3 İndisli Aileler ve Kartezyen Çarpım
Kümeler ve Küme İşlemleri bölümünde iki kümenin birleşimini, kesişimini, farkını ve tümleyenini tanımladık; bu işlemlerin temel kurallarını gördük. Ancak topolojide çoğu zaman iki değil, sonsuz tane kümeyle çalışırız: bir topolojiyi tanımlarken “açık kümelerin her birleşimi açıktır” diyeceğiz ve buradaki birleşim, kaç tane küme olduğuna bakılmaksızın alınacaktır. Bu yüzden önce “keyfi sayıda” kümenin birleşimini ve kesişimini tanımlamamız gerekir.
Bu bölümde önce indisli aile kavramını ve keyfi birleşim ile kesişimi tanımlayacağız. Sonra iki küme için bilinen De Morgan ve dağılma kurallarının keyfi ailelere nasıl genelleştiğini tam ispatlarıyla göreceğiz; tümleyenle ilgili sık kullanılan özdeşlikleri toplayacağız. Bölümün ikinci yarısında ise kartezyen çarpım \(A \times B\) kavramını tanımlayıp temel özelliklerini ispatlayacağız. Kartezyen çarpım, bir sonraki bölümde fonksiyon kavramını kurmak için gereken yapı taşıdır.
Bölüm boyunca bütün kümeler sabit bir evrensel küme \(X\)’in alt kümeleridir; \(A \subseteq X\) için tümleyen \(A^c = X \setminus A = \{x \in X : x \notin A\}\) yazımlarının ikisini de kullanacağız, ikisi aynı kümedir.
3.1 İndisli Aileler
İki kümenin birleşimi \(A \cup B\), üç kümenin birleşimi \(A \cup B \cup C\) diye yazılabilir. Ama elimizde \(A_1, A_2, A_3, \dots\) diye sonsuz tane küme varsa, hatta kümeler doğal sayılarla bile numaralanamıyorsa, birleşimi nasıl yazacağız? Çözüm, her kümeye bir “etiket” (indis) vermek ve etiketlerin kümesi üzerinden konuşmaktır.
Tanım 3.1 (İndisli Aile) \(I\) boş olmayan bir küme olsun ve her \(\alpha \in I\) için bir \(A_\alpha\) kümesi verilmiş olsun. Bu kümelerin topluluğuna \(I\) ile indislenmiş küme ailesi (indexed family of sets) ya da kısaca indisli aile denir ve
\[ \{A_\alpha\}_{\alpha \in I} \quad \text{ya da} \quad \{A_\alpha : \alpha \in I\} \]
ile gösterilir. \(I\) kümesine indis kümesi (index set), her \(\alpha \in I\) elemanına bir indis denir.
Yani indisli aile, her elemanı \(I\)’dan alınan bir etiketle adlandırılmış bir kümeler topluluğudur; etiket \(\alpha\) verildiğinde hangi kümeden söz ettiğimiz (\(A_\alpha\)) bellidir.
En sık karşılaşılan indis kümesi pozitif doğal sayılar kümesi \(\mathbb{N}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}\)’dır; bu durumda aile bir küme dizisidir: \(A_1, A_2, A_3, \dots\) Ancak indis kümesi herhangi bir küme olabilir: örneğin \(I = \mathbb{R}\) alıp her \(r \in \mathbb{R}\) için \(A_r = [r, r + 1]\) koyarsak, gerçel sayılarla indislenmiş bir aralık ailesi elde ederiz. Aileyi tek bir harfle, örneğin \(\mathcal{A} = \{A_\alpha : \alpha \in I\}\) diye göstermek de yaygındır.
Tanım 3.2 (Keyfi Birleşim ve Kesişim) \(\{A_\alpha\}_{\alpha \in I}\) bir indisli aile olsun.
(1) Ailenin birleşimi (union), \(A_\alpha\) kümelerinden en az birine ait olan bütün elemanların kümesidir:
\[ \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha = \{x : \exists \alpha \in I,\ x \in A_\alpha\}. \]
(2) Ailenin kesişimi (intersection), \(A_\alpha\) kümelerinin hepsine ait olan bütün elemanların kümesidir:
\[ \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha = \{x : \forall \alpha \in I,\ x \in A_\alpha\}. \]
Yani bir \(x\) elemanı birleşimde olmak için ailedeki kümelerden yalnızca birinde bulunmak zorundadır, kesişimde olmak içinse ailedeki her kümede bulunmak zorundadır. Bunu iki üyelik koşulu olarak akılda tutmak yararlıdır:
\[ x \in \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha \iff \text{en az bir } \alpha \in I \text{ için } x \in A_\alpha, \qquad x \in \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha \iff \text{her } \alpha \in I \text{ için } x \in A_\alpha. \]
Birleşimdeki “en az bir \(\alpha\)” koşulunu, o indise ad vererek “\(x \in A_{\alpha_0}\) olacak biçimde bir \(\alpha_0 \in I\) vardır” diye de yazarız; ispatlarda bu \(\alpha_0\)’ı seçip onunla çalışacağız.
Gösterimle ilgili birkaç uzlaşma:
- Aile \(\mathcal{A} = \{A_\alpha : \alpha \in I\}\) ile gösteriliyorsa birleşim ve kesişim kısaca \(\bigcup \mathcal{A}\) ve \(\bigcap \mathcal{A}\) diye yazılır.
- \(I = \mathbb{N}^+\) ise \(\bigcup_{n \in \mathbb{N}^+} A_n\) yerine \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\), \(\bigcap_{n \in \mathbb{N}^+} A_n\) yerine \(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\) yazılır; ikisi aynı kümedir.
- \(I = \{1, 2\}\) ise \(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha = A_1 \cup A_2\) ve \(\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha = A_1 \cap A_2\) olur; çünkü “en az bir \(\alpha \in \{1,2\}\) için \(x \in A_\alpha\)” demek “\(x \in A_1\) veya \(x \in A_2\)” demektir, “her \(\alpha \in \{1,2\}\) için \(x \in A_\alpha\)” demek de “\(x \in A_1\) ve \(x \in A_2\)” demektir. Dolayısıyla keyfi birleşim ve kesişim, önceki bölümdeki iki kümelik işlemleri gerçekten genelleştirir.
\(I = \varnothing\) olsaydı hiçbir \(\alpha\) olmayacağından “\(\exists \alpha \in I,\ x \in A_\alpha\)” koşulu hiçbir \(x\) için sağlanmaz, birleşim boş küme olurdu; “\(\forall \alpha \in I,\ x \in A_\alpha\)” koşulu ise her \(x\) için boş yere sağlanır, kesişim de bütün evrensel küme \(X\) olurdu. Bu uzlaşmalar bazı kitaplarda kullanılır; biz karışıklığı önlemek için bu bölüm boyunca \(I \neq \varnothing\) varsayacağız.
Somut bir örnekle başlayalım.
Örnek 3.1 (Aralık Aileleri) Aşağıdaki ailelerin birleşimini ve kesişimini bulalım.
(a) Her \(n \in \mathbb{N}^+\) için \(A_n = [-n, n]\).
(b) Her \(n \in \mathbb{N}^+\) için \(B_n = \left(-\tfrac{1}{n}, \tfrac{1}{n}\right)\).
Çözüm
(a) Önce \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \mathbb{R}\) olduğunu gösterelim. Her \(A_n \subseteq \mathbb{R}\) olduğundan birleşim de \(\mathbb{R}\)’nin alt kümesidir. Tersine \(x \in \mathbb{R}\) olsun. \(|x| \le n\) olacak biçimde bir \(n \in \mathbb{N}^+\) vardır; çünkü her gerçel sayıdan büyük bir pozitif doğal sayı vardır (örneğin \(n\) olarak \(|x|\)’ten büyük ilk doğal sayıyı alabiliriz). O zaman \(-n \le x \le n\), yani \(x \in A_n\); dolayısıyla \(x\) birleşimdedir. Böylece \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \mathbb{R}\).
Şimdi \(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = [-1, 1]\) olduğunu gösterelim. \(x \in [-1, 1]\) ise her \(n \ge 1\) için \(-n \le -1 \le x \le 1 \le n\), yani \(x\) her \(A_n\)’dedir; bu yüzden \(x\) kesişimdedir. Tersine \(x\) kesişimde ise özel olarak \(x \in A_1 = [-1, 1]\)’dir. Böylece kesişim tam olarak \([-1, 1]\)’dir.
(b) \(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n = (-1, 1)\): Her \(n \ge 1\) için \(\tfrac{1}{n} \le 1\) olduğundan \(B_n \subseteq B_1 = (-1, 1)\), yani birleşim \((-1, 1)\)’in içindedir; öte yandan \(B_1\) birleşimin bir parçasıdır, bu yüzden \((-1, 1)\) birleşimin içindedir. İki kapsama birlikte eşitliği verir.
\(\bigcap_{n=1}^{\infty} B_n = \{0\}\): \(0\) her \(B_n\)’de olduğundan \(\{0\}\) kesişimin içindedir. Tersine \(x \neq 0\) olsun. \(\tfrac{1}{n} \le |x|\) olacak biçimde bir \(n \in \mathbb{N}^+\) vardır (çünkü \(\tfrac{1}{|x|}\)’ten büyük bir doğal sayı vardır). O zaman \(x \notin \left(-\tfrac{1}{n}, \tfrac{1}{n}\right) = B_n\), yani \(x\) kesişimde değildir. Böylece kesişimde \(0\)’dan başka eleman yoktur.
\(\blacksquare\)
Bu örnek önemli bir noktayı gösterir: sonsuz tane açık aralığın kesişimi \(\{0\}\) gibi bir tek nokta olabilir. Topolojide “sonlu kesişim” ile “keyfi kesişim” arasındaki ayrımın kaynağı budur.
Birleşimde ve kesişimde olmama
De Morgan kurallarını ispatlamak için, bir elemanın birleşimde ya da kesişimde olmamasının ne anlama geldiğini açıkça yazmalıyız. Bu, Önermeler Mantığı ve Niceleyiciler bölümünde gördüğümüz niceleyici olumsuzlama kurallarının doğrudan bir uygulamasıdır: “vardır”ın olumsuzu “hiçbiri için değil (her biri için değil)”, “her”in olumsuzu “en az biri için değil”dir.
Lemma 3.1 (Birleşimde ve Kesişimde Olmama) \(\{A_\alpha\}_{\alpha \in I}\) bir indisli aile olsun. Her \(x\) için:
(1) \(x \notin \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha \iff\) her \(\alpha \in I\) için \(x \notin A_\alpha\).
(2) \(x \notin \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha \iff\) en az bir \(\alpha \in I\) için \(x \notin A_\alpha\).
İspat
(1) Tanım gereği \(x \in \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\) önermesi “\(\exists \alpha \in I,\ x \in A_\alpha\)” önermesiyle aynıdır. Bu yüzden \(x \notin \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\) önermesi onun olumsuzudur:
\[ \neg\bigl(\exists \alpha \in I,\ x \in A_\alpha\bigr). \]
Bir “vardır” önermesinin olumsuzu, iç önermenin olumsuzunun her indis için doğru olmasıdır: \(\neg(\exists \alpha,\ p(\alpha)) \iff \forall \alpha,\ \neg p(\alpha)\). Burada \(\neg(x \in A_\alpha)\) tam olarak \(x \notin A_\alpha\) demektir. Dolayısıyla
\[ x \notin \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha \iff \forall \alpha \in I,\ x \notin A_\alpha . \]
(2) Aynı biçimde \(x \in \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha\) önermesi “\(\forall \alpha \in I,\ x \in A_\alpha\)” ile aynıdır; olumsuzu \(\neg(\forall \alpha \in I,\ x \in A_\alpha)\)’dır. Bir “her” önermesinin olumsuzu, iç önermenin en az bir indis için yanlış olmasıdır: \(\neg(\forall \alpha,\ p(\alpha)) \iff \exists \alpha,\ \neg p(\alpha)\). Böylece
\[ x \notin \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha \iff \exists \alpha \in I,\ x \notin A_\alpha . \]
\(\blacksquare\)
Yani birleşimin dışında kalmak için hiçbir \(A_\alpha\)’da olmamak gerekir; kesişimin dışında kalmak içinse tek bir \(A_\alpha\)’nın dışında olmak yeter.
3.2 Genel De Morgan Kuralları
İki küme için \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\) ve \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\) olduğunu biliyoruz. Topolojide kapalı kümeleri açık kümelerin tümleyenleri olarak tanımlayacağız; “keyfi birleşimin tümleyeni” ile “keyfi kesişimin tümleyeni”ni birbirine bağlayan aşağıdaki kurallar, açık kümelerin özelliklerini kapalı kümelere aktarmamızı sağlayacak. Bu yüzden bu teorem kitabın en çok kullanılan araçlarından biridir.
Teorem 3.1 (Genel De Morgan Kuralları) \(X\) bir küme, \(\{A_\alpha\}_{\alpha \in I}\) de \(X\)’in alt kümelerinden oluşan bir indisli aile olsun (her \(\alpha \in I\) için \(A_\alpha \subseteq X\)). O zaman
(1) \(\displaystyle X \setminus \Bigl(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\Bigr) = \bigcap_{\alpha \in I} (X \setminus A_\alpha)\), yani \(\displaystyle \Bigl(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\Bigr)^c = \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^c\);
(2) \(\displaystyle X \setminus \Bigl(\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha\Bigr) = \bigcup_{\alpha \in I} (X \setminus A_\alpha)\), yani \(\displaystyle \Bigl(\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha\Bigr)^c = \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha^c\).
İspat
İki kümenin eşit olduğunu göstermek için, bir \(x\) elemanının birinde olmasının ötekinde olmasıyla denk olduğunu gösteririz.
(1) \(x\) herhangi bir eleman olsun. Fark kümesinin tanımına göre
\[ x \in X \setminus \Bigl(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\Bigr) \iff x \in X \ \text{ ve } \ x \notin \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha . \]
Lemma 3.1’nın (1) maddesine göre \(x \notin \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\) koşulu “her \(\alpha \in I\) için \(x \notin A_\alpha\)” ile denktir. Böylece sağ taraf
\[ x \in X \ \text{ ve } \ \bigl(\forall \alpha \in I,\ x \notin A_\alpha\bigr) \]
olur. “\(x \in X\)” koşulu \(\alpha\)’ya bağlı değildir ve \(I \neq \varnothing\)’dir; bu yüzden bu koşulu niceleyicinin içine alabiliriz: yukarıdaki önerme
\[ \forall \alpha \in I,\ \bigl(x \in X \ \text{ ve } \ x \notin A_\alpha\bigr) \]
ile denktir. (Gerçekten, \(x \in X\) doğruysa iki önerme de “\(\forall \alpha,\ x \notin A_\alpha\)”ya indirgenir; \(x \in X\) yanlışsa ilki yanlıştır, ikincisi de \(I\)’da en az bir indis olduğundan yanlıştır.) Fark kümesinin tanımına göre “\(x \in X\) ve \(x \notin A_\alpha\)” demek \(x \in X \setminus A_\alpha\) demektir. Dolayısıyla son önerme “her \(\alpha \in I\) için \(x \in X \setminus A_\alpha\)” olur; bu da kesişimin tanımı gereği \(x \in \bigcap_{\alpha \in I} (X \setminus A_\alpha)\) demektir. Zincirdeki her adım bir denklik olduğundan
\[ x \in X \setminus \Bigl(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\Bigr) \iff x \in \bigcap_{\alpha \in I} (X \setminus A_\alpha) \]
ve iki küme eşittir.
(2) Yine \(x\) herhangi bir eleman olsun. Fark kümesinin tanımına göre
\[ x \in X \setminus \Bigl(\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha\Bigr) \iff x \in X \ \text{ ve } \ x \notin \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha . \]
Lemma 3.1’nın (2) maddesine göre \(x \notin \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha\) koşulu “en az bir \(\alpha \in I\) için \(x \notin A_\alpha\)” ile denktir. Böylece sağ taraf
\[ x \in X \ \text{ ve } \ \bigl(\exists \alpha \in I,\ x \notin A_\alpha\bigr) \]
olur. “\(x \in X\)” koşulu \(\alpha\)’ya bağlı olmadığından bu önerme
\[ \exists \alpha \in I,\ \bigl(x \in X \ \text{ ve } \ x \notin A_\alpha\bigr) \]
ile denktir. (Gerçekten, \(x \in X\) doğruysa iki önerme de “\(\exists \alpha,\ x \notin A_\alpha\)”ya indirgenir; \(x \in X\) yanlışsa ikisi de yanlıştır.) “\(x \in X\) ve \(x \notin A_\alpha\)” demek \(x \in X \setminus A_\alpha\) demektir; bu yüzden son önerme “en az bir \(\alpha \in I\) için \(x \in X \setminus A_\alpha\)” olur, bu da birleşimin tanımı gereği \(x \in \bigcup_{\alpha \in I} (X \setminus A_\alpha)\) demektir. Her adım denklik olduğundan iki küme eşittir.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: tümleyen almak “değil” eklemektir, “değil” ise “vardır” ile “her”i birbirine çevirir; birleşim “vardır”, kesişim “her” demek olduğundan tümleyen ikisini yer değiştirir.
Genel kural elimizdeyken iki kümelik De Morgan kuralları özel bir durum olarak çıkar.
Sonuç 3.1 (İki Küme İçin De Morgan Kuralları) \(A, B \subseteq X\) olsun. O zaman
\[ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \qquad \text{ve} \qquad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c . \]
İspat
\(I = \{1, 2\}\), \(A_1 = A\) ve \(A_2 = B\) alalım. Yukarıda gördüğümüz gibi \(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha = A_1 \cup A_2 = A \cup B\) ve \(\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^c = A_1^c \cap A_2^c = A^c \cap B^c\)’dir. Teorem 3.1’ın (1) maddesi bu aile için
\[ (A \cup B)^c = \Bigl(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\Bigr)^c = \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^c = A^c \cap B^c \]
verir. Aynı aile için Teorem 3.1’ın (2) maddesi
\[ (A \cap B)^c = \Bigl(\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha\Bigr)^c = \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha^c = A^c \cup B^c \]
verir.
\(\blacksquare\)
3.3 Genel Dağılma Kuralları
İki küme için \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\) ve \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\) dağılma kurallarını biliyoruz. Kesişimin keyfi birleşim üzerine, birleşimin de keyfi kesişim üzerine dağıldığını görmek, ileride örneğin alt uzay topolojisinin gerçekten topoloji olduğunu ispatlarken gerekecek.
Teorem 3.2 (Genel Dağılma Kuralları) \(B\) bir küme, \(\{A_\alpha\}_{\alpha \in I}\) bir indisli aile olsun. O zaman
(1) \(\displaystyle B \cap \Bigl(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\Bigr) = \bigcup_{\alpha \in I} (B \cap A_\alpha)\);
(2) \(\displaystyle B \cup \Bigl(\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha\Bigr) = \bigcap_{\alpha \in I} (B \cup A_\alpha)\).
İspat
(1) \(x\) herhangi bir eleman olsun. Kesişimin ve keyfi birleşimin tanımlarına göre
\[ x \in B \cap \Bigl(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\Bigr) \iff x \in B \ \text{ ve } \ \bigl(\exists \alpha \in I,\ x \in A_\alpha\bigr). \]
“\(x \in B\)” koşulu \(\alpha\)’ya bağlı olmadığından bu önerme “\(\exists \alpha \in I,\ (x \in B \text{ ve } x \in A_\alpha)\)” ile denktir: \(x \in B\) yanlışsa iki önerme de yanlıştır; \(x \in B\) doğruysa ikisi de “\(\exists \alpha \in I,\ x \in A_\alpha\)”ya indirgenir. “\(x \in B\) ve \(x \in A_\alpha\)” ise \(x \in B \cap A_\alpha\) demektir. Böylece son önerme “en az bir \(\alpha \in I\) için \(x \in B \cap A_\alpha\)”, yani \(x \in \bigcup_{\alpha \in I} (B \cap A_\alpha)\) olur. Her adım denklik olduğundan iki küme eşittir.
(2) \(x\) herhangi bir eleman olsun. Birleşimin ve keyfi kesişimin tanımlarına göre
\[ x \in B \cup \Bigl(\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha\Bigr) \iff x \in B \ \text{ veya } \ \bigl(\forall \alpha \in I,\ x \in A_\alpha\bigr). \]
Bu önerme “\(\forall \alpha \in I,\ (x \in B \text{ veya } x \in A_\alpha)\)” ile denktir: \(x \in B\) doğruysa her iki önerme de doğrudur (ikincisinde her \(\alpha\) için “veya”nın ilk parçası sağlanır); \(x \in B\) yanlışsa ikisi de “\(\forall \alpha \in I,\ x \in A_\alpha\)”ya indirgenir. “\(x \in B\) veya \(x \in A_\alpha\)” ise \(x \in B \cup A_\alpha\) demektir. Böylece son önerme “her \(\alpha \in I\) için \(x \in B \cup A_\alpha\)”, yani \(x \in \bigcap_{\alpha \in I} (B \cup A_\alpha)\) olur. Her adım denklik olduğundan iki küme eşittir.
\(\blacksquare\)
\(I = \{1, 2\}\) alındığında (1) maddesi \(B \cap (A_1 \cup A_2) = (B \cap A_1) \cup (B \cap A_2)\), (2) maddesi \(B \cup (A_1 \cap A_2) = (B \cup A_1) \cap (B \cup A_2)\) olur; yani iki kümelik dağılma kuralları bu teoremin özel halidir. Aşağıda dağılma kuralını kullandığımız her yerde bu özel hali kastedeceğiz.
3.4 Kapsama, Birleşim ve Kesişim
Bir kümenin bir kesişimin içinde kalması ya da bir birleşimi içermesi, ailedeki her kümeyle ayrı ayrı karşılaştırmaya indirgenebilir. Bu basit gözlem, ileride “bir kümeyi içeren en küçük kapalı küme” gibi ifadelerle çalışırken sürekli kullanılacak.
Teorem 3.3 (Kapsama ile Birleşim ve Kesişim) \(X\) bir küme, \(A, B, C \subseteq X\) ve \(\{A_\alpha\}_{\alpha \in I}\), \(\{C_\alpha\}_{\alpha \in I}\) de \(X\)’in alt kümelerinden oluşan indisli aileler olsun.
(1) \(A \subseteq B \cap C \iff A \subseteq B\) ve \(A \subseteq C\).
(2) \(\displaystyle B \subseteq \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha \iff\) her \(\alpha \in I\) için \(B \subseteq A_\alpha\).
(3) \(\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I} C_\alpha \subseteq A \iff\) her \(\alpha \in I\) için \(C_\alpha \subseteq A\).
Özel olarak \(I = \mathbb{N}^+\) için \(B \subseteq \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\) olması her \(n\) için \(B \subseteq A_n\) olmasıyla, \(\bigcup_{n=1}^{\infty} C_n \subseteq A\) olması her \(n\) için \(C_n \subseteq A\) olmasıyla denktir.
İspat
(1) (\(\Rightarrow\)) \(A \subseteq B \cap C\) olsun. Kesişimdeki her eleman hem \(B\)’de hem \(C\)’de olduğundan \(B \cap C \subseteq B\) ve \(B \cap C \subseteq C\)’dir. Kapsama geçişli olduğundan \(A \subseteq B \cap C \subseteq B\) ve \(A \subseteq B \cap C \subseteq C\), yani \(A \subseteq B\) ve \(A \subseteq C\).
(\(\Leftarrow\)) \(A \subseteq B\) ve \(A \subseteq C\) olsun. \(x \in A\) alalım. İlk kapsamadan \(x \in B\), ikincisinden \(x \in C\); dolayısıyla \(x \in B \cap C\). \(x\) keyfi olduğundan \(A \subseteq B \cap C\).
(2) (\(\Rightarrow\)) \(B \subseteq \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha\) olsun ve bir \(\alpha \in I\) sabitleyelim. \(x \in B\) alalım. Varsayıma göre \(x \in \bigcap_{\beta \in I} A_\beta\)’dir, yani \(x\) her \(A_\beta\)’dadır; özel olarak \(x \in A_\alpha\). \(x\) keyfi olduğundan \(B \subseteq A_\alpha\). \(\alpha\) da keyfi olduğundan bu her indis için doğrudur.
(\(\Leftarrow\)) Her \(\alpha \in I\) için \(B \subseteq A_\alpha\) olsun. \(x \in B\) alalım. Her \(\alpha \in I\) için \(B \subseteq A_\alpha\) olduğundan \(x \in A_\alpha\)’dır; yani \(x\) ailedeki her kümededir, kesişimin tanımı gereği \(x \in \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha\). Böylece \(B \subseteq \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha\).
(3) (\(\Rightarrow\)) \(\bigcup_{\alpha \in I} C_\alpha \subseteq A\) olsun ve bir \(\alpha \in I\) sabitleyelim. \(x \in C_\alpha\) alalım. \(x\) ailedeki kümelerden birine ait olduğundan birleşimin tanımı gereği \(x \in \bigcup_{\beta \in I} C_\beta\), varsayımdan da \(x \in A\). Böylece \(C_\alpha \subseteq A\); \(\alpha\) keyfi olduğundan bu her indis için doğrudur.
(\(\Leftarrow\)) Her \(\alpha \in I\) için \(C_\alpha \subseteq A\) olsun. \(x \in \bigcup_{\alpha \in I} C_\alpha\) alalım. Birleşimin tanımı gereği \(x \in C_{\alpha_0}\) olacak biçimde bir \(\alpha_0 \in I\) vardır. Varsayımdan \(C_{\alpha_0} \subseteq A\), dolayısıyla \(x \in A\). Böylece \(\bigcup_{\alpha \in I} C_\alpha \subseteq A\).
\(\blacksquare\)
Yani \(\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha\), bütün \(A_\alpha\)’ların içinde kalan en büyük kümedir; \(\bigcup_{\alpha \in I} C_\alpha\) ise bütün \(C_\alpha\)’ları içeren en küçük kümedir. Bu bakış açısı, “kapanış, \(A\)’yı içeren en küçük kapalı kümedir” gibi ifadeleri anlamayı kolaylaştırır.
3.5 Tümleyenle İlgili Özdeşlikler
Aşağıdaki özdeşlikler, bir kümeyi başka bir kümeye göre parçalara ayırmamıza ve “ayrık olma” ile “kapsama” arasında geçiş yapmamıza yarar. Hepsi ileride, özellikle kapalı kümelerle ve ayırma aksiyomlarıyla çalışırken düşünmeden kullanılacak kadar temeldir; bu yüzden her birini dikkatle ispatlıyoruz.
Önerme 3.1 (Tümleyen Özdeşlikleri) \(A, B \subseteq X\) olsun. O zaman
(1) \(A \cup A^c = X\) ve \(A \cap A^c = \varnothing\);
(2) \(A = (A \setminus B) \cup (A \cap B)\);
(3) \(A \cup B = (A \setminus B) \cup B\) ve \(A \cup B = (B \setminus A) \cup A\);
(4) \(A \cap B = \varnothing \iff A \subseteq B^c \iff B \subseteq A^c\);
(5) \(A \cup B = X \iff A^c \subseteq B \iff B^c \subseteq A\).
İspat
İspat boyunca fark ile tümleyen arasındaki şu bağı kullanacağız: \(A \setminus B = A \cap B^c\). Gerçekten, \(x \in A \setminus B\) demek “\(x \in A\) ve \(x \notin B\)” demektir; \(A \subseteq X\) olduğundan \(x \in X\)’tir ve “\(x \in X\) ve \(x \notin B\)” tam olarak \(x \in B^c\) demektir; yani koşul “\(x \in A\) ve \(x \in B^c\)”, başka deyişle \(x \in A \cap B^c\) ile denktir. Ayrıca \((B^c)^c = B\) eşitliğini kullanacağız: \(x \in (B^c)^c\) demek “\(x \in X\) ve \(x \notin B^c\)” demektir. \(x \in X\) iken \(x \in B^c\) olması \(x \notin B\) olmasıyla denktir; bu yüzden \(x \in X\) iken \(x \notin B^c\) olması \(x \in B\) olmasıyla denktir. Öte yandan \(x \in B\) ise \(B \subseteq X\) olduğundan \(x \in X\) de sağlanır. Böylece \(x \in (B^c)^c \iff x \in B\), yani \((B^c)^c = B\).
(1) Önce \(A \cup A^c = X\). \(A \subseteq X\) ve \(A^c \subseteq X\) olduğundan \(A \cup A^c \subseteq X\)’tir. Tersine \(x \in X\) olsun. Ya \(x \in A\)’dır ya da \(x \notin A\)’dır. İlk durumda \(x \in A \cup A^c\). İkinci durumda “\(x \in X\) ve \(x \notin A\)” sağlandığından tümleyenin tanımı gereği \(x \in A^c\), dolayısıyla yine \(x \in A \cup A^c\). Böylece \(X \subseteq A \cup A^c\) ve eşitlik sağlanır.
Şimdi \(A \cap A^c = \varnothing\). Bir \(x \in A \cap A^c\) olsaydı hem \(x \in A\) hem de (\(x \in A^c\) olduğundan) \(x \notin A\) olurdu; bir önerme ile olumsuzu aynı anda doğru olamaz. Bu yüzden \(A \cap A^c\) kümesinin hiç elemanı yoktur, yani \(A \cap A^c = \varnothing\).
(2) \(A \subseteq X\) olduğundan \(A = A \cap X\)’tir. (1) maddesine göre \(X = B \cup B^c\)’dir. Dağılma kuralına (Teorem 3.2, \(I = \{1,2\}\)) göre
\[ A = A \cap X = A \cap (B \cup B^c) = (A \cap B) \cup (A \cap B^c). \]
Son olarak \(A \cap B^c = A \setminus B\) olduğundan \(A = (A \cap B) \cup (A \setminus B) = (A \setminus B) \cup (A \cap B)\).
(3) (2) maddesini \(A\) için kullanırsak
\[ A \cup B = \bigl((A \setminus B) \cup (A \cap B)\bigr) \cup B = (A \setminus B) \cup \bigl((A \cap B) \cup B\bigr), \]
burada ikinci eşitlik birleşimin birleşme özelliğinden gelir. \(A \cap B \subseteq B\) olduğundan \((A \cap B) \cup B = B\)’dir: \(B\)’nin bir alt kümesini \(B\)’ye eklemek \(B\)’yi değiştirmez. Böylece \(A \cup B = (A \setminus B) \cup B\). İkinci eşitlik için \(A\) ile \(B\)’nin rollerini değiştirelim: az önce ispatlanan eşitlik \(B \cup A = (B \setminus A) \cup A\) verir; \(A \cup B = B \cup A\) olduğundan \(A \cup B = (B \setminus A) \cup A\).
(4) Önce \(A \cap B = \varnothing \iff A \subseteq B^c\) olduğunu gösterelim.
(\(\Rightarrow\)) \(A \cap B = \varnothing\) olsun ve \(x \in A\) alalım. \(x \notin B^c\) olduğunu varsayalım. \(x \in X\) olduğundan (çünkü \(A \subseteq X\)) \(x \notin B^c\) olması \(x \in B\) demektir. O zaman \(x \in A\) ve \(x \in B\), yani \(x \in A \cap B = \varnothing\); bu bir çelişkidir, çünkü boş kümenin elemanı yoktur. Dolayısıyla \(x \in B^c\). \(x\) keyfi olduğundan \(A \subseteq B^c\).
(\(\Leftarrow\)) \(A \subseteq B^c\) olsun. \(A \cap B \neq \varnothing\) olduğunu varsayalım ve bir \(x \in A \cap B\) alalım. \(x \in A \subseteq B^c\) olduğundan \(x \in B^c\), yani \(x \notin B\); ama \(x \in A \cap B\) olduğundan \(x \in B\). Bu bir çelişkidir. Dolayısıyla \(A \cap B = \varnothing\).
Şimdi \(A \cap B = \varnothing \iff B \subseteq A^c\). \(A \cap B = B \cap A\) olduğundan \(A \cap B = \varnothing\) koşulu \(B \cap A = \varnothing\) koşuluyla aynıdır. Az önce ispatlanan denkliği \(A\) ile \(B\)’nin rolleri değişmiş olarak uygularsak \(B \cap A = \varnothing \iff B \subseteq A^c\) elde ederiz. Üç koşul da birbirine denktir.
(5) Önce \(A \cup B = X \iff A^c \subseteq B\). \(C \subseteq X\) olan bir küme için \(C = X \iff C^c = \varnothing\) olduğunu gözleyelim: \(C^c = X \setminus C\) kümesinin boş olması, \(X\)’in her elemanının \(C\)’de olması, yani \(X \subseteq C\) demektir; \(C \subseteq X\) zaten sağlandığından bu \(C = X\) ile denktir. Bunu \(C = A \cup B\) için kullanalım ve Sonuç 3.1’yi uygulayalım:
\[ A \cup B = X \iff (A \cup B)^c = \varnothing \iff A^c \cap B^c = \varnothing . \]
Şimdi (4) maddesini \(A^c\) ve \(B^c\) kümelerine uygulayalım: \(A^c \cap B^c = \varnothing \iff A^c \subseteq (B^c)^c\). \((B^c)^c = B\) olduğundan \(A^c \cap B^c = \varnothing \iff A^c \subseteq B\). Denklikleri birleştirince \(A \cup B = X \iff A^c \subseteq B\).
\(B^c \subseteq A\) için \(A \cup B = B \cup A\) olduğundan \(A \cup B = X\) koşulu \(B \cup A = X\) ile aynıdır; az önce ispatlanan denklik roller değişmiş olarak \(B \cup A = X \iff B^c \subseteq A\) verir. Üç koşul da denktir.
\(\blacksquare\)
Burada (2) maddesi bir kümeyi “\(B\)’nin dışında kalan kısmı” ile “\(B\)’nin içinde kalan kısmı”na ayırır; (4) maddesi “iki küme ayrıktır” demenin “biri ötekinin tümleyeninin içindedir” demekle aynı şey olduğunu söyler; (5) ise (4)’ün tümleyen alınmış hâlidir.
3.6 Kartezyen Çarpım
Kartezyen çarpım, küme kuramının en önemli yapılarından biridir: düzlemi \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) olarak kurmamızı, bağıntıları ve fonksiyonları küme olarak tanımlamamızı, ileride de iki topolojik uzaydan çarpım uzayı üretmemizi sağlar. Önce yapı taşını, sıralı ikiliyi tanımlayalım.
Tanım 3.3 (Sıralı İkili) \(a\) ve \(b\) herhangi iki nesne olsun. Birinci bileşeni \(a\), ikinci bileşeni \(b\) olan sıralı ikili (ordered pair) \((a, b)\) ile gösterilir ve şu kuralla belirlenir:
\[ (a, b) = (c, d) \iff a = c \ \text{ ve } \ b = d . \]
Yani sıralı ikilide bileşenlerin sırası önemlidir: \(a \neq b\) ise \((a, b) \neq (b, a)\)’dır, oysa küme olarak \(\{a, b\} = \{b, a\}\)’dır. Ayrıca \((a, a)\) geçerli bir sıralı ikilidir; iki bileşenin farklı olması gerekmez.
Tanım 3.4 (Kartezyen Çarpım) \(A\) ve \(B\) (birbirinden farklı ya da değil) iki küme olsun. \(A\) ile \(B\)’nin kartezyen çarpımı (Cartesian product) \(A \times B\), birinci bileşeni \(A\)’dan, ikinci bileşeni \(B\)’den alınan bütün sıralı ikililerin kümesidir:
\[ A \times B = \{(a, b) : a \in A \ \text{ ve } \ b \in B\}. \]
Yani \(A \times B\)’nin bir elemanı, \(A\)’dan bir eleman ile \(B\)’den bir elemanın sırayla yan yana konmasıyla elde edilir. Üyelik koşulu şudur: \((x, y) \in A \times B \iff x \in A\) ve \(y \in B\).
Örnek 3.2 (Kartezyen Çarpım Örnekleri) (a) \(A = \{1, 2\}\) ve \(B = \{3, 4, 5\}\) olsun. \(A \times B\) ve \(B \times A\) kümelerini yazalım.
(b) \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) kümesi nedir?
(c) \([1, 3] \times [0, 2]\) kümesi düzlemde neye karşılık gelir?
Çözüm
(a) Birinci bileşen için 2, ikinci bileşen için 3 seçenek vardır; her seçim bir sıralı ikili verir:
\[ A \times B = \{(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)\}. \]
Rolleri değiştirince
\[ B \times A = \{(3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (5,1), (5,2)\}. \]
Bu iki küme farklıdır: örneğin \((1,3) \in A \times B\) ama \((1,3) \notin B \times A\), çünkü \(1 \notin B\). Her iki kümenin de \(2 \cdot 3 = 6\) elemanı vardır; genel olarak \(A\)’nın \(m\), \(B\)’nin \(n\) elemanı varsa \(A \times B\)’nin \(mn\) elemanı vardır.
(b) \(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \{(x, y) : x \in \mathbb{R},\ y \in \mathbb{R}\}\), bütün gerçel sayı ikililerinin kümesidir; bu küme \(\mathbb{R}^2\) ile gösterilir ve koordinat düzlemi olarak düşünülür. \((x, y)\) ikilisi, apsisi \(x\) ordinatı \(y\) olan noktadır.
(c) \((x, y) \in [1, 3] \times [0, 2]\) olması \(1 \le x \le 3\) ve \(0 \le y \le 2\) demektir. Bu koşulu sağlayan noktalar, düzlemde köşeleri \((1, 0)\), \((3, 0)\), \((3, 2)\) ve \((1, 2)\) olan dolu dikdörtgeni oluşturur. Genel olarak iki aralığın kartezyen çarpımı düzlemde bir dikdörtgendir.
\(\blacksquare\)
Boş çarpım
Kartezyen çarpımın ne zaman boş olduğunu bilmek, ileride çarpım uzayında “boş olmayan açık küme” ararken gerekecek. Cevap beklendiği gibidir: çarpanlardan biri boşsa çarpım boştur, ikisi de boş değilse çarpım da boş değildir.
Önerme 3.2 (Boş Çarpım) \(A\) ve \(B\) iki küme olsun. O zaman
\[ A \times B = \varnothing \iff A = \varnothing \ \text{ veya } \ B = \varnothing . \]
İspat
İki önermenin denk olması, olumsuzlarının denk olmasıyla aynı şeydir: \(p \Leftrightarrow q\) ile \(\neg p \Leftrightarrow \neg q\) birlikte doğru ya da birlikte yanlıştır. Bu yüzden iddiayı olumsuz biçimde ispatlayacağız. Sol tarafın olumsuzu \(A \times B \neq \varnothing\)’dır. Sağ tarafın olumsuzu ise, önermeler için De Morgan kuralına (\(\neg(q \vee r) \Leftrightarrow \neg q \wedge \neg r\)) göre “\(A \neq \varnothing\) ve \(B \neq \varnothing\)”dır. Göstereceğimiz denklik:
\[ A \times B \neq \varnothing \iff A \neq \varnothing \ \text{ ve } \ B \neq \varnothing . \]
(\(\Rightarrow\)) \(A \times B \neq \varnothing\) olsun. O zaman \(A \times B\)’nin en az bir elemanı vardır; bu eleman bir sıralı ikilidir, ona \((a, b)\) diyelim. Kartezyen çarpımın tanımına göre \(a \in A\) ve \(b \in B\)’dir. \(A\)’nın bir elemanı olduğundan \(A \neq \varnothing\), \(B\)’nin bir elemanı olduğundan \(B \neq \varnothing\).
(\(\Leftarrow\)) \(A \neq \varnothing\) ve \(B \neq \varnothing\) olsun. O zaman bir \(a \in A\) ve bir \(b \in B\) seçebiliriz. Tanım gereği \((a, b) \in A \times B\)’dir; böylece \(A \times B\)’nin bir elemanı vardır, yani \(A \times B \neq \varnothing\).
İki yön birlikte olumsuz önermelerin denkliğini, dolayısıyla iddiayı verir.
\(\blacksquare\)
Çarpım ve kapsama
Bir çarpımın başka bir çarpımın içinde olması, bileşenlerin ayrı ayrı içinde olmasına indirgenebilir; ancak bunun için küçük çarpımın boş olmaması gerekir.
Önerme 3.3 (Çarpımların Kapsaması) \(A, B, C, D\) kümeler ve \(C \times D \neq \varnothing\) olsun. O zaman
\[ C \times D \subseteq A \times B \iff C \subseteq A \ \text{ ve } \ D \subseteq B . \]
İspat
(\(\Leftarrow\)) \(C \subseteq A\) ve \(D \subseteq B\) olsun. \((c, d) \in C \times D\) alalım; tanım gereği \(c \in C\) ve \(d \in D\)’dir. Kapsamalardan \(c \in A\) ve \(d \in B\), dolayısıyla \((c, d) \in A \times B\). Böylece \(C \times D \subseteq A \times B\). (Bu yön için \(C \times D \neq \varnothing\) varsayımına gerek yoktur.)
(\(\Rightarrow\)) \(C \times D \subseteq A \times B\) olsun. \(C \times D \neq \varnothing\) olduğundan Önerme 3.2’e göre \(C \neq \varnothing\) ve \(D \neq \varnothing\)’dır. Bir \(d_0 \in D\) seçip sabitleyelim. Şimdi herhangi bir \(c \in C\) alalım. \((c, d_0) \in C \times D\)’dir, varsayımdan \((c, d_0) \in A \times B\); tanım gereği \(c \in A\). \(c\) keyfi olduğundan \(C \subseteq A\). Benzer biçimde bir \(c_0 \in C\) seçip sabitleyelim ve herhangi bir \(d \in D\) alalım. \((c_0, d) \in C \times D \subseteq A \times B\) olduğundan \(d \in B\); \(d\) keyfi olduğundan \(D \subseteq B\).
\(\blacksquare\)
\(C = \varnothing\), \(D = \{1\}\) ve \(A = B = \varnothing\) alalım. Önerme 3.2’e göre \(C \times D = \varnothing\) ve \(A \times B = \varnothing\); boş küme her kümenin alt kümesi olduğundan \(C \times D \subseteq A \times B\) sağlanır. Ama \(D \subseteq B\) yanlıştır, çünkü \(1 \in D\) ve \(1 \notin B\). Demek ki \(C \times D = \varnothing\) iken \(C \times D \subseteq A \times B\) kapsaması bileşenler hakkında hiçbir şey söylemez.
Kartezyen çarpım değişmeli değildir; Örnek 3.2’de \(A \times B \neq B \times A\) olduğunu gördük. Çarpımın sırasının önemsiz olduğu tek durum iki çarpanın aynı olmasıdır.
Önerme 3.4 (Çarpımın Sırası) \(A\) ve \(B\) boş olmayan iki küme olsun. O zaman
\[ A \times B = B \times A \iff A = B . \]
İspat
(\(\Leftarrow\)) \(A = B\) ise \(A \times B\) ile \(B \times A\) aynı iki kümenin aynı sırayla çarpımıdır, dolayısıyla eşittirler.
(\(\Rightarrow\)) \(A \times B = B \times A\) olsun. \(A \neq \varnothing\) ve \(B \neq \varnothing\) olduğundan Önerme 3.2’e göre \(A \times B \neq \varnothing\)’dır. Eşitlik özel olarak \(A \times B \subseteq B \times A\) kapsamasını verir; sol taraf boş olmadığından Önerme 3.3’yı (\(C = A\), \(D = B\) ile) uygulayabiliriz: \(A \subseteq B\) ve \(B \subseteq A\). İki kapsama birlikte \(A = B\) verir.
\(\blacksquare\)
Boş olmama varsayımı burada da gereklidir: \(A = \varnothing\) ve \(B = \{1\}\) için \(A \times B = \varnothing = B \times A\) olduğu hâlde \(A \neq B\)’dir.
Çarpımın birleşim, kesişim ve farkla ilişkisi
Çarpım işlemi, ikinci çarpandaki birleşim, kesişim ve fark işlemleri üzerine dağılır. Bu kurallar ileride çarpım topolojisinde açık kümeleri “dikdörtgenlerin birleşimi” olarak yazarken gerekecek.
Teorem 3.4 (Çarpımın Dağılma Kuralları) \(A, B, C\) kümeler olsun. O zaman
(1) \(A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)\);
(2) \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\);
(3) \(A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C)\).
İspat
Her üç eşitlikte de iki taraf sıralı ikililerden oluşan kümelerdir; bu yüzden keyfi bir \((x, y)\) sıralı ikilisi için üyelik koşullarının denk olduğunu göstereceğiz.
(1) Kartezyen çarpımın ve birleşimin tanımlarına göre
\[ (x, y) \in A \times (B \cup C) \iff x \in A \ \text{ ve } \ (y \in B \ \text{ veya } \ y \in C). \]
Önermelerde “ve”nin “veya” üzerine dağılma kuralına (\(p \wedge (q \vee r) \Leftrightarrow (p \wedge q) \vee (p \wedge r)\)) göre sağ taraf
\[ (x \in A \ \text{ ve } \ y \in B) \ \text{ veya } \ (x \in A \ \text{ ve } \ y \in C) \]
ile denktir. İlk parantez \((x, y) \in A \times B\), ikincisi \((x, y) \in A \times C\) demektir; ikisinin “veya” ile bağlanması da \((x, y) \in (A \times B) \cup (A \times C)\) demektir. Her adım denklik olduğundan iki küme eşittir.
(2) Kartezyen çarpımın ve kesişimin tanımlarına göre
\[ (x, y) \in A \times (B \cap C) \iff x \in A \ \text{ ve } \ y \in B \ \text{ ve } \ y \in C . \]
Öte yandan
\[ (x, y) \in (A \times B) \cap (A \times C) \iff (x \in A \ \text{ ve } \ y \in B) \ \text{ ve } \ (x \in A \ \text{ ve } \ y \in C). \]
“Ve” bağlacı birleşmeli ve değişmelidir, bir önermeyi kendisiyle “ve” ile bağlamak da onu değiştirmez (\(p \wedge p \Leftrightarrow p\)); bu yüzden sağdaki koşul “\(x \in A\) ve \(y \in B\) ve \(y \in C\)” ile denktir. İki üyelik koşulu aynı olduğundan kümeler eşittir.
(3) Kartezyen çarpımın ve farkın tanımlarına göre
\[ (x, y) \in A \times (B \setminus C) \iff x \in A \ \text{ ve } \ y \in B \ \text{ ve } \ y \notin C . \]
Öte yandan
\[ (x, y) \in (A \times B) \setminus (A \times C) \iff (x, y) \in A \times B \ \text{ ve } \ (x, y) \notin A \times C . \]
Burada \((x, y) \in A \times B\) demek “\(x \in A\) ve \(y \in B\)” demektir. \((x, y) \notin A \times C\) ise “\(x \in A\) ve \(y \in C\)” önermesinin olumsuzudur; De Morgan kuralına göre bu, “\(x \notin A\) veya \(y \notin C\)” demektir. Böylece sağ taraf
\[ x \in A \ \text{ ve } \ y \in B \ \text{ ve } \ (x \notin A \ \text{ veya } \ y \notin C) \]
olur. Bu koşulun ilk parçası \(x \in A\)’yı gerektirdiğinden parantezdeki “\(x \notin A\)” seçeneği hiçbir zaman gerçekleşemez; yani \(x \in A\) sağlanırken “\(x \notin A\) veya \(y \notin C\)” tam olarak “\(y \notin C\)” ile denktir. (Genel olarak \(p \wedge (\neg p \vee r) \Leftrightarrow p \wedge r\): \(p\) doğruyken \(\neg p \vee r\) ile \(r\) aynı doğruluk değerini alır.) Dolayısıyla koşul “\(x \in A\) ve \(y \in B\) ve \(y \notin C\)” olur; bu da sol tarafın koşuludur. İki küme eşittir.
\(\blacksquare\)
Aynı kurallar birinci çarpan için de geçerlidir: \((B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A)\) ve benzerleri; bunlardan biri alıştırmalarda ispatlanmaktadır. Ayrıca (1) ve (2) keyfi ailelere de genelleşir: \(A \times \bigcup_{\alpha \in I} B_\alpha = \bigcup_{\alpha \in I} (A \times B_\alpha)\) ve \(A \times \bigcap_{\alpha \in I} B_\alpha = \bigcap_{\alpha \in I} (A \times B_\alpha)\); bu da alıştırmalardadır.
Sonlu çarpımlar
İkiden çok kümenin çarpımı, ikili çarpımın tekrarlanmasıyla tanımlanır.
Tanım 3.5 (Sonlu Kartezyen Çarpım) \(A_1, A_2, \dots, A_n\) kümeler olsun (\(n \ge 2\)). Bu kümelerin kartezyen çarpımı tümevarımla tanımlanır: \(n = 2\) için \(A_1 \times A_2\) zaten tanımlıdır ve \(n \ge 3\) için
\[ A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = (A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_{n-1}) \times A_n . \]
Bu kümenin \(((a_1, \dots, a_{n-1}), a_n)\) biçimindeki elemanı kısaca \((a_1, a_2, \dots, a_n)\) diye yazılır ve sıralı \(n\)-li (\(n\)-tuple) diye adlandırılır. Bütün çarpanlar aynı \(A\) kümesiyse çarpım \(A^n\) ile gösterilir.
Yani \(A_1 \times \cdots \times A_n\), birinci bileşeni \(A_1\)’den, ikinci bileşeni \(A_2\)’den, …, \(n\)-inci bileşeni \(A_n\)’den alınan sıralı \(n\)-lilerin kümesidir. Sıralı \(n\)-liler için de sıralı ikilidekine benzer bir eşitlik kuralı vardır:
\[ (a_1, \dots, a_n) = (b_1, \dots, b_n) \iff \text{her } i \in \{1, \dots, n\} \text{ için } a_i = b_i . \]
Bunu \(n\) üzerinde tümevarımla görelim. \(n = 2\) için bu tam olarak sıralı ikilinin eşitlik kuralıdır. Kuralın \(n - 1\) için doğru olduğunu varsayalım (\(n \ge 3\)). Tanım gereği \((a_1, \dots, a_n) = ((a_1, \dots, a_{n-1}), a_n)\) ve \((b_1, \dots, b_n) = ((b_1, \dots, b_{n-1}), b_n)\) birer sıralı ikilidir; sıralı ikilinin kuralına göre bunlar ancak ve ancak \((a_1, \dots, a_{n-1}) = (b_1, \dots, b_{n-1})\) ve \(a_n = b_n\) ise eşittir. Tümevarım varsayımına göre ilk koşul “her \(i \le n - 1\) için \(a_i = b_i\)” demektir; \(a_n = b_n\) koşuluyla birleşince “her \(i \le n\) için \(a_i = b_i\)” elde edilir.
Örneğin \(\mathbb{R}^3 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) üç boyutlu uzaydır.
3.7 Alıştırmalar
Alıştırma 3.1 (Alıştırmalar) (a) Her \(n \in \mathbb{N}^+\) için \(A_n = \left[0,\, 1 - \tfrac{1}{n}\right]\) olsun. \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\) ve \(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\) kümelerini bulunuz.
(b) \(A, B \subseteq X\) olsun. \(B = (B \setminus A) \cup (B \cap A)\) ve \(A \cup B = (B \setminus A) \cup A\) olduğunu gösteriniz.
(c) \(A\) herhangi bir küme, \(\{A_\alpha\}_{\alpha \in I}\) herhangi bir indisli aile olsun (\(A_\alpha\)’ların \(A\)’nın alt kümesi olması gerekmez). Göreli De Morgan kurallarını ispatlayınız:
\[ A \setminus \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha = \bigcap_{\alpha \in I} (A \setminus A_\alpha) \qquad \text{ve} \qquad A \setminus \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha = \bigcup_{\alpha \in I} (A \setminus A_\alpha). \]
(d) \((B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A)\) olduğunu gösteriniz.
(e) \(A\) bir küme, \(\{B_\alpha\}_{\alpha \in I}\) bir indisli aile olsun. \(A \times \bigcup_{\alpha \in I} B_\alpha = \bigcup_{\alpha \in I} (A \times B_\alpha)\) ve \(A \times \bigcap_{\alpha \in I} B_\alpha = \bigcap_{\alpha \in I} (A \times B_\alpha)\) olduğunu gösteriniz.
(f) \((A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)\) olduğunu gösteriniz.
(g) \(A \subseteq B\) ve \(C \subseteq D\) ise \(A \times C \subseteq B \times D\) olduğunu gösteriniz. Karşıtının genel olarak doğru olmadığını bir örnekle gösteriniz.
Çözüm
(a) Önce \(A_1 = [0, 0] = \{0\}\) olduğunu gözleyelim. \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = [0, 1)\) olduğunu gösterelim. Her \(n\) için \(1 - \tfrac{1}{n} < 1\) olduğundan \(A_n \subseteq [0, 1)\); dolayısıyla birleşim \([0, 1)\)’in içindedir. Tersine \(x \in [0, 1)\) olsun. \(1 - x > 0\) olduğundan \(\tfrac{1}{n} \le 1 - x\) olacak biçimde bir \(n \in \mathbb{N}^+\) vardır (\(\tfrac{1}{1-x}\)’ten büyük bir doğal sayı seçmek yeter). O zaman \(x \le 1 - \tfrac{1}{n}\) ve \(x \ge 0\), yani \(x \in A_n\); böylece \(x\) birleşimdedir. İki kapsama eşitliği verir.
\(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = \{0\}\): Her \(n\) için \(0 \in A_n\) olduğundan \(0\) kesişimdedir. Tersine kesişimdeki her eleman özel olarak \(A_1 = \{0\}\)’dadır, yani \(0\)’a eşittir. Böylece kesişim \(\{0\}\)’dır.
(b) İlk eşitlik: \(B \setminus A = B \cap A^c\) olduğundan (bkz. Önerme 3.1’nin ispatının başı) dağılma kuralı ve Önerme 3.1’nin (1) maddesiyle
\[ (B \setminus A) \cup (B \cap A) = (B \cap A^c) \cup (B \cap A) = B \cap (A^c \cup A) = B \cap X = B . \]
Son eşitlik \(B \subseteq X\) olmasından gelir. İkinci eşitlik: ilk eşitliği \(B\) yerine yazıp birleşimin birleşme ve değişme özelliklerini kullanalım:
\[ A \cup B = A \cup \bigl((B \setminus A) \cup (B \cap A)\bigr) = \bigl(A \cup (B \cap A)\bigr) \cup (B \setminus A). \]
\(B \cap A \subseteq A\) olduğundan \(A \cup (B \cap A) = A\)’dır. Böylece \(A \cup B = A \cup (B \setminus A) = (B \setminus A) \cup A\).
(c) Teorem 3.1’ın ispatı, \(X\)’in \(A_\alpha\)’ları içermesini hiçbir yerde kullanmadı; aynı adımları \(X\) yerine \(A\) ile tekrarlayalım. Birinci eşitlik için \(x\) keyfi olsun:
\[ x \in A \setminus \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha \iff x \in A \ \text{ ve } \ x \notin \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha \iff x \in A \ \text{ ve } \ \bigl(\forall \alpha \in I,\ x \notin A_\alpha\bigr), \]
burada ikinci denklik Lemma 3.1’nın (1) maddesidir. \(x \in A\) koşulu \(\alpha\)’ya bağlı olmadığından ve \(I \neq \varnothing\) olduğundan bu, “\(\forall \alpha \in I,\ (x \in A \text{ ve } x \notin A_\alpha)\)” ile, yani “her \(\alpha \in I\) için \(x \in A \setminus A_\alpha\)” ile denktir; bu da \(x \in \bigcap_{\alpha \in I} (A \setminus A_\alpha)\) demektir.
İkinci eşitlik için yine \(x\) keyfi olsun:
\[ x \in A \setminus \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha \iff x \in A \ \text{ ve } \ x \notin \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha \iff x \in A \ \text{ ve } \ \bigl(\exists \alpha \in I,\ x \notin A_\alpha\bigr), \]
burada ikinci denklik Lemma 3.1’nın (2) maddesidir. \(x \in A\) koşulu \(\alpha\)’ya bağlı olmadığından bu, “\(\exists \alpha \in I,\ (x \in A \text{ ve } x \notin A_\alpha)\)” ile, yani “en az bir \(\alpha \in I\) için \(x \in A \setminus A_\alpha\)” ile denktir; bu da \(x \in \bigcup_{\alpha \in I} (A \setminus A_\alpha)\) demektir.
(d) \((x, y)\) keyfi bir sıralı ikili olsun. Tanımlara göre
\[ (x, y) \in (B \cup C) \times A \iff (x \in B \ \text{ veya } \ x \in C) \ \text{ ve } \ y \in A . \]
“Ve”nin “veya” üzerine dağılmasıyla bu, “(\(x \in B\) ve \(y \in A\)) veya (\(x \in C\) ve \(y \in A\))” ile denktir; ilk parantez \((x, y) \in B \times A\), ikincisi \((x, y) \in C \times A\) demektir. Dolayısıyla koşul \((x, y) \in (B \times A) \cup (C \times A)\) ile denktir ve kümeler eşittir.
(e) Birinci eşitlik: \((x, y)\) keyfi olsun.
\[ (x, y) \in A \times \bigcup_{\alpha \in I} B_\alpha \iff x \in A \ \text{ ve } \ \bigl(\exists \alpha \in I,\ y \in B_\alpha\bigr). \]
\(x \in A\) koşulu \(\alpha\)’ya bağlı olmadığından bu, “\(\exists \alpha \in I,\ (x \in A \text{ ve } y \in B_\alpha)\)” ile denktir (Teorem 3.2’nın ispatındaki gerekçeyle: \(x \in A\) yanlışsa ikisi de yanlış, doğruysa ikisi de “\(\exists \alpha,\ y \in B_\alpha\)”dır). Parantezdeki koşul \((x, y) \in A \times B_\alpha\) demektir; böylece koşul “en az bir \(\alpha\) için \((x, y) \in A \times B_\alpha\)”, yani \((x, y) \in \bigcup_{\alpha \in I} (A \times B_\alpha)\) olur.
İkinci eşitlik:
\[ (x, y) \in A \times \bigcap_{\alpha \in I} B_\alpha \iff x \in A \ \text{ ve } \ \bigl(\forall \alpha \in I,\ y \in B_\alpha\bigr). \]
\(I \neq \varnothing\) olduğundan bu, “\(\forall \alpha \in I,\ (x \in A \text{ ve } y \in B_\alpha)\)” ile denktir (\(x \in A\) doğruysa ikisi de “\(\forall \alpha,\ y \in B_\alpha\)”ya indirgenir; yanlışsa ilki yanlıştır, ikincisi de \(I\)’da bir indis olduğundan yanlıştır). Parantezdeki koşul \((x, y) \in A \times B_\alpha\) demektir; böylece koşul “her \(\alpha\) için \((x, y) \in A \times B_\alpha\)”, yani \((x, y) \in \bigcap_{\alpha \in I} (A \times B_\alpha)\) olur.
(f) \((x, y)\) keyfi olsun. Tanımlara göre
\[ (x, y) \in (A \times B) \cap (C \times D) \iff (x \in A \ \text{ ve } \ y \in B) \ \text{ ve } \ (x \in C \ \text{ ve } \ y \in D). \]
“Ve” bağlacı birleşmeli ve değişmeli olduğundan bu koşul “(\(x \in A\) ve \(x \in C\)) ve (\(y \in B\) ve \(y \in D\))” ile, yani “\(x \in A \cap C\) ve \(y \in B \cap D\)” ile denktir; bu da \((x, y) \in (A \cap C) \times (B \cap D)\) demektir. Kümeler eşittir.
(g) \(A \subseteq B\) ve \(C \subseteq D\) olsun. \((a, c) \in A \times C\) alalım; \(a \in A \subseteq B\) ve \(c \in C \subseteq D\) olduğundan \((a, c) \in B \times D\). Böylece \(A \times C \subseteq B \times D\). Karşıt için \(A = \varnothing\), \(C = \{1\}\), \(B = D = \varnothing\) alalım: \(A \times C = \varnothing \subseteq \varnothing = B \times D\) sağlanır ama \(C \subseteq D\) yanlıştır. \(A \times C \neq \varnothing\) olduğunda ise karşıt da doğrudur (Önerme 3.3).
\(\blacksquare\)
Kartezyen çarpımı tanımladığımıza göre artık fonksiyonları, \(A \times B\)’nin özel alt kümeleri olarak kesin biçimde kurabiliriz: Fonksiyonlar ve Bileşke.