10 Çarpım Topolojisi
Sıra Topolojisi bölümünde, sıralı bir küme üzerinde açık aralıklardan yola çıkarak bir topoloji kurduk. Bu bölümde başka bir doğal kurma işlemine geçiyoruz: elimizde iki topolojik uzay \(X\) ve \(Y\) varsa, İndisli Aileler ve Kartezyen Çarpım bölümünde tanımladığımız \(X \times Y = \{(x, y) : x \in X,\ y \in Y\}\) kartezyen çarpımı üzerinde bir topoloji tanımlamanın standart bir yolu vardır. Buna çarpım topolojisi (product topology) denir.
Fikir basittir. \(X\)’in açık bir \(U\) kümesiyle \(Y\)’nin açık bir \(V\) kümesini alıp \(U \times V\) “dikdörtgenini” kurarız. Düzlemde \(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2\) için bu, iki açık aralığın çarpımı olan açık bir dikdörtgendir. Bütün bu dikdörtgenlerin ailesi bir baz oluşturur; çarpım topolojisi bu bazın ürettiği topolojidir. Bu bölümde önce bu ailenin gerçekten bir baz olduğunu ispatlayacak, sonra \(X\) ve \(Y\)’nin bazlarından \(X \times Y\) için daha küçük bir baz kurmayı öğreneceğiz. Böylece düzlemin alışılmış topolojisinin, açık dikdörtgenlerin ürettiği topolojiden başka bir şey olmadığını göreceğiz.
Bölümün ikinci yarısında izdüşüm (projection) fonksiyonlarını tanımlıyoruz: \(\pi_1(x, y) = x\) ve \(\pi_2(x, y) = y\). Açık kümelerin izdüşüm altındaki ters görüntüleri “dikey” ve “yatay” şeritlerdir; iki şeridin kesişimi bir dikdörtgendir. Bu gözlem, çarpım topolojisini daha az ve daha basit kümeyle, yani bir alt bazla betimlememizi sağlar. Bölüm boyunca Baz ve Alt Baz bölümündeki kavramları sık sık kullanacağız; önce onları kısaca hatırlayalım.
Baz ve Alt Baz bölümünden şunları kullanacağız.
- Bir \(X\) kümesi üzerinde \(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)\) ailesine baz denir; bunun için iki koşul gerekir. (B1) Her \(x \in X\) için \(x \in B\) olacak biçimde bir \(B \in \mathcal{B}\) vardır. (B2) \(B_1, B_2 \in \mathcal{B}\) ve \(x \in B_1 \cap B_2\) ise \(x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\) olacak biçimde bir \(B_3 \in \mathcal{B}\) vardır.
- \(\mathcal{B}\)’nin ürettiği topoloji: \(U \subseteq X\) kümesi açıktır ancak ve ancak her \(x \in U\) için \(x \in B \subseteq U\) olacak biçimde bir \(B \in \mathcal{B}\) vardır. Buna denk olarak, açık kümeler tam olarak baz elemanlarının (keyfi) birleşimleridir. Özel olarak her baz elemanı açıktır.
- Baz ölçütü: \((X, \tau)\) bir topolojik uzay, \(\mathcal{C}\) ise \(X\)’in açık kümelerinden oluşan bir aile olsun. Her açık \(U \subseteq X\) ve her \(x \in U\) için \(x \in C \subseteq U\) olacak biçimde bir \(C \in \mathcal{C}\) varsa \(\mathcal{C}\), \(\tau\) topolojisi için bir bazdır.
- Alt baz: birleşimi \(X\)’e eşit olan bir \(\mathcal{S} \subseteq \mathcal{P}(X)\) ailesi. \(\mathcal{S}\)’nin ürettiği topoloji, \(\mathcal{S}\) elemanlarının sonlu kesişimlerinin bütün birleşimlerinden oluşan ailedir; bu ailenin gerçekten bir topoloji olduğu o bölümde ispatlanmıştır.
10.1 Çarpım Topolojisinin Tanımı
\(X\) ve \(Y\) topolojik uzaylar olsun. Kurmak istediğimiz baz, \(X\)’in bir açık kümesiyle \(Y\)’nin bir açık kümesinin çarpımı olan bütün kümelerden oluşur:
\[ \mathcal{B} = \{U \times V : U \subseteq X \text{ açık},\ V \subseteq Y \text{ açık}\}. \]
Bir topolojiyi “bu bazın ürettiği topoloji” diye tanımlayabilmemiz için önce \(\mathcal{B}\)’nin gerçekten baz koşullarını sağladığını göstermemiz gerekir. Ana gözlem şudur: iki dikdörtgenin kesişimi yine bir dikdörtgendir.
Lemma 10.1 (Açık Dikdörtgenler Bir Bazdır) \(X\) ve \(Y\) topolojik uzaylar olsun. \(U \subseteq X\) açık ve \(V \subseteq Y\) açık olmak üzere \(U \times V\) biçimindeki bütün kümelerin ailesi \(\mathcal{B}\), \(X \times Y\) kümesi üzerinde bir bazdır. Üstelik \(U_1, U_2 \subseteq X\) ve \(V_1, V_2 \subseteq Y\) herhangi kümeler olmak üzere
\[ (U_1 \times V_1) \cap (U_2 \times V_2) = (U_1 \cap U_2) \times (V_1 \cap V_2) \]
eşitliği geçerlidir.
İspat
Önce kesişim eşitliğini gösterelim. Bir \((a, b)\) sıralı ikilisi alalım. Kartezyen çarpımın tanımı gereği \((a, b) \in U_1 \times V_1\) olması, \(a \in U_1\) ve \(b \in V_1\) olması demektir; aynı biçimde \((a, b) \in U_2 \times V_2\) olması \(a \in U_2\) ve \(b \in V_2\) demektir. Bu yüzden
\[ (a, b) \in (U_1 \times V_1) \cap (U_2 \times V_2) \iff a \in U_1,\ a \in U_2,\ b \in V_1,\ b \in V_2 \iff a \in U_1 \cap U_2 \text{ ve } b \in V_1 \cap V_2 \iff (a, b) \in (U_1 \cap U_2) \times (V_1 \cap V_2). \]
İki kümenin elemanları aynı olduğundan kümeler eşittir.
Şimdi baz koşullarını denetleyelim.
(B1) Topoloji aksiyomu (T1) gereği \(X\), \(X\)’te açık ve \(Y\), \(Y\)’de açıktır. Bu yüzden \(X \times Y \in \mathcal{B}\). Her \((x, y) \in X \times Y\) noktası bu baz elemanının içindedir; yani (B1) sağlanır.
(B2) \(B_1 = U_1 \times V_1\) ve \(B_2 = U_2 \times V_2\) iki baz elemanı, \((x, y) \in B_1 \cap B_2\) olsun. Az önce ispatladığımız eşitlik gereği
\[ B_1 \cap B_2 = (U_1 \cap U_2) \times (V_1 \cap V_2). \]
\(U_1\) ve \(U_2\) kümeleri \(X\)’te açık olduğundan, aksiyom (T2) gereği \(U_1 \cap U_2\) de \(X\)’te açıktır; aynı gerekçeyle \(V_1 \cap V_2\) kümesi \(Y\)’de açıktır. Bu yüzden \(B_3 := (U_1 \cap U_2) \times (V_1 \cap V_2)\) kümesi \(\mathcal{B}\)’nin bir elemanıdır. \(B_3 = B_1 \cap B_2\) olduğundan \((x, y) \in B_3\) ve \(B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\) sağlanır; yani (B2) de doğrudur.
Her iki koşul sağlandığından \(\mathcal{B}\) bir bazdır.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: iki açık dikdörtgenin kesişimi yalnızca bir dikdörtgenin içinde kalmakla kalmaz, kendisi de açık bir dikdörtgendir. Artık tanımı verebiliriz.
Tanım 10.1 (Çarpım Topolojisi) \(X\) ve \(Y\) topolojik uzaylar olsun. \(X \times Y\) üzerindeki çarpım topolojisi (product topology), \(U \subseteq X\) açık ve \(V \subseteq Y\) açık olmak üzere \(U \times V\) biçimindeki bütün kümelerin ailesi \(\mathcal{B}\)’yi baz kabul eden topolojidir. \(X \times Y\) kümesi bu topolojiyle birlikte \(X\) ve \(Y\)’nin çarpım uzayı olarak adlandırılır.
Yani \(W \subseteq X \times Y\) kümesi çarpım topolojisinde açıktır ancak ve ancak \(W\)’nin her \((x, y)\) noktası için \((x, y) \in U \times V \subseteq W\) olacak biçimde \(X\)’te açık bir \(U\) ve \(Y\)’de açık bir \(V\) vardır. Buna denk olarak, \(X \times Y\)’nin açık kümeleri tam olarak \(U \times V\) biçimindeki kümelerin birleşimleridir.
Tanımdan hemen çıkan iki gözlemi not edelim. Birincisi, her baz elemanı açık olduğundan, \(U \subseteq X\) ve \(V \subseteq Y\) açık olduğunda \(U \times V\) kümesi \(X \times Y\)’de açıktır. İkincisi, \(X \times Y\)’nin kendisi ve boş küme bazdadır; çünkü \(X \times Y \in \mathcal{B}\) ve \(\varnothing = \varnothing \times Y \in \mathcal{B}\).
Somut bir örnekle başlayalım.
Örnek 10.1 (Sonlu Bir Çarpım Uzayı) \(X = \{1, 2, 3\}\) kümesi üzerinde \(\tau_X = \{\varnothing, \{1\}, \{1, 2\}, X\}\) topolojisini, \(Y = \{a, b\}\) kümesi üzerinde de en kaba topoloji \(\tau_Y = \{\varnothing, Y\}\)’yi alalım. \(X \times Y\) üzerindeki çarpım topolojisinin bazını ve bütün açık kümelerini bulunuz. \(\{(1, a)\}\) kümesi açık mıdır?
Çözüm
\(X \times Y\) kümesinin altı elemanı vardır: \((1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)\). Baz elemanları \(U \in \tau_X\) ve \(V \in \tau_Y\) olmak üzere \(U \times V\) kümeleridir. \(V = \varnothing\) ise \(U \times V = \varnothing\); \(V = Y\) ise dört seçenek çıkar:
\[ \varnothing \times Y = \varnothing,\qquad \{1\} \times Y = \{(1, a), (1, b)\},\qquad \{1, 2\} \times Y = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)\},\qquad X \times Y. \]
Dolayısıyla \(\mathcal{B} = \{\varnothing,\ \{1\} \times Y,\ \{1, 2\} \times Y,\ X \times Y\}\). Açık kümeler baz elemanlarının birleşimleridir. Bu dört küme iç içe olduğundan (\(\varnothing \subseteq \{1\} \times Y \subseteq \{1, 2\} \times Y \subseteq X \times Y\)) herhangi birkaçının birleşimi yine içlerinden en büyüğüne eşittir. Bu yüzden çarpım topolojisi tam olarak
\[ \tau = \{\varnothing,\ \{1\} \times Y,\ \{1, 2\} \times Y,\ X \times Y\} \]
ailesidir; dört açık küme vardır.
\(\{(1, a)\}\) kümesi açık değildir: \((1, a)\) noktasını içeren her baz elemanı \(U \times Y\) biçimindedir ve \(1 \in U\) olduğundan \((1, b)\) noktasını da içerir. Bu yüzden \((1, a) \in U \times V \subseteq \{(1, a)\}\) olacak biçimde bir baz elemanı yoktur. Sezgisel olarak \(Y\)’nin topolojisi \(a\) ile \(b\)’yi birbirinden ayıramadığı için çarpım uzayı da \((1, a)\) ile \((1, b)\)’yi ayıramaz.
\(\blacksquare\)
Çarpım topolojisinin açık kümeleri \(U \times V\) biçimindeki kümelerin birleşimleridir; tek bir \(U \times V\) olmak zorunda değildirler. Örneğin \(\mathbb{R}^2\) düzlemindeki açık birim daire \(D = \{(x, y) : x^2 + y^2 < 1\}\) açıktır (bu bölümün alıştırmalarında gösterilecek) ama bir çarpım değildir. Gerçekten \(D = U \times V\) olsaydı, \((9/10, 0) \in D\) olduğundan \(9/10 \in U\), \((0, 9/10) \in D\) olduğundan \(9/10 \in V\) olurdu; o zaman \((9/10, 9/10) \in U \times V = D\) gerekirdi. Oysa \((9/10)^2 + (9/10)^2 = 162/100 > 1\); çelişki.
10.2 Bazlardan Baz
Çarpım topolojisinin tanımındaki baz, \(X\) ve \(Y\)’nin bütün açık kümelerinin çarpımlarından oluşur; bu genellikle çok büyük bir ailedir. Uygulamada \(X\) ve \(Y\)’nin topolojileri çoğu zaman bir bazla verilir: örneğin \(\mathbb{R}\)’nin standart topolojisi açık aralıklarla verilir. Şu soru doğaldır: yalnızca baz elemanlarının çarpımlarını alsak yine bir baz elde eder miyiz? Aşağıdaki teorem evet der. Bu sayede \(\mathbb{R}^2\) için açık aralıkların çarpımı olan dikdörtgenler yeterli olacaktır.
Teorem 10.1 (Bazlardan Çarpım Bazı Kurma) \(\mathcal{B}\), \(X\)’in topolojisi için bir baz ve \(\mathcal{C}\), \(Y\)’nin topolojisi için bir baz olsun. O zaman
\[ \mathcal{D} = \{B \times C : B \in \mathcal{B},\ C \in \mathcal{C}\} \]
ailesi, \(X \times Y\) üzerindeki çarpım topolojisi için bir bazdır.
İspat
Hatırlatmadaki baz ölçütünü uygulayacağız. Bunun için iki şey gerekir: \(\mathcal{D}\)’nin elemanlarının \(X \times Y\)’de açık olması ve her açık kümenin her noktasının, o kümenin içinde kalan bir \(\mathcal{D}\) elemanına düşmesi.
Önce \(\mathcal{D}\)’nin elemanları açıktır: \(B \in \mathcal{B}\) olsun. Baz elemanları ürettikleri topolojide açık olduğundan \(B\), \(X\)’te açıktır; aynı gerekçeyle \(C \in \mathcal{C}\) kümesi \(Y\)’de açıktır. Bu yüzden \(B \times C\) çarpım topolojisinin bir baz elemanıdır, dolayısıyla \(X \times Y\)’de açıktır.
Şimdi \(X \times Y\)’nin açık bir \(W\) kümesi ve bir \((x, y) \in W\) noktası verilsin. Çarpım topolojisinin tanımı gereği \((x, y) \in U \times V \subseteq W\) olacak biçimde \(X\)’te açık bir \(U\) ve \(Y\)’de açık bir \(V\) vardır. \((x, y) \in U \times V\) olduğundan \(x \in U\) ve \(y \in V\)’dir.
\(\mathcal{B}\), \(X\)’in topolojisi için bir baz ve \(U\), \(x\)’i içeren açık bir küme olduğundan, bazın ürettiği topolojinin tanımı gereği \(x \in B \subseteq U\) olacak biçimde bir \(B \in \mathcal{B}\) seçebiliriz. Aynı biçimde \(\mathcal{C}\), \(Y\) için bir baz ve \(V\), \(y\)’yi içeren açık bir küme olduğundan \(y \in C \subseteq V\) olacak biçimde bir \(C \in \mathcal{C}\) seçebiliriz.
\(x \in B\) ve \(y \in C\) olduğundan \((x, y) \in B \times C\)’dir. Ayrıca \(B \subseteq U\) ve \(C \subseteq V\) olduğundan \(B \times C \subseteq U \times V\)’dir; çünkü \((a, b) \in B \times C\) ise \(a \in B \subseteq U\) ve \(b \in C \subseteq V\), dolayısıyla \((a, b) \in U \times V\). Böylece
\[ (x, y) \in B \times C \subseteq U \times V \subseteq W . \]
Bu, \(\mathcal{D}\) ailesinin baz ölçütünün koşulunu sağladığını gösterir: her açık \(W\) ve her \((x, y) \in W\) için \((x, y) \in D \subseteq W\) olacak biçimde bir \(D = B \times C \in \mathcal{D}\) vardır. Bu yüzden \(\mathcal{D}\), \(X \times Y\)’nin çarpım topolojisi için bir bazdır.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: bir açık dikdörtgen \(U \times V\)’nin içindeki her noktayı, \(U\)’nun içinde bir \(\mathcal{B}\) elemanıyla ve \(V\)’nin içinde bir \(\mathcal{C}\) elemanıyla sıkıştırıp daha küçük bir dikdörtgen \(B \times C\) elde ederiz.
10.3 Düzlemin Standart Topolojisi
\(\mathbb{R}\) üzerinde standart bir topolojimiz var: Sıra Topolojisi bölümünde gördüğümüz gibi bu, \(\mathbb{R}\)’nin alışılmış sıralamasından gelen sıra topolojisidir ve \(a < b\) olmak üzere \((a, b)\) açık aralıkları onun için bir bazdır. Bu topolojinin kendisiyle çarpımı, düzlemin alışılmış topolojisini verir.
Örnek 10.2 (Düzlemin Standart Topolojisi) \(\mathbb{R}\) üzerindeki standart topolojinin kendisiyle çarpımına \(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2\) üzerindeki standart topoloji denir. Şunu gösteriniz:
\[ \mathcal{D} = \{(a, b) \times (c, d) : a, b, c, d \in \mathbb{R},\ a < b,\ c < d\} \]
ailesi \(\mathbb{R}^2\)’nin standart topolojisi için bir bazdır.
Çözüm
Tanım gereği \(\mathbb{R}^2\)’nin standart topolojisinin bazı, \(U\) ve \(V\), \(\mathbb{R}\)’de açık olmak üzere bütün \(U \times V\) kümelerinden oluşur. Bu aile çok büyüktür; çünkü \(\mathbb{R}\)’nin bir açık kümesi sonsuz sayıda aralığın birleşimi olabilir. Teorem 10.1 çok daha küçük bir ailenin yeterli olduğunu söyler.
\(\mathcal{B} = \{(a, b) : a < b\}\) açık aralıklar ailesi \(\mathbb{R}\)’nin standart topolojisi için bir bazdır. Teoremde hem \(X = \mathbb{R}\) hem de \(Y = \mathbb{R}\) için bu bazı alalım: \(\mathcal{B} = \mathcal{C}\). Teorem gereği
\[ \{B \times C : B \in \mathcal{B},\ C \in \mathcal{C}\} = \{(a, b) \times (c, d) : a < b,\ c < d\} = \mathcal{D} \]
ailesi \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\)’nin çarpım topolojisi, yani \(\mathbb{R}^2\)’nin standart topolojisi için bir bazdır.
Her \((a, b) \times (c, d)\) kümesi, köşeleri \((a, c), (b, c), (b, d), (a, d)\) olan dikdörtgenin kenarları hariç içidir; çünkü \((x, y) \in (a, b) \times (c, d)\) olması \(a < x < b\) ve \(c < y < d\) demektir. Sonuç olarak \(\mathbb{R}^2\)’nin standart topolojisi, Baz ve Alt Baz bölümünde düzlemdeki açık dikdörtgenlerin ürettiği topoloji olarak incelediğimiz topolojinin ta kendisidir.
\(\blacksquare\)
Bu örnek, çarpım topolojisinin tanımını ilk bakışta soyut kılan büyük bazın aslında zararsız olduğunu gösterir: düzlemde bir kümenin açık olup olmadığını anlamak için her noktasının etrafına açık bir dikdörtgen sığdırabilmek yeterlidir.
10.4 İzdüşümler
Çarpım uzayı \(X \times Y\) ile çarpanları \(X\) ve \(Y\) arasında iki doğal fonksiyon vardır: bir noktanın birinci ve ikinci bileşenini veren fonksiyonlar.
Tanım 10.2 (İzdüşüm Fonksiyonları) \(X\) ve \(Y\) topolojik uzaylar olsun.
\[ \pi_1 : X \times Y \to X,\qquad \pi_1(x, y) = x \]
ve
\[ \pi_2 : X \times Y \to Y,\qquad \pi_2(x, y) = y \]
fonksiyonlarına sırasıyla \(X \times Y\)’nin birinci çarpana izdüşümü ve ikinci çarpana izdüşümü (projections onto the first and second factors) denir.
Yani \(\pi_1\) bir noktanın birinci koordinatını, \(\pi_2\) ikinci koordinatını verir; düzlemde \(\pi_1\), \((x, y)\) noktasını yatay eksene, \(\pi_2\) ise dikey eksene dik olarak yansıtır.
İzdüşümlerin bizi ilgilendiren özellikleri şunlardır: çarpanlar boş değilse izdüşümler örtendir ve açık bir kümenin izdüşüm altındaki ters görüntüsü bir “şerit”tir. Bu şeritler bir sonraki teoremin yapı taşlarıdır.
Önerme 10.1 (İzdüşümlerin Temel Özellikleri) \(X\) ve \(Y\) topolojik uzaylar olsun.
1. \(X \neq \varnothing\) ve \(Y \neq \varnothing\) ise \(\pi_1\) ve \(\pi_2\) örtendir.
2. Her \(U \subseteq X\) ve her \(V \subseteq Y\) için
\[ \pi_1^{-1}(U) = U \times Y \qquad \text{ve} \qquad \pi_2^{-1}(V) = X \times V . \]
Özel olarak \(U\), \(X\)’te açık ise \(\pi_1^{-1}(U)\) kümesi \(X \times Y\)’de açıktır; \(V\), \(Y\)’de açık ise \(\pi_2^{-1}(V)\) kümesi \(X \times Y\)’de açıktır.
3. Her \(U \subseteq X\) ve \(V \subseteq Y\) için
\[ \pi_1^{-1}(U) \cap \pi_2^{-1}(V) = U \times V . \]
İspat
1. \(\pi_1\)’in örten olduğunu gösterelim. Bir \(x \in X\) verilsin. \(Y \neq \varnothing\) olduğundan bir \(y_0 \in Y\) elemanı seçebiliriz. O zaman \((x, y_0) \in X \times Y\) ve tanım gereği \(\pi_1(x, y_0) = x\)’tir. Yani \(X\)’in her elemanı \(\pi_1\)’in görüntüsündedir; \(\pi_1\) örtendir. Aynı biçimde, bir \(y \in Y\) verildiğinde \(X \neq \varnothing\) olduğundan bir \(x_0 \in X\) seçilir ve \(\pi_2(x_0, y) = y\) olur; bu yüzden \(\pi_2\) de örtendir.
2. Ters görüntünün tanımını hatırlayalım: \(\pi_1^{-1}(U) = \{(x, y) \in X \times Y : \pi_1(x, y) \in U\}\). Bir \((x, y) \in X \times Y\) noktası için
\[ (x, y) \in \pi_1^{-1}(U) \iff \pi_1(x, y) \in U \iff x \in U \iff (x, y) \in U \times Y ; \]
son denklikte \(y \in Y\) koşulunun zaten sağlandığını kullandık. Bu yüzden \(\pi_1^{-1}(U) = U \times Y\). Aynı biçimde
\[ (x, y) \in \pi_2^{-1}(V) \iff \pi_2(x, y) \in V \iff y \in V \iff (x, y) \in X \times V , \]
yani \(\pi_2^{-1}(V) = X \times V\).
Şimdi \(U\), \(X\)’te açık olsun. \(Y\) kümesi (T1) gereği \(Y\)’de açık olduğundan \(U \times Y\) çarpım topolojisinin bir baz elemanıdır; baz elemanları açık olduğundan \(\pi_1^{-1}(U) = U \times Y\) kümesi \(X \times Y\)’de açıktır. Aynı gerekçeyle \(V\), \(Y\)’de açık ise \(\pi_2^{-1}(V) = X \times V\) kümesi de \(X \times Y\)’de açıktır.
3. Madde 2 ve Lemma 10.1’daki kesişim eşitliği gereği
\[ \pi_1^{-1}(U) \cap \pi_2^{-1}(V) = (U \times Y) \cap (X \times V) = (U \cap X) \times (Y \cap V) = U \times V ; \]
burada \(U \subseteq X\) olduğundan \(U \cap X = U\) ve \(V \subseteq Y\) olduğundan \(Y \cap V = V\) olduğunu kullandık.
\(\blacksquare\)
Düzlemde düşünürsek: \(U \subseteq \mathbb{R}\) açık bir aralık iken \(\pi_1^{-1}(U) = U \times \mathbb{R}\) sonsuz uzunlukta dikey bir şerit, \(V\) açık bir aralık iken \(\pi_2^{-1}(V) = \mathbb{R} \times V\) yatay bir şerittir. İki şeridin kesiştiği yer tam olarak \(U \times V\) dikdörtgenidir. Demek ki çarpım topolojisinin her baz elemanı, izdüşüm ters görüntülerinden iki tanesinin kesişimi olarak yazılabilir. Bu gözlem bizi bir sonraki teoreme götürür.
\(X\) ya da \(Y\) boş kümeyse \(X \times Y\) de boştur; o zaman \(X \times Y\) üzerindeki tek topoloji \(\{\varnothing\}\)’dir ve izdüşümlerle ilgili bütün tartışma boş kümeden ibaret kalır. Bu yüzden izdüşümler için “örten” derken çarpanların boş olmadığını varsayıyoruz. Aşağıdaki teorem ise boş durumda da doğrudur; ispatı boş durumu ayrıca ele almayı gerektirmez.
10.5 Çarpım Topolojisinin Alt Bazı
Bir topolojiyi bazla vermek yerine alt bazla vermek, onu daha az ve daha basit kümeyle betimlemek demektir: sonlu kesişimleri alma işini topolojiye bırakırız. Çarpım topolojisi için en doğal alt baz, izdüşümlerin açık kümeler üzerindeki ters görüntüleridir; çünkü az önce gördüğümüz gibi her baz elemanı \(U \times V\), iki ters görüntünün kesişimidir.
Teorem 10.2 (İzdüşüm Ters Görüntüleri Bir Alt Bazdır) \(X\) ve \(Y\) topolojik uzaylar olsun.
\[ \mathcal{S} = \{\pi_1^{-1}(U) : U \subseteq X \text{ açık}\} \cup \{\pi_2^{-1}(V) : V \subseteq Y \text{ açık}\} \]
ailesi, \(X \times Y\) üzerindeki çarpım topolojisi için bir alt bazdır.
İspat
\(\tau\), \(X \times Y\) üzerindeki çarpım topolojisini; \(\tau'\) ise \(\mathcal{S}\)’nin ürettiği topolojiyi göstersin. Göstermemiz gereken şey \(\tau' = \tau\) eşitliğidir; bunu iki kapsama olarak ispatlayacağız. Önce \(\mathcal{S}\)’nin gerçekten bir alt baz olduğunu, yani birleşiminin \(X \times Y\) olduğunu görelim: \(X\), \(X\)’te açık olduğundan \(\pi_1^{-1}(X) = X \times Y\) kümesi \(\mathcal{S}\)’nin bir elemanıdır (Önerme 10.1, madde 2); bu yüzden \(\mathcal{S}\)’nin birleşimi \(X \times Y\)’ye eşittir ve \(\tau'\) tanımlıdır.
\(\tau' \subseteq \tau\). \(\mathcal{S}\)’nin her elemanı \(\tau\)’ya aittir: \(U\), \(X\)’te açık ise \(\pi_1^{-1}(U) = U \times Y\) ve \(V\), \(Y\)’de açık ise \(\pi_2^{-1}(V) = X \times V\) kümeleri Önerme 10.1 gereği \(X \times Y\)’de açıktır. Şimdi \(\tau'\)’nün bir elemanını alalım; alt bazın ürettiği topolojinin tanımı gereği bu, \(\mathcal{S}\)’nin elemanlarının sonlu kesişimlerinin bir birleşimidir. Bu sonlu kesişimlerin her biri \(\tau\)’dadır; çünkü kesişilen kümeler \(\tau\)’da ve \(\tau\), aksiyom (T2) gereği sonlu kesişim altında kapalıdır (ikiden çok küme için aksiyom art arda uygulanır). Bunların birleşimi de \(\tau\)’dadır; çünkü \(\tau\), aksiyom (T3) gereği keyfi birleşim altında kapalıdır. Böylece \(\tau'\)’nün her elemanı \(\tau\)’ya aittir; yani \(\tau' \subseteq \tau\).
\(\tau \subseteq \tau'\). Önce \(\tau\)’nun baz elemanlarının \(\tau'\)’de olduğunu görelim. \(U \subseteq X\) ve \(V \subseteq Y\) açık olmak üzere bir \(U \times V\) baz elemanı alalım. Önerme 10.1, madde 3 gereği
\[ U \times V = \pi_1^{-1}(U) \cap \pi_2^{-1}(V) . \]
Sağ taraf, \(\mathcal{S}\)’nin iki elemanının kesişimidir; yani \(\mathcal{S}\) elemanlarının sonlu bir kesişimidir. Alt bazın ürettiği topoloji bütün bu sonlu kesişimleri (tek elemanlı birleşim olarak) içerdiğinden \(U \times V \in \tau'\) olur.
Şimdi \(\tau\)’nun herhangi bir \(W\) elemanını alalım. Bazın ürettiği topolojinin tanımı gereği \(W\), baz elemanlarının bir birleşimidir: \(W = \bigcup_{i \in I} (U_i \times V_i)\) olacak biçimde açık \(U_i \subseteq X\) ve \(V_i \subseteq Y\) kümeleri vardır. Az önce gösterdiğimiz gibi her \(U_i \times V_i\) kümesi \(\tau'\)’ye aittir. \(\tau'\) bir topoloji olduğundan keyfi birleşim altında kapalıdır; bu yüzden \(W \in \tau'\). Böylece \(\tau \subseteq \tau'\).
İki kapsama birlikte \(\tau = \tau'\) verir; yani \(\mathcal{S}\)’nin ürettiği topoloji çarpım topolojisinin ta kendisidir. Bu da \(\mathcal{S}\)’nin çarpım topolojisi için bir alt baz olması demektir.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: şeritler açıktır, dolayısıyla şeritlerden üretilen topoloji çarpım topolojisinden daha ince olamaz; öte yandan her dikdörtgen iki şeridin kesişimi olduğundan çarpım topolojisinin bütün açık kümeleri şeritlerden üretilebilir.
\(\mathcal{S}\) ailesi genel olarak bir baz değildir. \(\mathbb{R}^2\)’de \((0, 1) \times (0, 1)\) açık dikdörtgenini ve içindeki \((1/2, 1/2)\) noktasını düşünelim. \(\mathcal{S}\)’nin her elemanı ya \(U \times \mathbb{R}\) ya da \(\mathbb{R} \times V\) biçimindedir. \((1/2, 1/2)\) noktasını içeren bir \(U \times \mathbb{R}\) şeridi \((1/2, 5)\) noktasını da içerir; \(\mathbb{R} \times V\) şeridi ise \((5, 1/2)\) noktasını içerir. Bu noktaların hiçbiri \((0, 1) \times (0, 1)\)’de değildir. Bu yüzden \((1/2, 1/2)\) noktasını içerip \((0, 1) \times (0, 1)\)’in içinde kalan bir \(\mathcal{S}\) elemanı yoktur; oysa bir baz için bu gerekirdi. Alt bazın gücü tam da burada: sonlu kesişimler alınmadan önce bu kümeler dikdörtgenleri yakalayamaz, kesişimler alındıktan sonra yakalar.
10.6 Alıştırmalar
Alıştırma 10.1 (Çarpım Topolojisi Üzerine Alıştırmalar) a) \(X = \{1, 2\}\) üzerinde \(\tau_X = \{\varnothing, \{1\}, X\}\) topolojisi, \(Y = \{a, b\}\) üzerinde ayrık topoloji verilsin. \(X \times Y\) üzerindeki çarpım topolojisinin bazını ve bütün açık kümelerini bulunuz. \(\{(2, a)\}\) kümesi açık mıdır?
b) \(A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x > 0\}\) kümesinin (sağ yarı düzlem) \(\mathbb{R}^2\)’nin standart topolojisinde açık olduğunu gösteriniz.
c) Açık birim daire \(D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 < 1\}\) kümesinin \(\mathbb{R}^2\)’nin standart topolojisinde açık olduğunu gösteriniz.
d) Köşegen \(\Delta = \{(x, x) : x \in \mathbb{R}\}\) kümesinin \(\mathbb{R}^2\)’nin standart topolojisinde kapalı olduğunu gösteriniz.
e) \(X\) ve \(Y\) ayrık topolojiye sahipse \(X \times Y\) üzerindeki çarpım topolojisinin de ayrık topoloji olduğunu gösteriniz.
f) \(A \subseteq X\) ve \(B \subseteq Y\) kapalı kümelerse \(A \times B\) kümesinin \(X \times Y\)’de kapalı olduğunu gösteriniz.
g) \(W \subseteq X \times Y\) açık ise \(\pi_1(W)\) kümesinin \(X\)’te ve \(\pi_2(W)\) kümesinin \(Y\)’de açık olduğunu gösteriniz. (Yani izdüşümler açık kümeleri açık kümelere götürür.)
Çözüm
a) \(X \times Y = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)\}\). \(Y\) üzerindeki ayrık topolojide \(\varnothing, \{a\}, \{b\}, Y\) kümeleri açıktır. Boş olmayan baz elemanları \(U \in \{\{1\}, X\}\) ve \(V \in \{\{a\}, \{b\}, Y\}\) olmak üzere \(U \times V\) kümeleridir:
\[ \{(1, a)\},\quad \{(1, b)\},\quad \{(1, a), (1, b)\},\quad \{(1, a), (2, a)\},\quad \{(1, b), (2, b)\},\quad X \times Y . \]
Açık kümeler bunların birleşimleridir. \(\{(1, a)\}\) ve \(\{(1, b)\}\) ayrı ayrı açık olduğundan, \(1\)’i birinci bileşen olarak taşıyan noktaların her alt kümesi açıktır; \((2, a)\) ve \((2, b)\) noktaları ise yalnızca sırasıyla \(\{(1, a), (2, a)\}\), \(\{(1, b), (2, b)\}\) ve \(X \times Y\) baz elemanlarında bulunur. Birleşimleri tek tek yazarsak açık kümeler şunlardır:
\[ \varnothing,\ \{(1, a)\},\ \{(1, b)\},\ \{(1, a), (1, b)\},\ \{(1, a), (2, a)\},\ \{(1, b), (2, b)\},\ \{(1, a), (1, b), (2, a)\},\ \{(1, a), (1, b), (2, b)\},\ X \times Y . \]
Toplam dokuz açık küme vardır. \(\{(2, a)\}\) açık değildir: \((2, a)\) noktasını içeren bir baz elemanı \(U \times V\)’de \(2 \in U\) olmalıdır, \(\tau_X\)’te \(2\)’yi içeren tek açık küme \(X\) olduğundan \(U = X\)’tir; o zaman \((1, a) \in U \times V\) olur. Yani \((2, a) \in U \times V \subseteq \{(2, a)\}\) olacak biçimde bir baz elemanı yoktur.
b) \(A = (0, \infty) \times \mathbb{R}\)’dir; çünkü \((x, y) \in A\) olması \(x \in (0, \infty)\) ve \(y \in \mathbb{R}\) olması demektir. \((0, \infty)\) kümesi \(\mathbb{R}\)’nin standart topolojisinde açıktır (her \(x > 0\) için \(x \in (0, 2x) \subseteq (0, \infty)\) olduğundan) ve \(\mathbb{R}\) açıktır. Bu yüzden \(A = (0, \infty) \times \mathbb{R}\) çarpım topolojisinin bir baz elemanıdır, dolayısıyla açıktır. Başka bir deyişle \(A = \pi_1^{-1}((0, \infty))\) bir alt baz elemanıdır.
c) Her \((x_0, y_0) \in D\) noktası için \((x_0, y_0) \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \times (y_0 - \delta, y_0 + \delta) \subseteq D\) olacak biçimde bir \(\delta > 0\) bulmak yeterlidir; çünkü o zaman Örnek 10.2’deki baz elemanları \(D\)’nin her noktasının etrafına sığar ve \(D\) açık olur.
\((x_0, y_0) \in D\) olsun ve \(r_0 = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}\) diyelim; \(r_0 < 1\)’dir. \(\delta = (1 - r_0)/2 > 0\) seçelim. Bir \((x, y) \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \times (y_0 - \delta, y_0 + \delta)\) noktası alalım. O zaman \(|x - x_0| < \delta\) ve \(|y - y_0| < \delta\) olduğundan
\[ \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \sqrt{\delta^2 + \delta^2} = \sqrt{2}\,\delta < 2\delta = 1 - r_0 . \]
Üçgen eşitsizliği gereği \((x, y)\) noktasının başlangıç noktasına uzaklığı, \((x_0, y_0)\)’ın uzaklığı ile iki nokta arasındaki uzaklığın toplamını aşmaz:
\[ \sqrt{x^2 + y^2} \le \sqrt{x_0^2 + y_0^2} + \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < r_0 + (1 - r_0) = 1 . \]
Bu yüzden \((x, y) \in D\). Böylece \(D\)’nin her noktası, \(D\)’nin içinde kalan açık bir dikdörtgene aittir; \(D\) açıktır.
d) Tümleyeni \(\mathbb{R}^2 \setminus \Delta = \{(a, b) : a \neq b\}\) kümesinin açık olduğunu göstereceğiz. \((a, b) \in \mathbb{R}^2 \setminus \Delta\) olsun; \(a \neq b\) olduğundan \(\varepsilon = |a - b|/2 > 0\)’dır. \(R = (a - \varepsilon, a + \varepsilon) \times (b - \varepsilon, b + \varepsilon)\) dikdörtgenini alalım. \(|a - a| = 0 < \varepsilon\) ve \(|b - b| = 0 < \varepsilon\) olduğundan \((a, b) \in R\)’dir. İddia: \(R \cap \Delta = \varnothing\). Aksine \((x, x) \in R\) olsaydı \(|a - x| < \varepsilon\) ve \(|x - b| < \varepsilon\) olur, üçgen eşitsizliğiyle
\[ |a - b| \le |a - x| + |x - b| < 2\varepsilon = |a - b| \]
çelişkisi çıkardı. Bu yüzden \(R \subseteq \mathbb{R}^2 \setminus \Delta\). Tümleyenin her noktası, tümleyenin içinde kalan bir baz elemanına ait olduğundan \(\mathbb{R}^2 \setminus \Delta\) açıktır; dolayısıyla \(\Delta\) kapalıdır.
e) Bir \((x, y) \in X \times Y\) noktası alalım. Ayrık topolojide her alt küme açık olduğundan \(\{x\}\), \(X\)’te ve \(\{y\}\), \(Y\)’de açıktır. Bu yüzden \(\{x\} \times \{y\} = \{(x, y)\}\) çarpım topolojisinin bir baz elemanıdır, dolayısıyla açıktır. Şimdi herhangi bir \(W \subseteq X \times Y\) alalım; \(W = \bigcup_{(x, y) \in W} \{(x, y)\}\) açık kümelerin birleşimi olduğundan (T3) gereği açıktır. Her alt küme açık olduğuna göre çarpım topolojisi ayrık topolojidir.
f) Önce bir küme eşitliği: \((X \times Y) \setminus (A \times B) = \big((X \setminus A) \times Y\big) \cup \big(X \times (Y \setminus B)\big)\). Gerçekten, \((x, y) \in X \times Y\) noktası \(A \times B\)’de değildir ancak ve ancak “\(x \in A\) ve \(y \in B\)” yanlıştır, yani \(x \notin A\) veya \(y \notin B\)’dir; ilk durum \((x, y) \in (X \setminus A) \times Y\), ikincisi \((x, y) \in X \times (Y \setminus B)\) demektir.
\(A\) kapalı olduğundan \(X \setminus A\) açıktır ve \(Y\) açıktır; bu yüzden \((X \setminus A) \times Y\) bir baz elemanı, dolayısıyla açıktır. Aynı gerekçeyle \(X \times (Y \setminus B)\) açıktır. İki açık kümenin birleşimi (T3) gereği açık olduğundan \((X \times Y) \setminus (A \times B)\) açıktır; yani \(A \times B\) kapalıdır.
g) \(W\) açık olduğundan baz elemanlarının birleşimidir: \(W = \bigcup_{i \in I} (U_i \times V_i)\), burada her \(U_i\), \(X\)’te ve her \(V_i\), \(Y\)’de açıktır. \(V_i = \varnothing\) olan indisler için \(U_i \times V_i = \varnothing\) olduğundan bunları birleşimden atabiliriz; bu yüzden her \(i \in I\) için \(V_i \neq \varnothing\) varsayalım. İddia: \(\pi_1(W) = \bigcup_{i \in I} U_i\).
\(x \in \pi_1(W)\) ise \(\pi_1(x, y) = x\) olan bir \((x, y) \in W\) vardır; \((x, y)\) bir \(U_i \times V_i\)’ye aittir, dolayısıyla \(x \in U_i\). Tersine \(x \in U_i\) ise \(V_i \neq \varnothing\) olduğundan bir \(y \in V_i\) seçilir, \((x, y) \in U_i \times V_i \subseteq W\) ve \(\pi_1(x, y) = x\) olur; yani \(x \in \pi_1(W)\). Böylece \(\pi_1(W) = \bigcup_{i \in I} U_i\), açık kümelerin birleşimi olarak (T3) gereği \(X\)’te açıktır. \(\pi_2(W) = \bigcup_{i \in I} V_i\) eşitliği de aynı biçimde gösterilir (\(U_i = \varnothing\) olan terimler atılarak) ve \(\pi_2(W)\), \(Y\)’de açıktır.
\(\blacksquare\)
Çarpım uzayı, verilen uzaylardan yeni uzay kurmanın ilk yoluydu; şimdi bir uzayın alt kümelerine, o uzaydan miras kalan doğal topolojiyi vereceğiz: Alt Uzay Topolojisi.