6 Topoloji Tanımı ve İlk Örnekler
Önceki bölümlerde mantık, küme, indisli aile ve fonksiyon dilini kurduk; son olarak Birebir ve Örten Fonksiyonlar, Ters Fonksiyon, Görüntü ve Ters Görüntü bölümünde görüntü ve ters görüntü kavramlarını inceledik. Bu hazırlık, artık asıl konuya başlamak için yeterli: bu bölümde bir küme üzerinde topolojinin ne olduğunu tanımlıyoruz.
Topoloji, bir \(X\) kümesinin bazı alt kümelerini “açık” diye seçip bu seçime üç basit kural koymaktan ibarettir. Kurallar o kadar sadedir ki çoğu örnekte doğrulamak birkaç satır alır; ama aynı sadelik, alışılmadık pek çok yapıyı da kapsamamıza izin verir. Bu bölümde tanımı verdikten sonra en küçük örneklerle çalışacağız: üç ve dört elemanlı kümeler üzerinde hangi ailelerin topoloji olduğunu, olmayanlarda hangi kuralın bozulduğunu tek tek göreceğiz. Sonra iki uç örneği (en kaba ve ayrık topoloji) ve gerçel sayılar üzerinde “0 içeren kümeler” ile “0 içermeyen kümeler” topolojilerini inceleyeceğiz.
Bölüm boyunca amaç şudur: bir aile verildiğinde onun topoloji olup olmadığına kendi başınıza karar verebilmek. Bunun için her aksiyomun ne dediğini ve nasıl denetlendiğini adım adım yazacağız.
6.1 Topoloji Tanımı
Bir \(X\) kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine kuvvet kümesi diyor ve \(\mathcal{P}(X)\) ile gösteriyorduk. Bir \(A \subseteq X\) alt kümesinin \(X\) içindeki tümleyeni \(A^c = X \setminus A\) kümesidir; bu bölümde iki gösterimi de aynı anlamda kullanacağız. Topoloji, \(\mathcal{P}(X)\) içinden seçilmiş bir alt ailedir; yani elemanları \(X\)’in alt kümeleri olan bir kümedir.
Tanım 6.1 (Topoloji) \(X\) boş olmayan bir küme ve \(\tau \subseteq \mathcal{P}(X)\), \(X\)’in alt kümelerinden oluşan bir aile olsun. Aşağıdaki üç koşul sağlanıyorsa \(\tau\) ailesine \(X\) üzerinde bir topoloji (topology on \(X\)) denir:
(T1) \(\varnothing \in \tau\) ve \(X \in \tau\).
(T2) \(O_1 \in \tau\) ve \(O_2 \in \tau\) ise \(O_1 \cap O_2 \in \tau\). Yani \(\tau\)’nun herhangi iki elemanının kesişimi yine \(\tau\)’nun elemanıdır.
(T3) \(I\) herhangi bir indis kümesi olsun. Her \(\alpha \in I\) için \(O_\alpha \in \tau\) ise
\[ \bigcup_{\alpha \in I} O_\alpha \in \tau . \]
Yani \(\tau\)’dan alınan herhangi bir ailenin (sonlu ya da sonsuz, hatta sayılamaz sayıda elemanlı) birleşimi yine \(\tau\)’nun elemanıdır.
Yani topoloji, boş kümeyi ve \(X\)’in kendisini içeren, iki elemanının kesişimi ve istenildiği kadar elemanının birleşimi yine kendi içinde kalan bir alt küme ailesidir.
Üç koşulu ayrı ayrı okuyalım.
- (T1) ailenin iki “zorunlu üyesini” söyler: en küçük alt küme \(\varnothing\) ve en büyük alt küme \(X\) her topolojide bulunur. Bu koşul, \(\tau\)’nun boş olmadığını da garanti eder.
- (T2) yalnızca iki kümenin kesişiminden söz eder. Birazdan göreceğimiz gibi bu, sonlu sayıda kümenin kesişimi için de yeterlidir; ama sonsuz sayıda kümenin kesişimi hakkında tanım hiçbir şey söylemez.
- (T3) ise birleşim için hiçbir sınır koymaz: \(I\) indis kümesi tek elemanlı, sonlu, sayılabilir ya da sayılamaz olabilir. \(I = \varnothing\) alınırsa boş ailenin birleşimi \(\varnothing\) olur; bu da zaten (T1) ile \(\tau\)’dadır.
(T2) ile (T3) arasındaki bu fark (kesişimde “iki”, birleşimde “istediğin kadar”) topolojinin en önemli özelliğidir; ilerideki bölümlerde bunun neden böyle olması gerektiğini örneklerle göreceğiz.
Bir aileyi denetlerken işi kısaltan basit bir gözlem vardır.
(T2) ve (T3) koşullarını denetlerken \(\varnothing\) ve \(X\) kümelerini hesaba katmak gerekmez; yalnızca \(\tau\)’nun \(\varnothing\) ve \(X\)’ten farklı elemanlarına bakmak yeter. Gerekçesi şudur: her \(O \subseteq X\) için
\[ \varnothing \cap O = \varnothing, \qquad X \cap O = O, \qquad \varnothing \cup O = O, \qquad X \cup O = X \]
olduğundan, kesişime giren iki kümeden biri \(\varnothing\) ya da \(X\) ise sonuç ya \(\varnothing\), ya \(X\), ya da öteki kümedir; bunların üçü de zaten \(\tau\)’dadır. Birleşim için de aynı şey geçerlidir; üstelik (T3)’teki gibi kalabalık bir ailede bile: ailedeki \(\varnothing\) üyeleri birleşimi değiştirmez, ailede \(X\) varsa birleşim \(X\)’tir. Bu yüzden \(\varnothing\) ve \(X\) üyelerini aileden çıkarıp geri kalanın birleşimine bakmak yeter. Aynı nedenle bir kümenin kendisiyle kesişimi ve birleşimi de (\(O \cap O = O\), \(O \cup O = O\)) denetlenmeye değmez.
(T2) yalnızca iki küme için yazılmıştır; ama pratikte “sonlu sayıda açık kümenin kesişimi açıktır” biçiminde kullanırız. Bu geçişin neden meşru olduğunu bir kez ispatlayalım.
Önerme 6.1 (Sonlu Kesişim Özelliği) \(\tau\), \(X\) üzerinde bir topoloji ve \(n \geq 1\) bir doğal sayı olsun. \(O_1, O_2, \ldots, O_n \in \tau\) ise
\[ O_1 \cap O_2 \cap \cdots \cap O_n \in \tau . \]
İspat
\(n\) üzerinden tümevarım yapıyoruz.
\(n = 1\) için ifade “\(O_1 \in \tau\) ise \(O_1 \in \tau\)” der; bu doğrudur. \(n = 2\) için ifade tam olarak (T2) koşuludur.
Şimdi ifadenin \(n = k\) için doğru olduğunu varsayalım ve \(O_1, \ldots, O_k, O_{k+1} \in \tau\) olsun. Kesişim birleşmeli olduğundan
\[ O_1 \cap \cdots \cap O_k \cap O_{k+1} = (O_1 \cap \cdots \cap O_k) \cap O_{k+1} \]
yazabiliriz. Parantez içindeki küme, tümevarım varsayımına göre \(\tau\)’nun elemanıdır; \(O_{k+1}\) de \(\tau\)’nun elemanıdır. O hâlde (T2) gereği bu iki kümenin kesişimi \(\tau\)’dadır. Böylece ifade \(n = k + 1\) için de doğrudur ve tümevarım tamamlanır.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: (T2) koşulunu art arda uygulamak, kesişimi her seferinde bir küme büyütmemize izin verir; sonlu adımda istediğimiz yere varırız. Sonsuz bir kesişimde ise bu adımlar hiç bitmez; bu yüzden tümevarım sonsuz kesişimler hakkında bir şey söylemez.
6.2 Topolojik Uzay ve Açık Küme
Topoloji, üzerine kurulduğu kümeyle birlikte anlam kazanır; ikisini birlikte adlandırırız.
Tanım 6.2 (Topolojik Uzay) \(\tau\), \(X\) kümesi üzerinde bir topoloji ise \((X, \tau)\) ikilisine bir topolojik uzay (topological space) denir. \(\tau\)’nun elemanlarına \((X, \tau)\) uzayının açık kümeleri (open sets) denir; yani \(O \subseteq X\) alt kümesi ancak ve ancak \(O \in \tau\) ise açıktır.
Yani “topolojik uzay” demek, bir küme ile o kümenin hangi alt kümelerinin açık sayılacağına dair bir seçim demektir; aynı küme üzerinde farklı seçimler farklı uzaylar verir.
Bu dille (T1)–(T3) şöyle okunur: boş küme ve bütün uzay açıktır; iki açık kümenin kesişimi açıktır; herhangi sayıda açık kümenin birleşimi açıktır. Bundan sonra “\(O \in \tau\)” ile “\(O\) açıktır” ifadelerini birbirinin yerine kullanacağız. Tümleyeni açık olan kümelere kapalı küme denir; bu kavram bir sonraki bölümde ayrıntılı işlenecek, burada yalnızca adını kullanacağız.
6.3 İki Uç Örnek: En Kaba ve Ayrık Topoloji
Her küme üzerinde en az iki topoloji vardır; biri olabildiğince az, öteki olabildiğince çok açık küme içerir. Önce bunları doğrulayalım.
Örnek 6.1 (Yalnız Boş Küme ve X) \(X \neq \varnothing\) herhangi bir küme olsun. \(\tau = \{\varnothing, X\}\) ailesi \(X\) üzerinde bir topolojidir.
Çözüm
(T1) \(\varnothing \in \tau\) ve \(X \in \tau\); aile zaten yalnızca bu iki kümeden oluşuyor.
(T2) \(\tau\)’nun elemanları yalnız \(\varnothing\) ve \(X\) olduğundan olası kesişimler \(\varnothing \cap \varnothing = \varnothing\), \(\varnothing \cap X = \varnothing\) ve \(X \cap X = X\)’tir; üçü de \(\tau\)’dadır.
(T3) \(\{O_\alpha\}_{\alpha \in I}\), \(\tau\)’dan alınmış herhangi bir aile olsun. Her \(O_\alpha\) ya \(\varnothing\) ya da \(X\)’tir. Ailede en az bir \(X\) varsa birleşim \(X\)’tir; hiç yoksa bütün üyeler \(\varnothing\)’dir ve birleşim \(\varnothing\)’dir. İki durumda da birleşim \(\tau\)’nun elemanıdır.
Üç koşul da sağlandığından \(\tau\) bir topolojidir.
\(\blacksquare\)
Örnek 6.2 (Bütün Alt Kümeler) \(X \neq \varnothing\) herhangi bir küme olsun. \(\tau = \mathcal{P}(X)\) ailesi \(X\) üzerinde bir topolojidir.
Çözüm
(T1) \(\varnothing \subseteq X\) ve \(X \subseteq X\) olduğundan \(\varnothing, X \in \mathcal{P}(X)\).
(T2) \(O_1, O_2 \subseteq X\) ise \(O_1 \cap O_2 \subseteq O_1 \subseteq X\); bu yüzden \(O_1 \cap O_2 \in \mathcal{P}(X)\).
(T3) Her \(\alpha \in I\) için \(O_\alpha \subseteq X\) olsun. Birleşimin bir elemanı \(x\) alalım; tanım gereği bir \(\alpha \in I\) için \(x \in O_\alpha\) olur ve \(O_\alpha \subseteq X\) olduğundan \(x \in X\)’tir. Böylece \(\bigcup_{\alpha \in I} O_\alpha \subseteq X\), yani birleşim \(\mathcal{P}(X)\)’in elemanıdır.
O hâlde \(\mathcal{P}(X)\) bir topolojidir. Kısacası: \(X\)’in alt kümelerinin kesişimi ve birleşimi yine \(X\)’in alt kümesidir, başka bir şey denetlenmesi gerekmez.
\(\blacksquare\)
Bu iki topolojinin adı vardır.
Tanım 6.3 (Ayrık Topoloji ve En Kaba Topoloji) \(X \neq \varnothing\) bir küme olsun.
- \(\tau = \mathcal{P}(X)\) topolojisine \(X\) üzerindeki ayrık topoloji (discrete topology) denir.
- \(\tau = \{\varnothing, X\}\) topolojisine \(X\) üzerindeki en kaba topoloji (indiskret topoloji, aşikâr topoloji; indiscrete topology, trivial topology) denir.
Yani ayrık topolojide her alt küme açıktır; en kaba topolojide ise yalnız iki küme açıktır, başka hiçbir alt küme açık değildir.
Bu iki topoloji gerçekten iki “uç”tur: \(X\) üzerindeki her topoloji ikisinin arasında kalır.
Önerme 6.2 (Her Topoloji İki Ucun Arasındadır) \(\tau\), \(X\) üzerinde herhangi bir topoloji olsun. O zaman
\[ \{\varnothing, X\} \subseteq \tau \subseteq \mathcal{P}(X). \]
İspat
İlk kapsama (T1) koşulunun kendisidir: \(\varnothing\) ve \(X\) her topolojinin elemanıdır. İkinci kapsama ise topoloji tanımının ilk satırıdır: \(\tau\), \(\mathcal{P}(X)\)’in bir alt ailesi olarak seçilmiştir.
\(\blacksquare\)
Şimdi bu iki uzayda hangi kümelerin açık olduğunu açıkça yazalım.
Örnek 6.3 (Ayrık ve En Kaba Uzayda Açık Kümeler) \(X \neq \varnothing\) olsun.
a) \((X, \mathcal{P}(X))\) ayrık uzayında \(X\)’in her alt kümesi açıktır. Üstelik her alt kümenin tümleyeni de açık olduğundan her alt küme aynı zamanda kapalıdır: ayrık uzayda bütün alt kümeler hem açık hem kapalıdır.
b) \((X, \{\varnothing, X\})\) en kaba uzayında açık olan yalnız \(\varnothing\) ve \(X\)’tir. Tümleyeni açık olan kümeler de yalnız \(X^c = \varnothing\) ve \(\varnothing^c = X\) olduğundan kapalı kümeler de yalnız \(\varnothing\) ve \(X\)’tir.
Çözüm
a) \(A \subseteq X\) herhangi bir alt küme olsun. Tanım gereği \(A \in \mathcal{P}(X)\), yani \(A\) açıktır. Tümleyeni \(A^c = X \setminus A\) da \(X\)’in bir alt kümesidir, dolayısıyla o da \(\mathcal{P}(X)\)’in elemanıdır; yani \(A^c\) açıktır. Tümleyeni açık olan küme kapalı olduğundan \(A\) kapalıdır. \(A\) keyfî seçildiğinden bu, her alt küme için doğrudur.
b) Açık kümeler tanım gereği \(\tau = \{\varnothing, X\}\)’in elemanlarıdır; başka açık küme yoktur. Bir \(F \subseteq X\) kümesinin kapalı olması için \(F^c \in \tau\), yani \(F^c = \varnothing\) ya da \(F^c = X\) olmalıdır. Birincisi \(F = X\), ikincisi \(F = \varnothing\) demektir. O hâlde kapalı kümeler de yalnız \(\varnothing\) ve \(X\)’tir.
\(\blacksquare\)
6.4 Üç Elemanlı Küme Üzerindeki Topolojiler
Küçük kümeler, aksiyomların ne yaptığını görmek için en iyi laboratuvardır. \(X = \{a, b, c\}\) alalım ve \(\varnothing\) ile \(X\)’e bir ya da iki küme ekleyerek elde edilen aileleri inceleyelim. Önce, sık karşılaşacağımız bir durumu genel olarak halledelim: \(\varnothing\) ve \(X\) dışında tek bir küme içeren aile her zaman topolojidir.
Lemma 6.1 (Boş Küme ve X’e Tek Küme Eklemek) \(X \neq \varnothing\) bir küme ve \(A \subseteq X\) herhangi bir alt küme olsun. O zaman \(\tau = \{\varnothing, X, A\}\) ailesi \(X\) üzerinde bir topolojidir.
İspat
(T1) sağlanır: \(\varnothing\) ve \(X\) aileye baştan eklenmiştir.
(T2) için \(O_1, O_2 \in \tau\) olsun. Biri \(\varnothing\) ise kesişim \(\varnothing\)’dir; biri \(X\) ise kesişim öteki kümedir; ikisi de \(A\) ise kesişim \(A \cap A = A\)’dır. Üç durumda da sonuç \(\varnothing\), \(X\) ya da \(A\)’dır, yani \(\tau\)’dadır.
(T3) için \(\{O_\alpha\}_{\alpha \in I}\), \(\tau\)’dan alınmış herhangi bir aile olsun. Her \(O_\alpha\) üç kümeden biridir: \(\varnothing\), \(X\) ya da \(A\). Ailede en az bir \(X\) varsa birleşim \(X\)’tir. Yoksa her üye \(\varnothing\) ya da \(A\)’dır: ailede en az bir \(A\) varsa birleşim \(A\), hiç yoksa (ya da \(I = \varnothing\) ise) birleşim \(\varnothing\)’dir. Her durumda birleşim \(\tau\)’nun elemanıdır.
Böylece üç koşul da sağlanır. (\(A = \varnothing\) ya da \(A = X\) seçilirse aile \(\{\varnothing, X\}\) olur; ispat bu durumu da kapsar.)
\(\blacksquare\)
Örnek 6.4 (Üç Elemanlı Küme Üzerinde Dokuz Aile) \(X = \{a, b, c\}\) olsun. Aşağıdaki altı aile \(X\) üzerinde birer topolojidir:
\[ \begin{aligned} \tau_1 &= \{\varnothing, X, \{a\}\}, & \tau_2 &= \{\varnothing, X, \{b\}\}, & \tau_3 &= \{\varnothing, X, \{c\}\},\\ \tau_4 &= \{\varnothing, X, \{a, b\}\}, & \tau_5 &= \{\varnothing, X, \{a, c\}\}, & \tau_6 &= \{\varnothing, X, \{b, c\}\}. \end{aligned} \]
Buna karşılık şu üç aile topoloji değildir:
\[ \tau_7 = \{\varnothing, X, \{a\}, \{b\}\}, \qquad \tau_8 = \{\varnothing, X, \{a\}, \{c\}\}, \qquad \tau_9 = \{\varnothing, X, \{b\}, \{c\}\}. \]
Çözüm
Altı topoloji. \(\tau_1, \ldots, \tau_6\) ailelerinin her biri \(\varnothing\), \(X\) ve tek bir \(A\) kümesinden oluşur: sırasıyla \(A = \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}\). Lemma 6.1’e göre bu biçimdeki her aile bir topolojidir. Örneğin \(\tau_1\) için somut olarak: \(\{a\} \cap \{a\} = \{a\} \in \tau_1\) ve \(\{a\} \cup \{a\} = \{a\} \in \tau_1\); \(\varnothing\) ve \(X\) ile kesişim ve birleşimler ise yine \(\varnothing\), \(X\) ya da \(\{a\}\) verir.
Üç aile neden topoloji değil? Üçünde de (T1) sağlanır ve (T2) de sağlanır; çünkü \(\varnothing\) ve \(X\) dışındaki iki küme tek elemanlı ve farklı olduğundan kesişimleri \(\varnothing\)’dir, o da ailededir. Bozulan koşul (T3)’tür:
- \(\tau_7\) için \(\{a\} \in \tau_7\) ve \(\{b\} \in \tau_7\), ama \(\{a\} \cup \{b\} = \{a, b\} \notin \tau_7\).
- \(\tau_8\) için \(\{a\} \in \tau_8\) ve \(\{c\} \in \tau_8\), ama \(\{a\} \cup \{c\} = \{a, c\} \notin \tau_8\).
- \(\tau_9\) için \(\{b\} \in \tau_9\) ve \(\{c\} \in \tau_9\), ama \(\{b\} \cup \{c\} = \{b, c\} \notin \tau_9\).
Her birinde ailenin iki elemanının birleşimi ailede olmadığından (T3) sağlanmaz; dolayısıyla \(\tau_7\), \(\tau_8\) ve \(\tau_9\) topoloji değildir.
\(\blacksquare\)
Bu örnekten çıkan ders şudur: bir aileyi topoloji yapmayan tek bir “kaçak” küme yeter. \(\tau_7\)’ye \(\{a, b\}\) kümesini eklerseniz ne olur? Alıştırmalarda bunu göreceksiniz.
6.5 Dört Elemanlı Küme Üzerindeki Örnekler
Şimdi biraz daha kalabalık aileler alalım; denetim yöntemi aynı, yalnızca daha çok çift kontrol edilir.
Örnek 6.5 (Bir Aksiyomun Bozulduğu Aile) \(X = \{a, b, c, d\}\) ve
\[ \tau_1 = \{\varnothing, X, \{a\}, \{a, b\}, \{a, d\}\} \]
olsun. \(\tau_1\), \(X\) üzerinde bir topoloji midir?
Çözüm
Değildir. \(\{a, b\} \in \tau_1\) ve \(\{a, d\} \in \tau_1\); ama
\[ \{a, b\} \cup \{a, d\} = \{a, b, d\} \notin \tau_1 . \]
Yani \(\tau_1\)’in iki elemanının birleşimi \(\tau_1\)’de değildir; (T3) koşulu bozulur. Tek bir aksiyomun bozulması yeter: \(\tau_1\) bir topoloji değildir.
Öteki iki koşula da bakalım: (T1) sağlanır ve (T2) de sağlanır, çünkü \(\varnothing\) ve \(X\) dışındaki çiftlerin kesişimleri \(\{a\} \cap \{a,b\} = \{a\}\), \(\{a\} \cap \{a,d\} = \{a\}\) ve \(\{a,b\} \cap \{a,d\} = \{a\}\)’dır ve \(\{a\} \in \tau_1\)’dir. Sorun yalnızca birleşimdedir.
\(\blacksquare\)
Örnek 6.6 (Zincir Biçiminde Bir Topoloji) \(X = \{a, b, c, d\}\) ve
\[ \tau_2 = \{\varnothing, X, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c\}\} \]
olsun. \(\tau_2\), \(X\) üzerinde bir topolojidir.
Çözüm
(T1) \(\varnothing \in \tau_2\) ve \(X \in \tau_2\).
(T2) Yukarıdaki nota göre yalnız \(\varnothing\) ve \(X\)’ten farklı elemanların, yani \(\{a\}\), \(\{a,b\}\) ve \(\{a,b,c\}\) kümelerinin ikili kesişimlerine bakmak yeter:
\[ \{a\} \cap \{a, b\} = \{a\} \in \tau_2, \qquad \{a\} \cap \{a, b, c\} = \{a\} \in \tau_2, \qquad \{a, b\} \cap \{a, b, c\} = \{a, b\} \in \tau_2 . \]
Böylece (T2) sağlanır.
(T3) Aynı üç kümenin ikili birleşimleri:
\[ \{a\} \cup \{a, b\} = \{a, b\} \in \tau_2, \qquad \{a\} \cup \{a, b, c\} = \{a, b, c\} \in \tau_2, \qquad \{a, b\} \cup \{a, b, c\} = \{a, b, c\} \in \tau_2 . \]
(T3) herhangi bir indis kümesinden söz eder; ama \(\tau_2\)’den alınan bir aile, indisler ne kadar kalabalık olursa olsun, \(\tau_2\)’nin en çok beş farklı elemanından oluşur ve birleşim yalnızca bu farklı elemanlara bağlıdır. Sonlu sayıda kümenin birleşimi de ikili birleşimlerin art arda alınmasıyla elde edilir; örneğin:
\[ \begin{aligned} \{a\} \cup \{a,b\} \cup \{a,b,c\} &= (\{a\} \cup \{a,b\}) \cup \{a,b,c\} \\ &= \{a,b,c\} \in \tau_2 . \end{aligned} \]
Bu yüzden (T3) de sağlanır.
Üç koşul da sağlandığından \(\tau_2\) bir topolojidir.
\(\blacksquare\)
Bu örnekte işi kolaylaştıran şey, \(\tau_2\)’nin elemanlarının bir zincir oluşturmasıdır:
\[ \varnothing \subseteq \{a\} \subseteq \{a, b\} \subseteq \{a, b, c\} \subseteq X . \]
İç içe iki kümenin kesişimi küçük olanı, birleşimi büyük olanıdır; ikisi de zaten ailededir. Alıştırmalarda bunun genel olarak doğru olduğunu göstereceksiniz.
Sonlu bir aile için (T3) denetimi ikili birleşimlere indirgenebilir, ama her çift denetlenmelidir. Örnek 6.5’deki \(\tau_1\) ailesinde \(\{a\} \cup \{a,b\}\) ve \(\{a\} \cup \{a,d\}\) birleşimleri ailededir; sorun yalnızca \(\{a,b\} \cup \{a,d\}\) çiftinde ortaya çıkar. Bir çifti atlamak yanlış sonuca götürür.
6.6 Gerçel Sayılar Üzerinde İki Topoloji
Şimdiye kadarki örneklerde küme sonluydu ve (T3) için sonsuz aileler hiç devreye girmedi. Gerçel sayılar kümesi üzerinde iki topoloji tanımlayarak sonsuz birleşimlerle nasıl baş edildiğini görelim. İlk örnekte açık kümeler “0’ı içeren” alt kümelerdir.
Örnek 6.7 (Sıfırı İçeren Kümelerin Topolojisi) \(X = \mathbb{R}\) olsun. Aşağıdaki aile \(\mathbb{R}\) üzerinde bir topolojidir:
\[ \tau_0 = \{A \subseteq \mathbb{R} : 0 \in A\} \cup \{\varnothing\}. \]
Yani \(\tau_0\)’ın elemanları, boş küme ile 0’ı içeren bütün alt kümelerdir.
Çözüm
(T1) \(\varnothing \in \tau_0\), çünkü boş kümeyi aileye açıkça ekledik. \(0 \in \mathbb{R}\) olduğundan \(\mathbb{R} \in \tau_0\).
(T2) \(O_1, O_2 \in \tau_0\) olsun. İki durum vardır.
- \(O_1 = \varnothing\) ya da \(O_2 = \varnothing\) ise \(O_1 \cap O_2 = \varnothing \in \tau_0\).
- İkisi de boş değilse tanım gereği \(0 \in O_1\) ve \(0 \in O_2\); bu yüzden \(0 \in O_1 \cap O_2\) ve \(O_1 \cap O_2 \in \tau_0\).
(T3) \(I\) herhangi bir indis kümesi ve her \(\alpha \in I\) için \(O_\alpha \in \tau_0\) olsun. Yine iki durum vardır.
- Bütün \(O_\alpha\)’lar \(\varnothing\) ise (ya da \(I = \varnothing\) ise) birleşim \(\varnothing\)’dir ve \(\varnothing \in \tau_0\).
- En az bir \(\alpha_0 \in I\) için \(O_{\alpha_0} \neq \varnothing\) ise tanım gereği \(0 \in O_{\alpha_0}\), dolayısıyla \(0 \in \bigcup_{\alpha \in I} O_\alpha\); yani birleşim \(\tau_0\)’dadır.
Üç koşul da sağlandığından \(\tau_0\) bir topolojidir.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: 0’ı içerme özelliği kesişimde de birleşimde de korunur; boş küme ise ayrı bir kalemde halledilir.
Bu topolojide \(\{0\}\), \([-1, 2]\), \(\mathbb{Q}\), \(\{0\} \cup (3, 5)\) gibi birbirinden çok farklı kümeler açıktır; ama \((1, 2)\) aralığı açık değildir, çünkü 0’ı içermez. Bu örnek, “açık küme” sözünün alışılmış “açık aralık” sezgisinden bağımsız olduğunu gösterir: hangi kümelerin açık olduğuna topoloji karar verir.
İkinci örnekte rolü tersine çeviriyoruz: açık kümeler “0’ı içermeyen” alt kümelerdir.
Örnek 6.8 (Sıfırı İçermeyen Kümelerin Topolojisi) \(X = \mathbb{R}\) olsun. Aşağıdaki aile \(\mathbb{R}\) üzerinde bir topolojidir:
\[ \widetilde{\tau}_0 = \{A \subseteq \mathbb{R} : 0 \notin A\} \cup \{\mathbb{R}\}. \]
Yani \(\widetilde{\tau}_0\)’ın elemanları, \(\mathbb{R}\)’nin kendisi ile 0’ı içermeyen bütün alt kümelerdir.
Çözüm
(T1) Boş kümenin hiç elemanı yoktur, özellikle \(0 \notin \varnothing\); bu yüzden \(\varnothing \in \widetilde{\tau}_0\). \(\mathbb{R}\)’yi aileye açıkça ekledik, dolayısıyla \(\mathbb{R} \in \widetilde{\tau}_0\).
(T2) \(O_1, O_2 \in \widetilde{\tau}_0\) olsun. İki durum vardır.
- \(O_1 = \mathbb{R}\) ise \(O_1 \cap O_2 = O_2 \in \widetilde{\tau}_0\); benzer biçimde \(O_2 = \mathbb{R}\) ise \(O_1 \cap O_2 = O_1 \in \widetilde{\tau}_0\).
- İkisi de \(\mathbb{R}\)’den farklıysa tanım gereği \(0 \notin O_1\) ve \(0 \notin O_2\). Kesişim \(O_1\)’in alt kümesi olduğundan \(0 \notin O_1 \cap O_2\); yani \(O_1 \cap O_2 \in \widetilde{\tau}_0\).
(T3) \(I\) herhangi bir indis kümesi ve her \(\alpha \in I\) için \(O_\alpha \in \widetilde{\tau}_0\) olsun. Yine iki durum vardır.
- Bir \(\alpha_0 \in I\) için \(O_{\alpha_0} = \mathbb{R}\) ise birleşim \(\mathbb{R}\)’yi kapsar; birleşim zaten \(\mathbb{R}\)’nin alt kümesi olduğundan \(\bigcup_{\alpha \in I} O_\alpha = \mathbb{R} \in \widetilde{\tau}_0\).
- Hiçbir \(O_\alpha\), \(\mathbb{R}\)’ye eşit değilse her \(\alpha\) için \(0 \notin O_\alpha\)’dır. Birleşimin bir elemanı, en az bir \(O_\alpha\)’nın elemanı olmak zorundadır; 0 hiçbirinin elemanı olmadığından \(0 \notin \bigcup_{\alpha \in I} O_\alpha\). Böylece birleşim \(\widetilde{\tau}_0\)’dadır. (\(I = \varnothing\) durumunda birleşim \(\varnothing\)’dir, o da ailededir.)
Üç koşul da sağlandığından \(\widetilde{\tau}_0\) bir topolojidir.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: 0’ı içermeme özelliği alt kümeye geçer (kesişim) ve birleşimde de korunur; \(\mathbb{R}\)’nin kendisi ayrı bir kalemde halledilir.
Bu iki örnekte \(0\) sayısının ve \(\mathbb{R}\) kümesinin hiçbir özel rolü yoktur. Herhangi bir \(X \neq \varnothing\) kümesi ve sabit bir \(p \in X\) noktası için “\(p\)’yi içeren alt kümeler ile \(\varnothing\)” ailesi ve “\(p\)’yi içermeyen alt kümeler ile \(X\)” ailesi de birer topolojidir; ispat kelimesi kelimesine aynıdır. Alıştırmalarda bunu yazacaksınız.
Böylece aynı \(\mathbb{R}\) kümesi üzerinde dört farklı topoloji görmüş olduk: en kaba topoloji, ayrık topoloji, \(\tau_0\) ve \(\widetilde{\tau}_0\). Hangi kümelerin açık olduğu her birinde başka türlüdür; “topolojik uzay” derken kümeyle birlikte \(\tau\)’yu da söylememizin nedeni budur.
6.7 Alıştırmalar
Alıştırma 6.1 (Topoloji Tanımı ve İlk Örnekler Üzerine Alıştırmalar) a) \(X = \{a, b, c\}\) olsun. \(\tau = \{\varnothing, X, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}\) ailesinin \(X\) üzerinde bir topoloji olduğunu gösterin. Bu aile, Örnek 6.4’deki \(\tau_7\)’ye hangi kümenin eklenmesiyle elde edilmiştir?
b) \(X = \{a, b, c, d\}\) olsun. \(\tau = \{\varnothing, X, \{a, b\}, \{b, c\}\}\) ailesi bir topoloji midir? Bozulan her aksiyomu belirtin.
c) \(X = \{a, b, c, d, e\}\) olsun. \(\tau = \{\varnothing, X, \{a\}, \{c, d\}, \{a, c, d\}, \{b, c, d, e\}\}\) ailesinin \(X\) üzerinde bir topoloji olduğunu gösterin.
d) \(\mathbb{Q}\) üzerinde ayrık topolojiyi, yani \(\tau = \mathcal{P}(\mathbb{Q})\)’yu alalım. \(\mathbb{Z}\), \(\{0\}\) ve \(\{\sqrt{2}\}\) kümeleri bu uzayda açık mıdır, kapalı mıdır?
e) \(X \neq \varnothing\) bir küme ve \(p \in X\) sabit bir nokta olsun. \(\tau_p = \{A \subseteq X : p \in A\} \cup \{\varnothing\}\) ve \(\tau^p = \{A \subseteq X : p \notin A\} \cup \{X\}\) ailelerinin \(X\) üzerinde birer topoloji olduğunu gösterin.
f) \(X\) bir küme ve \(\varnothing = A_0 \subsetneq A_1 \subsetneq \cdots \subsetneq A_n = X\) iç içe alt kümeler olsun. \(\tau = \{A_0, A_1, \ldots, A_n\}\) ailesinin \(X\) üzerinde bir topoloji olduğunu gösterin.
g) \(\tau\) ve \(\tau'\), aynı \(X\) kümesi üzerinde iki topoloji olsun. \(\tau \cap \tau'\) ailesinin de \(X\) üzerinde bir topoloji olduğunu gösterin. \(\tau \cup \tau'\) için aynı şey doğru mudur?
Çözüm
a) (T1) sağlanır. (T2) ve (T3) için \(\varnothing\) ve \(X\) dışındaki kümelere bakalım: \(\{a\}\), \(\{b\}\), \(\{a,b\}\). Kesişimler: \(\{a\} \cap \{b\} = \varnothing\), \(\{a\} \cap \{a,b\} = \{a\}\), \(\{b\} \cap \{a,b\} = \{b\}\); üçü de \(\tau\)’dadır. Birleşimler: \(\{a\} \cup \{b\} = \{a,b\}\), \(\{a\} \cup \{a,b\} = \{a,b\}\), \(\{b\} \cup \{a,b\} = \{a,b\}\); üçü de \(\tau\)’dadır. Üç kümenin birden birleşimi de \(\{a,b\}\)’dir. O hâlde \(\tau\) bir topolojidir. Bu aile, \(\tau_7 = \{\varnothing, X, \{a\}, \{b\}\}\) ailesine eksik olan \(\{a\} \cup \{b\} = \{a, b\}\) kümesinin eklenmesiyle elde edilmiştir; \(\tau_7\)’yi topoloji olmaktan alıkoyan tek eksik buydu.
b) Değildir. (T1) sağlanır. (T2) bozulur: \(\{a,b\} \cap \{b,c\} = \{b\} \notin \tau\). (T3) de bozulur: \(\{a,b\} \cup \{b,c\} = \{a,b,c\} \notin \tau\). Tek bir aksiyomun bozulması zaten yeterdi; burada ikisi birden bozulmaktadır.
c) (T1) sağlanır. \(\varnothing\) ve \(X\) dışındaki dört küme \(\{a\}\), \(\{c,d\}\), \(\{a,c,d\}\), \(\{b,c,d,e\}\)’dir; altı çift vardır. Kesişimler:
\[ \begin{aligned} \{a\} \cap \{c,d\} &= \varnothing, & \{a\} \cap \{a,c,d\} &= \{a\}, & \{a\} \cap \{b,c,d,e\} &= \varnothing,\\ \{c,d\} \cap \{a,c,d\} &= \{c,d\}, & \{c,d\} \cap \{b,c,d,e\} &= \{c,d\}, & \{a,c,d\} \cap \{b,c,d,e\} &= \{c,d\}. \end{aligned} \]
Hepsi \(\tau\)’dadır; (T2) sağlanır. Birleşimler:
\[ \begin{aligned} \{a\} \cup \{c,d\} &= \{a,c,d\}, & \{a\} \cup \{a,c,d\} &= \{a,c,d\}, & \{a\} \cup \{b,c,d,e\} &= X,\\ \{c,d\} \cup \{a,c,d\} &= \{a,c,d\}, & \{c,d\} \cup \{b,c,d,e\} &= \{b,c,d,e\}, & \{a,c,d\} \cup \{b,c,d,e\} &= X. \end{aligned} \]
Hepsi \(\tau\)’dadır. Üç ya da dört kümenin birleşimi ikili birleşimlerin art arda alınmasıyla bulunur ve yine bu listede kalır; örneğin \(\{a\} \cup \{c,d\} \cup \{b,c,d,e\} = \{a,c,d\} \cup \{b,c,d,e\} = X\). Böylece (T3) sağlanır ve \(\tau\) bir topolojidir.
d) Örnek 6.3’e göre ayrık uzayda \(\mathbb{Q}\)’nun her alt kümesi hem açık hem kapalıdır. \(\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}\) olduğundan (her tam sayı \(n = \tfrac{n}{1}\) biçiminde bir rasyonel sayıdır) \(\mathbb{Z}\) hem açık hem kapalıdır. \(0 = \tfrac{0}{1} \in \mathbb{Q}\) olduğundan \(\{0\} \subseteq \mathbb{Q}\) ve \(\{0\}\) da hem açık hem kapalıdır. \(\sqrt{2}\) ise rasyonel değildir; bu yüzden \(\{\sqrt{2}\}\), \(\mathbb{Q}\)’nun bir alt kümesi bile değildir, dolayısıyla \(\mathcal{P}(\mathbb{Q})\)’nun elemanı olamaz. \(\{\sqrt{2}\}\) bu uzayın bir alt kümesi olmadığından onun için “açık mı, kapalı mı” sorusu anlamsızdır; uzayın açık ya da kapalı bir kümesi değildir.
e) Örnek 6.7’deki ispatı \(\mathbb{R}\) yerine \(X\), \(0\) yerine \(p\) ile tekrarlıyoruz. (T1): \(\varnothing\) aileye eklenmiştir; \(p \in X\) olduğundan \(X \in \tau_p\). (T2): \(O_1, O_2 \in \tau_p\) olsun. Biri boşsa kesişim \(\varnothing \in \tau_p\). İkisi de boş değilse \(p \in O_1\) ve \(p \in O_2\), dolayısıyla \(p \in O_1 \cap O_2\) ve \(O_1 \cap O_2 \in \tau_p\). (T3): her \(\alpha \in I\) için \(O_\alpha \in \tau_p\) olsun. Hepsi boşsa birleşim \(\varnothing \in \tau_p\). Bir \(\alpha_0\) için \(O_{\alpha_0} \neq \varnothing\) ise \(p \in O_{\alpha_0} \subseteq \bigcup_{\alpha \in I} O_\alpha\), yani birleşim \(\tau_p\)’dedir. O hâlde \(\tau_p\) bir topolojidir.
\(\tau^p\) için Örnek 6.8’deki ispatı aynı değişiklikle tekrarlıyoruz. (T1): \(p \notin \varnothing\) olduğundan \(\varnothing \in \tau^p\); \(X\) aileye eklenmiştir. (T2): \(O_1, O_2 \in \tau^p\) olsun. Biri \(X\) ise kesişim öteki kümedir ve ailededir. İkisi de \(X\)’ten farklıysa \(p \notin O_1\); kesişim \(O_1\)’in alt kümesi olduğundan \(p \notin O_1 \cap O_2\) ve \(O_1 \cap O_2 \in \tau^p\). (T3): her \(\alpha \in I\) için \(O_\alpha \in \tau^p\) olsun. Bir \(O_{\alpha_0} = X\) ise birleşim \(X\)’tir ve ailededir. Hiçbiri \(X\) değilse her \(\alpha\) için \(p \notin O_\alpha\); \(p\) hiçbir üyede olmadığından birleşimde de yoktur, yani birleşim \(\tau^p\)’dedir. O hâlde \(\tau^p\) de bir topolojidir.
f) (T1): \(A_0 = \varnothing\) ve \(A_n = X\) ailededir. (T2): \(A_i, A_j \in \tau\) olsun; genelliği bozmadan \(i \leq j\) alalım. Kümeler iç içe olduğundan \(A_i \subseteq A_j\), dolayısıyla \(A_i \cap A_j = A_i \in \tau\). (T3): \(\{A_i\}_{i \in J}\), \(J \subseteq \{0, 1, \ldots, n\}\) boş olmayan bir alt aile olsun. \(J\) sonlu olduğundan en büyük elemanı \(m\) vardır ve her \(i \in J\) için \(A_i \subseteq A_m\)’dir; bu yüzden \(\bigcup_{i \in J} A_i = A_m \in \tau\). \(J = \varnothing\) ise birleşim \(\varnothing = A_0 \in \tau\). O hâlde \(\tau\) bir topolojidir. Örnek 6.6’deki \(\tau_2\) bunun \(n = 4\) hâlidir.
g) (T1): \(\varnothing\) ve \(X\) hem \(\tau\)’da hem \(\tau'\)’de olduğundan \(\tau \cap \tau'\)’dedir. (T2): \(O_1, O_2 \in \tau \cap \tau'\) olsun. \(O_1, O_2 \in \tau\) olduğundan \(O_1 \cap O_2 \in \tau\); \(O_1, O_2 \in \tau'\) olduğundan \(O_1 \cap O_2 \in \tau'\). Böylece \(O_1 \cap O_2 \in \tau \cap \tau'\). (T3): her \(\alpha \in I\) için \(O_\alpha \in \tau \cap \tau'\) olsun. Bütün \(O_\alpha\)’lar \(\tau\)’da olduğundan birleşim \(\tau\)’dadır; hepsi \(\tau'\)’de olduğundan birleşim \(\tau'\)’dedir. Dolayısıyla birleşim \(\tau \cap \tau'\)’dedir ve \(\tau \cap \tau'\) bir topolojidir.
Birleşim için aynı şey doğru değildir. \(X = \{a, b, c\}\) üzerinde \(\tau_1 = \{\varnothing, X, \{a\}\}\) ve \(\tau_2 = \{\varnothing, X, \{b\}\}\) topolojilerini alalım. Birleşimleri \(\tau_1 \cup \tau_2 = \{\varnothing, X, \{a\}, \{b\}\} = \tau_7\)’dir ve Örnek 6.4’de bunun topoloji olmadığını gördük: \(\{a\} \cup \{b\} = \{a,b\}\) ailede değildir.
\(\blacksquare\)
Bir sonraki bölümde açık kümelerin tümleyenlerini, yani kapalı kümeleri inceleyecek ve her küme üzerinde tanımlanabilen iki önemli topolojiyi tanıyacağız: Açık ve Kapalı Kümeler; Sonlu ve Sayılabilir Tümleyen Topolojileri.