13 Kovaryant Türev
Önceki bölümde (Keyfi Hızlı Eğriler) bir eğrinin Frenet aparatını, eğri hangi hızla dolaşılıyor olsun, hesaplamayı öğrendik. Oradaki bütün iş, eğri boyunca tanımlı \(T\), \(N\), \(B\) gibi vektör alanlarının türevlerini almaya dayanıyordu; bu alanlar yalnızca eğrinin uğradığı noktalarda tanımlıydı ve türevleri tek değişkenli bir türevdi. Bu bölümde bir adım geri çekilip daha temel bir soru soruyoruz: bütün uzayda tanımlı bir vektör alanının türevi ne demektir?
Fonksiyonlar için bu sorunun cevabını biliyoruz. Bir \(f\) fonksiyonunun \(\mathbf{p}\) noktasındaki bir \(\mathbf{v}\) teğet vektörüne göre türevi \(\mathbf{v}[f]\), \(\mathbf{p}\)’den \(\mathbf{v}\) yönünde harekete geçince \(f\)’nin ilk anda ne hızla değiştiğini söyleyen tek bir sayıydı. Bir \(W\) vektör alanı için aynı soru sorulabilir: \(\mathbf{p}\)’den \(\mathbf{v}\) yönünde yola çıkınca \(W\)’nin oku ilk anda nasıl değişir? Bu kez cevap bir sayı değil, bir vektör olacaktır; çünkü değişen şey bir oktur ve okun hem uzunluğu hem doğrultusu değişebilir.
Bölümün planı şöyledir. Önce bu türevi, yönlü türevin tanımını adım adım taklit ederek tanımlayacak ve birkaç alanda doğrudan hesaplayacağız. Sonra hesabı kısaltan koordinat formülünü ispatlayacağız: bir vektör alanının türevini almak, koordinat fonksiyonlarının yönlü türevlerini almaktır. Ardından bu türevin lineerlik ve Leibniz kurallarını, yönlü türevin özelliklerinden türeteceğiz. Son olarak tek bir teğet vektör yerine bir vektör alanına göre türev almayı öğreneceğiz; bir sonraki bölümde çatı alanlarını incelerken bu işlem ana aracımız olacaktır.
13.1 Bir Vektör Alanının Bir Yöndeki Türevi
Yönlü türevin tanımını hatırlayalım (Tanım 3.1). \(f\) bir fonksiyon, \(\mathbf{v}\) de \(\mathbf{p}\) noktasında \(\mathbb{R}^3\)’e teğet bir vektör olsun. \(\mathbf{p}\)’den \(\mathbf{v}\) doğrultusunda giden \(t \mapsto \mathbf{p} + t\mathbf{v}\) doğrusunu alır, \(f\)’yi bu doğru üzerinde okuyarak \(t \mapsto f(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\) tek değişkenli fonksiyonunu kurar ve bunun \(t = 0\)’daki türevini \(\mathbf{v}[f]\) diye adlandırırız. Burada ve bölümün geri kalanında, uygulama noktası bağlamdan belli olduğunda \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) yerine kısaca \(\mathbf{v}\) yazma alışkanlığımızı sürdürüyoruz; \(\mathbf{v}[f]\) daima \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[f]\) demektir.
Bu tanımın üç adımı vardır: bir doğru seç, fonksiyonu doğruya kısıtla, tek değişkenli türev al. Aynı üç adımı bir \(W\) vektör alanı için yapmayı deneyelim. Birinci adım aynıdır. İkinci adımda \(W\)’yi doğruya kısıtlarız: her \(t\) için \(W(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\) teğet vektörünü alırız. Bu, doğrunun \(t\) anındaki noktasında uygulanmış bir vektördür; yani \(t \mapsto W(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\), doğru üzerinde bir vektör alanıdır (Tanım 10.3). Üçüncü adımda ise eğri üzerindeki bir vektör alanının türevini alırız; bunu nasıl yapacağımızı biliyoruz (Tanım 10.4): koordinat fonksiyonlarının türevi alınır. Kısıtlama adımını, ileride başka eğriler için de kullanacağımızdan, önce genel olarak adlandıralım.
Tanım 13.1 (Bir Vektör Alanının Bir Eğriye Kısıtlanışı) \(W\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir vektör alanı ve \(\alpha : I \to \mathbb{R}^3\) bir eğri olsun. Her \(t \in I\) için
\[W_\alpha(t) = W(\alpha(t))\]
kuralıyla tanımlanan \(W_\alpha\) fonksiyonuna \(W\)’nin \(\alpha\)’ya kısıtlanışı (restriction) denir.
Yani \(W_\alpha\), uzaya yayılmış oklar arasından yalnızca eğrinin uğradığı noktalardakileri alır ve her birini o noktaya varış anı \(t\) ile etiketler.
\(W_\alpha\)’nın \(\alpha\) üzerinde bir vektör alanı olduğunu doğrulayalım. Her \(t\) için \(W(\alpha(t))\), \(\alpha(t)\) noktasında uygulanmış bir teğet vektördür; eğri üzerinde vektör alanı tanımının istediği şey tam budur. Türevlenebilirlik için \(W = \sum_i w_i U_i\) yazalım (Lemma 2.1). O zaman
\[W_\alpha(t) = \sum_{i=1}^{3} w_i(\alpha(t))\, U_i(\alpha(t))\]
olur; \(W_\alpha\)’nın koordinat fonksiyonları \(t \mapsto w_i(\alpha(t))\) bileşkeleridir. \(w_i\) ve \(\alpha\)’nın koordinatları diferansiyellenebilir olduğundan bu bileşkeler de her mertebeden türevlenebilirdir. Dolayısıyla \(W_\alpha\), \(\alpha\) üzerinde bir vektör alanıdır ve türevi
\[W_\alpha'(t) = \sum_{i=1}^{3} \dfrac{d}{dt}\bigl(w_i(\alpha(t))\bigr)\, U_i(\alpha(t))\]
ile hesaplanır.
Örnek 13.1 (Dönme Alanının Çembere Kısıtlanışı) \(W = -yU_1 + xU_2\) vektör alanının \(\alpha(t) = (\cos t, \sin t, 0)\) birim çemberine kısıtlanışını bulalım.
Çözüm
\(\alpha(t)\) noktasının koordinatları \(x = \cos t\), \(y = \sin t\), \(z = 0\)’dır. \(W\)’nin koordinat fonksiyonları \(w_1 = -y\), \(w_2 = x\), \(w_3 = 0\) olduğundan
\[W_\alpha(t) = W(\alpha(t)) = -\sin t\, U_1(\alpha(t)) + \cos t\, U_2(\alpha(t))\]
bulunur. Bu, \(\alpha(t)\) noktasında uygulanmış \((-\sin t, \cos t, 0)\) vektörüdür; yani \(\alpha\)’nın hız vektörü \(\alpha'(t)\)’nin kendisidir. \(W\) alanı düzlemde her noktayı orijin çevresinde saatin tersi yönünde döndüren okları taşır; çemberin üzerinde bu oklar tam çembere teğettir. Kısıtlanış, düzlemdeki sonsuz oktan yalnızca çember üzerindekileri seçmiştir.
\(\blacksquare\)
Örnek 13.2 (Bir Alanın Bir Doğruya Kısıtlanışı) \(W = x^2 U_1 + yz\, U_3\) vektör alanının \(\beta(t) = (2 - t,\ 1,\ 2t)\) doğrusuna kısıtlanışını bulalım.
Çözüm
\(\beta(t)\) noktasında \(x = 2 - t\), \(y = 1\), \(z = 2t\)’dir. Koordinat fonksiyonları \(w_1 = x^2\), \(w_2 = 0\), \(w_3 = yz\) bu noktada \((2 - t)^2\), \(0\) ve \(1 \cdot 2t = 2t\) değerlerini alır. Dolayısıyla
\[W_\beta(t) = (2 - t)^2\, U_1(\beta(t)) + 2t\, U_3(\beta(t)).\]
Koordinat fonksiyonları \((2 - t)^2\), \(0\) ve \(2t\) polinom olduğundan \(W_\beta\), \(\beta\) üzerinde bir vektör alanıdır.
Bir denetim: \(t = 1\)’de \(\beta(1) = (1, 1, 2)\) ve \(W_\beta(1) = U_1 + 2U_3\)’tür; yani \((1, 1, 2)\) noktasında uygulanmış \((1, 0, 2)\) vektörü. Doğrudan \(W\)’den hesaplarsak \((1, 1, 2)\) noktasında \(x^2 = 1\) ve \(yz = 2\) olduğundan \(W(1, 1, 2)\) de \((1, 0, 2)\) vektör kısımlı teğet vektördür. İki hesap aynı sonucu verir; başka türlü olamazdı, çünkü \(W_\beta(1)\) tanım gereği \(W(\beta(1))\)’dir.
\(\blacksquare\)
Şimdi üç adımı birleştirebiliriz.
Tanım 13.2 (Kovaryant Türev) \(W\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir vektör alanı ve \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{p}\) noktasında \(\mathbb{R}^3\)’e teğet bir vektör olsun. \(\alpha(t) = \mathbf{p} + t\mathbf{v}\) doğrusu boyunca \(W\)’nin kısıtlanışı \(W_\alpha\) olmak üzere
\[\nabla_{\mathbf{v}} W = W_\alpha'(0) = \bigl(W(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\bigr)'(0)\]
teğet vektörüne \(W\)’nin \(\mathbf{v}\)’ye göre kovaryant türevi (covariant derivative) denir.
Yani \(\nabla_{\mathbf{v}} W\), \(\mathbf{p}\) noktası \(\mathbf{v}\) yönünde harekete geçtiği ilk anda \(W\) okunun değişim hızıdır; okun uzunluğundaki ve doğrultusundaki değişimi birlikte kaydeden tek bir vektördür.
Tanım üzerine birkaç gözlem yapalım. Birincisi, \(\nabla_{\mathbf{v}} W\) bir teğet vektördür ve uygulama noktası \(\mathbf{p}\)’dir: \(W_\alpha'(0)\), eğri üzerindeki bir vektör alanının türevi olarak \(\alpha(0) = \mathbf{p}\) noktasında uygulanır. Böylece \(W(\mathbf{p})\) ile \(\nabla_{\mathbf{v}} W\) aynı teğet uzayında, \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\)’te yaşar ve birbirleriyle toplanıp iç çarpıma sokulabilirler. İkincisi, \(\nabla\) simgesi “nabla” diye okunur; alt indisteki \(\mathbf{v}\) hangi yönde türev alındığını, sağdaki \(W\) neyin türevinin alındığını söyler. Üçüncüsü, \(\mathbf{v}\)’nin birim vektör olması istenmez; yönlü türevde olduğu gibi, \(\mathbf{v}\)’yi iki katına çıkarmak türevi de iki katına çıkaracaktır (bunu ileride ispatlayacağız). Son olarak \(\mathbf{v} = \mathbf{0}\) ise “doğru” sabit \(\mathbf{p}\) noktasıdır, \(W_\alpha\) sabittir ve \(\nabla_{\mathbf{0}} W = \mathbf{0}\) olur: hiç hareket etmeyince hiçbir değişim görülmez.
Örnek 13.3 (Tanımdan Doğrudan Hesap) \(W = x^2 U_1 + yz\, U_3\) vektör alanı, \(\mathbf{p} = (2, 1, 0)\) noktası ve bu noktadaki \(\mathbf{v} = (-1, 0, 2)\) teğet vektörü verilsin. \(\nabla_{\mathbf{v}} W\) vektörünü doğrudan tanımdan hesaplayalım.
Çözüm
Doğru \(\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (2 - t,\ 1,\ 2t)\)’dir; bu, Örnek 13.2’daki \(\beta\) doğrusunun kendisidir. Orada
\[W(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = (2 - t)^2\, U_1 + 2t\, U_3\]
bulmuştuk; burada \(U_1\) ve \(U_3\) de aslında \(\mathbf{p} + t\mathbf{v}\) noktasında değerlendirilmiştir. Türev almak için koordinat fonksiyonlarını türetiriz:
\[\dfrac{d}{dt}(2 - t)^2 = -2(2 - t), \qquad \dfrac{d}{dt}(0) = 0, \qquad \dfrac{d}{dt}(2t) = 2.\]
\(t = 0\)’da bunlar \(-4\), \(0\) ve \(2\) olur. Dolayısıyla
\[\nabla_{\mathbf{v}} W = -4\, U_1(\mathbf{p}) + 2\, U_3(\mathbf{p}),\]
yani \(\mathbf{p} = (2, 1, 0)\) noktasında uygulanmış \((-4, 0, 2)\) vektörüdür.
Sonucu yorumlayalım. \(\mathbf{p}\)’de \(W(\mathbf{p}) = 4U_1(\mathbf{p})\), yani \((4, 0, 0)\) vektörüdür. \(\mathbf{v}\) yönünde ilerlerken \(x\) koordinatı azalır, dolayısıyla \(x^2\) ve okun birinci bileşeni hızla küçülür; aynı anda \(z\) artmaya başladığı için \(yz\) bileşeni sıfırdan yukarı çıkar. \((-4, 0, 2)\) vektörü bu iki etkiyi birlikte kaydeder: ok kısalır ve yukarıya doğru dönmeye başlar.
\(\blacksquare\)
Etkileşimli sahne: bir doğru boyunca \(W\) ve kovaryant türev. Sahneyi sürükleyerek döndürebilirsiniz. Mavi doğru, \(\mathbf{p} = (2, 1, 0)\) noktasından \(\mathbf{v} = (v_1, 0, v_3)\) yönünde giden \(t \mapsto \mathbf{p} + t\mathbf{v}\) doğrusudur (\(-1 \le t \le 1\)); üzerindeki soluk yeşil oklar \(W = x^2 U_1 + yz\, U_3\) alanının o noktalardaki değerleri, \(\mathbf{p}\)’deki kalın yeşil ok \(W(\mathbf{p})\), turuncu ok \(\nabla_{\mathbf{v}} W\)’dir. \(v_1\) ve \(v_3\) kaydırıcılarıyla yönü değiştirin: türevin birinci bileşeni yalnızca \(v_1\)’e, üçüncü bileşeni yalnızca \(v_3\)’e bağlıdır ve \(\mathbf{v}\) yarıya inince \(\nabla_{\mathbf{v}} W\) de yarıya iner. \(t\) kaydırıcısı doğru üzerindeki noktayı taşır ve oradaki \(W\) okunu vurgular; alttaki satırda \(\bigl(W(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) - W(\mathbf{p})\bigr)/t\) fark oranı okunur ve \(t\) sıfıra yaklaşırken \(\nabla_{\mathbf{v}} W\)’ye yaklaşır. \(W\) ve \(\nabla_{\mathbf{v}} W\) okları sığmaları için yarı ölçekte çizilmiştir; gerçek bileşenler alttaki satırdadır.
Örnek 13.4 (Düzlemde Dönme Alanının Türevi) \(W = -yU_1 + xU_2\) dönme alanını alalım; üçüncü koordinatı sıfır olduğu ve \(z\)’ye bağlı olmadığı için onu \(xy\) düzleminde çizilmiş bir alan gibi düşünebiliriz. \(\mathbf{p} = (1, 0, 0)\) noktasında \(\mathbf{v} = (0, 1, 0)\) için \(\nabla_{\mathbf{v}} W\) vektörünü tanımdan hesaplayalım.
Çözüm
Doğru \(\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (1, t, 0)\)’dır: \((1, 0, 0)\) noktasından düz yukarıya, pozitif \(y\) yönüne gider. Bu noktada \(x = 1\), \(y = t\) olduğundan
\[W(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = -t\, U_1 + 1\cdot U_2 = -t\, U_1 + U_2.\]
Koordinat fonksiyonları \(-t\), \(1\) ve \(0\)’dır; türevleri \(-1\), \(0\) ve \(0\). Dolayısıyla
\[\nabla_{\mathbf{v}} W = -U_1(\mathbf{p}),\]
yani \((1, 0, 0)\) noktasında uygulanmış \((-1, 0, 0)\) vektörüdür.
Resim şudur. \(x = 1\) doğrusu üzerindeki her noktada okun \(y\) bileşeni \(1\)’dir, \(x\) bileşeni ise \(-y\)’dir. \((1, 0)\)’da ok tam yukarı bakar; biraz yukarı çıkınca ok sola yatmaya başlar, biraz aşağı inince sağa yatar. Yukarı doğru birim hızla giderken okun yatma hızı \((-1, 0)\)’dır: doğrultu sola döner, uzunluk ise ilk anda değişmez, çünkü \((1, t)\) noktasındaki okun uzunluğu \(\sqrt{1 + t^2}\)’dir ve bunun \(t = 0\)’daki türevi sıfırdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 13.5 (Koordinatları Sabit Alanın Türevi Sıfırdır) \(W = 2U_1 - U_2 + 5U_3\) vektör alanı verilsin: her noktada aynı \((2, -1, 5)\) vektör kısmını taşır. Herhangi bir \(\mathbf{p}\) noktasında herhangi bir \(\mathbf{v}\) teğet vektörü için \(\nabla_{\mathbf{v}} W\)’yi bulalım.
Çözüm
Doğru üzerinde \(W(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\), \(\mathbf{p} + t\mathbf{v}\) noktasında uygulanmış \((2, -1, 5)\) vektörüdür; koordinat fonksiyonları \(t\)’den bağımsız \(2\), \(-1\), \(5\) sabitleridir. Sabitlerin türevi sıfır olduğundan
\[\nabla_{\mathbf{v}} W = 0\cdot U_1(\mathbf{p}) + 0\cdot U_2(\mathbf{p}) + 0\cdot U_3(\mathbf{p}) = \mathbf{0}_{\mathbf{p}}.\]
Sonuç \(\mathbf{p}\)’ye ve \(\mathbf{v}\)’ye bağlı değildir. Özellikle doğal çatı alanlarının her biri için \(\nabla_{\mathbf{v}} U_i = \mathbf{0}\)’dır.
Bu örnek, kovaryant türevin okun kendisini değil okun değişimini ölçtüğünü gösterir: \(W\) hiçbir noktada sıfır değildir, uzunluğu her yerde \(\sqrt{30}\)’dur, ama hangi yönde gidersek gidelim ok değişmediği için türevi sıfırdır. Bunun tersinin de doğru olduğunu, yani her yönde türevi sıfır olan bir alanın koordinatlarının sabit olması gerektiğini, alıştırmalarda göreceğiz.
\(\blacksquare\)
NotKovaryant adı nereden gelir?
Öklid uzayında çalıştığımız sürece \(\nabla_{\mathbf{v}} W\)’ye yalnızca “vektör alanının yönlü türevi” demek de yeterli olurdu. “Kovaryant” adı, aynı işlemin ileride eğri yüzeyler ve daha genel uzaylar üzerinde genelleştirilmesinden gelir. Şimdilik bunu yalnızca bir ad olarak alalım; tanımın içeriği yukarıdaki üç adımdan ibarettir.
13.2 Koordinat Formülü
Yukarıdaki örneklerde hep aynı şeyi yaptık: \(W\)’nin koordinat fonksiyonlarını doğru üzerinde okuduk ve \(t = 0\)’da türettik. Ama “\(w_i\)’yi \(\mathbf{p} + t\mathbf{v}\) doğrusu üzerinde oku ve \(t = 0\)’da türet” işlemi tam olarak \(\mathbf{v}[w_i]\) yönlü türevinin tanımıdır. Demek ki kovaryant türevin koordinatları, koordinat fonksiyonlarının yönlü türevleridir. Bunu bir lemma olarak yazıp ispatlayalım.
Lemma 13.1 (Kovaryant Türevin Koordinat Formülü) \(W = \sum_{i=1}^{3} w_i U_i\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir vektör alanı ve \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{p}\) noktasında bir teğet vektör olsun. O zaman
\[\nabla_{\mathbf{v}} W = \sum_{i=1}^{3} \mathbf{v}[w_i]\, U_i(\mathbf{p}).\]
İspat
\(\alpha(t) = \mathbf{p} + t\mathbf{v}\) doğrusu boyunca \(W\)’nin kısıtlanışı
\[W_\alpha(t) = W(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^{3} w_i(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\, U_i(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\]
olur; bunu kısıtlanış tanımının ardından genel bir eğri için görmüştük. \(W_\alpha\)’nın koordinat fonksiyonları \(g_i(t) = w_i(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\)’dir. Eğri üzerindeki bir vektör alanının türevi koordinat fonksiyonlarının türetilmesiyle bulunur (Tanım 10.4):
\[W_\alpha'(0) = \sum_{i=1}^{3} g_i'(0)\, U_i(\alpha(0)) = \sum_{i=1}^{3} g_i'(0)\, U_i(\mathbf{p}).\]
Geriye \(g_i'(0)\) sayılarını tanımak kalır. \(g_i(t) = w_i(\mathbf{p} + t\mathbf{v})\) fonksiyonunun \(t = 0\)’daki türevi, yönlü türevin tanımı (Tanım 3.1) gereği tam olarak \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}[w_i]\), yani \(\mathbf{v}[w_i]\) sayısıdır. Aynı sonuca eğri boyunca türev lemmasıyla da varılır: \(\alpha'(0) = \mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) olduğundan Lemma 4.2, \(g_i'(0) = \alpha'(0)[w_i] = \mathbf{v}[w_i]\) verir. Yerine koyunca
\[\nabla_{\mathbf{v}} W = W_\alpha'(0) = \sum_{i=1}^{3} \mathbf{v}[w_i]\, U_i(\mathbf{p})\]
elde edilir.
\(\blacksquare\)
Lemmanın söylediği kural kısadır: bir vektör alanına \(\nabla_{\mathbf{v}}\) uygulamak, koordinat fonksiyonlarına \(\mathbf{v}\) uygulamaktır. Yönlü türevi kısmi türevlerle hesaplamayı bildiğimizden (Lemma 3.1), kovaryant türev artık tamamen mekanik bir hesaptır: \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)\) ise
\[\mathbf{v}[w_i] = \sum_{j=1}^{3} v_j\, \dfrac{\partial w_i}{\partial x_j}(\mathbf{p}).\]
Bu formülü daha önce elde ettiğimiz sonuçlar üzerinde deneyelim.
Örnek 13.6 (Aynı Alan, Aynı Nokta, İki Farklı Yön) \(W = x^2 U_1 + yz\, U_3\) ve \(\mathbf{p} = (2, 1, 0)\) olsun. Örnek 13.3’ta tanımdan bulduğumuz \(\nabla_{\mathbf{v}} W\) vektörünü \(\mathbf{v} = (-1, 0, 2)\) için koordinat formülüyle yeniden hesaplayalım; sonra aynı noktadaki \(\mathbf{w} = (1, 1, 1)\) vektörü için \(\nabla_{\mathbf{w}} W\)’yi bulalım.
Çözüm
Koordinat fonksiyonları \(w_1 = x^2\), \(w_2 = 0\), \(w_3 = yz\)’dir. Kısmi türevleri:
| \(\partial/\partial x\) | \(\partial/\partial y\) | \(\partial/\partial z\) | |
|---|---|---|---|
| \(w_1 = x^2\) | \(2x\) | \(0\) | \(0\) |
| \(w_3 = yz\) | \(0\) | \(z\) | \(y\) |
\(\mathbf{p} = (2, 1, 0)\)’da \(2x = 4\), \(z = 0\), \(y = 1\) olur.
\(\mathbf{v} = (-1, 0, 2)\) için:
\[\begin{aligned} \mathbf{v}[x^2] &= (-1)\cdot 4 + 0\cdot 0 + 2\cdot 0 = -4,\\ \mathbf{v}[yz] &= (-1)\cdot 0 + 0\cdot 0 + 2\cdot 1 = 2. \end{aligned}\]
Dolayısıyla \(\nabla_{\mathbf{v}} W = -4U_1(\mathbf{p}) + 2U_3(\mathbf{p})\); tanımdan bulduğumuz sonuçla aynıdır.
\(\mathbf{w} = (1, 1, 1)\) için:
\[\begin{aligned} \mathbf{w}[x^2] &= 1\cdot 4 + 1\cdot 0 + 1\cdot 0 = 4,\\ \mathbf{w}[yz] &= 1\cdot 0 + 1\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1. \end{aligned}\]
Dolayısıyla \(\nabla_{\mathbf{w}} W = 4U_1(\mathbf{p}) + U_3(\mathbf{p})\), yani \((4, 0, 1)_{\mathbf{p}}\).
Aynı noktada iki farklı yön iki farklı türev verdi: \(\mathbf{w}\) yönünde \(x\) artar ve \(x^2\) bileşeni büyür, \(\mathbf{v}\) yönünde ise küçülüyordu.
\(\blacksquare\)
Örnek 13.7 (Aynı Vektör Kısmı, Farklı Nokta) \(W = x^2 U_1 + yz\, U_3\) olsun. \((-1, 0, 2)\) vektör kısmını bu kez \(\mathbf{q} = (0, 2, 1)\) noktasında uygulayalım ve \(\nabla_{\mathbf{v}_{\mathbf{q}}} W\)’yi bulalım.
Çözüm
Uygulama noktası hesabın parçası olduğu için alt indisi yazıyoruz. \(\mathbf{q} = (0, 2, 1)\)’de kısmi türevler \(2x = 0\), \(z = 1\), \(y = 2\) değerlerini alır. Buradan
\[\begin{aligned} \mathbf{v}_{\mathbf{q}}[x^2] &= (-1)\cdot 0 + 0\cdot 0 + 2\cdot 0 = 0,\\ \mathbf{v}_{\mathbf{q}}[yz] &= (-1)\cdot 0 + 0\cdot 1 + 2\cdot 2 = 4 \end{aligned}\]
ve \(\nabla_{\mathbf{v}_{\mathbf{q}}} W = 4U_3(\mathbf{q})\), yani \((0, 0, 4)_{\mathbf{q}}\) bulunur. Örnek 13.6’ta aynı vektör kısmı \(\mathbf{p} = (2, 1, 0)\)’da \((-4, 0, 2)\) vermişti. Kovaryant türev yalnızca yöne değil, hangi noktada durduğumuza da bağlıdır; çünkü \(W\) alanı noktadan noktaya farklı biçimde değişir. \(\mathbf{q}\)’da \(x = 0\) olduğundan \(x^2\) bileşeni bir an için hiç değişmez, \(yz\) bileşeni ise \(y = 2\) olduğu için \(z\)’deki artışa iki kat duyarlıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 13.8 (Üç Bileşeni de Değişen Bir Alan) \(W = yz\, U_1 + xz\, U_2 + xy\, U_3\) vektör alanı, \(\mathbf{p} = (1, 2, 3)\) noktası ve bu noktadaki \(\mathbf{v} = (1, 0, -1)\) vektörü için \(\nabla_{\mathbf{v}} W\)’yi hem koordinat formülüyle hem tanımdan hesaplayalım.
Çözüm
Koordinat formülüyle. \(w_1 = yz\), \(w_2 = xz\), \(w_3 = xy\). Her birinin yönlü türevini \(\mathbf{v}[f] = \partial f/\partial x - \partial f/\partial z\) kuralıyla (çünkü \(v_1 = 1\), \(v_2 = 0\), \(v_3 = -1\)) \(\mathbf{p}\)’de hesaplarız:
\[\begin{aligned} \mathbf{v}[yz] &= 0 - y = -2,\\ \mathbf{v}[xz] &= z - x = 3 - 1 = 2,\\ \mathbf{v}[xy] &= y - 0 = 2. \end{aligned}\]
Dolayısıyla
\[\nabla_{\mathbf{v}} W = -2U_1(\mathbf{p}) + 2U_2(\mathbf{p}) + 2U_3(\mathbf{p}).\]
Tanımdan. Doğru \(\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (1 + t,\ 2,\ 3 - t)\)’dir. Bu noktada
\[W(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = 2(3 - t)\, U_1 + (1 + t)(3 - t)\, U_2 + 2(1 + t)\, U_3.\]
Koordinat fonksiyonlarının türevleri \(-2\), \((3 - t) - (1 + t) = 2 - 2t\) ve \(2\)’dir; \(t = 0\)’da \(-2\), \(2\), \(2\). İki yol aynı sonucu verir. Koordinat formülü daha kısadır; bundan sonra hemen hemen hep onu kullanacağız.
\(\blacksquare\)
13.3 Lineerlik ve Leibniz Kuralları
Koordinat formülü, kovaryant türevin bütün cebirsel özelliklerini yönlü türevin özelliklerine (Teorem 3.1) indirger. Yönlü türev teğet vektörde lineerdi, fonksiyonda lineerdi ve çarpım için Leibniz kuralına uyuyordu. Bu üç özelliğin her biri kovaryant türeve aktarılır; dördüncü olarak, iki vektör alanının iç çarpımının türevi için de bir Leibniz kuralı vardır.
Teorem 13.1 (Kovaryant Türevin Temel Özellikleri) \(\mathbf{v}\) ve \(\mathbf{w}\), aynı \(\mathbf{p}\) noktasında \(\mathbb{R}^3\)’e teğet vektörler; \(Y\) ve \(Z\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde vektör alanları; \(a\), \(b\) sayılar ve \(f\) diferansiyellenebilir bir fonksiyon olsun. O zaman
(1) \(\nabla_{a\mathbf{v} + b\mathbf{w}} Y = a\,\nabla_{\mathbf{v}} Y + b\,\nabla_{\mathbf{w}} Y\),
(2) \(\nabla_{\mathbf{v}}(aY + bZ) = a\,\nabla_{\mathbf{v}} Y + b\,\nabla_{\mathbf{v}} Z\),
(3) \(\nabla_{\mathbf{v}}(fY) = \mathbf{v}[f]\, Y(\mathbf{p}) + f(\mathbf{p})\, \nabla_{\mathbf{v}} Y\),
(4) \(\mathbf{v}[Y \cdot Z] = \nabla_{\mathbf{v}} Y \cdot Z(\mathbf{p}) + Y(\mathbf{p}) \cdot \nabla_{\mathbf{v}} Z\).
İspat
\(Y = \sum_i y_i U_i\) ve \(Z = \sum_i z_i U_i\) yazalım. Bütün ispat, her iki tarafı Lemma 13.1 ile koordinatlarına açıp Teorem 3.1’ni uygulamaktan ibarettir. Toplamlar hep \(i = 1, 2, 3\) üzerinden alınır.
(1) \(a\mathbf{v} + b\mathbf{w}\), \(\mathbf{p}\) noktasında bir teğet vektördür; çünkü \(\mathbf{v}\) ile \(\mathbf{w}\) aynı teğet uzayındadır ve teğet uzayı toplama ve skalerle çarpma altında kapalıdır (Tanım 2.2). Koordinat formülü ve yönlü türevin teğet vektörde lineerliği (Teorem 3.1, (1)) ile
\[\begin{aligned} \nabla_{a\mathbf{v} + b\mathbf{w}} Y &= \sum_i (a\mathbf{v} + b\mathbf{w})[y_i]\, U_i(\mathbf{p})\\ &= \sum_i \bigl(a\,\mathbf{v}[y_i] + b\,\mathbf{w}[y_i]\bigr)\, U_i(\mathbf{p})\\ &= a \sum_i \mathbf{v}[y_i]\, U_i(\mathbf{p}) + b \sum_i \mathbf{w}[y_i]\, U_i(\mathbf{p})\\ &= a\,\nabla_{\mathbf{v}} Y + b\,\nabla_{\mathbf{w}} Y. \end{aligned}\]
Üçüncü satırda \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^3)\) içinde toplama ve skalerle çarpmanın dağılma kurallarını kullandık.
(2) \(aY + bZ\) alanı noktasal ilkeyle tanımlıdır: her \(\mathbf{q}\) noktasında değeri \(aY(\mathbf{q}) + bZ(\mathbf{q})\)’dur ve bu vektörün \(i\)-inci koordinatı \(a\,y_i(\mathbf{q}) + b\,z_i(\mathbf{q})\)’dur. Dolayısıyla \(aY + bZ\)’nin koordinat fonksiyonları \(ay_i + bz_i\)’dir. Koordinat formülü ve yönlü türevin fonksiyonda lineerliği (Teorem 3.1, (2)) ile
\[\begin{aligned} \nabla_{\mathbf{v}}(aY + bZ) &= \sum_i \mathbf{v}[ay_i + bz_i]\, U_i(\mathbf{p})\\ &= \sum_i \bigl(a\,\mathbf{v}[y_i] + b\,\mathbf{v}[z_i]\bigr)\, U_i(\mathbf{p})\\ &= a\,\nabla_{\mathbf{v}} Y + b\,\nabla_{\mathbf{v}} Z. \end{aligned}\]
(3) \(fY\) alanının \(\mathbf{q}\)’daki değeri \(f(\mathbf{q})\, Y(\mathbf{q})\)’dur; koordinat fonksiyonları \(f y_i\)’dir. Koordinat formülü ve yönlü türevin Leibniz kuralı (Teorem 3.1, (3)) ile
\[\begin{aligned} \nabla_{\mathbf{v}}(fY) &= \sum_i \mathbf{v}[f y_i]\, U_i(\mathbf{p})\\ &= \sum_i \bigl(\mathbf{v}[f]\, y_i(\mathbf{p}) + f(\mathbf{p})\, \mathbf{v}[y_i]\bigr)\, U_i(\mathbf{p})\\ &= \mathbf{v}[f] \sum_i y_i(\mathbf{p})\, U_i(\mathbf{p}) + f(\mathbf{p}) \sum_i \mathbf{v}[y_i]\, U_i(\mathbf{p}). \end{aligned}\]
Son satırdaki ilk toplam \(Y(\mathbf{p})\)’nin doğal çatıdaki açılımıdır (Lemma 2.1), ikincisi ise koordinat formülüne göre \(\nabla_{\mathbf{v}} Y\)’dir. Böylece \(\nabla_{\mathbf{v}}(fY) = \mathbf{v}[f]\, Y(\mathbf{p}) + f(\mathbf{p})\, \nabla_{\mathbf{v}} Y\).
(4) \(Y \cdot Z\), her \(\mathbf{q}\) noktasına \(Y(\mathbf{q}) \cdot Z(\mathbf{q})\) sayısını karşılık getiren fonksiyondur. Teğet vektörlerin iç çarpımı vektör kısımlarının iç çarpımı olduğundan (Tanım 9.4)
\[Y \cdot Z = \sum_i y_i z_i\]
olur; sağ taraf diferansiyellenebilir fonksiyonların çarpımlarının toplamı olduğundan \(Y \cdot Z\) diferansiyellenebilirdir ve \(\mathbf{v}[Y \cdot Z]\) anlamlıdır. Üç terimli bir toplamın yönlü türevi, yönlü türevin fonksiyonda lineerliğinin (Teorem 3.1, (2)) iki kez uygulanmasıyla, terimlerin yönlü türevlerinin toplamıdır; her terime de yönlü türevin Leibniz kuralını (Teorem 3.1, (3)) uygularız:
\[\begin{aligned} \mathbf{v}[Y \cdot Z] &= \sum_i \mathbf{v}[y_i z_i]\\ &= \sum_i \mathbf{v}[y_i]\, z_i(\mathbf{p}) + \sum_i y_i(\mathbf{p})\, \mathbf{v}[z_i]. \end{aligned}\]
Şimdi sağdaki iki toplamı tanıyalım. Koordinat formülüne göre \(\nabla_{\mathbf{v}} Y\), \(\mathbf{p}\)’de uygulanmış ve koordinatları \(\mathbf{v}[y_1], \mathbf{v}[y_2], \mathbf{v}[y_3]\) olan teğet vektördür; \(Z(\mathbf{p})\)’nin koordinatları ise \(z_1(\mathbf{p}), z_2(\mathbf{p}), z_3(\mathbf{p})\)’dir. İki teğet vektörün iç çarpımı koordinatlarının çarpımlarının toplamı olduğundan
\[\nabla_{\mathbf{v}} Y \cdot Z(\mathbf{p}) = \sum_i \mathbf{v}[y_i]\, z_i(\mathbf{p}).\]
Aynı biçimde \(Y(\mathbf{p})\)’nin koordinatları \(y_i(\mathbf{p})\), \(\nabla_{\mathbf{v}} Z\)’nin koordinatları \(\mathbf{v}[z_i]\) olduğundan
\[Y(\mathbf{p}) \cdot \nabla_{\mathbf{v}} Z = \sum_i y_i(\mathbf{p})\, \mathbf{v}[z_i].\]
Bu iki eşitliği yukarıdaki toplamların yerine koyunca (4) elde edilir.
\(\blacksquare\)
Dört özelliği sözle özetleyelim. (1) türev alınan yönde lineerlik: iki yönün toplamındaki değişim, ayrı ayrı değişimlerin toplamıdır; özellikle \(\nabla_{2\mathbf{v}} Y = 2\,\nabla_{\mathbf{v}} Y\), yani vektör uzatılınca türev de aynı oranda büyür. (2) türevi alınan alanda lineerlik. (3) fonksiyonla çarpım için Leibniz kuralı: \(fY\)’nin değişimi, \(f\)’nin değişiminden ve \(Y\)’nin değişiminden gelen iki parçadan oluşur. (4) iç çarpım için Leibniz kuralı: burada sol taraf bir fonksiyonun yönlü türevi, sağ taraftaki iki terim ise birer iç çarpımdır. Kuralların her birini sayılarla deneyelim.
Örnek 13.9 (Yönde Lineerliğin Denetimi) \(W = x^2 U_1 + yz\, U_3\), \(\mathbf{p} = (2, 1, 0)\), \(\mathbf{v} = (-1, 0, 2)\) ve \(\mathbf{w} = (1, 1, 1)\) olsun. \(\nabla_{\mathbf{v} + \mathbf{w}} W\)’yi doğrudan hesaplayıp Teorem 13.1’nin (1) şıkkıyla karşılaştıralım.
Çözüm
\(\mathbf{v} + \mathbf{w} = (0, 1, 3)\)’tür. \(\mathbf{p}\)’deki kısmi türev değerleri Örnek 13.6’taki gibi \(\partial(x^2)/\partial x = 4\), \(\partial(yz)/\partial y = 0\), \(\partial(yz)/\partial z = 1\)’dir. Buradan
\[\begin{aligned} (\mathbf{v} + \mathbf{w})[x^2] &= 0\cdot 4 + 1\cdot 0 + 3\cdot 0 = 0,\\ (\mathbf{v} + \mathbf{w})[yz] &= 0\cdot 0 + 1\cdot 0 + 3\cdot 1 = 3, \end{aligned}\]
yani \(\nabla_{\mathbf{v} + \mathbf{w}} W = 3U_3(\mathbf{p})\), vektör kısmı \((0, 0, 3)\).
Öte yandan Örnek 13.6’ta \(\nabla_{\mathbf{v}} W = (-4, 0, 2)_{\mathbf{p}}\) ve \(\nabla_{\mathbf{w}} W = (4, 0, 1)_{\mathbf{p}}\) bulmuştuk. Toplamları \((0, 0, 3)_{\mathbf{p}}\)’dir. İki sonuç uyuşur: \(x^2\) bileşenindeki \(-4\) ve \(+4\) değişimleri birbirini götürmüş, \(yz\) bileşenindeki \(2\) ve \(1\) toplanmıştır.
\(\blacksquare\)
Örnek 13.10 (Fonksiyonla Çarpım Kuralının Denetimi) \(Y = x^2 U_1 + yz\, U_3\), \(f = x + z\), \(\mathbf{p} = (2, 1, 0)\) ve \(\mathbf{v} = (-1, 0, 2)\) olsun. \(\nabla_{\mathbf{v}}(fY)\)’yi hem doğrudan koordinat formülüyle hem Teorem 13.1’nin (3) şıkkıyla hesaplayalım.
Çözüm
Doğrudan. Çarpımı açalım:
\[fY = (x^3 + x^2 z)\, U_1 + (xyz + yz^2)\, U_3.\]
Koordinat fonksiyonlarının yönlü türevlerini \(\mathbf{v}[g] = -\partial g/\partial x + 2\,\partial g/\partial z\) kuralıyla \(\mathbf{p}\)’de hesaplarız. \(\mathbf{p}\)’de \(x = 2\), \(y = 1\), \(z = 0\) olduğundan
\[\begin{aligned} \mathbf{v}[x^3 + x^2 z] &= -(3x^2 + 2xz) + 2x^2 = -12 + 8 = -4,\\ \mathbf{v}[xyz + yz^2] &= -(yz) + 2(xy + 2yz) = 0 + 4 = 4. \end{aligned}\]
Dolayısıyla \(\nabla_{\mathbf{v}}(fY) = (-4, 0, 4)_{\mathbf{p}}\).
Kuralla. \(\mathbf{v}[f] = -1 + 2 = 1\), \(f(\mathbf{p}) = 2 + 0 = 2\), \(Y(\mathbf{p}) = (4, 0, 0)_{\mathbf{p}}\) ve \(\nabla_{\mathbf{v}} Y = (-4, 0, 2)_{\mathbf{p}}\) (Örnek 13.6). Kural
\[\mathbf{v}[f]\, Y(\mathbf{p}) + f(\mathbf{p})\, \nabla_{\mathbf{v}} Y = 1\cdot(4, 0, 0) + 2\cdot(-4, 0, 2) = (-4, 0, 4)\]
verir. İki hesap uyuşur. Kuralın yararı açıktır: \(fY\)’nin koordinatlarını açıp altı kısmi türev almak yerine, zaten bildiğimiz \(\nabla_{\mathbf{v}} Y\) ile tek bir yönlü türev \(\mathbf{v}[f]\) yetti.
\(\blacksquare\)
Örnek 13.11 (İç Çarpım Kuralının Denetimi) \(Y = x^2 U_1 + yz\, U_3\), \(Z = U_1 + xU_2 + yU_3\), \(\mathbf{p} = (2, 1, 0)\) ve \(\mathbf{v} = (-1, 0, 2)\) olsun. Teorem 13.1’nin (4) şıkkının iki tarafını ayrı ayrı hesaplayalım.
Çözüm
Sol taraf. \(Y \cdot Z\) fonksiyonu
\[Y \cdot Z = x^2\cdot 1 + 0\cdot x + yz\cdot y = x^2 + y^2 z\]
biçimindedir. \(\mathbf{p}\)’de
\[\mathbf{v}[x^2 + y^2 z] = -(2x) + 2(y^2) = -4 + 2 = -2.\]
Sağ taraf. \(\nabla_{\mathbf{v}} Y = (-4, 0, 2)_{\mathbf{p}}\) ve \(Z(\mathbf{p}) = (1, 2, 1)_{\mathbf{p}}\); iç çarpımları \(-4 + 0 + 2 = -2\). \(Z\)’nin koordinatları \(1, x, y\) olduğundan \(\mathbf{v}[1] = 0\), \(\mathbf{v}[x] = -1\), \(\mathbf{v}[y] = 0\) ve \(\nabla_{\mathbf{v}} Z = (0, -1, 0)_{\mathbf{p}}\); \(Y(\mathbf{p}) = (4, 0, 0)_{\mathbf{p}}\) ile iç çarpımı \(0\). Sağ taraf \(-2 + 0 = -2\).
İki taraf eşittir. Sağ tarafın ikinci terimi sıfır çıktı, çünkü \(Y(\mathbf{p})\) yalnızca \(x\) yönünde uzanırken \(Z\)’nin \(\mathbf{v}\) yönündeki değişimi yalnızca \(y\) bileşenindedir.
\(\blacksquare\)
13.4 Bir Vektör Alanına Göre Kovaryant Türev
Yönlü türevden vektör alanı boyunca türeve geçerken yaptığımız şeyi hatırlayalım: tek bir \(\mathbf{v}\) vektörü yerine bir \(V\) vektör alanı alıp her \(\mathbf{p}\) noktasında \(V(\mathbf{p})[f]\) sayısını hesapladık; sonuç \(V[f]\) fonksiyonu oldu. Bu, noktasal ilkenin bir uygulamasıydı. Aynı ilkeyi kovaryant türeve uygulayalım: her noktada, \(V\)’nin o noktadaki vektörüne göre \(W\)’nin kovaryant türevini alırsak her noktada bir teğet vektör, yani yeni bir vektör alanı elde ederiz.
Tanım 13.3 (Bir Vektör Alanına Göre Kovaryant Türev) \(V\) ve \(W\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde vektör alanları olsun. Her \(\mathbf{p}\) noktasında değeri
\[(\nabla_V W)(\mathbf{p}) = \nabla_{V(\mathbf{p})} W\]
olan \(\nabla_V W\) vektör alanına \(W\)’nin \(V\)’ye göre kovaryant türevi denir.
Yani \(\nabla_V W\), \(W\)’nin \(V\)’nin bütün vektörlerine göre kovaryant türevlerini bir araya toplayan alandır: \(\mathbf{p}\)’de, \(V(\mathbf{p})\) yönünde harekete geçince \(W\)’nin nasıl değişmeye başladığını gösteren ok.
\(\nabla_V W\)’nin gerçekten bir vektör alanı olduğunu görelim. \(\nabla_{V(\mathbf{p})} W\), \(\mathbf{p}\)’de uygulanmış bir teğet vektördür; dolayısıyla \(\nabla_V W\) her noktaya o noktada uygulanmış bir vektör karşılık getirir. Koordinat fonksiyonlarının diferansiyellenebilir olduğunu aşağıdaki lemmadan okuyacağız.
Lemma 13.2 (Vektör Alanına Göre Kovaryant Türevin Koordinat Formülü) \(V\) ve \(W = \sum_{i=1}^{3} w_i U_i\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde vektör alanları olsun. O zaman
\[\nabla_V W = \sum_{i=1}^{3} V[w_i]\, U_i.\]
Özellikle \(\nabla_V W\)’nin koordinat fonksiyonları \(V[w_1], V[w_2], V[w_3]\) diferansiyellenebilir fonksiyonlardır.
İspat
İki vektör alanının eşit olması, her noktada aynı teğet vektörü vermeleri demektir. Bir \(\mathbf{p}\) noktası alalım. Tanım ve Lemma 13.1 ile
\[(\nabla_V W)(\mathbf{p}) = \nabla_{V(\mathbf{p})} W = \sum_{i=1}^{3} V(\mathbf{p})[w_i]\, U_i(\mathbf{p}).\]
\(V[w_i]\) fonksiyonunun tanımı gereği \(V(\mathbf{p})[w_i] = V[w_i](\mathbf{p})\)’dir. Öte yandan \(\sum_i V[w_i]\, U_i\) alanının \(\mathbf{p}\)’deki değeri, noktasal ilke gereği, \(\sum_i V[w_i](\mathbf{p})\, U_i(\mathbf{p})\)’dir. İki taraf her \(\mathbf{p}\)’de eşit olduğundan alanlar eşittir.
Diferansiyellenebilirlik için \(V = \sum_j v_j U_j\) yazalım. Lemma 3.1 her noktada uygulanınca
\[V[w_i] = \sum_{j=1}^{3} v_j\, \dfrac{\partial w_i}{\partial x_j}\]
bulunur; sağ taraf diferansiyellenebilir fonksiyonların çarpımlarının toplamı olduğundan diferansiyellenebilirdir.
\(\blacksquare\)
Hesaplarda en sık kullanacağımız araç, doğal çatı alanlarının fonksiyonlara etkisidir. \(U_j(\mathbf{p})\), \(j\)-inci koordinatı \(1\) ve ötekileri \(0\) olan vektör kısmını taşıdığından Lemma 3.1 ile
\[U_j[f] = \dfrac{\partial f}{\partial x_j}\]
olur; yani \(U_j\)’yi bir fonksiyona uygulamak, \(x_j\)’ye göre kısmi türev almaktır. \(V = \sum_j v_j U_j\) için de \(V[f] = \sum_j v_j\, \partial f/\partial x_j\) bulunur.
Örnek 13.12 (İki Alandan Yeni Bir Alan) \(V = (y - x)\, U_1 + xy\, U_3\) ve \(W = x^2 U_1 + yz\, U_3\) olsun. \(\nabla_V W\) alanını bulalım.
Çözüm
\(V[f] = (y - x)\, \partial f/\partial x + xy\, \partial f/\partial z\)’dir. \(W\)’nin koordinat fonksiyonları \(x^2\), \(0\), \(yz\) için
\[\begin{aligned} V[x^2] &= (y - x)\cdot 2x + xy\cdot 0 = 2x(y - x),\\ V[yz] &= (y - x)\cdot 0 + xy\cdot y = xy^2. \end{aligned}\]
Dolayısıyla
\[\nabla_V W = 2x(y - x)\, U_1 + xy^2\, U_3.\]
Bu, bütün \(\mathbb{R}^3\) üzerinde tanımlı yeni bir vektör alanıdır; her noktadaki değeri, \(V\)’nin o noktadaki oku yönünde \(W\)’nin nasıl değişmeye başladığını söyler.
Sonucu Örnek 13.3 ile karşılaştıralım. \(\mathbf{p} = (2, 1, 0)\)’da \(V(\mathbf{p})\), koordinatları \(y - x = -1\) ve \(xy = 2\) olan \((-1, 0, 2)_{\mathbf{p}}\) vektörüdür; bu, Örnek 13.3’taki \(\mathbf{v}\)’nin ta kendisidir. Formülden \((\nabla_V W)(\mathbf{p})\)’nin koordinatları \(2\cdot 2\cdot(1 - 2) = -4\), \(0\) ve \(2\cdot 1 = 2\) çıkar: \((-4, 0, 2)_{\mathbf{p}}\), orada bulduğumuz \(\nabla_{\mathbf{v}} W\) ile aynıdır. Tanımın istediği de tam budur: \((\nabla_V W)(\mathbf{p}) = \nabla_{V(\mathbf{p})} W\).
\(\blacksquare\)
Örnek 13.13 (Doğal Çatı Alanlarına Göre Türev) \(W = x^2 U_1 + yz\, U_3\) için \(\nabla_{U_1} W\), \(\nabla_{U_2} W\) ve \(\nabla_{U_3} W\) alanlarını bulalım.
Çözüm
\(U_j[f] = \partial f/\partial x_j\) olduğundan koordinat formülü
\[\nabla_{U_j} W = \sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial w_i}{\partial x_j}\, U_i\]
biçimini alır: \(U_j\)’ye göre kovaryant türev, bütün koordinat fonksiyonlarının \(x_j\)’ye göre kısmi türevini almaktır. \(w_1 = x^2\), \(w_2 = 0\), \(w_3 = yz\) için
\[\nabla_{U_1} W = 2x\, U_1, \qquad \nabla_{U_2} W = z\, U_3, \qquad \nabla_{U_3} W = y\, U_3.\]
Örneğin \(\nabla_{U_2} W = zU_3\) şunu söyler: pozitif \(y\) yönünde ilerlerken \(W\)’nin yalnızca üçüncü bileşeni, o da \(z\) oranında, değişir; \(xy\) düzleminde (\(z = 0\)) bu yönde \(W\) hiç değişmez.
\(\blacksquare\)
Tek bir teğet vektöre göre türevin dört özelliği, noktasal ilkeyle vektör alanlarına taşınır. Tek fark, (1) şıkkında sayılar yerine fonksiyonların katsayı görevi görmesidir: \(fV + gW\) alanı noktasal olarak \(f(\mathbf{p}) V(\mathbf{p}) + g(\mathbf{p}) W(\mathbf{p})\) ile tanımlıdır.
Sonuç 13.1 (Vektör Alanına Göre Kovaryant Türevin Özellikleri) \(V\), \(W\), \(Y\) ve \(Z\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde vektör alanları; \(f\), \(g\) diferansiyellenebilir fonksiyonlar ve \(a\), \(b\) sayılar olsun. O zaman
(1) \(\nabla_{fV + gW} Y = f\,\nabla_V Y + g\,\nabla_W Y\),
(2) \(\nabla_V(aY + bZ) = a\,\nabla_V Y + b\,\nabla_V Z\),
(3) \(\nabla_V(fY) = V[f]\, Y + f\,\nabla_V Y\),
(4) \(V[Y \cdot Z] = \nabla_V Y \cdot Z + Y \cdot \nabla_V Z\).
İspat
Her eşitliğin iki tarafı da bir vektör alanıdır ya da, (4)’te, bir fonksiyondur. İki alanın (ya da iki fonksiyonun) eşitliği her noktada değerlerinin eşit olması demektir; bu yüzden her formülü keyfi bir \(\mathbf{p}\) noktasında değerlendirip Teorem 13.1’ni \(V(\mathbf{p})\), \(W(\mathbf{p})\) teğet vektörlerine uygulayacağız. Tek dikkat edilecek şey parantezlerin yeridir: tanım gereği \((\nabla_V Y)(\mathbf{p}) = \nabla_{V(\mathbf{p})} Y\) ve \(V[f](\mathbf{p}) = V(\mathbf{p})[f]\)’dir.
(1) Noktasal tanım gereği
\[(fV + gW)(\mathbf{p}) = f(\mathbf{p})\, V(\mathbf{p}) + g(\mathbf{p})\, W(\mathbf{p});\]
burada \(f(\mathbf{p})\), \(g(\mathbf{p})\) birer sayı, \(V(\mathbf{p})\), \(W(\mathbf{p})\) ise \(\mathbf{p}\)’deki birer teğet vektördür. Teoremin (1) şıkkını \(a = f(\mathbf{p})\), \(b = g(\mathbf{p})\) sayılarıyla uygularsak
\[\begin{aligned} (\nabla_{fV + gW} Y)(\mathbf{p}) &= \nabla_{f(\mathbf{p}) V(\mathbf{p}) + g(\mathbf{p}) W(\mathbf{p})} Y\\ &= f(\mathbf{p})\, \nabla_{V(\mathbf{p})} Y + g(\mathbf{p})\, \nabla_{W(\mathbf{p})} Y\\ &= f(\mathbf{p})\, (\nabla_V Y)(\mathbf{p}) + g(\mathbf{p})\, (\nabla_W Y)(\mathbf{p})\\ &= (f\,\nabla_V Y + g\,\nabla_W Y)(\mathbf{p}). \end{aligned}\]
Son adım, \(f\,\nabla_V Y + g\,\nabla_W Y\) alanının noktasal tanımıdır.
(2) Teoremin (2) şıkkı \(\mathbf{v} = V(\mathbf{p})\) ile
\[\begin{aligned} (\nabla_V(aY + bZ))(\mathbf{p}) &= \nabla_{V(\mathbf{p})}(aY + bZ)\\ &= a\,\nabla_{V(\mathbf{p})} Y + b\,\nabla_{V(\mathbf{p})} Z\\ &= (a\,\nabla_V Y + b\,\nabla_V Z)(\mathbf{p}) \end{aligned}\]
verir.
(3) Teoremin (3) şıkkı \(\mathbf{v} = V(\mathbf{p})\) ile
\[\begin{aligned} (\nabla_V(fY))(\mathbf{p}) &= \nabla_{V(\mathbf{p})}(fY)\\ &= V(\mathbf{p})[f]\, Y(\mathbf{p}) + f(\mathbf{p})\, \nabla_{V(\mathbf{p})} Y\\ &= V[f](\mathbf{p})\, Y(\mathbf{p}) + f(\mathbf{p})\, (\nabla_V Y)(\mathbf{p})\\ &= (V[f]\, Y + f\,\nabla_V Y)(\mathbf{p}) \end{aligned}\]
verir; son satır, \(V[f]\, Y\) ve \(f\,\nabla_V Y\) alanlarının fonksiyonla çarpım tanımından gelir.
(4) \(V[Y \cdot Z]\) fonksiyonunun \(\mathbf{p}\)’deki değeri \(V(\mathbf{p})[Y \cdot Z]\)’dir. Teoremin (4) şıkkı \(\mathbf{v} = V(\mathbf{p})\) ile
\[\begin{aligned} V[Y \cdot Z](\mathbf{p}) &= \nabla_{V(\mathbf{p})} Y \cdot Z(\mathbf{p}) + Y(\mathbf{p}) \cdot \nabla_{V(\mathbf{p})} Z\\ &= (\nabla_V Y)(\mathbf{p}) \cdot Z(\mathbf{p}) + Y(\mathbf{p}) \cdot (\nabla_V Z)(\mathbf{p})\\ &= (\nabla_V Y \cdot Z + Y \cdot \nabla_V Z)(\mathbf{p}) \end{aligned}\]
verir; son satırda iki alanın iç çarpımının noktasal tanımını kullandık.
\(\blacksquare\)
Örnek 13.14 (Sonucun (1) Şıkkıyla Hesap) \(V = (y - x)\, U_1 + xy\, U_3\) ve \(W = x^2 U_1 + yz\, U_3\) olsun. Örnek 13.13’nde bulunan \(\nabla_{U_j} W\) alanlarından ve Sonuç 13.1’nin (1) şıkkından yararlanarak \(\nabla_V W\)’yi yeniden hesaplayalım.
Çözüm
\(V = (y - x)\, U_1 + xy\, U_3\), \(f = y - x\) ve \(g = xy\) fonksiyonlarıyla \(fU_1 + gU_3\) biçimindedir. Sonucun (1) şıkkı
\[\nabla_V W = (y - x)\, \nabla_{U_1} W + xy\, \nabla_{U_3} W\]
verir. \(\nabla_{U_1} W = 2xU_1\) ve \(\nabla_{U_3} W = yU_3\) olduğundan
\[\nabla_V W = (y - x)\cdot 2x\, U_1 + xy\cdot y\, U_3 = 2x(y - x)\, U_1 + xy^2\, U_3.\]
Örnek 13.12 ile aynı sonuç. Bu yol genel bir tarif verir: bir \(W\) alanının üç \(\nabla_{U_j} W\) türevi bilindiğinde, herhangi bir \(V = \sum_j v_j U_j\) için \(\nabla_V W = \sum_j v_j\, \nabla_{U_j} W\) olur. Katsayıların fonksiyon olması hiçbir sorun çıkarmaz, çünkü türev alınan yön yalnızca cebirsel bir rol oynar.
\(\blacksquare\)
Son cümle önemli bir uyarıyı hak eder. \(\nabla_V Y\) ifadesinde \(V\) ile \(Y\)’nin rolleri simetrik değildir: türevi alınan \(Y\)’dir, \(V\) yalnızca hangi yönde bakılacağını söyler. Bu yüzden \(V\)’nin katsayısı olan bir fonksiyon dışarı çıkarılabilir, ama \(Y\)’nin katsayısı çıkarılamaz.
UyarıFonksiyon katsayısı hangi taraftan dışarı çıkar?
Sonucun (1) şıkkına göre \(\nabla_{fV} Y = f\,\nabla_V Y\): yönü belirleyen alanın önündeki fonksiyon, türevin önüne olduğu gibi geçer. Ama (3) şıkkına göre \(\nabla_V(fY) = V[f]\, Y + f\,\nabla_V Y\): türevi alınan alanın önündeki fonksiyon dışarı çıkarken \(V[f]\, Y\) ek terimini bırakır, çünkü \(V\) yönünde giderken \(f\) de değişir. Genel olarak \(\nabla_V(fY) \neq f\,\nabla_V Y\)’dir. Aynı nedenle \(\nabla_V W\) ile \(\nabla_W V\) de genellikle farklıdır.
Örnek 13.15 (Simetri Eksikliğine Bir Örnek) \(V = U_1\), \(Y = xU_1\) ve \(f = x\) olsun. \(\nabla_{fV} U_1\) ile \(\nabla_V(fU_1)\) alanlarını hesaplayıp karşılaştıralım.
Çözüm
\(fV = xU_1 = Y\)’dir; yani iki ifade \(\nabla_Y V\) ve \(\nabla_V Y\)’dir.
\(\nabla_{xU_1} U_1\): koordinat formülünde \(U_1\)’in koordinat fonksiyonları \(1, 0, 0\) sabitlerdir ve sabit fonksiyonun her yönlü türevi sıfırdır. Dolayısıyla \(\nabla_{xU_1} U_1 = \mathbf{0}\). Aynı sonuç sonucun (1) şıkkıyla da çıkar: \(\nabla_{xU_1} U_1 = x\,\nabla_{U_1} U_1 = x\cdot\mathbf{0} = \mathbf{0}\).
\(\nabla_{U_1}(xU_1)\): \(xU_1\)’in koordinat fonksiyonları \(x, 0, 0\)’dır; \(U_1[x] = \partial x/\partial x = 1\) olduğundan \(\nabla_{U_1}(xU_1) = U_1\). Sonucun (3) şıkkıyla da aynı şey bulunur: \(U_1[x]\, U_1 + x\,\nabla_{U_1} U_1 = U_1 + \mathbf{0} = U_1\).
Demek ki \(\nabla_Y V = \mathbf{0}\), ama \(\nabla_V Y = U_1 \neq \mathbf{0}\). Resim şudur: \(Y = xU_1\) alanı \(x\) ekseni boyunca uzunluğu \(x\) ile büyüyen oklardan oluşur, \(V = U_1\) ise her yerde aynı birim oktur. \(Y\) yönünde giderken \(V\) hiç değişmez; \(V\) yönünde, yani pozitif \(x\) yönünde giderken \(Y\)’nin oku birim hızla uzar.
\(\blacksquare\)
13.5 Alıştırmalar
Alıştırma 13.1 (Tanımdan Hesap: İki Bileşenli Alan) \(\mathbf{p} = (1, 3, -1)\) noktasındaki \(\mathbf{v} = (1, -1, 2)\) teğet vektörü ve \(W = x^2 U_1 + yU_2\) vektör alanı verilsin. \(\nabla_{\mathbf{v}} W\)’yi doğrudan tanımdan hesaplayınız.
Çözüm
Doğru \(\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (1 + t,\ 3 - t,\ -1 + 2t)\)’dir. Bu noktada \(x = 1 + t\) ve \(y = 3 - t\) olduğundan
\[W(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = (1 + t)^2\, U_1 + (3 - t)\, U_2.\]
Koordinat fonksiyonları \((1 + t)^2\), \(3 - t\) ve \(0\)’dır; türevleri \(2(1 + t)\), \(-1\) ve \(0\). \(t = 0\)’da \(2\), \(-1\), \(0\) bulunur:
\[\nabla_{\mathbf{v}} W = 2U_1(\mathbf{p}) - U_2(\mathbf{p}) = (2, -1, 0)_{\mathbf{p}}.\]
Denetim için Lemma 13.1’nü kullanalım: \(\mathbf{v}[x^2] = 1\cdot 2x = 2\) ve \(\mathbf{v}[y] = -1\) (\(\mathbf{p}\)’de \(x = 1\)). Aynı sonuç.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 13.2 (Tanımdan Hesap: Üç Bileşenli Alan) \(\mathbf{p} = (1, 3, -1)\) noktasındaki \(\mathbf{v} = (1, -1, 2)\) teğet vektörü ve \(W = xU_1 + x^2 U_2 - z^2 U_3\) vektör alanı verilsin. \(\nabla_{\mathbf{v}} W\)’yi doğrudan tanımdan hesaplayınız.
Çözüm
Doğru yine \(\mathbf{p} + t\mathbf{v} = (1 + t,\ 3 - t,\ -1 + 2t)\)’dir. \(x = 1 + t\), \(z = -1 + 2t\) olduğundan
\[W(\mathbf{p} + t\mathbf{v}) = (1 + t)\, U_1 + (1 + t)^2\, U_2 - (2t - 1)^2\, U_3.\]
Koordinat fonksiyonlarını türetelim; üçüncüsünde zincir kuralı gerekir:
\[(1 + t)' = 1, \qquad \bigl((1 + t)^2\bigr)' = 2(1 + t), \qquad \bigl(-(2t - 1)^2\bigr)' = -4(2t - 1).\]
\(t = 0\)’da bunlar \(1\), \(2\) ve \(-4\cdot(-1) = 4\) olur:
\[\nabla_{\mathbf{v}} W = U_1(\mathbf{p}) + 2U_2(\mathbf{p}) + 4U_3(\mathbf{p}) = (1, 2, 4)_{\mathbf{p}}.\]
Denetim: \(\mathbf{v}[x] = 1\); \(\mathbf{v}[x^2] = 1\cdot 2x = 2\); \(\mathbf{v}[-z^2] = 2\cdot(-2z) = -4z = 4\), çünkü \(\mathbf{p}\)’de \(z = -1\). Üçüncü bileşenin işaretine dikkat: \(z = -1\)’den \(z\) artarken \(-z^2\) büyür, bu yüzden türev pozitiftir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 13.3 (İki Alan: W’nin V’ye Göre Türevi) \(V = -yU_1 + xU_3\) ve \(W = \cos x\, U_1 + \sin x\, U_2\) olsun. \(\nabla_V W\) alanını \(U_1, U_2, U_3\) cinsinden yazınız.
Çözüm
\(V\)’nin koordinatları \(-y, 0, x\) olduğundan herhangi bir \(f\) için
\[V[f] = -y\,\dfrac{\partial f}{\partial x} + x\,\dfrac{\partial f}{\partial z}.\]
\(W\)’nin koordinat fonksiyonları \(\cos x\), \(\sin x\) ve \(0\) yalnızca \(x\)’e bağlıdır; \(z\)’ye göre kısmi türevleri sıfırdır. Buradan
\[V[\cos x] = -y\cdot(-\sin x) = y\sin x, \qquad V[\sin x] = -y\cos x, \qquad V[0] = 0.\]
Lemma 13.2 ile
\[\nabla_V W = y\sin x\, U_1 - y\cos x\, U_2.\]
\(W\)’nin oku yalnızca \(x\) ile döner; \(V\)’nin \(x\)’i değiştiren parçası \(-y\,U_1\) olduğundan sonuç \(y\) ile orantılıdır, \(xU_3\) parçası ise \(z\)’yi değiştirir ve \(W\) buna duyarsızdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 13.4 (İki Alan: V’nin Kendine Göre Türevi) \(V = -yU_1 + xU_3\) olsun. \(\nabla_V V\) alanını \(U_1, U_2, U_3\) cinsinden yazınız.
Çözüm
\(V[f] = -y\,\partial f/\partial x + x\,\partial f/\partial z\) kuralını \(V\)’nin kendi koordinat fonksiyonlarına uygularız:
\[V[-y] = -y\cdot 0 + x\cdot 0 = 0, \qquad V[0] = 0, \qquad V[x] = -y\cdot 1 + x\cdot 0 = -y.\]
Dolayısıyla
\[\nabla_V V = -y\, U_3.\]
\(V\)’nin birinci koordinatı \(-y\) yalnızca \(y\)’ye bağlıdır, \(V\) ise \(y\)’yi hiç değiştirmez; bu yüzden birinci bileşen sabit kalır. Üçüncü koordinat \(x\), \(V\)’nin \(-y\,U_1\) parçası yüzünden \(-y\) hızıyla değişir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 13.5 (İki Alan: Fonksiyonla Çarpılmış Alanın Türevi) \(V = -yU_1 + xU_3\) ve \(W = \cos x\, U_1 + \sin x\, U_2\) olsun. \(\nabla_V(z^2 W)\) alanını \(U_1, U_2, U_3\) cinsinden yazınız.
Çözüm
Sonuç 13.1’nin (3) şıkkını \(f = z^2\) ile kullanalım:
\[\nabla_V(z^2 W) = V[z^2]\, W + z^2\, \nabla_V W.\]
\(V[z^2] = -y\cdot 0 + x\cdot 2z = 2xz\) ve Alıştırma 13.3’dan \(\nabla_V W = y\sin x\, U_1 - y\cos x\, U_2\). Yerine koyup \(U_1\) ve \(U_2\) katsayılarını toplarsak
\[\begin{aligned} \nabla_V(z^2 W) &= 2xz\,(\cos x\, U_1 + \sin x\, U_2) + z^2\,(y\sin x\, U_1 - y\cos x\, U_2)\\ &= (2xz\cos x + yz^2 \sin x)\, U_1 + (2xz\sin x - yz^2\cos x)\, U_2. \end{aligned}\]
Doğrudan denetim: \(z^2 W\)’nin koordinatları \(z^2\cos x\), \(z^2 \sin x\), \(0\)’dır ve
\[\begin{aligned} V[z^2\cos x] &= -y\,(-z^2\sin x) + x\,(2z\cos x) = yz^2\sin x + 2xz\cos x,\\ V[z^2\sin x] &= -y\,(z^2\cos x) + x\,(2z\sin x) = -yz^2\cos x + 2xz\sin x. \end{aligned}\]
Aynı katsayılar çıkar.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 13.6 (İki Alan: V’nin W’ye Göre Türevi) \(V = -yU_1 + xU_3\) ve \(W = \cos x\, U_1 + \sin x\, U_2\) olsun. \(\nabla_W V\) alanını \(U_1, U_2, U_3\) cinsinden yazınız.
Çözüm
Bu kez yön \(W\)’dir: \(W\)’nin koordinatları \(\cos x, \sin x, 0\) olduğundan
\[W[f] = \cos x\,\dfrac{\partial f}{\partial x} + \sin x\,\dfrac{\partial f}{\partial y}.\]
\(V\)’nin koordinat fonksiyonları \(-y, 0, x\) için
\[W[-y] = \cos x\cdot 0 + \sin x\cdot(-1) = -\sin x, \qquad W[0] = 0, \qquad W[x] = \cos x.\]
Dolayısıyla
\[\nabla_W V = -\sin x\, U_1 + \cos x\, U_3.\]
Bunu Alıştırma 13.3’daki \(\nabla_V W = y\sin x\, U_1 - y\cos x\, U_2\) ile karşılaştıralım: ikisi hiç benzemez. \(\nabla_W V\)’nin \(y\)’ye bağlılığı yoktur ve üçüncü bileşeni sıfırdan farklıdır; \(\nabla_V W\)’nin ise üçüncü bileşeni sıfırdır. Kovaryant türev \(V\) ile \(W\)’de simetrik değildir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 13.7 (İki Alan: İkinci Kovaryant Türev) \(V = -yU_1 + xU_3\) ve \(W = \cos x\, U_1 + \sin x\, U_2\) olsun. \(\nabla_V(\nabla_V W)\) alanını \(U_1, U_2, U_3\) cinsinden yazınız.
Çözüm
Alıştırma 13.3’dan \(\nabla_V W = y\sin x\, U_1 - y\cos x\, U_2\); bu da bir vektör alanıdır ve ona yeniden \(\nabla_V\) uygulayabiliriz. \(V[f] = -y\,\partial f/\partial x + x\,\partial f/\partial z\) kuralıyla
\[\begin{aligned} V[y\sin x] &= -y\,(y\cos x) + x\cdot 0 = -y^2\cos x,\\ V[-y\cos x] &= -y\,(y\sin x) + x\cdot 0 = -y^2\sin x. \end{aligned}\]
Dolayısıyla
\[\nabla_V(\nabla_V W) = -y^2\cos x\, U_1 - y^2\sin x\, U_2 = -y^2\, W.\]
İkinci türev, alanın kendisinin \(-y^2\) katı çıktı. Bu, \(\cos\) ve \(\sin\)’in ikinci türevlerinin kendilerinin eksi işaretlisi olmasının yansımasıdır: \(V\) yönünde \(x\) koordinatı \(-y\) hızıyla değişir, bu yüzden her türev bir \(-y\) çarpanı getirip oku \(90°\) döndürür; iki türev sonunda ok \(y^2\) ile çarpılmış ve ters dönmüştür.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 13.8 (İki Alan: Bileşik Bir Alanın Türevi) \(V = -yU_1 + xU_3\) ve \(W = \cos x\, U_1 + \sin x\, U_2\) olsun. \(\nabla_V(xV - zW)\) alanını \(U_1, U_2, U_3\) cinsinden yazınız.
Çözüm
Sonuç 13.1’nin (2) ve (3) şıklarını art arda uygularız:
\[\nabla_V(xV - zW) = V[x]\, V + x\,\nabla_V V - V[z]\, W - z\,\nabla_V W.\]
Gereken parçalar: \(V[x] = -y\), \(V[z] = x\); Alıştırma 13.4’den \(\nabla_V V = -yU_3\); Alıştırma 13.3’dan \(\nabla_V W = y\sin x\, U_1 - y\cos x\, U_2\). Yerine koyalım:
\[\begin{aligned} \nabla_V(xV - zW) &= -y\,(-yU_1 + xU_3) + x\,(-yU_3)\\ &\quad - x\,(\cos x\, U_1 + \sin x\, U_2) - z\,(y\sin x\, U_1 - y\cos x\, U_2). \end{aligned}\]
Katsayıları çatı vektörlerine göre toplayalım. \(U_1\): \(y^2 - x\cos x - yz\sin x\). \(U_2\): \(-x\sin x + yz\cos x\). \(U_3\): \(-xy - xy = -2xy\). Sonuç:
\[\begin{aligned} \nabla_V(xV - zW) &= (y^2 - x\cos x - yz\sin x)\, U_1\\ &\quad + (yz\cos x - x\sin x)\, U_2 - 2xy\, U_3. \end{aligned}\]
Doğrudan denetim için \(xV - zW\)’nin koordinatlarını yazalım: \(-xy - z\cos x\), \(-z\sin x\), \(x^2\). \(V[f] = -y\,\partial f/\partial x + x\,\partial f/\partial z\) ile
\[\begin{aligned} V[-xy - z\cos x] &= -y\,(-y + z\sin x) + x\,(-\cos x) = y^2 - yz\sin x - x\cos x,\\ V[-z\sin x] &= -y\,(-z\cos x) + x\,(-\sin x) = yz\cos x - x\sin x,\\ V[x^2] &= -y\cdot 2x = -2xy. \end{aligned}\]
Üç katsayı da uyuşur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 13.9 (Sabit Uzunluklu Alanın Türevi Alana Diktir) \(W\), uzunluğu \(\|W\|\) sabit olan bir vektör alanı olsun; yani her \(\mathbf{p}\) için \(\|W(\mathbf{p})\| = c\) olacak biçimde bir \(c \ge 0\) sayısı bulunsun. Her \(V\) vektör alanı için \(\nabla_V W\)’nin her noktada \(W\)’ye dik olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(W \cdot W = \|W\|^2 = c^2\) sabit fonksiyonudur. Sabit bir fonksiyonun kısmi türevleri sıfır olduğundan Lemma 3.1 gereği her noktada \(V[c^2] = 0\); yani \(V[W \cdot W] = 0\).
Öte yandan Sonuç 13.1’nin (4) şıkkı \(Y = Z = W\) ile
\[V[W \cdot W] = \nabla_V W \cdot W + W \cdot \nabla_V W = 2\,\nabla_V W \cdot W\]
verir; iç çarpımın simetrisini kullandık. İki sonucu birleştirince \(2\,\nabla_V W \cdot W = 0\), yani her noktada \(\nabla_V W \cdot W = 0\) olur. Bu da \(\nabla_V W\)’nin her noktada \(W\)’ye dik olması demektir. (\(c = 0\) ise \(W = \mathbf{0}\), \(\nabla_V W = \mathbf{0}\)’dır ve sıfır vektör her vektöre diktir; ifade yine doğrudur.)
Denetim için Alıştırma 13.3’ya dönelim: \(W = \cos x\, U_1 + \sin x\, U_2\) alanının uzunluğu her yerde \(\sqrt{\cos^2 x + \sin^2 x} = 1\)’dir ve \(V = -yU_1 + xU_3\) için \(\nabla_V W = y\sin x\, U_1 - y\cos x\, U_2\) bulmuştuk. İç çarpım
\[\nabla_V W \cdot W = y\sin x\cos x - y\cos x\sin x = 0.\]
Sonuç sezgiye de uyar. Uzunluğu değişmeyen bir okun ucu, ok bir yönde taşındıkça \(c\) yarıçaplı bir kürenin üzerinde dolaşır; ucun hızı, yani \(\nabla_V W\), küreye teğet, dolayısıyla yarıçap doğrultusundaki \(W\)’ye diktir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 13.10 (Konum Alanının Türevi Yönün Kendisidir) \(x_1, x_2, x_3\) doğal koordinat fonksiyonları olmak üzere \(X = \sum_{i=1}^{3} x_i U_i\) vektör alanını alalım; \(X(\mathbf{p})\), \(\mathbf{p}\) noktasında uygulanmış ve vektör kısmı \(\mathbf{p}\)’nin kendisi olan “konum” okudur. Her \(V\) vektör alanı için \(\nabla_V X = V\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(V = \sum_j v_j U_j\) yazalım. \(X\)’in koordinat fonksiyonları \(x_1, x_2, x_3\)’tür. Kısmi türevleri \(\partial x_i/\partial x_j\), \(i = j\) için \(1\) ve \(i \neq j\) için \(0\)’dır. Dolayısıyla Lemma 3.1 her noktada uygulanınca
\[V[x_i] = \sum_{j=1}^{3} v_j\,\dfrac{\partial x_i}{\partial x_j} = v_i.\]
Lemma 13.2 ile
\[\nabla_V X = \sum_{i=1}^{3} V[x_i]\, U_i = \sum_{i=1}^{3} v_i U_i = V.\]
Sözle: \(X\)’in \(\mathbf{p}\)’deki oku \(\mathbf{p}\)’nin kendisidir; \(\mathbf{p}\)’yi \(\mathbf{v}\) yönünde \(\mathbf{p} + t\mathbf{v}\)’ye taşıyınca ok da \(\mathbf{p} + t\mathbf{v}\) olur ve \(t\)’ye göre türevi \(\mathbf{v}\)’dir. Hangi yöne gidersek okun değişimi tam o yön kadardır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 13.11 (Eğri Boyunca Kovaryant Türev Kısıtlanışın Türevidir) \(W\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde bir vektör alanı ve \(\alpha : I \to \mathbb{R}^3\) bir eğri olsun; \(W_\alpha(t) = W(\alpha(t))\), \(W\)’nin \(\alpha\)’ya kısıtlanışı (Tanım 13.1). Her \(t \in I\) için
\[\nabla_{\alpha'(t)} W = W_\alpha'(t)\]
olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(W = \sum_i w_i U_i\) yazalım. Sol taraf, \(\alpha(t)\) noktasındaki \(\alpha'(t)\) teğet vektörüne göre kovaryant türevdir; Lemma 13.1 ile
\[\nabla_{\alpha'(t)} W = \sum_{i=1}^{3} \alpha'(t)[w_i]\, U_i(\alpha(t)).\]
Bir fonksiyonun eğri boyunca türevi lemması (Lemma 4.2)
\[\alpha'(t)[w_i] = \dfrac{d}{dt}\bigl(w_i(\alpha(t))\bigr)\]
verir.
Sağ taraf için \(W_\alpha(t) = \sum_i w_i(\alpha(t))\, U_i(\alpha(t))\) olduğunu kısıtlanış tanımının ardından görmüştük; koordinat fonksiyonları \(w_i(\alpha(t))\)’dir ve eğri üzerindeki vektör alanının türevi bunların türetilmesiyle bulunur (Tanım 10.4):
\[W_\alpha'(t) = \sum_{i=1}^{3} \dfrac{d}{dt}\bigl(w_i(\alpha(t))\bigr)\, U_i(\alpha(t)).\]
İki taraf terim terim aynıdır. Eğrinin düzgün olması gerekmez; ispatın hiçbir adımı \(\alpha'(t) \neq \mathbf{0}\) kullanmadı. \(W\)’nin bütün \(\mathbb{R}^3\) yerine eğrinin rotasını içeren açık bir bölgede tanımlı olması da yeter, çünkü hesap yalnızca \(\alpha(t)\) çevresindeki noktaları kullanır.
Bir örnek: \(W = -yU_1 + xU_2\) ve \(\alpha(t) = (\cos t, \sin t, 0)\) için Örnek 13.1’de \(W_\alpha = \alpha'\) bulmuştuk; dolayısıyla \(W_\alpha'(t) = \alpha''(t)\), vektör kısmı \((-\cos t, -\sin t, 0)\). Sol taraf: \(\alpha'(t) = (-\sin t, \cos t, 0)\) ile \(\alpha'(t)[-y] = -\cos t\) ve \(\alpha'(t)[x] = -\sin t\); yani \(\nabla_{\alpha'(t)} W\)’nin vektör kısmı \((-\cos t, -\sin t, 0)\). Aynı vektör.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 13.12 (Tanımdaki Doğru Herhangi Bir Eğriyle Değiştirilebilir) \(W\) bir vektör alanı, \(\mathbf{v}\) de \(\mathbf{p}\) noktasında bir teğet vektör olsun. \(\alpha\), \(\alpha(0) = \mathbf{p}\) ve \(\alpha'(0) = \mathbf{v}\) koşullarını sağlayan herhangi bir eğri ise \(\nabla_{\mathbf{v}} W = W_\alpha'(0)\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Alıştırma 13.11’daki eşitliği \(t = 0\)’da yazalım: \(\nabla_{\alpha'(0)} W = W_\alpha'(0)\). \(\alpha'(0) = \mathbf{v}\) olduğundan
\[\nabla_{\mathbf{v}} W = W_\alpha'(0).\]
Demek ki kovaryant türevin tanımında kullandığımız \(t \mapsto \mathbf{p} + t\mathbf{v}\) doğrusunun özel bir yanı yoktur: \(\mathbf{p}\)’den \(\mathbf{v}\) hızıyla geçen her eğri, \(W\)’yi ona kısıtlayıp \(t = 0\)’da türetince aynı \(\nabla_{\mathbf{v}} W\) vektörünü verir. Türev yalnızca başlangıç noktasına ve başlangıç hızına bağlıdır; eğrinin sonradan nereye kıvrıldığı önemsizdir. Örneğin \(W = -yU_1 + xU_2\) için \(\mathbf{p} = (1, 0, 0)\)’daki \(\mathbf{v} = (0, 1, 0)\) vektörüne göre türevi Örnek 13.4’de doğru boyunca \((-1, 0, 0)_{\mathbf{p}}\) bulmuştuk; \(\alpha(t) = (\cos t, \sin t, 0)\) çemberi de \(\alpha(0) = \mathbf{p}\), \(\alpha'(0) = (0, 1, 0)\) koşullarını sağlar ve Alıştırma 13.11’daki hesapla \(W_\alpha'(0) = \alpha''(0) = (-1, 0, 0)_{\mathbf{p}}\) verir.
Bu sonucun bir yorumu, eğri üzerindeki vektör alanlarının türevine yeni bir gözle bakmamızı sağlar. Bir \(\alpha\) eğrisi üzerinde bir \(Y\) vektör alanı alalım. \(Y\), bütün \(\mathbb{R}^3\) üzerinde tanımlı bir \(W\) alanının kısıtlanışı ise, yani \(Y = W_\alpha\) ise, Alıştırma 13.11 gereği her \(t\) için
\[Y'(t) = W_\alpha'(t) = \nabla_{\alpha'(t)} W.\]
Bu anlamda eğri üzerindeki türev \(Y'\), hemen hemen “\(\alpha'\)’ya göre kovaryant türev” \(\nabla_{\alpha'} Y\)’dir. “Hemen hemen” kaydının nedeni şudur: \(Y\) yalnızca eğrinin noktalarında tanımlıdır, oysa \(\nabla_{\alpha'(t)} Y\) yazmak için \(Y\)’nin \(\alpha(t)\) çevresindeki bir bölgede tanımlı olması gerekir. Böyle bir genişletme her zaman var olmayabilir; örneğin eğri aynı noktadan iki kez geçiyor ve \(Y\) orada iki farklı değer alıyorsa hiçbir \(W\) işe yaramaz. Var olduğunda da tek türlü değildir; ama eşitlik hangi genişletmenin seçildiğine bağlı değildir, çünkü sol taraf yalnızca eğri üzerindeki değerleri kullanır. Örneğin \(\alpha(t) = (\cos t, \sin t, 0)\) üzerindeki \(Y = \alpha'\) hız alanı hem \(W = -yU_1 + xU_2\) hem de \(W^* = -yU_1 + xU_2 + z^2 U_3\) alanının kısıtlanışıdır; ikisi de \(Y' = \alpha''\) verir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 13.13 (Her Yönde Türevi Sıfır Olan Alan) \(W\), \(\mathbb{R}^3\) üzerinde her \(V\) vektör alanı için \(\nabla_V W = \mathbf{0}\) koşulunu sağlayan bir vektör alanı olsun. \(W\)’nin koordinat fonksiyonlarının sabit olduğunu, yani \(W = a_1 U_1 + a_2 U_2 + a_3 U_3\) biçiminde sabit \(a_i\) sayılarıyla yazılabildiğini gösteriniz.
Çözüm
\(W = \sum_i w_i U_i\) olsun. Koşulu \(V = U_j\) ile kullanalım. Örnek 13.13’nde gördüğümüz gibi
\[\nabla_{U_j} W = \sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial w_i}{\partial x_j}\, U_i,\]
ve bu alan sıfır olduğundan her \(i\) ve her \(j\) için \(\partial w_i/\partial x_j = 0\)’dır: \(w_i\)’nin bütün kısmi türevleri bütün \(\mathbb{R}^3\)’te sıfırdır.
Bütün kısmi türevleri sıfır olan bir \(g\) fonksiyonunun sabit olduğunu gösterelim. \(\mathbf{p}\) ve \(\mathbf{q}\) iki nokta olsun; \(\mathbf{u} = \mathbf{q} - \mathbf{p}\) diyelim ve \(h(t) = g(\mathbf{p} + t\mathbf{u})\) tek değişkenli fonksiyonunu kuralım. \(\alpha(t) = \mathbf{p} + t\mathbf{u}\) doğrusu için \(h = g(\alpha)\)’dır ve Lemma 4.2 ile \(h'(t) = \alpha'(t)[g]\); \(\alpha'(t)\), \(\alpha(t)\) noktasındaki \(\mathbf{u}\) vektörü olduğundan Lemma 3.1
\[h'(t) = \sum_{j=1}^{3} u_j\,\dfrac{\partial g}{\partial x_j}(\alpha(t)) = 0\]
verir. Türevi her yerde sıfır olan tek değişkenli bir fonksiyon, ortalama değer teoremi gereği sabittir: \(0\) ile \(1\) arasında bir \(c\) için \(h(1) - h(0) = h'(c) = 0\). Yani \(g(\mathbf{q}) = h(1) = h(0) = g(\mathbf{p})\). \(\mathbf{p}\), \(\mathbf{q}\) keyfi olduğundan \(g\) sabittir.
Bunu \(g = w_i\) için uygularsak her \(w_i\) bir \(a_i\) sabitine eşittir ve \(W = \sum_i a_i U_i\) olur. Örnek 13.5 ile birlikte şu denklik elde edilir: bir vektör alanının her yöndeki kovaryant türevi sıfırdır ancak ve ancak koordinat fonksiyonları sabitse, yani alan her noktada aynı oku taşıyorsa. Eğriler üzerinde paralel vektör alanları için gördüğümüz \(Y' = 0\) denkliğinin (Lemma 10.4) bütün uzaydaki karşılığı budur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 13.14 (Dönme Alanının Kendine Göre Türevi) \(W = -yU_1 + xU_2\) dönme alanı için \(\nabla_W W\) alanını hesaplayınız.
Çözüm
\(W[f] = -y\,\partial f/\partial x + x\,\partial f/\partial y\)’dir. \(W\)’nin koordinat fonksiyonları \(-y, x, 0\) için
\[\begin{aligned} W[-y] &= -y\cdot 0 + x\cdot(-1) = -x,\\ W[x] &= -y\cdot 1 + x\cdot 0 = -y,\\ W[0] &= 0. \end{aligned}\]
Dolayısıyla
\[\nabla_W W = -x\, U_1 - y\, U_2.\]
Sonucu yorumlayalım. \((x, y, z)\) noktasındaki \(\nabla_W W\) oku, vektör kısmı \((-x, -y, 0)\) olan, yani \(z\) eksenine doğru bakan oktur; uzunluğu noktanın \(z\) eksenine uzaklığı \(\sqrt{x^2 + y^2}\)’dir. Bunu Alıştırma 13.11 ile bağlayalım: \(\alpha(t) = (r\cos t, r\sin t, 0)\) çemberi (\(r > 0\)) üzerinde \(W_\alpha(t)\), vektör kısmı \((-r\sin t, r\cos t, 0)\) olan vektördür, yani \(W_\alpha = \alpha'\). O hâlde \(\nabla_{\alpha'(t)} W = W_\alpha'(t) = \alpha''(t)\) ve \(\alpha''(t)\)’nin vektör kısmı \((-r\cos t, -r\sin t, 0)\), tam olarak \(\alpha(t)\) noktasındaki \((-x, -y, 0)\)’dır. Yani \(\nabla_W W\), \(W\)’nin akışına kapılıp \(z\) ekseni çevresinde birim açısal hızla dönen bir noktanın ivmesidir: merkeze doğru, büyüklüğü yarıçap kadar. Bu, dairesel hareketin merkezcil ivmesinden başka bir şey değildir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 13.15 (Vektörel Çarpım için Leibniz Kuralı) \(Y\) ve \(Z\) vektör alanları, \(\mathbf{v}\) de \(\mathbf{p}\) noktasında bir teğet vektör olsun. \(Y \times Z\) alanı noktasal olarak \((Y \times Z)(\mathbf{q}) = Y(\mathbf{q}) \times Z(\mathbf{q})\) ile tanımlanır (Tanım 9.9). Şunu gösteriniz:
\[\nabla_{\mathbf{v}}(Y \times Z) = \nabla_{\mathbf{v}} Y \times Z(\mathbf{p}) + Y(\mathbf{p}) \times \nabla_{\mathbf{v}} Z.\]
Çözüm
\(Y = \sum_i y_i U_i\), \(Z = \sum_i z_i U_i\) yazalım. Vektörel çarpımın koordinatları, \((i, j, k)\) üçlüsü \((1, 2, 3)\), \((2, 3, 1)\) ve \((3, 1, 2)\) sıralamalarından biri olmak üzere
\[(Y \times Z)_i = y_j z_k - y_k z_j\]
biçimindedir; bu tek formül üç koordinatın hepsini kapsar (birinci koordinat \(y_2 z_3 - y_3 z_2\), ikincisi \(y_3 z_1 - y_1 z_3\), üçüncüsü \(y_1 z_2 - y_2 z_1\)). Bunlar diferansiyellenebilir fonksiyonlar olduğundan \(Y \times Z\) bir vektör alanıdır ve Lemma 13.1 uygulanabilir: \(\nabla_{\mathbf{v}}(Y \times Z)\)’nin \(i\)-inci koordinatı \(\mathbf{v}[y_j z_k - y_k z_j]\)’dir.
Yönlü türevin lineerliği ve Leibniz kuralı (Teorem 3.1, (2) ve (3)) ile, bütün fonksiyonlar \(\mathbf{p}\)’de değerlendirilmek üzere,
\[\begin{aligned} \mathbf{v}[y_j z_k - y_k z_j] &= \mathbf{v}[y_j]\, z_k + y_j\, \mathbf{v}[z_k] - \mathbf{v}[y_k]\, z_j - y_k\, \mathbf{v}[z_j]\\ &= \bigl(\mathbf{v}[y_j]\, z_k - \mathbf{v}[y_k]\, z_j\bigr) + \bigl(y_j\, \mathbf{v}[z_k] - y_k\, \mathbf{v}[z_j]\bigr). \end{aligned}\]
İlk parantez, koordinatları \(\mathbf{v}[y_1], \mathbf{v}[y_2], \mathbf{v}[y_3]\) olan \(\nabla_{\mathbf{v}} Y\) vektörüyle koordinatları \(z_1(\mathbf{p}), z_2(\mathbf{p}), z_3(\mathbf{p})\) olan \(Z(\mathbf{p})\) vektörünün vektörel çarpımının \(i\)-inci koordinatıdır. İkinci parantez de aynı biçimde \(Y(\mathbf{p}) \times \nabla_{\mathbf{v}} Z\)’nin \(i\)-inci koordinatıdır. Bu, \((i, j, k)\)’nin üç sıralamasının her biri için geçerli olduğundan üç koordinat da uyuşur ve
\[\nabla_{\mathbf{v}}(Y \times Z) = \nabla_{\mathbf{v}} Y \times Z(\mathbf{p}) + Y(\mathbf{p}) \times \nabla_{\mathbf{v}} Z\]
elde edilir. Terimlerin sırasına dikkat: vektörel çarpım ters değişmeli olduğundan \(Z(\mathbf{p}) \times \nabla_{\mathbf{v}} Y\) yazmak işareti bozar; iç çarpım kuralında böyle bir özen gerekmiyordu.
Noktasal ilkeyle vektör alanı sürümü de hemen çıkar: her \(V\) için \(\nabla_V(Y \times Z) = \nabla_V Y \times Z + Y \times \nabla_V Z\).
\(\blacksquare\)
Bu bölümde bir vektör alanının bir teğet vektöre ve bir vektör alanına göre türevini tanımlayıp hesap kurallarını kurduk; bir sonraki bölümde (Çatı Alanları) doğal çatının yerine probleme uyan hareketli çatılar koyacak ve kovaryant türevi bu çatıların uzayda nasıl döndüğünü ölçmek için kullanacağız.