8 Öklid Uzayında Analizin Özeti
Bu kısma yalnızca \(\mathbb{R}^3\)’ün noktaları ve gerçel değerli fonksiyonlarla başladık. Öklid Uzayı bölümünden Dönüşümler bölümüne kadar bunların üstüne lineer cebirle yeni katlar ekledik: teğet vektörler ve vektör alanları, onların duali olan 1-formlar, kama çarpımıyla kurulan yüksek dereceli formlar ve dönüşümler. Bu kavramların çoğu özel hâlleriyle analizden tanıdıktır; yeni olan, hepsinin kesin tanımlarla ve ortak bir dille kurulmasıdır.
Her nesneye uygun bir türev de tanımladık: yönlü türev, hız, diferansiyel, dış türev, teğet dönüşümü. Bu bölüm yeni tanım getirmiyor; nesneleri yan yana koyup üç ortak özelliği görünür kılıyor: türevler lineerdir ve bir çarpım ya da zincir kuralına uyar; aynı bilgi farklı nesnelerin diliyle söylenebilir; tanımlar koordinatsızdır ama hesaplar koordinat fonksiyonlarının türevlerine iner.
8.1 Nesneler ve Türevleri
Tabloda toplamlar üç koordinat üzerindendir; \(a\), \(b\) sayılar, \(f\), \(g\), \(h\) uygun kümelerde diferansiyellenebilir fonksiyonlardır.
| nesne | türevi | koordinatlarda | lineerlik ve Leibniz |
|---|---|---|---|
| Fonksiyon ve teğet vektör: \(f\), \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) | yönlü türev \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\), bir sayı (Tanım 3.1) | \(\sum_i v_i\, \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p})\) (Lemma 3.1) | \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)’ye ve \(f\)’ye göre lineer; \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[fg] = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\,g(\mathbf{p}) + f(\mathbf{p})\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[g]\) (Teorem 3.1) |
| Vektör alanı: \(V = \sum_i v_i U_i\) | \(V[f]\), bir fonksiyon: \(V[f](\mathbf{p}) = V(\mathbf{p})[f]\) | \(V[f] = \sum_i v_i\, \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\) | \(V[af + bg] = a\,V[f] + b\,V[g]\); \((fV + gW)[h] = f\,V[h] + g\,W[h]\); \(V[fg] = V[f]\,g + f\,V[g]\) (Sonuç 3.1) |
| Eğri: \(\alpha : I \to \mathbb{R}^3\) | hız \(\alpha'(t)\), \(\alpha(t)\)’de bir teğet vektör (Tanım 4.2) | \(\alpha'(t) = \sum_i \dfrac{d\alpha_i}{dt}(t)\, U_i(\alpha(t))\) | vektör kısımlarında \((a\alpha + b\beta)' = a\alpha' + b\beta'\) ve \((g\alpha)' = g'\alpha + g\alpha'\); \(\bigl(\alpha(h)\bigr)' = h'\,\alpha'(h)\) (Lemma 4.1) |
| 1-form: \(\phi = \sum_i f_i\,dx_i\) | diferansiyel \(df\), bir 1-form: \(df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) (Tanım 5.5) | \(df = \sum_i \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i\) (Sonuç 5.1); \(f_i = \phi(U_i)\) (Lemma 5.1) | \(d(af + bg) = a\,df + b\,dg\); \(d(fg) = g\,df + f\,dg\) (Lemma 5.2); \(d(h(f)) = h'(f)\,df\) (Lemma 5.3) |
| Diferansiyel form: \(\phi\), \(\psi\), \(\eta\) | dış türev, derecesi bir artmış form (Tanım 6.2) | \(d\bigl(\sum_i f_i\,dx_i\bigr) = \sum_i df_i \wedge dx_i\); bir 2-formda katsayılar diferansiyelleriyle değiştirilir | \(d(a\phi + b\psi) = a\,d\phi + b\,d\psi\); 1-formlar için \(d(\phi \wedge \psi) = d\phi \wedge \psi - \phi \wedge d\psi\) (Teorem 6.1); \(d(df) = 0\) |
| Dönüşüm: \(F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) | teğet dönüşümü \(F_*\): \(F_*(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\), \(F(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\) eğrisinin başlangıç hızı (Tanım 7.3) | \(F_*(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \bigl(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f_1], \dots, \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f_m]\bigr)_{F(\mathbf{p})}\) (Önerme 7.1); Jacobi matrisi (Sonuç 7.3) | \(F_{*\mathbf{p}}\) lineer (Sonuç 7.1); \(\beta' = F_*(\alpha')\) (Sonuç 7.2); \((G \circ F)_* = G_* \circ F_*\) |
Son sütunda bir örüntü var: her türev lineerdir ve çarpımın türevi \((uv)' = u'v + uv'\) kuralının bir benzerine uyar. Dış türevde çarpım kama çarpımıdır ve eksi işareti ters değişme kuralından gelir; dönüşümlerde çarpımın yerini bileşke, Leibniz kuralının yerini zincir kuralı alır.
Eğri satırındaki iki özellik, \(a\alpha_i + b\beta_i\) ve \(g\alpha_i\) koordinatlarını tek değişkenli türev kurallarıyla türevlemekten çıkar; uygulama noktaları genellikle farklı olduğundan eşitlikler yalnızca vektör kısımları arasındadır.
Dış türev satırındaki \(d(df) = 0\), karışık kısmi türevlerin sıradan bağımsız olmasının form dilindeki karşılığıdır. \(df = \sum_j (\partial f/\partial x_j)\,dx_j\) olduğundan dış türevin tanımı ve Sonuç 5.1 gereği
\[d(df) = \sum_{i,j} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j}\,dx_i \wedge dx_j.\]
\(i = j\) terimleri \(dx_i \wedge dx_i = 0\) olduğundan düşer. \(i \neq j\) için \((i, j)\) ile \((j, i)\) terimlerinin katsayıları kısmi türevler sürekli olduğundan eşit, formları ise birbirinin eksisidir (Lemma 6.1); bu terimler birbirini götürür.
8.2 Vektör Alanları ve 1-Formlar
Bir \(\mathbf{p}\) noktasında teğet uzayı \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\) ile onun dual uzayı yan yana durur. Bir vektör alanı her noktada birinci uzaydan (Tanım 2.4), bir 1-form ikincisinden (Tanım 5.1) bir eleman seçer ve doğal tabanlar birbirine uyar:
\[dx_i(U_j) = \delta_{ij} \qquad (i, j = 1, 2, 3).\]
Yani her noktada \(dx_1, dx_2, dx_3\), \(U_1, U_2, U_3\) tabanının dual tabanıdır. Bunun üç sonucu var.
Koordinatları okumak. \(V = \sum_j v_j U_j\) ise \(dx_i(V) = \sum_j v_j\,\delta_{ij} = v_i\) olur; bir 1-formun koordinat fonksiyonları da \(f_i = \phi(U_i)\)’dir (Lemma 5.1). Yani \(dx_i\)’ler vektör alanlarının, \(U_i\)’ler de 1-formların koordinatlarını okur.
Eşleştirme. \(\phi = \sum_i f_i\,dx_i\) ve \(V = \sum_i v_i U_i\) için her noktada \(\phi(V) = \sum_i f_i\,dx_i(V)\) olduğundan
\[\phi(V) = \sum_{i=1}^{3} f_i\,v_i\]
bulunur: vektör alanıyla 1-form birlikte bir fonksiyon üretir.
Yönlü türev ile diferansiyel. \(df(V) = V[f]\) eşitliğinin solunda 1-form vektör alanına, sağında vektör alanı fonksiyona uygulanıyor; iki yan da \(\sum_i v_i\,\partial f/\partial x_i\) fonksiyonudur. Bu yüzden tablonun ilk iki satırı ile dördüncü satırı aynı bilgiyi taşır (bkz. Alıştırma 8.5).
8.3 Fonksiyonlar ve Eğriler Birer Dönüşümdür
Dönüşüm kavramı (Tanım 7.1) fonksiyonları da eğrileri de içine alır: \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) fonksiyonu \(n = 3\), \(m = 1\) olan; \(\alpha : I \to \mathbb{R}^3\) eğrisi ise \(n = 1\), \(m = 3\) olan, bir açık aralıkta tanımlı bir dönüşümdür. Dönüşüm sonuçları açık kümelerde de geçerli olduğundan teğet dönüşümünü ikisinde de kullanabiliriz. \(s \in \mathbb{R}\) noktasında uygulanan ve vektör kısmı \(c\) olan teğet vektörü \((c)_s\) ile gösterelim.
Fonksiyonun teğet dönüşümü. Önerme 7.1, \(m = 1\) için
\[f_*(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \bigl(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\bigr)_{f(\mathbf{p})} = \bigl(df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\bigr)_{f(\mathbf{p})}\]
verir: teğet dönüşümü ile diferansiyel aynı sayıyı, biri \(f(\mathbf{p})\)’de bir teğet vektör, öteki yalın sayı olarak üretir. \(f\)’nin tek satırlı Jacobi matrisi \(df\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki katsayılarıdır:
\[\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{p}) & \dfrac{\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{p}) & \dfrac{\partial f}{\partial x_3}(\mathbf{p}) \end{pmatrix}.\]
Eğrinin teğet dönüşümü. \(\alpha\)’nın teğet dönüşümünü \(t\) noktasındaki \((1)_t\) vektörüne uygulayalım. Formüldeki yönlü türevler tek değişkenlidir: tanım gereği \((1)_t[\alpha_i]\), \(u \mapsto \alpha_i(t + u)\) fonksiyonunun \(u = 0\)’daki türevidir, yani \(\alpha_i'(t)\)’dir. Böylece
\[\alpha_*\bigl((1)_t\bigr) = \bigl(\alpha_1'(t), \alpha_2'(t), \alpha_3'(t)\bigr)_{\alpha(t)} = \alpha'(t).\]
Lineerlik gereği her \(c\) için \(\alpha_*\bigl((c)_t\bigr) = c\,\alpha'(t)\); \(\alpha\)’nın tek sütunlu Jacobi matrisi hızın vektör kısmıdır.
Örnek 8.1 (Beş Dilde Aynı Sayı) \(f = x^2 + yz\) fonksiyonu, \(\mathbf{p} = (1, 2, 3)\) noktası ve \(\mathbf{v} = (1, -1, 2)\) vektörü verilsin. \(f\)’nin \(\mathbf{p}\)’den \(\mathbf{v}\) yönünde çıkarken ilk andaki değişim hızını yönlü türev, eğri, vektör alanı, 1-form ve dönüşüm dilleriyle ayrı ayrı hesaplayalım.
Çözüm
Yönlü türevin tanımıyla. \(\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (1 + t, 2 - t, 3 + 2t)\) olduğundan
\[f(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = (1 + t)^2 + (2 - t)(3 + 2t) = 7 + 3t - t^2.\]
Bu fonksiyonun türevi \(3 - 2t\), \(t = 0\)’daki değeri \(3\)’tür: \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f] = 3\) (Tanım 3.1).
Eğri diliyle. Doğru olmayan \(\alpha(t) = (e^t, 2 - \sin t, 3 + 2t)\) eğrisini alalım. \(\alpha(0) = (1, 2, 3) = \mathbf{p}\) ve hızın vektör kısmı \((e^t, -\cos t, 2)\) olduğundan \(\alpha'(0) = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}\). Lemma 4.2 gereği \(\alpha'(0)[f]\), aşağıdaki fonksiyonun \(t = 0\)’daki türevidir:
\[f(\alpha(t)) = e^{2t} + (2 - \sin t)(3 + 2t).\]
Türev \(2e^{2t} - \cos t\,(3 + 2t) + 2(2 - \sin t)\) olup \(t = 0\)’da \(2 - 3 + 4 = 3\) değerini alır.
Vektör alanı diliyle. \(V = U_1 - U_2 + 2U_3\) sabit vektör alanı \(V(\mathbf{p}) = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) sağlar. Koordinat formülüyle
\[V[f] = 1 \cdot 2x + (-1) \cdot z + 2 \cdot y = 2x - z + 2y,\]
ve bu fonksiyonun \(\mathbf{p}\)’deki değeri \(2 - 3 + 4 = 3\)’tür.
1-form diliyle. Sonuç 5.1 ile \(df = 2x\,dx + z\,dy + y\,dz\). \(\mathbf{p}\)’de katsayılar \(2\), \(3\), \(2\) olduğundan
\[df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = 3.\]
Dönüşüm diliyle. \(f\)’yi \(\mathbb{R}^3\)’ten \(\mathbb{R}\)’ye bir dönüşüm sayalım; \(f(\mathbf{p}) = 1 + 6 = 7\). Sonuç 7.3 gereği \(f_*(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\)’nin vektör kısmı, \(\mathbf{p}\)’deki tek satırlı Jacobi matrisi ile \(\mathbf{v}\) sütununun çarpımıdır:
\[\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = 3.\]
Dolayısıyla \(f_*(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = (3)_7\).
Neden hep 3? Beş hesabın özü aynıdır: kısmi türevler \(2\), \(3\), \(2\) ile \(\mathbf{v}\)’nin koordinatları \(1\), \(-1\), \(2\) terim terim çarpılıp toplanır; nesneler sonucu sayı, fonksiyon değeri, form değeri ya da vektör kısmı olarak sunar. Eğri dili ayrıca sonucun yalnızca başlangıç hızına bağlı olduğunu gösterir.
\(\blacksquare\)
8.4 Zincir Kuralının Üç Yüzü
Kurduğumuz üç sonuç, “bileşkenin türevi türevlerin bileşkesidir” ilkesinin farklı boyutlardaki hâlleridir:
\[\alpha'(t)[f] = \dfrac{d(f \circ \alpha)}{dt}(t), \qquad \beta' = F_*(\alpha'), \qquad (G \circ F)_* = G_* \circ F_*.\]
Burada \(f \circ \alpha = f(\alpha)\) ve \(\beta = F(\alpha)\)’dır. Eşitlikler sırasıyla eğriden sonra fonksiyon (Lemma 4.2), eğriden sonra dönüşüm (Sonuç 7.2) ve dönüşümden sonra dönüşüm uygulandığında türevi verir.
Birinci, ikincinin özel hâlidir. İkincide \(F\) yerine \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) koyalım. \(f \circ \alpha\) eğrisinin hızının vektör kısmı \((f \circ \alpha)'(t)\), \(f_*\bigl(\alpha'(t)\bigr)\)’nin vektör kısmı ise \(\alpha'(t)[f]\)’dir; ikinci eşitlik bunları eşitler.
İkinci, üçüncünün özel hâlidir. \(\alpha\)’yı bir dönüşüm sayıp üçüncü eşitliği \(F \circ \alpha\) bileşkesine ve \((1)_t\) vektörüne uygulayalım. \(\beta = F \circ \alpha\) da bir eğri olduğundan hızı \(\beta_*\bigl((1)_t\bigr)\)’dir ve
\[\beta'(t) = (F \circ \alpha)_*\bigl((1)_t\bigr) = F_*\bigl(\alpha_*((1)_t)\bigr) = F_*\bigl(\alpha'(t)\bigr).\]
Üçüncü, ikinciden çıkar. \(F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) ve \(G : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k\) dönüşümler olsun. \(G \circ F\)’nin koordinat fonksiyonları \(g_j(f_1, \dots, f_m)\)’dir; zincir kuralı bunların kısmi türevlerini, \(g_j\)’nin kısmi türevlerinin \(F\) ile bileşkeleriyle \(f_k\)’lerin kısmi türevlerinin çarpımlarının toplamı olarak verir. Terimler yine aynı türden olduğundan tümevarımla her mertebeden kısmi türevler vardır ve süreklidir: \(G \circ F\) bir dönüşümdür. Bir \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) için \(\beta(t) = F(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\) olsun. Tanım gereği \(F_*(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \beta'(0)\) ve \((G \circ F)_*(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\), \(G(\beta)\) eğrisinin \(t = 0\)’daki hızıdır. Sonuç 7.2’u \(G\) ve \(\beta\)’ya uygularsak bu hız \(G_*\bigl(\beta'(0)\bigr)\) olur. Birleştirince
\[(G \circ F)_*(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = G_*\bigl(\beta'(0)\bigr) = G_*\bigl(F_*(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\bigr).\]
Döngü yoktur: birinci ve ikinci eşitlik kendi bölümlerinde doğrudan ispatlandı, üçüncüyü ikinciden çıkardık; üç eşitlik birbirine denktir.
Aynı kural matrislerle de yazılabilir. Sonuç 7.3’ne göre \(F\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki Jacobi matrisi \(J_F(\mathbf{p})\), \(F_{*\mathbf{p}}\)’nin doğal çatılara göre matrisidir. Lineer dönüşümlerin bileşkesinin matrisi matrislerin çarpımı olduğundan
\[J_{G \circ F}(\mathbf{p}) = J_G\bigl(F(\mathbf{p})\bigr)\, J_F(\mathbf{p})\]
bulunur.
8.5 Koordinatlar ve Tanımlar
Tablonun üçüncü sütunundaki formüllerin hepsi koordinat fonksiyonlarının adi ya da kısmi türevlerine iner. Buna karşın tanımların çoğu koordinat içermez: \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\), \(f(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\)’nin \(t = 0\)’daki türevidir; \(V[f]\) bunu her noktada yapar; \(df\), \(df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) kuralıdır; \(F_*(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\), \(F(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\) eğrisinin başlangıç hızıdır. Bu tanımlarda yalnızca nokta toplamı, sayıyla çarpma ve tek değişkenli türev var.
Hız vektörünü koordinatlarla tanımladık, ama onun da koordinatsız bir tarifi var: \(\alpha'(t)\)’nin vektör kısmı, ölçeklenmiş kesen vektörlerin
\[\lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\alpha(t + \Delta t) - \alpha(t)}{\Delta t}\]
limitidir; burada da yalnızca nokta farkı ve sayıya bölme var.
Dış türevi de koordinatlarla, \(d\phi = \sum_i df_i \wedge dx_i\) formülüyle tanımladık. Bu formül ise koordinatsız kurallarca zorunlu kılınır. Formlar üzerinde bir \(D\) işlemi düşünelim: fonksiyonlarda diferansiyelle çakışsın (\(Df = df\)), toplamaya uysun, bir fonksiyonla bir 1-formun çarpımında \(D(f\phi) = df \wedge \phi + f\,D\phi\) kuralını sağlasın ve her \(g\) fonksiyonu için \(D(dg) = 0\) olsun. \(dx_i\), \(x_i\) fonksiyonunun diferansiyeli olduğundan \(D(dx_i) = 0\)’dır ve
\[D\Bigl(\sum_i f_i\,dx_i\Bigr) = \sum_i \bigl(df_i \wedge dx_i + f_i\,D(dx_i)\bigr) = \sum_i df_i \wedge dx_i.\]
Demek ki bu kuralları sağlayan her işlem 1-formlarda dış türevin ta kendisidir; dış türevin kuralları sağladığını da lineerliği, Teorem 6.1 ve yukarıdaki \(d(df) = 0\) hesabı gösteriyor. Koordinatlar yalnızca hesap aracıdır; bu yüzden ileride eğrilere ve yüzeylere uyarlanmış çatılar seçmekte özgür olacağız.
8.6 Tekrar Soruları
Her soru birden çok bölümün araçlarını birlikte kullanır.
Alıştırma 8.1 (Helis Boyunca Bir Diferansiyel) \(f = xyz\) ve \(\alpha(t) = (\cos t, \sin t, t)\) helisi verilsin. \(df\bigl(\alpha'(t)\bigr)\) sayısını hem \(df\) 1-formunu hız vektörüne uygulayarak hem de \(f(\alpha)\) fonksiyonunu türevleyerek hesaplayınız.
Çözüm
Neden aynı çıkmalı? Diferansiyelin tanımı (Tanım 5.5) ve Lemma 4.2 gereği
\[df\bigl(\alpha'(t)\bigr) = \alpha'(t)[f] = \dfrac{d\bigl(f(\alpha)\bigr)}{dt}(t).\]
İki yol bu zincirin iki ucunu hesaplar.
Birinci yol: 1-form. Sonuç 5.1 ile \(df = yz\,dx + xz\,dy + xy\,dz\). \(\alpha(t) = (\cos t, \sin t, t)\) noktasında katsayılar \(t\sin t\), \(t\cos t\) ve \(\sin t\cos t\)’dir. Hızın vektör kısmı \((-\sin t, \cos t, 1)\) olduğundan
\[\begin{aligned} df\bigl(\alpha'(t)\bigr) &= -t\sin^2 t + t\cos^2 t + \sin t\cos t\\ &= t\cos 2t + \tfrac{1}{2}\sin 2t. \end{aligned}\]
Son adımda iki kat açı formüllerini kullandık.
İkinci yol: bileşke. \(f(\alpha(t)) = t\cos t\sin t = \tfrac{t}{2}\sin 2t\). Çarpım kuralıyla
\[\dfrac{d}{dt}\Bigl(\dfrac{t}{2}\sin 2t\Bigr) = \dfrac{1}{2}\sin 2t + t\cos 2t.\]
İki sonuç aynıdır.
Bir anda. \(t = \pi/2\)’de değer \(\tfrac{\pi}{2}\cos\pi + \tfrac{1}{2}\sin\pi = -\tfrac{\pi}{2}\)’dir: helis \(x = 0\) düzlemini geçerken \(x\) negatife iner, \(yz = \pi/2\) pozitif kalır, dolayısıyla \(f\) azalır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.2 (Görüntü Eğrisinin Hızı İki Yoldan) \(F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\), \(F(x, y) = (xy, x + y, y^2)\) dönüşümü ve \(\alpha(t) = (t, t^2)\) eğrisi verilsin. \(\beta = F(\alpha)\) görüntü eğrisinin hızını hem \(\beta\)’yı doğrudan türevleyerek hem de \(F_*(\alpha')\) olarak hesaplayınız.
Çözüm
Birinci yol: doğrudan. Tanım 7.2 gereği \(\beta(t) = F(t, t^2) = (t^3, t + t^2, t^4)\). Koordinatları türevleyerek
\[\beta'(t) = \bigl(3t^2,\ 1 + 2t,\ 4t^3\bigr)_{\beta(t)}.\]
İkinci yol: teğet dönüşümü. Koordinat fonksiyonları \(f_1 = xy\), \(f_2 = x + y\), \(f_3 = y^2\) olduğundan Jacobi matrisi (Sonuç 7.3)
\[\begin{pmatrix} y & x \\ 1 & 1 \\ 0 & 2y \end{pmatrix}\]
olur. \(\alpha(t) = (t, t^2)\) noktasında satırları \((t^2, t)\), \((1, 1)\) ve \((0, 2t^2)\)’dir; \(\alpha'(t)\)’nin vektör kısmı \((1, 2t)\)’dir. Sonuç 7.2 gereği \(\beta'(t) = F_*\bigl(\alpha'(t)\bigr)\) ve bunun vektör kısmı matris ile sütunun çarpımıdır:
\[\begin{pmatrix} t^2 & t \\ 1 & 1 \\ 0 & 2t^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3t^2 \\ 1 + 2t \\ 4t^3 \end{pmatrix}.\]
İki yol aynı vektör kısmını verir; uygulama noktası da ikisinde \(F(\alpha(t)) = \beta(t)\)’dir. İkinci yol \(\beta\)’nın formülünü değil, yalnızca \(\alpha\)’nın o andaki konumunu ve hızını kullanır.
Bir anda. \(t = 1\)’de \(\beta'(1) = (3, 3, 4)_{(1, 2, 1)}\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.3 (Bileşkenin Teğet Dönüşümü Sayılarla) \(F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(F(x, y) = (x + y, xy)\) ve \(G : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), \(G(x, y) = x^2 - 2y\) olsun. \(\mathbf{p} = (1, 2)\) ve \(\mathbf{v} = (3, -1)\) için \((G \circ F)_*(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\) teğet vektörünü hem bileşkeyi doğrudan türevleyerek hem de \(G_*\bigl(F_*(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\bigr)\) olarak hesaplayınız.
Çözüm
Birinci yol: bileşke. Bileşke bir fonksiyondur:
\[(G \circ F)(x, y) = (x + y)^2 - 2xy = x^2 + y^2.\]
Teğet dönüşümünün vektör kısmı diferansiyelin değeridir. \(d(x^2 + y^2) = 2x\,dx + 2y\,dy\), \(\mathbf{p}\)’de katsayılar \(2\) ile \(4\); değer \(2 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) = 2\). Uygulama noktası \(1 + 4 = 5\) olduğundan
\[(G \circ F)_*(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = (2)_5.\]
İkinci yol, önce \(F_*\). \(F\)’nin Jacobi matrisi ve bunun \(\mathbf{p} = (1, 2)\)’deki değeri
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ y & x \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\]
olur. İkinci matrisin \((3, -1)\) sütunuyla çarpımı \((2, 5)\)’tir. \(F(\mathbf{p}) = (3, 2)\) olduğundan \(F_*(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}) = (2, 5)_{(3, 2)}\).
İkinci yol, sonra \(G_*\). \(G\)’nin tek satırlı Jacobi matrisi ve bunun \((3, 2)\) noktasındaki değeri
\[\begin{pmatrix} 2x & -2 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 6 & -2 \end{pmatrix}\]
olur. İkincisini \((2, 5)\) sütunuyla çarparsak \(6 \cdot 2 - 2 \cdot 5 = 2\) buluruz. \(G(3, 2) = 9 - 4 = 5\) olduğundan \(G_*\bigl(F_*(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\bigr) = (2)_5\). İki yol uyuşur.
Matrisler düzeyinde. Jacobi matrislerinin çarpımı
\[\begin{pmatrix} 6 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \end{pmatrix}\]
verir; bu, \(x^2 + y^2\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki kısmi türevlerinin satırıdır ve bileşkenin Jacobi matrisi formülünü doğrular.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.4 (Düzgün Dönüşüm Düzgün Eğriyi Korur) \(F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) düzgün bir dönüşüm ve \(\alpha : I \to \mathbb{R}^n\) düzgün bir eğri ise \(\beta = F(\alpha)\) görüntü eğrisinin de düzgün olduğunu ispatlayınız.
Çözüm
Hız formülü. Sonuç 7.2 gereği her \(t \in I\) için \(\beta'(t) = F_*\bigl(\alpha'(t)\bigr)\); yani \(\beta'(t)\), \(F_{*\alpha(t)}\) lineer dönüşümünün \(\alpha'(t)\)’deki değeridir.
Birebirlik. \(F\) düzgün olduğundan (Tanım 7.4) \(F_{*\alpha(t)}\) birebirdir. Lineer olduğundan (Sonuç 7.1) \(\alpha(t)\)’deki sıfır vektörünü \(F(\alpha(t))\)’deki sıfır vektörüne götürür. \(\beta'(t)\) sıfır vektörü olsaydı, \(\alpha'(t)\) ile sıfır vektörü aynı görüntüye sahip olurdu ve birebirlikten \(\alpha'(t) = \mathbf{0}\) çıkardı.
Sonuç. \(\alpha\) düzgün olduğundan (Tanım 4.6; \(\mathbb{R}^n\)’deki eğriler için tanım aynıdır) her \(t\) için \(\alpha'(t) \neq \mathbf{0}\). Demek ki her \(t\) için \(\beta'(t) \neq \mathbf{0}\) ve \(\beta\) düzgündür. İspatta \(F\)’nin yalnızca \(\alpha\)’nın noktalarında düzgünlüğü kullanıldı.
Varsayım gerekli. \(F(u, v) = (u^2 - v^2, 2uv)\) dönüşümünün Jacobi matrisi
\[\begin{pmatrix} 2u & -2v \\ 2v & 2u \end{pmatrix}\]
orijinde sıfır matrisidir; \(F\) orada düzgün değildir. Hızının vektör kısmı hep \((1, 0)\) olan düzgün \(\alpha(t) = (t, 0)\) eğrisinin görüntüsü \(\beta(t) = (t^2, 0)\)’dır ve \(\beta'(0) = \mathbf{0}\): görüntü noktası \(x\) ekseninin pozitif yarısında orijine gelir, bir an durur ve aynı yoldan geri döner.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.5 (Çarpım Kuralının İki Yüzü) \(V\) bir vektör alanı, \(f\) ve \(g\) diferansiyellenebilir fonksiyonlar olsun. \(d(fg) = g\,df + f\,dg\) kuralını ve \(df(V) = V[f]\) eşitliğini kullanarak \(V[fg] = V[f]\,g + f\,V[g]\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Dualiteye geçiş. \(df(V) = V[f]\) eşitliği \(fg\) fonksiyonu için de geçerlidir: \(V[fg] = d(fg)(V)\). Lemma 5.2 ile bu, \((g\,df + f\,dg)(V)\) fonksiyonudur.
Noktasal değerlendirme. 1-formların toplamı ve fonksiyonla çarpımı noktasal tanımlandığından her \(\mathbf{p}\) için
\[(g\,df + f\,dg)(V)(\mathbf{p}) = g(\mathbf{p})\,df\bigl(V(\mathbf{p})\bigr) + f(\mathbf{p})\,dg\bigl(V(\mathbf{p})\bigr).\]
Sağ yan \(\bigl(g\,V[f] + f\,V[g]\bigr)(\mathbf{p})\)’dir. Bu her \(\mathbf{p}\) için doğru olduğundan \(V[fg] = V[f]\,g + f\,V[g]\).
Ters yön. Vektör alanlarının çarpım kuralından da 1-formlarınki çıkar; iki yanı \(U_i\) üzerinde değerlendirelim:
\[d(fg)(U_i) = U_i[fg] = U_i[f]\,g + f\,U_i[g] = (g\,df + f\,dg)(U_i).\]
Koordinat fonksiyonları aynı olan iki 1-form eşit olduğundan (Lemma 5.1) \(d(fg) = g\,df + f\,dg\). İki kural, dualite aracılığıyla aynı gerçeğin iki yüzüdür.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.6 (Yeniden Parametrelendirme ve Zincir Kuralı) \(\alpha : I \to \mathbb{R}^3\) bir eğri, \(h : J \to I\) diferansiyellenebilir bir fonksiyon ve \(\beta = \alpha(h)\) olsun. Yeniden parametrelendirmenin hız formülünü \((G \circ F)_* = G_* \circ F_*\) zincir kuralından çıkarınız.
Çözüm
Hedef. Göstermek istediğimiz eşitlik (Lemma 4.1)
\[\beta'(s) = \dfrac{dh}{ds}(s)\, \alpha'(h(s)).\]
Eğriler dönüşüm olarak. \(\alpha\), \(h\) ve \(\beta = \alpha \circ h\) açık aralıklarda tanımlı dönüşümlerdir. Bölümün başındaki hesap her eğri için \(\alpha_*\bigl((c)_t\bigr) = c\,\alpha'(t)\) verir; \(\mathbb{R}\)’den \(\mathbb{R}\)’ye giden \(h\) için aynı hesaptan
\[h_*\bigl((1)_s\bigr) = \bigl(h'(s)\bigr)_{h(s)}\]
çıkar; burada \(h'(s) = \dfrac{dh}{ds}(s)\).
Zincir kuralı. Hızı, teğet dönüşümünün birim vektöre uygulanması olarak yazalım:
\[\begin{aligned} \beta'(s) &= (\alpha \circ h)_*\bigl((1)_s\bigr) = \alpha_*\bigl(h_*((1)_s)\bigr)\\ &= \alpha_*\bigl((h'(s))_{h(s)}\bigr) = h'(s)\,\alpha'(h(s)). \end{aligned}\]
Son eşitlikte \(\alpha_*\) kuralını \(t = h(s)\), \(c = h'(s)\) ile kullandık; istenen formül budur.
Sayısal denetim. \(\alpha(t) = (\cos t, \sin t, t)\) ve \(h(s) = s^2\) için \(\beta(s) = (\cos s^2, \sin s^2, s^2)\). Doğrudan türevle
\[\beta'(s) = \bigl(-2s\sin s^2,\ 2s\cos s^2,\ 2s\bigr)_{\beta(s)}.\]
Formül de \(h'(s) = 2s\) ile \((-\sin s^2, \cos s^2, 1)\)’in çarpımını, yani aynı üçlüyü verir. \(h'(0) = 0\) olduğundan \(\beta'(0) = \mathbf{0}\): \(\alpha\) düzgün olsa da \(\beta\) bu anda durur.
\(\blacksquare\)
Bu kısımda kurduğumuz araçlarla artık geometriye geçebiliriz: sırada uzunluk ve açı ölçmemizi sağlayan iç çarpım, eğrilerin bükülüşünü ve kıvrılışını ölçen eğrilik ile burulma, bir de bunları hesaplamanın doğal aracı olan çatı alanları var.