1 Öklid Uzayı
Diferansiyel geometri, eğrileri ve yüzeyleri analizin araçlarıyla inceler. Bu araçları kullanabilmek için önce üzerinde çalışacağımız sahneyi, yani üç boyutlu uzayı kesin biçimde tanımlamamız gerekir. Bu bölümde uzayı bir küme olarak kuruyor, sonra bu küme üzerindeki fonksiyonların türevinden söz edebilmek için gereken dili hazırlıyoruz.
Bölümün ana fikri şudur: bir noktayı “konumunu üç sayıyla tarif ettiğimiz bir şey” olarak değil, doğrudan üç sayıdan oluşan bir sıralı üçlü olarak tanımlıyoruz. Ardından her noktaya kendi koordinatlarını veren \(x, y, z\) koordinat fonksiyonlarını tanımlıyor ve bir noktanın koordinatı olan sayı ile o koordinatı okuyan fonksiyonu birbirinden titizlikle ayırıyoruz. Bölümün sonunda sonsuz kere türevlenebilen fonksiyonlara “diferansiyellenebilir” diyor, türevin yerel bir işlem olduğunu görüp açık küme kavramını tanıtıyoruz.
Bu ders temel analiz (türev, kısmi türev, zincir kuralı) ile lineer cebir (vektör uzayları, lineer dönüşümler) bilgisini varsayar; fonksiyon dilini — tanım kümesi, görüntü, bileşke, kısıtlama, birebir ve örten olma, ters fonksiyon — bilinen kabul ediyoruz. Yalnız şunu vurgulayalım: burada fonksiyon denince analizdeki gerçel değerli fonksiyonlardan fazlası kastedilir; noktaları sayıya götüren fonksiyonlar, sayıları noktaya götüren eğriler ve uzayı uzaya götüren dönüşümler de aynı çatı altındadır. Ayrıca \(f\) ile \(f(x)\) ayrımını ders boyunca koruyacağız: \(f\) fonksiyonun kendisi, \(f(x)\) ise yalnızca bir değerdir.
Bu derste kullanılacak başlıca harfleri şimdiden söyleyelim:
| harfler | ne gösterir | nerede |
|---|---|---|
| \(\mathbf{p}, \mathbf{q}\) | noktalar | bu bölüm |
| \(f, g, h\) | gerçel değerli fonksiyonlar | bu bölüm |
| \(\mathbf{v}, \mathbf{w}\) | teğet vektörler | Teğet Vektörler bölümü |
| \(V, W\) | vektör alanları | Teğet Vektörler bölümü |
| \(\alpha, \beta\) | eğriler | ileride |
| \(\phi, \psi\) | diferansiyel formlar | ileride |
| \(F, G\) | uzaydan uzaya dönüşümler | ileride |
Bütün kavramları üç boyutlu Öklid uzayı için tanımlıyoruz; daha yüksek boyutlara geçişi bölümün sonunda kısaca ele alıyoruz.
1.1 Öklid 3-Uzayı ve Noktalar
Üç boyutlu uzayı hepimiz tanırız, ama matematikte çoğu zaman tanımlanmadan kullanılır. Alışılmış resim şudur: bir odanın köşesinde birbirine dik üç kenar çizgisi vardır; bunları eksen sayarsak odadaki her noktanın yeri, eksenler boyunca ölçülen üç uzunlukla söylenir. Bu resimde nokta önce vardır, üç sayı onu sonradan tarif eder. Kesin bir tanım için sırayı ters çeviriyoruz: noktanın tarifini değil, doğrudan üç sayıdan oluşan listeyi nokta olarak tanımlıyoruz. Böylece “nokta nedir?” sorusunu hiç sormadan uzayı kurmuş oluruz.
Tanım 1.1 (Öklid 3-Uzayı ve Nokta) Gerçel sayıların bütün sıralı üçlülerinin (ordered triple) kümesine Öklid 3-uzayı (Euclidean 3-space) denir ve \(\mathbb{R}^3\) ile gösterilir:
\[\mathbb{R}^3 = \{\, (p_1, p_2, p_3) : p_1, p_2, p_3 \in \mathbb{R} \,\}.\]
Böyle bir üçlü \(\mathbf{p} = (p_1, p_2, p_3)\)’e \(\mathbb{R}^3\)’ün bir noktası (point) denir.
Yani uzay, üç sayıdan oluşan listelerin kümesidir ve “bu nokta nerede?” sorusunun cevabı noktanın kendisidir. “Sıralı” sözcüğü önemlidir: \((1, 2, 3)\) ile \((2, 1, 3)\) farklı noktalardır; \(\mathbf{p} = \mathbf{q}\) ancak \(p_1 = q_1\), \(p_2 = q_2\), \(p_3 = q_3\) ise doğrudur.
Örnek 1.1 (Sıralı Üçlüleri Karşılaştırmak) \(\mathbf{p} = (2, 3, 1)\), \(\mathbf{q} = (2, 3, -1)\) ve \(\mathbf{r} = (3, 2, 1)\) noktalarını ele alalım. Bunlar birbirinden farklı mıdır?
Çözüm
Üçü de farklıdır: \(\mathbf{p}\) ile \(\mathbf{q}\) yalnızca üçüncü koordinatta (\(1 \ne -1\)), \(\mathbf{p}\) ile \(\mathbf{r}\) ise sıra yüzünden birinci koordinatta (\(2 \ne 3\)) ayrılır.
\(\blacksquare\)
Örnek 1.2 (Noktaları Uzayda Okumak) \(\mathbf{p} = (2, 3, 1)\), \(\mathbf{q} = (2, 3, -1)\) ve \(\mathbf{r} = (3, 2, 1)\) noktaları uzayda nerede durur?
Çözüm
Yukarıdaki şekilde \(\mathbf{p}\)’ye ulaşmak için başlangıç noktasından \(x\) ekseni boyunca \(2\), \(y\) ekseni boyunca \(3\), sonra yukarı \(1\) birim gidilir; kesikli koordinat kutusu bu üç adımı gösterir. \(\mathbf{q}\), \(\mathbf{p}\)’nin tam altında ve zeminin \(1\) birim aşağısındadır. \(\mathbf{r}\) ise \(\mathbf{p}\) ile aynı yükseklikte durur; ona ulaşmak için \(x\) ekseni boyunca \(3\), \(y\) ekseni boyunca \(2\) birim, sonra yukarı \(1\) birim gidilir.
\(\blacksquare\)
Lineer cebirden bildiğimiz gibi \(\mathbb{R}^3\), doğal bir biçimde gerçel sayılar üzerinde bir vektör uzayıdır; bunun için gereken iki işlem koordinat koordinat yapılır.
Tanım 1.2 (Nokta Toplamı, Skaler Kat ve Başlangıç Noktası) \(\mathbf{p} = (p_1, p_2, p_3)\) ve \(\mathbf{q} = (q_1, q_2, q_3)\), \(\mathbb{R}^3\)’ün iki noktası ve \(a\) bir gerçel sayı olsun. \(\mathbf{p}\) ile \(\mathbf{q}\)’nun toplamı (sum)
\[\mathbf{p} + \mathbf{q} = (p_1 + q_1,\ p_2 + q_2,\ p_3 + q_3)\]
noktası, \(\mathbf{p}\)’nin \(a\) sayısıyla skaler katı (scalar multiple)
\[a\mathbf{p} = (ap_1,\ ap_2,\ ap_3)\]
noktasıdır. \(\mathbf{0} = (0, 0, 0)\) noktasına \(\mathbb{R}^3\)’ün başlangıç noktası (orijin, origin) denir.
Yani noktalar bileşen bileşen toplanır ve bileşen bileşen ölçeklenir; sonuç yine bir noktadır. \(-\mathbf{p}\) ile \((-1)\mathbf{p} = (-p_1, -p_2, -p_3)\) noktasını, \(\mathbf{p} - \mathbf{q}\) ile \(\mathbf{p} + (-\mathbf{q})\) noktasını gösteririz.
Bu iki işlemin vektör uzayı aksiyomlarını sağladığını gerçekten denetleyelim; her aksiyom, gerçel sayıların bilinen bir kuralının üç koordinatta ayrı ayrı uygulanmasından ibarettir.
Önerme 1.1 (Öklid Uzayı Bir Vektör Uzayıdır) Nokta toplamı ve skaler kat işlemleriyle \(\mathbb{R}^3\), gerçel sayılar üzerinde bir vektör uzayıdır. Yani her \(\mathbf{p}, \mathbf{q}, \mathbf{r} \in \mathbb{R}^3\) ve her \(a, b \in \mathbb{R}\) için şunlar sağlanır:
- \(\mathbf{p} + \mathbf{q} = \mathbf{q} + \mathbf{p}\);
- \((\mathbf{p} + \mathbf{q}) + \mathbf{r} = \mathbf{p} + (\mathbf{q} + \mathbf{r})\);
- \(\mathbf{p} + \mathbf{0} = \mathbf{p}\);
- \(\mathbf{p} + (-\mathbf{p}) = \mathbf{0}\);
- \(a(\mathbf{p} + \mathbf{q}) = a\mathbf{p} + a\mathbf{q}\);
- \((a + b)\mathbf{p} = a\mathbf{p} + b\mathbf{p}\);
- \((ab)\mathbf{p} = a(b\mathbf{p})\);
- \(1\mathbf{p} = \mathbf{p}\).
İspat
Her eşitliğin iki yanı birer noktadır ve iki nokta ancak üç koordinatı da eşitse eşittir; dolayısıyla her aksiyomu \(i = 1, 2, 3\) için \(i\)-inci koordinatta denetlemek yeterlidir. Tanıma göre iki yanın \(i\)-inci koordinatları sırasıyla şunlardır:
(1) \(p_i + q_i\) ve \(q_i + p_i\); (2) \((p_i + q_i) + r_i\) ve \(p_i + (q_i + r_i)\); (3) \(p_i + 0\) ve \(p_i\); (4) \(p_i + (-p_i)\) ve \(0\); (5) \(a(p_i + q_i)\) ve \(ap_i + aq_i\); (6) \((a + b)p_i\) ve \(ap_i + bp_i\); (7) \((ab)p_i\) ve \(a(bp_i)\); (8) \(1 \cdot p_i\) ve \(p_i\).
Her çiftteki iki sayı, gerçel sayıların bilinen bir kuralı gereği eşittir: sırasıyla toplamanın değişme ve birleşme özelliği, \(0\)’ın toplamada etkisiz olması, toplamaya göre ters elemanın varlığı, çarpmanın toplama üzerine dağılması (iki kez), çarpmanın birleşme özelliği ve \(1\)’in çarpmada etkisiz olması. Sekiz aksiyom da her koordinatta sağlandığından \(\mathbb{R}^3\) bir vektör uzayıdır.
\(\blacksquare\)
İspatın özü şudur: koordinat koordinat tanımlanan işlemler, gerçel sayıların bütün cebirsel kurallarını olduğu gibi devralır.
Örnek 1.3 (Toplam ve Skaler Kat Hesabı) \(\mathbf{p} = (1, 2, 0)\) ve \(\mathbf{q} = (2, 0, 1)\) olsun. \(\mathbf{p} + \mathbf{q}\), \(2\mathbf{p}\), \(\mathbf{p} - \mathbf{q}\) ve \(\tfrac{1}{2}(\mathbf{p} + \mathbf{q})\) noktalarını bulalım.
Çözüm
Tanıma göre koordinat koordinat hesaplarız:
\[\begin{aligned} \mathbf{p} + \mathbf{q} &= (1 + 2,\ 2 + 0,\ 0 + 1) = (3, 2, 1), \\ 2\mathbf{p} &= (2 \cdot 1,\ 2 \cdot 2,\ 2 \cdot 0) = (2, 4, 0), \\ \mathbf{p} - \mathbf{q} &= (1 - 2,\ 2 - 0,\ 0 - 1) = (-1, 2, -1), \\ \tfrac{1}{2}(\mathbf{p} + \mathbf{q}) &= \left(\tfrac{3}{2}, 1, \tfrac{1}{2}\right). \end{aligned}\]
Yukarıdaki şekilde \(\mathbf{p} + \mathbf{q}\), başlangıç noktasından çıkan \(\mathbf{p}\) ve \(\mathbf{q}\) oklarının gerdiği paralelkenarın karşı köşesi, \(2\mathbf{p}\) ise \(\mathbf{p}\) okunun iki katına uzatılmışıdır; \(\tfrac{1}{2}(\mathbf{p} + \mathbf{q})\) de \(\mathbf{p}\) ile \(\mathbf{q}\)’yu birleştiren parçanın orta noktasıdır.
Önermedeki beşinci aksiyomu bu sayılarla denetleyelim: \(2(\mathbf{p} + \mathbf{q}) = 2(3, 2, 1) = (6, 4, 2)\) ve \(2\mathbf{p} + 2\mathbf{q} = (2, 4, 0) + (4, 0, 2) = (6, 4, 2)\); iki yan aynı noktadır.
\(\blacksquare\)
Örnek 1.4 (Düzlemde Aynı Hesap) Öklid düzlemi (Euclidean plane) \(\mathbb{R}^2\)’de noktalar sıralı ikilidir ve işlemler yine koordinat koordinat yapılır. \(\mathbf{p} = (1, 2)\) ve \(\mathbf{q} = (3, -1)\) için \(\mathbf{p} + \mathbf{q}\) ve \(\mathbf{v} = \mathbf{q} - \mathbf{p}\) noktalarını bulalım; sonra \(\mathbf{p} + t\mathbf{v}\) noktasının \(t = 0\), \(t = \tfrac{1}{2}\) ve \(t = 1\) için nereye düştüğünü görelim.
Çözüm
\(\mathbf{p} + \mathbf{q} = (4, 1)\) ve \(\mathbf{v} = \mathbf{q} - \mathbf{p} = (2, -3)\) olur. Buradan
\[\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (1 + 2t,\ 2 - 3t)\]
ve \(t = 0\) için \(\mathbf{p}\), \(t = \tfrac{1}{2}\) için \((2, \tfrac{1}{2})\), \(t = 1\) için \(\mathbf{q}\) bulunur. \(t\) bütün gerçel sayıları dolaştığında bu noktalar \(\mathbf{p}\) ile \(\mathbf{q}\)’dan geçen doğruyu, \(t \in [0, 1]\) ise \(\mathbf{p}\)’den \(\mathbf{q}\)’ya giden doğru parçasını çizer. \(t \mapsto \mathbf{p} + t\mathbf{v}\) biçimindeki doğru fikri ileride yönlü türevleri tanımlarken temel araç olacak.
\(\blacksquare\)
1.2 Doğal Koordinat Fonksiyonları
Diferansiyel hesabın \(\mathbb{R}^3\)’te ilgilendiği şey noktaların kendisi değil, uzay üzerinde tanımlı gerçel değerli fonksiyonlardır. Böyle bir fonksiyon her noktaya bir sayı verir; sıcaklık, basınç, başlangıç noktasına uzaklık gibi. En basit fonksiyonlar bir noktanın koordinatlarından birini okuyanlardır. Bunlar o kadar basittir ki çoğu zaman fonksiyon oldukları unutulur; oysa öteki bütün fonksiyonlar bunlardan kurulur. Bu yüzden onlara ad verip dikkatle tanımlıyoruz.
Tanım 1.3 (Doğal Koordinat Fonksiyonları) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde, her \(\mathbf{p} = (p_1, p_2, p_3)\) noktası için
\[x(\mathbf{p}) = p_1, \qquad y(\mathbf{p}) = p_2, \qquad z(\mathbf{p}) = p_3\]
kuralıyla tanımlanan gerçel değerli \(x, y, z\) fonksiyonlarına \(\mathbb{R}^3\)’ün doğal koordinat fonksiyonları (natural coordinate functions) denir. Aynı fonksiyonlar için indisli yazım da kullanılır:
\[x_1 = x, \qquad x_2 = y, \qquad x_3 = z.\]
Yani \(x\) fonksiyonu bir noktayı alır, birinci koordinatı olan sayıyı verir; \(x_i\)’nin \(\mathbf{p}\)’deki değeri \(p_i\) sayısıdır. Dolayısıyla her nokta koordinat fonksiyonlarının değerlerinden geri kurulur:
\[\mathbf{p} = (p_1, p_2, p_3) = \bigl(x_1(\mathbf{p}),\ x_2(\mathbf{p}),\ x_3(\mathbf{p})\bigr).\]
Sol yanda noktanın üç koordinatı, sağ yanda üç koordinat fonksiyonunun aynı noktadaki değerleri vardır; bunlar aynı sayılardır. Fonksiyon olan \(x_1, x_2, x_3\)’tür; \(x_i(\mathbf{p})\) yalnızca bir sayıdır.
Üç ayrı nesne var, hepsi benzer harflerle yazılıyor:
- \(\mathbf{p}\) bir noktadır: uzayın bir elemanı.
- \(p_1\) bir sayıdır: \(\mathbf{p}\) noktasının birinci koordinatı.
- \(x_1\) bir fonksiyondur: uzayın her noktasını bir sayıya götüren kural. \(x_1(\mathbf{p}) = p_1\) eşitliği bu üçünü birbirine bağlar.
Temel analizde \(x\) harfinin hem sayı hem değişken olarak kullanılması sorun çıkarmaz, çünkü sayı doğrusunda bir nokta ile koordinatı zaten aynı sayıdır; üç boyutta ise \(p_1\) sayısı ile \(x_1\) fonksiyonunu karıştırmak gerçek belirsizlikler doğurur. Örneğin “\(x = 2\)” yazısı bir sayı eşitliği değil, \(x\) fonksiyonunun \(2\) değerini aldığı noktaların kümesinin, yani \(x\) eksenini dik kesen bir düzlemin adıdır.
Aynı disiplini bütün fonksiyonlara uyguluyoruz: \(f\) fonksiyonun kendisidir, \(f(\mathbf{p})\) ise onun \(\mathbf{p}\) noktasındaki değeri olan sayıdır.
Örnek 1.5 (Koordinat Fonksiyonlarının Değerleri) \(\mathbf{p} = (2, 3, 1)\), \(\mathbf{q} = (2, -1, 3)\) ve \(\mathbf{r} = (2, 0, 0)\) noktalarında \(x\), \(y\) ve \(z\) fonksiyonlarının değerlerini bulalım.
Çözüm
Tanıma göre değerler doğrudan koordinatlardır:
| nokta | \(x\) değeri | \(y\) değeri | \(z\) değeri |
|---|---|---|---|
| \(\mathbf{p} = (2, 3, 1)\) | \(2\) | \(3\) | \(1\) |
| \(\mathbf{q} = (2, -1, 3)\) | \(2\) | \(-1\) | \(3\) |
| \(\mathbf{r} = (2, 0, 0)\) | \(2\) | \(0\) | \(0\) |
\(\blacksquare\)
Örnek 1.6 (Aynı x Değerini Alan Noktalar) \(\mathbf{p} = (2, 3, 1)\), \(\mathbf{q} = (2, -1, 3)\) ve \(\mathbf{r} = (2, 0, 0)\) noktalarının üçünde de \(x\) fonksiyonunun değeri \(2\)’dir. \(x(\mathbf{p}) = 2\) eşitliğini sağlayan bütün noktaların kümesi nedir?
Çözüm
Üç nokta farklı olduğu hâlde \(x\) fonksiyonu üçünü de aynı \(2\) sayısına götürür; yukarıdaki şekil bunu gösterir. \(x(\mathbf{p}) = 2\) koşulunu sağlayan noktalar, birinci koordinatı \(2\) olan bütün \((2, p_2, p_3)\) noktalarıdır; bu küme \(x\) eksenini \(2\) noktasında dik kesen bir düzlemdir, şekildeki taralı parça onun bir kesitidir. Kısaca “\(x = 2\) düzlemi” deriz; burada \(x\) bir fonksiyon, \(2\) onun aldığı değerdir. Düzlemde aynı şey bir boyut aşağıda görünür: \(\mathbb{R}^2\)’nin iki koordinat fonksiyonu \(x, y\) vardır ve “\(y = 0\)” kümesi, ikinci koordinatı sıfır olan noktalardan oluşan \(x\) eksenidir.
\(\blacksquare\)
Koordinat fonksiyonlarının asıl gücü, öteki fonksiyonların bunlar cinsinden yazılabilmesidir; \(f = x^2 y\) yazımını açıklayalım.
\(x\) ve \(y\) birer fonksiyon olduğundan \(x^2 y\) ifadesi, değeri her noktada koordinatlardan hesaplanan bir fonksiyondur: \(f = x^2 y\) yazmak,
\[f(\mathbf{p}) = x(\mathbf{p})^2\, y(\mathbf{p}) = p_1^2\, p_2 \quad \text{(her } \mathbf{p} \in \mathbb{R}^3 \text{ için)}\]
demektir. Genel olarak \(x, y, z\) ile kurulmuş her formül \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir fonksiyon tanımlar; değeri, formülde \(x, y, z\) yerine \(p_1, p_2, p_3\) konarak bulunur. “\(f = x^2 y\)” ile “\(f(x, y, z) = x^2 y\)” aynı şeyi söyler.
Örnek 1.7 (Koordinatlardan Kurulan Fonksiyonların Değerleri) \(f = x^2 y\) ve \(g = y \sin z\) fonksiyonlarının \(\mathbf{p} = (2, 3, 1)\), \(\mathbf{r} = (1, 2, \pi/2)\) ve \(\mathbf{0}\) noktalarındaki değerlerini bulalım.
Çözüm
\(f(\mathbf{p}) = p_1^2 p_2\) ve \(g(\mathbf{p}) = p_2 \sin p_3\) kuralını her noktaya uygularız:
\[\begin{aligned} f(2, 3, 1) &= 4 \cdot 3 = 12, & g(2, 3, 1) &= 3 \sin 1, \\ f(1, 2, \pi/2) &= 1 \cdot 2 = 2, & g(1, 2, \pi/2) &= 2 \sin(\pi/2) = 2, \\ f(0, 0, 0) &= 0, & g(0, 0, 0) &= 0. \end{aligned}\]
\(f\) üçüncü, \(g\) birinci koordinata bağlı değildir; yine de ikisi de \(\mathbb{R}^3\)’ün tamamında tanımlıdır.
\(\blacksquare\)
1.3 Kısmi Türevler ve Diferansiyellenebilir Fonksiyonlar
Kısmi türev almayı ve bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralını (chain rule) bildiğinizi varsayıyoruz; zincir kuralının ispatını yeniden yapmayacak, onu bir araç olarak kullanacağız. Yine de kısmi türevin tanımını koordinat diliyle bir kez hatırlatalım, çünkü sonraki bölümlerde bu tanımın üzerine yeni kavramlar kuracağız.
\(f\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir fonksiyon ve \(\mathbf{p} = (p_1, p_2, p_3)\) bir nokta olsun. \(f\)’nin \(\mathbf{p}\) noktasındaki \(x\)’e göre kısmi türevi (partial derivative), öteki iki koordinat sabit tutularak yalnızca birinci koordinat değiştirildiğinde \(f\)’nin değişim hızıdır:
\[\frac{\partial f}{\partial x}(\mathbf{p}) = \lim_{t \to 0} \frac{f(p_1 + t,\ p_2,\ p_3) - f(p_1, p_2, p_3)}{t}.\]
\(\partial f/\partial y\) ve \(\partial f/\partial z\) aynı biçimde, ikinci ve üçüncü koordinat değiştirilerek tanımlanır. Bu türevler yine \(\mathbb{R}^3\) üzerinde birer fonksiyondur; onların da türevi alınarak \(\partial^2 f/\partial x^2\), \(\partial^2 f/\partial x \partial y\) gibi ikinci mertebeden (second-order) türevler (burada \(\partial^2 f/\partial x\, \partial y\) yazımı, önce \(y\)’ye sonra \(x\)’e göre türev almak demektir), sonra daha yüksek mertebeden türevler elde edilir. Hesapta en çok birinci ve ikinci mertebeden türevler geçer; ara sıra üçüncü, hatta dördüncü mertebeden türevler de gerekir.
Örnek 1.8 (Kısmi Türevin Anlamı) Öklid düzleminde \(f = x^2 y\) olsun; kısmi türevin tanımı düzlemde de aynıdır, yalnızca değiştirilecek iki koordinat vardır. \(\mathbf{p} = (1, 2)\) noktasında \(\partial f/\partial x\) ve \(\partial f/\partial y\) değerlerini bulalım ve bunların birer eğim olduğunu görelim.
Çözüm
\(\partial f/\partial x = 2xy\) ve \(\partial f/\partial y = x^2\) birer fonksiyondur; \(\mathbf{p} = (1, 2)\)’deki değerleri
\[\frac{\partial f}{\partial x}(\mathbf{p}) = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(\mathbf{p}) = 1^2 = 1\]
sayılarıdır. Anlamları şudur: \(\mathbf{p}\)’den yalnızca birinci koordinatı \(t\) kadar değiştirirsek \(f(1 + t, 2) = 2(1 + t)^2\) değerini görürüz; bu tek değişkenli fonksiyonun \(t = 0\)’daki türevi \(4\)’tür. Yukarıdaki şekil bu parabolü ve \(t = 0\)’daki eğimi \(4\) olan teğetini gösterir. İkinci koordinat boyunca ilerlersek \(f(1, 2 + t) = 2 + t\) görürüz; eğimi \(1\)’dir. Kısmi türev, fonksiyonu bir koordinat doğrultusundaki doğruya kısıtlayıp sıradan türev almaktır.
\(\blacksquare\)
Kaç türev alabileceğimizi her seferinde düşünmemek için fonksiyonların istediğimiz kadar türevlenebilir olmasını baştan isteyeceğiz.
Tanım 1.4 (Diferansiyellenebilir Fonksiyon) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde gerçel değerli bir \(f\) fonksiyonunun her mertebeden bütün kısmi türevleri varsa ve bunların hepsi sürekliyse \(f\)’ye diferansiyellenebilir (differentiable) denir. Aynı anlamda sonsuz kere türevlenebilir (infinitely differentiable), düzgün (smooth) ya da \(C^\infty\) sınıfından da denir.
Yani diferansiyellenebilir bir fonksiyonun türevini istediğimiz kadar, istediğimiz sırayla alabiliriz; hiçbir aşamada türevin varlığı ya da sürekliliği için kaygılanmayız. Bu, temel analizdeki “türevlenebilir” sözcüğünden daha güçlüdür: orada bir kere yeterliydi, burada her mertebeyi istiyoruz. Süreklilik koşulunun bir kazancı da karışık türevlerin (mixed partial derivatives) sıradan bağımsız olmasıdır: \(\partial^2 f/\partial x \partial y = \partial^2 f/\partial y \partial x\).
Örnek 1.9 (Bir Polinomun Diferansiyellenebilirliği) \(f = x^2 y\) fonksiyonunun diferansiyellenebilir olduğunu görelim.
Çözüm
\(f = x^2 y\) bir polinomdur ve bir polinomun her kısmi türevi yine bir polinomdur: \(\partial f/\partial x = 2xy\), \(\partial f/\partial y = x^2\), \(\partial f/\partial z = 0\), \(\partial^2 f/\partial x^2 = 2y\), \(\partial^2 f/\partial x \partial y = 2x\), sonunda hepsi sıfır. Polinomlar sürekli olduğundan bütün türevler vardır ve süreklidir; \(f\) ve her polinom diferansiyellenebilirdir.
\(\blacksquare\)
Örnek 1.10 (Sinüslü Bir Fonksiyonun Diferansiyellenebilirliği) \(g = y \sin z\) fonksiyonunun diferansiyellenebilir olduğunu görelim.
Çözüm
\(g = y \sin z\) için türevler \(\partial g/\partial x = 0\), \(\partial g/\partial y = \sin z\), \(\partial g/\partial z = y \cos z\), \(\partial^2 g/\partial y\, \partial z = \cos z\), \(\partial^2 g/\partial z^2 = -y \sin z\) gibi, her biri \(\pm y \sin z\), \(\pm y \cos z\), \(\pm \sin z\), \(\pm \cos z\) biçiminde ya da sıfır olan fonksiyonlardır. Sinüs ve kosinüsün türevleri yine sinüs ve kosinüs olduğundan bu döngü hiç bozulmaz; bütün türevler vardır ve süreklidir. Genel olarak polinomlar, üstel fonksiyon, sinüs, kosinüs ve bunların toplam, çarpım ve bileşkeleri diferansiyellenebilirdir; bu derste karşılaşacağımız fonksiyonların hemen hepsi bu türdendir.
\(\blacksquare\)
Örnek 1.11 (Bir Polinomun Seviye Eğrileri) Öklid düzleminde \(f = x^2 y\) fonksiyonunun seviye eğrilerini (level curves) çizelim.
Çözüm
Yukarıdaki şekilde düzlemdeki \(f = x^2 y\) fonksiyonunun seviye eğrileri, yani \(x^2 y = c\) kümeleri görülüyor: \(c \ne 0\) için iki dallı \(y = c/x^2\) eğrisi, \(c = 0\) için iki koordinat ekseninin birleşimi. \(\mathbf{p} = (1, 2)\) noktası \(c = 2\) eğrisinin üzerindedir, çünkü \(f(1, 2) = 2\).
\(\blacksquare\)
Örnek 1.12 (Mutlak Değer Diferansiyellenebilir Değildir) \(f = |x|\) fonksiyonunun diferansiyellenebilir olmadığını gösterelim.
Çözüm
\(f = |x|\) için \(\mathbf{p} = (0, p_2, p_3)\) biçimindeki bir noktada birinci kısmi türevi denetleyelim. Tanıma göre
\[\frac{f(t, p_2, p_3) - f(0, p_2, p_3)}{t} = \frac{|t|}{t}\]
oranı \(t > 0\) için \(1\), \(t < 0\) için \(-1\)’dir; \(t \to 0\) iken limiti yoktur. Dolayısıyla \(\partial f/\partial x\) bu noktalarda tanımsızdır ve \(f\) diferansiyellenebilir değildir; sorun yalnızca \(x = 0\) düzlemindedir ama tanım her noktada türev ister.
\(\blacksquare\)
Örnek 1.13 (Türevi Sürekli Ama Diferansiyellenebilir Olmayan Bir Fonksiyon) \(g = x|x|\) fonksiyonunun diferansiyellenebilir olmadığını gösterelim.
Çözüm
\(g = x|x|\) fonksiyonu mutlak değer örneğinden (Örnek 1.12) daha inceliklidir. \(p_1 > 0\) için \(g = x^2\), \(p_1 < 0\) için \(g = -x^2\); buralarda \(\partial g/\partial x = 2|x|\)’tir. \(p_1 = 0\) noktalarında ise
\[\frac{g(t, p_2, p_3) - g(0, p_2, p_3)}{t} = \frac{t|t|}{t} = |t| \to 0\]
olduğundan türev vardır ve \(0\)’dır. Böylece \(\partial g/\partial x = 2|x|\) her yerde vardır ve süreklidir. Ama ikinci mertebede mutlak değer örneğine döneriz: \(2|x|\)’in \(x\)’e göre türevi \(p_1 = 0\) noktalarında yoktur. Birinci türevi var ve sürekli olan \(g\), ikinci türevi olmadığı için bizim anlamımızda diferansiyellenebilir değildir; tanımda “her mertebeden” demenin nedeni budur.
\(\blacksquare\)
Diferansiyellenebilir iki fonksiyonu toplayıp çarpabiliriz; sonuç yine diferansiyellenebilirdir. İşlemler değerlerin her noktada ayrı ayrı toplanıp çarpılmasıyla yapılır.
Tanım 1.5 (Fonksiyonların Toplamı ve Çarpımı) \(f\) ve \(g\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde gerçel değerli fonksiyonlar olsun. Toplam \(f + g\) ve çarpım \(fg\), her \(\mathbf{p}\) noktası için
\[(f + g)(\mathbf{p}) = f(\mathbf{p}) + g(\mathbf{p}), \qquad (fg)(\mathbf{p}) = f(\mathbf{p})\, g(\mathbf{p})\]
kuralıyla tanımlanan fonksiyonlardır. Bu tür işlemlere noktasal (pointwise) işlem denir.
Yani iki fonksiyonu toplamak ya da çarpmak için her noktadaki değerlerini toplar ya da çarparız. Aynı düşünceyle sayıyla çarpım \((cf)(\mathbf{p}) = c\, f(\mathbf{p})\) ve \(g\)’nin sıfırlanmadığı yerde bölüm \((f/g)(\mathbf{p}) = f(\mathbf{p})/g(\mathbf{p})\) tanımlanır.
Önerme 1.2 (Toplam ve Çarpım Diferansiyellenebilirliği Korur) \(f\) ve \(g\) diferansiyellenebilir ise \(f + g\) ve \(fg\) de diferansiyellenebilirdir.
İspat
Her \(k \ge 0\) için şu iddiayı tümevarımla gösteriyoruz: \(f + g\)’nin \(k\)-ıncı mertebeden her kısmi türevi vardır ve \(f\) ile \(g\)’nin aynı türevlerinin toplamıdır; \(fg\)’nin \(k\)-ıncı mertebeden her kısmi türevi vardır ve \(f\)’nin bir kısmi türevi ile \(g\)’nin bir kısmi türevinin çarpımlarından oluşan sonlu bir toplamdır (sıfırıncı mertebeden türev fonksiyonun kendisidir). \(k = 0\) için iddia tanımın kendisidir.
İddia \(k\) için doğru olsun ve \(k\)-ıncı mertebeden bir türevin \(x_i\)’ye göre türevini alalım. Toplam kuralına göre toplamın türevi türevlerin toplamıdır; \(f\) ve \(g\)’nin \((k+1)\)-inci mertebeden türevleri var olduğundan sonuç vardır ve aynı biçimdedir. Çarpım için: sonlu toplamın türevi terimlerin türevlerinin toplamıdır ve her \(F G\) teriminin türevi çarpım kuralına göre \((\partial F/\partial x_i)\, G + F\, (\partial G/\partial x_i)\)’dir; \(F\) ve \(G\), \(f\) ile \(g\)’nin türevleri olduğundan bu türevler vardır ve yeni ifade yine istenen biçimdedir. Böylece iddia \(k + 1\) için de doğrudur.
Her mertebedeki türev, \(f\) ve \(g\)’nin sürekli türevlerinin sonlu toplam ve çarpımı olduğundan süreklidir. Dolayısıyla \(f + g\) ve \(fg\) diferansiyellenebilirdir.
\(\blacksquare\)
İspatın özü şudur: toplam ve çarpım kuralı her türev mertebesinde aynı biçimi korur, bu yüzden hiçbir mertebede yeni bir şey olmaz.
Bu önerme, koordinat fonksiyonlarıyla yazılan formüllerin neden diferansiyellenebilir olduğunu da açıklar. \(x\) fonksiyonu diferansiyellenebilirdir: \(\partial x/\partial x = 1\), öteki bütün türevleri \(0\)’dır; \(y\) ve \(z\) için de aynı şey geçerlidir. \(x^2 y = x \cdot x \cdot y\) ise üç diferansiyellenebilir fonksiyonun noktasal çarpımıdır. Genel olarak \(x, y, z\) ile yazılmış her polinom, koordinat fonksiyonlarının ve sabit fonksiyonların noktasal toplam ve çarpımlarından kurulur; dolayısıyla önermeye göre diferansiyellenebilirdir.
Örnek 1.14 (Noktasal Toplam ve Çarpımın Değerleri) \(f = x^2 y\) ve \(g = y \sin z\) olsun. \(f + g\) ve \(fg\) fonksiyonlarını \(x, y, z\) cinsinden yazalım ve \(\mathbf{p} = (1, 2, \pi/2)\) noktasındaki değerlerini bulalım.
Çözüm
Tanım gereği \(f + g = x^2 y + y \sin z\) ve \(fg = x^2 y^2 \sin z\)’dir. Noktadaki değerler: \(f(\mathbf{p}) = 2\) ve \(g(\mathbf{p}) = 2 \sin(\pi/2) = 2\); dolayısıyla \((f + g)(\mathbf{p}) = 4\) ve \((fg)(\mathbf{p}) = 4\). Aynı sonuç formüllerden de çıkar: \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 4\) ve \(1 \cdot 4 \cdot 1 = 4\).
\(\blacksquare\)
Örnek 1.15 (Çarpımın Türevi İki Yolla) \(f = x^2 y\) ve \(g = y \sin z\) olsun. \(\partial(fg)/\partial z\) türevini iki yolla hesaplayalım.
Çözüm
Türev için iki yol var. Birincisinde \(fg = x^2 y^2 \sin z\) formülünü doğrudan kullanır ve \(\partial(fg)/\partial z = x^2 y^2 \cos z\) buluruz. İkincisinde çarpım kuralını uygularız:
\[\partial(fg)/\partial z = f\, \partial g/\partial z + g\, \partial f/\partial z = x^2 y \cdot y \cos z + y \sin z \cdot 0 = x^2 y^2 \cos z\]
İki yol uyuşur.
\(\blacksquare\)
Bundan sonra her seferinde “diferansiyellenebilir gerçel değerli fonksiyon” demek yerine kısaca fonksiyon diyeceğiz. Yani aksi söylenmedikçe bir fonksiyonun değerleri gerçel sayıdır ve fonksiyon diferansiyellenebilirdir. Bu kısaltma yalnızca yazımı hafifletmek içindir. Bir fonksiyonun diferansiyellenebilir olup olmadığının tartışıldığı yerlerde ya da vurgu gerektiğinde iki sıfatı yine açıkça yazacağız; örneğin \(|x|\) gibi bir fonksiyondan söz ederken diferansiyellenebilir olmadığını ayrıca belirtiriz.
Birden çok fonksiyonu başka bir fonksiyonun içine yerleştirmek bu derste sık yapacağımız bir işlemdir; yerleştirmeyi kesin bir tanımla, türevini de zincir kuralıyla veriyoruz.
Tanım 1.6 (Fonksiyonların Yerleştirilmesi) \(g_1, g_2, g_3\) ve \(h\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde gerçel değerli fonksiyonlar olsun. Her \(\mathbf{p}\) noktası için
\[f(\mathbf{p}) = h\bigl(g_1(\mathbf{p}),\ g_2(\mathbf{p}),\ g_3(\mathbf{p})\bigr)\]
kuralıyla tanımlanan \(f\) fonksiyonu \(f = h(g_1, g_2, g_3)\) ile gösterilir.
Yani \(h\)’nin üç girişine sırasıyla \(g_1, g_2, g_3\)’ün değerleri konur; bu, \(\mathbf{p} \mapsto (g_1(\mathbf{p}), g_2(\mathbf{p}), g_3(\mathbf{p}))\) ile \(h\)’nin bileşkesidir. Özel olarak \(g_1 = x\), \(g_2 = y\), \(g_3 = z\) alınırsa
\[f(x, y, z)(\mathbf{p}) = f\bigl(x(\mathbf{p}), y(\mathbf{p}), z(\mathbf{p})\bigr) = f(p_1, p_2, p_3) = f(\mathbf{p})\]
olur; yani \(f = f(x, y, z)\) özdeşliği geçerlidir. Bu, “\(f = x^2 y\)” ile “\(f(x, y, z) = x^2 y\)” yazımlarının neden aynı şeyi söylediğinin kesin gerekçesidir.
Teorem 1.1 (Zincir Kuralı) \(h\) ve \(g_1, g_2, g_3\) diferansiyellenebilir fonksiyonlar ve \(f = h(g_1, g_2, g_3)\) olsun. O zaman \(f\) diferansiyellenebilirdir ve
\[\frac{\partial f}{\partial x} = \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial h}{\partial x_i}(g_1, g_2, g_3)\, \frac{\partial g_i}{\partial x}\]
eşitliği geçerlidir; \(\partial f/\partial y\) ve \(\partial f/\partial z\) için de aynı formül, sağ yanda \(\partial g_i/\partial y\) ve \(\partial g_i/\partial z\) ile geçerlidir. Burada \((\partial h/\partial x_i)(g_1, g_2, g_3)\), \(h\)’nin \(i\)-inci kısmi türevine \(g_1, g_2, g_3\)’ün yerleştirilmesidir.
İspat
Formülün kendisi, birinci mertebeden kısmi türevleri sürekli olan fonksiyonlar için analiz derslerinden bilinen zincir kuralıdır; onu ispatsız, bir araç olarak kabul ediyoruz. Analizden iki olguyu daha kullanacağız: kısmi türevleri sürekli olan bir fonksiyon süreklidir ve sürekli fonksiyonların bileşkesi süreklidir. Gösterilecek olan, \(f\)’nin her mertebeden kısmi türevinin var ve sürekli olduğudur.
\(g_1, g_2, g_3\)’ü sabit tutalım ve iki tür çarpana izin verelim: diferansiyellenebilir bir fonksiyon ya da diferansiyellenebilir bir \(k\) için \(k(g_1, g_2, g_3)\) biçiminde bir yerleştirme. Böyle çarpanların sonlu çarpımlarının sonlu toplamlarına kısaca izinli ifade diyelim. \(f = h(g_1, g_2, g_3)\) tek çarpanlı, tek terimli bir izinli ifadedir; iki izinli ifadenin toplamı ve çarpımı da izinlidir.
Önce süreklilik. Diferansiyellenebilir bir çarpan süreklidir. \(k(g_1, g_2, g_3)\) çarpanı, \(\mathbf{p} \mapsto (g_1(\mathbf{p}), g_2(\mathbf{p}), g_3(\mathbf{p}))\) ile \(k\)’nin bileşkesi olduğundan süreklidir. Sürekli fonksiyonların sonlu toplam ve çarpımı sürekli olduğundan her izinli ifade süreklidir.
Şimdi türev. \(k(g_1, g_2, g_3)\) çarpanının \(x_j\)’ye göre kısmi türevi, birinci mertebeden zincir kuralına göre
\[\sum_{i=1}^{3} \frac{\partial k}{\partial x_i}(g_1, g_2, g_3)\, \frac{\partial g_i}{\partial x_j}\]
toplamıdır. \(\partial k/\partial x_i\) diferansiyellenebilir olduğundan \((\partial k/\partial x_i)(g_1, g_2, g_3)\) yine ikinci türden bir çarpan, \(\partial g_i/\partial x_j\) ise birinci türden bir çarpandır; yani bu türev izinli bir ifadedir. Diferansiyellenebilir bir çarpanın türevi diferansiyellenebilirdir, o da izinlidir. Çarpım kuralına göre bir çarpımın türevi, çarpanlardan birinin türevi ile ötekilerin çarpımlarının toplamıdır; toplam kuralına göre bir toplamın türevi terimlerin türevlerinin toplamıdır. İzinli ifadeler toplam ve çarpım altında kapalı olduğundan sonuç şudur: her izinli ifadenin her birinci mertebeden kısmi türevi vardır ve yine izinli bir ifadedir.
Bu iki gözlemi birleştirelim. \(f\) izinli olduğundan birinci mertebeden türevleri vardır ve izinlidir; izinli olduklarından onların da türevleri vardır ve izinlidir; bu hiç durmaz. Yani \(f\)’nin her mertebeden bütün kısmi türevleri vardır ve her biri izinli bir ifade olarak süreklidir. \(f\) diferansiyellenebilirdir.
\(\blacksquare\)
Yani dıştaki fonksiyonun her girişine göre türevi, o girişe yerleştirilen fonksiyonun türeviyle çarpılır ve çarpımlar toplanır. Tek girişli özel durum en sık kullanılanıdır: \(\varphi\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) diferansiyellenebilir ise \(\partial(\varphi \circ g)/\partial x = \varphi'(g)\, \partial g/\partial x\); örneğin \(\partial(\sin g)/\partial x = \cos g\, \partial g/\partial x\).
İspatın özü şudur: bir yerleştirmenin türevi yine yerleştirmelerle diferansiyellenebilir fonksiyonların toplam ve çarpımıdır; bu biçim türev alınca bozulmadığından türevleme hiçbir mertebede tıkanmaz.
Örnek 1.16 (Zincir Kuralıyla Hesap) \(h = xy + z\) ve \(f = h(x^2,\ y + z,\ xz)\) olsun. \(\partial f/\partial x\) türevini önce zincir kuralıyla, sonra \(f\)’yi açıkça yazarak bulalım.
Çözüm
\(h\)’nin kısmi türevleri \(\partial h/\partial x_1 = y\), \(\partial h/\partial x_2 = x\), \(\partial h/\partial x_3 = 1\)’dir. \(g_1 = x^2\), \(g_2 = y + z\), \(g_3 = xz\) yerleştirilince bu türevler sırasıyla \(g_2 = y + z\), \(g_1 = x^2\) ve \(1\) olur. Zincir kuralı:
\[\frac{\partial f}{\partial x} = (y + z) \cdot \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + x^2 \cdot \frac{\partial (y + z)}{\partial x} + 1 \cdot \frac{\partial (xz)}{\partial x} = (y + z)\, 2x + x^2 \cdot 0 + z = 2x(y + z) + z.\]
Denetleme: \(f = x^2 (y + z) + xz\) olduğundan doğrudan \(\partial f/\partial x = 2x(y + z) + z\); iki yol uyuşur. Örneğin \(\mathbf{p} = (1, 2, 3)\) noktasında \((\partial f/\partial x)(\mathbf{p}) = 2 \cdot 1 \cdot (2 + 3) + 3 = 13\) bulunur.
\(\blacksquare\)
Örnek 1.17 (Düzlemde Zincir Kuralı) Öklid düzleminde yerleştirme iki fonksiyonla yapılır: \(h\), \(g_1\) ve \(g_2\) düzlem üzerinde fonksiyonlar ise \(f = h(g_1, g_2)\) fonksiyonu \(f(\mathbf{p}) = h\bigl(g_1(\mathbf{p}), g_2(\mathbf{p})\bigr)\) ile tanımlanır ve zincir kuralı iki terimli olur: giriş sayısı kadar terim. \(h = xy\) ve \(f = h(x + y,\ x - y)\) olsun. \(\partial f/\partial x\) ve \(\partial f/\partial y\) türevlerini bulalım, sonra \(\mathbf{p} = (3, 1)\) noktasındaki değerlerini hesaplayalım.
Çözüm
\(h\)’nin türevleri \(\partial h/\partial x_1 = y\) ve \(\partial h/\partial x_2 = x\)’tir; \(g_1 = x + y\) ve \(g_2 = x - y\) yerleştirilince bunlar sırasıyla \(g_2 = x - y\) ve \(g_1 = x + y\) olur. \(g_1\)’in iki türevi de \(1\), \(g_2\)’nin \(x\)’e göre türevi \(1\), \(y\)’ye göre türevi \(-1\)’dir. Zincir kuralına göre
\[\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= (x - y) \cdot 1 + (x + y) \cdot 1 = 2x, \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= (x - y) \cdot 1 + (x + y) \cdot (-1) = -2y \end{aligned}\]
bulunur. Denetleme: \(f = (x + y)(x - y) = x^2 - y^2\) olduğundan doğrudan \(\partial f/\partial x = 2x\) ve \(\partial f/\partial y = -2y\); iki yol uyuşur. \(\mathbf{p} = (3, 1)\) noktasında \(f(\mathbf{p}) = h(4, 2) = 8\), \((\partial f/\partial x)(\mathbf{p}) = 6\) ve \((\partial f/\partial y)(\mathbf{p}) = -2\) olur.
\(\blacksquare\)
1.4 Türev Yerel Bir İşlemdir: Açık Kümeler
Kısmi türevin tanımına bir kez daha bakalım: \(\partial f/\partial x\)’in \(\mathbf{p}\) noktasındaki değeri, \(f(p_1 + t, p_2, p_3)\) sayılarının \(t \to 0\) iken nasıl değiştiğinden hesaplanır. Limitte yalnızca küçük \(t\) değerleri rol oynadığından, \(f\)’nin \(\mathbf{p}\)’den uzaktaki noktalarda ne yaptığı sonucu hiç etkilemez; \(f\)’yi \(\mathbf{p}\)’nin çevresindeki küçük bir bölgede bilmek yeter. Türev bu anlamda yerel (local) bir işlemdir.
O hâlde diferansiyellenebilir fonksiyonu yalnızca \(\mathbb{R}^3\)’ün tamamında tanımlı fonksiyonlar için tanımlamak gereksiz bir kısıtlamadır. Örneğin \(\log x\) yalnızca \(x > 0\) olan noktalarda anlamlıdır; yine de bu noktaların her birinin çevresinde küçük bir bölgede tanımlıdır ve orada türevi alınabilir. Bir fonksiyonun tanım kümesinden istediğimiz tek şey, her noktasının çevresinde türev almaya yetecek “biraz yer” bırakmasıdır. Bu özelliği taşıyan kümelere ad veriyoruz.
Tanım 1.7 (Açık Küme) \(\mathbb{R}^3\)’ün bir \(O\) alt kümesi şu özelliği taşıyorsa açık küme (open set) denir: \(O\)’nun her \(\mathbf{p}\) noktası için, \(\mathbf{p}\)’ye yeterince yakın olan bütün noktalar da \(O\)’nun içindedir. Burada “yeterince yakın” şu demektir: \(\mathbf{p}\)’ye bağlı bir \(\varepsilon > 0\) sayısı vardır ve \(\mathbf{p}\)’ye uzaklığı \(\varepsilon\)’dan küçük olan her \(\mathbf{q}\) noktası \(O\)’dadır. İki noktanın uzaklığı
\[d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sqrt{(q_1 - p_1)^2 + (q_2 - p_2)^2 + (q_3 - p_3)^2}\]
ile ölçülür.
Yani açık kümenin hiçbir noktası “kenarda” değildir: her noktasının etrafına, tamamen kümenin içinde kalan küçük bir top sığar. Topun yarıçapı \(\varepsilon\) noktadan noktaya değişebilir; kenara yaklaştıkça küçülür ama hiçbir noktada sıfır olmaz.
Tanımı bir açık kümeye şöyle taşırız: \(O\) açık ve \(f\colon O \to \mathbb{R}\) olsun; \(f\)’nin \(O\)’nun her noktasında her mertebeden bütün kısmi türevleri varsa ve süreklilerse \(f\)’ye \(O\) üzerinde diferansiyellenebilir denir. Bir noktada türev almak için \(f\)’nin o noktanın etrafındaki küçük bir topta tanımlı olması yeter, açıklık da tam bunu sağlar. Bu bölümün bütün sonuçları \(\mathbb{R}^3\) yerine herhangi bir açık \(O\) kümesi alındığında da geçerlidir.
Örnek 1.18 (Yarı Uzayda Diferansiyellenebilir Bir Fonksiyon) \(O = \{\, \mathbf{p} \in \mathbb{R}^3 : p_1 > 0 \,\}\) yarı uzayı açıktır: bir \(\mathbf{p} \in O\) noktası için \(\varepsilon = p_1\) seçilirse, \(\mathbf{p}\)’ye uzaklığı \(\varepsilon\)’dan küçük her \(\mathbf{q}\) noktası da \(q_1 > 0\) sağlar. Bu açık küme üzerinde \(f = yz \log x\) fonksiyonunun diferansiyellenebilir olduğunu görelim.
Çözüm
\(f = yz \log x\) fonksiyonu \(O\) üzerinde tanımlıdır, çünkü \(O\)’da \(x > 0\)’dır. Kısmi türevleri
\[\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{yz}{x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = z \log x, \qquad \frac{\partial f}{\partial z} = y \log x\]
olur; daha yüksek mertebeden her türev \(y\), \(z\), \(\log x\) ve \(1/x\)’in kuvvetlerinin çarpımlarından oluşan bir toplamdır ve \(x > 0\) olduğu sürece tanımlı ve süreklidir. Dolayısıyla \(f\), \(O\) üzerinde diferansiyellenebilirdir; tanım kümesinin \(\mathbb{R}^3\)’ün tamamı olmaması sorun yaratmaz.
\(\blacksquare\)
1.5 Boyut Üzerine: Öklid Düzlemi ve n-Uzayı
Bu bölümde boyutu üç seçtik; bunun tek nedeni, eğriler ve yüzeyler incelenirken en çok bu boyuta ihtiyaç duyulmasıdır. Tanımların hiçbiri “üç” sayısına gerçekten bağlı değildir. \(n\) herhangi bir pozitif tam sayı olsun. Gerçel sayıların bütün sıralı \(n\)-lilerinin kümesine Öklid \(n\)-uzayı (Euclidean \(n\)-space) denir ve \(\mathbb{R}^n\) ile gösterilir; elemanları \(\mathbf{p} = (p_1, \dots, p_n)\) noktalarıdır. Toplam ve skaler kat yine koordinat koordinat yapılır, \(\mathbb{R}^n\) bir vektör uzayıdır ve \(x_i(\mathbf{p}) = p_i\) kuralıyla \(n\) tane doğal koordinat fonksiyonu \(x_1, \dots, x_n\) vardır. Kısmi türev, diferansiyellenebilirlik, noktasal işlemler, yerleştirme ve zincir kuralı, açık küme tanımları da harfi harfine aynı kalır; yalnızca “üç” yerine “\(n\)” okunur. Dolayısıyla bu bölümün bütün sonuçları her \(n\) için geçerlidir.
Bu genellikten iki özel durumu kullanacağız. Birincisi Öklid düzlemi \(\mathbb{R}^2\)’dir: düzlemde nokta \((p_1, p_2)\) biçimindedir, koordinat fonksiyonları \(x, y\)’dir ve düzlem örnekleri, uzaydaki kavramları kâğıda çizip görmenin en kolay yoludur; bu bölümde de birkaç kez düzleme indik. İkincisi \(n = 1\) durumu, yani gerçel sayı doğrusu \(\mathbb{R}^1 = \mathbb{R}\)’dir. Burada tanımlar geçerli kalır ama gereğinden ağır düşer: tek koordinat fonksiyonu \(x_1\) özdeşlik fonksiyonudur (\(x_1(p) = p\)), kısmi türev sıradan türeve indirgenir ve nokta ile koordinatı ayırmanın bir anlamı kalmaz. Bu kavramlar yüksek boyutlar için tasarlanmıştır; bir boyutta gösterdikleri hantallık bundandır.
1.6 Alıştırmalar
Alıştırma 1.1 (Bir Çarpımı Koordinatlarla Yazmak) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde \(f = x^2 y\) ve \(g = y \sin z\) olsun. \(fg^2\) fonksiyonunu \(x, y, z\) cinsinden yazın.
Çözüm
Çarpım noktasal olduğundan formüller doğrudan çarpılır: \(g^2 = y^2 \sin^2 z\) ve
\[fg^2 = x^2 y \cdot y^2 \sin^2 z = x^2 y^3 \sin^2 z.\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.2 (Türevli Bir Toplamı Koordinatlarla Yazmak) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde \(f = x^2 y\) ve \(g = y \sin z\) olsun. \((\partial f/\partial x)\, g + (\partial g/\partial y)\, f\) fonksiyonunu \(x, y, z\) cinsinden yazın.
Çözüm
\(\partial f/\partial x = 2xy\) ve \(\partial g/\partial y = \sin z\); dolayısıyla
\[\frac{\partial f}{\partial x}\, g + \frac{\partial g}{\partial y}\, f = 2xy \cdot y \sin z + \sin z \cdot x^2 y = 2xy^2 \sin z + x^2 y \sin z = xy(2y + x) \sin z.\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.3 (İkinci Mertebeden Bir Türevi Koordinatlarla Yazmak) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde \(f = x^2 y\) ve \(g = y \sin z\) olsun. \(\partial^2 (fg)/\partial y\, \partial z\) fonksiyonunu \(x, y, z\) cinsinden yazın.
Çözüm
Önce \(fg = x^2 y^2 \sin z\) yazalım. \(\partial^2/\partial y\, \partial z\) yazımı “önce \(z\)’ye, sonra \(y\)’ye göre türev al” demektir; diferansiyellenebilir fonksiyonlarda sıra sonucu değiştirmez. \(z\)’ye göre türev \(x^2 y^2 \cos z\), ardından \(y\)’ye göre türev
\[\frac{\partial^2 (fg)}{\partial y\, \partial z} = 2x^2 y \cos z\]
verir; öteki sırayla da aynı sonuç çıkar.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.4 (Bir Bileşkenin Türevini Koordinatlarla Yazmak) \(\mathbb{R}^3\) üzerinde \(f = x^2 y\) olsun. \(\partial(\sin f)/\partial y\) fonksiyonunu \(x, y, z\) cinsinden yazın.
Çözüm
Zincir kuralının tek girişli biçimine göre \(\partial(\sin f)/\partial y = \cos f \cdot \partial f/\partial y\). \(\partial f/\partial y = x^2\) olduğundan
\[\frac{\partial}{\partial y}(\sin f) = x^2 \cos(x^2 y).\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.5 (Bir Fonksiyonun Köşegen Üzerindeki Bir Değeri) \(f = x^2 y - y^2 z\) fonksiyonunun \((1, 1, 1)\) noktasındaki değerini bulun.
Çözüm
\(f(\mathbf{p}) = p_1^2 p_2 - p_2^2 p_3\) kuralını uygularız.
\(f(1, 1, 1) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 0\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.6 (Bir Fonksiyonun Kesirli Koordinatlı Bir Noktadaki Değeri) \(f = x^2 y - y^2 z\) fonksiyonunun \((3, -1, \tfrac{1}{2})\) noktasındaki değerini bulun.
Çözüm
\(f(\mathbf{p}) = p_1^2 p_2 - p_2^2 p_3\) kuralını uygularız.
\(f(3, -1, \tfrac{1}{2}) = 9 \cdot (-1) - 1 \cdot \tfrac{1}{2} = -9 - \tfrac{1}{2} = -\tfrac{19}{2}\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.7 (Bir Fonksiyonun Parametreli Noktalardaki Değeri) \(f = x^2 y - y^2 z\) fonksiyonunun \((a, 1, 1 - a)\) noktasındaki değerini bulun.
Çözüm
\(f(\mathbf{p}) = p_1^2 p_2 - p_2^2 p_3\) kuralını uygularız.
\(f(a, 1, 1 - a) = a^2 \cdot 1 - 1 \cdot (1 - a) = a^2 + a - 1\); sonuç \(a\)’ya bağlı bir sayıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.8 (Bir Fonksiyonun Bir Eğri Boyunca Değerleri) \(f = x^2 y - y^2 z\) fonksiyonunun \((t, t^2, t^3)\) noktasındaki değerini bulun.
Çözüm
\(f(\mathbf{p}) = p_1^2 p_2 - p_2^2 p_3\) kuralını uygularız.
\(f(t, t^2, t^3) = t^2 \cdot t^2 - t^4 \cdot t^3 = t^4 - t^7\). Bu, \(t \mapsto (t, t^2, t^3)\) eğrisi boyunca \(f\)’nin aldığı değerleri veren tek değişkenli fonksiyondur; \(t = 1\) için \((1, 1, 1)\) noktasına döneriz.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.9 (Çarpım ve Bileşke İçeren Bir Kısmi Türev) \(f = x \sin(xy) + y \cos(xz)\) olsun. \(\partial f/\partial x\) türevini \(x, y, z\) cinsinden yazın.
Çözüm
İlk terim bir çarpımdır; çarpım kuralı ve zincir kuralıyla \(\partial\bigl(x \sin(xy)\bigr)/\partial x = \sin(xy) + x \cos(xy) \cdot y\). İkinci terimde \(y\) sabittir: \(\partial\bigl(y \cos(xz)\bigr)/\partial x = -y \sin(xz) \cdot z\). Toplarsak
\[\frac{\partial f}{\partial x} = \sin(xy) + xy \cos(xy) - yz \sin(xz).\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.10 (İç İçe Bileşkenin Kısmi Türevi) \(f = \sin g\), \(g = e^h\) ve \(h = x^2 + y^2 + z^2\) olsun. \(\partial f/\partial x\) türevini \(x, y, z\) cinsinden yazın.
Çözüm
Zincir kuralını iki kez uygularız:
\[\frac{\partial f}{\partial x} = \cos g \cdot \frac{\partial g}{\partial x} = \cos g \cdot e^h \frac{\partial h}{\partial x} = \cos\bigl(e^h\bigr)\, e^h \cdot 2x.\]
\(h = x^2 + y^2 + z^2\) yerine yazılınca
\[\frac{\partial f}{\partial x} = 2x\, e^{x^2 + y^2 + z^2} \cos\bigl(e^{x^2 + y^2 + z^2}\bigr).\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.11 (Toplamların Yerleştirilmesi ve Zincir Kuralı) \(h = x^2 - yz\) ve \(f = h(x + y,\ y^2,\ x + z)\) olsun. \(\partial f/\partial x\) türevini \(x, y, z\) cinsinden yazın.
Çözüm
\(h\)’nin üç girişine göre türevleri \(\partial h/\partial x_1 = 2x\), \(\partial h/\partial x_2 = -z\), \(\partial h/\partial x_3 = -y\)’dir; yerleştirme yapıldığında bu türevlerdeki \(x, y, z\) yerine \(g_1, g_2, g_3\) konur. Zincir kuralına göre
\[\frac{\partial f}{\partial x} = 2g_1 \frac{\partial g_1}{\partial x} - g_3 \frac{\partial g_2}{\partial x} - g_2 \frac{\partial g_3}{\partial x}.\]
\(g_1 = x + y\), \(g_2 = y^2\), \(g_3 = x + z\); türevleri \(\partial g_1/\partial x = 1\), \(\partial g_2/\partial x = 0\), \(\partial g_3/\partial x = 1\). Formül:
\[\frac{\partial f}{\partial x} = 2(x + y) \cdot 1 - (x + z) \cdot 0 - y^2 \cdot 1 = 2(x + y) - y^2.\]
Denetleme: \(f = (x + y)^2 - y^2 (x + z)\), doğrudan \(\partial f/\partial x = 2(x + y) - y^2\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.12 (Üstel Fonksiyonların Yerleştirilmesi ve Zincir Kuralı) \(h = x^2 - yz\) ve \(f = h(e^z,\ e^{x + y},\ e^x)\) olsun. \(\partial f/\partial x\) türevini \(x, y, z\) cinsinden yazın.
Çözüm
\(h\)’nin üç girişine göre türevleri \(\partial h/\partial x_1 = 2x\), \(\partial h/\partial x_2 = -z\), \(\partial h/\partial x_3 = -y\)’dir; yerleştirme yapıldığında bu türevlerdeki \(x, y, z\) yerine \(g_1, g_2, g_3\) konur. Zincir kuralına göre
\[\frac{\partial f}{\partial x} = 2g_1 \frac{\partial g_1}{\partial x} - g_3 \frac{\partial g_2}{\partial x} - g_2 \frac{\partial g_3}{\partial x}.\]
\(g_1 = e^z\), \(g_2 = e^{x + y}\), \(g_3 = e^x\); türevleri \(0\), \(e^{x + y}\), \(e^x\). Formül:
\[\frac{\partial f}{\partial x} = 2e^z \cdot 0 - e^x \cdot e^{x + y} - e^{x + y} \cdot e^x = -2e^{2x + y}.\]
Denetleme: \(f = e^{2z} - e^{x + y} e^x = e^{2z} - e^{2x + y}\), doğrudan \(\partial f/\partial x = -2e^{2x + y}\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.13 (Aynı Koordinatın Yerleştirilmesi ve Zincir Kuralı) \(h = x^2 - yz\) ve \(f = h(x,\ -x,\ x)\) olsun. \(\partial f/\partial x\) türevini \(x, y, z\) cinsinden yazın.
Çözüm
\(h\)’nin üç girişine göre türevleri \(\partial h/\partial x_1 = 2x\), \(\partial h/\partial x_2 = -z\), \(\partial h/\partial x_3 = -y\)’dir; yerleştirme yapıldığında bu türevlerdeki \(x, y, z\) yerine \(g_1, g_2, g_3\) konur. Zincir kuralına göre
\[\frac{\partial f}{\partial x} = 2g_1 \frac{\partial g_1}{\partial x} - g_3 \frac{\partial g_2}{\partial x} - g_2 \frac{\partial g_3}{\partial x}.\]
\(g_1 = x\), \(g_2 = -x\), \(g_3 = x\); türevleri \(1\), \(-1\), \(1\). Formül:
\[\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \cdot 1 - x \cdot (-1) - (-x) \cdot 1 = 2x + x + x = 4x.\]
Denetleme: \(f = x^2 - (-x)(x) = 2x^2\), doğrudan \(\partial f/\partial x = 4x\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.14 (İfadeleri Nokta, Sayı ve Fonksiyon Diye Ayırmak) \(\mathbf{p} = (3, -2, 5)\) ve \(f = xz - y^2\) olsun. Şu ifadelerin her birinin nokta mı, sayı mı, fonksiyon mu olduğunu söyleyin: \(\mathbf{p}\), \(p_2\), \(x_2\), \(x_2(\mathbf{p})\), \(f\), \(f(\mathbf{p})\), \(x^2 + z\), \(2\mathbf{p}\), \(\partial f/\partial z\), \((\partial f/\partial z)(\mathbf{p})\).
Çözüm
Nokta: \(\mathbf{p}\) ve \(2\mathbf{p}\). Sayı: \(p_2\), \(x_2(\mathbf{p})\), \(f(\mathbf{p})\) ve \((\partial f/\partial z)(\mathbf{p})\). Fonksiyon: \(x_2\), \(f\), \(x^2 + z\) ve \(\partial f/\partial z\). Kural şudur: \(x, y, z\) (ya da \(x_1, x_2, x_3\)) ile yazılıp hiçbir noktada değerlendirilmemiş bir formül fonksiyondur; böyle bir fonksiyonun bir noktadaki değeri de bir noktanın koordinatı da sayıdır; koordinatları verilmiş ya da noktalardan toplam ve skaler katla kurulmuş bir ifade noktadır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.15 (Sayıların Değerleri ve Noktaların Koordinatları) \(\mathbf{p} = (3, -2, 5)\) ve \(f = xz - y^2\) olsun. \(\mathbf{p}\), \(p_2\), \(x_2\), \(x_2(\mathbf{p})\), \(f\), \(f(\mathbf{p})\), \(x^2 + z\), \(2\mathbf{p}\), \(\partial f/\partial z\), \((\partial f/\partial z)(\mathbf{p})\) ifadelerinden sayı olanların değerini, nokta olanların koordinatlarını bulun.
Çözüm
Bu ifadelerden sayı olanlar \(p_2\), \(x_2(\mathbf{p})\), \(f(\mathbf{p})\) ve \((\partial f/\partial z)(\mathbf{p})\); nokta olanlar \(\mathbf{p}\) ve \(2\mathbf{p}\)’dir.
\(p_2 = -2\) ve \(x_2(\mathbf{p}) = p_2 = -2\); bu iki yazım aynı sayıdır. \(f(\mathbf{p}) = p_1 p_3 - p_2^2 = 15 - 4 = 11\). \(\partial f/\partial z = x\) fonksiyonu olduğundan \((\partial f/\partial z)(\mathbf{p}) = x(\mathbf{p}) = 3\). \(2\mathbf{p} = (6, -4, 10)\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.16 (Üç Koordinat Değeri Noktayı Belirler) \(x_1(\mathbf{q}) = x_2(\mathbf{q}) = x_3(\mathbf{q}) = 1\) koşulunu sağlayan bütün \(\mathbf{q}\) noktalarını bulun.
Çözüm
\(x_i(\mathbf{q}) = q_i\) olduğundan üç koşul \(q_1 = q_2 = q_3 = 1\) demektir; tek çözüm \(\mathbf{q} = (1, 1, 1)\)’dir. Üç koordinat fonksiyonunun değeri noktayı belirler; bu, \(\mathbf{q} = (x_1(\mathbf{q}), x_2(\mathbf{q}), x_3(\mathbf{q}))\) özdeşliğidir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.17 (Tek Koordinat Koşulunun Belirlediği Küme) Başka koşul konmadan \(x_1(\mathbf{q}) = 1\) eşitliğini sağlayan bütün \(\mathbf{q}\) noktalarının kümesi nedir?
Çözüm
\(x_1(\mathbf{q}) = q_1\) olduğundan koşul \(q_1 = 1\) demektir. Yalnızca \(x_1(\mathbf{q}) = 1\) koşulu \(q_2\) ve \(q_3\)’ü serbest bırakır; çözüm kümesi \(\{(1, q_2, q_3)\}\), yani \(x = 1\) düzlemidir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.18 (Bir Polinomun Diferansiyellenebilirlik Denetimi) \(f = x^2 y - y^2 z + 7\) fonksiyonunun \(\mathbb{R}^3\) üzerinde diferansiyellenebilir olup olmadığına karar verin.
Çözüm
Polinom; bütün türevleri polinomdur, dolayısıyla var ve süreklidir. Diferansiyellenebilir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.19 (Paydası Sıfırlanmayan Bir Kesrin Denetimi) \(g = 1/(1 + x^2 + y^2 + z^2)\) fonksiyonunun \(\mathbb{R}^3\) üzerinde diferansiyellenebilir olup olmadığına karar verin.
Çözüm
Payda her noktada \(\ge 1\)’dir. \(\partial g/\partial x = -2x/(1 + x^2 + y^2 + z^2)^2\); genel olarak her türev, payı polinom ve paydası \((1 + x^2 + y^2 + z^2)\)’nin bir kuvveti olan bir kesirdir ve payda hiç sıfırlanmadığından her yerde süreklidir. Diferansiyellenebilir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.20 (Mutlak Değerli Bir Çarpımın Denetimi) \(k(\mathbf{p}) = |p_2|\, p_1\), yani \(k = x|y|\) fonksiyonunun \(\mathbb{R}^3\) üzerinde diferansiyellenebilir olup olmadığına karar verin.
Çözüm
\(p_2 = 0\) ve \(p_1 \ne 0\) olan bir noktada, örneğin \(\mathbf{p} = (1, 0, 0)\)’da, \(y\)’ye göre kısmi türevi denetleyelim:
\[\frac{k(1, t, 0) - k(1, 0, 0)}{t} = \frac{|t|}{t},\]
ve bu oranın \(t \to 0\) iken limiti yoktur. \(\partial k/\partial y\) bu noktada tanımsızdır; \(k\) diferansiyellenebilir değildir. Buna karşılık \(k\), \(p_2 > 0\) açık yarı uzayına kısıtlanırsa orada \(k = xy\) olur ve diferansiyellenebilirdir.
\(\blacksquare\)
Uzayı, noktalarını ve üzerindeki fonksiyonları kesin biçimde tanımladık; sonraki bölümde bu noktalara bağlı okları, yani teğet vektörleri ve onların oluşturduğu vektör alanlarını inceliyoruz: Teğet Vektörler.