Topoloji

Topoloji ders notlarının müfredatı: önermeler mantığı ve küme kuramı hazırlığı, fonksiyonlar, topolojik uzaylar, açık ve kapalı kümeler, baz ve alt baz, sıra, çarpım ve alt uzay topolojileri; ardından nokta-küme topolojisi, süreklilik, metrik uzaylar, ayırma aksiyomları, kompaktlık ve bağlantılılık.

Topoloji, uzaklık kavramına başvurmadan yalnızca “yakınlık” ve “açıklık” fikirleri üzerine kurulmuş geometrik yapıları inceler. Bir küme üzerinde hangi alt kümelerin açık sayılacağını söylemek, o küme üzerinde sürekliliğin, yakınsamanın ve sınırın ne demek olduğunu tek başına belirler. Bu yüzden topoloji, analizden cebire birçok alana ortak bir dil sağlar.

Bu notlar iki hazırlık kısmıyla başlar: önermeler mantığı ile küme kuramının dili ve fonksiyonların (görüntü, ters görüntü, birebir, örten) titiz bir tekrarı. Ardından topolojik uzayın tanımı, açık ve kapalı kümeler, bir topolojiyi baz ve alt bazla üretme, sıra topolojisi, çarpım topolojisi ve alt uzay topolojisi gelir. Her tanımın hemen ardından ne anlama geldiği bir cümleyle açıklanır; her teoremin ispatı adım adım, gerekçeleriyle verilir.

Bu dersin ilk iki kısmı (mantık–küme kuramı hazırlığı ve topolojik uzaylar) hazırdır ve aşağıdaki bağlantılardan ulaşılabilir. Kalan kısımlar hazırlanma aşamasındadır; tamamlandıkça bu sayfadan bağlantılanacaktır.

Ders İçeriği

1. Mantık ve Küme Kuramı

2. Topolojik Uzaylar

3. Nokta-Küme Topolojisi

  • Komşuluklar ve yerel baz
  • İç, dış ve sınır noktaları
  • Yığılma ve izole noktalar
  • Kapanış ve yoğun kümeler

4. Süreklilik ve İnşa

  • Topolojik süreklilik ve homeomorfizma
  • Bölüm topolojisi

5. Metrik Uzaylar

  • Metrik uzaylar ve topoloji
  • Süreklilik ve yakınsaklık

6. Ayırma Aksiyomları

  • \(T_0\), \(T_1\) ve \(T_2\) (Hausdorff) uzayları
  • Düzenli ve normal uzaylar
  • Sayılabilirlik aksiyomları
  • Ayrılabilirlik

7. Kompaktlık ve Bağlantılılık

  • Bağlantılılık
  • Tanım ve örtüler
  • Temel teoremler
  • Ayırma aksiyomlarıyla ilişki

Notları indirin