12 Kapalı Kümeler, İç ve Kapanış
Açık ve Kapalı Kümeler; Sonlu ve Sayılabilir Tümleyen Topolojileri bölümünde kapalı kümeyi tanımlamıştık: bir \((X, \tau)\) topolojik uzayında \(F \subseteq X\) kümesi, tümleyeni \(X \setminus F\) açık olduğunda kapalıdır (closed). Orada kapalı kümelerin üç temel özelliğini de ispatladık:
- (K1) \(\varnothing\) ve \(X\) kapalıdır;
- (K2) kapalı kümelerden oluşan boş olmayan her ailenin kesişimi kapalıdır;
- (K3) sonlu sayıda kapalı kümenin birleşimi kapalıdır.
Bu bölümde kapalı kümelerle üç yeni yönde ilerliyoruz. Önce gerçel doğruda ve düzlemde birkaç tanıdık kümenin kapalı olup olmadığına karar vereceğiz. Sonra Alt Uzay Topolojisi bölümündeki “\(Y\)’de açık” kavramının kapalı karşılığını kuracağız. Son olarak her kümeye iki yeni küme eşleyeceğiz: kümenin içine sığan en büyük açık küme olan iç ve kümeyi içeren en küçük kapalı küme olan kapanış. Kapanışın açık kümelerle nasıl tanındığını gösteren teorem, bölümün en çok kullanılacak sonucudur.
12.1 Gerçel Doğruda ve Düzlemde Kapalı Kümeler
Kapalılığı göstermenin yolu her zaman aynıdır: tümleyeni yazar ve onun açık olduğunu gösteririz. Açık olmadığını göstermek için ise kümenin bir noktasını, o noktayı içeren hiçbir açık kümenin kümenin içinde kalamayacağını göstererek ele alırız.
\(\mathbb{R}\) üzerinde aksi söylenmedikçe standart topolojiyi alıyoruz. Baz ve Alt Baz bölümünde \([a, b]\) kapalı aralığının kapalı olduğunu, Sıra Topolojisi bölümünde de \([a, +\infty)\) ve \((-\infty, a]\) kapalı ışınlarının kapalı olduğunu görmüştük. Örneğin
\[\mathbb{R} \setminus [a, +\infty) = (-\infty, a)\]
açık bir ışın olduğundan \([a, +\infty)\) kapalıdır. Yarı açık aralıklar ise iki sınıfın hiçbirine girmez.
Örnek 12.1 (Yarı Açık Aralık Ne Açık Ne Kapalıdır) \(a < b\) olsun. \([a, b)\) aralığının \(\mathbb{R}\)’de ne açık ne de kapalı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Standart topolojide bir \(U\) kümesinin açık olması, her \(x \in U\) için \(x \in (c, d) \subseteq U\) olacak bir açık aralık bulunması demektir. Bu ölçütü iki kez kullanacağız.
\([a, b)\) açık değildir. \(a \in [a, b)\) noktasını ele alalım. \(a\)’yı içeren herhangi bir \((c, d)\) aralığında \(c < a\)’dır. \(t = \tfrac{c + a}{2}\) sayısı \(c < t < a\) eşitsizliklerini sağlar; dolayısıyla \(t \in (c, d)\) ama \(t < a\) olduğundan \(t \notin [a, b)\). Yani \(a\)’yı içeren hiçbir açık aralık \([a, b)\)’nin içinde kalmaz; \([a, b)\) açık değildir.
\([a, b)\) kapalı değildir. Tümleyen
\[\mathbb{R} \setminus [a, b) = (-\infty, a) \cup [b, +\infty)\]
kümesidir. Bu kümenin açık olmadığını, yani \(b\) noktasında ölçütün bozulduğunu gösterelim. \(b\)’yi içeren herhangi bir \((c, d)\) aralığında \(c < b\)’dir.
\[s = \max\Bigl\{\tfrac{c + b}{2},\ \tfrac{a + b}{2}\Bigr\}\]
alalım. İki sayı da \(b\)’den küçük olduğundan \(s < b\); ayrıca \(s \geq \tfrac{a + b}{2} > a\) ve \(s \geq \tfrac{c + b}{2} > c\). Böylece \(s \in (c, d)\) ve \(s \in [a, b)\); yani \((c, d)\) aralığı tümleyenin dışına taşar. \(b\)’yi içeren hiçbir açık aralık tümleyenin içinde kalmadığından tümleyen açık değildir; dolayısıyla \([a, b)\) kapalı değildir.
\(\blacksquare\)
Düzlemde de aynı fikir çalışır. Çarpım Topolojisi bölümüne göre \(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) üzerindeki standart topoloji çarpım topolojisidir; \(U\) ve \(V\), \(\mathbb{R}\)’de açık ise \(U \times V\) bir baz elemanıdır, dolayısıyla açıktır.
Örnek 12.2 (Düzlemde Kapalı Çeyrek) \(\mathbb{R}^2\) düzleminde
\[K = \{(x, y) : x \geq 0 \ \text{ve} \ y \geq 0\}\]
kümesinin kapalı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Tümleyeni yazalım. Bir \((x, y)\) noktasının \(K\)’da olmaması, “\(x \geq 0\) ve \(y \geq 0\)” önermesinin yanlış olması, yani \(x < 0\) veya \(y < 0\) olması demektir. Bu yüzden
\[\mathbb{R}^2 \setminus K = \bigl((-\infty, 0) \times \mathbb{R}\bigr) \cup \bigl(\mathbb{R} \times (-\infty, 0)\bigr).\]
Gerçekten \(x < 0\) ise \((x, y)\) birinci kümede, \(y < 0\) ise ikinci kümededir; tersine iki kümeden birindeki her noktada \(x < 0\) ya da \(y < 0\)’dır.
Tümleyen açıktır. \((-\infty, 0)\) ve \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}\)’de açıktır; bu yüzden \((-\infty, 0) \times \mathbb{R}\) çarpım topolojisinin bir baz elemanıdır ve açıktır. Aynı nedenle \(\mathbb{R} \times (-\infty, 0)\) de açıktır. İki açık kümenin birleşimi (T3) gereği açıktır.
Tümleyeni açık olduğundan \(K\) kapalıdır.
\(\blacksquare\)
12.2 Alt Uzayda Kapalı Kümeler
Bir \(Y \subseteq X\) alt uzayında açık kümeler, \(X\)’in açık kümelerinin \(Y\) ile kesişimleriydi. Kapalı kümeleri de aynı yoldan, \(Y\)’nin kendi topolojisinde tümleyen alarak tanımlarız.
Tanım 12.1 (Y’de Kapalı Küme) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay ve \(Y \subseteq X\) bir alt uzay olsun. \(A \subseteq Y\) olan bir \(A\) kümesi, \(Y\)’nin alt uzay topolojisinde kapalı ise, yani \(Y \setminus A\) kümesi \(Y\)’de açık ise \(A\)’ya \(Y\)’de kapalı (closed in \(Y\)) denir.
Yani “\(Y\)’de kapalı” olmak, tümleyeni \(X\)’e göre değil \(Y\)’ye göre almak ve bu tümleyenin \(Y\)’de açık olup olmadığına bakmak demektir. Tanımdan hemen \(Y\)’nin kendisinin \(Y\)’de kapalı olduğu çıkar, çünkü \(Y \setminus Y = \varnothing\) kümesi \(Y\)’de açıktır.
Açık kümelerde olduğu gibi, \(Y\)’de kapalı kümeleri de doğrudan \(X\)’in kapalı kümelerinden elde edebiliriz.
Teorem 12.1 (Alt Uzayda Kapalı Kümeler Kesişimlerdir) \(Y\), \(X\) topolojik uzayının bir alt uzayı olsun. Bir \(A\) kümesi \(Y\)’de kapalıdır ancak ve ancak \(X\)’te kapalı bir \(C\) kümesi için \(A = C \cap Y\) ise.
İspat
İspatta iki kez şu basit gözlemi kullanacağız: \(y \in Y\) ve \(C \subseteq X\) ise “\(y \notin C \cap Y\)” ile “\(y \notin C\)” aynı şeydir, çünkü \(y\) zaten \(Y\)’dedir.
Yeterlik. \(C\), \(X\)’te kapalı ve \(A = C \cap Y\) olsun. Önce \(A \subseteq Y\) olduğu açıktır. Şimdi \(Y \setminus A\) kümesini hesaplayalım. \(y \in Y\) için gözlemimize göre
\[y \in Y \setminus A \iff y \notin C \cap Y \iff y \notin C \iff y \in X \setminus C.\]
Bu yüzden
\[Y \setminus A = Y \cap (X \setminus C).\]
\(C\) kapalı olduğundan \(X \setminus C\), \(X\)’te açıktır. Alt uzay topolojisinin tanımına göre \(Y \cap (X \setminus C)\) kümesi \(Y\)’de açıktır. \(Y \setminus A\), \(Y\)’de açık olduğundan \(A\), \(Y\)’de kapalıdır.
Gereklik. \(A\), \(Y\)’de kapalı olsun. Tanım gereği \(A \subseteq Y\) ve \(Y \setminus A\), \(Y\)’de açıktır; alt uzay topolojisinin tanımına göre \(X\)’te açık bir \(U\) için
\[Y \setminus A = Y \cap U.\]
\(C = X \setminus U\) diyelim; \(U\) açık olduğundan \(C\), \(X\)’te kapalıdır. \(A = C \cap Y\) olduğunu gösterelim. \(y \in Y\) alalım:
\[y \in A \iff y \notin Y \setminus A \iff y \notin Y \cap U \iff y \notin U \iff y \in C.\]
Üçüncü adımda yine \(y \in Y\) olduğunu kullandık. \(A\) ve \(C \cap Y\) kümelerinin ikisi de \(Y\)’nin alt kümesidir ve \(Y\)’nin elemanları arasından aynı elemanları içerir; bu yüzden \(A = C \cap Y\).
\(\blacksquare\)
İspatın özü: \(Y\)’de tümleyen almak, \(X\)’te tümleyen alıp sonucu \(Y\) ile kesiştirmektir; açık ile kapalı bu işlemle yer değiştirir.
“\(Y\)’de kapalı” olmak da “\(X\)’te kapalı” olmayı gerektirmez.
Örnek 12.3 (Y’de Kapalı Ama ℝ’de Kapalı Olmayan Küme) \(Y = (0, 1]\) kümesini \(\mathbb{R}\)’nin alt uzayı olarak alalım. \(F = (0, \tfrac{1}{2}]\) kümesinin \(Y\)’de kapalı olduğunu ama \(\mathbb{R}\)’de kapalı olmadığını gösteriniz.
Çözüm
\(F\), \(Y\)’de kapalıdır. \([0, \tfrac{1}{2}]\) kapalı aralığı \(\mathbb{R}\)’de kapalıdır ve
\[[0, \tfrac{1}{2}] \cap (0, 1] = (0, \tfrac{1}{2}] = F.\]
Gerçekten bir \(x\) sayısı iki aralıkta birden ise \(0 \leq x\) ile \(0 < x\) birlikte \(0 < x\) verir, \(x \leq \tfrac{1}{2}\) ile \(x \leq 1\) birlikte \(x \leq \tfrac{1}{2}\) verir. Teorem 12.1 gereği \(F\), \(Y\)’de kapalıdır.
\(F\), \(\mathbb{R}\)’de kapalı değildir. Tümleyen \(\mathbb{R} \setminus F = (-\infty, 0] \cup (\tfrac{1}{2}, +\infty)\) kümesidir; bunun \(0\) noktasında açıklık ölçütünü sağlamadığını gösterelim. \(0\)’ı içeren herhangi bir \((c, d)\) aralığında \(d > 0\)’dır. \(t = \min\{\tfrac{d}{2}, \tfrac{1}{2}\}\) sayısı \(0 < t < d\) ve \(t \leq \tfrac{1}{2}\) eşitsizliklerini sağlar; yani \(t \in (c, d)\) ve \(t \in F\). Demek ki \(0\)’ı içeren her açık aralık tümleyenin dışına taşar; tümleyen açık değildir ve \(F\), \(\mathbb{R}\)’de kapalı değildir.
\(\blacksquare\)
Sorun yine \(Y\)’nin kendisindedir: \(Y = (0, 1]\), \(\mathbb{R}\)’de kapalı değildir. \(Y\) kapalı olduğunda iki kavram uyuşur. Bu, Alt Uzay Topolojisi bölümündeki “açık alt uzayda açık kümeler” lemmasının kapalı karşılığıdır.
Teorem 12.2 (Kapalı Alt Uzayda Kapalı Kümeler) \(Y\), \(X\) topolojik uzayının bir alt uzayı olsun. \(A\), \(Y\)’de kapalı ve \(Y\), \(X\)’te kapalı ise \(A\), \(X\)’te kapalıdır.
İspat
\(A\), \(Y\)’de kapalı olduğundan Teorem 12.1 gereği \(X\)’te kapalı bir \(C\) için \(A = C \cap Y\)’dir. \(C\) ve \(Y\) ikisi de \(X\)’te kapalıdır. (K2) gereği kapalı kümelerin kesişimi kapalıdır; bu yüzden \(A = C \cap Y\), \(X\)’te kapalıdır.
\(\blacksquare\)
Teoremin tersi de doğrudur; ikisi birlikte, \(Y\)’de kapalı kümelerin hangi durumda \(X\)’te de kapalı olduğunu tam olarak söyler.
Önerme 12.1 (Kapalılığın Alt Uzaydan Taşınması İçin Ölçüt) \(Y\), \(X\) topolojik uzayının bir alt uzayı olsun. \(Y\)’de kapalı olan her kümenin \(X\)’te de kapalı olması için gerek ve yeter koşul, \(Y\)’nin \(X\)’te kapalı olmasıdır.
İspat
Yeterlik. \(Y\), \(X\)’te kapalı ise Teorem 12.2 tam olarak \(Y\)’de kapalı her kümenin \(X\)’te kapalı olduğunu söyler.
Gereklik. \(Y\)’de kapalı her küme \(X\)’te kapalı olsun. Tanımdan sonra gördüğümüz gibi \(Y\), \(Y\)’de kapalıdır, çünkü \(Y \setminus Y = \varnothing\) kümesi \(Y\)’de açıktır. Varsayım gereği \(Y\), \(X\)’te de kapalıdır.
\(\blacksquare\)
Örneğin \(Y = [0, 1]\) kapalı bir aralık olduğundan, \([0, 1]\)’de kapalı olan her küme \(\mathbb{R}\)’de de kapalıdır. Örnek 12.3’deki \(Y = (0, 1]\) ise kapalı olmadığından bu sonuç orada uygulanamaz ve gerçekten bozulur.
12.3 Bir Kümenin İçi ve Kapanışı
Her küme açık ya da kapalı değildir; ama her kümenin içinde ona sığan açık kümeler, dışında da onu içeren kapalı kümeler vardır. En azından \(\varnothing \subseteq A\) açıktır ve \(A \subseteq X\) kapalıdır. Bunların en iyilerini seçerek bir kümeye iki yeni küme eşleriz.
Tanım 12.2 (Bir Kümenin İçi) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay ve \(A \subseteq X\) olsun. \(A\)’nın içinde kalan bütün açık kümelerin birleşimine \(A\)’nın içi (interior) denir ve \(\operatorname{Int} A\) ile gösterilir:
\[\operatorname{Int} A = \bigcup \{ U : U \text{ açık ve } U \subseteq A \}.\]
Yani \(\operatorname{Int} A\), \(A\)’nın açık parçalarının hepsini bir araya toplar. Bir \(x\) noktası, ancak \(A\)’nın içinde kalan bir açık kümeye ait olduğunda \(A\)’nın içindedir.
Tanım 12.3 (Bir Kümenin Kapanışı) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay ve \(A \subseteq X\) olsun. \(A\)’yı içeren bütün kapalı kümelerin kesişimine \(A\)’nın kapanışı (closure) denir ve \(\overline{A}\) ya da \(\operatorname{Cl} A\) ile gösterilir:
\[\overline{A} = \bigcap \{ F : F \text{ kapalı ve } A \subseteq F \}.\]
Yani \(\overline{A}\), \(A\)’yı kapsayan kapalı kümelerin hepsinde ortak olan noktalardır. Kesişimi alınan aile boş değildir, çünkü \(X\) kapalıdır ve \(A\)’yı içerir; bu yüzden tanım her zaman anlamlıdır.
İki tanım birbirinin aynası gibidir: biri açık kümelerin birleşimi, öteki kapalı kümelerin kesişimidir. Temel özellikler de ayna gibi sıralanır.
Önerme 12.2 (İç ve Kapanışın Temel Özellikleri) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay ve \(A \subseteq X\) olsun.
(1) \(\operatorname{Int} A\) açıktır ve \(\overline{A}\) kapalıdır.
(2) \(\operatorname{Int} A \subseteq A \subseteq \overline{A}\).
(3) \(A\)’nın içinde kalan her açık \(U\) kümesi için \(U \subseteq \operatorname{Int} A\); \(A\)’yı içeren her kapalı \(F\) kümesi için \(\overline{A} \subseteq F\). Yani \(\operatorname{Int} A\), \(A\)’nın içindeki en büyük açık küme; \(\overline{A}\) ise \(A\)’yı içeren en küçük kapalı kümedir.
(4) \(A\) açıktır ancak ve ancak \(A = \operatorname{Int} A\); \(A\) kapalıdır ancak ve ancak \(A = \overline{A}\).
(5) \(x \in \operatorname{Int} A\) olması için gerek ve yeter koşul, \(x \in U \subseteq A\) olacak biçimde açık bir \(U\) kümesinin bulunmasıdır.
İspat
(1) \(\operatorname{Int} A\) açık kümelerin bir birleşimidir; (T3) gereği açıktır. \(\overline{A}\), kapalı kümelerden oluşan boş olmayan bir ailenin kesişimidir; (K2) gereği kapalıdır.
(2) \(\operatorname{Int} A\)’nın bir elemanı, \(A\)’nın içinde kalan açık bir \(U\) kümesine aittir; \(U \subseteq A\) olduğundan bu eleman \(A\)’dadır. Böylece \(\operatorname{Int} A \subseteq A\). Öte yandan \(A\), kesişimi alınan kapalı kümelerin her birinin alt kümesidir; bu yüzden onların kesişiminin de alt kümesidir: \(A \subseteq \overline{A}\).
(3) \(U\) açık ve \(U \subseteq A\) ise \(U\), birleşimi alınan kümelerden biridir; dolayısıyla \(U \subseteq \operatorname{Int} A\). \(F\) kapalı ve \(A \subseteq F\) ise \(F\), kesişimi alınan kümelerden biridir; bir kesişim, kesişime giren her kümenin alt kümesi olduğundan \(\overline{A} \subseteq F\).
(4) \(A\) açık olsun. (3) maddesini \(U = A\) ile uygularsak \(A \subseteq \operatorname{Int} A\); (2) ile birlikte \(A = \operatorname{Int} A\). Tersine \(A = \operatorname{Int} A\) ise (1) gereği \(A\) açıktır. Kapalı küme için aynı akıl yürütme işler: \(A\) kapalıysa (3) maddesini \(F = A\) ile uygulayıp \(\overline{A} \subseteq A\) buluruz; (2) ile \(A = \overline{A}\). Tersine \(A = \overline{A}\) ise (1) gereği \(A\) kapalıdır.
(5) \(x \in \operatorname{Int} A\) ise birleşimin tanımı gereği \(x\), \(A\)’nın içinde kalan açık bir \(U\) kümesine aittir: \(x \in U \subseteq A\). Tersine \(x \in U \subseteq A\) ve \(U\) açık ise (3) gereği \(U \subseteq \operatorname{Int} A\), dolayısıyla \(x \in \operatorname{Int} A\).
\(\blacksquare\)
İspatın özü: iç, \(A\)’ya sığan açık kümelerin en büyüğü; kapanış, \(A\)’yı saran kapalı kümelerin en küçüğüdür. Açık kümenin içi, kapalı kümenin kapanışı kendisidir.
İlk hesabımızı sonlu bir uzayda yapalım; orada bütün açık ve kapalı kümeleri listeleyebiliriz.
Örnek 12.4 (Beş Noktalı Bir Uzayda İç ve Kapanış) \(X = \{a, b, c, d, e\}\) üzerinde
\[\tau = \bigl\{\varnothing,\ X,\ \{a\},\ \{c, d\},\ \{a, c, d\},\ \{b, c, d, e\}\bigr\}\]
topolojisini alalım. \(A = \{a, b\}\) ve \(B = \{c, d, e\}\) kümelerinin içlerini ve kapanışlarını bulunuz.
Çözüm
Bu topolojinin bir topoloji olduğu Açık ve Kapalı Kümeler; Sonlu ve Sayılabilir Tümleyen Topolojileri bölümünde gösterilmişti. Açık kümelerin tümleyenlerini alarak bütün kapalı kümeleri yazalım:
| Açık küme | Tümleyeni (kapalı) |
|---|---|
| \(\varnothing\) | \(X\) |
| \(X\) | \(\varnothing\) |
| \(\{a\}\) | \(\{b, c, d, e\}\) |
| \(\{c, d\}\) | \(\{a, b, e\}\) |
| \(\{a, c, d\}\) | \(\{b, e\}\) |
| \(\{b, c, d, e\}\) | \(\{a\}\) |
\(A = \{a, b\}\) için. \(A\)’nın içinde kalan açık kümeler \(\varnothing\) ve \(\{a\}\)’dır; öteki açık kümelerin her biri \(A\)’da olmayan bir eleman içerir. Bu yüzden
\[\operatorname{Int} A = \varnothing \cup \{a\} = \{a\}.\]
\(A\)’yı içeren kapalı kümeler, tablonun ikinci sütununda hem \(a\)’yı hem \(b\)’yi içerenlerdir: \(X\) ve \(\{a, b, e\}\). Bu yüzden
\[\overline{A} = X \cap \{a, b, e\} = \{a, b, e\}.\]
\(B = \{c, d, e\}\) için. \(B\)’nin içinde kalan açık kümeler \(\varnothing\) ve \(\{c, d\}\)’dir; \(\{b, c, d, e\}\) kümesi \(b\)’yi içerdiğinden \(B\)’nin içinde değildir. Bu yüzden \(\operatorname{Int} B = \{c, d\}\). \(B\)’yi içeren kapalı kümeler \(X\) ve \(\{b, c, d, e\}\)’dir; bu yüzden
\[\overline{B} = X \cap \{b, c, d, e\} = \{b, c, d, e\}.\]
Her iki kümede de iç kümeden, küme de kapanışından kesin olarak küçüktür. Önerme 12.2’nin (4) maddesine göre bu, \(A\) ile \(B\)’nin ne açık ne kapalı olduğunu gösterir.
\(\blacksquare\)
12.4 Alt Uzayda Kapanış
\(A \subseteq Y \subseteq X\) ise \(A\)’nın kapanışını iki ayrı uzayda alabiliriz: \(X\)’te ve \(Y\) alt uzayında. Bu iki küme genel olarak farklıdır. Bu bölümde \(\overline{A}\) gösterimini her zaman \(X\)’teki kapanış için kullanacağız; \(Y\)’deki kapanışı \(\operatorname{Cl}_Y A\) ile göstereceğiz. Aşağıdaki teorem, ikincisinin birincisinden kolayca hesaplandığını söyler.
Teorem 12.3 (Alt Uzayda Kapanış) \(Y\), \(X\) topolojik uzayının bir alt uzayı ve \(A \subseteq Y\) olsun. \(A\)’nın \(Y\)’deki kapanışı, \(X\)’teki kapanışının \(Y\) ile kesişimidir:
\[\operatorname{Cl}_Y A = \overline{A} \cap Y.\]
İspat
\(B = \operatorname{Cl}_Y A\) diyelim. \(B\), \(Y\)’nin topolojisinde \(A\)’yı içeren bütün kapalı kümelerin kesişimidir. İki kapsamayı ayrı ayrı göstereceğiz.
\(B \subseteq \overline{A} \cap Y\). \(\overline{A}\), \(X\)’te kapalıdır. Teorem 12.1 gereği \(\overline{A} \cap Y\) kümesi \(Y\)’de kapalıdır. Ayrıca \(A \subseteq \overline{A}\) ve \(A \subseteq Y\) olduğundan \(A \subseteq \overline{A} \cap Y\). Demek ki \(\overline{A} \cap Y\), \(Y\)’de \(A\)’yı içeren kapalı kümelerden biridir. \(B\) bu kümelerin hepsinin kesişimi olduğundan \(B \subseteq \overline{A} \cap Y\).
\(\overline{A} \cap Y \subseteq B\). \(B\), \(Y\)’de kapalıdır (Önerme 12.2, \(Y\) uzayında uygulanmış hâliyle). Teorem 12.1 gereği \(X\)’te kapalı bir \(C\) için \(B = C \cap Y\)’dir. \(A \subseteq B \subseteq C\) olduğundan \(C\), \(X\)’te \(A\)’yı içeren kapalı bir kümedir; kapanışın en küçüklüğü gereği \(\overline{A} \subseteq C\). İki tarafı \(Y\) ile kesiştirirsek
\[\overline{A} \cap Y \subseteq C \cap Y = B.\]
İki kapsama birlikte \(\operatorname{Cl}_Y A = \overline{A} \cap Y\) eşitliğini verir.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: \(Y\)’nin kapalı kümeleri \(X\)’in kapalı kümelerinin \(Y\) ile kesişimleri olduğundan, “\(A\)’yı içeren en küçük kapalı küme” de bu kesişimle taşınır.
Bu teoremi somut bir örnekte kullanabilmek için önce bir kapanışı hesaplayabilmemiz gerekir. Tanım, \(A\)’yı içeren bütün kapalı kümelere bakmamızı ister; gerçel doğruda bu kümeler sayısızdır. Bir sonraki bölümdeki teorem bu işi tek tek noktalara bakmaya indirir.
12.5 Kapanışın Açık Kümelerle Tanınması
Önce kullanışlı bir söz kalıbı belirleyelim.
Tanım 12.4 (Bir Kümenin Başka Bir Kümeyi Kesmesi) \(A\) ve \(B\) iki küme olsun. \(A \cap B \neq \varnothing\) ise \(A\), \(B\)’yi keser (A intersects B) denir.
Yani \(A\)’nın \(B\)’yi kesmesi, iki kümenin en az bir ortak noktasının bulunmasıdır. Tanım simetriktir: \(A\), \(B\)’yi keserse \(B\) de \(A\)’yı keser.
Teorem 12.4 (Kapanışın Açık Kümelerle Tanınması) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay, \(A \subseteq X\) ve \(x \in X\) olsun.
(1) \(x \in \overline{A}\) olması için gerek ve yeter koşul, \(x\)’i içeren her açık kümenin \(A\)’yı kesmesidir.
(2) \(\tau\) bir \(\mathcal{B}\) bazının ürettiği topoloji ise \(x \in \overline{A}\) olması için gerek ve yeter koşul, \(x\)’i içeren her \(B \in \mathcal{B}\) baz elemanının \(A\)’yı kesmesidir.
İspat
(1) İfade “\(P \iff Q\)” biçimindedir. İki yönü birden ters-karşıtına çevirirsek, yani “\(\neg P \iff \neg Q\)” denkliğini gösterirsek aynı şeyi ispatlamış oluruz. Bu denk ifade şudur:
\[x \notin \overline{A} \iff x \text{'i içeren ve } A \text{'yı kesmeyen açık bir } U \text{ vardır.}\]
(\(\Rightarrow\)) \(x \notin \overline{A}\) olsun. \(U = X \setminus \overline{A}\) alalım. \(\overline{A}\) kapalı olduğundan \(U\) açıktır; \(x \notin \overline{A}\) olduğundan \(x \in U\). \(A \subseteq \overline{A}\) olduğundan \(A\)’nın hiçbir noktası \(U\)’da değildir: \(U \cap A = \varnothing\). Yani \(U\), \(x\)’i içeren ve \(A\)’yı kesmeyen bir açık kümedir.
(\(\Leftarrow\)) \(x \in U\), \(U\) açık ve \(U \cap A = \varnothing\) olsun. \(F = X \setminus U\) kümesi kapalıdır. \(U \cap A = \varnothing\) olduğundan \(A\)’nın her noktası \(U\)’nun dışındadır, yani \(A \subseteq F\). Kapanışın en küçüklüğü gereği \(\overline{A} \subseteq F\). \(x \in U\) olduğundan \(x \notin F\); dolayısıyla \(x \notin \overline{A}\).
(2) (1) maddesini kullanacağız.
(\(\Rightarrow\)) \(x \in \overline{A}\) olsun. Her baz elemanı ürettiği topolojide açıktır; bu yüzden \(x\)’i içeren her \(B \in \mathcal{B}\), \(x\)’i içeren bir açık kümedir ve (1) gereği \(A\)’yı keser.
(\(\Leftarrow\)) \(x\)’i içeren her baz elemanı \(A\)’yı kessin. \(U\), \(x\)’i içeren herhangi bir açık küme olsun. Bazın ürettiği topolojinin tanımı gereği \(x \in B \subseteq U\) olacak bir \(B \in \mathcal{B}\) vardır. Varsayım gereği \(B \cap A \neq \varnothing\); \(B \subseteq U\) olduğundan \(B \cap A \subseteq U \cap A\), dolayısıyla \(U \cap A \neq \varnothing\). \(x\)’i içeren her açık küme \(A\)’yı kestiğinden (1) gereği \(x \in \overline{A}\).
\(\blacksquare\)
İspatın özü: \(x\) kapanışın dışındaysa kapanışın tümleyeni, \(x\)’i \(A\)’dan ayıran açık bir kümedir; tersine \(x\)’i \(A\)’dan ayıran bir açık küme varsa onun tümleyeni, \(A\)’yı içeren ve \(x\)’i dışarıda bırakan kapalı bir kümedir.
Gerçel doğruda (2) maddesi şu biçimi alır: \(x \in \overline{A}\) ancak ve ancak \(x\)’i içeren her \((c, d)\) açık aralığı \(A\)’nın bir noktasını içerir. Şimdi bunu kullanalım.
Örnek 12.5 (Bir Aralığın Gerçel Doğruda ve Alt Uzayda Kapanışı) \(Y = (0, 1]\) kümesini \(\mathbb{R}\)’nin alt uzayı olarak alalım ve \(A = (0, \tfrac{1}{2})\) olsun. \(A\)’nın \(\mathbb{R}\)’deki ve \(Y\)’deki kapanışlarını bulunuz.
Çözüm
\(\mathbb{R}\)’deki kapanış: \(\overline{A} = [0, \tfrac{1}{2}]\). Önce bir kapsama: \([0, \tfrac{1}{2}]\) kapalı bir aralıktır ve \(A\)’yı içerir; kapanışın en küçüklüğü gereği \(\overline{A} \subseteq [0, \tfrac{1}{2}]\).
Ters kapsama için \([0, \tfrac{1}{2}]\)’nin her noktasının kapanışta olduğunu Teorem 12.4’nun (2) maddesiyle gösterelim. \(A\)’nın noktaları zaten kapanıştadır. Geriye iki uç nokta kalır.
- \(x = 0\): \(0\)’ı içeren bir \((c, d)\) aralığı alalım; \(d > 0\). \(t = \min\{\tfrac{d}{2}, \tfrac{1}{4}\}\) sayısı \(0 < t < d\) ve \(t < \tfrac{1}{2}\) eşitsizliklerini sağlar; yani \(t \in (c, d) \cap A\). Aralık \(A\)’yı keser; dolayısıyla \(0 \in \overline{A}\).
- \(x = \tfrac{1}{2}\): \(\tfrac{1}{2}\)’yi içeren bir \((c, d)\) aralığı alalım; \(c < \tfrac{1}{2}\). \(s = \max\{\tfrac{2c + 1}{4}, \tfrac{1}{4}\}\) olsun. \(\tfrac{2c + 1}{4}\), \(c\) ile \(\tfrac{1}{2}\)’nin orta noktasıdır; bu yüzden \(c < s < \tfrac{1}{2}\) ve \(s \geq \tfrac{1}{4} > 0\). Böylece \(s \in (c, d) \cap A\) ve \(\tfrac{1}{2} \in \overline{A}\).
İki kapsama birlikte \(\overline{A} = [0, \tfrac{1}{2}]\) verir.
\(Y\)’deki kapanış. Teorem 12.3 gereği
\[\operatorname{Cl}_Y A = \overline{A} \cap Y = [0, \tfrac{1}{2}] \cap (0, 1] = (0, \tfrac{1}{2}].\]
\(0\) noktası \(\mathbb{R}\)’deki kapanışa girer ama \(Y\)’nin elemanı olmadığından \(Y\)’deki kapanışta yer alamaz.
\(\blacksquare\)
Kapanış ölçütü, bir kümenin içi ile kapanışının birbirinden ne kadar uzak düşebileceğini de gösterir. Bunun en çarpıcı örneği rasyonel sayılardır. Analizden iki gerçeği kullanacağız: Arşimet özelliği (her \(x \in \mathbb{R}\) için \(x < n\) olacak bir \(n \in \mathbb{Z}^+\) vardır; \(x = \tfrac{1}{\varepsilon}\) alınırsa her \(\varepsilon > 0\) için \(\tfrac{1}{n} < \varepsilon\) olacak bir \(n\) bulunur) ve \(\sqrt{2}\)’nin irrasyonel olması.
Örnek 12.6 (Rasyonel Sayıların İçi ve Kapanışı) \(\mathbb{R}\)’de \(\operatorname{Int} \mathbb{Q} = \varnothing\) ve \(\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Adım 1: Her açık aralıkta bir rasyonel sayı vardır. \(c < d\) olsun. Arşimet özelliğine göre \(\tfrac{1}{n} < d - c\) olacak bir \(n \in \mathbb{Z}^+\) seçelim. Arşimet özelliğine göre \(nc < k\) olacak bir \(k \in \mathbb{Z}^+\) vardır; yani \(nc\)’den büyük tam sayılar vardır. Bu tam sayıların kümesi boş değildir ve \(nc\) ile alttan sınırlıdır; alttan sınırlı, boş olmayan her tam sayı kümesinin en küçük elemanı olduğundan bunların en küçüğüne \(m\) diyebiliriz. O zaman \(m - 1 \leq nc < m\), yani
\[c < \frac{m}{n} \leq c + \frac{1}{n} < c + (d - c) = d.\]
Böylece \(\tfrac{m}{n} \in (c, d) \cap \mathbb{Q}\).
Adım 2: Her açık aralıkta bir irrasyonel sayı vardır. \(c < d\) olsun. Adım 1’i \((c - \sqrt{2}, d - \sqrt{2})\) aralığına uygulayarak bu aralıkta bir \(r\) rasyonel sayısı buluruz. O zaman \(r + \sqrt{2} \in (c, d)\). Bu sayı irrasyoneldir: rasyonel olsaydı \(\sqrt{2} = (r + \sqrt{2}) - r\) iki rasyonel sayının farkı olarak rasyonel olurdu.
\(\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}\). \(x \in \mathbb{R}\) ve \((c, d)\), \(x\)’i içeren herhangi bir açık aralık olsun. Adım 1’e göre \((c, d)\) bir rasyonel sayı içerir, yani \(\mathbb{Q}\)’yu keser. Teorem 12.4’nun (2) maddesine göre \(x \in \overline{\mathbb{Q}}\). \(x\) keyfi olduğundan \(\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}\).
\(\operatorname{Int} \mathbb{Q} = \varnothing\). \(x \in \operatorname{Int} \mathbb{Q}\) olsaydı Önerme 12.2’nin (5) maddesine göre \(x \in U \subseteq \mathbb{Q}\) olacak bir açık \(U\) olurdu ve standart topolojinin tanımı gereği \(x \in (c, d) \subseteq U \subseteq \mathbb{Q}\) olacak bir açık aralık bulunurdu. Oysa Adım 2’ye göre \((c, d)\) bir irrasyonel sayı içerir; bu sayı \(\mathbb{Q}\)’da değildir. Çelişki; demek ki \(\operatorname{Int} \mathbb{Q}\)’nun hiç elemanı yoktur.
Böylece \(\mathbb{Q}\) için \(\operatorname{Int} \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \overline{\mathbb{Q}}\) zinciri \(\varnothing \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}\) biçimini alır: rasyonel sayıların hiçbir açık parçası yoktur, ama kapanışları bütün doğrudur.
\(\blacksquare\)
12.6 Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmalarda \((X, \tau)\) bir topolojik uzaydır; \(\mathbb{R}\) ve \(\mathbb{R}^2\) standart topolojileriyle alınır.
Alıştırma 12.1 (Tümleyenin Kapanışı ve İçi) \(A \subseteq X\) olsun. \(X \setminus \overline{A} = \operatorname{Int}(X \setminus A)\) eşitliğini gösteriniz.
Çözüm
Önerme 12.2’nin (3) maddesini, yani içi ve kapanışı “en büyük” ve “en küçük” diye tanıyan özelliği kullanacağız.
\(X \setminus \overline{A} \subseteq \operatorname{Int}(X \setminus A)\). \(\overline{A}\) kapalı olduğundan \(X \setminus \overline{A}\) açıktır. \(A \subseteq \overline{A}\) olduğundan \(X \setminus \overline{A} \subseteq X \setminus A\); çünkü \(\overline{A}\)’da olmayan bir nokta \(A\)’da da olamaz. Yani \(X \setminus \overline{A}\), \(X \setminus A\)’nın içinde kalan bir açık kümedir. En büyüklük özelliği gereği \(X \setminus \overline{A} \subseteq \operatorname{Int}(X \setminus A)\).
\(\operatorname{Int}(X \setminus A) \subseteq X \setminus \overline{A}\). \(U = \operatorname{Int}(X \setminus A)\) diyelim; \(U\) açıktır ve \(U \subseteq X \setminus A\). O hâlde \(F = X \setminus U\) kapalıdır ve \(A \subseteq F\) (çünkü \(A\)’nın hiçbir noktası \(U\)’da değildir). En küçüklük özelliği gereği \(\overline{A} \subseteq F = X \setminus U\). Bu kapsamanın iki tarafının tümleyenini alırsak kapsama yön değiştirir: \(U \subseteq X \setminus \overline{A}\).
İki kapsama eşitliği verir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 12.2 (Birleşimin Kapanışı) \(A, B \subseteq X\) olsun. \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(\overline{A \cup B} \subseteq \overline{A} \cup \overline{B}\). \(\overline{A}\) ve \(\overline{B}\) kapalıdır; (K3) gereği birleşimleri de kapalıdır. \(A \subseteq \overline{A}\) ve \(B \subseteq \overline{B}\) olduğundan \(A \cup B \subseteq \overline{A} \cup \overline{B}\). Yani \(\overline{A} \cup \overline{B}\), \(A \cup B\)’yi içeren kapalı bir kümedir; en küçüklük gereği \(\overline{A \cup B} \subseteq \overline{A} \cup \overline{B}\).
\(\overline{A} \cup \overline{B} \subseteq \overline{A \cup B}\). \(\overline{A \cup B}\) kapalıdır ve \(A \subseteq A \cup B \subseteq \overline{A \cup B}\); en küçüklük gereği \(\overline{A} \subseteq \overline{A \cup B}\). Aynı biçimde \(\overline{B} \subseteq \overline{A \cup B}\). İki kapsama birlikte \(\overline{A} \cup \overline{B} \subseteq \overline{A \cup B}\) verir.
İki kapsama eşitliği verir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 12.3 (Kesişimin Kapanışı Eşitlik Vermez) \(A, B \subseteq X\) için \(\overline{A \cap B} \subseteq \overline{A} \cap \overline{B}\) olduğunu gösteriniz. \(\mathbb{R}\)’de bu kapsamanın kesin olabileceğini bir örnekle gösteriniz.
Çözüm
Kapsama. \(A \cap B \subseteq A \subseteq \overline{A}\) ve \(\overline{A}\) kapalı olduğundan en küçüklük gereği \(\overline{A \cap B} \subseteq \overline{A}\). Aynı biçimde \(\overline{A \cap B} \subseteq \overline{B}\). Bir küme iki kümenin de alt kümesiyse kesişimlerinin de alt kümesidir: \(\overline{A \cap B} \subseteq \overline{A} \cap \overline{B}\).
Kesin olabilir. \(A = \mathbb{Q}\) ve \(B = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) alalım. \(A \cap B = \varnothing\) olduğundan \(\overline{A \cap B} = \overline{\varnothing} = \varnothing\) (\(\varnothing\) kapalıdır). Öte yandan Örnek 12.6 gereği \(\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}\). İrrasyoneller için de aynı akıl yürütme işler: her açık aralık bir irrasyonel sayı içerdiğinden (aynı örneğin Adım 2’si) her \(x \in \mathbb{R}\) için \(x\)’i içeren her açık aralık \(B\)’yi keser; Teorem 12.4 gereği \(\overline{B} = \mathbb{R}\). Böylece
\[\overline{A \cap B} = \varnothing \subsetneq \mathbb{R} = \overline{A} \cap \overline{B}.\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 12.4 (Sonlu Tümleyen Topolojisinde Kapanış) \(X\) sonsuz bir küme olsun ve \(X\) üzerinde sonlu tümleyen topolojisi alınsın. \(A \subseteq X\) sonlu ise \(\overline{A} = A\), sonsuz ise \(\overline{A} = X\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Açık ve Kapalı Kümeler; Sonlu ve Sayılabilir Tümleyen Topolojileri bölümüne göre bu topolojide bir küme ancak sonlu ise ya da \(X\)’e eşitse kapalıdır.
\(A\) sonlu. \(A\) kapalıdır; Önerme 12.2’nin (4) maddesine göre \(\overline{A} = A\).
\(A\) sonsuz. \(F\), \(A\)’yı içeren bir kapalı küme olsun. \(F\) sonsuz bir kümeyi içerdiğinden sonlu olamaz; kapalı kümeler sonlu kümeler ve \(X\) olduğundan \(F = X\). Demek ki \(A\)’yı içeren tek kapalı küme \(X\)’tir ve \(\overline{A} = X\).
Örneğin \(X = \mathbb{R}\) ise bu topolojide \(\overline{\mathbb{Z}} = \mathbb{R}\)’dir; oysa standart topolojide \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n, n + 1)\) açık aralıkların birleşimi olarak açıktır, dolayısıyla \(\mathbb{Z}\) kapalıdır ve \(\overline{\mathbb{Z}} = \mathbb{Z}\)’dir. Kapanış, kümenin kendisi kadar topolojiye de bağlıdır.
\(\blacksquare\)
Bu bölümde kapalı kümeleri alt uzaylara taşıdık ve her kümeye iç ile kapanışı eşledik. Kapanışı noktalarla tanıyan teorem, bir sonraki adımda yığılma noktası kavramına ve Hausdorff uzaylarına götürecek. Öğrendiklerimizi önceki bölümlerle birlikte çalıştırmak için Kümeler ve Topolojik Uzaylar Üzerine Alıştırmalar sayfasına geçebilirsiniz.