9 Sıra Topolojisi
Baz ve Alt Baz bölümünde bir topolojiyi bütün açık kümeleri tek tek sayarak değil, daha küçük bir aile olan bir baz vererek tanımlamayı öğrendik: bazın elemanlarının birleşimleri açık kümeleri verir. Gerçel sayılarda açık aralıkların bir baz oluşturduğunu ve ürettikleri topolojiye standart topoloji dendiğini gördük. Bu bölümde aynı düşünceyi çok daha genel bir ortama taşıyoruz.
Gerçel sayılarda açık aralık \((a, b)\) kümesini tanımlarken kullandığımız tek şey, sayıları karşılaştırmamızı sağlayan \(<\) sıralamasıdır. O hâlde üzerinde bir sıralama bulunan herhangi bir kümede de aralıklardan söz edebiliriz ve bu aralıklarla bir topoloji kurabiliriz. Bu topolojiye sıra topolojisi denir. Bölümde önce tam sıralı kümede aralıkları tanımlayacak, sonra aralıklardan oluşan ailenin gerçekten bir baz olduğunu bütün durumlarıyla kontrol edeceğiz.
Ardından üç temel örneğe bakacağız: gerçel sayılarda sıra topolojisi tam olarak standart topolojidir; düzlemde sözlük sırası bambaşka ve şaşırtıcı bir topoloji verir; pozitif tam sayılarda ise sıra topolojisi ayrık topolojidir. Bölümün sonunda ışınları tanımlayacak, açık ışınların açık küme olduğunu ve sıra topolojisi için bir alt baz oluşturduğunu ispatlayacağız.
9.1 Tam Sıralı Kümeler ve Aralıklar
Sıra topolojisini kurmak için elimizde bir küme ve o küme üzerinde “hangisi önce gelir” sorusunu her çift için yanıtlayan bir bağıntı olmalıdır. Bu bağıntının sağlaması gereken koşulları açıkça yazalım.
Tanım 9.1 (Tam Sıralı Küme) \(X\) bir küme ve \(<\), \(X\) üzerinde bir bağıntı olsun. Aşağıdaki üç koşul sağlanıyorsa \(<\) bağıntısına \(X\) üzerinde bir tam sıralama (simple order, linear order) ve \((X, <)\) ikilisine bir tam sıralı küme denir:
(S1) Her \(x, y \in X\) için \(x < y\), \(x = y\), \(y < x\) ifadelerinden en az biri doğrudur.
(S2) Hiçbir \(x \in X\) için \(x < x\) doğru değildir.
(S3) Her \(x, y, z \in X\) için \(x < y\) ve \(y < z\) ise \(x < z\) olur.
\(x < y\) yerine \(y > x\) da yazılır. \(x < y\) veya \(x = y\) olduğunu kısaca \(x \leq y\) ile gösteririz.
Yani tam sıralı bir kümede herhangi iki farklı eleman alındığında biri ötekinden kesinlikle küçüktür; kararsız kalınan hiçbir çift yoktur. (S2) ile (S3) birlikte alındığında, \(x < y\) ve \(y < x\) ifadelerinin aynı anda doğru olamayacağı da çıkar: ikisi birden doğru olsaydı (S3) gereği \(x < x\) olurdu, bu ise (S2) ile çelişir. Dolayısıyla (S1)’deki üç ifadeden tam olarak biri doğrudur.
Tanıdık örnekler \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) ve \(\mathbb{R}\) kümeleri üzerindeki alışılmış \(<\) sıralamasıdır. Tam sıralı bir kümede iki elemanın büyüğüne ve küçüğüne her zaman karar verilebildiği için, \(a, c \in X\) verildiğinde \(\max\{a, c\}\) ve \(\min\{a, c\}\) elemanları anlamlıdır; bunlar sırasıyla \(a\) ile \(c\)’nin büyük ve küçük olanıdır (eşitlerse ortak değerdir).
Bazı sıralı kümelerin bir “başı” ya da “sonu” vardır, bazılarının yoktur. Bu ayrım sıra topolojisinin tanımında önemli olacak.
Tanım 9.2 (En Küçük ve En Büyük Eleman) \((X, <)\) tam sıralı bir küme olsun. Her \(x \in X\) için \(a_0 \leq x\) oluyorsa \(a_0 \in X\) elemanına \(X\)’in en küçük elemanı (smallest element) denir. Her \(x \in X\) için \(x \leq b_0\) oluyorsa \(b_0 \in X\) elemanına \(X\)’in en büyük elemanı (largest element) denir.
Yani en küçük eleman, kümedeki her elemanın önünde ya da ona eşit olan elemandır; en büyük eleman ise her elemanın ardında ya da ona eşit olandır. Bir kümenin en küçük elemanı varsa tektir: \(a_0\) ve \(a_0'\) ikisi de en küçükse \(a_0 \leq a_0'\) ve \(a_0' \leq a_0\) olur. \(a_0 \neq a_0'\) olsaydı bu iki ifade \(a_0 < a_0'\) ve \(a_0' < a_0\) biçimini alırdı; yukarıda gördüğümüz gibi bu ikisi aynı anda doğru olamaz. O hâlde \(a_0 = a_0'\). Aynı şey en büyük eleman için de geçerlidir. Örneğin \(\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}\) kümesinin en küçük elemanı \(1\)’dir ama en büyük elemanı yoktur; \(\mathbb{R}\)’nin ne en küçük ne en büyük elemanı vardır; \([0, 1]\) aralığının en küçük elemanı \(0\), en büyük elemanı \(1\)’dir.
Artık aralıkları tanımlayabiliriz. Tanım, gerçel sayılardaki aralık tanımının kelimesi kelimesine aynısıdır; tek fark, \(<\) bağıntısının artık herhangi bir tam sıralama olmasıdır.
Tanım 9.3 (Tam Sıralı Kümede Aralıklar) \((X, <)\) tam sıralı bir küme ve \(a, b \in X\), \(a < b\) olsun. Aşağıdaki dört alt kümeye \(a\) ve \(b\)’nin belirlediği aralıklar (intervals) denir:
\[ \begin{aligned} (a, b) &= \{x \in X : a < x < b\}, \\ (a, b] &= \{x \in X : a < x \leq b\}, \\ [a, b) &= \{x \in X : a \leq x < b\}, \\ [a, b] &= \{x \in X : a \leq x \leq b\}. \end{aligned} \]
Birinci türden kümeye \(X\)’te açık aralık (open interval), sonuncusuna \(X\)’te kapalı aralık (closed interval), ikinci ve üçüncü türden kümelere ise yarı açık aralık (half-open interval) denir.
Yani \((a, b)\) aralığı, \(a\) ile \(b\)’nin “arasında kalan” elemanların kümesidir; köşeli parantez uç noktanın kümeye dahil olduğunu, yuvarlak parantez ise dahil olmadığını gösterir. Dikkat edilirse tanımda \(a < b\) istenir; böylece \([a, b]\) her zaman en az iki eleman (\(a\) ve \(b\)) içerir. Açık aralık \((a, b)\) ise boş olabilir: \(X = \mathbb{Z}^+\) kümesinde \((2, 3) = \varnothing\) olur, çünkü \(2\) ile \(3\) arasında hiçbir pozitif tam sayı yoktur.
Buradaki “açık” sözcüğü şimdilik yalnızca bir addır; henüz \(X\) üzerinde bir topoloji yoktur, dolayısıyla “açık küme” kavramı da yoktur. Ancak bu adlandırma bir beklenti yaratır: \(X\) üzerine bir topoloji koyduğumuzda açık aralıkların gerçekten açık küme olması gerekir. Sıra topolojisi tam olarak bu beklentiyi karşılayacak biçimde tanımlanır.
Örnek 9.1 (Çeşitli Kümelerde Aralıklar) Aşağıdaki aralıkları eleman eleman yazınız.
a) \(X = \mathbb{R}\) (alışılmış sıralama) için \((1, 3)\), \([1, 3)\), \((1, 3]\), \([1, 3]\).
b) \(X = \mathbb{Z}^+\) (alışılmış sıralama) için \((1, 4)\), \([1, 4)\), \((1, 2)\), \([3, 4]\).
c) \(X = \{a, b, c, d\}\) kümesi \(a < b < c < d\) sıralamasıyla verilsin; \((a, d)\), \([a, c)\), \((b, c)\).
Çözüm
a) Gerçel sayılarda aralıklar alışılmış aralıklardır: \((1, 3)\) kümesi \(1\) ile \(3\) arasındaki, uçları içermeyen bütün gerçel sayılardır; \([1, 3)\) buna \(1\)’i ekler, \((1, 3]\) ise \(3\)’ü ekler; \([1, 3]\) ikisini de içerir. Bu kümelerin hiçbiri sonlu değildir; örneğin \(1{,}5\), \(2\), \(\frac{5}{2}\) sayılarının hepsi dördünde de vardır.
b) \(\mathbb{Z}^+\) kümesinde \(1\) ile \(4\) arasında kalan pozitif tam sayılar \(2\) ve \(3\)’tür. Bu yüzden \((1, 4) = \{2, 3\}\) ve \([1, 4) = \{1, 2, 3\}\) olur. \(1\) ile \(2\) arasında hiçbir pozitif tam sayı olmadığından \((1, 2) = \varnothing\); son olarak \([3, 4] = \{3, 4\}\).
c) \(a\) ile \(d\) arasında kalan elemanlar \(b\) ve \(c\)’dir, dolayısıyla \((a, d) = \{b, c\}\). \([a, c)\) aralığı \(a\)’yı içerir, \(c\)’yi içermez: \([a, c) = \{a, b\}\). \(b\) ile \(c\) arasında eleman yoktur: \((b, c) = \varnothing\).
\(\blacksquare\)
9.2 Sıra Topolojisinin Bazı
Amacımız, tam sıralı bir küme üzerinde açık aralıkların açık küme olduğu bir topoloji kurmaktır. İlk akla gelen, “bütün açık aralıkların ailesi bir baz olsun” demektir. Gerçel sayılarda bu yeterlidir. Ama \(X\)’in bir en küçük elemanı \(a_0\) varsa bir sorun çıkar: hiçbir açık aralık \(a_0\)’ı içermez, çünkü \(a < a_0\) olacak bir \(a\) yoktur. Oysa bir bazın elemanları \(X\)’in her noktasını örtmelidir. Bu boşluğu, \(a_0\)’ı içeren \([a_0, b)\) biçimindeki yarı açık aralıkları baza ekleyerek kapatırız. En büyük eleman için de aynı şey \((a, b_0]\) biçimindeki aralıklarla yapılır.
Tanım 9.4 (Sıra Topolojisi) \((X, <)\) birden fazla elemanı olan tam sıralı bir küme olsun. \(\mathcal{B}\), aşağıdaki türlerden bütün kümelerin ailesi olsun:
(1) \(X\)’teki bütün açık aralıklar \((a, b)\);
(2) \(a_0\), \(X\)’in en küçük elemanı (varsa) olmak üzere \([a_0, b)\) biçimindeki bütün aralıklar;
(3) \(b_0\), \(X\)’in en büyük elemanı (varsa) olmak üzere \((a, b_0]\) biçimindeki bütün aralıklar.
\(\mathcal{B}\) ailesi \(X\) üzerinde bir topoloji için bazdır. \(\mathcal{B}\)’nin ürettiği topolojiye \(X\) üzerindeki sıra topolojisi (order topology) denir.
Yani sıra topolojisinde bir küme, açık aralıkların ve (varsa) en küçük ya da en büyük elemanı içeren yarı açık aralıkların birleşimi olarak yazılabiliyorsa açıktır. \(X\)’in en küçük elemanı yoksa (2) türünden hiçbir küme yoktur; en büyük elemanı yoksa (3) türünden hiçbir küme yoktur. Bu durumda \(\mathcal{B}\) yalnızca açık aralıklardan oluşur.
\(X\) tek elemanlı olsaydı \(a < b\) olacak hiçbir çift bulunmaz, dolayısıyla hiç aralık olmazdı; \(\mathcal{B} = \varnothing\) olur ve bu aile \(X\)’in tek noktasını örtemezdi. Birden fazla eleman koşulu, aşağıdaki teoremin ispatında da tam bu noktada kullanılacak.
Tanımda “\(\mathcal{B}\) bir bazdır” dendi; bunu ispatlamak zorundayız. Baz ve Alt Baz bölümünde bir \(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)\) ailesinin baz olması için iki koşul verilmişti:
(B1) Her \(x \in X\) için \(x \in B\) olacak biçimde bir \(B \in \mathcal{B}\) vardır.
(B2) \(B_1, B_2 \in \mathcal{B}\) ve \(x \in B_1 \cap B_2\) ise \(x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\) olacak biçimde bir \(B_3 \in \mathcal{B}\) vardır.
(B2) koşulunu kontrol etmenin en temiz yolu, iki baz elemanının kesişiminin ya boş ya da yine bir baz elemanı olduğunu göstermektir. Bunu önce bir lemma olarak kanıtlayalım. Lemmada tekrar tekrar kullanacağımız basit bir gözlem şudur: tam sıralı bir kümede
\[ a < x \text{ ve } c < x \iff \max\{a, c\} < x, \qquad x < b \text{ ve } x < d \iff x < \min\{b, d\}. \]
Gerçekten, \(x\) hem \(a\)’dan hem \(c\)’den büyükse ikisinin büyüğünden de büyüktür; tersine \(x\), \(a\) ile \(c\)’nin büyüğünden büyükse (S3) gereği her ikisinden de büyüktür. İkinci denklik aynı biçimde görülür.
Lemma 9.1 (İki Baz Elemanının Kesişimi) \((X, <)\) birden fazla elemanı olan tam sıralı bir küme ve \(\mathcal{B}\), Tanım 9.4’ndeki aile olsun. \(B_1, B_2 \in \mathcal{B}\) ise \(B_1 \cap B_2\) ya boş kümedir ya da \(\mathcal{B}\)’nin bir elemanıdır.
İspat
\(B_1\) ve \(B_2\) kümelerinin her biri (1), (2), (3) türlerinden biridir. Sıra önemli olmadığından (\(B_1 \cap B_2 = B_2 \cap B_1\)) altı durum vardır. Durumlarda \(a_0\) daima \(X\)’in en küçük, \(b_0\) daima en büyük elemanını gösterir; bu türden kümeler ancak ilgili eleman varsa söz konusudur.
Durum 1: \(B_1 = (a, b)\), \(B_2 = (c, d)\). Bir \(x\) elemanı her iki kümede de olsun. Bu, \(a < x\), \(c < x\), \(x < b\) ve \(x < d\) demektir. Yukarıdaki gözlem gereği bu dört eşitsizlik \(\max\{a, c\} < x < \min\{b, d\}\) ile denktir. Dolayısıyla
\[ (a, b) \cap (c, d) = \{x \in X : \max\{a, c\} < x < \min\{b, d\}\}. \]
\(\max\{a, c\} < \min\{b, d\}\) ise bu küme \((\max\{a, c\}, \min\{b, d\})\) açık aralığıdır, yani (1) türünden bir baz elemanıdır. \(\max\{a, c\} \geq \min\{b, d\}\) ise \(\max\{a, c\} < x < \min\{b, d\}\) olacak hiçbir \(x\) yoktur ((S3) gereği böyle bir \(x\) için \(\max\{a, c\} < \min\{b, d\}\) olurdu), dolayısıyla kesişim boştur.
Durum 2: \(B_1 = (a, b)\), \(B_2 = [a_0, c)\). \(a_0\) en küçük eleman olduğundan \(a_0 \leq a\); bu yüzden \(a < x\) ise \(a_0 < x\), dolayısıyla \(a_0 \leq x\) olur. Yani “\(a < x\) ve \(a_0 \leq x\)” koşulu “\(a < x\)” ile denktir. Sağ taraf için gözlemi kullanırsak
\[ (a, b) \cap [a_0, c) = \{x \in X : a < x < \min\{b, c\}\}. \]
\(a < \min\{b, c\}\) ise bu, \((a, \min\{b, c\})\) açık aralığıdır; değilse Durum 1’deki gerekçeyle boş kümedir.
Durum 3: \(B_1 = (a, b)\), \(B_2 = (c, b_0]\). \(b_0\) en büyük eleman olduğundan \(b \leq b_0\); bu yüzden \(x < b\) ise \(x < b_0\), dolayısıyla \(x \leq b_0\) olur. Yani “\(x < b\) ve \(x \leq b_0\)” koşulu “\(x < b\)” ile denktir. Sol taraf için gözlemi kullanırsak
\[ (a, b) \cap (c, b_0] = \{x \in X : \max\{a, c\} < x < b\}. \]
\(\max\{a, c\} < b\) ise bu, \((\max\{a, c\}, b)\) açık aralığıdır; değilse boş kümedir.
Durum 4: \(B_1 = [a_0, b)\), \(B_2 = [a_0, c)\). Sol koşul iki kümede de aynıdır: \(a_0 \leq x\). Sağ koşullar gözlem gereği \(x < \min\{b, c\}\) ile birleşir:
\[ [a_0, b) \cap [a_0, c) = [a_0, \min\{b, c\}). \]
\(a_0 < b\) ve \(a_0 < c\) olduğundan \(a_0 < \min\{b, c\}\); dolayısıyla bu küme (2) türünden bir baz elemanıdır. (Bu durumda kesişim hiçbir zaman boş değildir; \(a_0\)’ı içerir.)
Durum 5: \(B_1 = [a_0, b)\), \(B_2 = (c, b_0]\). Durum 2’deki gibi “\(a_0 \leq x\) ve \(c < x\)” koşulu “\(c < x\)” ile, Durum 3’teki gibi “\(x < b\) ve \(x \leq b_0\)” koşulu “\(x < b\)” ile denktir. Böylece
\[ [a_0, b) \cap (c, b_0] = \{x \in X : c < x < b\}. \]
\(c < b\) ise bu \((c, b)\) açık aralığıdır; değilse boş kümedir.
Durum 6: \(B_1 = (a, b_0]\), \(B_2 = (c, b_0]\). Sağ koşul iki kümede de aynıdır: \(x \leq b_0\). Sol koşullar \(\max\{a, c\} < x\) ile birleşir:
\[ (a, b_0] \cap (c, b_0] = (\max\{a, c\}, b_0]. \]
\(a < b_0\) ve \(c < b_0\) olduğundan \(\max\{a, c\} < b_0\); dolayısıyla bu küme (3) türünden bir baz elemanıdır ve \(b_0\)’ı içerdiğinden boş değildir.
Altı durumun hepsinde \(B_1 \cap B_2\) ya boştur ya da \(\mathcal{B}\)’nin bir elemanıdır.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: iki aralığın kesişimi, sol uç koşullarının güçlüsü ile sağ uç koşullarının güçlüsünün belirlediği aralıktır; en küçük elemanla ilgili koşul her sol koşuldan, en büyük elemanla ilgili koşul her sağ koşuldan zayıf olduğundan tanımda olmayan bir tür, örneğin \([a_0, b_0]\) kapalı aralığı, hiçbir zaman ortaya çıkmaz.
Şimdi asıl teoremi ispatlayabiliriz.
Teorem 9.1 (Aralıklar Ailesi Bir Bazdır) \((X, <)\) birden fazla elemanı olan tam sıralı bir küme olsun. Tanım 9.4’ndeki \(\mathcal{B}\) ailesi \(X\) üzerinde bir topoloji için bazdır.
İspat
(B1) koşulu. \(x \in X\) herhangi bir eleman olsun; \(x\)’i içeren bir baz elemanı bulmalıyız. Üç durum vardır.
\(x\), \(X\)’in en küçük elemanı olsun, yani \(x = a_0\). \(X\)’in birden fazla elemanı olduğundan \(x\)’ten farklı bir \(y \in X\) vardır. \(a_0\) en küçük eleman ve \(y \neq a_0\) olduğundan \(a_0 < y\) olur. O hâlde \([a_0, y)\) aralığı tanımlıdır, (2) türünden bir baz elemanıdır ve \(a_0 \leq a_0 < y\) olduğundan \(x = a_0\) elemanını içerir.
\(x\), \(X\)’in en büyük elemanı olsun, yani \(x = b_0\). Yine \(x\)’ten farklı bir \(y \in X\) vardır ve \(b_0\) en büyük eleman olduğundan \(y < b_0\) olur. \((y, b_0]\) aralığı (3) türünden bir baz elemanıdır ve \(y < b_0 \leq b_0\) olduğundan \(x = b_0\) elemanını içerir.
\(x\) ne en küçük ne en büyük eleman olsun. \(x\) en küçük eleman olmadığından “her \(y\) için \(x \leq y\)” ifadesi yanlıştır; yani \(x \leq y\) olmayan bir \(y\) vardır. (S1) gereği bu \(y\) için \(y < x\) olur; buna \(a\) diyelim. Benzer biçimde \(x\) en büyük eleman olmadığından \(x < b\) olacak bir \(b \in X\) vardır. Böylece \(a < x < b\), yani \(x \in (a, b)\) olur; \((a, b)\) ise (1) türünden bir baz elemanıdır. (\(X\)’in en küçük elemanı hiç yoksa her \(x\) bu üçüncü durumdadır; ispat aynen geçerlidir.)
Her durumda \(x\)’i içeren bir baz elemanı bulduk.
(B2) koşulu. \(B_1, B_2 \in \mathcal{B}\) ve \(x \in B_1 \cap B_2\) olsun. Kesişim \(x\)’i içerdiğinden boş değildir. Lemma 9.1’e göre boş olmayan bir kesişim \(\mathcal{B}\)’nin bir elemanıdır. O hâlde \(B_3 = B_1 \cap B_2\) seçersek \(B_3 \in \mathcal{B}\) ve \(x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\) olur.
İki koşul da sağlandığından \(\mathcal{B}\) bir bazdır.
\(\blacksquare\)
Böylece Tanım 9.4 tutarlıdır: \(\mathcal{B}\) gerçekten bir baz olduğundan ürettiği aile bir topolojidir. Bu topolojide \(\mathcal{B}\)’nin her elemanı, özel olarak her açık aralık, açık bir kümedir; adlandırmadan doğan beklenti karşılanmıştır.
9.3 Gerçel Sayılar Üzerindeki Standart Topoloji
Sıra topolojisinin en önemli örneği gerçel sayılardır. Yeni bir şey elde etmeyiz; tam tersine, tanıdık standart topolojinin bir sıra topolojisi olduğunu görürüz.
Örnek 9.2 (Gerçel Sayılarda Sıra Topolojisi) \(\mathbb{R}\) üzerinde alışılmış \(<\) sıralamasından elde edilen sıra topolojisi, \(\mathbb{R}\)’nin standart topolojisidir.
Çözüm
\(\mathbb{R}\)’nin en küçük elemanı yoktur: her \(x \in \mathbb{R}\) için \(x - 1 < x\) olur. En büyük elemanı da yoktur: \(x < x + 1\). Bu yüzden \(\mathcal{B}\) ailesinde (2) ve (3) türünden hiçbir küme yoktur; \(\mathcal{B}\) yalnızca \(a < b\) gerçel sayıları için \((a, b)\) açık aralıklarından oluşur.
Baz ve Alt Baz bölümünde \(\mathbb{R}\)’nin standart topolojisi tam olarak bu aile, yani bütün açık aralıklar ailesi, baz alınarak tanımlanmıştı. İki topoloji aynı bazdan üretildiğinden aynıdır.
\(\blacksquare\)
9.4 Düzlemde Sözlük Sırası Topolojisi
Sıra topolojisinin gücü, gerçel sayılara hiç benzemeyen kümelerde de çalışmasındadır. Düzlemi bir tam sıralı kümeye çevirmenin bir yolu, noktaları sözlükteki kelimeler gibi karşılaştırmaktır: önce ilk harfe (ilk bileşene) bakılır, eşitse ikinciye geçilir.
Tanım 9.5 (Sözlük Sırası) \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) kümesinin elemanlarını, aralık gösterimiyle karışmaması için, \((x, y)\) yerine \(x \times y\) biçiminde yazalım. \(x_1 \times y_1\) ve \(x_2 \times y_2\) elemanları için
\[ x_1 \times y_1 \prec x_2 \times y_2 \iff x_1 < x_2 \ \text{ veya } \ (x_1 = x_2 \text{ ve } y_1 < y_2) \]
olarak tanımlanan \(\prec\) bağıntısına \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) üzerinde sözlük sırası (dictionary order) denir.
Yani iki noktayı karşılaştırırken önce birinci bileşenlere bakılır; birinci bileşeni küçük olan nokta küçüktür; birinci bileşenler eşitse ikinci bileşeni küçük olan nokta küçüktür. Geometrik olarak: soldaki dikey doğru üzerindeki her nokta, sağdaki dikey doğru üzerindeki her noktadan küçüktür; aynı dikey doğru üzerinde ise aşağıdaki nokta küçüktür.
\(\prec\) bağıntısının bir tam sıralama olduğunu kontrol edelim. (S1): \(x_1 \neq x_2\) ise \(x_1 < x_2\) ya da \(x_2 < x_1\)’dir ve buna göre noktalardan biri ötekinden küçüktür; \(x_1 = x_2\) ise \(y_1 < y_2\), \(y_1 = y_2\) ya da \(y_2 < y_1\)’dir ve bunlar sırasıyla \(\prec\), \(=\), \(\succ\) durumlarını verir. (S2): \(x \times y \prec x \times y\) olsaydı \(x < x\) ya da \(y < y\) olurdu; ikisi de yanlıştır. (S3): \(x_1 \times y_1 \prec x_2 \times y_2 \prec x_3 \times y_3\) olsun. \(x_1 < x_2\) ya da \(x_2 < x_3\) ise \(x_1 \leq x_2 \leq x_3\) zincirinde en az bir yerde kesin eşitsizlik olduğundan \(x_1 < x_3\), dolayısıyla ilk nokta üçüncüden küçüktür. Her ikisi de olmuyorsa \(x_1 = x_2 = x_3\) ve \(y_1 < y_2 < y_3\), yine ilk nokta üçüncüden küçüktür.
Örnek 9.3 (Düzlemde Sözlük Sırası Topolojisi) \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) kümesini sözlük sırasıyla düşünelim. Bu tam sıralı kümenin ne en küçük ne en büyük elemanı vardır; dolayısıyla sıra topolojisinin bazı yalnızca
\[ (a \times b,\ c \times d) = \{x \times y : a \times b \prec x \times y \prec c \times d\} \]
biçimindeki açık aralıklardan oluşur. Bu aralıklar iki türlüdür: \(a < c\) olanlar ve \(a = c\), \(b < d\) olanlar. Her iki türü de düzlemde betimleyelim.
Çözüm
Önce en küçük ve en büyük elemanın olmadığını görelim. Herhangi bir \(x \times y\) için \((x - 1) \times y \prec x \times y\) olur, çünkü \(x - 1 < x\); dolayısıyla hiçbir nokta en küçük değildir. Aynı biçimde \(x \times y \prec (x + 1) \times y\) olduğundan hiçbir nokta en büyük değildir. O hâlde Tanım 9.4’ndeki (2) ve (3) türünden küme yoktur ve baz, \(a \times b \prec c \times d\) olmak üzere \((a \times b, c \times d)\) açık aralıklarından oluşur. \(a \times b \prec c \times d\) koşulu tanım gereği ya \(a < c\) ya da \(a = c\) ve \(b < d\) demektir.
\(a < c\) durumu. \(x \times y\) noktasının \(a \times b\) ile \(c \times d\) arasında olması için üç seçenek vardır:
- \(a < x < c\): bu durumda \(y\) ne olursa olsun \(a \times b \prec x \times y \prec c \times d\) olur. Yani \(a\) ile \(c\) arasındaki bütün dikey doğrular tümüyle aralığın içindedir.
- \(x = a\): \(a \times b \prec a \times y\) için \(b < y\) gerekir ve yeter; \(a \times y \prec c \times d\) ise \(a < c\) olduğundan otomatik sağlanır. Yani \(x = a\) doğrusunun \(a \times b\) noktasının üstünde kalan kısmı aralıktadır, nokta kendisi değildir.
- \(x = c\): benzer biçimde \(y < d\) gerekir ve yeter. Yani \(x = c\) doğrusunun \(c \times d\) noktasının altında kalan kısmı aralıktadır.
\(x < a\) ya da \(x > c\) olan noktalar aralıkta değildir. Sonuç olarak
\[ (a \times b,\ c \times d) = \bigl(\{a\} \times (b, +\infty)\bigr) \cup \bigl((a, c) \times \mathbb{R}\bigr) \cup \bigl(\{c\} \times (-\infty, d)\bigr). \]
Bu küme şekildeki gibi “üstü açık bir yarım doğru, aralarında bir dikey şerit, altı açık bir yarım doğru” görünümündedir.
\(a = c\), \(b < d\) durumu. \(a \times b \prec x \times y \prec a \times d\) olması için \(x = a\) olmak zorundadır: \(x < a\) olsaydı \(x \times y \prec a \times b\), \(x > a\) olsaydı \(a \times d \prec x \times y\) olurdu. \(x = a\) için ise koşul \(b < y < d\) olur. Yani
\[ (a \times b,\ a \times d) = \{a\} \times (b, d), \]
tek bir dikey doğru üzerinde, uçları dışarıda bırakılmış bir doğru parçasıdır.
Bu ikinci tür aralıklar, sözlük sırası topolojisinin standart düzlem topolojisinden çok farklı olduğunu gösterir: dikey açık doğru parçası \(\{a\} \times (b, d)\) bu topolojide açık bir kümedir; oysa düzlemin alışılmış topolojisinde hiçbir doğru parçası açık değildir, çünkü bir doğru parçası hiçbir açık daireyi içeremez.
\(\blacksquare\)
9.5 Pozitif Tam Sayılar Üzerindeki Sıra Topolojisi
Gerçel sayılarda sıra topolojisi tanıdık standart topolojiyi verdi. Sıralı kümenin “seyrek” olduğu durumlarda ise sıra topolojisi mümkün olan en ince topolojiye, yani ayrık topolojiye dönüşür. Bunu pozitif tam sayılarda ispatlayalım; en küçük elemanın bulunduğu bir örnek olduğu için (2) türünden baz elemanlarının ne işe yaradığını da gösterir.
Önerme 9.1 (Pozitif Tam Sayılarda Sıra Topolojisi Ayrıktır) \(\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}\) kümesi alışılmış sıralamayla tam sıralı bir kümedir ve en küçük elemanı \(1\)’dir. \(\mathbb{Z}^+\) üzerindeki sıra topolojisi ayrık topolojidir; yani \(\mathbb{Z}^+\)’nın her alt kümesi açıktır.
İspat
Bir topolojide bütün tek noktalı kümeler açıksa o topoloji ayrık topolojidir: her tek noktalı küme açıksa, herhangi bir \(A \subseteq \mathbb{Z}^+\) alt kümesi \(A = \bigcup_{n \in A} \{n\}\) biçiminde açık kümelerin birleşimi olur ve (T3) gereği açıktır. O hâlde her \(n \in \mathbb{Z}^+\) için \(\{n\}\) kümesinin sıra topolojisinde açık olduğunu göstermek yeter. Bunun için \(\{n\}\)’nin bir baz elemanı olduğunu göstereceğiz; baz elemanları ürettikleri topolojide açıktır.
\(n > 1\) durumu. \(n - 1\) ve \(n + 1\) sayıları pozitif tam sayıdır (\(n \geq 2\) olduğundan \(n - 1 \geq 1\)) ve \(n - 1 < n + 1\). Dolayısıyla \((n - 1, n + 1)\) açık aralığı tanımlıdır ve (1) türünden bir baz elemanıdır. Bu aralık, \(n - 1 < x < n + 1\) koşulunu sağlayan pozitif tam sayılardan oluşur; \(n - 1\) ile \(n + 1\) arasındaki tek tam sayı \(n\)’dir. O hâlde
\[ \{n\} = (n - 1, n + 1) \in \mathcal{B}. \]
\(n = 1\) durumu. \(1\), \(\mathbb{Z}^+\)’nın en küçük elemanıdır ve \(1 < 2\). Dolayısıyla \([1, 2)\) aralığı (2) türünden bir baz elemanıdır. \(1 \leq x < 2\) koşulunu sağlayan tek pozitif tam sayı \(1\)’dir. O hâlde
\[ \{1\} = [1, 2) \in \mathcal{B}. \]
Her iki durumda \(\{n\}\) bir baz elemanı, dolayısıyla açık bir kümedir. Yukarıda açıklandığı gibi bu, her alt kümenin açık olması demektir; sıra topolojisi \(\mathcal{P}(\mathbb{Z}^+)\)’ya, yani ayrık topolojiye eşittir.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: her tam sayının hemen solundaki ve sağındaki tam sayı arasında ondan başka tam sayı yoktur, bu yüzden her nokta tek başına bir açık aralıktır.
Aynı kümeyi farklı sıralamalarla donatmak farklı sıra topolojileri verebilir; ayrıca ayrık topolojinin çıkması kümenin sayılabilir olmasına değil, sıralamanın seyrek olmasına bağlıdır. Örneğin \(\mathbb{Q}\) sayılabilir olmasına karşın alışılmış sıralamayla sıra topolojisi ayrık değildir: \(\mathbb{Q}\)’nun en küçük ve en büyük elemanı olmadığından baz yalnızca açık aralıklardan oluşur ve bir \(q \in \mathbb{Q}\) noktasını içeren her açık aralık \((a, b)\), \(a < q < b\) olduğundan \(q\)’dan başka rasyonel sayılar da içerir (örneğin \(\frac{a + q}{2}\)). Dolayısıyla \(q \in B \subseteq \{q\}\) olacak bir baz elemanı \(B\) yoktur; \(\{q\}\) açık değildir.
9.6 Işınlar
Aralıkların iki ucu vardır. Tek ucu olan, öteki yönde “sonsuza giden” kümeler de doğal olarak ortaya çıkar; gerçel sayılarda \((0, +\infty)\) gibi. Bunlar sıra topolojisinin daha küçük bir üreteç ailesini, bir alt bazını verecek.
Tanım 9.6 (Işınlar) \((X, <)\) tam sıralı bir küme ve \(a \in X\) olsun. Aşağıdaki dört alt kümeye \(a\)’nın belirlediği ışınlar (rays) denir:
\[ \begin{aligned} (a, +\infty) &= \{x \in X : x > a\}, \\ (-\infty, a) &= \{x \in X : x < a\}, \\ [a, +\infty) &= \{x \in X : x \geq a\}, \\ (-\infty, a] &= \{x \in X : x \leq a\}. \end{aligned} \]
İlk iki türden kümelere açık ışın (open ray), son iki türden kümelere kapalı ışın (closed ray) denir.
Yani \((a, +\infty)\), \(a\)’dan kesinlikle büyük olan bütün elemanların; \((-\infty, a)\), \(a\)’dan kesinlikle küçük olan bütün elemanların kümesidir; köşeli parantezli biçimler \(a\)’nın kendisini de içerir. Buradaki \(+\infty\) ve \(-\infty\) sembolleri \(X\)’in elemanı değildir; yalnızca “bu yönde uç yok” anlamına gelen bir gösterimdir. Aralıklardan farklı olarak ışınlar her \(a \in X\) için tanımlıdır; ancak boş olabilirler: \(a\) en büyük elemansa \((a, +\infty) = \varnothing\), \(a\) en küçük elemansa \((-\infty, a) = \varnothing\) olur.
Adlandırma yine bir beklenti yaratır: açık ışınlar sıra topolojisinde açık küme olmalıdır. Öyle olduklarını ispatlayalım. Işınlar tanım gereği baz elemanı değildir; bu yüzden ya bir baz elemanına eşit olduklarını ya da baz elemanlarının birleşimi olduklarını göstermek gerekir.
Önerme 9.2 (Açık Işınlar Açık Kümelerdir) \((X, <)\) birden fazla elemanı olan tam sıralı bir küme ve \(a \in X\) olsun. \((a, +\infty)\) ve \((-\infty, a)\) ışınları \(X\) üzerindeki sıra topolojisinde açık kümelerdir.
İspat
Önce \((a, +\infty)\) ışınını ele alalım. \(X\)’in en büyük elemanının olup olmamasına göre iki durum vardır.
\(X\)’in en büyük elemanı \(b_0\) olsun. \(a = b_0\) ise \(a\)’dan büyük eleman yoktur; \((a, +\infty) = \varnothing\) olur ve boş küme (T1) gereği her topolojide açıktır. \(a \neq b_0\) ise \(b_0\) en büyük eleman olduğundan \(a < b_0\) ve \((a, b_0]\) aralığı tanımlıdır; bu, (3) türünden bir baz elemanıdır. İddia ediyoruz ki \((a, +\infty) = (a, b_0]\). Gerçekten, \(x \in (a, +\infty)\) ise \(a < x\)’tir ve \(b_0\) en büyük eleman olduğundan \(x \leq b_0\)’dır; yani \(x \in (a, b_0]\). Tersine \(x \in (a, b_0]\) ise \(a < x\), yani \(x \in (a, +\infty)\). Böylece \((a, +\infty)\) bir baz elemanına eşittir ve açıktır.
\(X\)’in en büyük elemanı olmasın. Bu durumda
\[ (a, +\infty) = \bigcup_{x \in X,\ x > a} (a, x) \]
olduğunu gösterelim. Sağ taraftaki her \((a, x)\) kümesi \(a < x\) için tanımlı bir açık aralık, yani bir baz elemanıdır; bu yüzden eşitlik ispatlanınca \((a, +\infty)\) açık kümelerin birleşimi olarak açık olur. En büyük eleman olmadığından \(a\)’dan büyük en az bir eleman vardır; yani birleşim boş bir aile üzerinden alınmıyor.
\(\supseteq\): \(y\), birleşimdeki bir \((a, x)\) kümesinde olsun. O zaman \(a < y\), yani \(y \in (a, +\infty)\).
\(\subseteq\): \(y \in (a, +\infty)\) olsun, yani \(a < y\). \(X\)’in en büyük elemanı olmadığından \(y\) en büyük eleman değildir; dolayısıyla \(y < z\) olacak bir \(z \in X\) vardır. O hâlde \(a < y < z\), yani \(y \in (a, z)\) ve \(a < z\) olduğundan \((a, z)\) birleşimdeki kümelerden biridir. Böylece \(y\) birleşimdedir.
Her iki durumda \((a, +\infty)\) açıktır.
Şimdi \((-\infty, a)\) ışınını ele alalım; aynı akıl yürütme yönler ters çevrilerek işler.
\(X\)’in en küçük elemanı \(a_0\) olsun. \(a = a_0\) ise \((-\infty, a) = \varnothing\), açıktır. \(a \neq a_0\) ise \(a_0 < a\) ve \([a_0, a)\) aralığı (2) türünden bir baz elemanıdır. \(x \in (-\infty, a)\) ise \(x < a\) ve \(a_0 \leq x\) (çünkü \(a_0\) en küçüktür), yani \(x \in [a_0, a)\); tersine \(x \in [a_0, a)\) ise \(x < a\), yani \(x \in (-\infty, a)\). Dolayısıyla \((-\infty, a) = [a_0, a)\) bir baz elemanıdır ve açıktır.
\(X\)’in en küçük elemanı olmasın. Bu durumda
\[ (-\infty, a) = \bigcup_{x \in X,\ x < a} (x, a) \]
olur: \(y \in (x, a)\) ise \(y < a\); tersine \(y < a\) ise \(y\) en küçük eleman olmadığından \(z < y\) olacak bir \(z\) vardır ve \(y \in (z, a)\) ile \(z < a\) sağlanır. Sağ taraf baz elemanlarının birleşimi olduğundan \((-\infty, a)\) açıktır.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: en büyük eleman varsa açık ışın zaten bir baz elemanıdır; yoksa ışın, sağ ucu giderek uzaklaşan açık aralıkların birleşimidir.
Kapalı ışınlar da adlarına uygun davranır: \([a, +\infty)\) kümesinin tümleyeni \((-\infty, a)\) açık ışınıdır, dolayısıyla \([a, +\infty)\) kapalıdır; aynı biçimde \((-\infty, a]\) de kapalıdır. Bunun ayrıntısı alıştırmalarda istenmektedir.
Açık ışınlar yalnızca açık olmakla kalmaz; sıra topolojisini tek başlarına üretirler. Baz ve Alt Baz bölümünden hatırlayalım: birleşimi \(X\) olan bir \(\mathcal{S} \subseteq \mathcal{P}(X)\) ailesine bir alt baz denir; \(\mathcal{S}\)’nin elemanlarının sonlu kesişimleri bir baz oluşturur ve bu bazın ürettiği topolojiye \(\mathcal{S}\)’nin ürettiği topoloji denir. Bir \(\mathcal{S}\) ailesinin belli bir \(\tau\) topolojisi için alt baz olması, \(\mathcal{S}\)’nin ürettiği topolojinin \(\tau\)’ya eşit olması demektir. Bu tür bir eşitlik iki kapsama ile gösterilir; aşağıdaki teorem bunun tipik bir örneğidir.
Teorem 9.2 (Açık Işınlar Sıra Topolojisi İçin Alt Bazdır) \((X, <)\) birden fazla elemanı olan tam sıralı bir küme, \(\tau\) bu küme üzerindeki sıra topolojisi ve \(\mathcal{S}\), \(X\)’teki bütün açık ışınların ailesi olsun. \(\mathcal{S}\), \(\tau\) için bir alt bazdır; yani \(\mathcal{S}\)’nin ürettiği topoloji \(\tau\)’ya eşittir.
İspat
\(\mathcal{S}\)’nin ürettiği topolojiyi \(\tau_{\mathcal{S}}\) ile gösterelim. Üç şey göstereceğiz: \(\mathcal{S}\)’nin birleşimi \(X\)’tir (böylece \(\mathcal{S}\) gerçekten bir alt bazdır), \(\tau_{\mathcal{S}} \subseteq \tau\) ve \(\tau \subseteq \tau_{\mathcal{S}}\).
\(\mathcal{S}\)’nin birleşimi \(X\)’tir. \(x \in X\) olsun. \(X\)’in birden fazla elemanı olduğundan \(x\)’ten farklı bir \(y\) vardır ve (S1) gereği ya \(y < x\) ya da \(x < y\)’dir. \(y < x\) ise \(x \in (y, +\infty)\); \(x < y\) ise \(x \in (-\infty, y)\). Her iki durumda \(x\) bir açık ışının içindedir. Dolayısıyla \(\bigcup \mathcal{S} = X\).
\(\tau_{\mathcal{S}} \subseteq \tau\). \(\tau_{\mathcal{S}}\)’nin bir elemanı, açık ışınların sonlu kesişimlerinin birleşimidir. Önerme 9.2’e göre her açık ışın \(\tau\)’da açıktır. Sonlu sayıda açık kümenin kesişimi (T2) gereği, açık kümelerin herhangi bir birleşimi (T3) gereği \(\tau\)’da açıktır. O hâlde \(\tau_{\mathcal{S}}\)’nin her elemanı \(\tau\)’dadır.
\(\tau \subseteq \tau_{\mathcal{S}}\). \(\tau\)’nun her elemanı, \(\mathcal{B}\) bazının elemanlarının birleşimidir. \(\tau_{\mathcal{S}}\) birleşim altında kapalı olduğundan, \(\mathcal{B}\)’nin her elemanının \(\tau_{\mathcal{S}}\)’de olduğunu göstermek yeter. Bunun için her baz elemanının açık ışınların sonlu bir kesişimi olduğunu, yani \(\tau_{\mathcal{S}}\)’nin bazında bulunduğunu görelim. Üç tür vardır.
(1) türü, \((a, b)\): \(a < x < b\) koşulu “\(x > a\) ve \(x < b\)” demektir; dolayısıyla
\[ (a, b) = (a, +\infty) \cap (-\infty, b), \]
iki açık ışının kesişimidir.
(2) türü, \([a_0, b)\): \(a_0\) en küçük eleman olduğundan her \(x \in X\) için \(a_0 \leq x\) koşulu kendiliğinden sağlanır. Bu yüzden \(a_0 \leq x < b\) koşulu \(x < b\) koşuluna denktir:
\[ [a_0, b) = (-\infty, b). \]
Yani bu baz elemanı zaten bir açık ışındır (tek elemanlı bir kesişimdir).
(3) türü, \((a, b_0]\): \(b_0\) en büyük eleman olduğundan \(x \leq b_0\) her zaman doğrudur; \(a < x \leq b_0\) koşulu \(a < x\) koşuluna denktir:
\[ (a, b_0] = (a, +\infty). \]
Bu da bir açık ışındır.
Böylece \(\mathcal{B}\)’nin her elemanı \(\tau_{\mathcal{S}}\)’dedir; \(\tau\)’nun her elemanı bunların birleşimi olduğundan \(\tau \subseteq \tau_{\mathcal{S}}\).
İki kapsama birlikte \(\tau_{\mathcal{S}} = \tau\) verir; yani açık ışınlar sıra topolojisi için bir alt bazdır.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: açık ışınlar açık olduğundan ürettikleri topoloji sıra topolojisinden daha ince olamaz; her açık aralık iki ışının kesişimi olduğundan daha kaba da olamaz.
Açık ışınlar bir alt bazdır ama genelde bir baz değildir. Örneğin \(\mathbb{R}\)’de \((0, +\infty)\) ve \((-\infty, 1)\) ışınlarının kesişimi \((0, 1)\) aralığıdır; \(\frac{1}{2}\) noktasını içeren ve \((0, 1)\)’in içinde kalan hiçbir açık ışın yoktur, çünkü her açık ışın sınırsızdır. Dolayısıyla (B2) koşulu sağlanmaz. Alt baz kavramının değeri tam buradadır: baz koşullarını sağlamayan, çok daha küçük bir aileyle bile topolojinin tamamı üretilebilir.
9.7 Alıştırmalar
Alıştırma 9.1 (Sıra Topolojisi Alıştırmaları) a) \(\mathbb{Z}^+\) kümesinde \((2, 5)\), \([1, 4)\) ve \((3, +\infty)\) kümelerini eleman eleman yazınız. \((2, 5)\) ve \([1, 4)\) kümelerini Tanım 9.4’ndeki türlerden hangisine girdiğini belirtiniz.
b) \(\mathbb{Z}\) tam sayılar kümesi alışılmış sıralamayla verilsin. \(\mathbb{Z}\) üzerindeki sıra topolojisinin ayrık topoloji olduğunu gösteriniz. \(\mathbb{Z}^+\) ile karşılaştırınız: ispatta hangi baz türleri kullanılıyor?
c) \((X, <)\) birden fazla elemanı olan tam sıralı bir küme ve \(a \in X\) olsun. Kapalı ışınlar \([a, +\infty)\) ve \((-\infty, a]\) kümelerinin sıra topolojisinde kapalı olduğunu gösteriniz.
d) \((X, <)\) birden fazla elemanı olan tam sıralı bir küme ve \(a < b\) olsun. Kapalı aralık \([a, b]\) kümesinin sıra topolojisinde kapalı olduğunu gösteriniz.
e) \(X = \{1, 2, 3\}\) kümesi alışılmış sıralamayla verilsin. Tanım 9.4’ndeki \(\mathcal{B}\) ailesinin bütün elemanlarını yazınız ve \(X\) üzerindeki sıra topolojisini belirleyiniz.
f) \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) sözlük sırası topolojisiyle verilsin. Dikey doğru \(\{a\} \times \mathbb{R}\) kümesinin açık olduğunu gösteriniz. Yatay açık doğru parçası \((a, c) \times \{b\}\) kümesinin (\(a < c\)) açık olmadığını gösteriniz.
Çözüm
a) \(2 < x < 5\) olan pozitif tam sayılar \(3\) ve \(4\)’tür: \((2, 5) = \{3, 4\}\); bu bir açık aralık, yani (1) türünden bir baz elemanıdır. \(1 \leq x < 4\) olanlar \(1, 2, 3\)’tür: \([1, 4) = \{1, 2, 3\}\); \(1\) en küçük eleman olduğundan bu, (2) türünden bir baz elemanıdır. \(x > 3\) olanlar \(4, 5, 6, \dots\) sayılarıdır: \((3, +\infty) = \{4, 5, 6, \dots\}\); bu bir açık ışındır.
b) \(\mathbb{Z}\)’nin en küçük elemanı yoktur (\(n - 1 < n\)) ve en büyük elemanı yoktur (\(n < n + 1\)); bu yüzden baz yalnızca açık aralıklardan oluşur. Her \(n \in \mathbb{Z}\) için \(n - 1\) ve \(n + 1\) tam sayıdır, \(n - 1 < n + 1\) ve \(n - 1 < x < n + 1\) koşulunu sağlayan tek tam sayı \(n\)’dir. Dolayısıyla \(\{n\} = (n - 1, n + 1)\) bir baz elemanı, yani açık bir kümedir. Her \(A \subseteq \mathbb{Z}\) alt kümesi \(A = \bigcup_{n \in A} \{n\}\) biçiminde açık kümelerin birleşimi olduğundan açıktır; topoloji \(\mathcal{P}(\mathbb{Z})\), yani ayrık topolojidir. \(\mathbb{Z}^+\)’dan farkı, \(n = 1\) için (2) türünden \([1, 2)\) baz elemanına ihtiyaç duyulmasıydı; \(\mathbb{Z}\)’de en küçük eleman olmadığından yalnızca (1) türü kullanılır.
c) Bir kümenin kapalı olması, tümleyeninin açık olması demektir. \([a, +\infty)\) kümesinin tümleyeni, \(x \geq a\) olmayan, yani (S1) gereği \(x < a\) olan elemanların kümesidir:
\[ X \setminus [a, +\infty) = (-\infty, a). \]
Önerme 9.2’e göre \((-\infty, a)\) açıktır; dolayısıyla \([a, +\infty)\) kapalıdır. Aynı biçimde \(X \setminus (-\infty, a] = \{x \in X : x > a\} = (a, +\infty)\) açık olduğundan \((-\infty, a]\) kapalıdır.
d) \([a, b]\) kümesinin tümleyenini bulalım. \(x \notin [a, b]\) olması, “\(a \leq x\) ve \(x \leq b\)” ifadesinin yanlış olması, yani \(x < a\) veya \(b < x\) olması demektir. O hâlde
\[ X \setminus [a, b] = (-\infty, a) \cup (b, +\infty). \]
Önerme 9.2’e göre iki açık ışın da açıktır ve iki açık kümenin birleşimi (T3) gereği açıktır. Tümleyeni açık olduğundan \([a, b]\) kapalıdır.
e) \(X\)’in en küçük elemanı \(1\), en büyük elemanı \(3\)’tür. Açık aralıklar: \(a < b\) çiftleri \((1, 2)\), \((1, 3)\), \((2, 3)\)’tür ve \((1, 2) = \varnothing\), \((1, 3) = \{2\}\), \((2, 3) = \varnothing\). (2) türü: \([1, 2) = \{1\}\), \([1, 3) = \{1, 2\}\). (3) türü: \((1, 3] = \{2, 3\}\), \((2, 3] = \{3\}\). Böylece
\[ \mathcal{B} = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{2, 3\}\}. \]
Bütün tek noktalı kümeler \(\mathcal{B}\)’de olduğundan her alt küme baz elemanlarının birleşimidir; sıra topolojisi \(\mathcal{P}(X)\), yani ayrık topolojidir. (Aynı akıl yürütme her sonlu tam sıralı küme için geçerlidir: her elemanın hemen öncesi ve hemen sonrası vardır.)
f) Dikey doğru açıktır. Örnek 9.3’ne göre her \(b < d\) için \(\{a\} \times (b, d) = (a \times b, a \times d)\) bir baz elemanı, dolayısıyla açıktır. Dikey doğru bu kümelerin birleşimidir:
\[ \{a\} \times \mathbb{R} = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}^+} \{a\} \times (-n, n), \]
çünkü her \(y \in \mathbb{R}\) için \(|y| < n\) olacak bir pozitif tam sayı \(n\) vardır. Açık kümelerin birleşimi olduğundan \(\{a\} \times \mathbb{R}\) açıktır.
Yatay doğru parçası açık değildir. \(U = (a, c) \times \{b\}\) olsun ve \(U\)’nun açık olduğunu varsayalım. \(x_0 = \frac{a + c}{2}\) alalım; \(x_0 \times b \in U\). \(U\) açık olduğundan, bazın tanımı gereği \(x_0 \times b \in B \subseteq U\) olacak bir baz elemanı \(B = (p \times q, r \times s)\) vardır. \(x_0 \times b \in B\) olduğundan \(p \times q \prec x_0 \times b \prec r \times s\), dolayısıyla \(p \leq x_0 \leq r\). Şimdi \(B\)’nin \(x_0\) dikey doğrusu üzerinde \(b\)’den farklı bir nokta içerdiğini gösterelim; bu nokta \(U\)’da olamayacağından \(B \subseteq U\) ile çelişir.
- \(p < x_0 < r\) ise her \(y\) için \(x_0 \times y \in B\); özel olarak \(x_0 \times (b + 1) \in B\).
- \(p = x_0 < r\) ise \(x_0 \times y \in B\) olması için \(q < y\) yeter; \(x_0 \times b \in B\) olduğundan \(q < b\), dolayısıyla \(x_0 \times (b + 1) \in B\).
- \(p < x_0 = r\) ise \(x_0 \times y \in B\) olması için \(y < s\) yeter; \(b < s\) olduğundan \(x_0 \times (b - 1) \in B\).
- \(p = x_0 = r\) ise \(B = \{x_0\} \times (q, s)\) ve \(q < b < s\); \(b\) ile \(s\) arasında bir \(y\) seçilirse \(x_0 \times y \in B\) ve \(y \neq b\).
Her durumda \(B\), \(x_0 \times y\) biçiminde ve \(y \neq b\) olan bir nokta içerir; bu nokta \(U\)’da değildir, çünkü \(U\)’nun bütün noktalarının ikinci bileşeni \(b\)’dir. Bu \(B \subseteq U\) ile çelişir. O hâlde \(U\) açık değildir.
\(\blacksquare\)
Sıra topolojisi tek bir kümenin sıralamasından üretildi. Bir sonraki bölümde iki topolojik uzayın kartezyen çarpımı üzerine, her iki uzayın açık kümelerini kullanarak doğal bir topoloji kuracağız: Çarpım Topolojisi.