11 Alt Uzay Topolojisi
Çarpım Topolojisi bölümünde iki topolojik uzaydan yeni bir topolojik uzay kurduk. Bu bölümde ters yönde bir soru soruyoruz: elimizde bir \((X, \tau)\) topolojik uzayı ve onun bir \(Y \subseteq X\) alt kümesi varsa, \(Y\) üzerinde \(X\)’in topolojisinden “miras kalan” doğal bir topoloji var mıdır? Örneğin \([0, 1]\) aralığı gerçel doğrunun bir alt kümesidir; \(\mathbb{R}\) üzerindeki standart topolojiyi kullanarak \([0, 1]\) üzerinde bir topoloji tanımlayabilir miyiz?
Cevap evet ve yöntem çok basittir: \(X\)’in her açık kümesini \(Y\) ile kesiştiririz. Elde edilen kesişimlerin ailesi \(Y\) üzerinde bir topolojidir; buna alt uzay topolojisi (subspace topology) denir. Bu bölümde önce bu ailenin topoloji aksiyomlarını sağladığını doğrulayacak, sonra \(X\)’in bir bazından \(Y\)’nin bir bazını nasıl elde edeceğimizi göreceğiz. Ardından dikkat gerektiren bir ayrımı ele alacağız: bir kümenin “\(Y\)’de açık” olması ile “\(X\)’te açık” olması aynı şey değildir.
Bölümün ikinci yarısında alt uzay topolojisinin daha önce kurduğumuz iki topolojiyle ilişkisini inceleyeceğiz. Çarpım topolojisiyle ilişki beklendiği gibidir: \(A \subseteq X\) ve \(B \subseteq Y\) alt uzayları için \(A \times B\) üzerinde çarpım topolojisi ile \(X \times Y\)’den miras kalan alt uzay topolojisi aynıdır. Sıra topolojisiyle ilişki ise beklenmedik bir biçimde bozulabilir: sıralı bir kümenin alt kümesi üzerinde sıra topolojisi ile alt uzay topolojisi bazen çakışır, bazen çakışmaz. Her iki durumu da somut örneklerle göreceğiz.
Bu bölümde önceki bölümlerden şunları kullanacağız.
- Topoloji Tanımı ve İlk Örnekler bölümündeki tanıma göre \(X\) kümesi üzerinde bir \(\tau \subseteq \mathcal{P}(X)\) ailesi üç aksiyomu sağlıyorsa topolojidir: (T1) \(\varnothing \in \tau\) ve \(X \in \tau\); (T2) \(\tau\)’nun iki (dolayısıyla sonlu sayıda) elemanının kesişimi \(\tau\)’dadır; (T3) \(\tau\)’nun herhangi bir alt ailesinin birleşimi \(\tau\)’dadır.
- Baz ve Alt Baz bölümündeki baz ölçütü: \((X, \tau)\) bir topolojik uzay, \(\mathcal{C}\) ise \(X\)’in açık kümelerinden oluşan bir aile olsun. Her açık \(U \subseteq X\) ve her \(x \in U\) için \(x \in C \subseteq U\) olacak biçimde bir \(C \in \mathcal{C}\) varsa \(\mathcal{C}\), \(\tau\) için bir bazdır. Ayrıca \(\mathcal{B}\) bir bazsa, ürettiği topolojide açık kümeler tam olarak \(\mathcal{B}\)’nin elemanlarının birleşimleridir; özel olarak her baz elemanı açıktır.
- Çarpım Topolojisi bölümüne göre \(X \times Y\) üzerindeki çarpım topolojisi, \(U \subseteq X\) ve \(V \subseteq Y\) açık olmak üzere bütün \(U \times V\) kümelerinden oluşan bazın ürettiği topolojidir.
- Sıra Topolojisi bölümüne göre tam sıralı bir \((X, <)\) kümesinde sıra topolojisinin bazı üç tür kümeden oluşur: \(a < b\) için açık aralıklar \((a, b)\); \(X\)’in en küçük elemanı \(a_0\) varsa \([a_0, b)\) aralıkları; \(X\)’in en büyük elemanı \(b_0\) varsa \((a, b_0]\) aralıkları. Gerçel sayılar üzerindeki sıra topolojisi standart topolojidir; bazı açık aralıklardır.
11.1 Alt Uzay Topolojisinin Tanımı
\((X, \tau)\) bir topolojik uzay ve \(Y \subseteq X\) olsun. \(Y\)’nin kendi başına bir topolojik uzay olmasını, ama açık kümelerinin \(X\)’in açık kümelerinden gelmesini istiyoruz. \(X\)’in açık bir \(U\) kümesi genel olarak \(Y\)’nin alt kümesi değildir; \(Y\)’nin içinde kalan kısmı \(Y \cap U\) kesişimidir. İşte bu kesişimleri \(Y\)’nin açık kümeleri ilan edeceğiz.
Tanım 11.1 (Alt Uzay Topolojisi) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay ve \(Y \subseteq X\) bir alt küme olsun.
\[ \tau_Y = \{\, Y \cap U : U \in \tau \,\} \]
ailesine \(Y\) üzerindeki alt uzay topolojisi (subspace topology) denir. \(\tau_Y\) topolojisiyle donatılmış \(Y\) kümesine \(X\)’in bir alt uzayı (subspace) denir.
Yani \(Y\)’nin açık kümeleri, \(X\)’in açık kümelerinin \(Y\) ile bütün kesişimleridir: \(X\)’te açık olan her kümeyi alır, \(Y\)’nin dışında kalan parçasını atarız; geriye kalan, \(Y\)’de açıktır. Bu tanım \(\tau_Y\)’nin bir aile olduğunu söyler; onun gerçekten bir topoloji olduğunu, yani (T1)–(T3) aksiyomlarını sağladığını göstermemiz gerekir. Bu doğrulama olmadan “alt uzay topolojisi” adı yalnızca bir isimden ibaret kalır.
Teorem 11.1 (Alt Uzay Topolojisi Bir Topolojidir) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay ve \(Y \subseteq X\) olsun. \(\tau_Y = \{Y \cap U : U \in \tau\}\) ailesi \(Y\) üzerinde bir topolojidir.
İspat
Üç aksiyomu sırayla kontrol edeceğiz. Her adımda kullanacağımız tek şey, \(\tau\)’nun \(X\) üzerinde bir topoloji olması ve basit küme eşitlikleridir.
(T1) \(\varnothing \in \tau_Y\) ve \(Y \in \tau_Y\) olmalıdır. \(\tau\) bir topoloji olduğundan (T1) gereği \(\varnothing \in \tau\) ve \(X \in \tau\). Şimdi
\[ \varnothing = Y \cap \varnothing \qquad \text{ve} \qquad Y = Y \cap X \]
yazabiliriz. Birinci eşitlik doğrudur, çünkü boş kümeyle kesişim boştur. İkinci eşitlik doğrudur, çünkü \(Y \subseteq X\) olduğundan \(Y\)’nin her elemanı \(X\)’tedir; dolayısıyla \(Y \cap X = Y\). Her iki küme de “\(Y \cap (\tau\text{'nun bir elemanı})\)” biçiminde olduğundan tanım gereği \(\tau_Y\)’ye aittir.
(T2) \(\tau_Y\)’nin iki elemanının kesişiminin \(\tau_Y\)’de olduğunu gösterelim. \(W_1, W_2 \in \tau_Y\) olsun. Tanım gereği \(W_1 = Y \cap U_1\) ve \(W_2 = Y \cap U_2\) olacak biçimde \(U_1, U_2 \in \tau\) vardır. Kesişim işleminin değişme ve birleşme özellikleri ile \(Y \cap Y = Y\) eşitliğinden
\[ W_1 \cap W_2 = (Y \cap U_1) \cap (Y \cap U_2) = Y \cap (U_1 \cap U_2) \]
elde edilir. \(\tau\) bir topoloji olduğundan (T2) gereği \(U_1 \cap U_2 \in \tau\). O hâlde \(W_1 \cap W_2\), \(Y\) ile \(\tau\)’nun bir elemanının kesişimidir; yani \(W_1 \cap W_2 \in \tau_Y\). Aynı akıl yürütme tümevarımla sonlu sayıda kümeye genişler: \(U_1, \dots, U_n \in \tau\) için
\[ (Y \cap U_1) \cap \cdots \cap (Y \cap U_n) = Y \cap (U_1 \cap \cdots \cap U_n) \]
ve sağ taraftaki parantez \(\tau\)’dadır.
(T3) \(\tau_Y\)’nin herhangi bir alt ailesinin birleşiminin \(\tau_Y\)’de olduğunu gösterelim. \(\{W_\alpha\}_{\alpha \in J}\), \(\tau_Y\)’nin elemanlarından oluşan bir aile olsun. Her \(\alpha \in J\) için \(W_\alpha = Y \cap U_\alpha\) olacak biçimde bir \(U_\alpha \in \tau\) seçelim. İddia ediyoruz ki
\[ \bigcup_{\alpha \in J} (Y \cap U_\alpha) = Y \cap \Big( \bigcup_{\alpha \in J} U_\alpha \Big). \]
Bunu iki yönlü kapsama ile gösterelim. \(x\) sol taraftaki birleşimde olsun; o zaman bir \(\alpha\) için \(x \in Y \cap U_\alpha\), yani \(x \in Y\) ve \(x \in U_\alpha\). \(x \in U_\alpha\) olduğundan \(x\), \(U_\alpha\)’ların birleşimindedir; \(x \in Y\) ile birlikte \(x\) sağ taraftadır. Tersine \(x\) sağ tarafta olsun; o zaman \(x \in Y\) ve \(x\), \(U_\alpha\)’ların birleşimindedir, yani bir \(\alpha\) için \(x \in U_\alpha\). Dolayısıyla \(x \in Y \cap U_\alpha\) ve \(x\) sol taraftaki birleşimdedir.
\(\tau\) bir topoloji olduğundan (T3) gereği \(\bigcup_{\alpha \in J} U_\alpha \in \tau\). Böylece \(\bigcup_{\alpha \in J} W_\alpha\), \(Y\) ile \(\tau\)’nun bir elemanının kesişimi olarak \(\tau_Y\)’ye aittir.
Üç aksiyom da sağlandığından \(\tau_Y\), \(Y\) üzerinde bir topolojidir.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: “\(Y\) ile kesiştirme” işlemi kesişimle ve birleşimle uyumludur; bu yüzden \(\tau\)’nun aksiyomları doğrudan \(\tau_Y\)’ye aktarılır.
Tanımı birkaç basit durumda deneyelim. Bu örnekler hem tanımın nasıl işlediğini gösterir hem de ileride sık kullanacağımız iki gerçeği verir: ayrık uzayın her alt uzayı ayrıktır, en kaba topolojinin her alt uzayı en kaba topolojiyi taşır.
Örnek 11.1 (Alt Uzay Topolojisinin İlk Örnekleri) a) \(X = \{1, 2, 3, 4\}\) kümesi üzerinde \(\tau = \{\varnothing, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, X\}\) topolojisini alalım (\(\tau\) bir topolojidir: \(\varnothing\) ve \(X\) ailededir; elemanları \(\varnothing \subseteq \{1\} \subseteq \{1, 2\} \subseteq \{1, 2, 3\} \subseteq X\) biçiminde iç içe bir zincir oluşturduğundan, herhangi bir alt ailenin kesişimi o alt ailenin en küçük elemanı, birleşimi en büyük elemanıdır; ikisi de \(\tau\)’dadır). \(Y = \{2, 4\}\) alt uzayının topolojisini bulalım.
b) \((X, \tau)\) ayrık topolojik uzay olsun, yani \(\tau = \mathcal{P}(X)\). Her \(Y \subseteq X\) için \(\tau_Y\)’nin \(Y\) üzerindeki ayrık topoloji olduğunu gösterelim.
c) \((X, \tau)\) en kaba topolojiyi taşısın, yani \(\tau = \{\varnothing, X\}\). Her \(Y \subseteq X\) için \(\tau_Y = \{\varnothing, Y\}\) olduğunu gösterelim.
d) \(\mathbb{R}\) standart topolojiyle verilsin ve \(Y = (0, 1)\) olsun. \((0, 1)\) aralığının bir alt kümesinin \(Y\)’de açık olması ile \(\mathbb{R}\)’de açık olması aynı şey midir?
Çözüm
a) \(\tau_Y\)’nin elemanlarını bulmak için \(\tau\)’nun her elemanını \(Y = \{2, 4\}\) ile kesiştiririz:
\[ Y \cap \varnothing = \varnothing,\quad Y \cap \{1\} = \varnothing,\quad Y \cap \{1, 2\} = \{2\},\quad Y \cap \{1, 2, 3\} = \{2\},\quad Y \cap X = \{2, 4\}. \]
Dolayısıyla \(\tau_Y = \{\varnothing, \{2\}, \{2, 4\}\}\). Farklı açık kümelerin \(Y\) ile kesişimlerinin çakışabildiğine dikkat edin: \(\{1\}\) ve \(\varnothing\) aynı kesişimi, \(\{1, 2\}\) ve \(\{1, 2, 3\}\) aynı kesişimi verdi. \(\{4\}\) kümesi \(Y\)’de açık değildir, çünkü \(\tau\)’nun \(4\)’ü içeren tek elemanı \(X\)’tir ve \(Y \cap X = \{2, 4\} \neq \{4\}\).
b) \(W \subseteq Y\) herhangi bir alt küme olsun. \(Y \subseteq X\) olduğundan \(W \subseteq X\)’tir ve ayrık topolojide her alt küme açık olduğundan \(W \in \tau\). \(W \subseteq Y\) olduğundan \(Y \cap W = W\); yani \(W\), \(Y\) ile \(\tau\)’nun bir elemanının kesişimidir ve \(W \in \tau_Y\). \(Y\)’nin her alt kümesi \(\tau_Y\)’de olduğuna göre \(\tau_Y = \mathcal{P}(Y)\), yani \(Y\) üzerindeki ayrık topolojidir.
c) \(\tau\)’nun yalnızca iki elemanı vardır; kesişimler \(Y \cap \varnothing = \varnothing\) ve \(Y \cap X = Y\)’dir. O hâlde \(\tau_Y = \{\varnothing, Y\}\), yani \(Y\) üzerindeki en kaba topolojidir.
d) Evet. Bir \(W \subseteq (0, 1)\) kümesi alalım. \(W\), \(Y\)’de açıksa \(\mathbb{R}\)’de açık bir \(U\) için \(W = (0, 1) \cap U\)’dur; \((0, 1)\) ve \(U\) ikisi de \(\mathbb{R}\)’de açık olduğundan (T2) gereği kesişimleri de \(\mathbb{R}\)’de açıktır. Tersine \(W\), \(\mathbb{R}\)’de açıksa \(W \subseteq (0, 1)\) olduğundan \(W = (0, 1) \cap W\) yazılır ve bu, \(W\)’nin \(Y\)’de açık olduğunu gösterir. Bu iki yönlü uyumun nedeni \(Y = (0, 1)\)’in kendisinin \(\mathbb{R}\)’de açık olmasıdır; bunu birazdan genel olarak ispatlayacağız.
\(\blacksquare\)
11.2 Alt Uzayın Bazı
Bir topolojiyi bütün açık kümelerini sıralayarak değil, bir bazını vererek tanımlamak çoğu zaman daha kolaydır. \(X\)’in bir \(\mathcal{B}\) bazı elimizdeyse \(Y\) alt uzayı için de hazır bir baz elde edebilir miyiz? Doğal aday, baz elemanlarının \(Y\) ile kesişimleridir. Aşağıdaki lemma bu adayın işe yaradığını söyler; örneğin \(\mathbb{R}\)’nin bir alt kümesi üzerinde alt uzay topolojisini incelerken bütün açık kümelerle değil, yalnızca açık aralıklarla uğraşmamıza izin verir.
Lemma 11.1 (Alt Uzay Topolojisinin Bazı) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay, \(\mathcal{B}\) bu topoloji için bir baz ve \(Y \subseteq X\) olsun. O zaman
\[ \mathcal{B}_Y = \{\, B \cap Y : B \in \mathcal{B} \,\} \]
ailesi, \(Y\) üzerindeki \(\tau_Y\) alt uzay topolojisi için bir bazdır.
İspat
Baz ölçütünü \((Y, \tau_Y)\) uzayında uygulayacağız. Bunun için iki şey göstermeliyiz: \(\mathcal{B}_Y\)’nin her elemanı \(Y\)’de açıktır ve \(Y\)’nin her açık kümesinin her noktası, o kümenin içinde kalan bir \(\mathcal{B}_Y\) elemanına aittir.
\(\mathcal{B}_Y\)’nin elemanları \(Y\)’de açıktır. \(B \in \mathcal{B}\) olsun. Her baz elemanı ürettiği topolojide açık olduğundan \(B \in \tau\). O hâlde \(B \cap Y = Y \cap B\), \(Y\) ile \(\tau\)’nun bir elemanının kesişimidir; tanım gereği \(B \cap Y \in \tau_Y\).
Baz ölçütünün ikinci koşulu. \(W\), \(Y\)’de açık bir küme ve \(y \in W\) olsun. \(W \in \tau_Y\) olduğundan \(X\)’te açık bir \(U\) için \(W = U \cap Y\)’dir. \(y \in W\) olduğundan \(y \in U\) ve \(y \in Y\). \(\mathcal{B}\), \(X\)’in topolojisi için bir baz ve \(U\), \(X\)’te açık olduğundan bazın ürettiği topolojinin tanımı gereği \(y \in B \subseteq U\) olacak biçimde bir \(B \in \mathcal{B}\) vardır. Şimdi \(y \in B\) ve \(y \in Y\) olduğundan \(y \in B \cap Y\); ayrıca \(B \subseteq U\) olduğundan \(B \cap Y \subseteq U \cap Y = W\). Böylece
\[ y \in B \cap Y \subseteq W \]
ve \(B \cap Y \in \mathcal{B}_Y\)’dir. İstenen tam olarak buydu.
Baz ölçütü gereği \(\mathcal{B}_Y\), \(\tau_Y\) için bir bazdır.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: \(X\)’te \(y\)’yi \(U\)’nun içinde yakalayan baz elemanını \(Y\) ile kesiştirince, \(Y\)’de \(y\)’yi \(U \cap Y\)’nin içinde yakalayan bir küme elde edilir.
Bu lemmanın ilk sonucu, gerçel sayıların alt kümeleri için şudur: \(Y \subseteq \mathbb{R}\) üzerindeki alt uzay topolojisinin bir bazı, \(a < b\) gerçel sayıları için \((a, b) \cap Y\) biçimindeki kümelerden oluşur. Örneğin \(\mathbb{Q}\) üzerindeki alt uzay topolojisinin bazı, \((a, b) \cap \mathbb{Q}\) biçimindeki “rasyonel aralıklardır”.
11.3 “Y’de Açık” ile “X’te Açık”
Alt uzaylarla çalışırken aynı anda iki topolojik uzay vardır: \((X, \tau)\) ve \((Y, \tau_Y)\). “Açık küme” dendiğinde hangi uzaydan söz edildiği belirtilmezse karışıklık çıkar. Bu yüzden dili netleştirelim.
Tanım 11.2 (Y’de Açık, X’te Açık) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay ve \(Y \subseteq X\) bir alt uzay olsun. Bir \(U\) kümesi \(\tau_Y\) topolojisine aitse \(U\)’ya \(Y\)’de açık (\(Y\)’ye göre açık, open relative to \(Y\)) denir. Bir \(U\) kümesi \(\tau\) topolojisine aitse \(U\)’ya \(X\)’te açık denir.
Yani “\(U\), \(Y\)’de açıktır” demek, \(X\)’te açık bir \(V\) için \(U = Y \cap V\) demektir; bu, özel olarak \(U \subseteq Y\) olmasını gerektirir, çünkü \(Y\) ile bir kümenin kesişimi daima \(Y\)’nin alt kümesidir. “\(U\), \(X\)’te açıktır” demek ise \(U\)’nun doğrudan \(\tau\)’nun bir elemanı olması demektir. Bu iki kavram genel olarak farklıdır; aşağıdaki örnek bunu gösterir.
Bir kümenin \(Y\)’de açık olması, \(X\)’in açık bir kümesiyle \(Y\)’nin kesişimi olmasıdır. Bu kesişim \(X\)’te açık olmayabilir. Aynı biçimde bir kümenin \(X\)’te açık olması onun \(Y\)’de açık olduğunu söylemez; küme \(Y\)’nin alt kümesi bile olmayabilir. Hangi uzayda çalıştığınızı her zaman belirtin.
Örnek 11.2 (Y’de Açık Ama X’te Açık Olmayan Küme) \(\mathbb{R}\) standart topolojiyle verilsin ve \(Y = [0, 1]\) alt uzayını alalım. \(U = [0, \tfrac{1}{2})\) kümesinin \(Y\)’de açık olduğunu ama \(\mathbb{R}\)’de açık olmadığını gösterelim.
Çözüm
\(U\), \(Y\)’de açıktır. \((-1, \tfrac{1}{2})\) açık aralığı \(\mathbb{R}\)’de açıktır ve
\[ [0, 1] \cap (-1, \tfrac{1}{2}) = \{x : 0 \le x \le 1 \text{ ve } -1 < x < \tfrac{1}{2}\} = \{x : 0 \le x < \tfrac{1}{2}\} = [0, \tfrac{1}{2}). \]
Gerçekten, \(0 \le x\) ve \(-1 < x\) koşullarının ikisi birden “\(0 \le x\)” ile, \(x \le 1\) ve \(x < \tfrac{1}{2}\) koşullarının ikisi birden “\(x < \tfrac{1}{2}\)” ile denktir. Dolayısıyla \(U\), \(Y\) ile \(\mathbb{R}\)’nin açık bir kümesinin kesişimidir; tanım gereği \(Y\)’de açıktır.
\(U\), \(\mathbb{R}\)’de açık değildir. \(\mathbb{R}\)’de açık bir küme, her noktasını içeren bir açık aralığı da içerir. \(0 \in U\) noktasını ele alalım. \(0\)’ı içeren herhangi bir \((a, b)\) açık aralığında \(a < 0 < b\)’dir; \(a < a/2 < 0\) olduğundan \(a/2 \in (a, b)\), ama \(a/2 < 0\) olduğundan \(a/2 \notin U\). Yani \(0\)’ı içeren hiçbir açık aralık \(U\)’nun içinde kalmaz; \(U\), \(\mathbb{R}\)’de açık değildir.
\(\blacksquare\)
Bu örnekte sorun, \(Y = [0, 1]\)’in kendisinin \(\mathbb{R}\)’de açık olmamasıydı. Örnek 11.1’in (d) şıkkında ise \(Y = (0, 1)\) açıktı ve iki kavram çakıştı. Bu bir rastlantı değildir: \(Y\), \(X\)’te açıksa “\(Y\)’de açık” olmak “\(X\)’te açık” olmayı gerektirir. Bu küçük lemma pratikte çok kullanılır; örneğin bir açık kümenin içinde çalışırken açıklığı her seferinde iki uzayda ayrı ayrı kontrol etmek zorunda kalmayız.
Lemma 11.2 (Açık Alt Uzayda Açık Kümeler) \(Y\), \(X\) topolojik uzayının bir alt uzayı olsun. \(U\), \(Y\)’de açık ve \(Y\), \(X\)’te açık ise \(U\), \(X\)’te açıktır.
İspat
\(U\), \(Y\)’de açık olduğundan alt uzay topolojisinin tanımı gereği \(X\)’te açık bir \(V\) kümesi için \(U = Y \cap V\) yazılır. Varsayım gereği \(Y\) de \(X\)’te açıktır. \(Y\) ve \(V\) ikisi de \(X\)’te açık olduğundan (T2) aksiyomu gereği kesişimleri \(Y \cap V\) de \(X\)’te açıktır. \(U = Y \cap V\) olduğuna göre \(U\), \(X\)’te açıktır.
\(\blacksquare\)
Lemmanın tersi de doğrudur: \(Y\)’de açık olan her küme \(X\)’te açıksa \(Y\), \(X\)’te açıktır; çünkü \(Y = Y \cap X\) kümesi \(Y\)’de açıktır. Bu iki gözlem birlikte alındığında “\(Y\)’de açıklık ile \(X\)’te açıklık çakışır” ifadesinin tam olarak \(Y\)’nin \(X\)’te açık olması durumunda geçerli olduğunu söyler.
11.4 Alt Uzay ile Çarpım Topolojisinin Uyumu
Elimizde artık uzaylardan yeni uzay üretmenin üç yolu var: sıra topolojisi, çarpım topolojisi ve alt uzay topolojisi. Doğal soru şudur: bu kurma işlemleri birbiriyle uyumlu mudur? Somut olarak, \(A \subseteq X\) ve \(B \subseteq Y\) olsun. \(A \times B\) kümesi üzerinde iki topoloji tanımlayabiliriz:
1. Önce \(A\)’ya ve \(B\)’ye alt uzay topolojilerini verir, sonra \(A \times B\) üzerinde bu iki uzayın çarpım topolojisini kurarız.
2. Önce \(X \times Y\) üzerinde çarpım topolojisini kurar, sonra \(A \times B \subseteq X \times Y\) alt kümesine alt uzay topolojisini veririz.
Çarpım topolojisi için sonuç beklendiği gibidir: iki topoloji aynıdır. Yani “önce kısıtla sonra çarp” ile “önce çarp sonra kısıtla” aynı kapıya çıkar. İspatın anahtarı basit bir küme eşitliğidir: bir dikdörtgeni bir dikdörtgenle kesiştirmek, kenarları kesiştirmekle aynıdır.
Teorem 11.2 (Alt Uzay ile Çarpım Topolojisinin Uyumu) \(A\), \(X\) topolojik uzayının bir alt uzayı ve \(B\), \(Y\) topolojik uzayının bir alt uzayı olsun. \(A \times B\) üzerindeki çarpım topolojisi, \(A \times B\)’nin \(X \times Y\)’nin bir alt uzayı olarak devraldığı alt uzay topolojisiyle aynıdır.
İspat
Bu ispatta \(X\)’in topolojisini \(\tau_X\), \(Y\)’nin topolojisini \(\tau_Y\) ile gösterelim; burada \(Y\) bir alt uzay değil, kendi başına bir topolojik uzaydır. İki topolojinin de birer bazını bulacak ve bu bazların aynı aile olduğunu göstereceğiz. Aynı bazın ürettiği topoloji tektir (bazın ürettiği topoloji, bazın elemanlarının bütün birleşimlerinden oluşur); dolayısıyla bazlar aynıysa topolojiler de aynıdır.
Adım 1: Küme eşitliği. Her \(U \subseteq X\), \(V \subseteq Y\) için
\[ (U \times V) \cap (A \times B) = (U \cap A) \times (V \cap B) \]
olduğunu gösterelim. Bir \((x, y)\) sıralı ikilisi sol taraftadır ancak ve ancak \((x, y) \in U \times V\) ve \((x, y) \in A \times B\); kartezyen çarpımın tanımı gereği bu, “\(x \in U\) ve \(y \in V\) ve \(x \in A\) ve \(y \in B\)” demektir. Koşulları yeniden gruplarsak “\(x \in U \cap A\) ve \(y \in V \cap B\)” elde ederiz; bu da tam olarak \((x, y) \in (U \cap A) \times (V \cap B)\) demektir. Her iki yön de aynı denklik zinciriyle görüldüğünden eşitlik ispatlanmıştır.
Adım 2: Alt uzay topolojisinin bazı. \(X \times Y\) üzerindeki çarpım topolojisinin bazı, \(U\) \(X\)’te açık ve \(V\) \(Y\)’de açık olmak üzere \(U \times V\) kümelerinden oluşan
\[ \mathcal{B} = \{U \times V : U \in \tau_X,\ V \in \tau_Y\} \]
ailesidir. Lemma 11.1’a göre \(A \times B\) üzerindeki alt uzay topolojisinin bir bazı, bu baz elemanlarının \(A \times B\) ile kesişimleridir:
\[ \mathcal{B}_{A \times B} = \{(U \times V) \cap (A \times B) : U \in \tau_X,\ V \in \tau_Y\}. \]
Adım 1’deki eşitliği kullanırsak
\[ \mathcal{B}_{A \times B} = \{(U \cap A) \times (V \cap B) : U \in \tau_X,\ V \in \tau_Y\}. \]
Adım 3: Çarpım topolojisinin bazı. \(A\) üzerindeki alt uzay topolojisi \(\tau_A = \{U \cap A : U \in \tau_X\}\), \(B\) üzerindeki alt uzay topolojisi \(\tau_B = \{V \cap B : V \in \tau_Y\}\)’dir. \(A \times B\) üzerindeki çarpım topolojisinin bazı, tanım gereği \(A\)’da açık bir küme ile \(B\)’de açık bir kümenin çarpımlarından oluşur:
\[ \mathcal{C} = \{U' \times V' : U' \in \tau_A,\ V' \in \tau_B\}. \]
\(U' \in \tau_A\) demek, bir \(U \in \tau_X\) için \(U' = U \cap A\) demektir; \(V' \in \tau_B\) demek, bir \(V \in \tau_Y\) için \(V' = V \cap B\) demektir. O hâlde
\[ \mathcal{C} = \{(U \cap A) \times (V \cap B) : U \in \tau_X,\ V \in \tau_Y\}. \]
Adım 4: Sonuç. Adım 2 ve Adım 3’teki aileler harfi harfine aynıdır: \(\mathcal{B}_{A \times B} = \mathcal{C}\). Alt uzay topolojisi \(\mathcal{B}_{A \times B}\) bazının ürettiği topoloji, çarpım topolojisi \(\mathcal{C}\) bazının ürettiği topolojidir. Bazlar aynı olduğundan ürettikleri topolojiler de aynıdır.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: \((U \times V) \cap (A \times B) = (U \cap A) \times (V \cap B)\) eşitliği sayesinde iki topolojinin bazları aynı kümelerden oluşur.
Bu teoremin somut bir yararı şudur: \([0, 1] \times [0, 1]\) birim karesi üzerinde çalışırken, onu düzlemin bir alt uzayı olarak mı yoksa iki \([0, 1]\) alt uzayının çarpımı olarak mı gördüğümüzün önemi yoktur; açık kümeler aynıdır.
11.5 Alt Uzay ile Sıra Topolojisinin Karşılaştırılması
Şimdi aynı soruyu sıra topolojisi için soralım. \((X, <)\) tam sıralı bir küme ve \(Y \subseteq X\) olsun. \(X\)’in sıralaması \(Y\)’nin elemanlarını da karşılaştırır; bu yüzden \(Y\) kendi başına bir tam sıralı kümedir ve kendi sıra topolojisine sahiptir. Öte yandan \(X\) üzerinde sıra topolojisi verildiğinde \(Y\), bu uzayın bir alt uzayıdır ve bir alt uzay topolojisi taşır. \(Y\) üzerindeki bu iki topoloji aynı mıdır?
Tanım 11.3 (Kısıtlanmış Sıralama ve Y Üzerindeki İki Topoloji) \((X, <)\) tam sıralı bir küme ve \(Y \subseteq X\) olsun. \(y_1, y_2 \in Y\) için “\(y_1 <_Y y_2\) ancak ve ancak \(y_1 < y_2\)” ile tanımlanan \(<_Y\) bağıntısına \(<\) sıralamasının \(Y\)’ye kısıtlanması (restriction) denir. \(Y\) üzerinde iki topoloji vardır:
- \((Y, <_Y)\) tam sıralı kümesinin sıra topolojisi;
- \(X\) sıra topolojisiyle donatıldığında \(Y \subseteq X\) alt kümesinin alt uzay topolojisi.
Yani \(Y\)’nin elemanlarını \(X\)’te nasıl karşılaştırıyorsak öyle karşılaştırmaya devam ederiz; başka bir sıralama icat etmeyiz. \(<_Y\) gerçekten bir tam sıralamadır: tam sıralamanın üç koşulu (farklı iki elemandan biri ötekinden küçüktür; hiçbir eleman kendinden küçük değildir; \(y_1 < y_2\) ve \(y_2 < y_3\) ise \(y_1 < y_3\)) \(X\)’in bütün elemanları için doğru olduğundan, özel olarak \(Y\)’nin elemanları için de doğrudur. Ancak dikkat: \(Y\)’nin en küçük ya da en büyük elemanı, \(X\)’in olmasa bile var olabilir. Örneğin \(\mathbb{R}\)’nin en küçük elemanı yoktur ama \([0, 1]\)’in vardır. Bu yüzden \(Y\)’nin sıra topolojisinin bazında \([a_0, b)\) ve \((a, b_0]\) türünden kümeler ortaya çıkabilir; bu da iki topolojinin farklı olabilmesinin nedenidir.
Sonuç, çarpım topolojisindeki kadar temiz değildir: iki topoloji bazen çakışır, bazen çakışmaz. Önce çakıştıkları bir örnek görelim.
Örnek 11.3 (Kapalı Aralıkta Sıra ve Alt Uzay Topolojileri Çakışır) Gerçel doğrunun \(Y = [0, 1]\) alt kümesini ele alalım. \(Y\) üzerindeki alt uzay topolojisi ile (\(\mathbb{R}\)’den kısıtlanan alışılmış sıralamaya göre) sıra topolojisinin aynı olduğunu gösterelim.
Çözüm
İki topolojinin de bazını yazacak, sonra her bazın elemanlarının öteki topolojide açık olduğunu göstereceğiz. Bir topolojinin bazının her elemanı bir başka topolojide açıksa, baz elemanlarının bütün birleşimleri de o topolojide açıktır ((T3) gereği); yani birinci topoloji ikincinin içindedir. Her iki yön için bu yapılınca topolojiler eşit olur.
Alt uzay topolojisinin bazı. \(\mathbb{R}\)’nin standart topolojisinin bazı \(a < b\) için \((a, b)\) açık aralıklarıdır. Lemma 11.1’a göre \(Y\)’nin alt uzay topolojisinin bazı \((a, b) \cap Y\) biçimindeki kümelerden oluşur. \(a\) ve \(b\)’nin \(0\) ve \(1\)’e göre konumuna bakarak böyle bir kümenin şu türlerden biri olduğunu görürüz:
(1) \(0 \le a < b \le 1\) ise \((a, b) \cap [0, 1] = (a, b)\); burada \(a, b \in Y\)’dir.
(2) \(a < 0 < b \le 1\) ise \((a, b) \cap [0, 1] = [0, b)\); burada \(b \in Y\) ve \(0 < b\).
(3) \(0 \le a < 1 < b\) ise \((a, b) \cap [0, 1] = (a, 1]\); burada \(a \in Y\) ve \(a < 1\).
(4) \(a < 0\) ve \(1 < b\) ise \((a, b) \cap [0, 1] = [0, 1] = Y\).
(5) \(b \le 0\) ya da \(a \ge 1\) ise \((a, b) \cap [0, 1] = \varnothing\).
Gerçekten, \(x \in (a, b) \cap [0, 1]\) koşulu dört eşitsizliğin birlikte sağlanmasıdır: \(a < x\), \(0 \le x\), \(x < b\), \(x \le 1\). Sol uçtaki iki koşula bakalım: \(a \ge 0\) ise \(a < x\) zaten \(0 \le x\)’i gerektirir, geriye “\(a < x\)” kalır; \(a < 0\) ise \(0 \le x\) zaten \(a < x\)’i gerektirir, geriye “\(0 \le x\)” kalır. Sağ uçta aynı biçimde \(b \le 1\) ise “\(x < b\)”, \(b > 1\) ise “\(x \le 1\)” kalır. Sol ve sağ uçtaki ikişer seçeneğin dört birleşimi, kesişim boş değilse (1)–(4) türlerini verir; aralığın tamamen \([0, 1]\)’in dışında kalması ise (5) türüdür. Bu beş tür, \((a, b)\)’nin \([0, 1]\)’e göre alabileceği bütün konumları kapsar.
Sıra topolojisinin bazı. \(Y = [0, 1]\) tam sıralı kümesinin en küçük elemanı \(0\), en büyük elemanı \(1\)’dir. Dolayısıyla sıra topolojisinin bazı üç tür kümeden oluşur: \(c, d \in Y\) ve \(c < d\) için \((c, d)\) açık aralıkları; \(d \in Y\), \(0 < d\) için \([0, d)\) aralıkları; \(c \in Y\), \(c < 1\) için \((c, 1]\) aralıkları. Burada aralıklar \(Y\) içinde alınmaktadır; örneğin \((c, d)\) ile \(\{y \in Y : c < y < d\}\) kümesi kastedilir. \(Y\)’nin elemanları arasındaki sıralama \(\mathbb{R}\)’dekiyle aynı olduğundan bu küme, \(\mathbb{R}\)’deki \((c, d)\) aralığının \([0, 1]\) ile kesişimidir. \(0 \le c < d \le 1\) olduğundan \(\mathbb{R}\)’deki \((c, d)\) aralığı zaten \([0, 1]\)’in içindedir; yani \(Y\)’deki \((c, d)\) ile \(\mathbb{R}\)’deki \((c, d)\) aynı kümedir. Aynı gerekçe \([0, d)\) ve \((c, 1]\) için de geçerlidir.
Alt uzay topolojisinin baz elemanları sıra topolojisinde açıktır. (1) türünden \((a, b)\) kümesi, \(a, b \in Y\) ve \(a < b\) olduğundan sıra topolojisinin bir baz elemanıdır. (2) türünden \([0, b)\) kümesi, \(b \in Y\) ve \(0 < b\) olduğundan en küçük elemanı içeren türden bir baz elemanıdır. (3) türünden \((a, 1]\) kümesi, \(a \in Y\) ve \(a < 1\) olduğundan en büyük elemanı içeren türden bir baz elemanıdır. (4) türünden \(Y\) ve (5) türünden \(\varnothing\) ise (T1) gereği her topolojide açıktır. Dolayısıyla alt uzay topolojisinin her baz elemanı sıra topolojisinde açıktır; alt uzay topolojisi sıra topolojisinin içindedir.
Sıra topolojisinin baz elemanları alt uzay topolojisinde açıktır. \(c, d \in Y\), \(c < d\) için \((c, d) = (c, d) \cap Y\), (1) türünden bir alt uzay baz elemanıdır. \(d \in Y\), \(0 < d\) için \([0, d) = (-1, d) \cap Y\); gerçekten \(-1 < 0 < d \le 1\) olduğundan bu, (2) türündedir. \(c \in Y\), \(c < 1\) için \((c, 1] = (c, 2) \cap Y\); \(0 \le c < 1 < 2\) olduğundan bu, (3) türündedir. Dolayısıyla sıra topolojisinin her baz elemanı alt uzay topolojisinde açıktır; sıra topolojisi alt uzay topolojisinin içindedir.
İki kapsama birlikte alındığında \([0, 1]\) üzerindeki alt uzay topolojisi ile sıra topolojisi aynıdır.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: \([0, 1]\)’in en küçük ve en büyük elemanı vardır ve sıra topolojisinin bu elemanlar için eklediği \([0, d)\), \((c, 1]\) kümeleri, tam olarak \(0\)’ın solundan ya da \(1\)’in sağından taşan açık aralıkların \([0, 1]\) ile kesişimleridir.
Bu örnekte işleri yoluna koyan şey, \(Y = [0, 1]\)’in \(\mathbb{R}\) içinde “boşluksuz” olmasıydı: \(Y\)’nin iki elemanı arasındaki her gerçel sayı yine \(Y\)’dedir. Bu özellik bozulduğunda iki topoloji ayrılabilir. Aşağıdaki örnek bunu gösterir.
Örnek 11.4 (Sıra ve Alt Uzay Topolojilerinin Çakışmadığı Bir Örnek) Gerçel doğrunun \(Y = [0, 1) \cup \{2\}\) alt kümesini ele alalım. \(\{2\}\) kümesinin \(Y\) üzerindeki alt uzay topolojisinde açık olduğunu, ama \(Y\)’nin sıra topolojisinde açık olmadığını gösterelim. Sonuç olarak iki topoloji farklıdır; dahası sıra topolojisi alt uzay topolojisinden kesinlikle daha kabadır.
Çözüm
\(\{2\}\) alt uzay topolojisinde açıktır. \((\tfrac{3}{2}, \tfrac{5}{2})\) açık aralığı \(\mathbb{R}\)’de açıktır. \(Y\)’nin bu aralıktaki elemanlarını bulalım: \([0, 1)\)’in her elemanı \(1\)’den küçük, dolayısıyla \(\tfrac{3}{2}\)’den küçüktür ve aralığa girmez; \(2\) ise \(\tfrac{3}{2} < 2 < \tfrac{5}{2}\) olduğundan aralıktadır. O hâlde
\[ (\tfrac{3}{2}, \tfrac{5}{2}) \cap Y = \{2\}. \]
\(\{2\}\), \(Y\) ile \(\mathbb{R}\)’nin açık bir kümesinin kesişimi olduğundan alt uzay topolojisinde açıktır.
\(\{2\}\) sıra topolojisinde açık değildir. \((Y, <_Y)\) tam sıralı kümesinin en küçük elemanı \(0\), en büyük elemanı \(2\)’dir (\(Y\)’nin her elemanı \(2\)’den küçük ya da \(2\)’ye eşittir). Sıra topolojisinde \(2\)’yi içeren baz elemanlarını belirleyelim. \((c, d)\) türünden bir açık aralık \(2\)’yi içeremez, çünkü \(2 < d\) olacak bir \(d \in Y\) yoktur. \([0, d)\) türünden bir aralık da \(2\)’yi içeremez, çünkü yine \(2 < d\) gerekir. Geriye en büyük elemanı içeren tür kalır: \(c \in Y\), \(c < 2\) için \((c, 2]\) aralıkları. Böyle bir \(c\) zorunlu olarak \([0, 1)\)’dedir ve
\[ (c, 2] = \{y \in Y : c < y \le 2\} = (c, 1) \cup \{2\}. \]
\(c < 1\) olduğundan \((c, 1)\) aralığı boş değildir; örneğin \(\tfrac{c + 1}{2}\) bu aralıktadır. Dolayısıyla \(2\)’yi içeren her baz elemanı \(2\)’den başka noktalar da içerir.
Şimdi \(\{2\}\)’nin sıra topolojisinde açık olduğunu varsayalım. Bazın ürettiği topolojinin tanımı gereği, \(2 \in \{2\}\) noktası için \(2 \in B \subseteq \{2\}\) olacak bir baz elemanı \(B\) vardır. Ama \(2\)’yi içeren her baz elemanı \(\tfrac{c + 1}{2}\) gibi \(2\)’den farklı bir nokta içerir, dolayısıyla \(\{2\}\)’nin alt kümesi olamaz. Bu çelişkidir; \(\{2\}\) sıra topolojisinde açık değildir.
Sıra topolojisi daha kabadır. Sıra topolojisinin her baz elemanının alt uzay topolojisinde açık olduğunu gösterelim. \(c, d \in Y\), \(c < d\) için \((c, d)\) aralığı \(\mathbb{R}\)’deki \((c, d)\) açık aralığının \(Y\) ile kesişimidir, dolayısıyla alt uzay topolojisinde açıktır. \([0, d) = (-1, d) \cap Y\) ve \((c, 2] = (c, 3) \cap Y\) eşitlikleri de aynı sonucu verir. Baz elemanları alt uzay topolojisinde açık olduğundan (T3) gereği sıra topolojisinin her açık kümesi alt uzay topolojisinde açıktır. \(\{2\}\) kümesi ise alt uzay topolojisinde açık olup sıra topolojisinde açık olmadığından iki topoloji eşit değildir: sıra topolojisi, alt uzay topolojisinden kesinlikle daha kabadır.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: alt uzay topolojisinde \(2\) noktası, \(\mathbb{R}\)’den gelen küçük bir aralıkla yalnız başına yakalanabilir; sıra topolojisi ise yalnızca \(Y\)’nin kendi elemanlarıyla aralık kurabildiğinden \(2\)’ye yaklaşan her aralık \([0, 1)\)’den de bir parça taşımak zorundadır.
Bu iki örnek birlikte şu dersi verir: \(Y\), \(X\)’in içinde bir aralık gibi “dolu” duruyorsa sıra topolojisi ile alt uzay topolojisi uyuşur; \(Y\)’de \(X\)’e göre boşluklar varsa alt uzay topolojisi, komşularından kopuk noktaları tek başına yakalayabildiği için sıra topolojisinden daha ince olabilir. Sıralı bir kümenin alt kümesi üzerinde çalışırken hangi topolojinin kastedildiğini her zaman açıkça belirtmek gerekir. Çakışmayan ikinci bir örnek, \(Y = (0, 1) \cup \{2\}\) kümesi, alıştırmaların (g) şıkkında ele alınmaktadır.
11.6 Alıştırmalar
Alıştırma 11.1 (Alt Uzay Topolojisi Üzerine Alıştırmalar) Aşağıdaki alıştırmalarda \(\mathbb{R}\) daima standart topolojiyle verilmiştir.
a) \(\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{R}\) üzerindeki alt uzay topolojisinin ayrık topoloji olduğunu gösterin.
b) \(\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}\) üzerindeki alt uzay topolojisinin ayrık topoloji olmadığını gösterin.
c) \(Y\), \(X\)’in bir alt uzayı olsun. \(F \subseteq Y\) kümesinin \(Y\)’de kapalı olması için gerek ve yeter koşulun, \(X\)’te kapalı bir \(C\) kümesi için \(F = Y \cap C\) olması olduğunu gösterin. (Bir kümenin bir uzayda kapalı olması, tümleyeninin o uzayda açık olması demektir.)
d) \(Y\), \(X\)’in bir alt uzayı olsun. \(F\), \(Y\)’de kapalı ve \(Y\), \(X\)’te kapalı ise \(F\)’nin \(X\)’te kapalı olduğunu gösterin.
e) \(Z \subseteq Y \subseteq X\) ve \(X\) bir topolojik uzay olsun. \(Z\)’nin, \(X\)’in alt uzayı olarak aldığı topoloji ile \(Y\) alt uzayının alt uzayı olarak aldığı topolojinin aynı olduğunu gösterin.
f) \(Y\), \(X\)’in bir alt uzayı olsun. \(Y\)’de açık olan her kümenin \(X\)’te de açık olması için gerek ve yeter koşulun \(Y\)’nin \(X\)’te açık olması olduğunu gösterin.
g) \(Y = (0, 1) \cup \{2\} \subseteq \mathbb{R}\) olsun. \(Y\) üzerindeki alt uzay topolojisi ile sıra topolojisinin farklı olduğunu gösterin.
Çözüm
a) \(n \in \mathbb{Z}\) olsun. \((n - \tfrac{1}{2}, n + \tfrac{1}{2})\) aralığı \(\mathbb{R}\)’de açıktır ve bu aralıktaki tek tam sayı \(n\)’dir: bir \(m \in \mathbb{Z}\) için \(|m - n| < \tfrac{1}{2}\) ise \(m - n\) mutlak değeri \(1\)’den küçük bir tam sayıdır, yani \(0\)’dır. O hâlde \((n - \tfrac{1}{2}, n + \tfrac{1}{2}) \cap \mathbb{Z} = \{n\}\) ve \(\{n\}\) alt uzay topolojisinde açıktır. Şimdi herhangi bir \(W \subseteq \mathbb{Z}\) alalım; \(W = \bigcup_{n \in W} \{n\}\) açık kümelerin birleşimi olduğundan (T3) gereği açıktır. Her alt küme açık olduğuna göre topoloji ayrıktır.
b) \(\{0\}\) kümesinin \(\mathbb{Q}\)’da açık olmadığını gösterelim. Açık olsaydı Lemma 11.1’a göre \(0 \in (a, b) \cap \mathbb{Q} \subseteq \{0\}\) olacak bir \((a, b)\) açık aralığı olurdu; yani \(a < 0 < b\) ve \((a, b)\) aralığında \(0\)’dan başka rasyonel sayı bulunmazdı. Oysa \(b > 0\) olduğundan Arşimet özelliği gereği \(\tfrac{1}{n} < b\) olacak bir \(n \in \mathbb{Z}^+\) vardır ve \(\tfrac{1}{n}\), \((0, b) \subseteq (a, b)\) aralığında \(0\)’dan farklı bir rasyonel sayıdır. Bu çelişkidir; \(\{0\}\) açık değildir, dolayısıyla topoloji ayrık değildir.
c) Gereklilik. \(F\), \(Y\)’de kapalı olsun. O zaman \(Y \setminus F\), \(Y\)’de açıktır; alt uzay topolojisinin tanımı gereği \(X\)’te açık bir \(U\) için \(Y \setminus F = Y \cap U\). \(C = X \setminus U\) diyelim; \(C\), \(X\)’te kapalıdır. İddia: \(F = Y \cap C\). \(y \in Y\) olsun. \(y \in F\) ise \(y \notin Y \setminus F = Y \cap U\), dolayısıyla \(y \notin U\) (çünkü \(y \in Y\)), yani \(y \in C\) ve \(y \in Y \cap C\). Tersine \(y \in Y \cap C\) ise \(y \notin U\), dolayısıyla \(y \notin Y \cap U = Y \setminus F\); \(y \in Y\) olduğundan \(y \in F\).
Yeterlilik. \(X\)’te kapalı bir \(C\) için \(F = Y \cap C\) olsun. \(U = X \setminus C\), \(X\)’te açıktır. \(Y \setminus F = Y \setminus (Y \cap C) = \{y \in Y : y \notin C\} = Y \cap (X \setminus C) = Y \cap U\); bu küme \(Y\)’de açıktır. Tümleyeni \(Y\)’de açık olduğundan \(F\), \(Y\)’de kapalıdır.
d) (c) şıkkına göre \(X\)’te kapalı bir \(C\) için \(F = Y \cap C\)’dir. \(Y\) ve \(C\) ikisi de \(X\)’te kapalı olduğundan tümleyenleri \(X \setminus Y\) ve \(X \setminus C\) açıktır; De Morgan kuralına göre \(X \setminus (Y \cap C) = (X \setminus Y) \cup (X \setminus C)\) iki açık kümenin birleşimi olarak (T3) gereği açıktır. Tümleyeni açık olduğundan \(F = Y \cap C\), \(X\)’te kapalıdır.
e) \(\tau\), \(X\)’in topolojisi olsun. \(Z\)’nin doğrudan \(X\)’ten aldığı topoloji \(\{Z \cap U : U \in \tau\}\)’dur. \(Y\)’nin topolojisi \(\tau_Y = \{Y \cap U : U \in \tau\}\), \(Z\)’nin \(Y\)’den aldığı topoloji ise \(\{Z \cap W : W \in \tau_Y\} = \{Z \cap (Y \cap U) : U \in \tau\}\)’dur. \(Z \subseteq Y\) olduğundan \(Z \cap Y = Z\) ve kesişimin birleşme özelliğiyle \(Z \cap (Y \cap U) = (Z \cap Y) \cap U = Z \cap U\). O hâlde iki aile eleman eleman aynıdır; topolojiler eşittir.
f) Gereklilik. \(Y\)’de açık her küme \(X\)’te açık olsun. \(Y = Y \cap X\) ve \(X \in \tau\) olduğundan \(Y\), \(Y\)’de açıktır; varsayım gereği \(X\)’te de açıktır. Yeterlilik. \(Y\), \(X\)’te açık olsun; Lemma 11.2 tam olarak \(Y\)’de açık her kümenin \(X\)’te açık olduğunu söyler.
g) \((\tfrac{3}{2}, \tfrac{5}{2}) \cap Y = \{2\}\) olduğundan \(\{2\}\) alt uzay topolojisinde açıktır. \(Y\)’nin sıra topolojisinde ise \(2\) en büyük elemandır ve \(Y\)’nin en küçük elemanı yoktur (her \(y \in (0, 1)\) için \(\tfrac{y}{2} \in Y\) ve \(\tfrac{y}{2} < y\)). \(2\)’yi içeren baz elemanları yalnızca \(c \in (0, 1)\) için \((c, 2] = (c, 1) \cup \{2\}\) kümeleridir; \((c, d)\) türünden aralıklar \(2 < d\) gerektirdiğinden \(2\)’yi içeremez, en küçük eleman olmadığından \([a_0, d)\) türünden küme yoktur. \((c, 1)\) boş olmadığından (\(\tfrac{c + 1}{2}\) içindedir) \(2\)’yi içeren hiçbir baz elemanı \(\{2\}\)’nin içinde kalmaz; dolayısıyla \(\{2\}\) sıra topolojisinde açık değildir. İki topoloji farklıdır.
\(\blacksquare\)
Bu bölümle birlikte topolojik uzay kurmanın üç temel yolunu, sıra, çarpım ve alt uzay topolojilerini, tanımlarıyla, bazlarıyla ve birbirleriyle ilişkileriyle öğrenmiş olduk; kitabın ilk kısmı burada tamamlanıyor.