8 Baz ve Alt Baz
Açık ve Kapalı Kümeler; Sonlu ve Sayılabilir Tümleyen Topolojileri bölümünde bir topolojiyi vermek için açık kümelerin tamamını tek tek saydık ya da “tümleyeni sonlu olan kümeler” gibi bir kuralla tarif ettik. Ancak çoğu topolojide açık kümeler o kadar çoktur ki hepsini bir arada görmek mümkün değildir. Gerçel sayı doğrusunu düşünelim: açık kümelerin hepsini betimlemek zordur, ama “açık aralıklar” gibi küçük ve iyi anlaşılan bir aile bütün açık kümeleri üretmeye yeter.
Bu bölümde işte bu fikri kesinleştireceğiz. Bir baz, topolojinin tamamını üretmeye yeten küçük bir küme ailesidir; her açık küme baz elemanlarının birleşimi olarak yazılır. Önce bazın sağlaması gereken iki koşulu tanımlayacak, sonra bir bazdan bir topoloji üretmenin iki yolunu görecek ve bunun gerçekten bir topoloji olduğunu adım adım ispatlayacağız. Ardından ters yönde gideceğiz: verilmiş bir topolojinin hangi ailelerin bazı olduğunu tanıyacağız ve iki topolojiyi bazları üzerinden karşılaştıracağız.
Bölümün ikinci yarısı uygulamadır: gerçel sayılarda standart topolojiyi açık aralıklar bazıyla kuracak, açık ışınların açık ve kapalı aralıkların kapalı olduğunu göstereceğiz; yarı açık aralıkların ürettiği alt limit topolojisini tanımlayıp bunun standart topolojiden daha ince olduğunu kanıtlayacağız. Son olarak bazdan bir adım daha geride duran alt baz kavramını tanıtacağız.
8.1 Baz Tanımı
Bir \(X\) kümesi üzerinde topoloji kurmak istiyoruz, ama açık kümelerin hepsini yazmak yerine yalnızca “yapı taşlarını” vermek istiyoruz. Bu yapı taşlarının iki şeyi sağlaması gerekir: her noktayı örtmeleri ve iki yapı taşının kesişiminin yine yapı taşlarıyla doldurulabilmesi.
Tanım 8.1 (Baz) \(X\) bir küme olsun. \(X\)’in alt kümelerinden oluşan bir \(\mathcal{B}\) ailesi aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa \(\mathcal{B}\)’ye \(X\) üzerinde bir topoloji için baz (basis) denir; \(\mathcal{B}\)’nin elemanlarına baz elemanı adı verilir.
(B1) Her \(x \in X\) için \(x \in B\) olacak biçimde en az bir \(B \in \mathcal{B}\) baz elemanı vardır.
(B2) \(B_1, B_2 \in \mathcal{B}\) ve \(x \in B_1 \cap B_2\) ise \(x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\) olacak biçimde bir \(B_3 \in \mathcal{B}\) baz elemanı vardır.
Yani baz elemanları \(X\)’in her noktasını örter ve iki baz elemanının ortak bir noktası varsa o noktanın çevresi, kesişimin içine sığan üçüncü bir baz elemanıyla doldurulabilir.
(B1) koşulu, \(\mathcal{B}\)’nin bütün elemanlarının birleşiminin \(X\)’e eşit olması demektir: \(\bigcup_{B \in \mathcal{B}} B = X\). (B2) koşulu ise kesişimin kendisinin bir baz elemanı olmasını istemez; yalnızca kesişimin her noktasının, kesişimin içinde kalan bir baz elemanına sahip olmasını ister. Örneklerde bu farkı göreceğiz.
Örnek 8.1 (Düzlemde Açık Daireler) \(X = \mathbb{R}^2\) olsun ve \(\mathcal{B}\), düzlemdeki bütün açık dairelerin (sınır çemberi dışarıda bırakılmış dairesel bölgelerin) ailesi olsun; yani
\[\mathcal{B} = \{ B(c, r) : c \in \mathbb{R}^2,\ r > 0 \}, \qquad B(c, r) = \{ y \in \mathbb{R}^2 : d(c, y) < r \}.\]
Burada \(d\), düzlemdeki alışılmış uzaklıktır. \(\mathcal{B}\), bir topoloji için bazdır.
İspat
(B1): \(x \in \mathbb{R}^2\) verilsin. \(d(x, x) = 0 < 1\) olduğundan \(x \in B(x, 1)\); bu daire \(\mathcal{B}\)’nin bir elemanıdır.
(B2): \(x \in B(c_1, r_1) \cap B(c_2, r_2)\) olsun. \(x\) birinci dairenin içinde olduğundan \(d(x, c_1) < r_1\); bu yüzden \(s_1 = r_1 - d(x, c_1)\) sayısı pozitiftir. Aynı biçimde \(s_2 = r_2 - d(x, c_2) > 0\). \(s = \min\{s_1, s_2\}\) diyelim ve \(B_3 = B(x, s)\) alalım. \(d(x,x) = 0 < s\) olduğundan \(x \in B_3\).
Şimdi \(B_3 \subseteq B(c_1, r_1)\) olduğunu gösterelim. \(y \in B_3\) ise \(d(x, y) < s \le s_1\). Üçgen eşitsizliğine göre
\[d(c_1, y) \le d(c_1, x) + d(x, y) < d(c_1, x) + s_1 = d(c_1, x) + r_1 - d(x, c_1) = r_1.\]
Bu yüzden \(y \in B(c_1, r_1)\). Aynı hesap \(s \le s_2\) ile yapılırsa \(y \in B(c_2, r_2)\) çıkar. Böylece \(x \in B_3 \subseteq B(c_1, r_1) \cap B(c_2, r_2)\) ve (B2) sağlanır.
\(\blacksquare\)
Bu örnekte iki dairenin kesişimi genellikle bir daire değildir; (B2) yine de sağlanır, çünkü kesişimin her noktası için kesişime sığan küçük bir daire bulunur. İspatın özü: noktanın her iki dairenin sınırına olan uzaklıklarının küçüğünü yarıçap almak.
Örnek 8.2 (Düzlemde Açık Dikdörtgenler) \(X = \mathbb{R}^2\) olsun ve \(\mathcal{B}'\), kenarları koordinat eksenlerine paralel olan bütün açık dikdörtgenlerin (dikdörtgen içlerinin) ailesi olsun:
\[\mathcal{B}' = \{ (a, b) \times (c, d) : a < b,\ c < d \}.\]
Burada \((a, b) \times (c, d) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : a < x < b,\ c < y < d\}\)’dir. \(\mathcal{B}'\), bir topoloji için bazdır.
İspat
(B1): \((x, y) \in \mathbb{R}^2\) verilsin. \((x, y) \in (x-1, x+1) \times (y-1, y+1)\) ve bu küme \(\mathcal{B}'\)’nün elemanıdır.
(B2): \(B_1 = (a_1, b_1) \times (c_1, d_1)\) ve \(B_2 = (a_2, b_2) \times (c_2, d_2)\) iki baz elemanı ve \((x, y) \in B_1 \cap B_2\) olsun. Bir noktanın her iki dikdörtgende olması, birinci koordinatının hem \((a_1, b_1)\) hem \((a_2, b_2)\) aralığında, ikinci koordinatının hem \((c_1, d_1)\) hem \((c_2, d_2)\) aralığında olması demektir. Bu yüzden
\[B_1 \cap B_2 = \bigl(\max\{a_1, a_2\},\ \min\{b_1, b_2\}\bigr) \times \bigl(\max\{c_1, c_2\},\ \min\{d_1, d_2\}\bigr).\]
\((x, y)\) bu kesişimde olduğundan \(\max\{a_1, a_2\} < x < \min\{b_1, b_2\}\) ve \(\max\{c_1, c_2\} < y < \min\{d_1, d_2\}\); yani kesişim boş değildir ve kenarları eksenlere paralel bir açık dikdörtgendir. O hâlde \(B_3 = B_1 \cap B_2\) almak yeter: \(B_3 \in \mathcal{B}'\), \((x, y) \in B_3\) ve \(B_3 = B_1 \cap B_2\) olduğundan \(B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\).
\(\blacksquare\)
Dikdörtgenlerde durum dairelerden daha rahattır: iki baz elemanının kesişimi (boş değilse) yine bir baz elemanıdır. Bu, (B2)’nin sağlanmasının en kolay yoludur.
8.2 Bazın Ürettiği Topoloji
Bir baz elimizde olduğunda açık kümeleri şöyle tarif ederiz: bir küme, her noktasının çevresinde o kümeye sığan bir baz elemanı varsa açıktır.
Tanım 8.2 (Bazın Ürettiği Topoloji) \(\mathcal{B}\), \(X\) üzerinde bir topoloji için baz olsun. Bir \(U \subseteq X\) alt kümesi, her \(x \in U\) için
\[x \in B \subseteq U\]
olacak biçimde bir \(B \in \mathcal{B}\) baz elemanı bulunuyorsa \(X\)’te açık sayılır. Bu biçimde açık olan bütün alt kümelerin ailesine \(\mathcal{B}\)’nin ürettiği topoloji (topology generated by \(\mathcal{B}\)) denir ve \(\tau_{\mathcal{B}}\) ile gösterilir.
Yani \(U\)’nun açık olması için \(U\)’nun her noktası, \(U\)’nun içinde kalan bir baz elemanına sahip olmalıdır.
Tanımdan hemen şu çıkar: her baz elemanı, ürettiği topolojide açıktır. Gerçekten \(B \in \mathcal{B}\) ve \(x \in B\) ise \(x \in B \subseteq B\); aranan baz elemanı olarak \(B\)’nin kendisi alınır. Böylece \(\mathcal{B} \subseteq \tau_{\mathcal{B}}\).
“Ürettiği topoloji” adını hak etmesi için \(\tau_{\mathcal{B}}\)’nin topoloji aksiyomlarını sağladığını göstermemiz gerekir. Topoloji tanımındaki aksiyomları hatırlayalım: (T1) \(\varnothing\) ve \(X\) açıktır; (T2) sonlu sayıda açık kümenin kesişimi açıktır; (T3) herhangi bir açık küme ailesinin birleşimi açıktır.
Teorem 8.1 (Bazın Ürettiği Aile Bir Topolojidir) \(\mathcal{B}\), \(X\) üzerinde bir topoloji için baz olsun. O zaman \(\tau_{\mathcal{B}}\), \(X\) üzerinde bir topolojidir.
İspat
(T1): \(U = \varnothing\) için açıklık koşulu “her \(x \in \varnothing\) için …” diye başlar; \(\varnothing\)’nin elemanı olmadığından koşul boş yere (denetlenecek nokta bulunmadığından) sağlanır. Bu yüzden \(\varnothing \in \tau_{\mathcal{B}}\). \(U = X\) için \(x \in X\) alalım; (B1) gereği \(x \in B\) olacak biçimde bir \(B \in \mathcal{B}\) vardır ve \(B \subseteq X\) her zaman doğrudur. Bu yüzden \(X \in \tau_{\mathcal{B}}\).
(T3): \(\{U_\alpha\}_{\alpha \in J}\), \(\tau_{\mathcal{B}}\)’nin elemanlarından oluşan bir indisli aile olsun ve
\[U = \bigcup_{\alpha \in J} U_\alpha\]
diyelim. \(x \in U\) verilsin. Birleşimin tanımı gereği \(x \in U_\alpha\) olacak biçimde bir \(\alpha \in J\) indisi vardır. \(U_\alpha\) açık olduğundan \(x \in B \subseteq U_\alpha\) olacak biçimde bir \(B \in \mathcal{B}\) vardır. \(U_\alpha \subseteq U\) olduğundan \(x \in B \subseteq U\). \(x\) keyfi olduğundan \(U\), açıklık tanımını sağlar; yani \(U \in \tau_{\mathcal{B}}\).
(T2): Önce iki kümenin kesişimini ele alalım. \(U_1, U_2 \in \tau_{\mathcal{B}}\) ve \(x \in U_1 \cap U_2\) olsun. \(U_1\) açık olduğundan \(x \in B_1 \subseteq U_1\) olacak biçimde bir \(B_1 \in \mathcal{B}\) seçilir; \(U_2\) açık olduğundan \(x \in B_2 \subseteq U_2\) olacak biçimde bir \(B_2 \in \mathcal{B}\) seçilir. Şimdi \(x \in B_1 \cap B_2\)’dir; (B2) koşulu tam burada devreye girer ve \(x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\) olacak biçimde bir \(B_3 \in \mathcal{B}\) verir. \(B_1 \subseteq U_1\) ve \(B_2 \subseteq U_2\) olduğundan \(B_1 \cap B_2 \subseteq U_1 \cap U_2\); bu yüzden \(x \in B_3 \subseteq U_1 \cap U_2\). Böylece \(U_1 \cap U_2 \in \tau_{\mathcal{B}}\).
Sonlu sayıda kümenin kesişimi için \(n\) üzerinden tümevarım yapalım. \(n = 1\) için gösterilecek bir şey yoktur: \(U_1 \in \tau_{\mathcal{B}}\). \(n - 1\) tane açık kümenin kesişiminin açık olduğunu varsayalım ve \(U_1, \dots, U_n \in \tau_{\mathcal{B}}\) alalım. Kesişim
\[U_1 \cap \dots \cap U_n = (U_1 \cap \dots \cap U_{n-1}) \cap U_n\]
biçiminde yazılır. Tümevarım varsayımına göre \(U_1 \cap \dots \cap U_{n-1}\) açıktır; az önce ispatlanan iki küme durumuna göre bunun \(U_n\) ile kesişimi de açıktır. Bu yüzden \(U_1 \cap \dots \cap U_n \in \tau_{\mathcal{B}}\).
Üç aksiyom da sağlandığından \(\tau_{\mathcal{B}}\) bir topolojidir.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: (B1) aksiyomu \(X\)’in açıklığını, (B2) aksiyomu kesişimlerin açıklığını sağlar; birleşimler ise tanımdan kendiliğinden açıktır.
Şimdi en basit bazı inceleyelim: tek noktalı kümeler.
Örnek 8.3 (Tek Noktalı Kümeler ve Ayrık Topoloji) \(X\) herhangi bir küme olsun. Tek noktalı alt kümelerin ailesi
\[\mathcal{B} = \{ \{x\} : x \in X \}\]
\(X\) üzerinde bir topoloji için bazdır ve ürettiği topoloji \(X\) üzerindeki ayrık topolojidir; yani \(\tau_{\mathcal{B}} = \mathcal{P}(X)\).
İspat
(B1): \(x \in X\) için \(x \in \{x\} \in \mathcal{B}\).
(B2): \(B_1 = \{x_1\}\), \(B_2 = \{x_2\}\) ve \(x \in B_1 \cap B_2\) olsun. \(x \in \{x_1\}\) olması \(x = x_1\), \(x \in \{x_2\}\) olması \(x = x_2\) demektir; bu yüzden \(x_1 = x_2 = x\) ve \(B_1 \cap B_2 = \{x\}\). \(B_3 = \{x\}\) alınırsa \(x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\) sağlanır.
Ürettiği topoloji: \(\tau_{\mathcal{B}} \subseteq \mathcal{P}(X)\) zaten doğrudur, çünkü \(\tau_{\mathcal{B}}\)’nin elemanları \(X\)’in alt kümeleridir. Tersine \(U \subseteq X\) herhangi bir alt küme ve \(x \in U\) olsun. \(B_x = \{x\}\) alalım; \(x \in B_x\) ve \(x \in U\) olduğundan \(B_x \subseteq U\). Bu yüzden \(U\) açıklık tanımını sağlar: \(U \in \tau_{\mathcal{B}}\). Böylece \(X\)’in her alt kümesi açıktır, yani \(\tau_{\mathcal{B}} = \mathcal{P}(X)\).
\(\blacksquare\)
8.3 Açık Kümeler Baz Elemanlarının Birleşimidir
Bazın ürettiği topolojiyi “her noktada bir baz elemanı bulunur” diye tanımladık. Aynı topolojiyi başka bir yoldan da tarif edebiliriz: açık kümeler tam olarak baz elemanlarının birleşimleridir. Bu ikinci tarif, bazın adını açıklar.
Lemma 8.1 (Açık Kümeler Baz Elemanlarının Birleşimleridir) \(X\) bir küme ve \(\mathcal{B}\), \(X\) üzerinde bir topoloji için baz olsun. O zaman \(\tau_{\mathcal{B}}\), \(\mathcal{B}\)’nin elemanlarından oluşan bütün birleşimlerin ailesine eşittir. Yani
\[\tau_{\mathcal{B}} = \Bigl\{ \bigcup_{B \in \mathcal{A}} B : \mathcal{A} \subseteq \mathcal{B} \Bigr\}.\]
İspat
İki kapsamayı ayrı ayrı gösterelim.
Her birleşim açıktır. \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\) herhangi bir alt aile olsun. Her baz elemanı \(\tau_{\mathcal{B}}\)’de açık olduğundan \(\mathcal{A}\)’nın elemanları da açıktır. \(\tau_{\mathcal{B}}\) bir topoloji olduğundan (T3) gereği bunların birleşimi \(\bigcup_{B \in \mathcal{A}} B\) de açıktır. (\(\mathcal{A} = \varnothing\) alınırsa birleşim \(\varnothing\)’dir; o da açıktır.)
Her açık küme bir birleşimdir. \(U \in \tau_{\mathcal{B}}\) olsun. Açıklık tanımı gereği her \(x \in U\) için \(x \in B_x \subseteq U\) olacak biçimde bir \(B_x \in \mathcal{B}\) seçebiliriz. İddia:
\[U = \bigcup_{x \in U} B_x.\]
Her \(B_x \subseteq U\) olduğundan sağ taraf \(U\)’nun içindedir. Tersine \(x \in U\) ise \(x \in B_x\) olduğundan \(x\) sağ taraftadır. İki kapsama birlikte eşitliği verir. Bu yüzden \(U\), baz elemanlarının bir birleşimidir.
\(\blacksquare\)
Lemma 8.1 her açık kümenin baz elemanlarının birleşimi olarak yazılabildiğini söyler; ama bu yazılış tek değildir. Örneğin gerçel sayı doğrusunda açık aralıklar bazını alırsak
\[(0, 2) = (0, 1{,}5) \cup (0{,}5, 2) = \bigcup_{n \ge 2} \Bigl(\tfrac{1}{n},\ 2 - \tfrac{1}{n}\Bigr)\]
gibi sayısız farklı gösterim vardır. Lineer cebirde ise bir vektörün baz vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazılışı tektir. Topolojideki “baz” yalnızca “her şeyi üreten aile” anlamındadır; biriciklik içermez.
Böylece bir bazdan ürettiği topolojiye gitmenin iki yolunu gördük: ya “her noktada bir baz elemanı” ölçütünü, ya da “baz elemanlarının birleşimleri” tarifini kullanırız. Bazen ters yöne gitmek gerekir: elimizde bir topoloji vardır ve onu üreten bir baz ararız. Aşağıdaki lemma bunun bir yolunu verir.
Lemma 8.2 (Açık Kümelerden Oluşan Bir Ailenin Baz Olma Ölçütü) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay ve \(\mathcal{C}\), \(X\)’in açık kümelerinden oluşan bir aile olsun. Her açık \(U \subseteq X\) kümesi ve her \(x \in U\) için
\[x \in C \subseteq U\]
olacak biçimde bir \(C \in \mathcal{C}\) bulunduğunu varsayalım. O zaman \(\mathcal{C}\), \(X\) üzerinde bir topoloji için bazdır ve ürettiği topoloji \(\tau\)’ya eşittir.
İspat
Önce \(\mathcal{C}\)’nin baz koşullarını sağladığını, sonra ürettiği topolojinin \(\tau\) olduğunu gösterelim.
(B1): \(x \in X\) verilsin. \(X\)’in kendisi açıktır ve \(x \in X\); bu yüzden varsayım gereği \(x \in C \subseteq X\) olacak biçimde bir \(C \in \mathcal{C}\) vardır.
(B2): \(C_1, C_2 \in \mathcal{C}\) ve \(x \in C_1 \cap C_2\) olsun. \(C_1\) ve \(C_2\) açık olduğundan (T2) gereği \(C_1 \cap C_2\) de açıktır. O hâlde varsayım \(U = C_1 \cap C_2\) açık kümesine ve \(x\) noktasına uygulanır: \(x \in C_3 \subseteq C_1 \cap C_2\) olacak biçimde bir \(C_3 \in \mathcal{C}\) vardır.
Ürettiği topoloji \(\tau\)’dur. \(\mathcal{C}\)’nin ürettiği topolojiye \(\tau'\) diyelim; \(\tau = \tau'\) göstereceğiz.
\(\tau \subseteq \tau'\): \(U \in \tau\) ve \(x \in U\) olsun. Varsayım gereği \(x \in C \subseteq U\) olacak biçimde bir \(C \in \mathcal{C}\) vardır. Bu, tam olarak \(U\)’nun \(\tau'\)’deki açıklık koşuludur; bu yüzden \(U \in \tau'\).
\(\tau' \subseteq \tau\): \(W \in \tau'\) olsun. Lemma 8.1’e göre \(W\), \(\mathcal{C}\)’nin elemanlarının bir birleşimidir. \(\mathcal{C}\)’nin her elemanı \(\tau\)’da açıktır ve \(\tau\) bir topolojidir; (T3) gereği bunların birleşimi olan \(W\) de \(\tau\)’dadır.
\(\blacksquare\)
Bu lemmanın koşulu aslında yalnızca yeterli değil, gereklidir de. Aşağıdaki biçim, bir açık küme ailesinin baz olup olmadığını denetlemenin standart yoludur.
Lemma 8.3 (Baz Olma Ölçütü) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay ve \(\mathcal{B} \subseteq \tau\) olsun. \(\mathcal{B}\)’nin \(\tau\) için baz olması (yani baz koşullarını sağlayıp \(\tau_{\mathcal{B}} = \tau\) olması) için gerek ve yeter koşul şudur: her açık \(U\) kümesi ve her \(x \in U\) için \(x \in B \subseteq U\) olacak biçimde bir \(B \in \mathcal{B}\) vardır.
İspat
Yeterlik: Koşul sağlanıyorsa Lemma 8.2 doğrudan \(\mathcal{B}\)’nin baz olduğunu ve ürettiği topolojinin \(\tau\) olduğunu verir.
Gereklik: \(\mathcal{B}\), \(\tau\) için baz olsun; yani \(\tau = \tau_{\mathcal{B}}\). \(U \in \tau\) ve \(x \in U\) alalım. \(U \in \tau_{\mathcal{B}}\) olduğundan Tanım 8.2 gereği \(x \in B \subseteq U\) olacak biçimde bir \(B \in \mathcal{B}\) vardır. İstenen tam olarak budur.
\(\blacksquare\)
Örnek 8.3’ye bu ölçütle yeniden bakalım: ayrık topolojide her \(U \subseteq X\) açıktır ve \(x \in U\) için \(x \in \{x\} \subseteq U\) sağlanır; bu yüzden tek noktalı kümeler ayrık topolojinin bazıdır. Ölçüt, baz koşullarını tek tek denetleme zahmetinden kurtarır.
Ölçütün bir sonucu daha vardır: her topoloji kendisinin bir bazıdır. Gerçekten \(\mathcal{B} = \tau\) alınırsa \(U \in \tau\) ve \(x \in U\) için \(B = U\) seçmek yeter. Bu gözlem, aşağıdaki karşılaştırma lemmasını verilmiş herhangi bir topolojiye uygularken işe yarar.
8.4 Bazlarla Topolojileri Karşılaştırma
Aynı küme üzerinde iki topoloji \(\tau\) ve \(\tau'\) verilsin. \(\tau \subseteq \tau'\) ise \(\tau'\)’ye \(\tau\)’dan daha ince, \(\tau\)’ya \(\tau'\)’den daha kaba denir. İki topolojiden biri ötekini kapsıyorsa topolojiler karşılaştırılabilirdir. Topolojiler bazlarla verilmişse “hangisi daha ince?” sorusunu doğrudan bazlar üzerinden yanıtlamak isteriz. Ölçüt şudur: daha ince topolojinin baz elemanları, öteki topolojinin her baz elemanının içine her noktada sığabilmelidir.
Lemma 8.4 (Bazlarla İncelik Karşılaştırması) \(\mathcal{B}\) ve \(\mathcal{B}'\), \(X\) üzerinde sırasıyla \(\tau\) ve \(\tau'\) topolojilerinin bazları olsun. Aşağıdakiler denktir:
(i) \(\tau'\), \(\tau\)’dan daha incedir; yani \(\tau \subseteq \tau'\).
(ii) Her \(x \in X\) ve \(x\)’i içeren her \(B \in \mathcal{B}\) için \(x \in B' \subseteq B\) olacak biçimde bir \(B' \in \mathcal{B}'\) vardır.
İspat
(ii) \(\Rightarrow\) (i): \(U \in \tau\) olsun; \(U \in \tau'\) göstereceğiz. \(x \in U\) alalım. \(\mathcal{B}\), \(\tau\)’nun bazı olduğundan \(x \in B \subseteq U\) olacak biçimde bir \(B \in \mathcal{B}\) vardır. (ii) gereği \(x \in B' \subseteq B\) olacak biçimde bir \(B' \in \mathcal{B}'\) vardır. Bu yüzden \(x \in B' \subseteq U\). \(x\) keyfi olduğundan \(U\), \(\mathcal{B}'\)’nün ürettiği topolojinin açıklık koşulunu sağlar; yani \(U \in \tau'\).
(i) \(\Rightarrow\) (ii): \(x \in X\) ve \(x \in B \in \mathcal{B}\) olsun. Baz elemanları ürettikleri topolojide açık olduğundan \(B \in \tau\); (i) gereği \(\tau \subseteq \tau'\) olduğundan \(B \in \tau'\). \(\mathcal{B}'\), \(\tau'\)’nün bazı olduğundan Lemma 8.3’ne göre \(x \in B' \subseteq B\) olacak biçimde bir \(B' \in \mathcal{B}'\) vardır.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: “daha ince” olmak, ötekinin her açık kümesini üretebilmektir; bunun için ötekinin baz elemanlarını üretebilmek yeter.
Daha ince topolojinin baz elemanları “daha küçük”tür: \(\tau'\)’nün \(\tau\)’dan ince olması, \(\tau\)’nun her baz elemanının her noktasında \(\tau'\)’den bir baz elemanının içeri sığması demektir. Düzlemde daireler ve dikdörtgenleri düşünün: her dairenin her noktasına bir dikdörtgen, her dikdörtgenin her noktasına bir daire sığar; bu yüzden Örnek 8.1 ve Örnek 8.2 bazları aynı topolojiyi üretir.
8.5 Uygulamalar
Açıklık Ölçütü
Bir kümenin açık olduğunu göstermenin en sık kullanılan yolu şudur: her noktasının çevresinde kümeye sığan bir açık küme bulmak. Bu, baz tanımındaki fikrin topolojinin kendisine uygulanmış hâlidir.
Örnek 8.4 (Her Noktada Açık Komşuluk Bulunuyorsa Küme Açıktır) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay ve \(A \subseteq X\) olsun. Her \(x \in A\) için \(x \in U \subseteq A\) olacak biçimde bir açık \(U\) kümesi bulunduğunu varsayalım. O zaman \(A\), \(X\)’te açıktır.
Çözüm
Her \(x \in A\) için varsayımdaki açık kümelerden birini seçip \(U_x\) diyelim: \(U_x\) açık, \(x \in U_x\) ve \(U_x \subseteq A\).
Her \(U_x \subseteq A\) olduğundan birleşim de \(A\)’nın içindedir:
\[\bigcup_{x \in A} U_x \subseteq A. \qquad (1)\]
Öte yandan her \(x \in A\) için \(\{x\} \subseteq U_x\) olduğundan
\[A = \bigcup_{x \in A} \{x\} \subseteq \bigcup_{x \in A} U_x. \qquad (2)\]
- ve (2) birlikte \(A = \bigcup_{x \in A} U_x\) verir. Her \(U_x\) açık olduğundan (T3) gereği birleşimleri açıktır. Bu yüzden \(A\) açıktır.
\(\blacksquare\)
Bu sonucun tersi de doğrudur: \(A\) açıksa her \(x \in A\) için \(U = A\) alınabilir. Dolayısıyla bir küme, ancak ve ancak her noktasının çevresinde kümeye sığan bir açık küme varsa açıktır.
Gerçel Sayılarda Standart Topoloji
Gerçel sayı doğrusunda “açık” denince akla açık aralıklar gelir. Bu bölümün diliyle: açık aralıklar bir bazdır ve ürettikleri topoloji doğrunun standart topolojisidir. Önce baz koşullarını denetleyelim.
Lemma 8.5 (Açık Aralıklar Bazdır) Açık aralıkların ailesi
\[\mathcal{B} = \{ (a, b) : a, b \in \mathbb{R},\ a < b \}\]
\(\mathbb{R}\) üzerinde bir topoloji için bazdır.
İspat
(B1): \(x \in \mathbb{R}\) için \(x \in (x - 1, x + 1) \in \mathcal{B}\).
(B2): \(x \in (a, b) \cap (c, d)\) olsun. \(a < x < b\) ve \(c < x < d\) olduğundan \(\max\{a, c\} < x < \min\{b, d\}\). \(e = \max\{a, c\}\) ve \(f = \min\{b, d\}\) diyelim; \(e < x < f\) olduğundan \(e < f\) ve \((e, f) \in \mathcal{B}\). Bir \(z\) sayısı için \(e < z < f\) olması, \(a < z\), \(c < z\), \(z < b\) ve \(z < d\) olması demektir; yani \((e, f) = (a, b) \cap (c, d)\). O hâlde \(B_3 = (e, f)\) alınırsa \(x \in B_3 \subseteq (a, b) \cap (c, d)\).
\(\blacksquare\)
Tanım 8.3 (Gerçel Sayılarda Standart Topoloji) Açık aralıklar bazı \(\mathcal{B} = \{(a, b) : a < b\}\)’nin \(\mathbb{R}\) üzerinde ürettiği topolojiye \(\mathbb{R}\)’nin standart topolojisi (standard topology) denir ve \(\tau_{\text{std}}\) ile gösterilir.
Yani \(U \subseteq \mathbb{R}\), ancak ve ancak her \(x \in U\) için \(x \in (a, b) \subseteq U\) olacak biçimde bir açık aralık varsa standart topolojide açıktır. Bundan sonra \(\mathbb{R}\) üzerinde başka bir topoloji söylenmedikçe standart topoloji kastedilir.
Standart topolojide tanıdık kümelerin açık ya da kapalı olduğunu şimdi kesin olarak gösterebiliriz. Açık kümeleri baz tanımıyla, kapalı kümeleri tümleyenlerinin açıklığıyla ele alacağız.
Örnek 8.5 (Standart Topolojide Işınlar, Kapalı Aralıklar ve Sonlu Kümeler) \(\mathbb{R}\) standart topolojiyle verilsin.
a) \(a \in \mathbb{R}\) için \((a, \infty)\) ve \((-\infty, a)\) ışınları açıktır.
b) \(a < b\) için \([a, b]\) kapalı aralığı kapalıdır.
c) \(\mathbb{R}\)’nin her sonlu alt kümesi kapalıdır.
Çözüm
a) Önce \((a, \infty)\) ışınını ele alalım. \(x \in (a, \infty)\) olsun; yani \(x > a\). \(\varepsilon = x - a > 0\) diyelim ve
\[B = (x - \varepsilon, x + \varepsilon) = (a, 2x - a)\]
aralığını alalım. \(B\) bir baz elemanıdır ve \(x \in B\). Ayrıca \(y \in B\) ise \(y > a\) olduğundan \(y \in (a, \infty)\); yani \(B \subseteq (a, \infty)\). \(x\) keyfi olduğundan \((a, \infty)\) açıktır.
\((-\infty, a)\) için aynı yol izlenir. \(x \in (-\infty, a)\) olsun; yani \(x < a\). \(\varepsilon = a - x > 0\) diyelim ve \(B = (x - \varepsilon, x + \varepsilon) = (2x - a, a)\) alalım. \(x \in B\) ve \(y \in B\) ise \(y < a\) olduğundan \(B \subseteq (-\infty, a)\). Bu yüzden \((-\infty, a)\) açıktır.
Aynı sonuca Lemma 8.1 ile de ulaşılabilir: ışını baz elemanlarının birleşimi olarak yazmak yeter. Her \(n = 0, 1, 2, \dots\) için \((a + n, a + n + 2)\) açık aralığını alalım. Bu aralıkların hepsi \((a, \infty)\)’un içindedir. Tersine \(x > a\) ise \(n = \lfloor x - a \rfloor\) (yani \(x - a\)’nın tam kısmı) için \(a + n \le x < a + n + 1\) olur; \(n \ge 1\) ise \(x \in (a + n - 1, a + n + 1)\), \(n = 0\) ise \(x \in (a, a + 2)\). Böylece
\[(a, \infty) = \bigcup_{n = 0}^{\infty} (a + n,\ a + n + 2)\]
ve \((a, \infty)\), açık kümelerin birleşimi olarak açıktır. Benzer biçimde \((-\infty, a) = \bigcup_{n = 0}^{\infty} (a - n - 2,\ a - n)\).
b) \([a, b]\)’nin tümleyeninin açık olduğunu göstereceğiz. Bir \(y\) sayısının \([a, b]\)’de olmaması \(y < a\) ya da \(y > b\) olması demektir; bu yüzden
\[\mathbb{R} \setminus [a, b] = (-\infty, a) \cup (b, \infty).\]
Sağ taraftaki iki ışın (a) gereği açıktır; (T3) gereği birleşimleri de açıktır. Tümleyeni açık olan küme kapalıdır; bu yüzden \([a, b]\) kapalıdır.
c) \(F = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}\) sonlu bir alt küme olsun. Elemanları küçükten büyüğe sıralayıp adlandırabiliriz: \(a_1 < a_2 < \dots < a_n\). Bir \(y\) sayısının \(F\)’de olmaması, \(y\)’nin ya \(a_1\)’den küçük, ya \(a_n\)’den büyük, ya da ardışık iki eleman arasında olması demektir:
\[\mathbb{R} \setminus F = (-\infty, a_1) \cup (a_1, a_2) \cup \dots \cup (a_{n-1}, a_n) \cup (a_n, \infty).\]
Sağ taraftaki ışınlar (a) gereği, açık aralıklar ise baz elemanı oldukları için açıktır. Birleşimleri (T3) gereği açıktır. Bu yüzden \(\mathbb{R} \setminus F\) açık, \(F\) kapalıdır. (\(F = \varnothing\) ise tümleyeni \(\mathbb{R}\) açıktır; \(\varnothing\) de kapalıdır.)
\(\blacksquare\)
Standart topolojiyi, Açık ve Kapalı Kümeler; Sonlu ve Sayılabilir Tümleyen Topolojileri bölümünde tanımlanan sonlu tümleyen topolojisiyle karşılaştıralım. Bu, Lemma 8.4’nün tipik bir kullanımıdır.
Örnek 8.6 (Standart Topoloji Sonlu Tümleyen Topolojisinden Daha İncedir) \(\mathbb{R}\) üzerinde \(\tau_{\text{std}}\) standart topoloji ve
\[\tau_{\text{sonlu}} = \{ A \subseteq \mathbb{R} : \mathbb{R} \setminus A \text{ sonlu} \} \cup \{\varnothing\}\]
sonlu tümleyen topolojisi olsun. \(\tau_{\text{sonlu}} \subsetneq \tau_{\text{std}}\)’dir; yani standart topoloji, sonlu tümleyen topolojisinden kesinlikle daha incedir.
Çözüm
\(\tau_{\text{sonlu}} \subseteq \tau_{\text{std}}\): Lemma 8.4’nü uygulayalım. Her topoloji kendisinin bazı olduğundan \(\tau_{\text{sonlu}}\) için baz olarak \(\mathcal{B} = \tau_{\text{sonlu}}\)’nun kendisini, \(\tau_{\text{std}}\) için baz olarak açık aralıkları alalım. \(x \in \mathbb{R}\) ve \(x \in B \in \tau_{\text{sonlu}}\) olsun. \(B \neq \varnothing\) olduğundan \(\mathbb{R} \setminus B\) sonludur; \(\mathbb{R} \setminus B = \{a_1, \dots, a_n\}\) diyelim (\(n = 0\) olabilir). \(x \in B\) olduğundan \(x\), bu noktaların hiçbirine eşit değildir; bu yüzden
\[\delta = \min\{ |x - a_1|, \dots, |x - a_n| \}\]
sayısı pozitiftir (\(n = 0\) ise \(\delta = 1\) alalım). \(B' = (x - \delta, x + \delta)\) açık aralığı \(x\)’i içerir ve \(a_i\)’lerin hiçbirini içermez, çünkü her \(a_i\) için \(|x - a_i| \ge \delta\). Bu yüzden \(B' \subseteq B\). Lemma 8.4’nün (ii) koşulu sağlandığından \(\tau_{\text{sonlu}} \subseteq \tau_{\text{std}}\).
Eşit değildir: \((0, 1)\) aralığı standart topolojide açıktır. Ama \(\mathbb{R} \setminus (0, 1) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty)\) sonsuz bir kümedir ve \((0, 1) \neq \varnothing\); bu yüzden \((0, 1) \notin \tau_{\text{sonlu}}\). Böylece \(\tau_{\text{sonlu}} \neq \tau_{\text{std}}\).
\(\blacksquare\)
Alt Limit Topolojisi
Açık aralıkların yerine sol ucu kapalı, sağ ucu açık aralıkları alırsak \(\mathbb{R}\) üzerinde yeni ve önemli bir topoloji elde ederiz. Önce bunların baz olduğunu gösterelim.
Örnek 8.7 (Yarı Açık Aralıklar Bazdır) \[\mathcal{C} = \{ [a, b) : a, b \in \mathbb{R},\ a < b \}\]
ailesi \(\mathbb{R}\) üzerinde bir topoloji için bazdır.
Çözüm
(B1): \(x \in \mathbb{R}\) olsun ve \(B = [x, x + 1)\) alalım. \(x \le x < x + 1\) olduğundan \(x \in B\) ve \(B \in \mathcal{C}\).
(B2): \([a, b), [c, d) \in \mathcal{C}\) ve \(x \in [a, b) \cap [c, d)\) olsun. O zaman \(a \le x < b\) ve \(c \le x < d\). \(e = \max\{a, c\}\) ve \(f = \min\{b, d\}\) diyelim; \(e \le x < f\) olduğundan \(e < f\) ve \([e, f) \in \mathcal{C}\). Ayrıca \(x \in [e, f)\).
Şimdi \([e, f) \subseteq [a, b) \cap [c, d)\) olduğunu gösterelim. \(z \in [e, f)\) ise \(e \le z < f\). \(e \ge a\) ve \(f \le b\) olduğundan \(a \le z < b\), yani \(z \in [a, b)\); \(e \ge c\) ve \(f \le d\) olduğundan \(c \le z < d\), yani \(z \in [c, d)\). Bu yüzden \(z\) kesişimdedir.
Böylece \(B_3 = [e, f)\) alınırsa \(x \in B_3 \subseteq [a, b) \cap [c, d)\) ve (B2) sağlanır.
\(\blacksquare\)
Tanım 8.4 (Alt Limit Topolojisi) \(\mathcal{C} = \{[a, b) : a < b\}\) bazının \(\mathbb{R}\) üzerinde ürettiği topolojiye alt limit topolojisi (lower limit topology) denir ve \(\tau_\ell\) ile gösterilir. \(\mathbb{R}\) bu topolojiyle donatıldığında \(\mathbb{R}_\ell\) yazılır.
Yani \(U \subseteq \mathbb{R}\), ancak ve ancak her \(x \in U\) için \(x \in [a, b) \subseteq U\) olacak biçimde bir yarı açık aralık varsa \(\mathbb{R}_\ell\)’de açıktır. Adı, her noktanın “alt (sol) ucundan” kapatılmış aralıklarla çevrelenmesinden gelir.
Alt limit topolojisi ile standart topoloji arasındaki ilişki, bazlarla karşılaştırma ölçütünün en güzel örneklerinden biridir.
Örnek 8.8 (Alt Limit Topolojisi Standart Topolojiden Kesinlikle Daha İncedir) \(\mathbb{R}\) üzerinde \(\tau_{\text{std}} \subsetneq \tau_\ell\)’dir; yani her standart açık küme \(\mathbb{R}_\ell\)’de de açıktır, ama tersi doğru değildir.
Çözüm
\(\tau_{\text{std}} \subseteq \tau_\ell\): Lemma 8.4’nü \(\mathcal{B} = \{(a, b)\}\) ve \(\mathcal{B}' = \{[a, b)\}\) bazlarına uygulayalım. \(x \in \mathbb{R}\) ve \(x \in (a, b)\) olsun. \(B' = [x, b)\) alalım; \(x < b\) olduğundan bu bir baz elemanıdır ve \(x \in B'\). \(z \in [x, b)\) ise \(a < x \le z < b\) olduğundan \(z \in (a, b)\); yani \(B' \subseteq (a, b)\). Ölçütün (ii) koşulu sağlandığından \(\tau_{\text{std}} \subseteq \tau_\ell\).
Eşit değildir: \([0, 1)\) kümesi \(\mathbb{R}_\ell\)’de açıktır, çünkü bir baz elemanıdır. Standart topolojide açık olmadığını gösterelim. \(0 \in [0, 1)\) noktasını ele alalım. \(0 \in (a, b)\) olan herhangi bir açık aralık için \(a < 0\)’dır; bu yüzden \(a < \tfrac{a}{2} < 0\) olan \(\tfrac{a}{2}\) sayısı \((a, b)\)’dedir ama \([0, 1)\)’de değildir. Dolayısıyla \(0\)’ı içeren hiçbir açık aralık \([0, 1)\)’in içine sığmaz ve \([0, 1) \notin \tau_{\text{std}}\).
Böylece \(\tau_{\text{std}} \subsetneq \tau_\ell\).
\(\blacksquare\)
\(\mathbb{R}_\ell\)’de standart topolojinin bütün açık kümeleri açık kalır; üstelik \([a, b)\) gibi yeni kümeler de açık olur. Tümleyen alındığında aynı şey kapalı kümeler için de geçerlidir: standart topolojide kapalı olan her küme \(\mathbb{R}_\ell\)’de de kapalıdır ve \(\mathbb{R}_\ell\)’de yeni kapalı kümeler ortaya çıkar. “Daha ince” topolojiyi “daha çok açık küme, daha çok kapalı küme” diye düşünmek doğrudur; “daha az kapalı küme” diye düşünmek yanlıştır.
8.6 Alt Baz
Baz koşulu (B2) bazen sağlanmaz: elimizde her noktayı örten ama iki elemanının kesişimini dolduramayan bir aile olabilir. Böyle bir aileden yine de bir topoloji üretmenin yolu, önce sonlu kesişimleri ekleyip bir baz elde etmektir.
Tanım 8.5 (Alt Baz) \(X\) bir küme olsun. \(X\)’in alt kümelerinden oluşan ve birleşimi \(X\)’e eşit olan bir \(\mathcal{S}\) ailesine, yani \(\bigcup_{S \in \mathcal{S}} S = X\) koşulunu sağlayan bir aileye, \(X\) üzerinde bir topoloji için alt baz (subbasis) denir. \(\mathcal{S}\)’nin ürettiği topoloji, \(\mathcal{S}\)’nin elemanlarının sonlu kesişimlerinin bütün birleşimlerinden oluşan ailedir:
\[\tau_{\mathcal{S}} = \Bigl\{ \bigcup_{\beta \in J} (S_{\beta,1} \cap \dots \cap S_{\beta, n_\beta}) : J \text{ bir indis kümesi},\ n_\beta \ge 1,\ S_{\beta, i} \in \mathcal{S} \Bigr\}.\]
Yani alt bazdan topolojiye iki adımda gidilir: önce sonlu kesişimler alınır, sonra bunların bütün birleşimleri alınır. Alt bazdan istenen tek şey \(X\)’i örtmesidir; (B2) benzeri bir koşul istenmez.
“Ürettiği topoloji” adının haklı olduğunu, yani \(\tau_{\mathcal{S}}\)’nin gerçekten bir topoloji olduğunu göstermeliyiz. Bunun için sonlu kesişimlerin bir baz oluşturduğunu görmek yeter.
Teorem 8.2 (Alt Bazın Ürettiği Aile Bir Topolojidir) \(\mathcal{S}\), \(X\) üzerinde bir topoloji için alt baz olsun ve
\[\mathcal{B} = \{ S_1 \cap \dots \cap S_n : n \ge 1,\ S_1, \dots, S_n \in \mathcal{S} \}\]
\(\mathcal{S}\)’nin elemanlarının sonlu kesişimlerinin ailesi olsun. O zaman \(\mathcal{B}\), \(X\) üzerinde bir topoloji için bazdır ve \(\tau_{\mathcal{S}} = \tau_{\mathcal{B}}\)’dir. Özel olarak \(\tau_{\mathcal{S}}\) bir topolojidir.
İspat
(B1): \(x \in X\) olsun. \(\bigcup_{S \in \mathcal{S}} S = X\) olduğundan \(x \in S\) olacak biçimde bir \(S \in \mathcal{S}\) vardır. \(S\), tek elemanlı bir kesişim (\(n = 1\)) olarak \(\mathcal{B}\)’nin elemanıdır.
(B2): \(B_1 = S_1 \cap \dots \cap S_n\) ve \(B_2 = S'_1 \cap \dots \cap S'_m\) iki baz elemanı ve \(x \in B_1 \cap B_2\) olsun. Kesişim
\[B_1 \cap B_2 = S_1 \cap \dots \cap S_n \cap S'_1 \cap \dots \cap S'_m\]
\(\mathcal{S}\)’nin \(n + m\) elemanının kesişimidir; bu yüzden kendisi de \(\mathcal{B}\)’nin elemanıdır. \(B_3 = B_1 \cap B_2\) alınırsa \(x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\) sağlanır.
Böylece \(\mathcal{B}\) bir bazdır ve Teorem 8.1 gereği \(\tau_{\mathcal{B}}\) bir topolojidir. Lemma 8.1’e göre \(\tau_{\mathcal{B}}\), \(\mathcal{B}\)’nin elemanlarının bütün birleşimlerinin ailesidir; bu da tam olarak \(\tau_{\mathcal{S}}\)’nin tanımıdır. Bu yüzden \(\tau_{\mathcal{S}} = \tau_{\mathcal{B}}\).
\(\blacksquare\)
Alt baz kavramı, kurulacak topolojiyi çok az veriyle tarif etmeye yarar. Aşağıdaki örnek, gerçel sayılarda standart topolojinin yalnızca ışınlarla üretilebildiğini gösterir.
Örnek 8.9 (Açık Işınlar Standart Topolojinin Alt Bazıdır) \[\mathcal{S} = \{ (-\infty, b) : b \in \mathbb{R} \} \cup \{ (a, \infty) : a \in \mathbb{R} \}\]
ailesi \(\mathbb{R}\) üzerinde bir alt bazdır ve ürettiği topoloji standart topolojidir.
Çözüm
Alt bazdır: Her \(x \in \mathbb{R}\) için \(x \in (x - 1, \infty) \in \mathcal{S}\); bu yüzden \(\mathcal{S}\)’nin birleşimi \(\mathbb{R}\)’dir.
Sonlu kesişimler: Aynı yöndeki ışınların kesişimi yine aynı yönde bir ışındır: \((a, \infty) \cap (a', \infty) = (\max\{a, a'\}, \infty)\) ve \((-\infty, b) \cap (-\infty, b') = (-\infty, \min\{b, b'\})\). Zıt yöndeki iki ışının kesişimi \((a, \infty) \cap (-\infty, b)\) ise \(a < b\) olduğunda \((a, b)\) açık aralığı, \(a \ge b\) olduğunda \(\varnothing\)’dir. Bu yüzden sonlu kesişimlerin ailesi \(\mathcal{B}\), açık ışınlardan, açık aralıklardan ve \(\varnothing\)’den oluşur.
\(\tau_{\mathcal{S}} \subseteq \tau_{\text{std}}\): \(\mathcal{B}\)’nin her elemanı standart topolojide açıktır: açık aralıklar baz elemanı olduğu için, ışınlar Örnek 8.5 (a) gereği, \(\varnothing\) ise (T1) gereği. \(\tau_{\mathcal{S}}\)’nin elemanları bunların birleşimleri olduğundan (T3) gereği standart topolojide açıktır.
\(\tau_{\text{std}} \subseteq \tau_{\mathcal{S}}\): Standart topolojinin her baz elemanı \((a, b)\), \(\mathcal{B}\)’nin elemanıdır; dolayısıyla \(\tau_{\mathcal{S}}\)’de açıktır. Lemma 8.4’nün (ii) koşulu \(B' = (a, b)\) seçimiyle sağlanır ve \(\tau_{\text{std}} \subseteq \tau_{\mathcal{S}}\) çıkar.
Böylece \(\tau_{\mathcal{S}} = \tau_{\text{std}}\).
\(\blacksquare\)
Alt baz fikri sonraki bölümlerde iki kez daha karşımıza çıkacak: Sıra Topolojisi bölümünde açık ışınlar sıralı bir kümenin topolojisi için alt baz olacak; Çarpım Topolojisi bölümünde ise izdüşümlerin ters görüntüleri çarpım topolojisinin alt bazını oluşturacak.
8.7 Alıştırmalar
Alıştırma 8.1 (Baz ve Alt Baz Alıştırmaları) a) \(X = \{1, 2, 3\}\) ve \(\mathcal{B} = \{\{1, 2\}, \{2, 3\}\}\) olsun. \(\mathcal{B}\) bir topoloji için baz mıdır? \(\mathcal{B}' = \{\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{2\}\}\) için aynı soruyu yanıtlayın ve baz ise ürettiği topolojiyi yazın.
b) Kapalı aralıkların ailesi \(\{[a, b] : a < b\}\)’nin \(\mathbb{R}\) üzerinde bir topoloji için baz olmadığını gösterin.
c) Uçları rasyonel olan açık aralıkların ailesi \(\mathcal{B}_{\mathbb{Q}} = \{(p, q) : p, q \in \mathbb{Q},\ p < q\}\)’nun standart topolojinin bir bazı olduğunu gösterin.
d) \(\mathbb{R}\) üzerinde sol ışınların ailesi \(\{(-\infty, a) : a \in \mathbb{R}\}\)’nin bir topoloji için baz olduğunu gösterin; ürettiği topolojiye \(\tau_{\text{sol}}\) diyelim. Standart topolojinin \(\tau_{\text{sol}}\)’dan kesinlikle daha ince olduğunu gösterin.
e) \(\mathbb{R}_\ell\)’de \([a, b)\) kümesinin hem açık hem kapalı olduğunu gösterin.
f) \(X = \{1, 2, 3\}\) üzerinde \(\mathcal{S} = \{\{1, 2\}, \{2, 3\}\}\) ailesini alt baz olarak alın. Ürettiği topolojiyi yazın.
Çözüm
a) \(\mathcal{B}\) için (B1) sağlanır: \(1, 2 \in \{1, 2\}\) ve \(3 \in \{2, 3\}\). Ama (B2) sağlanmaz: \(2 \in \{1, 2\} \cap \{2, 3\} = \{2\}\), oysa \(\mathcal{B}\)’de \(2\)’yi içeren ve \(\{2\}\)’nin içinde kalan bir eleman yoktur. Bu yüzden \(\mathcal{B}\) baz değildir.
\(\mathcal{B}'\) için (B1) yine sağlanır. (B2): \(\mathcal{B}'\)’nün iki elemanının kesişimi ya elemanlardan biridir ya da \(\{2\}\)’dir; her durumda kesişim \(\mathcal{B}'\)’nün bir elemanıdır ve \(B_3\) olarak kesişimin kendisi alınabilir. Bu yüzden \(\mathcal{B}'\) bazdır. Lemma 8.1’e göre ürettiği topoloji, elemanlarının bütün birleşimleridir:
\[\tau_{\mathcal{B}'} = \{\varnothing,\ \{2\},\ \{1, 2\},\ \{2, 3\},\ X\}.\]
b) (B1) sağlanır: \(x \in [x, x+1]\). (B2)’nin bozulduğunu görmek için \([0, 1]\) ve \([1, 2]\) kapalı aralıklarını alalım; kesişimleri \(\{1\}\)’dir ve \(1\) bu kesişimdedir. Bir \([a, b]\) kapalı aralığı (\(a < b\)) \(\{1\}\)’in içinde kalamaz, çünkü en az iki farklı nokta içerir. Bu yüzden \(1 \in B_3 \subseteq [0, 1] \cap [1, 2]\) olacak bir baz elemanı yoktur ve aile baz değildir.
c) \(\mathcal{B}_{\mathbb{Q}}\)’nun her elemanı bir açık aralık olduğundan standart topolojide açıktır. Lemma 8.3’nü kullanalım: \(U\) standart topolojide açık ve \(x \in U\) olsun. Açık aralıklar standart topolojinin bazı olduğundan \(x \in (a, b) \subseteq U\) olacak biçimde \(a < b\) gerçel sayıları vardır. Rasyonel sayılar gerçel sayılarda yoğundur: \(a < x\) olduğundan \(a < p < x\) olacak bir \(p \in \mathbb{Q}\), \(x < b\) olduğundan \(x < q < b\) olacak bir \(q \in \mathbb{Q}\) vardır. O zaman \(x \in (p, q) \subseteq (a, b) \subseteq U\) ve \((p, q) \in \mathcal{B}_{\mathbb{Q}}\). Ölçüt sağlandığından \(\mathcal{B}_{\mathbb{Q}}\) standart topolojinin bazıdır.
d) (B1): \(x \in (-\infty, x + 1)\). (B2): \((-\infty, a) \cap (-\infty, b) = (-\infty, \min\{a, b\})\) yine bir sol ışındır; \(B_3\) olarak kesişimin kendisi alınır. Bu yüzden sol ışınlar bazdır.
\(\tau_{\text{sol}} \subseteq \tau_{\text{std}}\): Lemma 8.4 ile: \(x \in (-\infty, a)\) ise \(B' = (x - 1, a)\) açık aralığı \(x\)’i içerir ve \((-\infty, a)\)’nın içindedir.
Eşit değildir: \((0, 1)\) standart topolojide açıktır. \(\tau_{\text{sol}}\)’da açık olsaydı, \(\tfrac{1}{2} \in (0, 1)\) noktası için \(\tfrac{1}{2} \in (-\infty, a) \subseteq (0, 1)\) olacak bir sol ışın bulunurdu; ama her sol ışın \(-1\) gibi negatif sayılar içerir ve bunlar \((0, 1)\)’de değildir. Bu yüzden \((0, 1) \notin \tau_{\text{sol}}\) ve \(\tau_{\text{sol}} \subsetneq \tau_{\text{std}}\).
e) \([a, b)\) bir baz elemanı olduğundan \(\mathbb{R}_\ell\)’de açıktır. Kapalı olduğunu görmek için tümleyeninin açık olduğunu gösterelim:
\[\mathbb{R} \setminus [a, b) = (-\infty, a) \cup [b, \infty).\]
\((-\infty, a) = \bigcup_{n \ge 1} [a - n, a)\) ve \([b, \infty) = \bigcup_{n \ge 1} [b, b + n)\) yazılışları, bu iki kümenin \(\mathbb{R}_\ell\)’nin baz elemanlarının birleşimi olduğunu, dolayısıyla Lemma 8.1 gereği açık olduğunu gösterir. Birleşimleri de açıktır. Tümleyeni açık olan \([a, b)\) kapalıdır.
f) \(\mathcal{S}\)’nin birleşimi \(X\) olduğundan \(\mathcal{S}\) bir alt bazdır. Sonlu kesişimler: \(\{1, 2\}\), \(\{2, 3\}\) ve \(\{1, 2\} \cap \{2, 3\} = \{2\}\). Bu üç kümenin ailesi (a) şıkkındaki \(\mathcal{B}'\) bazıdır; ürettiği topoloji
\[\tau_{\mathcal{S}} = \{\varnothing,\ \{2\},\ \{1, 2\},\ \{2, 3\},\ X\}.\]
(a) şıkkında baz olmayan \(\mathcal{S}\) ailesi, alt baz olarak bir topoloji üretir; eksik olan \(\{2\}\) kümesi sonlu kesişim adımında kendiliğinden eklenir.
\(\blacksquare\)
Baz ve alt baz kavramlarını sıralı kümelere uygulayarak açık aralıklardan ve ışınlardan yeni topolojiler kuracağız: Sıra Topolojisi.