2 Kümeler ve Küme İşlemleri

Önermeler Mantığı ve Niceleyiciler bölümünde önermeleri “ve”, “veya”, “değil” bağlaçlarıyla birleştirmeyi, gerektirme ve denkliği, bir gerektirmenin karşıtını ve ters-karşıtını öğrendik. Orada kurduğumuz dil, bu bölümde matematiğin en temel nesnesi olan küme için kullanılacak: bir kümenin tanımı “\(x \in A\)” biçimindeki önermelerle yapılır ve kümeler hakkındaki her iddia sonunda böyle önermeler arasındaki bir bağıntıya indirgenir.

Bu bölümde önce küme, eleman, eşitlik ve alt küme kavramlarını kesin biçimde tanımlayacağız. Ardından boş küme ve kuvvet kümesi gelecek. Sonra iki kümeden yeni kümeler üreten işlemleri (birleşim, kesişim, fark, tümleyen) tanımlayıp bu işlemlerin birbiriyle nasıl uyuştuğunu gösteren kuralları ispatlayacağız; De Morgan kuralları bunların en önemlisidir.

Bölümün son kısmı bir yöntem üzerinedir: iki kümenin eşit olduğunu göstermenin en güvenilir yolu, bir kümenin her elemanının ötekinde de olduğunu iki yönde göstermektir. Bu “eleman yöntemi”, kitabın geri kalanında açık kümeler, kapanışlar ve ters görüntülerle ilgili hemen her ispatın iskeletini oluşturacaktır.

2.1 Küme ve Eleman

Modern matematikte “küme” (set) ve “elemanı olmak” (element of) kavramları tanımlanmadan, temel kavramlar olarak kabul edilir. Sezgisel olarak bir küme, nesnelerden oluşan bir topluluktur; kümeler \(A, B, C, \dots\) gibi büyük harflerle gösterilir.

Tanım 2.1 (Eleman) \(A\) bir küme olsun. \(x\) nesnesi, \(A\) kümesini oluşturan nesnelerden biriyse \(x\)’e \(A\)’nın bir elemanı denir ve bu

\[x \in A \qquad \text{ya da} \qquad A \ni x\]

ile gösterilir. \(x\)’in \(A\)’nın elemanı olmaması, yani \(\neg(x \in A)\) önermesi, \(x \notin A\) ile gösterilir.

Yani \(x \in A\) bir önermedir: ya doğrudur ya yanlıştır ve \(x \notin A\) onun değilidir.

Tanım 2.2 (Kümelerin Eşitliği) İki \(A\) ve \(B\) kümesi tam olarak aynı elemanlara sahipse bu kümelere eşit denir ve \(A = B\) yazılır. \(\neg(A = B)\) önermesi \(A \neq B\) ile gösterilir.

Yani bir kümeyi belirleyen tek şey elemanlarıdır; elemanların yazılış sırası ya da bir elemanın kaç kez yazıldığı önemsizdir: \(\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\} = \{1, 1, 2, 3\}\).

Tanım 2.3 (Alt Küme) \(A\) ve \(B\) iki küme olsun. Her \(x\) için

\[x \in A \Rightarrow x \in B\]

gerektirmesi doğruysa \(A\)’ya \(B\)’nin bir alt kümesi (subset) denir ve \(A \subseteq B\) ya da \(B \supseteq A\) yazılır. Bu durum “\(A\), \(B\) tarafından kapsanır” diye de okunur.

Yani \(A \subseteq B\) demek, \(A\)’nın hiçbir elemanının \(B\)’nin dışında kalmaması demektir.

Tanım 2.4 (Öz Alt Küme) \(A \subseteq B\) ve \(A \neq B\) ise, yani \(A\), \(B\)’nin alt kümesi olduğu hâlde \(B\)’ye eşit değilse, \(A\)’ya \(B\)’nin bir öz alt kümesi (proper subset) denir ve \(A \subsetneq B\) yazılır.

Yani \(A \subsetneq B\) ise \(B\)’de \(A\)’da bulunmayan en az bir eleman vardır.

Kapsama sembolleri

Bazı kitaplarda alt küme için \(A \subset B\) yazılır ve bu sembol eşitliğe izin verir; öz alt küme ayrıca belirtilir. Bu kitapta karışıklığı önlemek için eşitliğe izin veren kapsama için her zaman \(\subseteq\), öz alt küme için \(\subsetneq\) kullanacağız.

Küme eşitliği “aynı elemanlara sahip olmak” diye tanımlandı; ama iki kümenin aynı elemanlara sahip olduğunu doğrudan denetlemek çoğu zaman güçtür. Aşağıdaki önerme eşitliği iki kapsamaya böler ve bu bölümün sonunda göreceğimiz eleman yönteminin temelidir.

Önerme 2.1 (Eşitlik İki Yönlü Kapsamadır) \(A\) ve \(B\) iki küme olsun. O zaman

\[A = B \iff \bigl(A \subseteq B \ \text{ve} \ B \subseteq A\bigr).\]

İspat

(\(\Rightarrow\)) \(A = B\) olsun. Tanım gereği \(A\) ve \(B\) tam olarak aynı elemanlara sahiptir. Özel olarak \(A\)’nın her elemanı \(B\)’nin de elemanıdır; yani \(x \in A \Rightarrow x \in B\), dolayısıyla \(A \subseteq B\). Aynı biçimde \(B\)’nin her elemanı \(A\)’nın da elemanıdır; yani \(x \in B \Rightarrow x \in A\), dolayısıyla \(B \subseteq A\).

(\(\Leftarrow\)) \(A \subseteq B\) ve \(B \subseteq A\) olsun. Olmayana ergi yöntemiyle \(A \neq B\) olduğunu varsayalım. Eşitlik tanımına göre bu, \(A\) ile \(B\)’nin aynı elemanlara sahip olmaması demektir; öyleyse iki durumdan biri gerçekleşir: ya \(A\)’nın \(B\)’de olmayan bir elemanı vardır ya da \(B\)’nin \(A\)’da olmayan bir elemanı vardır. Birinci durumda \(x \in A\) ve \(x \notin B\) olan bir \(x\) vardır; bu, \(A \subseteq B\) varsayımıyla çelişir. İkinci durumda \(x \in B\) ve \(x \notin A\) olan bir \(x\) vardır; bu da \(B \subseteq A\) varsayımıyla çelişir. Her iki durum da çelişki verdiğinden \(A \neq B\) olamaz; yani \(A = B\).

\(\blacksquare\)

İspatın özü: eşitlik, iki yöndeki kapsamanın birlikte doğru olmasından başka bir şey değildir.

Tanım 2.5 (Boş Küme) Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme (empty set) denir ve \(\varnothing\) ya da \(\{\,\}\) ile gösterilir.

Yani her \(x\) için \(x \in \varnothing\) önermesi yanlıştır. Eşitlik tanımına göre “hiç elemanı olmayan” yalnızca bir küme vardır; bu yüzden “boş küme” diyoruz.

Boş küme ile boş kümeyi içeren küme aynı değildir

\(\varnothing\) kümesinin hiç elemanı yoktur; \(\{\varnothing\}\) kümesinin ise tam bir elemanı vardır, o da \(\varnothing\)’dir. Dolayısıyla \(\varnothing \neq \{\varnothing\}\). Benzer biçimde \(\varnothing \in \{\varnothing\}\) doğru, \(\varnothing \in \varnothing\) yanlıştır.

Alt küme bağıntısının üç temel özelliği vardır. Bunlar basittir ama ileride sürekli kullanılacağı için ispatlarını tam olarak yazalım; özellikle birincisi, önceki bölümdeki “öncülü yanlış gerektirme doğrudur” kuralının ilk somut uygulamasıdır.

Önerme 2.2 (Alt Küme Bağıntısının Temel Özellikleri) \(A\), \(B\) ve \(C\) kümeler olsun.

(i) \(\varnothing \subseteq A\).

(ii) \(A \subseteq A\).

(iii) \(A \subseteq B\) ve \(B \subseteq C\) ise \(A \subseteq C\); yani “\(\subseteq\)” bağıntısı geçişlidir.

İspat

(i) Göstermemiz gereken, her \(x\) için \(x \in \varnothing \Rightarrow x \in A\) gerektirmesinin doğru olduğudur. Boş kümenin hiç elemanı olmadığından \(x \in \varnothing\) önermesi her \(x\) için yanlıştır. Bir gerektirme yalnızca öncülü doğru, sonucu yanlış olduğunda yanlıştır; öncül hiçbir zaman doğru olmadığından gerektirme her \(x\) için doğrudur. Dolayısıyla \(\varnothing \subseteq A\).

(ii) Her \(x\) için \(x \in A \Rightarrow x \in A\) gerektirmesi, \(p \Rightarrow p\) biçiminde olduğundan her zaman doğrudur. Dolayısıyla \(A \subseteq A\).

(iii) \(A \subseteq B\) ve \(B \subseteq C\) olsun; \(x \in A\) alalım. \(A \subseteq B\) olduğundan \(x \in B\); \(B \subseteq C\) olduğundan \(x \in C\). Böylece \(x \in A \Rightarrow x \in C\) gösterildi; yani \(A \subseteq C\).

\(\blacksquare\)

Tanım 2.6 (Kuvvet Kümesi) \(A\) bir küme olsun. \(A\)’nın bütün alt kümelerinin oluşturduğu topluluk bir kümedir; bu kümeye \(A\)’nın kuvvet kümesi (power set) denir ve \(\mathcal{P}(A)\) ile gösterilir. Yani

\[B \in \mathcal{P}(A) \iff B \subseteq A.\]

Yani kuvvet kümesinin elemanları sayılar ya da noktalar değil, kümelerdir; \(\mathcal{P}(A)\) “kümelerin kümesi”dir. Önerme 2.2’in (i) ve (ii) maddelerine göre her \(A\) kümesi için \(\varnothing \in \mathcal{P}(A)\) ve \(A \in \mathcal{P}(A)\) olur; yani kuvvet kümesi hiçbir zaman boş değildir.

Örnek 2.1 (Üç Elemanlı Kümenin Kuvvet Kümesi) \(A = \{a, b, c\}\) olsun. \(\mathcal{P}(A)\) kümesini yazınız.

Çözüm

\(A\)’nın alt kümelerini eleman sayısına göre sıralayalım. Sıfır elemanlı tek alt küme \(\varnothing\)’dir. Bir elemanlı alt kümeler \(\{a\}, \{b\}, \{c\}\); iki elemanlı alt kümeler \(\{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}\); üç elemanlı tek alt küme \(A\)’nın kendisidir. Dolayısıyla

\[\mathcal{P}(A) = \bigl\{\varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a, b\},\ \{a, c\},\ \{b, c\},\ \{a, b, c\}\bigr\}.\]

Toplam \(8 = 2^3\) alt küme vardır. Genel olarak \(n\) elemanlı bir kümenin \(2^n\) alt kümesi olur; çünkü bir alt küme kurarken her elemanı “al” ya da “alma” diye iki biçimde seçebiliriz.

\(\blacksquare\)

2.2 Küme Kurucu Gösterim ve Sayı Kümeleri

Bir kümeyi elemanlarını tek tek listeleyerek yazmak, elemanlar sonsuz çoklukta olduğunda mümkün değildir. Bunun yerine bir kümeyi, elemanlarını belirleyen bir özellikle tanımlarız.

Tanım 2.7 (Küme Kurucu Gösterim) \(A\) bir küme ve \(p\), \(A\)’nın her elemanının ya sahip olduğu ya da olmadığı bir özellik olsun. \(A\)’nın \(p\) özelliğine sahip elemanlarının tümü \(A\)’nın bir alt kümesidir ve bu alt küme

\[\{x \in A : p(x)\}\]

ile gösterilir. Bu gösterim “\(A\)’nın \(p(x)\) özelliğini sağlayan \(x\) elemanlarının kümesi” diye okunur.

Yani iki nokta üst üstenin solu elemanların nereden alındığını, sağı hangi koşulu sağlaması gerektiğini söyler; bazı kitaplarda iki nokta yerine düşey çizgi kullanılır: \(\{x \in A \mid p(x)\}\). Örneğin

\[A = \{x \in \mathbb{Z} : x \text{ çift sayıdır}\}\]

yazılışı “\(A\), \(x\) çift tam sayı olacak biçimdeki bütün \(x\)’lerin kümesidir” diye okunur ve \(A = \{\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots\}\) kümesini verir.

Bu kitap boyunca aşağıdaki sayı kümelerini kullanacağız. Gerçel sayılar kümesi \(\mathbb{R}\)’yi, sıralama ve dört işlemiyle birlikte bilindiği gibi kabul ediyoruz.

Standart sayı kümeleri

\(\mathbb{Z}\): bütün pozitif ve negatif tam sayılar ile sıfırın kümesi, \(\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}\).
\(\mathbb{N} = \{n \in \mathbb{Z} : n \geq 0\}\): doğal sayılar kümesi. Bu kitapta \(0 \in \mathbb{N}\) kabul edilir.
\(\mathbb{N}^{*} = \{n \in \mathbb{N} : n \geq 1\}\): pozitif tam sayılar kümesi. Bazı yerlerde \(\mathbb{N}^{+}\) ile de gösterilir.
\(\mathbb{Q} = \bigl\{\tfrac{p}{q} : p \in \mathbb{Z} \text{ ve } q \in \mathbb{N}^{*}\bigr\}\): rasyonel sayılar kümesi.
\(\mathbb{R}\): gerçel sayılar kümesi.

Bu kümeler arasında \(\mathbb{N}^{*} \subsetneq \mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R}\) kapsamaları vardır.

Gerçel sayıların en çok kullanacağımız alt kümeleri aralıklardır. \(a, b \in \mathbb{R}\) ve \(a < b\) olsun:

\[ \begin{aligned} [a, b] &= \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\} && \text{(kapalı aralık)},\\ (a, b) &= \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\} && \text{(açık aralık)},\\ (a, b] &= \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}, \qquad [a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\} && \text{(yarı açık aralıklar)}. \end{aligned} \]

Açık uç için bazı kitaplarda ters köşeli ayraç kullanılır: \((a, b) = \,]a, b[\) ve \((a, b] = \,]a, b]\). Sınırsız aralıklar da aynı biçimde tanımlanır; örneğin \([a, \infty) = \{x \in \mathbb{R} : x \geq a\}\) ve \((-\infty, b) = \{x \in \mathbb{R} : x < b\}\). Burada \(\infty\) bir sayı değil, “sınır yok” anlamına gelen bir simgedir; bu yüzden \(\infty\) tarafındaki uç her zaman açıktır.

2.3 Birleşim ve Kesişim

İki kümeden yeni küme üretmenin en temel iki yolu, elemanlarını bir araya toplamak ve ortak elemanlarını almaktır.

Tanım 2.8 (Birleşim ve Kesişim) \(A\) ve \(B\) iki küme olsun.

\(A\) ile \(B\)’nin birleşimi (union), \(A\)’ya veya \(B\)’ye ait olan bütün elemanların kümesidir ve \(A \cup B\) ile gösterilir:

\[A \cup B = \{x : x \in A \ \text{veya} \ x \in B\}.\]

\(A\) ile \(B\)’nin kesişimi (intersection), hem \(A\)’ya hem \(B\)’ye ait olan elemanların kümesidir ve \(A \cap B\) ile gösterilir:

\[A \cap B = \{x : x \in A \ \text{ve} \ x \in B\}.\]

Yani \(x \in A \cup B\) önermesi \((x \in A) \vee (x \in B)\) önermesiyle, \(x \in A \cap B\) önermesi \((x \in A) \wedge (x \in B)\) önermesiyle aynıdır; birleşim “veya” bağlacının, kesişim “ve” bağlacının küme dilindeki karşılığıdır.

Birleşimdeki veya kapsayıcıdır

Birleşim tanımındaki “veya”, önceki bölümdeki \(\vee\) bağlacıdır: \(x\) her iki kümeye birden ait olsa da \(x \in A \cup B\) doğrudur. Günlük dildeki “ya \(A\) ya \(B\)” biçimindeki dışlayıcı anlam burada geçerli değildir. Dolayısıyla \(A \cap B\) kümesinin elemanları da \(A \cup B\) kümesinin elemanlarıdır.

Örnek 2.2 (Aralıkların Birleşimi ve Kesişimi) \(A = (-3, -1]\) ve \(B = [-2, 1]\) olsun. \(A \cup B\) ve \(A \cap B\) kümelerini bulunuz.

Çözüm

Her iki küme de \(\mathbb{R}\)’nin alt kümesidir; sayı doğrusunda \(A\), \(-3\)’ten (hariç) \(-1\)’e (dâhil) kadar; \(B\), \(-2\)’den (dâhil) \(1\)’e (dâhil) kadar uzanır.

Birleşim: bir \(x\) gerçel sayısı \(A \cup B\) kümesindedir ancak ve ancak \(-3 < x \leq -1\) veya \(-2 \leq x \leq 1\) ise. \(-3 < x \leq -1\) olan her \(x\) zaten \(-3 < x \leq 1\) sağlar; \(-2 \leq x \leq 1\) olan her \(x\) de \(-3 < x \leq 1\) sağlar. Tersine \(-3 < x \leq 1\) olsun: \(x \leq -1\) ise \(x \in A\), \(x > -1\) ise \(-2 \leq -1 < x \leq 1\) olduğundan \(x \in B\). Dolayısıyla

\[A \cup B = (-3, 1],\]

yani \(-3\) ucu açık, \(1\) ucu kapalı bir aralık.

Kesişim: \(x \in A \cap B\) olması için \(-3 < x \leq -1\) ve \(-2 \leq x \leq 1\) birlikte sağlanmalıdır. İki alt sınırın büyüğü \(-2\) (dâhil), iki üst sınırın küçüğü \(-1\) (dâhil) olduğundan bu koşullar \(-2 \leq x \leq -1\) koşuluna denktir. Dolayısıyla

\[A \cap B = [-2, -1].\]

\(\blacksquare\)

Örnek 2.3 (Boş Küme ile Birleşim ve Kesişim) Her \(A\) kümesi için \(A \cup \varnothing = A\) ve \(A \cap \varnothing = \varnothing\) olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Birinci eşitlik: \(x \in A \cup \varnothing\) olsun. Tanım gereği \(x \in A\) veya \(x \in \varnothing\); ikincisi hiçbir \(x\) için doğru olmadığından \(x \in A\) olmak zorundadır. Böylece \(A \cup \varnothing \subseteq A\). Tersine \(x \in A\) ise “\(x \in A\) veya \(x \in \varnothing\)” önermesi doğrudur (ilk bileşeni doğru), yani \(x \in A \cup \varnothing\); böylece \(A \subseteq A \cup \varnothing\). Önerme 2.1’ya göre \(A \cup \varnothing = A\).

İkinci eşitlik: \(x \in A \cap \varnothing\) olsaydı \(x \in A\) ve \(x \in \varnothing\) olurdu; ama \(x \in \varnothing\) hiçbir \(x\) için doğru değildir. Öyleyse \(A \cap \varnothing\) kümesinin hiç elemanı yoktur; yani \(A \cap \varnothing = \varnothing\).

\(\blacksquare\)

Tanım 2.9 (Ayrık Kümeler) \(A \cap B = \varnothing\) ise, yani \(A\) ile \(B\)’nin ortak hiçbir elemanı yoksa, \(A\) ve \(B\) kümelerine ayrık (disjoint) kümeler denir.

Yani ayrık iki kümeden birinin hiçbir elemanı ötekinde bulunmaz. Örneğin \([-3, -1]\) ile \((-1, 5]\) ayrıktır; \((-3, -1]\) ile \([-2, 1]\) ise ayrık değildir, çünkü kesişimleri \([-2, -1] \neq \varnothing\).

Birleşim ve kesişimin, sayılardaki toplama ve çarpmaya benzeyen cebirsel özellikleri vardır. Bu özelliklerin hepsi, tanımdaki “veya” ve “ve” bağlaçlarının önceki bölümde gördüğümüz mantık kurallarından gelir. Sonraki bölümlerde ispatları kısaltmak için bunları bir kez tam olarak ispatlıyoruz.

Önerme 2.3 (Birleşim ve Kesişimin Temel Özellikleri) \(A\), \(B\), \(C\) ve \(D\) kümeler olsun.

(1) Her \(A\) ve \(B\) için \(A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B\); aynı biçimde \(A \cap B \subseteq B \subseteq A \cup B\).

(2) \(A \subseteq C\) ve \(B \subseteq D\) ise \(A \cup B \subseteq C \cup D\) ve \(A \cap B \subseteq C \cap D\).

(3) Her iki işlem de

idempotenttir: \(A \cup A = A = A \cap A\);
birleşmelidir: \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\) ve \(A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\);
değişmelidir: \(A \cup B = B \cup A\) ve \(A \cap B = B \cap A\).

Ayrıca kesişim birleşim üzerine, birleşim de kesişim üzerine dağılır:

\[A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C), \qquad A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).\]

İspat

Bütün maddelerde şu ilkeyi kullanacağız: iki küme, elemanı olma koşulları mantıkça denk olan önermelerle verilmişse eşittir; çünkü o zaman tam olarak aynı elemanlara sahiptirler.

(1) \(x \in A \cap B\) olsun. Tanım gereği \(x \in A\) ve \(x \in B\); özel olarak \(x \in A\). Böylece \(A \cap B \subseteq A\). Şimdi \(x \in A\) olsun. O zaman “\(x \in A\) veya \(x \in B\)” önermesi doğrudur, yani \(x \in A \cup B\). Böylece \(A \subseteq A \cup B\). \(B\) için aynı akıl yürütme, “ve” ile “veya” bağlaçlarının değişmeli olmasıyla, \(A \cap B \subseteq B \subseteq A \cup B\) verir.

(2) \(A \subseteq C\) ve \(B \subseteq D\) olsun. Önce birleşim: \(x \in A \cup B\) alalım. O zaman \(x \in A\) veya \(x \in B\). \(x \in A\) ise \(A \subseteq C\) olduğundan \(x \in C\); \(x \in B\) ise \(B \subseteq D\) olduğundan \(x \in D\). Her iki durumda da \(x \in C\) veya \(x \in D\), yani \(x \in C \cup D\). Böylece \(A \cup B \subseteq C \cup D\). Şimdi kesişim: \(x \in A \cap B\) alalım. O zaman \(x \in A\) ve \(x \in B\); kapsamalardan \(x \in C\) ve \(x \in D\), yani \(x \in C \cap D\). Böylece \(A \cap B \subseteq C \cap D\).

(3) İdempotentlik: \(x \in A \cup A \iff (x \in A) \vee (x \in A) \iff x \in A\); çünkü \(p \vee p \Leftrightarrow p\) bir mantık kuralıdır. Aynı biçimde \(x \in A \cap A \iff (x \in A) \wedge (x \in A) \iff x \in A\); çünkü \(p \wedge p \Leftrightarrow p\). Dolayısıyla \(A \cup A = A = A \cap A\).

Birleşmelilik: \(p\), \(q\), \(r\) sırasıyla \(x \in A\), \(x \in B\), \(x \in C\) önermeleri olsun. O zaman

\[x \in A \cup (B \cup C) \iff p \vee (q \vee r) \iff (p \vee q) \vee r \iff x \in (A \cup B) \cup C;\]

ortadaki denklik “veya” bağlacının birleşme kuralıdır. Kesişim için aynı zincir “ve” bağlacının birleşme kuralı \(p \wedge (q \wedge r) \Leftrightarrow (p \wedge q) \wedge r\) ile yazılır.

Değişmelilik: \(x \in A \cup B \iff p \vee q \iff q \vee p \iff x \in B \cup A\) ve \(x \in A \cap B \iff p \wedge q \iff q \wedge p \iff x \in B \cap A\); çünkü \(\vee\) ve \(\wedge\) değişmelidir.

Dağılma: Önce iki mantık kuralını hatırlayalım: \(p \wedge (q \vee r) \Leftrightarrow (p \wedge q) \vee (p \wedge r)\) ve \(p \vee (q \wedge r) \Leftrightarrow (p \vee q) \wedge (p \vee r)\). Birincisi şöyle görülür: sol taraf, \(p\) doğru ve \(q\) ile \(r\)’den en az biri doğru olduğunda doğrudur; bu da tam olarak “\(p\) ve \(q\)” ile “\(p\) ve \(r\)” önermelerinden en az birinin doğru olması demektir. İkincisi için: \(p\) doğruysa iki taraf da doğrudur; \(p\) yanlışsa sol taraf \(q \wedge r\)’ye, sağ taraf da \(q \wedge r\)’ye indirgenir. Her iki kural doğruluk tablosuyla da denetlenebilir. Bunlarla

\[x \in A \cap (B \cup C) \iff p \wedge (q \vee r) \iff (p \wedge q) \vee (p \wedge r) \iff x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)\]

\[x \in A \cup (B \cap C) \iff p \vee (q \wedge r) \iff (p \vee q) \wedge (p \vee r) \iff x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\]

elde edilir. Her iki zincirde de sol ve sağ uçtaki kümeler aynı elemanlara sahip olduğundan eşittirler.

\(\blacksquare\)

İspatın özü: birleşim ve kesişimin her cebirsel kuralı, “veya” ve “ve” bağlaçlarının aynı adlı mantık kuralıdır.

Birleşmelilik sayesinde \(A \cup B \cup C\) ve \(A \cap B \cap C\) yazarken ayraç kullanmak gerekmez; hangi sırayla hesaplanırsa hesaplansın sonuç aynıdır.

Alt küme bağıntısı, birleşim ve kesişimle iki ayrı biçimde ifade edilebilir. Bu, ileride “\(A \subseteq B\)” göstermek yerine daha kolay olan “\(A \cap B = A\)” ya da “\(A \cup B = B\)” eşitliğini göstermemize izin verecektir.

Teorem 2.1 (Alt Küme Olmanın Denk Koşulları) \(A\) ve \(B\) kümeler olsun. Aşağıdaki üç önerme birbirine denktir:

(i) \(A \subseteq B\);

(ii) \(A \cap B = A\);

(iii) \(A \cup B = B\).

İspat

(i) \(\Rightarrow\) (ii) \(\Rightarrow\) (iii) \(\Rightarrow\) (i) zincirini ispatlayacağız; bu zincir üç önermenin de birbirine denk olduğunu verir; çünkü zincirdeki herhangi bir önermeden başlayıp okları izleyerek öteki ikisine ulaşılır. İspat boyunca Önerme 2.3’nin maddelerini kullanacağız.

(i) \(\Rightarrow\) (ii): \(A \subseteq B\) olsun. \(A \subseteq A\) ve \(A \subseteq B\) olduğundan (2) maddesi \(A \cap A \subseteq A \cap B\) verir; idempotentlikle \(A \cap A = A\), yani \(A \subseteq A \cap B\). Öte yandan (1) maddesine göre \(A \cap B \subseteq A\). İki kapsama birlikte, Önerme 2.1’ya göre \(A \cap B = A\) verir.

(ii) \(\Rightarrow\) (iii): \(A \cap B = A\) olsun. (1) maddesine göre \(A \cap B \subseteq B\); dolayısıyla \(A = A \cap B \subseteq B\). Şimdi \(A \subseteq B\) ve \(B \subseteq B\) olduğundan (2) maddesi \(A \cup B \subseteq B \cup B\) verir; idempotentlikle \(B \cup B = B\), yani \(A \cup B \subseteq B\). Öte yandan (1) maddesine göre \(B \subseteq A \cup B\). İki kapsama birlikte \(A \cup B = B\) verir.

(iii) \(\Rightarrow\) (i): \(A \cup B = B\) olsun. (1) maddesine göre \(A \subseteq A \cup B\); varsayımla \(A \cup B = B\) olduğundan \(A \subseteq B\). Aynı sonuç eleman diliyle de görülebilir: \(x \in A\) ise “\(x \in A\) veya \(x \in B\)” doğrudur, yani \(x \in A \cup B = B\); dolayısıyla \(x \in B\).

\(\blacksquare\)

İspatın özü: \(A \subseteq B\) iken \(A\)’nın \(B\) ile kesişimi \(A\)’yı küçültmez, \(B\) ile birleşimi \(B\)’yi büyütmez.

2.4 Küme Farkı ve Tümleyen

Birleşim ve kesişim “veya” ile “ve” bağlaçlarının karşılığıydı; şimdi “değil” bağlacının karşılığını tanımlayacağız.

Tanım 2.10 (Küme Farkı) \(A\) ve \(B\) iki küme olsun. \(A\)’nın \(B\)’de bulunmayan elemanlarından oluşan kümeye \(A\) ile \(B\)’nin farkı (difference) denir ve \(A \setminus B\) ile gösterilir:

\[A \setminus B = \{x : x \in A \ \text{ve} \ x \notin B\}.\]

Bu kümeye bazen \(B\)’nin \(A\)’ya göre tümleyeni (complement of \(B\) relative to \(A\)) de denir. Bazı kitaplarda \(A \setminus B\) yerine \(A - B\) yazılır.

Yani \(A \setminus B\), \(A\)’dan \(B\)’nin elemanlarını “çıkararak” elde edilir; \(B\)’nin \(A\)’da olmayan elemanları hesaba katılmaz. Özel olarak \(A \setminus B \subseteq A\) her zaman doğrudur.

Çoğu zaman bütün kümeler sabit bir \(X\) kümesinin alt kümeleri olarak düşünülür; örneğin bu kitapta \(X\) bir topolojik uzay olacak ve bütün açık, kapalı kümeler \(X\)’in alt kümeleri olacaktır. Bu durumda \(X\)’e evrensel küme denir ve fark işlemi sadeleşir.

Tanım 2.11 (Tümleyen) \(X\) bir küme ve \(A \subseteq X\) olsun. \(A\)’nın \(X\)’e göre tümleyeni \(X \setminus A\) kümesine kısaca \(A\)’nın tümleyeni (complement) denir ve \(A^c\) ile gösterilir:

\[A^c = X \setminus A = \{x \in X : x \notin A\}.\]

\(X \setminus A\) ile \(A^c\) aynı kümeyi gösterir; hangi \(X\)’e göre tümleyen alındığı bağlamdan anlaşılmadığında \(X \setminus A\) yazılışı tercih edilir.

Yani \(A^c\), evrensel kümede \(A\)’nın dışında kalan her şeydir. Tümleyen alt kümeyi evrensel kümeye “tamamlar”: \(A\) ile \(A^c\) birlikte \(X\)’i verir ve ortak elemanları yoktur; bunu birazdan ispatlayacağız.

Tümleyenin en temel üç özelliği, “değil” bağlacının kurallarından doğrudan gelir.

Önerme 2.4 (Tümleyenin Temel Özellikleri) \(X\) bir küme, \(A, B \subseteq X\) olsun.

(1) Her \(x \in X\) için \(x \notin A^c \iff x \in A\).

(2) \((A^c)^c = A\); yani \(X \setminus (X \setminus A) = A\).

(3) \(A \setminus B = A \cap B^c = \{x \in X : x \in A \ \text{ve} \ x \notin B\}\).

İspat

(1) \(x \in X\) olsun. Tümleyen tanımına göre \(x \in A^c \iff (x \in X \ \text{ve} \ x \notin A)\); \(x \in X\) zaten doğru olduğundan bu, \(x \in A^c \iff x \notin A\) demektir. İki tarafın değilini alırsak, \(\neg\neg p \Leftrightarrow p\) kuralıyla, \(x \notin A^c \iff x \in A\) elde edilir.

(2) \(x \in (A^c)^c\) olsun. Tanım gereği \(x \in X\) ve \(x \notin A^c\); (1) maddesine göre \(x \in A\). Böylece \((A^c)^c \subseteq A\). Tersine \(x \in A\) olsun. \(A \subseteq X\) olduğundan \(x \in X\); (1) maddesine göre \(x \notin A^c\); dolayısıyla \(x \in X \setminus A^c = (A^c)^c\). Böylece \(A \subseteq (A^c)^c\). Önerme 2.1’ya göre \((A^c)^c = A\).

(3) \(x \in A \setminus B\) olsun. Tanım gereği \(x \in A\) ve \(x \notin B\). \(A \subseteq X\) olduğundan \(x \in X\); öyleyse \(x \in X\) ve \(x \notin B\), yani \(x \in B^c\). Dolayısıyla \(x \in A\) ve \(x \in B^c\), yani \(x \in A \cap B^c\). Tersine \(x \in A \cap B^c\) olsun. O zaman \(x \in A\) ve \(x \in B^c\); ikincisi \(x \notin B\) verir. Dolayısıyla \(x \in A\) ve \(x \notin B\), yani \(x \in A \setminus B\). İki kapsama eşitliği verir.

\(\blacksquare\)

Bu önermenin (3) maddesi çok kullanışlıdır: fark işlemini kesişim ve tümleyene çevirir, böylece birleşim ve kesişim için ispatladığımız kurallar farkı içeren eşitliklerde de kullanılabilir.

Örnek 2.4 (Aralıkların Farkı) \(A = [-3, -1]\) ve \(B = (-1, 5]\) olsun. \(A \setminus B\) ve \(B \setminus A\) kümelerini bulunuz.

Çözüm

\(x \in A\) olsun; o zaman \(x \leq -1\). \(B\)’nin her elemanı \(-1\)’den büyük olduğundan \(x \notin B\). Yani \(A\)’nın hiçbir elemanı \(B\)’de değildir: \(A\)’nın her elemanı \(A \setminus B\) kümesindedir, dolayısıyla \(A \subseteq A \setminus B\). Öte yandan \(A \setminus B \subseteq A\) her zaman doğrudur. Böylece

\[A \setminus B = A = [-3, -1].\]

Aynı biçimde \(x \in B\) ise \(x > -1\), dolayısıyla \(x \notin A\); bu da \(B \setminus A = B = (-1, 5]\) verir. Sonuç şaşırtıcı değildir: \(A\) ile \(B\) ayrıktır (\(A \cap B = \varnothing\)) ve ayrık kümelerde fark almak hiçbir şeyi çıkarmaz. Kesişimin boş olduğunu görmek için \(x \in A \cap B\) olsaydı hem \(x \leq -1\) hem \(x > -1\) olacağını, bunun ise imkânsız olduğunu söylemek yeter.

\(\blacksquare\)

Şimdi bu bölümün en önemli kurallarına geliyoruz. Önceki bölümde “\(p\) veya \(q\)” önermesinin değilinin “\(p\) değil ve \(q\) değil” olduğunu, “\(p\) ve \(q\)” önermesinin değilinin “\(p\) değil veya \(q\) değil” olduğunu görmüştük. Fark işlemi “değil” bağlacının küme karşılığı olduğundan bu kurallar kümelere taşınır; sonuç, birleşimi kesişime, kesişimi birleşime çeviren De Morgan kurallarıdır.

Teorem 2.2 (De Morgan Kuralları) \(A\), \(B\) ve \(C\) herhangi kümeler olsun. O zaman

\[A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C), \qquad A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C).\]

İspat

Her iki eşitliği de iki yönlü kapsamayla göstereceğiz. İspatın anahtarı, önceki bölümdeki mantık kurallarının eleman diline çevrilmiş hâlidir:

\[x \notin B \cup C \iff \neg\bigl((x \in B) \vee (x \in C)\bigr) \iff (x \notin B) \ \text{ve} \ (x \notin C),\]

\[x \notin B \cap C \iff \neg\bigl((x \in B) \wedge (x \in C)\bigr) \iff (x \notin B) \ \text{veya} \ (x \notin C).\]

Birinci eşitlik. \(x \in A \setminus (B \cup C)\) olsun. Fark tanımına göre \(x \in A\) ve \(x \notin B \cup C\). Yukarıdaki ilk kurala göre \(x \notin B\) ve \(x \notin C\). Öyleyse hem “\(x \in A\) ve \(x \notin B\)” hem “\(x \in A\) ve \(x \notin C\)” doğrudur; yani \(x \in A \setminus B\) ve \(x \in A \setminus C\), dolayısıyla \(x \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\). Böylece

\[A \setminus (B \cup C) \subseteq (A \setminus B) \cap (A \setminus C).\]

Ters kapsama için \(x \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\) olsun. O zaman \(x \in A \setminus B\) ve \(x \in A \setminus C\); yani \(x \in A\), \(x \notin B\) ve \(x \notin C\). İlk kurala göre \(x \notin B\) ve \(x \notin C\) birlikte \(x \notin B \cup C\) demektir. Dolayısıyla \(x \in A\) ve \(x \notin B \cup C\), yani \(x \in A \setminus (B \cup C)\). Böylece

\[(A \setminus B) \cap (A \setminus C) \subseteq A \setminus (B \cup C).\]

İki kapsama Önerme 2.1’ya göre birinci eşitliği verir.

İkinci eşitlik. \(x \in A \setminus (B \cap C)\) olsun. O zaman \(x \in A\) ve \(x \notin B \cap C\); ikinci kurala göre \(x \notin B\) veya \(x \notin C\). Öyleyse “\(x \in A\) ve (\(x \notin B\) veya \(x \notin C\))” doğrudur; “ve” bağlacının “veya” üzerine dağılma kuralıyla bu, “(\(x \in A\) ve \(x \notin B\)) veya (\(x \in A\) ve \(x \notin C\))” demektir. Yani \(x \in A \setminus B\) veya \(x \in A \setminus C\), dolayısıyla \(x \in (A \setminus B) \cup (A \setminus C)\). Böylece

\[A \setminus (B \cap C) \subseteq (A \setminus B) \cup (A \setminus C).\]

Ters kapsama için \(x \in (A \setminus B) \cup (A \setminus C)\) olsun. O zaman \(x \in A \setminus B\) veya \(x \in A \setminus C\); yani “(\(x \in A\) ve \(x \notin B\)) veya (\(x \in A\) ve \(x \notin C\))”. Dağılma kuralını tersine uygularsak “\(x \in A\) ve (\(x \notin B\) veya \(x \notin C\))” elde ederiz. İkinci kurala göre \(x \notin B\) veya \(x \notin C\) olması \(x \notin B \cap C\) demektir. Dolayısıyla \(x \in A\) ve \(x \notin B \cap C\), yani \(x \in A \setminus (B \cap C)\). Böylece

\[(A \setminus B) \cup (A \setminus C) \subseteq A \setminus (B \cap C).\]

İki kapsama ikinci eşitliği verir.

\(\blacksquare\)

İspatın özü: “birleşimde olmamak” her ikisinde de olmamak, “kesişimde olmamak” en az birinde olmamaktır; fark işlemi bu “olmamak”ları \(A\)’nın içine taşır.

De Morgan kuralları en çok evrensel bir küme içinde, tümleyen diliyle kullanılır.

Sonuç 2.1 (Tümleyen için De Morgan Kuralları) \(X\) bir küme ve \(A, B \in \mathcal{P}(X)\) olsun. O zaman

\[(A \cup B)^c = A^c \cap B^c, \qquad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c.\]

İspat

Teorem 2.2’ı \(X\), \(A\), \(B\) kümelerine uygulayalım; yani teoremdeki \(A\) yerine \(X\), \(B\) yerine \(A\), \(C\) yerine \(B\) alalım. Birinci kural

\[X \setminus (A \cup B) = (X \setminus A) \cap (X \setminus B)\]

verir. Tümleyen tanımına göre sol taraf \((A \cup B)^c\), sağ taraf \(A^c \cap B^c\)’dir; bu birinci eşitliktir. İkinci kural

\[X \setminus (A \cap B) = (X \setminus A) \cup (X \setminus B)\]

verir; bu da \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\) demektir.

\(\blacksquare\)

Yani birleşimin tümleyeni tümleyenlerin kesişimi, kesişimin tümleyeni tümleyenlerin birleşimidir. Topolojide açık kümelerin tümleyenleri kapalı kümelerdir; De Morgan kuralları, açık kümelerle ilgili her özelliği kapalı kümelere taşımamızı sağlayacak.

Tümleyenle ilgili sık kullanılan beş eşitliği bir önermede topluyoruz. Bunların bir kısmı fark işlemini birleşimle, bir kısmı kapsamayı kesişim ve birleşimle ilişkilendirir.

Önerme 2.5 (Tümleyenin Özellikleri) \(X\) bir küme ve \(A, B \in \mathcal{P}(X)\) olsun. O zaman

(1) \(A \cup A^c = X\) ve \(A \cap A^c = \varnothing\);

(2) \(A = (A \setminus B) \cup (A \cap B)\);

(3) \(A \cup B = (A \setminus B) \cup B\) ve \(A \cup B = (B \setminus A) \cup A\);

(4) \(A \cap B = \varnothing \iff A \subseteq B^c \iff B \subseteq A^c\);

(5) \(A \cup B = X \iff A^c \subseteq B \iff B^c \subseteq A\).

İspat

(1) Önce \(A \cup A^c = X\). \(A \subseteq X\) ve \(A^c \subseteq X\) olduğundan Önerme 2.3’nin (2) maddesiyle \(A \cup A^c \subseteq X \cup X = X\). Tersine \(x \in X\) olsun. \(x \in A\) önermesi ya doğru ya yanlıştır. Doğruysa \(x \in A \cup A^c\). Yanlışsa \(x \notin A\); \(x \in X\) olduğundan \(x \in A^c\), dolayısıyla yine \(x \in A \cup A^c\). Böylece \(X \subseteq A \cup A^c\) ve eşitlik elde edilir.

Şimdi \(A \cap A^c = \varnothing\). Bir \(x \in A \cap A^c\) olsaydı \(x \in A\) ve \(x \in A^c\) olurdu; ikincisi \(x \notin A\) demektir. \(x \in A\) ile \(x \notin A\) aynı anda doğru olamaz. Öyleyse \(A \cap A^c\) kümesinin hiç elemanı yoktur; yani \(A \cap A^c = \varnothing\).

(2) \(A \subseteq X\) olduğundan Teorem 2.1’a göre \(A \cap X = A\). (1) maddesinden \(X = B \cup B^c\). Dağılma kuralı ve Önerme 2.4’in (3) maddesiyle

\[A = A \cap X = A \cap (B \cup B^c) = (A \cap B) \cup (A \cap B^c) = (A \cap B) \cup (A \setminus B).\]

Birleşimin değişmeli olmasıyla \(A = (A \setminus B) \cup (A \cap B)\).

(3) (2) maddesini \(A\) ve \(B\)’nin rolleri değişmiş olarak yazarsak \(B = (B \setminus A) \cup (B \cap A)\) elde ederiz. O zaman birleşmelilik ve değişmelilikle

\[A \cup B = A \cup \bigl((B \setminus A) \cup (B \cap A)\bigr) = \bigl(A \cup (A \cap B)\bigr) \cup (B \setminus A).\]

\(A \cap B \subseteq A\) olduğundan Teorem 2.1’a göre \(A \cup (A \cap B) = A\). Dolayısıyla \(A \cup B = A \cup (B \setminus A) = (B \setminus A) \cup A\). İlk eşitlik için \(A\) ile \(B\)’nin rollerini değiştirelim: \(B \cup A = (A \setminus B) \cup B\); sol taraf değişmelilikle \(A \cup B\)’dir.

(4) Önce \(A \cap B = \varnothing \iff A \subseteq B^c\) denkliğini gösterelim.

(\(\Rightarrow\)) \(A \cap B = \varnothing\) olsun ve olmayana ergi için \(A \not\subseteq B^c\) olduğunu varsayalım. O zaman \(A\)’nın \(B^c\)’de olmayan en az bir \(a\) elemanı vardır: \(a \in A\) ve \(a \notin B^c\). Önerme 2.4’in (1) maddesine göre \(a \notin B^c\) olması \(a \in B\) demektir. Öyleyse \(a \in A\) ve \(a \in B\), yani \(a \in A \cap B = \varnothing\); bu bir çelişkidir, çünkü boş kümenin elemanı yoktur. Dolayısıyla \(A \subseteq B^c\).

(\(\Leftarrow\)) \(A \subseteq B^c\) olsun. \(B \subseteq B\) ile birlikte Önerme 2.3’nin (2) maddesi \(A \cap B \subseteq B^c \cap B\) verir. (1) maddesine göre \(B^c \cap B = B \cap B^c = \varnothing\); dolayısıyla \(A \cap B \subseteq \varnothing\). Öte yandan \(\varnothing \subseteq A \cap B\) her zaman doğrudur. İki kapsama \(A \cap B = \varnothing\) verir.

\(A \cap B = \varnothing \iff B \subseteq A^c\) denkliği için kesişimin değişmeli olduğunu kullanalım: \(A \cap B = \varnothing\) ile \(B \cap A = \varnothing\) aynı önermedir ve az önce ispatlanan denklik \(A\) ile \(B\)’nin rolleri değişmiş olarak \(B \cap A = \varnothing \iff B \subseteq A^c\) verir.

(5) Önce \(A \cup B = X \iff A^c \subseteq B\) denkliğini gösterelim.

(\(\Rightarrow\)) \(A \cup B = X\) olsun ve \(x \in A^c\) alalım. \(A^c \subseteq X = A \cup B\) olduğundan \(x \in A\) veya \(x \in B\). Ama \(x \in A^c\) olması \(x \notin A\) demektir; öyleyse \(x \in B\). Böylece \(A^c \subseteq B\).

(\(\Leftarrow\)) \(A^c \subseteq B\) olsun. \(A \subseteq A\) ile birlikte Önerme 2.3’nin (2) maddesi \(A \cup A^c \subseteq A \cup B\) verir; (1) maddesine göre sol taraf \(X\)’tir, yani \(X \subseteq A \cup B\). Öte yandan \(A \subseteq X\) ve \(B \subseteq X\) olduğundan \(A \cup B \subseteq X \cup X = X\). İki kapsama \(A \cup B = X\) verir.

\(A \cup B = X \iff B^c \subseteq A\) denkliği, birleşimin değişmeli olmasıyla, ispatlanan denkliğin \(A\) ile \(B\)’nin rolleri değişmiş hâlidir.

\(\blacksquare\)

Önermenin (5) maddesi (4) maddesinden De Morgan ile de çıkarılabilir. \(A \cup B \subseteq X\) olduğundan \(A \cup B = X\) olması, \(X\)’in \(A \cup B\) dışında hiç elemanı olmaması, yani \((A \cup B)^c = \varnothing\) olması demektir; Sonuç 2.1’e göre bu, \(A^c \cap B^c = \varnothing\) demektir; (4) maddesine göre bu, \(A^c \subseteq (B^c)^c = B\) ile denktir. Bu, aynı sonucun bazen birkaç yoldan elde edilebileceğinin iyi bir örneğidir.

2.5 Eleman Yöntemiyle Küme Eşitliği İspatları

Bu bölümde iki tür ispat gördük. Birincisi cebirsel yöntem: bilinen eşitlikleri (dağılma, De Morgan, \(A \cup A^c = X\) gibi) art arda uygulayarak bir kümeyi adım adım ötekine dönüştürmek; Önerme 2.5’nin (2) maddesinin ispatı böyleydi. İkincisi eleman yöntemi: \(A = B\) göstermek için Önerme 2.1’ya dayanarak

rastgele bir \(x \in A\) alıp \(x \in B\) olduğunu göstermek (\(A \subseteq B\)), sonra
rastgele bir \(x \in B\) alıp \(x \in A\) olduğunu göstermek (\(B \subseteq A\));

Teorem 2.2’ın ispatı böyleydi. Eleman yöntemi her zaman işler, çünkü doğrudan tanıma dayanır; yeni bir kavramla ilk karşılaşıldığında başvurulacak yöntem budur. Aşağıdaki örnekler bu yöntemi daha önce cebirsel olarak ispatladığımız eşitlikler üzerinde uygular; iki yöntemi karşılaştırmak için ikisini de görmek yararlıdır.

Örnek 2.5 (Bir Kümeyi Fark ve Kesişime Ayırmak) \(X\) boş olmayan bir küme ve \(A, B \in \mathcal{P}(X)\) olsun. Eleman yöntemiyle

\[B = (B \setminus A) \cup (B \cap A)\]

olduğunu gösteriniz.

Çözüm

(\(\subseteq\)) \(x \in B\) olsun. \(x \in A\) önermesi ya doğru ya yanlıştır.

\(x \in A\) ise \(x \in B\) ve \(x \in A\), yani \(x \in B \cap A\).
\(x \notin A\) ise \(x \in B\) ve \(x \notin A\), yani \(x \in B \setminus A\).

Her iki durumda da \(x \in B \setminus A\) veya \(x \in B \cap A\); dolayısıyla \(x \in (B \setminus A) \cup (B \cap A)\). Böylece \(B \subseteq (B \setminus A) \cup (B \cap A)\).

(\(\supseteq\)) \(x \in (B \setminus A) \cup (B \cap A)\) olsun. O zaman \(x \in B \setminus A\) veya \(x \in B \cap A\). Birinci durumda fark tanımına göre \(x \in B\) (ve \(x \notin A\)); ikinci durumda kesişim tanımına göre \(x \in B\) (ve \(x \in A\)). Her iki durumda da \(x \in B\). Böylece \((B \setminus A) \cup (B \cap A) \subseteq B\).

İki kapsama eşitliği verir. Aynı eşitliğin cebirsel ispatı, \(B \setminus A = B \cap A^c\) yazılıp dağılma kuralı uygulanarak elde edilir:

\[(B \setminus A) \cup (B \cap A) = (B \cap A^c) \cup (B \cap A) = B \cap (A^c \cup A) = B \cap X = B.\]

\(\blacksquare\)

Örnek 2.6 (Birleşimi Ayrık Parçalara Ayırmak) \(X\) boş olmayan bir küme ve \(A, B \in \mathcal{P}(X)\) olsun. Eleman yöntemiyle

\[A \cup B = (B \setminus A) \cup A\]

olduğunu gösteriniz.

Çözüm

(\(\subseteq\)) \(x \in A \cup B\) olsun; yani \(x \in A\) veya \(x \in B\).

\(x \in A\) ise \(x\), sağ taraftaki birleşimin ikinci parçasındadır: \(x \in (B \setminus A) \cup A\).
\(x \notin A\) ise, \(x \in A\) veya \(x \in B\) olduğundan, \(x \in B\) olmak zorundadır. O zaman \(x \in B\) ve \(x \notin A\), yani \(x \in B \setminus A\); dolayısıyla \(x \in (B \setminus A) \cup A\).

Böylece \(A \cup B \subseteq (B \setminus A) \cup A\).

(\(\supseteq\)) \(x \in (B \setminus A) \cup A\) olsun. \(x \in B \setminus A\) ise \(x \in B\), dolayısıyla \(x \in A \cup B\). \(x \in A\) ise doğrudan \(x \in A \cup B\). Böylece \((B \setminus A) \cup A \subseteq A \cup B\).

İki kapsama eşitliği verir. Bu ayrışımın önemli bir özelliği, parçalarının ayrık olmasıdır: \((B \setminus A) \cap A = \varnothing\), çünkü \(B \setminus A\)’nın hiçbir elemanı \(A\)’da değildir. Yani her birleşim, ayrık iki kümenin birleşimi olarak yazılabilir.

\(\blacksquare\)

Eleman yöntemi yalnızca eşitlikler için değil, kapsamalar arasındaki denklikler için de kullanılır.

Örnek 2.7 (Kesişimle ve Birleşimle Kapsama Kuralları) \(X\) boş olmayan bir küme ve \(A, B, C \subseteq X\) olsun. Aşağıdakileri ispatlayınız.

(a) \(A \subseteq B \cap C \iff \bigl(A \subseteq B \ \text{ve} \ A \subseteq C\bigr)\).

(b) \(A \cup B \subseteq C \iff \bigl(A \subseteq C \ \text{ve} \ B \subseteq C\bigr)\).

Çözüm

(a) (\(\Rightarrow\)) \(A \subseteq B \cap C\) olsun. Önerme 2.3’nin (1) maddesine göre \(B \cap C \subseteq B\) ve \(B \cap C \subseteq C\). Kapsamanın geçişliliğiyle (Önerme 2.2) \(A \subseteq B \cap C \subseteq B\) ve \(A \subseteq B \cap C \subseteq C\); yani \(A \subseteq B\) ve \(A \subseteq C\).

(\(\Leftarrow\)) \(A \subseteq B\) ve \(A \subseteq C\) olsun. İki kapsamanın “kesişimini alalım”: Önerme 2.3’nin (2) maddesine göre \(A \cap A \subseteq B \cap C\); idempotentlikle \(A \cap A = A\), dolayısıyla \(A \subseteq B \cap C\). Eleman diliyle: \(x \in A\) ise iki varsayımdan \(x \in B\) ve \(x \in C\), yani \(x \in B \cap C\).

(b) (\(\Rightarrow\)) \(A \cup B \subseteq C\) olsun. (1) maddesine göre \(A \subseteq A \cup B\) ve \(B \subseteq A \cup B\); geçişlilikle \(A \subseteq C\) ve \(B \subseteq C\).

(\(\Leftarrow\)) \(A \subseteq C\) ve \(B \subseteq C\) olsun. (2) maddesine göre \(A \cup B \subseteq C \cup C = C\). Eleman diliyle: \(x \in A \cup B\) ise \(x \in A\) veya \(x \in B\); birinci durumda \(A \subseteq C\), ikinci durumda \(B \subseteq C\) olduğundan her iki durumda da \(x \in C\).

\(\blacksquare\)

Yani bir küme, iki kümenin kesişiminin içindedir ancak ve ancak her ikisinin de içindeyse; iki kümenin birleşimi bir kümenin içindedir ancak ve ancak her ikisi de onun içindeyse. Bu iki kural, sonraki bölümde sonsuz çoklukta kümenin kesişim ve birleşimine genelleştirilecektir.

2.6 Alıştırmalar

Alıştırma 2.1 (Kümeler ve Küme İşlemleri) Aşağıdaki alıştırmalarda \(X\) boş olmayan bir küme ve \(A, B, C \in \mathcal{P}(X)\)’tir.

(a) \(\mathcal{P}(\varnothing)\), \(\mathcal{P}(\{1, 2\})\) ve \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))\) kümelerini yazınız.

(b) \(A = (-1, 3]\) ve \(B = [0, 5)\) olsun. \(A \cup B\), \(A \cap B\), \(A \setminus B\) ve \(B \setminus A\) kümelerini bulunuz.

(d) \(A \setminus (A \setminus B) = A \cap B\) olduğunu gösteriniz.

(e) \((A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C)\) olduğunu gösteriniz.

(f) \(A \subseteq B \iff B^c \subseteq A^c\) olduğunu gösteriniz.

(g) \(A \subseteq B\) ise \(\mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(B)\) olduğunu gösteriniz. Karşıtı doğru mudur?

Çözüm

(a) Boş kümenin tek alt kümesi kendisidir; dolayısıyla \(\mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\}\). \(\{1, 2\}\) kümesinin alt kümeleri \(\varnothing\), \(\{1\}\), \(\{2\}\), \(\{1, 2\}\)’dir; dolayısıyla \(\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}\). Son olarak \(\mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\}\) tek elemanlı bir kümedir; alt kümeleri \(\varnothing\) ve \(\{\varnothing\}\)’dir. Dolayısıyla \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\); bu küme iki elemanlıdır.

(b) \(x \in A \cup B\) olması \(-1 < x \leq 3\) veya \(0 \leq x < 5\) demektir; bu iki koşulun birleşimi \(-1 < x < 5\) verir (\(x \leq 3\) ise birinci, \(x > 3\) ise \(0 \leq 3 < x < 5\) ile ikinci koşul sağlanır). Dolayısıyla \(A \cup B = (-1, 5)\). Kesişim için iki koşul birlikte sağlanmalıdır: alt sınırların büyüğü \(0\) (dâhil), üst sınırların küçüğü \(3\) (dâhil); \(A \cap B = [0, 3]\). Fark \(A \setminus B\), \(A\)’nın \(B\)’de olmayan elemanlarıdır: \(-1 < x \leq 3\) ve \(x < 0\) (çünkü \(x \leq 3 < 5\) olduğundan \(x \notin B\) ancak \(x < 0\) ile mümkündür); \(A \setminus B = (-1, 0)\). Benzer biçimde \(B \setminus A\): \(0 \leq x < 5\) ve \(x > 3\) (çünkü \(x \geq 0 > -1\) olduğundan \(x \notin A\) ancak \(x > 3\) ile mümkündür); \(B \setminus A = (3, 5)\).

(c) \(x \in A \setminus B\) olsun; yani \(x \in A\) ve \(x \notin B\). \(x \notin B\) olduğundan “\(x \in A\) ve \(x \in B\)” yanlıştır, yani \(x \notin A \cap B\). Dolayısıyla \(x \in A\) ve \(x \notin A \cap B\), yani \(x \in A \setminus (A \cap B)\). Tersine \(x \in A \setminus (A \cap B)\) olsun; yani \(x \in A\) ve \(x \notin A \cap B\). \(x \notin A \cap B\) olması, De Morgan kuralıyla, \(x \notin A\) veya \(x \notin B\) demektir; \(x \in A\) olduğundan birinci seçenek olamaz, öyleyse \(x \notin B\). Dolayısıyla \(x \in A\) ve \(x \notin B\), yani \(x \in A \setminus B\). İki kapsama eşitliği verir.

(d) Cebirsel yöntemle: \(A \setminus (A \setminus B) = A \cap (A \cap B^c)^c\) (Önerme 2.4’in (3) maddesi iki kez). Sonuç 2.1’e göre \((A \cap B^c)^c = A^c \cup (B^c)^c = A^c \cup B\). Dağılma kuralıyla

\[A \cap (A^c \cup B) = (A \cap A^c) \cup (A \cap B) = \varnothing \cup (A \cap B) = A \cap B;\]

burada \(A \cap A^c = \varnothing\) için Önerme 2.5’nin (1) maddesi, \(\varnothing \cup (A \cap B) = A \cap B\) için Örnek 2.3 kullanıldı.

(e) \(x \in (A \setminus B) \setminus C\) olsun; yani \(x \in A \setminus B\) ve \(x \notin C\), açık yazılışıyla \(x \in A\), \(x \notin B\) ve \(x \notin C\). \(x \notin B\) ve \(x \notin C\) birlikte, De Morgan kuralıyla, \(x \notin B \cup C\) demektir. Dolayısıyla \(x \in A\) ve \(x \notin B \cup C\), yani \(x \in A \setminus (B \cup C)\). Tersine \(x \in A \setminus (B \cup C)\) olsun; yani \(x \in A\) ve \(x \notin B \cup C\). İkincisi \(x \notin B\) ve \(x \notin C\) demektir. \(x \in A\) ve \(x \notin B\) olduğundan \(x \in A \setminus B\); buna \(x \notin C\) eklenince \(x \in (A \setminus B) \setminus C\). İki kapsama eşitliği verir.

(f) (\(\Rightarrow\)) \(A \subseteq B\) olsun ve \(x \in B^c\) alalım; yani \(x \in X\) ve \(x \notin B\). \(x \in A\) olsaydı \(A \subseteq B\) gereği \(x \in B\) olurdu; bu, \(x \notin B\) ile çelişir. Öyleyse \(x \notin A\) ve \(x \in X\), yani \(x \in A^c\). Böylece \(B^c \subseteq A^c\). (\(\Leftarrow\)) \(B^c \subseteq A^c\) olsun. İspatlanan yönü \(B^c\) ve \(A^c\) kümelerine uygularsak \((A^c)^c \subseteq (B^c)^c\) elde ederiz; Önerme 2.4’in (2) maddesine göre bu, \(A \subseteq B\) demektir. Bu denklik, kapsamanın tümleyen alınca yön değiştirdiğini söyler; önceki bölümdeki ters-karşıt kuralının küme karşılığıdır: \(x \in A \Rightarrow x \in B\) gerektirmesi ile ters-karşıtı \(x \notin B \Rightarrow x \notin A\) aynı anda doğrudur.

(g) \(A \subseteq B\) olsun ve \(C \in \mathcal{P}(A)\) alalım; yani \(C \subseteq A\). Geçişlilikle \(C \subseteq A \subseteq B\), yani \(C \subseteq B\), dolayısıyla \(C \in \mathcal{P}(B)\). Böylece \(\mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(B)\). Karşıtı da doğrudur: \(\mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(B)\) olsun. \(A \in \mathcal{P}(A)\) olduğundan \(A \in \mathcal{P}(B)\), yani \(A \subseteq B\). Dolayısıyla \(A \subseteq B \iff \mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(B)\).

\(\blacksquare\)

Bu bölümde iki kümeyle yapılan işlemleri inceledik; bir sonraki bölümde aynı işlemler sonsuz çoklukta kümeden oluşan ailelere genişletiliyor ve kümelerden sıralı çiftler kurmayı öğreniyoruz: İndisli Aileler ve Kartezyen Çarpım.