_{13}(\alpha')\, B = \kappa v\, N,\\ N' &= -\omega_{12}(\alpha')\, T + \omega_{23}(\alpha')\, B = -\kappa v\, T + \tau v\, B,\\ B' &= -\omega_{13}(\alpha')\, T - \omega_{23}(\alpha')\, N = -\tau v\, N. \end{aligned}\]
Bunlar keyfi hızlı eğrinin Frenet formülleridir.
Yorum. \(\kappa\) ve \(\tau\) birim yol başına dönme hızlarıdır; \(T'\) ise birim zaman başına değişimdir. Birim zamanda \(v\) kadar yol gidildiğinden araya \(v\) çarpanı girer. Keyfi hızlı eğriler bölümünde bu çarpan zincir kuralından gelmişti; burada 1-formların lineerliğinden geliyor, çünkü hız vektörü birim teğetin \(v\) katıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 17.3 (Keyfi Hızlı Bir Helis Boyunca Bağlantı Formları) \(\alpha(t) = (4\cos t, 4\sin t, 3t)\) helisi ile Örnek 17.1’ndeki \(H_1, H_2, H_3\) çatı alanı verilsin. \(\omega_{ij}\bigl(\alpha'(t)\bigr)\) sayılarını hesaplayınız ve \(\alpha\)’nın sürati, eğriliği ve burulmasıyla \(\omega_{12}(\alpha') = \kappa v\), \(\omega_{13}(\alpha') = 0\), \(\omega_{23}(\alpha') = \tau v\) eşitliklerini doğrulayınız.
Çözüm
Çatı eğri boyunca. Örnek 17.1’ndeki birim hızlı \(\beta\) helisi için \(\beta(5t) = \alpha(t)\)’dir; \(s = 5t\) artan bir yeniden parametrelendirmedir. Örnek 15.5’e göre \(H_1, H_2, H_3\) alanları \(\beta\) boyunca \(\beta\)’nın Frenet çatısıdır; Frenet aparatının tanımı (Tanım 12.1) gereği \(\alpha\) boyunca da \(\alpha\)’nın Frenet çatısıdır.
Formların değeri. \(\alpha'(t) = (-4\sin t, 4\cos t, 3)_{\alpha(t)}\) ve \(\alpha(t)\)’de \(x = 4\cos t\), \(y = 4\sin t\), \(x^2 + y^2 = 16\) olduğundan
\[d\vartheta\bigl(\alpha'(t)\bigr) = \dfrac{-4\sin t \cdot (-4\sin t) + 4\cos t \cdot 4\cos t}{16} = 1.\]
Bağlantı formları \(\omega_{12} = \tfrac{4}{5}\, d\vartheta\), \(\omega_{13} = 0\), \(\omega_{23} = \tfrac{3}{5}\, d\vartheta\) olduğundan
\[\omega_{12}(\alpha') = \dfrac{4}{5}, \qquad \omega_{13}(\alpha') = 0, \qquad \omega_{23}(\alpha') = \dfrac{3}{5}.\]
Değerin \(1\) çıkması şaşırtıcı değildir: \(d\vartheta(\alpha')\), \(\vartheta(\alpha(t))\) fonksiyonunun \(t\)’ye göre türevidir (Tanım 5.5, Lemma 4.2) ve \(\vartheta\)’nın tanımlı olduğu her parçada helis üzerinde \(\vartheta = t + 2\pi k\)’dir. \(d\vartheta\)’nın kendisi \(z\) ekseni dışında her yerde tanımlı olduğundan sonuç bütün helis boyunca geçerlidir.
Aparat. Türevler
\[\alpha'' = (-4\cos t, -4\sin t, 0), \qquad \alpha''' = (4\sin t, -4\cos t, 0)\]
ve sürat \(v = \sqrt{16\sin^2 t + 16\cos^2 t + 9} = 5\)’tir. Vektörel çarpım
\[\alpha' \times \alpha'' = (12\sin t,\ -12\cos t,\ 16), \qquad \|\alpha' \times \alpha''\| = \sqrt{144 + 256} = 20\]
olur. Teorem 12.1 ile
\[\kappa = \dfrac{20}{5^3} = \dfrac{4}{25}, \qquad \tau = \dfrac{48\sin^2 t + 48\cos^2 t}{20^2} = \dfrac{48}{400} = \dfrac{3}{25}.\]
Karşılaştırma. \(\kappa v = \tfrac{4}{25} \cdot 5 = \tfrac{4}{5}\) ve \(\tau v = \tfrac{3}{25} \cdot 5 = \tfrac{3}{5}\); üç eşitlik de tutar.
Doğrudan denetim. \(T = \alpha'/5\) alanının vektör kısmını türevleyelim:
\[\begin{aligned} T &= \bigl(-\tfrac{4}{5}\sin t,\ \tfrac{4}{5}\cos t,\ \tfrac{3}{5}\bigr),\\ T' &= \bigl(-\tfrac{4}{5}\cos t,\ -\tfrac{4}{5}\sin t,\ 0\bigr) = \tfrac{4}{5}\,(-\cos t, -\sin t, 0). \end{aligned}\]
\(H_2 = -E_1\)’in \(\alpha(t)\)’deki vektör kısmı \((-\cos t, -\sin t, 0)\) olduğundan \(T' = \tfrac{4}{5}\, H_2 = \omega_{12}(\alpha')\, N\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 17.4 (Düzlem Eğriliği Bir Bağlantı Formunun Değeridir) \(\beta(s) = \bigl(x(s), y(s), 0\bigr)\), \(xy\) düzleminde birim hızlı bir eğri; \(\varphi\) eğim açısı, \(N\) birim teğetin \(+90^\circ\) döndürülmüşü ve \(\tilde\kappa\) düzlem eğriliği olsun (Alıştırma 11.12, Alıştırma 11.13). \(\psi\), \(\beta\)’nın noktalarını içeren bir açık kümede diferansiyellenebilir ve her \(s\) için \(\psi(\beta(s)) = \varphi(s)\) olan bir fonksiyon;
\[F_1 = \cos\psi\, U_1 + \sin\psi\, U_2, \qquad F_2 = -\sin\psi\, U_1 + \cos\psi\, U_2, \qquad F_3 = U_3\]
de Örnek 15.3’deki çatı alanı olsun. \(\tilde\kappa = \omega_{12}(T) = d\psi(T)\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Çatı eğri boyunca. \(T = \beta' = (\cos\varphi, \sin\varphi, 0)\) ve onun \(+90^\circ\) döndürülmüşü \(N = (-\sin\varphi, \cos\varphi, 0)\)’dır. \(\psi(\beta(s)) = \varphi(s)\) olduğundan \(F_1(\beta(s)) = T(s)\) ve \(F_2(\beta(s)) = N(s)\); \(F_3 = U_3\) ise düzleme diktir.
Bağlantı denklemleri. Örnek 15.3’e göre \(\omega_{12} = d\psi\) ve \(\omega_{13} = \omega_{23} = 0\)’dır. Sonuç 15.1’yı \(\beta' = T\) ile uygularsak
\[\begin{aligned} T' &= \omega_{12}(T)\, N + \omega_{13}(T)\, U_3 = d\psi(T)\, N,\\ N' &= -\omega_{12}(T)\, T + \omega_{23}(T)\, U_3 = -d\psi(T)\, T \end{aligned}\]
bulunur. Düzlem eğriliği \(T' = \tilde\kappa N\) ile tanımlanmıştı ve \(N\) birim olduğundan katsayı tektir: \(\tilde\kappa = d\psi(T) = \omega_{12}(T)\). İkinci denklem de Alıştırma 11.12’deki \(N' = -\tilde\kappa T\) eşitliğidir.
Eğim açısının türevi. Diferansiyelin tanımı (Tanım 5.5) ve Lemma 4.2 ile
\[d\psi\bigl(T(s)\bigr) = T(s)[\psi] = \dfrac{d\bigl(\psi(\beta)\bigr)}{ds}(s) = \varphi'(s).\]
Böylece \(\tilde\kappa = \varphi'\) eşitliği, yani Alıştırma 11.13, bağlantı denklemlerinden yeniden çıkar. Yukarıdaki ilk iki adımda \(\psi\)’nin yalnızca \(F_1, F_2\) alanlarının \(\beta\) boyunca \(T, N\) ile çakışmasını sağladığını kullandık; \(\tilde\kappa = \omega_{12}(T)\) sonucu bu çakışma olan her durumda geçerlidir.
Bir örnek: merkezi orijin olan çemberler. \(R > 0\) olsun ve
\[\beta(s) = \bigl(R\cos(s/R),\ R\sin(s/R),\ 0\bigr)\]
çemberini alalım; çember saatin tersi yönünde dolaşılır ve \(T = \bigl(-\sin(s/R), \cos(s/R), 0\bigr)\)’dır. \(E_1, E_2, E_3\) silindirik çatı alanı olmak üzere
\[F_1 = E_2 = -\sin\vartheta\, U_1 + \cos\vartheta\, U_2, \qquad F_2 = -E_1 = -\cos\vartheta\, U_1 - \sin\vartheta\, U_2\]
alalım. Bu çatı alanı \(z\) ekseni dışında her yerde tanımlıdır ve \(\vartheta\)’nın tanımlı olduğu her açık parçada \(\psi = \vartheta + \pi/2\) açısıyla dönen çatıdır. Tam çemberin çevresinde tek değerli bir \(\psi\) seçilemez, çünkü bir turda \(\varphi\) açısı \(2\pi\) artar; ama yukarıda gördüğümüz gibi \(\tilde\kappa = \omega_{12}(T)\) eşitliği için yalnızca \(F_1 = T\) ve \(F_2 = N\) çakışması gerekir. Çember üzerinde \(F_1\) ile \(F_2\)’nin vektör kısımları \(\bigl(-\sin(s/R), \cos(s/R), 0\bigr)\) ve \(\bigl(-\cos(s/R), -\sin(s/R), 0\bigr)\)’dır, yani \(F_1 = T\) ve \(F_2 = N\). Bağlantı formu, \(z\) ekseni dışında her yerde tanımlı olan \(\omega_{12} = d\vartheta\)’dır (Örnek 15.3) ve \(u = s/R\) yazarak
\[\tilde\kappa = d\vartheta(T) = \dfrac{-R\sin u \cdot (-\sin u) + R\cos u \cdot \cos u}{R^2} = \dfrac{1}{R}\]
buluruz. Bu, çemberin eğriliğidir (Örnek 11.1); saatin tersi yönünde dolaşılan çemberin düzlem eğriliği de budur (Alıştırma 11.14). Aynı çatı alanı, \(xy\) düzleminde merkezi orijin olan ve saatin tersi yönünde dolaşılan bütün çemberlere birden uyarlanmıştır: aynı ışın üzerindeki noktalarda çatı aynıdır ve yarıçap yalnızca \(T\) yönünde yürürken açının ne hızla değiştiğini belirler.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 17.5 (Helise Uyarlanmış Çatıda Yapı Denklemleri) \(a > 0\), \(b \neq 0\), \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\) ve \(H_1, H_2, H_3\), Örnek 15.5’teki çatı alanı olsun. Bu çatı alanının dual 1-formlarını \(r\), \(\vartheta\), \(z\) silindirik koordinatlarıyla yazınız ve altı yapı denklemini doğrulayınız.
Çözüm
Dual formlar. \(H\) çatı alanının dual formlarını \(\bar\theta_1, \bar\theta_2, \bar\theta_3\) ile, silindirik çatınınkileri \(\theta_1, \theta_2, \theta_3\) ile gösterelim. Bir \(\mathbf{p}\) noktasındaki her \(\mathbf{v}\) için, iç çarpımın lineerliğiyle,
\[\bar\theta_1(\mathbf{v}) = \mathbf{v} \cdot H_1(\mathbf{p}) = \dfrac{a}{c}\, \mathbf{v} \cdot E_2(\mathbf{p}) + \dfrac{b}{c}\, \mathbf{v} \cdot E_3(\mathbf{p}) = \dfrac{a}{c}\, \theta_2(\mathbf{v}) + \dfrac{b}{c}\, \theta_3(\mathbf{v})\]
olur; öteki ikisi aynı biçimde bulunur. Alıştırma 16.3’daki \(\theta_1 = dr\), \(\theta_2 = r\, d\vartheta\), \(\theta_3 = dz\) ile
\[\bar\theta_1 = \dfrac{a}{c}\, r\, d\vartheta + \dfrac{b}{c}\, dz, \qquad \bar\theta_2 = -dr, \qquad \bar\theta_3 = -\dfrac{b}{c}\, r\, d\vartheta + \dfrac{a}{c}\, dz.\]
Bağlantı formları Örnek 15.5’ten: \(\omega_{12} = \tfrac{a}{c}\, d\vartheta\), \(\omega_{13} = 0\), \(\omega_{23} = \tfrac{b}{c}\, d\vartheta\).
Dış türevler. \(d(dr) = d(d\vartheta) = d(dz) = 0\) ve \(d(r\, d\vartheta) = dr \wedge d\vartheta\) olduğundan (Alıştırma 16.6)
\[d\bar\theta_1 = \dfrac{a}{c}\, dr \wedge d\vartheta, \qquad d\bar\theta_2 = 0, \qquad d\bar\theta_3 = -\dfrac{b}{c}\, dr \wedge d\vartheta,\]
ve üç bağlantı formunun dış türevi sıfırdır.
Birinci yapı denklemleri. Açık yazılışla (Önerme 16.2) sağ yanları hesaplayalım; \(d\vartheta \wedge d\vartheta = 0\)’dır. \(i = 1\) için
\[\omega_{12} \wedge \bar\theta_2 + \omega_{13} \wedge \bar\theta_3 = \dfrac{a}{c}\, d\vartheta \wedge (-dr) = \dfrac{a}{c}\, dr \wedge d\vartheta = d\bar\theta_1.\]
\(i = 2\) için \(\omega_{21} = -\tfrac{a}{c}\, d\vartheta\) ile
\[\begin{aligned} \omega_{21} \wedge \bar\theta_1 + \omega_{23} \wedge \bar\theta_3 &= -\dfrac{a}{c}\, d\vartheta \wedge \dfrac{b}{c}\, dz + \dfrac{b}{c}\, d\vartheta \wedge \dfrac{a}{c}\, dz\\ &= -\dfrac{ab}{c^2}\, d\vartheta \wedge dz + \dfrac{ab}{c^2}\, d\vartheta \wedge dz = 0 = d\bar\theta_2. \end{aligned}\]
\(i = 3\) için \(\omega_{31} = 0\) ve \(\omega_{32} = -\tfrac{b}{c}\, d\vartheta\) ile
\[\omega_{31} \wedge \bar\theta_1 + \omega_{32} \wedge \bar\theta_2 = -\dfrac{b}{c}\, d\vartheta \wedge (-dr) = -\dfrac{b}{c}\, dr \wedge d\vartheta = d\bar\theta_3.\]
İkinci yapı denklemleri. Sol yanlar sıfırdır. Sağ yanlar da sıfırdır:
\[\omega_{13} \wedge \omega_{32} = 0, \qquad \omega_{12} \wedge \omega_{23} = \dfrac{ab}{c^2}\, d\vartheta \wedge d\vartheta = 0, \qquad \omega_{21} \wedge \omega_{13} = 0.\]
Yorum. Sıfırdan farklı iki dış türev, \(d\bar\theta_1\) ve \(d\bar\theta_3\), silindirik çatının \(\theta_2 = r\, d\vartheta\) formundan gelir; bu form bir diferansiyel değildir ve dış türevi çatının \(\vartheta\) yönündeki dönmesini taşır. İkinci yapı denklemlerinin burada kendiliğinden sağlanması, bağlantı formlarının hepsinin aynı \(d\vartheta\) formunun sabit katları olmasındandır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 17.6 (Çatının Bir Eğri Boyunca Değişmemesi) \(E_1, E_2, E_3\), bağlantı formları \(\omega_{ij}\) olan bir çatı alanı ve \(\alpha : I \to \mathbb{R}^3\) tanım kümesinde kalan bir eğri olsun. \(E_1, E_2, E_3\)’ün \(\alpha\)’ya kısıtlanışlarının üçünün de paralel olması için gerek ve yeter koşulun her \(i\), \(j\) ve her \(t\) için \(\omega_{ij}\bigl(\alpha'(t)\bigr) = 0\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Türevler. Sonuç 15.1 ile
\[(E_i)_\alpha'(t) = \sum_{j=1}^{3} \omega_{ij}\bigl(\alpha'(t)\bigr)\, (E_j)_\alpha(t).\]
Yeterlik. Bütün \(\omega_{ij}(\alpha'(t))\) sayıları sıfırsa her \((E_i)_\alpha\)’nın türevi sıfırdır ve Lemma 10.4’in (3) şıkkı gereği her kısıtlanış paraleldir.
Gereklilik. Kısıtlanışlar paralelse türevleri sıfırdır (yine Lemma 10.4). Her \(t\)’de \(E_1(\alpha(t)), E_2(\alpha(t)), E_3(\alpha(t))\) bir çatıdır ve bir vektörün çatıya göre katsayıları iç çarpımlarla belirlidir (Teorem 9.1); sıfır vektörünün bütün katsayıları sıfırdır. Dolayısıyla
\[\omega_{ij}\bigl(\alpha'(t)\bigr) = (E_i)_\alpha'(t) \cdot E_j\bigl(\alpha(t)\bigr) = 0.\]
Silindirik çatıda. Tek sıfırdan farklı bağlantı formu \(\omega_{12} = d\vartheta\)’dır; koşul \(d\vartheta(\alpha') = 0\)’a, yani eğri boyunca \(\vartheta\) açısının değişmemesine indirgenir.
\(\alpha(t) = (t, 2t, 3t)\), \(t > 0\) için \(\alpha' = (1, 2, 3)\) ve
\[d\vartheta(\alpha') = \dfrac{-2t \cdot 1 + t \cdot 2}{t^2 + 4t^2} = 0.\]
Çatı bu ışın boyunca değişmez: \(E_1 = (1, 2, 0)/\sqrt{5}\), \(E_2 = (-2, 1, 0)/\sqrt{5}\) ve \(E_3 = (0, 0, 1)\) vektör kısımları sabittir. Işın, \(z\) ekseninden geçen bir yarım düzlemde kalır (bkz. Örnek 15.4).
\(\gamma(t) = (1, t, 0)\) doğrusu için ise \(\gamma' = (0, 1, 0)\) ve
\[d\vartheta(\gamma') = \dfrac{-t \cdot 0 + 1 \cdot 1}{1 + t^2} = \dfrac{1}{1 + t^2} \neq 0;\]
kısıtlanışlar paralel değildir. Doğrudan denetim: \((E_1)_\gamma = (1, t, 0)/\sqrt{1 + t^2}\)’nin türevi
\[\left(\dfrac{-t}{(1 + t^2)^{3/2}},\ \dfrac{1}{(1 + t^2)^{3/2}},\ 0\right) = \dfrac{1}{1 + t^2}\, (E_2)_\gamma\]
olur; çünkü \((E_2)_\gamma = (-t, 1, 0)/\sqrt{1 + t^2}\)’dir. Eğri düz bir doğru olduğu hâlde çatı onun üzerinde döner: \(t\) artarken \(\vartheta = \arctan t\) açısı \(-\pi/2\)’den \(\pi/2\)’ye çıkar ve çatı doğru boyunca toplam yarım tur döner.
\(\blacksquare\)
Bu kısımda eğrileri Frenet çatısıyla inceleyip eğrilik ile burulmayı bulduk, sonra aynı yöntemi uzaya yayılmış keyfi çatı alanlarına taşıyıp bağlantı formlarına ve Cartan’ın yapı denklemlerine ulaştık. Sıradaki kısım olan Öklid Geometrisi’nde \(\mathbb{R}^3\)’ün uzaklığı koruyan dönüşümlerini, yani izometrileri inceleyecek ve eğrilik ile burulmanın bir eğriyi uzaydaki konumu dışında tamamen belirlediğini göreceğiz.