3 Türev Alma Kuralları
Türev Kavramı bölümünde türevi bir limit olarak tanımladık (Tanım 2.2): \(I \subseteq \mathbb{R}\) açık bir küme, \(f : I \to \mathbb{R}\) ve \(x_0 \in I\) olmak üzere
\[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\]
limiti varsa \(f\)’ye \(x_0\) noktasında türevlenebilir (differentiable) diyorduk. Bu tanım kavramın ne olduğunu doğru anlatır; ama her fonksiyonun türevini fark oranının (difference quotient) limitinden hesaplamaya kalkarsak, \((x^2+1)(x^3-2x)\) gibi masum bir fonksiyonda bile yarım sayfa hesapla uğraşırız. Oysa bu fonksiyon, türevini zaten bildiğimiz iki parçadan bir çarpma işlemiyle kurulmuştur. İhtiyacımız olan şey, fonksiyonların üzerindeki cebirsel işlemlerle türev almanın nasıl uyuştuğunu söyleyen kurallardır.
Bölüme, türevin daha temel bir özelliğiyle başlıyoruz: türevlenebilir bir fonksiyon o noktada zorunlu olarak süreklidir. Bu, sezgiyle uyumludur — grafiği “kopan” bir fonksiyonun kopma noktasında teğet doğrusundan söz edilemez. Bunun karşıtının yanlış olduğunu, yani sürekliliğin türevlenebilirliği getirmediğini iki klasik örnekle göreceğiz: \(|x|\)’in orijindeki köşe noktası (corner point) ve \(\sqrt[3]{x}\)’in orijindeki düşey teğeti (vertical tangent).
Bu bölümde şunları öğreneceğiz: türevlenebilirlik ile süreklilik arasındaki tek yönlü ilişkiyi; toplam, fark, sabitle çarpım, çarpım (Leibniz kuralı) ve bölüm kurallarını — hepsinin tam ispatıyla; her tam sayı \(n\) için \((x^n)' = n x^{n-1}\) kuvvet kuralını; polinomların ve rasyonel fonksiyonların türevini; ve son olarak sonlu sayıda çarpanın çarpımı için genel çarpım kuralını. Bölümün sonunda, elle kurulabilecek hemen her cebirsel fonksiyonun türevini limit tanımına hiç dönmeden hesaplayabiliyor olacağız.
3.1 Türevlenebilirlik Sürekliliği Gerektirir
Bir fonksiyonun \(x_0\) noktasında türevlenebilmesi, grafiğin o noktada iyi tanımlı bir teğet doğrusu olması demektir. Grafik \(x_0\)’da sıçrıyorsa, \(x_0\)’a yaklaşan noktalardaki değerler \(f(x_0)\)’a yaklaşmaz; fark oranının payı sıfıra gitmezken paydası sıfıra gider ve oran patlar. Aşağıdaki teorem bu sezgiyi kesinleştirir.
Teorem 3.1 (Türevlenebilirlik Sürekliliği Gerektirir) \(I \subseteq \mathbb{R}\) açık bir küme ve \(f : I \to \mathbb{R}\) bir fonksiyon olsun. \(f\), bir \(x_0 \in I\) noktasında türevlenebiliyorsa \(f\) o noktada süreklidir.
İspat
\(I\) açık olduğundan \(x_0\), \(I\)’nın bir iç noktasıdır; dolayısıyla \(x_0\) aynı zamanda \(I\)’nın bir yığılma noktasıdır (bkz. Analiz 1) ve aşağıdaki limitlerin hepsi anlamlıdır.
Sürekliliği göstermek için, Yığılma Noktasında Süreklilik ve Limit gereği
\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0), \qquad \text{yani eşdeğer olarak} \qquad \lim_{x \to x_0}\bigl(f(x) - f(x_0)\bigr) = 0\]
olduğunu göstermek yeter. İşin püf noktası, \(f(x) - f(x_0)\) farkını fark oranı çarpı \(x - x_0\) biçiminde yazmaktır. \(x \in I\) ve \(x \neq x_0\) için \(x - x_0 \neq 0\) olduğundan bu ifadeyle bölüp çarpmakta bir sakınca yoktur:
\[f(x) - f(x_0) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0).\]
Bu özdeşlik \(x_0\)’ın delinmiş bir komşuluğundaki her \(x\) için geçerlidir; limit alırken zaten yalnızca bu noktalara bakılır. Şimdi \(x \to x_0\) için iki çarpanın limitlerine ayrı ayrı bakalım:
- Birinci çarpanın limiti, türevin tanımı gereği vardır ve \(f'(x_0)\)’a eşittir.
- İkinci çarpanın limiti \(\lim_{x \to x_0} (x - x_0) = 0\)’dır.
İki limit de var olduğundan, çarpımın limiti limitlerin çarpımıdır (bkz. Analiz 1):
\[\lim_{x \to x_0}\bigl(f(x) - f(x_0)\bigr) = \left(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\right) \cdot \left(\lim_{x \to x_0} (x - x_0)\right) = f'(x_0) \cdot 0 = 0.\]
Buradan \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\) çıkar; yani \(f\), \(x_0\) noktasında süreklidir.
\(\blacksquare\)
İspatın can alıcı noktası şudur: \(f'(x_0)\) sonlu bir reel sayı olduğu için \(f'(x_0) \cdot 0 = 0\) diyebildik. Fark oranının limiti \(+\infty\) olsaydı bu çarpım belirsiz hâle gelirdi; nitekim birazdan göreceğimiz \(\sqrt[3]{x}\) örneğinde tam olarak bu olur — fonksiyon süreklidir ama fark oranının limiti sonlu değildir.
Teoremin karşıt tersi (kontrapozitifi) günlük hesapta çok işe yarar: bir noktada sürekli olmayan fonksiyon o noktada türevlenemez. Örneğin taban fonksiyonu \(\lfloor x \rfloor\) (bkz. Analiz 1) hiçbir tam sayıda sürekli olmadığından hiçbir tam sayıda türevlenebilir değildir; işaret fonksiyonu (bkz. Analiz 1) \(0\)’da süreksiz olduğundan \(0\)’da türevlenemez. Bu noktalarda fark oranının limitini hesaplamaya kalkışmak gereksizdir.
Süreklilik türevlenebilirliği gerektirmez. Bir fonksiyon bir noktada sürekli olduğu hâlde orada türevlenebilir olmayabilir; dahası, \(\mathbb{R}\) üzerinde sürekli olup hiçbir noktada türevlenemeyen fonksiyonlar da vardır. Yani
\[\text{türevlenebilir} \implies \text{sürekli}, \qquad \text{sürekli} \nRightarrow \text{türevlenebilir}.\]
İki yönlü olmayan bu ilişkiyi ezberlemek yerine, aşağıdaki iki karşı örneği aklınızda tutun: birinde grafik köşe yapar, ötekinde teğet dikleşir.
Örnek 3.1 (Sürekli Ama Türevlenemeyen Fonksiyonlar) Aşağıdaki iki fonksiyonun \(x = 0\) noktasında sürekli, fakat türevlenebilir olmadığını gösterelim.
\[f(x) = |x| \qquad \text{ve} \qquad g(x) = \sqrt[3]{x}, \qquad x \in \mathbb{R}.\]
Çözüm
Mutlak değer fonksiyonu. \(f(x) = |x|\) fonksiyonu \(\mathbb{R}\) üzerinde süreklidir (bkz. Analiz 1); özel olarak \(0\)’da süreklidir, çünkü \(\bigl||x| - 0\bigr| = |x|\) ve bu ifade \(x \to 0\) iken \(0\)’a gider. Şimdi \(0\) noktasındaki fark oranını yazalım: \(x \neq 0\) için Mutlak Değer gereği
\[\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{|x|}{x} = \begin{cases} 1, & x > 0, \\ -1, & x < 0. \end{cases}\]
Bu oran \(0\)’ın sağında sabit \(1\), solunda sabit \(-1\)’dir; dolayısıyla tek yönlü limitleri (bkz. Analiz 1)
\[\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1\]
olur. İki tek yönlü limit birbirinden farklı olduğundan Limitin Yokluğu için Tek Yönlü Ölçüt gereği \(\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}\) limiti yoktur. O hâlde \(f\), \(0\) noktasında türevlenebilir değildir.
Burada bilgiyi tamamen kaybetmiş olmuyoruz: \(f\)’nin \(0\)’da sağ türevi \(1\), sol türevi \(-1\)’dir (Tanım 2.6). İkisi de sonlu, ama birbirinden farklı; grafik orijinde bir köşe yapar. \(x \neq 0\) noktalarında sorun yoktur: \(x > 0\) ise \(x\)’in tümüyle \((0, \infty)\) içinde kalan bir komşuluğu vardır ve \(f\) bu komşulukta \(t \mapsto t\) fonksiyonuyla çakışır, dolayısıyla \(f'(x) = 1\)’dir; \(x < 0\) ise aynı biçimde \(f\), \(x\)’in bir komşuluğunda \(t \mapsto -t\) ile çakışır ve \(f'(x) = -1\) olur.
Küp kök fonksiyonu. \(g(x) = \sqrt[3]{x}\) fonksiyonu \(\mathbb{R}\) üzerinde tanımlıdır (bkz. Analiz 1 negatif olmayan sayılar için kökün varlığını verir; tek dereceli kökü \(x < 0\) için \(\sqrt[3]{x} = -\sqrt[3]{-x}\) ile tanımlarız) ve süreklidir: \(x \mapsto x^3\) fonksiyonu \(\mathbb{R}\) üzerinde kesin artan ve sürekli olduğundan, ters fonksiyonun sürekliliği üzerine kurduğumuz sonuç gereği tersi olan küp kök de süreklidir (Monoton Fonksiyonlar ve Ters Fonksiyonun Sürekliliği). Özel olarak \(g\), \(0\)’da süreklidir ve \(g(0) = 0\)’dır.
Fark oranını hesaplayalım. \(x \neq 0\) için \(x = \bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^3\) olduğundan
\[\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = \frac{\sqrt[3]{x}}{x} = \frac{\sqrt[3]{x}}{\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^3} = \frac{1}{\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^2} = \frac{1}{x^{2/3}}.\]
Payda \(\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^2\) bir karedir; \(x \neq 0\) iken \(\sqrt[3]{x} \neq 0\) olduğundan bu kare kesin pozitiftir ve \(x \to 0\) iken (küp kökün sürekliliğinden) \(0\)’a gider. Sıfıra sağdan giden pozitif bir paydanın tersi \(+\infty\)’a gider; ayrıntılı söyleyelim: her \(M > 0\) için \(\delta = M^{-3/2}\) alalım. \(0 < |x| < \delta\) ise \(|x|^{2/3} < \delta^{2/3} = M^{-1}\), dolayısıyla
\[\frac{1}{x^{2/3}} = \frac{1}{|x|^{2/3}} > M.\]
Demek ki
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x} - 0}{x - 0} = +\infty\]
olur (bkz. Analiz 1). Fark oranının limiti bir reel sayı olmadığından \(g\), \(0\) noktasında türevlenebilir değildir. Buradaki durum \(|x|\)’inkinden farklıdır: burada sağ ve sol türevlerin farklı iki reel sayı olması söz konusu değildir — fark oranı her iki taraftan da sınırsız büyüdüğünden tek yönlü türevlerin ikisi de yoktur. Grafik orijinde köşe yapmaz; kesenler gitgide dikleşir ve sınır konumları \(x = 0\) düşey doğrusudur. Bu yüzden bu davranışa düşey teğet denir.
\(\blacksquare\)
Bir noktada fark oranının limiti üç türlü davranabilir: (i) sonlu bir sayıya yakınsar — fonksiyon türevlenebilirdir; (ii) \(+\infty\) ya da \(-\infty\)’a gider — grafiğin düşey teğeti vardır ama fonksiyon türevlenebilir değildir; (iii) hiç limiti yoktur — sağ ve sol türevler farklıdır (köşe) ya da fark oranı salınır. Türev tanımında limitin reel olması istendiği için son iki durumda “türev vardır” demeyiz.
3.2 Türevin Cebirsel İşlemlerle Uyuşması
Şimdi asıl aracımızı kuruyoruz. Elimizde türevini bildiğimiz iki fonksiyon varsa, bunların toplamının, farkının, çarpımının ve bölümünün türevini limit tanımına dönmeden hesaplayabiliriz. Bu kuralları kurmadan önce iki temel taşı hatırlayalım: sabit fonksiyon \(f(x) = c\) için fark oranı her \(x \neq x_0\)’da \(\frac{c - c}{x - x_0} = 0\) olduğundan \(f'(x_0) = 0\)’dır; özdeşlik fonksiyonu \(f(x) = x\) için fark oranı \(\frac{x - x_0}{x - x_0} = 1\) olduğundan \(f'(x_0) = 1\)’dir. Aşağıdaki kurallar bu iki taştan bütün polinomları ve rasyonel fonksiyonları üretecek.
Teorem 3.2 (Türevin Aritmetiği) \(I \subseteq \mathbb{R}\) açık bir küme, \(f, g : I \to \mathbb{R}\) ve \(x_0 \in I\) olsun. \(f\) ve \(g\) fonksiyonlarının ikisi de \(x_0\) noktasında türevlenebilir olsun. O hâlde:
Toplam ve fark kuralı. \(f \pm g\) fonksiyonu \(x_0\)’da türevlenebilirdir ve \[(f \pm g)'(x_0) = f'(x_0) \pm g'(x_0).\]
Sabitle çarpım kuralı. Her \(c \in \mathbb{R}\) için \(cf\) fonksiyonu \(x_0\)’da türevlenebilirdir ve \[(cf)'(x_0) = c \, f'(x_0).\]
Çarpım kuralı (Leibniz kuralı). \(fg\) fonksiyonu \(x_0\)’da türevlenebilirdir ve \[(fg)'(x_0) = f'(x_0) g(x_0) + f(x_0) g'(x_0).\]
Bölüm kuralı. \(g(x_0) \neq 0\) ise \(x_0\)’ın \(g\)’nin hiç sıfırlanmadığı bir \(J \subseteq I\) açık komşuluğu vardır; \(f/g\) bölümü bu komşulukta tanımlıdır, \(x_0\)’da türevlenebilirdir ve \[\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = \frac{f'(x_0) g(x_0) - f(x_0) g'(x_0)}{\bigl[g(x_0)\bigr]^2}.\]
Çarpım kuralı sözle şöyle okunur: birincinin türevi çarpı ikinci, artı birinci çarpı ikincinin türevi.
İspat
Dört maddeyi sırayla ispatlayacağız. Her seferinde yaptığımız şey aynıdır: ilgili fonksiyonun \(x_0\) noktasındaki fark oranını, limitlerini bildiğimiz parçalara ayırmak ve limit aritmetiğini (bkz. Analiz 1) uygulamak. \(I\) açık olduğundan \(x_0\), \(I\)’nın bir yığılma noktasıdır ve bütün limitler anlamlıdır.
(1) Toplam ve fark. \(h = f + g\) yazalım. \(x \in I\), \(x \neq x_0\) için
\[\frac{h(x) - h(x_0)}{x - x_0} = \frac{\bigl(f(x) + g(x)\bigr) - \bigl(f(x_0) + g(x_0)\bigr)}{x - x_0} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} + \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}.\]
Sağ taraftaki iki terimin \(x \to x_0\) limitleri hipotez gereği vardır ve sırasıyla \(f'(x_0)\), \(g'(x_0)\)’dır. İki limit de var olduğundan toplamın limiti de vardır ve limitlerin toplamına eşittir:
\[\lim_{x \to x_0} \frac{h(x) - h(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) + g'(x_0).\]
Bu, hem \(h\)’nin \(x_0\)’da türevlenebilir olduğunu hem de türevinin istenen değere eşit olduğunu söyler. Fark için aynı hesapta \(+\) yerine \(-\) yazmak yeter; limitin farkı da limitlerin farkıdır.
(2) Sabitle çarpım. \(x \neq x_0\) için
\[\frac{c f(x) - c f(x_0)}{x - x_0} = c \cdot \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.\]
Sağ taraftaki fark oranının limiti \(f'(x_0)\) olduğundan, sabitle çarpımın limiti \(c \, f'(x_0)\)’dır. (Bu madde, aşağıdaki çarpım kuralının \(g \equiv c\) sabit fonksiyonu için özel hâli olarak da elde edilebilir: \(g'(x_0) = 0\) olduğundan \((cf)'(x_0) = 0 \cdot f(x_0) + c \, f'(x_0) = c \, f'(x_0)\).)
Ayrıca \((1)\) ve \((2)\) birlikte, türev almanın lineer bir işlem olduğunu söyler: her \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) için \((\alpha f + \beta g)'(x_0) = \alpha f'(x_0) + \beta g'(x_0)\).
(3) Çarpım. Zorluk şuradadır: \(f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0)\) farkında ne \(f\)’nin ne de \(g\)’nin fark oranı doğrudan görünür. Çare, araya bir terim ekleyip çıkarmaktır. \(f(x)g(x_0)\) terimini ekleyip çıkaralım:
\[\begin{aligned} f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) &= f(x)g(x) - f(x)g(x_0) + f(x)g(x_0) - f(x_0)g(x_0) \\[2pt] &= f(x)\bigl(g(x) - g(x_0)\bigr) + g(x_0)\bigl(f(x) - f(x_0)\bigr). \end{aligned}\]
Şimdi \(x \neq x_0\) için her iki tarafı \(x - x_0\)’a bölelim:
\[\frac{(fg)(x) - (fg)(x_0)}{x - x_0} = f(x) \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} + g(x_0) \cdot \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.\]
Sağ taraftaki üç limiti tek tek okuyalım:
- \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)’dır. Bunu kullanabilmemizin sebebi Teorem 3.1’tir: \(f\), \(x_0\)’da türevlenebilir olduğundan orada süreklidir. Çarpım kuralının ispatında sürekliliğe ihtiyaç duyulan tek yer burasıdır.
- \(\lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = g'(x_0)\), hipotez gereği.
- \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0)\), hipotez gereği; \(g(x_0)\) ise \(x\)’ten bağımsız bir sabittir.
Limit aritmetiği gereği sağ tarafın limiti vardır ve
\[\lim_{x \to x_0} \frac{(fg)(x) - (fg)(x_0)}{x - x_0} = f(x_0) g'(x_0) + g(x_0) f'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0)\]
olur. Bu da \(fg\)’nin \(x_0\)’da türevlenebilir olduğunu ve türevinin iddia edilen değere eşit olduğunu gösterir.
Bu hesabın arkasında hoş bir geometrik resim vardır: kenarları \(f\) ve \(g\) olan bir dikdörtgenin alanı \(fg\)’dir. Kenarlar \(\Delta f\) ve \(\Delta g\) kadar büyüdüğünde alan artışı \(g \, \Delta f + f \, \Delta g + \Delta f \, \Delta g\) olur. Son terim iki küçük sayının çarpımıdır; \(\Delta x\)’e bölünüp limit alındığında yok olur ve geriye Leibniz kuralı kalır.
(4) Bölüm. İspatı üç adıma bölelim.
Birinci adım: \(f/g\) ifadesinin \(x_0\) yakınında anlamlı olması. \(g\), \(x_0\)’da türevlenebilir olduğundan Teorem 3.1 gereği orada süreklidir. \(g(x_0) \neq 0\) olduğundan \(\varepsilon = \frac{|g(x_0)|}{2} > 0\) sayısı için süreklilik tanımından öyle bir \(\delta_1 > 0\) vardır ki \(x \in I\) ve \(|x - x_0| < \delta_1\) iken \(|g(x) - g(x_0)| < \frac{|g(x_0)|}{2}\) olur. Ters üçgen eşitsizliği (bkz. Analiz 1) bu noktalarda
\[|g(x)| \ge |g(x_0)| - |g(x) - g(x_0)| > |g(x_0)| - \frac{|g(x_0)|}{2} = \frac{|g(x_0)|}{2} > 0\]
verir. \(I\) açık olduğundan \((x_0 - \delta_2, x_0 + \delta_2) \subseteq I\) olacak biçimde bir \(\delta_2 > 0\) da vardır. \(\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}\) ve \(J = (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) alalım: \(J\) açıktır, \(J \subseteq I\)’dır ve \(J\) üzerinde \(g\) hiç sıfırlanmaz. Dolayısıyla \(f/g\) fonksiyonu \(J\) üzerinde tanımlıdır. Aşağıdaki bütün limitleri \(J\) içinde alıyoruz; limit yerel bir kavram olduğundan bu bir kısıtlama getirmez.
İkinci adım: \(1/g\)’nin türevi. \(h = 1/g\) diyelim; \(h\), \(J\) üzerinde tanımlıdır. \(x \in J\), \(x \neq x_0\) için paydaları eşitleyerek
\[\frac{h(x) - h(x_0)}{x - x_0} = \frac{\dfrac{1}{g(x)} - \dfrac{1}{g(x_0)}}{x - x_0} = \frac{\dfrac{g(x_0) - g(x)}{g(x)g(x_0)}}{x - x_0} = -\frac{1}{g(x)g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}\]
elde ederiz. \(x \to x_0\) iken \(g(x) \to g(x_0)\) ve \(g(x_0) \neq 0\) olduğundan \(\frac{1}{g(x)g(x_0)} \to \frac{1}{[g(x_0)]^2}\) olur (bölümün limiti; payda limiti sıfırdan farklı). İkinci çarpanın limiti \(g'(x_0)\)’dır. O hâlde
\[\left(\frac{1}{g}\right)'(x_0) = -\frac{g'(x_0)}{\bigl[g(x_0)\bigr]^2}.\]
Üçüncü adım: çarpım kuralı. Artık \(\frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}\) yazıp \((3)\) maddesini uygulayabiliriz:
\[\begin{aligned} \left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) &= f'(x_0) \cdot \frac{1}{g(x_0)} + f(x_0) \cdot \left(-\frac{g'(x_0)}{\bigl[g(x_0)\bigr]^2}\right) \\[4pt] &= \frac{f'(x_0) g(x_0)}{\bigl[g(x_0)\bigr]^2} - \frac{f(x_0) g'(x_0)}{\bigl[g(x_0)\bigr]^2} \\[4pt] &= \frac{f'(x_0) g(x_0) - f(x_0) g'(x_0)}{\bigl[g(x_0)\bigr]^2}. \end{aligned}\]
Böylece dört kural da ispatlanmış oldu.
\(\blacksquare\)
Bölüm kuralını dolambaçsız, tek hamlede de ispatlayabiliriz; sonuç aynıdır ama hesap biraz daha kalabalıktır. Meraklı okuyucu için: \(x \neq x_0\) için
\[\frac{\dfrac{f(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)}}{x - x_0} = \frac{1}{g(x)g(x_0)} \cdot \frac{f(x)g(x_0) - f(x_0)g(x)}{x - x_0}\]
yazılır ve paya \(f(x_0)g(x_0)\) terimi eklenip çıkarılırsa
\[\frac{f(x)g(x_0) - f(x_0)g(x)}{x - x_0} = g(x_0)\cdot\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - f(x_0)\cdot\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}\]
elde edilir; limit alınca aynı formül çıkar.
\(f + g\) ya da \(fg\) fonksiyonunun bir noktada türevlenebilir olması, \(f\) ile \(g\)’nin orada türevlenebilir olmasını gerektirmez.
- \(f(x) = |x|\) ve \(g(x) = -|x|\) alalım. İkisi de \(0\)’da türevlenemez, ama \((f+g)(x) = 0\) sabit fonksiyonudur ve her yerde türevlenebilirdir.
- \(f(x) = g(x) = |x|\) alalım. İkisi de \(0\)’da türevlenemez, ama \((fg)(x) = |x|^2 = x^2\) fonksiyonu \(0\)’da türevlenebilirdir.
Aynı biçimde bölüm kuralındaki \(g(x_0) \neq 0\) koşulu atılamaz: \(f(x) = x\), \(g(x) = x\) ve \(x_0 = 0\) için \(f/g\) fonksiyonu \(0\)’da tanımlı bile değildir. Teoremler “türevlenebilirse şu formülü verir” der; “türevlenebilir olduğunu tespit eder” demez.
Kuralları hemen bir hesapta çalıştıralım. Çarpım kuralının doğruluğunu, çarpımı açıp terim terim türev alarak bağımsız biçimde de doğrulayabiliriz.
Örnek 3.2 (Çarpım Kuralıyla Bir Hesap ve Doğrulaması) \(f(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 2x)\) fonksiyonunun türevini önce çarpım kuralıyla, sonra çarpımı açarak hesaplayalım ve iki sonucun aynı olduğunu görelim.
Çözüm
Çarpım kuralıyla. \(u(x) = x^2 + 1\) ve \(v(x) = x^3 - 2x\) diyelim. Birazdan ispatlayacağımız kuvvet kuralını ve toplam kuralını kullanarak \(u'(x) = 2x\) ve \(v'(x) = 3x^2 - 2\) buluruz. Teorem 3.2’nin üçüncü maddesi gereği
\[\begin{aligned} f'(x) &= u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\[2pt] &= 2x\,(x^3 - 2x) + (x^2+1)(3x^2 - 2) \\[2pt] &= (2x^4 - 4x^2) + (3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2) \\[2pt] &= 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 + x^2 - 2 \\[2pt] &= 5x^4 - 3x^2 - 2. \end{aligned}\]
Çarpımı açarak. Önce çarpımı yapalım:
\[f(x) = (x^2+1)(x^3 - 2x) = x^5 - 2x^3 + x^3 - 2x = x^5 - x^3 - 2x.\]
Toplam ve sabitle çarpım kurallarıyla terim terim türev alalım:
\[f'(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2.\]
İki yol aynı sonucu verdi. Kontrol için bir nokta seçelim: \(x = 1\) için \(f'(1) = 5 - 3 - 2 = 0\)’dır; yani \(f(x) = x^5 - x^3 - 2x\) eğrisinin \(x = 1\) noktasındaki teğeti yataydır.
Burada iki yol da işe yaradı, çünkü çarpanlar polinomdu. Çarpanlardan biri polinom olmasaydı (örneğin \(\sin x\) ya da \(\sqrt{x}\) olsaydı) “açıp terim terim türev alma” seçeneği olmayacaktı; çarpım kuralı vazgeçilmez hâle gelirdi.
\(\blacksquare\)
3.3 Kuvvet Kuralı ve Polinomların Türevi
Elimizdeki kurallarla artık türev hesabının en çok kullanılan tek formülünü kurabiliriz. Önce doğal sayı üsler için tümevarımla, sonra negatif tam sayı üsler için bölüm kuralıyla.
Lemma 3.1 (Doğal Sayı Üsler için Kuvvet Kuralı) Her \(n \in \mathbb{N}\) (yani \(n \ge 1\)) ve her \(x \in \mathbb{R}\) için \(f(x) = x^n\) fonksiyonu türevlenebilirdir ve
\[f'(x) = n x^{n-1}.\]
İspat
\(n\) üzerinden tümevarım yapalım (bkz. Analiz 1).
Temel adım. \(n = 1\) için \(f(x) = x\)’tir. Her \(x_0\) ve \(x \neq x_0\) için fark oranı \(\frac{x - x_0}{x - x_0} = 1\)’dir; sabit \(1\) fonksiyonunun limiti \(1\) olduğundan \(f'(x_0) = 1\)’dir. Öte yandan \(n x^{n-1} = 1 \cdot x^0 = 1\); formül sağlanır.
Tümevarım adımı. Formülün \(n\) için doğru olduğunu varsayalım: her \(x\) için \((x^n)' = n x^{n-1}\). Şimdi \(n+1\) için bakalım. \(x^{n+1} = x \cdot x^n\) olduğundan, \(u(x) = x\) ve \(v(x) = x^n\) fonksiyonlarına çarpım kuralını (Teorem 3.2) uygulayabiliriz; ikisi de türevlenebilirdir (\(v\) için tümevarım hipotezi). O hâlde \(x^{n+1}\) türevlenebilirdir ve
\[\bigl(x^{n+1}\bigr)' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = 1 \cdot x^n + x \cdot n x^{n-1} = x^n + n x^{n} = (n+1)x^{n}.\]
Sağ taraf tam olarak \((n+1)x^{(n+1)-1}\)’dir; formül \(n+1\) için de doğrudur. Tümevarım ilkesi gereği iddia her \(n \in \mathbb{N}\) için geçerlidir.
\(\blacksquare\)
Kuvvet kuralı negatif üslere de taşınır; tek fark, tanım kümesinden orijini atmak zorunda olmamızdır.
Sonuç 3.1 (Tam Sayı Üsler için Kuvvet Kuralı) \(n \in \mathbb{Z}\) ve \(n < 0\) olsun. \(f(x) = x^n\) fonksiyonu \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) üzerinde türevlenebilirdir ve orada
\[f'(x) = n x^{n-1}\]
olur. Sonuç olarak, \((x^n)' = n x^{n-1}\) formülü her \(n \in \mathbb{Z}\) için geçerlidir: \(n \ge 1\) ise \(\mathbb{R}\) üzerinde, \(n \le -1\) ise \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) üzerinde. (\(n = 0\) hâlinde \(x^0 = 1\) sabit fonksiyonudur ve türevi her yerde \(0\)’dır; formül \(x \neq 0\) için yine doğrudur.)
İspat
\(n < 0\) olduğundan \(m = -n\) yazarsak \(m \ge 1\) bir doğal sayıdır ve \(x \neq 0\) için
\[f(x) = x^n = \frac{1}{x^m}.\]
Pay sabit \(1\) fonksiyonudur, türevi \(0\)’dır; payda \(g(x) = x^m\) fonksiyonudur ve Lemma 3.1 gereği \(g'(x) = m x^{m-1}\)’dir. \(x \neq 0\) iken \(g(x) = x^m \neq 0\) olduğundan bölüm kuralını (Teorem 3.2) uygulayabiliriz:
\[f'(x) = \frac{0 \cdot x^m - 1 \cdot m x^{m-1}}{\bigl(x^m\bigr)^2} = \frac{-m x^{m-1}}{x^{2m}} = -m\, x^{m - 1 - 2m} = -m\, x^{-m-1}.\]
Şimdi \(-m = n\) olduğundan \(-m x^{-m-1} = n x^{n-1}\)’dir; istenen elde edilmiş olur.
\(\blacksquare\)
Toplam ve sabitle çarpım kuralları, kuvvet kuralıyla birleşince polinomların türevini tek satırda verir.
Sonuç 3.2 (Polinomların Türevi) \(n \ge 1\) ve \(a_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}\) olmak üzere
\[P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\]
polinomu \(\mathbb{R}\) üzerinde türevlenebilirdir ve
\[P'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + 2a_2 x + a_1 = \sum_{k=1}^{n} k\, a_k\, x^{k-1}\]
olur. Özel olarak \(P'\) de bir polinomdur; \(a_n \neq 0\) ve \(n \ge 1\) ise \(P'\) polinomunun derecesi \(n - 1\)’dir. Sabit polinomların türevi ise özdeş olarak sıfırdır.
İspat
\(k \ge 1\) için Lemma 3.1 gereği \(x \mapsto x^k\) fonksiyonu \(\mathbb{R}\) üzerinde türevlenebilirdir ve türevi \(k x^{k-1}\)’dir. Teorem 3.2’nin ikinci maddesi gereği \(x \mapsto a_k x^k\) de türevlenebilirdir ve türevi \(k a_k x^{k-1}\)’dir. Sabit terim \(a_0\) için türev \(0\)’dır.
Şimdi toplam kuralını kullanacağız. Toplam kuralı iki fonksiyon için ifade edilmişti; sonlu çok fonksiyona genişletmek tümevarımla olur. Gerçekten \(m\) tane türevlenebilir fonksiyonun toplamının türevlenebilir olduğunu ve türevinin türevler toplamına eşit olduğunu varsayalım; \(m+1\) tanesi için
\[\left(\sum_{k=1}^{m+1} u_k\right)' = \left(\left(\sum_{k=1}^{m} u_k\right) + u_{m+1}\right)' = \left(\sum_{k=1}^{m} u_k\right)' + u_{m+1}' = \sum_{k=1}^{m+1} u_k'\]
olur; burada ortadaki eşitlik iki fonksiyonluk toplam kuralıdır. Tümevarım tamamlandı.
Bunu \(u_k(x) = a_k x^k\) (\(k = 0, 1, \dots, n\)) fonksiyonlarına uygularsak \(P\) türevlenebilirdir ve
\[P'(x) = \sum_{k=0}^{n} \bigl(a_k x^k\bigr)' = 0 + \sum_{k=1}^{n} k\, a_k\, x^{k-1}\]
elde edilir. Derece iddiası açıktır: toplamda \(x^{n-1}\) teriminin katsayısı \(n a_n\)’dir ve \(n \ge 1\), \(a_n \neq 0\) olduğundan \(n a_n \neq 0\)’dır.
\(\blacksquare\)
Polinom türevinin kuralı tek cümleyle akılda kalır: her terimde üssü katsayıya çarpan olarak indir, üssü bir azalt; sabit terimi at. Örneğin \(7x^4\) teriminin türevi \(28x^3\), \(-x\) teriminin türevi \(-1\), \(12\) teriminin türevi \(0\)’dır.
Örnek 3.3 (Polinom Türevleri) Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulalım.
\[P(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x^2 - 2x + 9 \quad (x \in \mathbb{R}), \qquad Q(x) = 2x^3 - \frac{5}{x^2} + \frac{3}{x} \quad (x \neq 0).\]
Ayrıca \(y = P(x)\) eğrisinin \(x = 1\) noktasındaki teğet doğrusunun denklemini yazalım.
Çözüm
Birinci fonksiyon. Sonuç 3.2 gereği terim terim türev alalım:
\[P'(x) = 4 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 2x - 2 \cdot 1 + 0 = 20x^4 - 9x^2 + 14x - 2.\]
İkinci fonksiyon. \(Q\) bir polinom değildir, ama negatif üslü kuvvetlerin bir lineer birleşimidir:
\[Q(x) = 2x^3 - 5x^{-2} + 3x^{-1}.\]
Sonuç 3.1 gereği \(\bigl(x^{-2}\bigr)' = -2x^{-3}\) ve \(\bigl(x^{-1}\bigr)' = -x^{-2}\)’dir. Sabitle çarpım ve toplam kurallarıyla, \(x \neq 0\) için
\[Q'(x) = 6x^2 - 5 \cdot (-2x^{-3}) + 3 \cdot (-x^{-2}) = 6x^2 + \frac{10}{x^3} - \frac{3}{x^2}.\]
Teğet doğrusu. Türev, teğetin eğimidir. Önce değerleri hesaplayalım:
\[P(1) = 4 - 3 + 7 - 2 + 9 = 15, \qquad P'(1) = 20 - 9 + 14 - 2 = 23.\]
Teğet doğrusu \((1, 15)\) noktasından geçer ve eğimi \(23\)’tür:
\[y - 15 = 23(x - 1), \qquad \text{yani} \qquad y = 23x - 8.\]
\(\blacksquare\)
3.4 Rasyonel Fonksiyonların Türevi
İki polinomun oranı olarak yazılan fonksiyonlara rasyonel fonksiyon (rational function) denir. Bölüm kuralı, bu ailenin tamamının türevini bir çırpıda verir.
Sonuç 3.3 (Rasyonel Fonksiyonların Türevi) \(P\) ve \(Q\) polinomlar ve \(Q\) özdeş olarak sıfır olmasın. \(D = \{x \in \mathbb{R} : Q(x) \neq 0\}\) kümesi açıktır ve
\[R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad x \in D\]
rasyonel fonksiyonu \(D\)’nin her noktasında türevlenebilirdir; türevi
\[R'(x) = \frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{\bigl[Q(x)\bigr]^2}\]
olup yine \(D\) üzerinde tanımlı bir rasyonel fonksiyondur.
İspat
Önce \(D\)’nin açık olduğunu görelim. \(x_0 \in D\) olsun, yani \(Q(x_0) \neq 0\). Polinomlar \(\mathbb{R}\) üzerinde süreklidir (bkz. Analiz 1); dolayısıyla \(\varepsilon = \frac{|Q(x_0)|}{2} > 0\) için öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \(|x - x_0| < \delta\) iken \(|Q(x) - Q(x_0)| < \frac{|Q(x_0)|}{2}\) olur. Ters üçgen eşitsizliği (bkz. Analiz 1) gereği bu \(x\)’ler için
\[|Q(x)| \ge |Q(x_0)| - |Q(x) - Q(x_0)| > \frac{|Q(x_0)|}{2} > 0,\]
yani \((x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subseteq D\)’dir. Her noktası iç nokta olduğundan \(D\) açıktır (bkz. Analiz 1). Ayrıca \(Q\) özdeş sıfır olmadığından \(Q\)’nun kökleri sonlu sayıdadır ve \(D\), \(\mathbb{R}\)’den sonlu bir küme çıkarılarak elde edilir; özel olarak \(D \neq \varnothing\)’dir.
Şimdi \(x_0 \in D\) sabitleyelim. \(P\) ve \(Q\) polinomları Sonuç 3.2 gereği \(x_0\)’da türevlenebilirdir ve \(Q(x_0) \neq 0\)’dır. Teorem 3.2’nin bölüm kuralı doğrudan uygulanır ve
\[R'(x_0) = \frac{P'(x_0)Q(x_0) - P(x_0)Q'(x_0)}{\bigl[Q(x_0)\bigr]^2}\]
verir. \(x_0 \in D\) keyfî olduğundan formül \(D\) üzerinde geçerlidir. Sağ taraftaki pay ve payda polinom olduğundan \(R'\) de rasyonel bir fonksiyondur; paydası \(Q^2\)’dir ve \(Q^2\) tam olarak \(D\) üzerinde sıfırdan farklıdır, yani \(R'\) ile \(R\) aynı kümede tanımlıdır.
\(\blacksquare\)
Formülü bir örnekte çalıştıralım. Aşağıdaki hesabı ikinci bir yolla da doğrulayacağız; bu, bölüm kuralında işaret hatası yapıp yapmadığımızı anlamanın en hızlı yoludur.
Örnek 3.4 (Bölüm Kuralıyla Bir Hesap) \(f(x) = \dfrac{x^3}{x - 1}\) fonksiyonunun (\(x \neq 1\)) türevini hesaplayalım, sonucu sadeleştirip \(f'\)’nün sıfır olduğu noktaları bulalım ve hesabı bağımsız bir yolla doğrulayalım.
Çözüm
Bölüm kuralı. \(P(x) = x^3\), \(Q(x) = x - 1\) diyelim; \(P'(x) = 3x^2\), \(Q'(x) = 1\)’dir. \(x \neq 1\) için \(Q(x) \neq 0\) olduğundan Sonuç 3.3 uygulanır:
\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{\bigl[Q(x)\bigr]^2} = \frac{(3x^2)(x-1) - (x^3)(1)}{(x-1)^2} \\[4pt] &= \frac{3x^3 - 3x^2 - x^3}{(x-1)^2} = \frac{2x^3 - 3x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2(2x-3)}{(x-1)^2}. \end{aligned}\]
Türevin sıfırları. \(x \neq 1\) için payda sıfırdan farklıdır; dolayısıyla \(f'(x) = 0\) olması ancak \(x^2(2x - 3) = 0\) olmasıyla, yani \(x = 0\) ya da \(x = \frac{3}{2}\) olmasıyla mümkündür. Türevin işaretine bakalım: \(x \neq 0\) için \(x^2 > 0\), ayrıca \(x \neq 1\) için \((x-1)^2 > 0\) olduğundan, \(x \neq 0\) noktalarında \(f'(x)\)’in işareti \(2x - 3\) çarpanının işaretiyle aynıdır (\(x = 0\) noktasında ise \(f'(0) = 0\)’dır). Demek ki \(f'(x) < 0\) olması \(x < \frac{3}{2}\) (ve \(x \neq 0, 1\)) ile, \(f'(x) > 0\) olması \(x > \frac{3}{2}\) ile eşdeğerdir. \(x = 0\) noktasında türev sıfırdır ama işaret değişmez; \(x = \frac{3}{2}\) noktasında işaret \(-\)’den \(+\)’ya döner. \(f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{27/8}{1/2} = \frac{27}{4}\)’tür.
Bağımsız doğrulama. Bölme işlemi yaparak \(f\)’yi bir polinom artı basit bir kesir olarak yazalım. \(x^3 = (x-1)(x^2 + x + 1) + 1\) olduğundan, \(x \neq 1\) için
\[f(x) = \frac{x^3}{x-1} = x^2 + x + 1 + \frac{1}{x-1}.\]
Burada polinom kısmının türevi \(2x + 1\)’dir. Son terim için bölüm kuralını (ya da \(\left(\frac{1}{g}\right)' = -\frac{g'}{g^2}\) formülünü) kullanırsak \(\left(\frac{1}{x-1}\right)' = -\frac{1}{(x-1)^2}\) bulunur. O hâlde
\[f'(x) = 2x + 1 - \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{(2x+1)(x-1)^2 - 1}{(x-1)^2}.\]
Payı açalım:
\[(2x+1)(x^2 - 2x + 1) - 1 = 2x^3 - 4x^2 + 2x + x^2 - 2x + 1 - 1 = 2x^3 - 3x^2.\]
Bu, birinci yolda bulduğumuz payın aynısıdır; iki hesap örtüşüyor.
\(\blacksquare\)
Sıradaki örnek çarpım ve bölüm kurallarını birlikte kullanmayı gösteriyor. Böyle hesaplarda izlenecek yol bellidir: fonksiyonu en dıştaki işlemine göre parçala, parçaların türevini ayrı ayrı hesapla, sonra kuralı uygula.
Örnek 3.5 (Çarpım ve Bölüm Kurallarının Birlikte Kullanımı) \(h(x) = \dfrac{(x^2-1)(x+3)}{x^2+1}\) fonksiyonunun türevini bulalım ve \(h'(0)\) değerini hesaplayalım.
Çözüm
Fonksiyon her \(x \in \mathbb{R}\) için tanımlıdır, çünkü \(x^2 + 1 \ge 1 > 0\)’dır. En dıştaki işlem bölmedir; o hâlde
\[N(x) = (x^2-1)(x+3), \qquad D(x) = x^2 + 1\]
diyelim. \(D'(x) = 2x\)’tir. \(N\)’nin türevini çarpım kuralıyla hesaplayalım:
\[N'(x) = (2x)(x+3) + (x^2-1)(1) = 2x^2 + 6x + x^2 - 1 = 3x^2 + 6x - 1.\]
(Kontrol: \(N(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3\) açılımından terim terim türev de \(3x^2 + 6x - 1\) verir.)
Şimdi bölüm kuralı:
\[h'(x) = \frac{N'(x)D(x) - N(x)D'(x)}{\bigl[D(x)\bigr]^2} = \frac{(3x^2+6x-1)(x^2+1) - (x^3+3x^2-x-3)(2x)}{(x^2+1)^2}.\]
Payı adım adım açalım:
\[\begin{aligned} (3x^2+6x-1)(x^2+1) &= 3x^4 + 6x^3 - x^2 + 3x^2 + 6x - 1 = 3x^4 + 6x^3 + 2x^2 + 6x - 1, \\[2pt] (x^3+3x^2-x-3)(2x) &= 2x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 6x. \end{aligned}\]
Farkı alalım:
\[\bigl(3x^4 - 2x^4\bigr) + \bigl(6x^3 - 6x^3\bigr) + \bigl(2x^2 + 2x^2\bigr) + \bigl(6x + 6x\bigr) - 1 = x^4 + 4x^2 + 12x - 1.\]
Sonuç:
\[h'(x) = \frac{x^4 + 4x^2 + 12x - 1}{(x^2+1)^2}.\]
Özel olarak \(h'(0) = \frac{-1}{1} = -1\)’dir. Bu değeri kurallara hiç başvurmadan, doğrudan fark oranından da doğrulayabiliriz: \(h(0) = \frac{(-1)(3)}{1} = -3\) olduğundan, \(x \neq 0\) için
\[\frac{h(x) - h(0)}{x - 0} = \frac{1}{x}\left(\frac{x^3+3x^2-x-3}{x^2+1} + 3\right) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x^3 + 6x^2 - x}{x^2+1} = \frac{x^2 + 6x - 1}{x^2+1}\]
olur; \(x \to 0\) iken sağ taraf \(\frac{-1}{1} = -1\)’e gider. Demek ki grafiğin \((0, -3)\) noktasındaki teğetinin eğimi \(-1\)’dir.
\(\blacksquare\)
3.5 Sonlu Çok Çarpanlı Çarpım Kuralı
Çarpım kuralı iki çarpan için ifade edildi; ama pratikte üç, dört, hatta \(n\) tane çarpanla karşılaşırız. Kuralı her seferinde ikişer ikişer uygulamak mümkündür, ne var ki sonucun genel biçimini bir kez ve temelli yazmak hem hesabı hızlandırır hem de yapıyı gösterir: çarpımın türevi, her seferinde bir çarpanın türevlenip diğerlerinin olduğu gibi bırakıldığı \(n\) terimin toplamıdır.
Önerme 3.1 (Sonlu Çok Çarpan için Çarpım Kuralı) \(n \ge 1\) bir doğal sayı, \(I \subseteq \mathbb{R}\) açık ve \(f_1, f_2, \dots, f_n : I \to \mathbb{R}\) fonksiyonlarının hepsi \(x_0 \in I\) noktasında türevlenebilir olsun. O hâlde \(F = f_1 f_2 \cdots f_n\) çarpımı \(x_0\)’da türevlenebilirdir ve
\[F'(x_0) = \sum_{k=1}^{n} f_1(x_0) \cdots f_{k-1}(x_0)\, f_k'(x_0)\, f_{k+1}(x_0) \cdots f_n(x_0)\]
olur. Yani toplamdaki \(k\)-ıncı terimde yalnızca \(k\)-ıncı çarpanın türevi alınmış, diğerleri \(x_0\)’daki değerleriyle bırakılmıştır.
İspat
\(n\) üzerinden tümevarım yapıyoruz (bkz. Analiz 1).
Temel adım. \(n = 1\) için ifade \(F = f_1\) ve \(F'(x_0) = f_1'(x_0)\) demektir; doğrudur. \(n = 2\) için ifade tam olarak çarpım kuralıdır (Teorem 3.2): \(F'(x_0) = f_1'(x_0)f_2(x_0) + f_1(x_0)f_2'(x_0)\).
Tümevarım adımı. Formülün \(n\) çarpan için doğru olduğunu varsayalım. \(f_1, \dots, f_{n+1}\) fonksiyonları \(x_0\)’da türevlenebilir olsun ve
\[F = f_1 f_2 \cdots f_n, \qquad G = F \cdot f_{n+1} = f_1 f_2 \cdots f_{n+1}\]
yazalım. Tümevarım hipotezi gereği \(F\), \(x_0\)’da türevlenebilirdir; \(f_{n+1}\) de öyledir. İki fonksiyonluk çarpım kuralı \(G\)’nin türevlenebilir olduğunu ve
\[G'(x_0) = F'(x_0) f_{n+1}(x_0) + F(x_0) f_{n+1}'(x_0)\]
olduğunu verir. Şimdi \(F'(x_0)\) yerine tümevarım hipotezindeki toplamı, \(F(x_0)\) yerine de \(f_1(x_0)\cdots f_n(x_0)\) çarpımını koyalım:
\[\begin{aligned} G'(x_0) &= \left(\sum_{k=1}^{n} f_1(x_0) \cdots f_k'(x_0) \cdots f_n(x_0)\right) f_{n+1}(x_0) + f_1(x_0)\cdots f_n(x_0)\, f_{n+1}'(x_0) \\[4pt] &= \sum_{k=1}^{n} f_1(x_0) \cdots f_k'(x_0) \cdots f_n(x_0) f_{n+1}(x_0) + f_1(x_0)\cdots f_n(x_0) f_{n+1}'(x_0). \end{aligned}\]
Birinci toplamdaki her terim, \(k = 1, \dots, n\) için “yalnızca \(k\)-ıncı çarpanı türevlenmiş \(n+1\) çarpanlı terim”dir; sondaki tek terim ise \(k = n+1\) durumudur. İkisi birleşince
\[G'(x_0) = \sum_{k=1}^{n+1} f_1(x_0) \cdots f_{k-1}(x_0)\, f_k'(x_0)\, f_{k+1}(x_0) \cdots f_{n+1}(x_0)\]
elde edilir; bu da formülün \(n+1\) için doğru olduğunu gösterir. Tümevarım ilkesi gereği iddia her \(n \ge 1\) için geçerlidir.
\(\blacksquare\)
Bütün çarpanlar \(x_0\)’da sıfırdan farklıysa, Önerme 3.1’deki eşitliği \(F(x_0) = f_1(x_0)\cdots f_n(x_0) \neq 0\) ile bölerek çok daha kolay akılda kalan bir biçime sokabiliriz:
\[\frac{F'(x_0)}{F(x_0)} = \frac{f_1'(x_0)}{f_1(x_0)} + \frac{f_2'(x_0)}{f_2(x_0)} + \cdots + \frac{f_n'(x_0)}{f_n(x_0)}.\]
“Çarpımın göreli değişimi, çarpanların göreli değişimlerinin toplamıdır.” Bu eşitlik ileride logaritmanın türeviyle yeniden karşımıza çıkacak.
Bütün çarpanlar aynı fonksiyona eşit alınırsa, zincir kuralına hiç ihtiyaç duymadan çok kullanışlı bir sonuç elde ederiz.
Sonuç 3.4 (Bir Fonksiyonun Kuvvetinin Türevi) \(I \subseteq \mathbb{R}\) açık bir küme, \(f : I \to \mathbb{R}\) fonksiyonu \(x_0 \in I\) noktasında türevlenebilir ve \(n \ge 1\) bir doğal sayı olsun. O hâlde \(f^n\) fonksiyonu \(x_0\)’da türevlenebilirdir ve
\[\bigl(f^n\bigr)'(x_0) = n \bigl[f(x_0)\bigr]^{n-1} f'(x_0).\]
İspat
Önerme 3.1’i \(f_1 = f_2 = \cdots = f_n = f\) seçerek uygulayalım. Toplamdaki her terim aynıdır: \(k\)-ıncı terimde bir tane \(f'(x_0)\) ve \(n-1\) tane \(f(x_0)\) çarpanı bulunur, yani her terim \(\bigl[f(x_0)\bigr]^{n-1} f'(x_0)\)’a eşittir. Toplamda \(n\) terim olduğundan
\[\bigl(f^n\bigr)'(x_0) = \sum_{k=1}^{n} \bigl[f(x_0)\bigr]^{n-1} f'(x_0) = n \bigl[f(x_0)\bigr]^{n-1} f'(x_0)\]
olur.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.6 (Üç Çarpanlı Bir Çarpım ve Bir Kuvvet) Aşağıdaki türevleri hesaplayalım.
\[p(x) = (x-1)(x-2)(x-3), \qquad q(x) = (x^2+1)^3.\]
Ayrıca \(p'(2)\) değerini bulalım.
Çözüm
Üç çarpanlı çarpım. Önerme 3.1 gereği, her seferinde bir çarpanı türevleyip diğerlerini bırakırız. Üç çarpanın da türevi \(1\)’dir; dolayısıyla
\[p'(x) = (x-2)(x-3) + (x-1)(x-3) + (x-1)(x-2).\]
Bunu açarsak
\[p'(x) = (x^2 - 5x + 6) + (x^2 - 4x + 3) + (x^2 - 3x + 2) = 3x^2 - 12x + 11\]
buluruz. Doğrulayalım: \(p(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) açılımından terim terim türev de \(3x^2 - 12x + 11\) verir.
Şimdi \(p'(2)\)’yi hesaplamak için çarpanlı biçim çok daha elverişlidir; \(x = 2\)’de birinci ve üçüncü terim sıfırlanır:
\[p'(2) = (2-2)(2-3) + (2-1)(2-3) + (2-1)(2-2) = 0 + (1)(-1) + 0 = -1.\]
(Açılmış biçimden de \(3\cdot 4 - 24 + 11 = -1\) gelir.) Genel gözlem: \(p\) polinomunun \(x = a\) kökü basit bir kökse, \(p'(a)\) değeri diğer çarpanların \(a\)’daki değerlerinin çarpımına eşittir.
Bir kuvvet. \(f(x) = x^2 + 1\) alalım; \(f'(x) = 2x\)’tir. Sonuç 3.4 gereği \(n = 3\) için
\[q'(x) = 3\bigl(x^2+1\bigr)^{2} \cdot 2x = 6x\bigl(x^2+1\bigr)^2.\]
Kontrol edelim: \(q(x) = (x^2+1)^3 = x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1\) açılımından (bkz. Analiz 1) \(q'(x) = 6x^5 + 12x^3 + 6x\); öte yandan \(6x(x^2+1)^2 = 6x(x^4 + 2x^2 + 1) = 6x^5 + 12x^3 + 6x\). Aynı sonuç.
\(\blacksquare\)
3.6 Alıştırmalar
Alıştırma 3.1 (Türev Kuralları Üzerine)
\(f(x) = (3x^2 - 2x + 1)(x^3 + 5)\) fonksiyonunun türevini iki farklı yolla — önce çarpım kuralıyla, sonra çarpımı açarak — hesaplayınız ve sonuçların aynı olduğunu gösteriniz.
\(g(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+3}\) fonksiyonunun türevini bulunuz ve \(g'(x) = 0\) denklemini çözünüz.
\(x \neq 0\) için \(h(x) = x^{-3} + \dfrac{4}{x} + 7\) fonksiyonunun türevini bulunuz ve \(h'(1)\) değerini hesaplayınız.
\(\varphi(x) = x\,|x|\) fonksiyonunun \(\mathbb{R}\) üzerinde türevlenebilir olduğunu gösteriniz ve \(\varphi'\) fonksiyonunu bulunuz. \(\varphi'\) fonksiyonu \(0\)’da türevlenebilir midir?
“İki fonksiyonun çarpımının türevi, türevlerinin çarpımıdır” iddiasının, yani \((fg)'(x_0) = f'(x_0)g'(x_0)\) eşitliğinin genel olarak yanlış olduğunu bir karşı örnekle gösteriniz. Ardından \(f(x) = g(x) = x\) alarak bu eşitliğin sağlandığı bütün \(x_0\) noktalarını bulunuz.
\(I \subseteq \mathbb{R}\) açık bir küme, \(f : I \to \mathbb{R}\) fonksiyonu \(x_0 \in I\) noktasında türevlenebilir ve \(f(x_0) \neq 0\) olsun. Bölüm kuralına başvurmadan, yalnızca çarpım kuralını ve \(\left(\frac{1}{f}\right) \cdot f = 1\) özdeşliğini kullanarak \(\left(\frac{1}{f}\right)'(x_0) = -\dfrac{f'(x_0)}{[f(x_0)]^2}\) olduğunu gösteriniz. (Bu yolda \(1/f\)’nin \(x_0\)’da türevlenebilir olduğunu varsayabilirsiniz; gösterilmesi istenen yalnızca formüldür.)
Çözüm
a) \(u(x) = 3x^2 - 2x + 1\) ve \(v(x) = x^3 + 5\) diyelim; \(u'(x) = 6x - 2\), \(v'(x) = 3x^2\)’dir. Çarpım kuralıyla
\[\begin{aligned} f'(x) &= (6x-2)(x^3+5) + (3x^2 - 2x + 1)(3x^2) \\[2pt] &= \bigl(6x^4 + 30x - 2x^3 - 10\bigr) + \bigl(9x^4 - 6x^3 + 3x^2\bigr) \\[2pt] &= 15x^4 - 8x^3 + 3x^2 + 30x - 10. \end{aligned}\]
Şimdi çarpımı açalım:
\[f(x) = 3x^5 - 2x^4 + x^3 + 15x^2 - 10x + 5.\]
Gerçekten \(3x^2 \cdot x^3 = 3x^5\), \(-2x \cdot x^3 = -2x^4\), \(1 \cdot x^3 = x^3\), \(3x^2 \cdot 5 = 15x^2\), \(-2x \cdot 5 = -10x\), \(1 \cdot 5 = 5\)’tir. Sonuç 3.2 gereği terim terim türev alırsak
\[f'(x) = 15x^4 - 8x^3 + 3x^2 + 30x - 10\]
buluruz; iki yol örtüşüyor.
b) \(P(x) = 2x+1\), \(Q(x) = x^2+3\) diyelim; \(P'(x) = 2\), \(Q'(x) = 2x\)’tir. Her \(x\) için \(Q(x) \ge 3 > 0\) olduğundan \(g\), \(\mathbb{R}\) üzerinde tanımlı ve türevlenebilirdir (Sonuç 3.3):
\[g'(x) = \frac{2(x^2+3) - (2x+1)(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{2x^2 + 6 - 4x^2 - 2x}{(x^2+3)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 6}{(x^2+3)^2} = \frac{-2\bigl(x^2 + x - 3\bigr)}{(x^2+3)^2}.\]
Payda hiç sıfırlanmadığından \(g'(x) = 0\) olması ancak \(x^2 + x - 3 = 0\) olmasıyla mümkündür. Diskriminant \(1 + 12 = 13\) olduğundan kökler
\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}\]
sayılarıdır. Bu iki nokta \(g\)’nin yerel ekstremum adaylarıdır.
c) Fonksiyonu negatif üslerle yazalım: \(h(x) = x^{-3} + 4x^{-1} + 7\). Sonuç 3.1, sabitle çarpım ve toplam kurallarıyla, \(x \neq 0\) için
\[h'(x) = -3x^{-4} + 4 \cdot (-1)x^{-2} + 0 = -\frac{3}{x^4} - \frac{4}{x^2}.\]
Buradan \(h'(1) = -3 - 4 = -7\)’dir. Ayrıca \(x \neq 0\) iken \(x^4 > 0\) ve \(x^2 > 0\) olduğundan \(h'(x) < 0\)’dır: \(h\), tanım kümesinin her iki bileşeninde kesin azalandır.
d) Önce fonksiyonu parçalı yazalım (bkz. Analiz 1):
\[\varphi(x) = x|x| = \begin{cases} x^2, & x \ge 0, \\ -x^2, & x < 0. \end{cases}\]
\(x_0 > 0\) noktalarında. \(x_0\)’ın \((0,\infty)\) içinde kalan bir komşuluğunda \(\varphi(x) = x^2\)’dir; türev yerel bir kavram olduğundan Lemma 3.1 gereği \(\varphi'(x_0) = 2x_0\)’dır.
\(x_0 < 0\) noktalarında. Benzer biçimde \(x_0\)’ın bir komşuluğunda \(\varphi(x) = -x^2\)’dir ve \(\varphi'(x_0) = -2x_0\)’dır.
\(x_0 = 0\) noktasında. Fark oranını doğrudan hesaplayalım: \(x \neq 0\) için
\[\frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x - 0} = \frac{x|x|}{x} = |x|.\]
Mutlak değer fonksiyonu \(0\)’da sürekli olduğundan \(\lim_{x \to 0} |x| = 0\)’dır. Demek ki \(\varphi\), \(0\)’da türevlenebilirdir ve \(\varphi'(0) = 0\)’dır.
Üç durumu birleştirirsek her \(x \in \mathbb{R}\) için
\[\varphi'(x) = 2|x|\]
olur; gerçekten \(x > 0\) için \(2x = 2|x|\), \(x < 0\) için \(-2x = 2|x|\) ve \(x = 0\) için \(0 = 2|0|\)’dır. Son soruya gelince: \(\varphi' = 2|x|\) fonksiyonu, Örnek 3.1’de gördüğümüz gibi \(0\)’da türevlenebilir değildir (sağ türevi \(2\), sol türevi \(-2\)’dir). Yani \(\varphi\) her yerde türevlenebilirdir ama ikinci türevi \(0\)’da yoktur; türevlenebilirlik, türevin de türevlenebilir olmasını gerektirmez.
e) \(f(x) = g(x) = x\) ve \(x_0 = 0\) alalım. Bu durumda \((fg)(x) = x^2\) ve Lemma 3.1 gereği \((fg)'(0) = 2 \cdot 0 = 0\)’dır. Öte yandan \(f'(0) = g'(0) = 1\) olduğundan \(f'(0)g'(0) = 1\)’dir. \(0 \neq 1\) olduğundan iddia yanlıştır.
İkinci kısım: yine \(f(x) = g(x) = x\) alalım. Her \(x_0\) için \((fg)'(x_0) = 2x_0\) ve \(f'(x_0)g'(x_0) = 1 \cdot 1 = 1\)’dir. Eşitlik \(2x_0 = 1\), yani yalnızca \(x_0 = \frac{1}{2}\) için sağlanır. Demek ki “yanlış kural” tek bir noktada tesadüfen doğru sonuç verebilir; bu, kuralı doğrulamaz.
f) \(J\), \(x_0\)’ın \(f\)’nin hiç sıfırlanmadığı bir açık komşuluğu olsun; böyle bir komşuluğun varlığı Teorem 3.2’nin bölüm kuralı ispatındaki birinci adımda gösterilmişti (\(f\), \(x_0\)’da türevlenebilir olduğundan Teorem 3.1 gereği süreklidir). \(J\) üzerinde \(\psi = \frac{1}{f}\) fonksiyonu tanımlıdır ve
\[\psi(x) \, f(x) = 1, \qquad x \in J\]
özdeşliği geçerlidir. Sağ taraf sabit fonksiyondur; türevi \(0\)’dır. Sol tarafa çarpım kuralını uygulayalım (\(\psi\)’nin \(x_0\)’da türevlenebilir olduğunu varsayıyoruz):
\[\psi'(x_0) f(x_0) + \psi(x_0) f'(x_0) = 0.\]
Burada \(\psi(x_0) = \frac{1}{f(x_0)}\)’dır. Eşitliği \(\psi'(x_0)\) için çözelim; \(f(x_0) \neq 0\) olduğundan bölmekte sakınca yoktur:
\[\psi'(x_0) = -\frac{\psi(x_0) f'(x_0)}{f(x_0)} = -\frac{1}{f(x_0)} \cdot \frac{f'(x_0)}{f(x_0)} = -\frac{f'(x_0)}{\bigl[f(x_0)\bigr]^2}.\]
İstenen formül elde edildi. Bu yöntem, bir fonksiyonun türevini “onu tanımlayan özdeşliği türevleyerek” bulmanın ilk örneğidir; aynı fikir ters fonksiyonun türevini bulurken de işimize yarayacaktır.
\(\blacksquare\)
Bu bölümde türev almayı toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleriyle uzlaştırdık; artık her polinomun ve her rasyonel fonksiyonun türevini hiç limit hesabı yapmadan yazabiliyoruz. Geriye cebirsel işlemlerin en güçlüsü kaldı: bileşke. Bir sonraki bölümde \(f(g(x))\) biçimindeki fonksiyonların türevini veren zincir kuralını ispatlayacak, ardından bu kuralı ters fonksiyonun türevini bulmak için kullanacağız: Zincir Kuralı ve Ters Fonksiyonun Türevi.