4 Fonksiyonlar ve Bileşke
İndisli Aileler ve Kartezyen Çarpım bölümünde iki kümenin kartezyen çarpımını, yani sıralı ikililerin kümesini kurduk. Bu bölümde o yapının üzerine matematiğin en çok kullanılan kavramını, fonksiyon kavramını yerleştireceğiz. Fonksiyonu “bir formül” olarak değil, kartezyen çarpımın belirli bir koşulu sağlayan bir alt kümesi olarak tanımlayacağız. Bu bakış ilk anda fazla soyut görünebilir; ama ilerideki bölümlerde sürekli fonksiyonları, homeomorfizmaları ve ters görüntüleri incelerken bize sağlam bir zemin verecek.
Önce atama kuralı kavramını, sonra bir kuralın tanım kümesini ve görüntü kümesini tanımlayacağız. Ardından fonksiyonu, “bir atama kuralı ile bir değer kümesi” olarak tanımlayıp \(f : A \to B\) gösterimini, \(f(a)\) değerini, iki fonksiyonun ne zaman eşit olduğunu ve bir fonksiyonun bir alt kümeye kısıtlamasını göreceğiz. Her kümenin birim fonksiyonu ve kartezyen çarpımın izdüşümleri, topolojide tekrar tekrar karşımıza çıkacak iki temel örnektir.
Bölümün ikinci yarısında iki somut soru üzerinde çalışacağız: bir formülle verilen fonksiyonun en geniş tanım kümesi nedir ve görüntüsü tam olarak hangi kümedir? Son olarak iki fonksiyonu arka arkaya uygulayarak elde edilen bileşke fonksiyonu tanımlayacak, parçalı tanımlı fonksiyonların bileşkesini hesaplayacak ve bileşkenin birleşme özelliğini ispatlayacağız.
4.1 Atama Kuralı
Bir fonksiyon, sezgisel olarak, bir kümenin her elemanına başka bir kümeden bir eleman “atar”. Bu atamayı kesin bir dille söylemenin yolu, hangi elemanın hangi elemana gittiğini sıralı ikililerle kaydetmektir: \(c\) elemanına \(d\) atanıyorsa \((c, d)\) ikilisini yazarız. Bu ikililerin kümesi, kartezyen çarpımın bir alt kümesidir. Tek koşul, bir elemana iki farklı şeyin atanmamasıdır.
Tanım 4.1 (Atama Kuralı) \(C\) ve \(D\) iki küme olsun. Kartezyen çarpım \(C \times D\) kümesinin bir \(r\) alt kümesine, \(C\) kümesinin her elemanı \(r\) kümesine ait en çok bir sıralı ikilinin birinci bileşeni olarak görünüyorsa atama kuralı (rule of assignment) denir.
Başka bir deyişle, \(r \subseteq C \times D\) alt kümesi şu koşulu sağlıyorsa bir atama kuralıdır:
\[(c, d) \in r \ \text{ ve } \ (c, d') \in r \ \Rightarrow \ d = d'.\]
Yani bir atama kuralı, “aynı \(c\) için iki farklı \(d\) yazılmamış” bir sıralı ikili listesidir. Her \(c \in C\) için bir ikili yazılması gerekmez; koşul yalnızca yazılan ikililerin çelişmemesidir.
Bir atama kuralında birinci bileşen olarak görünen elemanlar ile ikinci bileşen olarak görünen elemanlar iki doğal küme oluşturur.
Tanım 4.2 (Bir Kuralın Tanım Kümesi ve Görüntü Kümesi) \(r \subseteq C \times D\) bir atama kuralı olsun. \(r\) kuralının elemanlarının bütün birinci bileşenlerinden oluşan \(C\) alt kümesine \(r\) kuralının tanım kümesi (domain), elemanlarının bütün ikinci bileşenlerinden oluşan \(D\) alt kümesine \(r\) kuralının görüntü kümesi (image set) denir:
\[\operatorname{tanım}(r) = \{c \in C : \text{bir } d \in D \text{ için } (c, d) \in r\},\]
\[\operatorname{görüntü}(r) = \{d \in D : \text{bir } c \in C \text{ için } (c, d) \in r\}.\]
Yani tanım kümesi “kendisine bir şey atanan” elemanların, görüntü kümesi ise “en az bir elemana atanan” elemanların kümesidir.
Kavramı küçük kümeler üzerinde görelim.
Örnek 4.1 (Atama Kuralı Olan ve Olmayan Alt Kümeler) \(C = \{1, 2, 3\}\) ve \(D = \{a, b\}\) olsun. \(C \times D\) kümesinin aşağıdaki alt kümelerinden hangileri atama kuralıdır? Atama kuralı olanların tanım kümesini ve görüntü kümesini bulunuz.
\[r_1 = \{(1, a), (2, a), (3, b)\}, \qquad r_2 = \{(1, a), (1, b), (2, a)\}, \qquad r_3 = \{(2, b)\}.\]
Çözüm
\(r_1\) bir atama kuralıdır: birinci bileşeni \(1\) olan tek ikili \((1, a)\), birinci bileşeni \(2\) olan tek ikili \((2, a)\), birinci bileşeni \(3\) olan tek ikili \((3, b)\) olduğundan Tanım 4.1’ndaki koşul sağlanır. Tanım kümesi \(\{1, 2, 3\} = C\), görüntü kümesi \(\{a, b\} = D\) olur. \(a\) elemanının iki farklı elemana atanmış olması bir sorun değildir; koşul yalnızca birinci bileşenlerle ilgilidir.
\(r_2\) bir atama kuralı değildir: \((1, a) \in r_2\) ve \((1, b) \in r_2\) olduğu hâlde \(a \neq b\) olduğundan koşul bozulur. Yani \(1\) elemanına hem \(a\) hem \(b\) atanmıştır.
\(r_3\) bir atama kuralıdır: tek elemanı olduğundan koşulu bozan bir çift bulunamaz. Tanım kümesi \(\{2\}\), görüntü kümesi \(\{b\}\) olur. Bu örnek, tanım kümesinin \(C\) kümesinin tamamı olmak zorunda olmadığını gösterir.
\(\blacksquare\)
4.2 Fonksiyon
Bir atama kuralı, hangi elemanın nereye gittiğini söyler; ama gidilen elemanların hangi kümenin içinde düşünüldüğünü söylemez. Örneğin \(\{(x, x^2) : x \in \mathbb{R}\}\) kuralının ikinci bileşenlerini \(\mathbb{R}\) içinde de, yalnızca negatif olmayan gerçel sayılar içinde de düşünebiliriz. Fonksiyon kavramı bu seçimi de kayda geçirir.
Tanım 4.3 (Fonksiyon) Bir fonksiyon (function) \(f\), bir \(r\) atama kuralı ile \(r\) kuralının görüntü kümesini içeren bir \(B\) kümesinden oluşur. \(r\) kuralının tanım kümesi \(A\)’ya \(f\) fonksiyonunun da tanım kümesi, \(r\) kuralının görüntü kümesine \(f\) fonksiyonunun da görüntü kümesi denir; \(B\) kümesine ise \(f\) fonksiyonunun değer kümesi (range) denir.
Tanım kümesi \(A\), değer kümesi \(B\) olan bir \(f\) fonksiyonu
\[f : A \to B\]
biçiminde gösterilir ve “\(f\), \(A\)’dan \(B\)’ye bir fonksiyondur” ya da “\(f\), \(A\)’yı \(B\) içine gönderir” diye okunur. Fonksiyon yerine dönüşüm (mapping) sözü de kullanılır.
Yani bir fonksiyon “kural artı değer kümesi” ikilisidir: kural her elemanın nereye gittiğini, değer kümesi ise bu gidilen yerlerin hangi kümenin içinde sayıldığını söyler. Değer kümesi görüntü kümesinden büyük olabilir; tek koşul görüntü kümesini içermesidir.
\(f : A \to B\) fonksiyonunda değer kümesi \(B\), görüntü kümesini içeren, bizim seçtiğimiz kümedir. Görüntü kümesi ise gerçekten “değer olarak alınan” elemanların kümesidir ve \(B\)’nin bir alt kümesidir. Bazı kitaplarda “değer kümesi” sözü görüntü kümesi anlamında kullanılır; bu kitapta değer kümesi her zaman \(B\)’yi, görüntü kümesi her zaman \(\{f(a) : a \in A\}\) kümesini gösterecektir.
Fonksiyonlarla çalışırken sıralı ikililer yerine “\(a\)’ya atanan eleman” dilini kullanmak daha rahattır. Bu dili kesinleştirelim.
Tanım 4.4 (Fonksiyonun Bir Noktadaki Değeri) \(f : A \to B\) bir fonksiyon ve \(a \in A\) olsun. \(f\) fonksiyonunu belirleyen kuralın \(a\) elemanına atadığı \(B\) kümesinin tek elemanı \(f(a)\) ile gösterilir; buna \(f\) fonksiyonunun \(a\) noktasındaki değeri ya da \(a\) elemanının \(f\) altındaki görüntüsü denir.
Başka bir deyişle, \(r\) kuralı \(f\) fonksiyonunun kuralıysa \(f(a)\), \((a, f(a)) \in r\) olacak biçimdeki tek \(B\) elemanıdır.
Yani \(f(a)\), kuralda birinci bileşeni \(a\) olan tek ikilinin ikinci bileşenidir. Böyle bir ikilinin var olması \(a\)’nın tanım kümesinde olmasından, tek olması ise \(r\)’nin bir atama kuralı olmasından gelir. Bu tanımla \(f\) fonksiyonunun kuralı
\[r = \{(a, f(a)) : a \in A\}\]
biçiminde yazılabilir; çünkü \(r\) kümesinin her elemanı, birinci bileşeni bir \(a \in A\) olan bir ikilidir ve ikinci bileşeni \(f(a)\) olmak zorundadır; tersine her \(a \in A\) için \((a, f(a)) \in r\) olur.
Uygulamada bir fonksiyonu sıralı ikililerle değil, bir formülle veririz. İki gösterimin aynı şeyi söylediğini bir örnekte görelim.
Örnek 4.2 (Bir Kuralı Formül Olarak Yazmak) Kuralı \(\{(x, x^3 + 1) : x \in \mathbb{R}\}\) ve değer kümesi \(\mathbb{R}\) olan \(f\) fonksiyonunu ele alalım. Kuralın tanım kümesi, birinci bileşenlerin kümesi, \(\mathbb{R}\)’dir; her \(x \in \mathbb{R}\) için \(f(x) = x^3 + 1\) olur. Bu yüzden aynı fonksiyon kısaca
\[f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \qquad f(x) = x^3 + 1\]
diye yazılır. Bundan sonra fonksiyonları çoğunlukla bu ikinci biçimde vereceğiz; ama arka planda her zaman bir sıralı ikili kümesi ve bir değer kümesi olduğunu unutmayacağız.
Fonksiyonların Eşitliği
Fonksiyonlar kümelerle tanımlandığından iki fonksiyonun ne zaman eşit olduğu sorusunun kesin bir cevabı vardır. Bu cevap, iki fonksiyonun eşit olduğunu göstermek istediğimiz her yerde, özellikle bileşke ile ilgili ispatlarda kullanılacaktır.
Önerme 4.1 (Fonksiyonların Eşitliği) \(f : A \to B\) ve \(g : A' \to B'\) iki fonksiyon olsun. \(f = g\) olması için gerek ve yeter koşul şudur: \(A = A'\), \(B = B'\) ve her \(x \in A\) için \(f(x) = g(x)\).
İspat
\(f\) fonksiyonunun kuralı \(r_f = \{(x, f(x)) : x \in A\}\), \(g\) fonksiyonunun kuralı \(r_g = \{(x, g(x)) : x \in A'\}\) olsun. Tanım gereği \(f = g\) olması, \(r_f = r_g\) ve \(B = B'\) olması demektir.
Önce \(f = g\) olsun. O zaman \(B = B'\) ve \(r_f = r_g\) olur. Aynı kuralın tanım kümesi tek olduğundan \(A = A'\) olur. Bir \(x \in A\) alalım. \((x, f(x)) \in r_f = r_g\) olduğundan \((x, f(x))\) ikilisi \(g\) kuralının bir elemanıdır; Tanım 4.4’ne göre \(g(x)\), birinci bileşeni \(x\) olan tek ikilinin ikinci bileşenidir, bu yüzden \(f(x) = g(x)\) olur.
Şimdi \(A = A'\), \(B = B'\) ve her \(x \in A\) için \(f(x) = g(x)\) olsun. O zaman
\[r_f = \{(x, f(x)) : x \in A\} = \{(x, g(x)) : x \in A'\} = r_g\]
olur; çünkü iki kümenin elemanları birebir aynı ikililerdir. Kurallar ve değer kümeleri aynı olduğundan \(f = g\) olur.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: fonksiyon “kural artı değer kümesi” olduğundan eşitlik, kuralların (yani tanım kümelerinin ve bütün değerlerin) ve değer kümelerinin eşitliğinden ibarettir.
Kısıtlama
Bir fonksiyonu tanım kümesinin yalnızca bir parçasında düşünmek sık sık gerekir; örneğin bir alt uzay üzerindeki sürekliliği incelerken bunu yapacağız.
Tanım 4.5 (Kısıtlama) \(f : A \to B\) bir fonksiyon ve \(A_0 \subseteq A\) olsun. Kuralı
\[\{(a, f(a)) : a \in A_0\}\]
olan \(A_0\)’dan \(B\)’ye fonksiyona \(f\) fonksiyonunun \(A_0\) kümesine kısıtlaması (restriction) denir ve \(f|_{A_0}\) ile gösterilir; “\(f\)’nin \(A_0\)’a kısıtlanmışı” diye okunur.
Yani \(f|_{A_0}\), \(f\) ile aynı işi yapan ama yalnızca \(A_0\) elemanlarında tanımlı olan fonksiyondur: her \(a \in A_0\) için \(f|_{A_0}(a) = f(a)\) ve \(f|_{A_0} : A_0 \to B\). \(A_0 \neq A\) olduğunda \(f|_{A_0} \neq f\) olur; çünkü iki fonksiyonun tanım kümeleri farklıdır: \(A\) kümesinde \(A_0\)’a ait olmayan bir \(a\) vardır ve \((a, f(a))\) ikilisi \(f\) kuralına aittir, ama \(f|_{A_0}\) kuralına ait değildir.
Aşağıdaki örnek, aynı formülle verilen dört farklı fonksiyonu karşılaştırır ve tanım kümesinin de değer kümesinin de fonksiyonun bir parçası olduğunu gösterir.
Örnek 4.3 (Aynı Formül, Dört Farklı Fonksiyon) \(\mathbb{R}_+ = \{x \in \mathbb{R} : x \geq 0\}\) negatif olmayan gerçel sayıların kümesi olsun. Aşağıdaki fonksiyonları ele alalım:
\[f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ f(x) = x^2; \qquad g : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}, \ g(x) = x^2;\]
\[h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+, \ h(x) = x^2; \qquad k : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+, \ k(x) = x^2.\]
Bu dört fonksiyonun birbirinden farklı olduğunu gösteriniz ve \(g\) ile \(f\) arasındaki ilişkiyi belirtiniz.
Çözüm
\(g \neq f\) olur; çünkü kuralları \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) kümesinin farklı alt kümeleridir: \((-1, 1)\) ikilisi \(f\) kuralına aittir, ama \(-1 \notin \mathbb{R}_+\) olduğundan \(g\) kuralına ait değildir. Öte yandan \(g\) kuralı \(\{(x, x^2) : x \in \mathbb{R}_+\} = \{(x, f(x)) : x \in \mathbb{R}_+\}\) olduğundan, Tanım 4.5’ya göre \(g\), \(f\) fonksiyonunun \(\mathbb{R}_+\) kümesine kısıtlamasıdır: \(g = f|_{\mathbb{R}_+}\).
\(h \neq f\) olur; kuralları aynı küme olmasına karşın \(h\) için belirtilen değer kümesi \(\mathbb{R}_+\), \(f\) için belirtilen değer kümesi \(\mathbb{R}\)’den farklıdır. Önerme 4.1’ne göre değer kümeleri farklı olan iki fonksiyon eşit olamaz.
\(k\) fonksiyonu bunların hepsinden farklıdır: tanım kümesi \(\mathbb{R}_+\) olduğundan \(f\) ve \(h\) fonksiyonlarından, değer kümesi \(\mathbb{R}_+\) olduğundan \(f\) ve \(g\) fonksiyonlarından ayrılır. Ayrıca \(k = h|_{\mathbb{R}_+}\) olduğuna dikkat ediniz.
Dört fonksiyonun da görüntü kümesi aynıdır: \(\{x^2 : x \in \mathbb{R}\} = \{x^2 : x \in \mathbb{R}_+\} = \mathbb{R}_+\). Bu yüzden onları birbirinden ayıran, görüntü kümesi değil, tanım kümesi ve değer kümesidir.
\(\blacksquare\)
Birim Fonksiyon ve İzdüşümler
Şimdi her kümede hazır bulunan iki basit fonksiyon türünü tanımlıyoruz. İkisi de Çarpım Topolojisi ve Alt Uzay Topolojisi bölümlerinde temel araç olacaktır.
Tanım 4.6 (Birim Fonksiyon ve İçerme Fonksiyonu) \(X\) bir küme olsun. Her elemanı kendisine gönderen
\[I_X : X \to X, \qquad I_X(x) = x\]
fonksiyonuna \(X\) kümesinin birim fonksiyonu (identity map) denir.
\(A \subseteq X\) ise her \(a \in A\) elemanını yine kendisine, ama bu kez \(X\)’in bir elemanı olarak gönderen
\[I_A : A \to X, \qquad I_A(a) = a\]
fonksiyonuna \(A\)’nın \(X\) içine içerme fonksiyonu (inclusion map) denir.
Yani birim fonksiyon “hiçbir şey yapmayan” fonksiyondur; içerme fonksiyonu ise \(A\)’nın elemanlarını değiştirmeden, onları daha büyük \(X\) kümesinin elemanları olarak görür. İçerme fonksiyonu tam olarak birim fonksiyonun \(A\)’ya kısıtlamasıdır: \(I_A = I_X|_A\); çünkü ikisinin de kuralı \(\{(a, a) : a \in A\}\) ve değer kümesi \(X\)’tir. \(A = X\) olduğunda içerme fonksiyonu birim fonksiyona dönüşür.
Tanım 4.7 (İzdüşüm Fonksiyonları) \(X\) ve \(Y\) iki küme olsun. Sıralı ikilinin bileşenlerini veren
\[\pi_1 : X \times Y \to X, \qquad \pi_1(x, y) = x\]
ve
\[\pi_2 : X \times Y \to Y, \qquad \pi_2(x, y) = y\]
fonksiyonlarına \(X \times Y\) kartezyen çarpımının izdüşümleri (projections) denir; \(\pi_1\) birinci, \(\pi_2\) ikinci izdüşümdür.
Yani \(\pi_1\) bir ikilinin birinci bileşenini “okur”, \(\pi_2\) ikinci bileşenini. Bunların gerçekten fonksiyon olduğuna dikkat edelim: \(\pi_1\) kuralı \(\{((x, y), x) : (x, y) \in X \times Y\}\) kümesidir ve bir \((x, y)\) ikilisinin birinci bileşeni tek olduğundan bu bir atama kuralıdır. Düzlemde \(X = Y = \mathbb{R}\) alınırsa \(\pi_1(x, y) = x\) noktayı \(x\) eksenine, \(\pi_2(x, y) = y\) noktayı \(y\) eksenine dik olarak izdüşürür; ad buradan gelir. \(X\) ve \(Y\) boş değilse \(\pi_1\) fonksiyonunun görüntü kümesi \(X\)’in tamamıdır; çünkü herhangi bir \(y_0 \in Y\) seçildiğinde her \(x \in X\) için \(\pi_1(x, y_0) = x\) olur.
4.3 En Geniş Tanım Kümesi ve Görüntü
Bir fonksiyon çoğu zaman yalnızca bir formülle, tanım kümesi belirtilmeden verilir: “\(g(x) = \sqrt{3x - 6}\) fonksiyonu”. Böyle bir yazımda tanım kümesi olarak, formülün gerçel bir sayı verdiği bütün \(x \in \mathbb{R}\) sayılarının kümesi anlaşılır. Bu kümeye formülün en geniş tanım kümesi (largest possible domain) denir. Değer kümesi ise aksi söylenmedikçe \(\mathbb{R}\) alınır.
Görüntü kümesini bulmak bir küme eşitliği ispatıdır; iki kapsamayı da göstermek gerekir. Bir \(y\) sayısının görüntüde olduğunu göstermenin yolu, tanım kümesinde \(g(x) = y\) eşitliğini sağlayan bir \(x\) bulmaktır. Bu \(x\)’i bulmak için \(g(x) = y\) denklemini \(x\) için çözeriz; ama çözümü ispata yazarken bulduğumuz \(x\)’in gerçekten tanım kümesinde olduğunu ve gerçekten \(g(x) = y\) sağladığını ayrıca denetleriz.
Örnek 4.4 (Bir Karekök Fonksiyonunun En Geniş Tanım Kümesi ve Görüntüsü) \(g(x) = \sqrt{3x - 6}\) formülüyle verilen fonksiyonun en geniş tanım kümesini ve görüntü kümesini bulunuz.
Çözüm
Tanım kümesi. Karekök yalnızca negatif olmayan sayılar için gerçel bir sayı verir. Bu yüzden \(\sqrt{3x - 6}\) ifadesinin anlamlı olması için gerek ve yeter koşul
\[3x - 6 \geq 0 \ \Leftrightarrow \ 3x \geq 6 \ \Leftrightarrow \ x \geq 2\]
olmasıdır. Dolayısıyla en geniş tanım kümesi \([2, \infty)\) kümesidir ve \(g : [2, \infty) \to \mathbb{R}\) olur.
Görüntü kümesi. Görüntü kümesinin \([0, \infty)\) olduğunu, yani
\[\{g(x) : x \in [2, \infty)\} = [0, \infty)\]
eşitliğini iddia ediyoruz. İki kapsamayı ayrı ayrı gösterelim.
\((\subseteq)\) \(x \in [2, \infty)\) olsun. Karekök hiçbir zaman negatif değer almadığından \(g(x) = \sqrt{3x - 6} \geq 0\), yani \(g(x) \in [0, \infty)\) olur.
\((\supseteq)\) \(y \in [0, \infty)\) olsun; yani \(y \geq 0\). Bu \(y\)’yi değer olarak alan bir \(x\) bulmalıyız. Bunun için \(g(x) = y\) denklemini çözelim: \(y \geq 0\) olduğundan
\[\sqrt{3x - 6} = y \ \Leftrightarrow \ 3x - 6 = y^2 \ \Leftrightarrow \ x = \frac{y^2 + 6}{3}.\]
Şimdi \(x := \dfrac{y^2 + 6}{3}\) diyelim ve iki şeyi denetleyelim.
Birincisi, \(x\) tanım kümesindedir: \(y \geq 0\) olduğundan \(y^2 \geq 0\), bu yüzden \(y^2 + 6 \geq 6\) ve \(x = \dfrac{y^2 + 6}{3} \geq \dfrac{6}{3} = 2\) olur; yani \(x \in [2, \infty)\).
İkincisi, \(g(x) = y\) olur:
\[g(x) = \sqrt{3 \cdot \frac{y^2 + 6}{3} - 6} = \sqrt{y^2 + 6 - 6} = \sqrt{y^2} = |y| = y;\]
son eşitlikte \(y \geq 0\) kullanıldı. Böylece \(y\), tanım kümesindeki \(x\) noktasının görüntüsüdür; yani \(y\) görüntü kümesindedir.
İki kapsama birlikte \(\operatorname{görüntü}(g) = [0, \infty)\) verir.
\(\blacksquare\)
Çözümün özü: görüntüde olmasını beklediğimiz her \(y\) için \(g(x) = y\) denklemini çözüp bulduğumuz \(x\)’in tanım kümesinde kaldığını ve denklemi gerçekten sağladığını gösterdik; ters yönde ise formülün asla dışarı çıkmadığını gördük.
Aynı yöntemi bir rasyonel fonksiyonda uygulayalım. Bu kez formülü yeniden yazmak, görüntünün ne olması gerektiğini tahmin etmemize yardım edecek.
Örnek 4.5 (Bir Rasyonel Fonksiyonun Görüntüsü) \(f : \mathbb{R} \setminus \{3\} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \dfrac{x + 2}{x - 3}\) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözüm
Önce formülü yeniden yazalım. Payda \(x - 3\) olduğundan payı \(x - 3\) cinsinden ifade edelim:
\[f(x) = \frac{x + 2}{x - 3} = \frac{(x - 3) + 5}{x - 3} = 1 + \frac{5}{x - 3}.\]
Bu yazım, \(f\) değerlerinin “\(1\) artı sıfırdan farklı bir sayı” olduğunu gösterir; bu yüzden görüntünün \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) olduğunu iddia ediyoruz. İki kapsamayı gösterelim.
\((\subseteq)\) \(x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}\) olsun. \(x - 3 \neq 0\) olduğundan \(\dfrac{5}{x - 3} \neq 0\) olur; bu yüzden \(f(x) = 1 + \dfrac{5}{x - 3} \neq 1\), yani \(f(x) \in \mathbb{R} \setminus \{1\}\) olur.
\((\supseteq)\) \(y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}\) olsun; yani \(y \neq 1\). \(f(x) = y\) denklemini \(x\) için çözelim. \(x \neq 3\) için
\[\frac{x + 2}{x - 3} = y \ \Leftrightarrow \ x + 2 = xy - 3y \ \Leftrightarrow \ xy - x = 3y + 2 \ \Leftrightarrow \ x(y - 1) = 3y + 2 \ \Leftrightarrow \ x = \frac{3y + 2}{y - 1};\]
son adımda \(y - 1 \neq 0\) olduğundan bölme yapılabildi. Şimdi \(x := \dfrac{3y + 2}{y - 1}\) diyelim ve iki şeyi denetleyelim.
Birincisi, \(x\) tanım kümesindedir, yani \(x \neq 3\): Tersini varsayalım, \(x = 3\) olsun. O zaman \(\dfrac{3y + 2}{y - 1} = 3\), yani \(3y + 2 = 3(y - 1) = 3y - 3\) olur; iki taraftan \(3y\) çıkarınca \(2 = -3\) elde edilir, bu bir çelişkidir. Dolayısıyla \(x \neq 3\) ve \(x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}\) olur.
İkincisi, \(f(x) = y\) olur. Pay ve paydayı ayrı ayrı hesaplayalım:
\[x + 2 = \frac{3y + 2}{y - 1} + 2 = \frac{3y + 2 + 2(y - 1)}{y - 1} = \frac{5y}{y - 1},\]
\[x - 3 = \frac{3y + 2}{y - 1} - 3 = \frac{3y + 2 - 3(y - 1)}{y - 1} = \frac{5}{y - 1}.\]
Bu yüzden
\[f(x) = \frac{x + 2}{x - 3} = \frac{\dfrac{5y}{y - 1}}{\dfrac{5}{y - 1}} = \frac{5y}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{5} = y.\]
Böylece \(y\), tanım kümesindeki \(x\) noktasının görüntüsüdür.
İki kapsama birlikte \(\operatorname{görüntü}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}\) verir.
\(\blacksquare\)
Bir \(f : A \to \mathbb{R}\) fonksiyonunun görüntüsünün bir \(G\) kümesi olduğunu göstermek için (1) her \(x \in A\) için \(f(x) \in G\) olduğunu, (2) her \(y \in G\) için \(f(x) = y\) olacak biçimde bir \(x \in A\) bulunduğunu gösteririz. İkinci adımda \(x\)’i bulmak için denklem çözeriz; ama ispat, bulunan \(x\)’in \(A\)’da olduğunu ve \(f(x) = y\) sağladığını doğrulamakla tamamlanır.
4.4 Bileşke
Bir fonksiyonun çıktısını başka bir fonksiyona girdi olarak vermek, yeni bir fonksiyon üretir. Sürekli fonksiyonların bileşkesinin sürekli olması, homeomorfizmaların bileşkesinin homeomorfizma olması gibi ileride kanıtlayacağımız pek çok sonuç bu işleme dayanır.
Tanım 4.8 (Bileşke) \(f : A \to B\) ve \(g : B \to C\) fonksiyonlar olsun. \(f\) ile \(g\)’nin bileşkesi (composite) \(g \circ f\), her \(a \in A\) için
\[(g \circ f)(a) = g(f(a))\]
eşitliğiyle tanımlanan \(g \circ f : A \to C\) fonksiyonudur.
Sıralı ikililerle söylersek \(g \circ f\), kuralı
\[\{(a, c) \in A \times C : \text{bir } b \in B \text{ için } f(a) = b \text{ ve } g(b) = c\}\]
olan ve değer kümesi \(C\) olan fonksiyondur. \(g \circ f\) yalnızca \(f\)’nin değer kümesi \(g\)’nin tanım kümesine eşit olduğunda tanımlıdır.
Yani \(g \circ f\), “önce \(f\), sonra \(g\)” demektir: \(a\) önce \(f\) ile \(B\)’deki \(f(a)\) noktasına, sonra \(g\) ile \(C\)’deki \(g(f(a))\) noktasına gider. Gösterimde sağdaki fonksiyon önce uygulanır; bunun nedeni \((g \circ f)(a) = g(f(a))\) yazımında \(a\)’ya en yakın harfin \(f\) olmasıdır.
Bu kuralın gerçekten bir atama kuralı olduğunu ve tanım kümesinin \(A\) olduğunu görelim. \((a, c)\) ve \((a, c')\) ikilileri kuralda olsun. Kuralın tanımına göre \(c = g(b)\) olacak biçimde bir \(b\) vardır ve \(b = f(a)\) olmak zorundadır, çünkü \(f\) bir fonksiyondur; aynı nedenle \(c' = g(f(a))\) olur. Böylece \(c = g(f(a)) = c'\) elde edilir ve kural bir atama kuralıdır. Ayrıca her \(a \in A\) için \(f(a) \in B\) olduğundan \(g(f(a))\) tanımlıdır ve \((a, g(f(a)))\) ikilisi kurala aittir; bu yüzden kuralın tanım kümesi \(A\)’nın tamamıdır.
Tanımda \(f\)’nin değer kümesinin \(g\)’nin tanım kümesiyle aynı olması istenir. Uygulamada \(f\)’nin yalnızca görüntü kümesinin \(g\)’nin tanım kümesi içinde kaldığı durumlarla da karşılaşılır; o zaman \(f\)’nin değer kümesi, görüntüyü içerecek biçimde \(g\)’nin tanım kümesi olarak yeniden seçilir ve bileşke alınır. Bu kitapta \(g \circ f\) yazdığımızda bu düzenlemenin yapılmış olduğunu varsayacağız.
Örnek 4.6 (Bileşke Hesabı ve Sıranın Önemi) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 + 1\) ve \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = e^{x - 1}\) olsun. \(g \circ f\) ve \(f \circ g\) fonksiyonlarını bulunuz ve karşılaştırınız.
Çözüm
\(f\)’nin değer kümesi \(\mathbb{R}\), \(g\)’nin tanım kümesi \(\mathbb{R}\) olduğundan \(g \circ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) tanımlıdır. Her \(x \in \mathbb{R}\) için, önce \(f\) sonra \(g\) uygulanarak,
\[(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 + 1) = e^{(x^2 + 1) - 1} = e^{x^2}\]
bulunur. Aynı biçimde \(g\)’nin değer kümesi \(f\)’nin tanım kümesine eşit olduğundan \(f \circ g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) de tanımlıdır ve
\[(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(e^{x - 1}) = \left(e^{x - 1}\right)^2 + 1 = e^{2x - 2} + 1\]
olur. İki fonksiyon farklıdır: örneğin \(x = 1\) noktasında \((g \circ f)(1) = e^{1} = e\), ama \((f \circ g)(1) = e^{0} + 1 = 2\) olur. Önerme 4.1’ne göre bir noktada bile farklı değer alan iki fonksiyon eşit değildir; yani \(g \circ f \neq f \circ g\).
\(\blacksquare\)
Genel olarak \(g \circ f \neq f \circ g\) olur; hatta biri tanımlıyken öteki tanımlı olmayabilir. Örneğin \(f : A \to B\) ve \(g : B \to C\) için \(g \circ f\) tanımlıdır, ama \(C \neq A\) ise \(f \circ g\) tanımlı değildir. Bu yüzden bileşke yazarken sıraya her zaman dikkat edilir.
Tanım kümesi parçalara ayrılarak verilen fonksiyonlarda bileşke hesabı biraz daha dikkat ister: ilk fonksiyonun çıktısının ikinci fonksiyonun hangi parçasına düştüğünü ayrıca belirlemek gerekir.
Örnek 4.7 (Parçalı Tanımlı Fonksiyonların Bileşkesi) \(f, g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) fonksiyonları
\[f(n) = \begin{cases} n + 2, & n \text{ çift} \\ 2n + 1, & n \text{ tek} \end{cases} \qquad\qquad g(n) = \begin{cases} 2n, & n \text{ çift} \\ \dfrac{n + 1}{2}, & n \text{ tek} \end{cases}\]
ile tanımlansın. \(g \circ f\) ve \(f \circ g\) fonksiyonlarını bulunuz.
Çözüm
Önce \(g\)’nin gerçekten \(\mathbb{Z}\)’ye giden bir fonksiyon olduğuna dikkat edelim: \(n\) tek ise \(n + 1\) çifttir, bu yüzden \(\dfrac{n + 1}{2}\) bir tam sayıdır.
\(g \circ f\) hesabı. \(g \circ f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) ve \((g \circ f)(n) = g(f(n))\). \(g\)’nin hangi parçasının kullanılacağı \(f(n)\)’nin tek mi çift mi olduğuna bağlıdır; bu yüzden \(n\)’ye göre iki durum inceleriz.
\(n\) çift ise \(f(n) = n + 2\) olur ve bu sayı çifttir (çift sayıya \(2\) eklenmiştir). \(g\)’nin “çift” parçası uygulanır: \(g(n + 2) = 2(n + 2) = 2n + 4\).
\(n\) tek ise \(f(n) = 2n + 1\) olur ve bu sayı tektir. \(g\)’nin “tek” parçası uygulanır: \(g(2n + 1) = \dfrac{(2n + 1) + 1}{2} = \dfrac{2n + 2}{2} = n + 1\).
Dolayısıyla
\[(g \circ f)(n) = \begin{cases} 2n + 4, & n \text{ çift} \\ n + 1, & n \text{ tek.} \end{cases}\]
\(f \circ g\) hesabı. \(f \circ g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) ve \((f \circ g)(n) = f(g(n))\). Şimdi \(f\)’nin hangi parçasının kullanılacağı \(g(n)\)’nin tek mi çift mi olduğuna bağlıdır.
\(n\) çift ise \(g(n) = 2n\) çifttir; \(f\)’nin “çift” parçası uygulanır: \(f(2n) = 2n + 2\).
\(n\) tek ise \(g(n) = \dfrac{n + 1}{2}\) olur; ama bu sayının tek mi çift mi olduğu \(n\)’ye bağlıdır. Tek bir \(n\) sayısı \(4\)’e bölündüğünde ya \(1\) ya \(3\) kalanını verir; iki durumu ayıralım.
\(n = 4m + 1\) (\(m \in \mathbb{Z}\)) ise \(g(n) = \dfrac{4m + 2}{2} = 2m + 1\) tektir; \(f\)’nin “tek” parçası uygulanır: \(f(2m + 1) = 2(2m + 1) + 1 = 4m + 3 = n + 2\).
\(n = 4m + 3\) (\(m \in \mathbb{Z}\)) ise \(g(n) = \dfrac{4m + 4}{2} = 2m + 2\) çifttir; \(f\)’nin “çift” parçası uygulanır: \(f(2m + 2) = 2m + 4 = \dfrac{n + 1}{2} + 2 = \dfrac{n + 5}{2}\).
Dolayısıyla
\[(f \circ g)(n) = \begin{cases} 2n + 2, & n \text{ çift} \\ n + 2, & n = 4m + 1 \text{ biçiminde} \\ \dfrac{n + 5}{2}, & n = 4m + 3 \text{ biçiminde.} \end{cases}\]
Birkaç değerle sağlama yapalım: \(n = 3\) için \(g(3) = 2\), \(f(2) = 4\) ve formül \(\dfrac{3 + 5}{2} = 4\) verir; \(n = 5\) için \(g(5) = 3\), \(f(3) = 7\) ve formül \(5 + 2 = 7\) verir. Ayrıca \(n = 0\) için \((g \circ f)(0) = 4\) ve \((f \circ g)(0) = 2\) olduğundan \(g \circ f \neq f \circ g\) olur.
\(\blacksquare\)
Birleşme Özelliği ve Birim Fonksiyon
Üç fonksiyonu arka arkaya uygularken parantezleri nasıl koyduğumuzun önemi var mıdır? Önemi yoksa \(h \circ g \circ f\) yazımını parantezsiz kullanabiliriz. Aşağıdaki teorem bunun güvenli olduğunu söyler; ileride homeomorfizmaların bir grup oluşturduğunu görürken de bu teorem kullanılır.
Teorem 4.1 (Bileşkenin Birleşme Özelliği) \(f : A \to B\), \(g : B \to C\) ve \(h : C \to D\) fonksiyonlar olsun. O zaman
\[h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\]
olur.
İspat
Önce iki tarafın da tanımlı olduğunu ve aynı tanım kümesiyle aynı değer kümesine sahip olduğunu görelim. \(g \circ f : A \to C\) tanımlıdır, çünkü \(f\)’nin değer kümesi \(B\), \(g\)’nin tanım kümesidir; \(h\)’nin tanım kümesi \(C\) olduğundan \(h \circ (g \circ f) : A \to D\) tanımlıdır. Benzer biçimde \(h \circ g : B \to D\) tanımlıdır ve \(f\)’nin değer kümesi \(B\) olduğundan \((h \circ g) \circ f : A \to D\) tanımlıdır. Böylece iki fonksiyonun da tanım kümesi \(A\), değer kümesi \(D\)’dir.
Şimdi Önerme 4.1’ne göre geriye her \(a \in A\) için iki fonksiyonun aynı değeri aldığını göstermek kalır. Bir \(a \in A\) alalım. Bileşke tanımını iki kez uygulayarak
\[\big(h \circ (g \circ f)\big)(a) = h\big((g \circ f)(a)\big) = h\big(g(f(a))\big)\]
ve yine bileşke tanımını iki kez uygulayarak
\[\big((h \circ g) \circ f\big)(a) = (h \circ g)\big(f(a)\big) = h\big(g(f(a))\big)\]
elde ederiz. İki sonuç aynı \(D\) elemanıdır. \(a\) keyfi olduğundan iki fonksiyon her noktada aynı değeri alır; tanım ve değer kümeleri de aynı olduğundan Önerme 4.1’ne göre eşittirler.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: parantezler nereye konursa konsun, her iki taraf da \(a\) elemanını “önce \(f\), sonra \(g\), sonra \(h\)” sırasıyla \(h(g(f(a)))\) noktasına götürür. Bu teorem sayesinde \(h \circ g \circ f\) yazımı parantezsiz kullanılır.
Birim fonksiyon, bileşke işleminde sayılardaki \(1\)’in çarpmada oynadığı rolü oynar; kısıtlama ise içerme fonksiyonuyla bileşke olarak yazılabilir.
Önerme 4.2 (Birim Fonksiyon, İçerme ve Bileşke) \(f : A \to B\) bir fonksiyon olsun.
(a) \(f \circ I_A = f\) ve \(I_B \circ f = f\) olur.
(b) \(A_0 \subseteq A\) ve \(I_{A_0} : A_0 \to A\) içerme fonksiyonu ise \(f|_{A_0} = f \circ I_{A_0}\) olur.
İspat
(a) \(I_A : A \to A\) fonksiyonunun değer kümesi \(A\), \(f\)’nin tanım kümesidir; bu yüzden \(f \circ I_A : A \to B\) tanımlıdır ve \(f\) ile aynı tanım kümesine ve değer kümesine sahiptir. Her \(a \in A\) için, bileşke tanımı ve \(I_A(a) = a\) olması nedeniyle,
\[(f \circ I_A)(a) = f(I_A(a)) = f(a)\]
olur. Önerme 4.1’ne göre \(f \circ I_A = f\) olur. Benzer biçimde \(f\)’nin değer kümesi \(B\), \(I_B\)’nin tanım kümesidir; bu yüzden \(I_B \circ f : A \to B\) tanımlıdır ve her \(a \in A\) için
\[(I_B \circ f)(a) = I_B(f(a)) = f(a)\]
olur; çünkü \(I_B\) her elemanı kendisine gönderir. Yine Önerme 4.1’ne göre \(I_B \circ f = f\) olur.
(b) \(I_{A_0} : A_0 \to A\) fonksiyonunun değer kümesi \(A\), \(f\)’nin tanım kümesidir; bu yüzden \(f \circ I_{A_0} : A_0 \to B\) tanımlıdır. Tanım 4.5’ya göre \(f|_{A_0} : A_0 \to B\) olduğundan iki fonksiyonun tanım kümesi de değer kümesi de aynıdır. Her \(a \in A_0\) için
\[(f \circ I_{A_0})(a) = f(I_{A_0}(a)) = f(a) = f|_{A_0}(a)\]
olur; ortadaki eşitlik \(I_{A_0}(a) = a\) olmasından, sondaki eşitlik kısıtlamanın tanımından gelir. Önerme 4.1’ne göre \(f|_{A_0} = f \circ I_{A_0}\) olur.
\(\blacksquare\)
Bu önermenin (b) şıkkı, kısıtlamanın aslında yeni bir kavram olmadığını, içerme fonksiyonuyla bileşkeden ibaret olduğunu söyler. Alt Uzay Topolojisi bölümünde sürekli bir fonksiyonun kısıtlamasının sürekli olduğunu göstermek için tam olarak bu yazımı kullanacağız.
4.5 Alıştırmalar
Alıştırma 4.1 (Fonksiyonlar ve Bileşke Alıştırmaları) (a) \(r = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x = y^2\}\) kümesi bir atama kuralı mıdır? \(r' = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : y = x^2\}\) kümesi bir atama kuralı mıdır? Atama kuralı olanın tanım kümesini ve görüntü kümesini bulunuz.
(b) \(h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x - 1}}\) formülünün en geniş tanım kümesini ve görüntü kümesini bulunuz.
(c) \(f : \mathbb{R} \setminus \{-1\} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}\) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
(d) Örnek 4.7’deki \(f\) fonksiyonu için \(f \circ f\) fonksiyonunu bulunuz.
(e) \(s : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \times \mathbb{R}\), \(s(x) = (x, x^2)\) olsun. \(\pi_1 \circ s\) ve \(\pi_2 \circ s\) fonksiyonlarını bulunuz.
(f) \(f : A \to B\), \(g : B \to C\) fonksiyonlar ve \(A_0 \subseteq A\) olsun. \((g \circ f)|_{A_0} = g \circ (f|_{A_0})\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
(a) \(r\) bir atama kuralı değildir: \((1, 1) \in r\) ve \((1, -1) \in r\) olduğu hâlde \(1 \neq -1\)’dir; yani \(1\) elemanına iki farklı sayı atanmıştır. \(r'\) ise bir atama kuralıdır: \((x, y) \in r'\) ve \((x, y') \in r'\) ise \(y = x^2 = y'\) olur. Tanım kümesi, her \(x \in \mathbb{R}\) için \((x, x^2) \in r'\) olduğundan, \(\mathbb{R}\)’dir. Görüntü kümesi \(\{x^2 : x \in \mathbb{R}\} = [0, \infty)\) olur: bir kare hiçbir zaman negatif değildir ve \(y \geq 0\) ise \(y = (\sqrt{y})^2\) olduğundan \((\sqrt{y}, y) \in r'\) olur.
(b) Formülün anlamlı olması için karekökün içi negatif olmamalı ve payda sıfır olmamalıdır: \(x - 1 \geq 0\) ve \(\sqrt{x - 1} \neq 0\), yani \(x - 1 > 0\), yani \(x > 1\). En geniş tanım kümesi \((1, \infty)\) kümesidir. Görüntünün \((0, \infty)\) olduğunu gösterelim. \(x > 1\) ise \(\sqrt{x - 1} > 0\), bu yüzden \(h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x - 1}} > 0\) olur; bu \(\subseteq\) kapsamasıdır. Tersine \(y > 0\) olsun. \(h(x) = y\) denklemi \(\sqrt{x - 1} = \dfrac{1}{y}\), yani \(x = 1 + \dfrac{1}{y^2}\) verir. \(x := 1 + \dfrac{1}{y^2}\) diyelim. \(\dfrac{1}{y^2} > 0\) olduğundan \(x > 1\), yani \(x\) tanım kümesindedir. Ayrıca \(h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1/y^2}} = \dfrac{1}{1/y} = y\) olur; burada \(y > 0\) olduğundan \(\sqrt{1/y^2} = 1/y\) alındı. Dolayısıyla görüntü kümesi \((0, \infty)\) olur.
(c) Formülü yeniden yazalım: \(\dfrac{2x - 1}{x + 1} = \dfrac{2(x + 1) - 3}{x + 1} = 2 - \dfrac{3}{x + 1}\). \(x \neq -1\) için \(\dfrac{3}{x + 1} \neq 0\) olduğundan \(f(x) \neq 2\) olur; yani görüntü \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) içindedir. Tersine \(y \neq 2\) olsun. \(\dfrac{2x - 1}{x + 1} = y\) denklemi \(2x - 1 = xy + y\), yani \(x(2 - y) = y + 1\), yani \(x = \dfrac{y + 1}{2 - y}\) verir; \(y \neq 2\) olduğundan bölme yapılabildi. \(x := \dfrac{y + 1}{2 - y}\) diyelim. \(x = -1\) olsaydı \(y + 1 = -(2 - y) = y - 2\), yani \(1 = -2\) olurdu; çelişki. Dolayısıyla \(x \neq -1\) ve \(x\) tanım kümesindedir. Ayrıca \(x + 1 = \dfrac{y + 1 + 2 - y}{2 - y} = \dfrac{3}{2 - y}\) ve \(2x - 1 = \dfrac{2y + 2 - 2 + y}{2 - y} = \dfrac{3y}{2 - y}\) olduğundan \(f(x) = \dfrac{3y}{2 - y} \cdot \dfrac{2 - y}{3} = y\) olur. Görüntü kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)’dir.
(d) \(n\) çift ise \(f(n) = n + 2\) çifttir; bu yüzden \(f(f(n)) = (n + 2) + 2 = n + 4\) olur. \(n\) tek ise \(f(n) = 2n + 1\) tektir; bu yüzden \(f(f(n)) = 2(2n + 1) + 1 = 4n + 3\) olur. Dolayısıyla
\[(f \circ f)(n) = \begin{cases} n + 4, & n \text{ çift} \\ 4n + 3, & n \text{ tek.} \end{cases}\]
(e) \(s\)’nin değer kümesi \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\), izdüşümlerin tanım kümesidir; bu yüzden iki bileşke de tanımlıdır ve tanım kümeleri \(\mathbb{R}\)’dir. Her \(x \in \mathbb{R}\) için \((\pi_1 \circ s)(x) = \pi_1(x, x^2) = x\) ve \((\pi_2 \circ s)(x) = \pi_2(x, x^2) = x^2\) olur. Yani \(\pi_1 \circ s = I_{\mathbb{R}}\) birim fonksiyondur ve \(\pi_2 \circ s : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) kare alma fonksiyonudur; bu Örnek 4.3’ndeki \(f\) fonksiyonudur.
(f) İki tarafın da tanım kümesi \(A_0\), değer kümesi \(C\)’dir: \((g \circ f)|_{A_0}\), \(A\)’dan \(C\)’ye giden \(g \circ f\) fonksiyonunun \(A_0\)’a kısıtlamasıdır; \(f|_{A_0} : A_0 \to B\) olduğundan ve \(g\)’nin tanım kümesi \(B\) olduğundan \(g \circ (f|_{A_0}) : A_0 \to C\) tanımlıdır. Her \(a \in A_0\) için, kısıtlama tanımı ve bileşke tanımı sırayla uygulanarak,
\[(g \circ f)|_{A_0}(a) = (g \circ f)(a) = g(f(a)) = g\big(f|_{A_0}(a)\big) = \big(g \circ (f|_{A_0})\big)(a)\]
olur; üçüncü eşitlik \(a \in A_0\) için \(f|_{A_0}(a) = f(a)\) olmasından gelir. Önerme 4.1’ne göre iki fonksiyon eşittir.
\(\blacksquare\)
Bir fonksiyonun farklı noktaları farklı noktalara götürüp götürmediği, değer kümesinin tamamını doldurup doldurmadığı ve hangi koşulda tersinin alınabileceği bir sonraki bölümün konusudur: Birebir ve Örten Fonksiyonlar, Ters Fonksiyon, Görüntü ve Ters Görüntü.