7 Açık ve Kapalı Kümeler; Sonlu ve Sayılabilir Tümleyen Topolojileri
Topoloji Tanımı ve İlk Örnekler bölümünde bir \(X\) kümesi üzerinde topolojinin ne olduğunu öğrendik: \(X\)’in alt kümelerinden oluşan, boş kümeyi ve \(X\)’i içeren, iki üyesinin kesişimini ve istenildiği kadar üyesinin birleşimini yine içeren bir \(\tau\) ailesi. Bu ailenin üyelerine “açık” diyoruz. Bu bölümde açık kümenin yanına onun ikizi olan kapalı küme kavramını koyuyoruz. İki kavram birbirinin karşıtı değildir: bir küme aynı anda hem açık hem kapalı olabilir, ikisi de olmayabilir. Bunu örneklerle göreceğiz.
Bölümün ikinci yarısında iki yeni ve önemli topoloji tanıyoruz: sonlu tümleyen topolojisi ve sayılabilir tümleyen topolojisi. Bunlar, ayrık ve en kaba topolojiden farklı olarak, hangi kümelerin açık olduğunu tümleyenin “küçüklüğü” ile ölçer. Her ikisinin de gerçekten topoloji olduğunu tam olarak ispatlayacağız ve \(\mathbb{R}\) üzerinde hangi kümelerin açık, hangilerinin kapalı olduğunu tek tek inceleyeceğiz.
Son olarak aynı küme üzerindeki iki topolojiyi karşılaştırmayı öğreneceğiz: biri ötekinden daha ince ya da daha kaba olabilir, ya da ikisi hiç karşılaştırılamayabilir. Bu dil, sonraki bölümlerde baz ve alt uzay topolojilerini incelerken sürekli kullanılacaktır.
7.1 Açık ve Kapalı Kümeler
Bir topoloji, hangi alt kümelerin “açık” sayılacağını söyler. Kapalı küme ise ayrıca seçilmez; tümleyeni açık olan kümeye kapalı denir. Bu bölümde \(X \setminus A\) ile \(A^c\) aynı kümeyi, yani \(A\)’nın \(X\) içindeki tümleyenini gösterir: \(X \setminus A = A^c = \{x \in X : x \notin A\}\).
Tanım 7.1 (Açık Küme) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay olsun. Bir \(O \subseteq X\) alt kümesine, \(O \in \tau\) ise açık küme (open set) denir.
Yani açık kümeler tam olarak topolojinin üyeleridir; bir kümenin açık olup olmadığını anlamak için tek yapılacak şey \(\tau\) listesine bakmaktır.
Tanım 7.2 (Kapalı Küme) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay olsun. Bir \(F \subseteq X\) alt kümesine, tümleyeni açık ise, yani \(X \setminus F \in \tau\) ise kapalı küme (closed set) denir.
Yani bir kümenin kapalı olup olmadığına karar vermek için tümleyenini alır ve tümleyenin \(\tau\)’da olup olmadığına bakarız. Buna göre kapalı kümelerin listesi, açık kümelerin tümleyenlerinin listesidir.
Günlük dilde “açık değilse kapalıdır” deriz; topolojide bu yanlıştır. Bir alt küme için dört durum da mümkündür: hem açık hem kapalı, yalnız açık, yalnız kapalı, ne açık ne kapalı. Aşağıdaki örneklerde dördünü de göreceğiz. Bir kümenin açık olmadığını göstermek onun kapalı olduğunu göstermez; kapalılık için tümleyenin açık olduğu ayrıca gösterilmelidir.
Tanımların hemen ardından gelen şu gözlem, açıklık ile kapalılık arasındaki ikiliği tek satırda özetler ve ileride sık sık kullanılacaktır.
Önerme 7.1 (Açıklık ve Kapalılık Tümleyenle Yer Değiştirir) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay ve \(A \subseteq X\) olsun. O zaman
1. \(A\) açıktır \(\Leftrightarrow\) \(X \setminus A\) kapalıdır;
2. \(A\) kapalıdır \(\Leftrightarrow\) \(X \setminus A\) açıktır.
İspat
İkinci madde tam olarak kapalı küme tanımıdır (Tanım 7.2). Birinci madde için tümleyenin tümleyeninin kümenin kendisi olduğunu kullanırız: \(X \setminus (X \setminus A) = A\). Kapalı küme tanımına göre \(X \setminus A\) kümesinin kapalı olması, tümleyeninin, yani \(X \setminus (X \setminus A) = A\) kümesinin açık olması demektir. Bu yüzden “\(X \setminus A\) kapalı” ile “\(A\) açık” aynı şeyi söyler.
\(\blacksquare\)
Şimdi dört durumun hepsini bir arada gösteren somut bir uzay inceleyelim.
Örnek 7.1 (Beş Noktalı Bir Uzayda Açık ve Kapalı Kümeler) \(X = \{a, b, c, d, e\}\) ve
\[\tau = \bigl\{\varnothing,\ X,\ \{a\},\ \{c, d\},\ \{a, c, d\},\ \{b, c, d, e\}\bigr\}\]
olsun. \(\tau\)’nun \(X\) üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz, \((X, \tau)\) uzayının bütün kapalı kümelerini bulunuz ve hem açık hem kapalı olan, yalnız açık olan, yalnız kapalı olan ve ikisi de olmayan birer küme yazınız.
Çözüm
\(\tau\) bir topolojidir. (T1) koşulu sağlanır, çünkü \(\varnothing\) ve \(X\) listede vardır. (T2) ve (T3) koşullarını denetlerken \(\varnothing\) ve \(X\)’i dışarıda bırakabiliriz; çünkü herhangi bir kümenin \(\varnothing\) ile kesişimi \(\varnothing\), \(X\) ile kesişimi kümenin kendisi, \(\varnothing\) ile birleşimi kümenin kendisi, \(X\) ile birleşimi \(X\)’tir ve bunların hepsi \(\tau\)’dadır. Geriye kalan dört kümenin ikili kesişimleri:
\[\begin{aligned} \{a\} \cap \{c, d\} &= \varnothing, & \{a\} \cap \{a, c, d\} &= \{a\}, & \{a\} \cap \{b, c, d, e\} &= \varnothing,\\ \{c, d\} \cap \{a, c, d\} &= \{c, d\}, & \{c, d\} \cap \{b, c, d, e\} &= \{c, d\}, & \{a, c, d\} \cap \{b, c, d, e\} &= \{c, d\}. \end{aligned}\]
Hepsi \(\tau\)’dadır; (T2) sağlanır. İkili birleşimler:
\[\begin{aligned} \{a\} \cup \{c, d\} &= \{a, c, d\}, & \{a\} \cup \{a, c, d\} &= \{a, c, d\}, & \{a\} \cup \{b, c, d, e\} &= X,\\ \{c, d\} \cup \{a, c, d\} &= \{a, c, d\}, & \{c, d\} \cup \{b, c, d, e\} &= \{b, c, d, e\}, & \{a, c, d\} \cup \{b, c, d, e\} &= X. \end{aligned}\]
Hepsi \(\tau\)’dadır. \(\tau\) sonlu bir aile olduğundan üç ya da daha çok üyesinin birleşimi, ikili birleşimler art arda alınarak elde edilir; ikili birleşimler \(\tau\)’da kaldığına göre her birleşim \(\tau\)’dadır. Böylece (T3) de sağlanır ve \(\tau\) bir topolojidir.
Kapalı kümeler. Kapalı kümeler açık kümelerin tümleyenleridir; altı açık kümenin tümleyenlerini alalım:
\[\begin{aligned} X \setminus \varnothing &= X, & X \setminus X &= \varnothing, & X \setminus \{a\} &= \{b, c, d, e\},\\ X \setminus \{c, d\} &= \{a, b, e\}, & X \setminus \{a, c, d\} &= \{b, e\}, & X \setminus \{b, c, d, e\} &= \{a\}. \end{aligned}\]
Dolayısıyla \((X, \tau)\) uzayının kapalı kümeleri şunlardır:
\[X,\quad \varnothing,\quad \{b, c, d, e\},\quad \{a, b, e\},\quad \{b, e\},\quad \{a\}.\]
Dört durum. İki listeyi karşılaştıralım.
- Hem açık hem kapalı olanlar: \(\varnothing\), \(X\), \(\{a\}\) ve \(\{b, c, d, e\}\). Örneğin \(\{b, c, d, e\}\) kümesi \(\tau\)’da olduğundan açıktır; tümleyeni \(\{a\}\) da \(\tau\)’da olduğundan kapalıdır.
- Yalnız açık olanlar: \(\{c, d\}\) ve \(\{a, c, d\}\). Örneğin \(\{c, d\}\) açıktır ama tümleyeni \(\{a, b, e\}\) listede yoktur; bu yüzden kapalı değildir.
- Yalnız kapalı olanlar: \(\{a, b, e\}\) ve \(\{b, e\}\). Örneğin \(\{b, e\}\) kümesi \(\tau\)’da yoktur, açık değildir; tümleyeni \(\{a, c, d\}\) ise \(\tau\)’dadır, bu yüzden \(\{b, e\}\) kapalıdır.
- Ne açık ne kapalı olanlar: \(\{a, b\}\) bunlardan biridir. \(\{a, b\} \notin \tau\) olduğundan açık değildir; tümleyeni \(\{c, d, e\}\) de \(\tau\)’da olmadığından kapalı değildir.
\(X\)’in \(2^5 = 32\) alt kümesi vardır. Bunların altısı açık, altısı kapalı, dördü hem açık hem kapalıdır; dolayısıyla açık ya da kapalı olan yalnızca \(6 + 6 - 4 = 8\) alt küme vardır ve geri kalan \(24\) alt kümenin hiçbiri ne açık ne kapalıdır. Yani “sıradan” bir alt kümenin ne açık ne kapalı olması olağandır.
\(\blacksquare\)
İki uç topolojide durum çok daha basittir.
Örnek 7.2 (Ayrık ve En Kaba Topolojide Açık ve Kapalı Kümeler) \(X \neq \varnothing\) olsun.
a) Ayrık topolojide (\(\tau = \mathcal{P}(X)\)) \(X\)’in her alt kümesi hem açık hem kapalıdır.
b) En kaba topolojide (\(\tau = \{\varnothing, X\}\)) açık olan yalnızca \(\varnothing\) ile \(X\)’tir ve kapalı olan da yalnızca \(\varnothing\) ile \(X\)’tir.
Çözüm
a) \(A \subseteq X\) herhangi bir alt küme olsun. \(\mathcal{P}(X)\), \(X\)’in bütün alt kümelerinden oluştuğundan \(A \in \tau\); yani \(A\) açıktır. Tümleyeni \(X \setminus A\) da \(X\)’in bir alt kümesidir, bu yüzden \(X \setminus A \in \tau\); yani \(A\) kapalıdır. Demek ki ayrık topolojide her alt küme hem açık hem kapalıdır.
b) \(\tau = \{\varnothing, X\}\) olduğundan açık kümeler yalnızca \(\varnothing\) ve \(X\)’tir. Bir \(F \subseteq X\) kümesinin kapalı olması için \(X \setminus F \in \{\varnothing, X\}\) olmalıdır. \(X \setminus F = \varnothing\) ise \(F = X\); \(X \setminus F = X\) ise \(F = \varnothing\). Dolayısıyla kapalı kümeler de yalnızca \(\varnothing\) ve \(X\)’tir. Bu topolojide \(\varnothing\) ve \(X\) dışındaki her alt küme ne açık ne kapalıdır.
\(\blacksquare\)
7.2 Kapalı Kümelerin Özellikleri
Topolojinin üç koşulu açık kümeler içindir: \(\varnothing\) ve \(X\) açıktır, iki açık kümenin kesişimi açıktır, keyfi sayıda açık kümenin birleşimi açıktır. Kapalı kümeler açık kümelerin tümleyenleri olduğuna göre, De Morgan kuralları bu üç özelliği kapalı kümeler için “ters yüz eder”: birleşim ile kesişim yer değiştirir. Bu teoremi ispatlamamız gerekir, çünkü ileride bir kümenin kapalı olduğunu göstermek için çoğu zaman onu kapalı kümelerin kesişimi ya da sonlu birleşimi olarak yazacağız.
Teorem 7.1 (Kapalı Kümelerin Temel Özellikleri) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay olsun.
(K1) \(\varnothing\) ve \(X\) kapalıdır.
(K2) Kapalı kümelerden oluşan boş olmayan herhangi bir \(\{F_i\}_{i \in I}\) ailesinin kesişimi \(\bigcap_{i \in I} F_i\) kapalıdır.
(K3) Sonlu sayıda kapalı kümenin birleşimi kapalıdır: \(F_1, \dots, F_n\) kapalı ise \(F_1 \cup \cdots \cup F_n\) kapalıdır.
İspat
(K1). \(X \setminus \varnothing = X\) ve (T1) gereği \(X \in \tau\); dolayısıyla \(\varnothing\)’in tümleyeni açıktır, yani \(\varnothing\) kapalıdır. Benzer biçimde \(X \setminus X = \varnothing \in \tau\); dolayısıyla \(X\) kapalıdır.
(K2). Her \(i \in I\) için \(F_i\) kapalı olsun; tanım gereği her \(X \setminus F_i\) açıktır. Kesişimin tümleyenini De Morgan kuralıyla yazalım:
\[X \setminus \Bigl(\bigcap_{i \in I} F_i\Bigr) = \bigcup_{i \in I} (X \setminus F_i).\]
Sağ taraf açık kümelerin bir birleşimidir; (T3) gereği açıktır. O halde \(\bigcap_{i \in I} F_i\) kümesinin tümleyeni açıktır, yani bu kesişim kapalıdır.
(K3). Önce iki küme için gösterelim. \(F_1\) ve \(F_2\) kapalı olsun; \(X \setminus F_1\) ve \(X \setminus F_2\) açıktır. De Morgan kuralıyla
\[X \setminus (F_1 \cup F_2) = (X \setminus F_1) \cap (X \setminus F_2).\]
Sağ taraf iki açık kümenin kesişimidir; (T2) gereği açıktır. Dolayısıyla \(F_1 \cup F_2\) kapalıdır.
Şimdi \(n\) üzerinden tümevarım yapalım. \(n = 1\) için söylenecek bir şey yoktur. \(n - 1\) tane kapalı kümenin birleşiminin kapalı olduğunu varsayalım ve \(F_1, \dots, F_n\) kapalı olsun. Birleşimi
\[F_1 \cup \cdots \cup F_n = (F_1 \cup \cdots \cup F_{n-1}) \cup F_n\]
biçiminde yazalım. Parantez içindeki küme tümevarım varsayımı gereği kapalıdır, \(F_n\) kapalıdır; iki kapalı kümenin birleşimi az önce gösterildiği gibi kapalıdır. Böylece \(F_1 \cup \cdots \cup F_n\) kapalıdır.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: kapalı kümelerin özellikleri, açık kümelerin özelliklerinin De Morgan kurallarıyla tümleyene aktarılmış hâlidir.
(K3)’te “sonlu” sözcüğü atılamaz: sonsuz sayıda kapalı kümenin birleşimi kapalı olmak zorunda değildir. Bunun somut bir örneğini sonlu tümleyen topolojisini tanıdıktan sonra vereceğiz.
7.3 Sıfır Noktası Topolojileri
Sonlu ve sayılabilir tümleyen topolojilerine geçmeden önce, “bir kümenin açık olması belli bir noktayı içermesine bağlıdır” fikrine dayanan iki basit topoloji görelim. Bunlar hem topoloji koşullarını denetleme alıştırması hem de açık–kapalı ayrımının güzel örnekleridir.
Örnek 7.3 (Sıfırı İçeren Kümeler Topolojisi) \(\mathbb{R}\) üzerinde
\[\tau_0 = \{A \subseteq \mathbb{R} : 0 \in A\} \cup \{\varnothing\}\]
ailesinin bir topoloji olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(\tau_0\)’ın üyeleri \(0\)’ı içeren bütün alt kümeler ile boş kümedir.
(T1). \(\varnothing \in \tau_0\) tanım gereğidir. \(0 \in \mathbb{R}\) olduğundan \(\mathbb{R} \in \tau_0\).
(T2). \(O_1, O_2 \in \tau_0\) olsun. \(O_1\) ya da \(O_2\) boş küme ise \(O_1 \cap O_2 = \varnothing \in \tau_0\). İkisi de boş değilse, \(\tau_0\)’ın tanımı gereği \(0 \in O_1\) ve \(0 \in O_2\); bu yüzden \(0 \in O_1 \cap O_2\) ve dolayısıyla \(O_1 \cap O_2 \in \tau_0\).
(T3). \(I\) herhangi bir küme ve her \(\alpha \in I\) için \(O_\alpha \in \tau_0\) olsun. Bütün \(O_\alpha\)’lar boş ise (ya da \(I = \varnothing\) ise) birleşim \(\varnothing\)’dir ve \(\varnothing \in \tau_0\). Aksi hâlde boş olmayan bir \(O_\beta\) vardır; \(\tau_0\)’ın tanımı gereği \(0 \in O_\beta\) ve \(O_\beta \subseteq \bigcup_{\alpha \in I} O_\alpha\) olduğundan \(0 \in \bigcup_{\alpha \in I} O_\alpha\). Bu yüzden birleşim \(\tau_0\)’dadır.
Üç koşul da sağlandığından \(\tau_0\), \(\mathbb{R}\) üzerinde bir topolojidir.
\(\blacksquare\)
İspatta \(\mathbb{R}\)’nin hiçbir özelliğini kullanmadık; yalnızca \(0\)’ın kümenin bir elemanı olmasını kullandık. Bu yüzden aynı ispat, \(0\)’ı içeren herhangi bir \(X\) kümesi (örneğin \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}\)) üzerinde \(\tau_0 = \{A \subseteq X : 0 \in A\} \cup \{\varnothing\}\) ailesinin de bir topoloji olduğunu gösterir. Bunu birazdan kullanacağız.
Şimdi \(0\)’ı içermeyen kümelerden kurulan aileyi ele alalım.
Örnek 7.4 (Sıfırı İçermeyen Kümeler Topolojisi) \(\mathbb{R}\) üzerinde
\[\widetilde{\tau}_0 = \{A \subseteq \mathbb{R} : 0 \notin A\} \cup \{\mathbb{R}\}\]
ailesinin bir topoloji olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(\widetilde{\tau}_0\)’ın üyeleri \(0\)’ı içermeyen bütün alt kümeler ile \(\mathbb{R}\)’nin kendisidir.
(T1). \(0 \notin \varnothing\) olduğundan \(\varnothing \in \widetilde{\tau}_0\). \(\mathbb{R} \in \widetilde{\tau}_0\) tanım gereğidir.
(T2). \(O_1, O_2 \in \widetilde{\tau}_0\) olsun. Biri \(\mathbb{R}\) ise, örneğin \(O_1 = \mathbb{R}\) ise, \(O_1 \cap O_2 = O_2 \in \widetilde{\tau}_0\). İkisi de \(\mathbb{R}\) değilse \(0 \notin O_1\)’dir; \(O_1 \cap O_2 \subseteq O_1\) olduğundan \(0 \notin O_1 \cap O_2\) ve dolayısıyla \(O_1 \cap O_2 \in \widetilde{\tau}_0\).
(T3). \(I\) herhangi bir küme ve her \(\alpha \in I\) için \(O_\alpha \in \widetilde{\tau}_0\) olsun. Bir \(\beta \in I\) için \(O_\beta = \mathbb{R}\) ise birleşim \(\mathbb{R}\)’dir ve \(\mathbb{R} \in \widetilde{\tau}_0\). Aksi hâlde her \(\alpha\) için \(0 \notin O_\alpha\)’dır. \(0\) birleşimde olsaydı en az bir \(O_\alpha\)’da olurdu; bu mümkün olmadığından \(0 \notin \bigcup_{\alpha \in I} O_\alpha\) ve birleşim \(\widetilde{\tau}_0\)’dadır.
Böylece \(\widetilde{\tau}_0\) bir topolojidir.
\(\blacksquare\)
Bu iki topoloji arasında sıkı bir bağ vardır: \((\mathbb{R}, \tau_0)\) uzayının kapalı kümeleri tam olarak \(\widetilde{\tau}_0\)’ın üyeleridir. Bunu alıştırmalarda ispatlayacaksınız.
Örnek 7.5 (Doğal Sayılar Üzerinde Sıfır Topolojisi) \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}\) üzerinde \(\tau_0 = \{A \subseteq \mathbb{N} : 0 \in A\} \cup \{\varnothing\}\) topolojisini alalım. \((\mathbb{N}, \tau_0)\) uzayında
a) \(\{1, 2, 3\}\) kümesi açık mıdır, kapalı mıdır?
b) \(\{0, \tfrac{1}{2}\}\) kümesi açık mıdır, kapalı mıdır?
Çözüm
Önce açık ve kapalı kümeleri betimleyelim. Tanım gereği \(A \subseteq \mathbb{N}\) açıktır \(\Leftrightarrow\) \(0 \in A\) ya da \(A = \varnothing\). Bir \(B \subseteq \mathbb{N}\) kümesi kapalıdır \(\Leftrightarrow\) \(\mathbb{N} \setminus B\) açıktır \(\Leftrightarrow\) \(0 \in \mathbb{N} \setminus B\) ya da \(\mathbb{N} \setminus B = \varnothing\) \(\Leftrightarrow\) \(0 \notin B\) ya da \(B = \mathbb{N}\).
a) \(0 \notin \{1, 2, 3\}\) ve \(\{1, 2, 3\} \neq \varnothing\) olduğundan \(\{1, 2, 3\}\) açık değildir. \(0 \notin \{1, 2, 3\}\) olduğundan kapalı kümelerin betimine göre \(\{1, 2, 3\}\) kapalıdır. Doğrudan görmek için tümleyenine bakalım: \(\mathbb{N} \setminus \{1, 2, 3\} = \{0, 4, 5, 6, \dots\}\) kümesi \(0\)’ı içerir, dolayısıyla açıktır. Sonuç: \(\{1, 2, 3\}\) kapalıdır ama açık değildir.
b) Açıklık ve kapalılık yalnızca uzayın alt kümeleri için tanımlıdır. \(\tfrac{1}{2} \notin \mathbb{N}\) olduğundan \(\{0, \tfrac{1}{2}\} \not\subseteq \mathbb{N}\); bu küme \((\mathbb{N}, \tau_0)\) uzayının bir alt kümesi bile değildir. Dolayısıyla ne açıktır ne kapalıdır.
\(\blacksquare\)
7.4 Sonlu Tümleyen Topolojisi
Şimdiye kadar gördüğümüz topolojilerde bir kümenin açık olması ya listede olmasına ya da belli bir noktayı içermesine bağlıydı. Yeni fikir şudur: bir küme, dışarıda bıraktığı nokta sayısı az ise açık olsun. “Az” sözcüğünü önce “sonlu”, sonra “sayılabilir” olarak yorumlayacağız.
Tanım 7.3 (Sonlu Tümleyen Topolojisi) \(X\) herhangi bir küme olsun.
\[\tau_{\text{sonlu}} = \{A \subseteq X : X \setminus A \text{ sonlu}\} \cup \{\varnothing\}\]
ailesine \(X\) üzerindeki sonlu tümleyen topolojisi (cofinite topology, finite complement topology) denir.
Yani sonlu tümleyen topolojisinde açık kümeler, boş küme ile tümleyeni sonlu olan kümelerdir; bir küme ancak \(X\)’in “neredeyse tamamı” ise açıktır. \(X\)’in kendisi de açıktır, çünkü tümleyeni \(\varnothing\) sonludur.
Tanımda “topoloji” sözcüğünü kullandık; bunun hakkını vermek için üç koşulu denetlememiz gerekir. İspat De Morgan kurallarına ve sonlu kümelerle ilgili iki basit gerçeğe dayanır: iki sonlu kümenin birleşimi sonludur ve sonlu bir kümenin her alt kümesi sonludur.
Teorem 7.2 (Sonlu Tümleyen Ailesi Bir Topolojidir) \(X\) herhangi bir küme olsun. \(\tau_{\text{sonlu}} = \{A \subseteq X : X \setminus A \text{ sonlu}\} \cup \{\varnothing\}\) ailesi \(X\) üzerinde bir topolojidir.
İspat
Kısalık için \(\tau = \tau_{\text{sonlu}}\) yazalım.
(T1). \(\varnothing \in \tau\) tanım gereğidir. \(X \setminus X = \varnothing\) sonlu bir küme olduğundan \(X \in \tau\).
(T2). \(O_1, O_2 \in \tau\) olsun. \(O_1\) ya da \(O_2\) boş ise \(O_1 \cap O_2 = \varnothing \in \tau\). İkisi de boş değilse \(\tau\)’nun tanımı gereği \(X \setminus O_1\) ve \(X \setminus O_2\) sonludur. Göstermek istediğimiz \(O_1 \cap O_2 \in \tau\), yani \(X \setminus (O_1 \cap O_2)\) kümesinin sonlu olduğudur. De Morgan kuralıyla
\[X \setminus (O_1 \cap O_2) = (X \setminus O_1) \cup (X \setminus O_2).\]
Sağ taraf iki sonlu kümenin birleşimidir ve iki sonlu kümenin birleşimi sonludur. Bu yüzden \(X \setminus (O_1 \cap O_2)\) sonludur ve \(O_1 \cap O_2 \in \tau\).
(T3). \(I\) herhangi bir küme ve her \(\alpha \in I\) için \(O_\alpha \in \tau\) olsun. \(J = \{\alpha \in I : O_\alpha \neq \varnothing\}\) diyelim. Boş kümeler birleşime katkı yapmadığından
\[\bigcup_{\alpha \in I} O_\alpha = \bigcup_{\alpha \in J} O_\alpha.\]
\(J = \varnothing\) ise birleşim \(\varnothing\)’dir ve \(\varnothing \in \tau\). \(J \neq \varnothing\) ise her \(\alpha \in J\) için \(X \setminus O_\alpha\) sonludur. De Morgan kuralıyla
\[X \setminus \Bigl(\bigcup_{\alpha \in J} O_\alpha\Bigr) = \bigcap_{\alpha \in J} (X \setminus O_\alpha).\]
Bir \(\beta \in J\) seçelim. Kesişim, aileyi oluşturan her kümenin alt kümesidir; özel olarak
\[\bigcap_{\alpha \in J} (X \setminus O_\alpha) \subseteq X \setminus O_\beta.\]
\(X \setminus O_\beta\) sonludur ve sonlu bir kümenin alt kümesi sonludur; bu yüzden kesişim sonludur. Dolayısıyla \(X \setminus \bigcup_{\alpha \in I} O_\alpha\) sonludur ve \(\bigcup_{\alpha \in I} O_\alpha \in \tau\).
Üç koşul da sağlandığından \(\tau_{\text{sonlu}}\) bir topolojidir.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: kesişimin tümleyeni tümleyenlerin birleşimi, birleşimin tümleyeni tümleyenlerin kesişimidir; iki sonlu kümenin birleşimi ve sonlu bir kümenin alt kümesi sonlu kalır.
\(X\) sonlu ise \(X\)’in her alt kümesinin tümleyeni de sonludur; bu yüzden her alt küme \(\tau_{\text{sonlu}}\)’dadır ve \(\tau_{\text{sonlu}} = \mathcal{P}(X)\) olur. Sonlu tümleyen topolojisi ancak \(X\) sonsuz olduğunda yeni bir şey söyler.
Bu topolojide kapalı kümeleri tanımak da kolaydır ve örneklerde sürekli kullanacağımız için ayrı bir önerme olarak yazıyoruz.
Önerme 7.2 (Sonlu Tümleyen Topolojisinde Kapalı Kümeler) \(X\) üzerinde sonlu tümleyen topolojisi alınsın. Bir \(B \subseteq X\) kümesi kapalıdır \(\Leftrightarrow\) \(B\) sonludur ya da \(B = X\).
İspat
Tanım gereği \(B\) kapalıdır \(\Leftrightarrow\) \(X \setminus B\) açıktır. \(\tau_{\text{sonlu}}\)’nun tanımına göre \(X \setminus B\) açıktır \(\Leftrightarrow\) \(X \setminus (X \setminus B)\) sonludur ya da \(X \setminus B = \varnothing\). \(X \setminus (X \setminus B) = B\) olduğundan ilk seçenek “\(B\) sonludur” demektir; \(X \setminus B = \varnothing\) ise \(B = X\) demektir. Böylece \(B\) kapalıdır \(\Leftrightarrow\) \(B\) sonludur ya da \(B = X\).
\(\blacksquare\)
Yani sonlu tümleyen topolojisinde kapalı kümeler, uzayın kendisi ile bütün sonlu alt kümelerdir. Şimdi \(\mathbb{R}\) üzerinde somut kümeleri inceleyelim.
Örnek 7.6 (Reel Sayılarda Sonlu Tümleyen Topolojisi) \(\mathbb{R}\) üzerinde sonlu tümleyen topolojisi \(\tau_{\text{sonlu}}\) alınsın. Aşağıdaki kümelerin açık olup olmadığını ve kapalı olup olmadığını belirleyiniz.
a) \(\mathbb{Q}\)
b) \(\{0\}\)
c) \(\mathbb{N}\)
d) \(\mathbb{R} \setminus \{1, 2, \dots, n\}\)
Çözüm
Elimizdeki iki ölçüt şunlardır: \(A \subseteq \mathbb{R}\) açıktır \(\Leftrightarrow\) \(\mathbb{R} \setminus A\) sonludur ya da \(A = \varnothing\); \(B \subseteq \mathbb{R}\) kapalıdır \(\Leftrightarrow\) \(B\) sonludur ya da \(B = \mathbb{R}\) (Önerme 7.2).
a) \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) irrasyonel sayılar kümesidir ve sonsuzdur: \(\sqrt{2},\ 2\sqrt{2},\ 3\sqrt{2}, \dots\) sayılarının hepsi irrasyoneldir (bir \(k \in \mathbb{Z}^+\) için \(k\sqrt{2}\) rasyonel olsaydı \(\sqrt{2} = (k\sqrt{2})/k\) de rasyonel olurdu) ve birbirinden farklıdır. Ayrıca \(\mathbb{Q} \neq \varnothing\). Bu yüzden \(\mathbb{Q}\) açık değildir. Öte yandan \(\mathbb{Q}\) sonsuzdur (\(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Q}\)) ve \(\mathbb{Q} \neq \mathbb{R}\) (\(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\)); bu yüzden \(\mathbb{Q}\) kapalı da değildir. \(\mathbb{Q}\) ne açık ne kapalıdır.
b) \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) sonsuzdur ve \(\{0\} \neq \varnothing\); bu yüzden \(\{0\}\) açık değildir. \(\{0\}\) sonlu bir küme olduğundan kapalıdır. \(\{0\}\) kapalıdır ama açık değildir.
c) \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{N}\) sonsuzdur; örneğin bütün negatif reel sayıları içerir. \(\mathbb{N} \neq \varnothing\) olduğundan \(\mathbb{N}\) açık değildir. \(\mathbb{N}\) sonsuzdur ve \(\mathbb{N} \neq \mathbb{R}\); bu yüzden \(\mathbb{N}\) kapalı da değildir. \(\mathbb{N}\) ne açık ne kapalıdır.
d) \(A = \mathbb{R} \setminus \{1, 2, \dots, n\}\) olsun. Tümleyeni \(\mathbb{R} \setminus A = \{1, 2, \dots, n\}\) sonludur; bu yüzden \(A\) açıktır. \(A\) sonsuzdur (örneğin bütün negatif sayıları içerir) ve \(A \neq \mathbb{R}\) (\(1 \notin A\)); bu yüzden \(A\) kapalı değildir. \(A\) açıktır ama kapalı değildir.
\(\blacksquare\)
Bu örnek, (K3)’teki “sonlu” sözcüğünün neden gerekli olduğunu da gösterir.
\(\mathbb{R}\) üzerinde sonlu tümleyen topolojisinde her \(n \in \mathbb{N}\) için \(\{n\}\) kümesi sonlu, dolayısıyla kapalıdır. Ama bunların birleşimi \(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{n\} = \mathbb{N}\) kapalı değildir (Örnek 7.6, c şıkkı). Benzer biçimde her \(n \in \mathbb{N}\) için \(\mathbb{R} \setminus \{n\}\) açıktır (tümleyeni tek noktadır), ama kesişimleri \(\bigcap_{n \in \mathbb{N}} (\mathbb{R} \setminus \{n\}) = \mathbb{R} \setminus \mathbb{N}\) açık değildir; çünkü tümleyeni \(\mathbb{N}\) sonsuzdur ve küme boş değildir. Topolojide açık kümelerin yalnızca sonlu kesişimi, kapalı kümelerin yalnızca sonlu birleşimi güvencelidir.
7.5 Sayılabilir Tümleyen Topolojisi
Sonlu tümleyen topolojisinde “az nokta dışarıda kalıyor” demek “sonlu sayıda nokta dışarıda kalıyor” demekti. Şimdi “az” sözcüğünü genişletip “sayılabilir çoklukta” diyeceğiz. Önce sayılabilirlikle ilgili kullanacağımız gerçekleri hatırlayalım.
Bir \(A\) kümesi, sonlu ise ya da \(A\) ile \(\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}\) arasında birebir örten bir fonksiyon varsa sayılabilir (countable) denir; sayılabilir olmayan kümeye sayılamaz denir. Örneğin \(\{1\}\) ve \(\{0, 1, \dots, n\}\) sonludur, dolayısıyla sayılabilirdir; \(\mathbb{Z}^+\), \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) ve \(\mathbb{Q}\) sayılabilirdir; \(\mathbb{R}\), irrasyonel sayılar kümesi \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) ve boş olmayan her açık aralık sayılamazdır. Bu bölümde şu üç gerçeği kullanacağız:
- Her sonlu küme sayılabilirdir (tanım gereği).
- Sayılabilir bir kümenin her alt kümesi sayılabilirdir: kümenin elemanları \(a_1, a_2, a_3, \dots\) diye sıralanmışsa alt kümenin elemanları bu sırada atlanarak sıralanır.
- İki sayılabilir kümenin birleşimi sayılabilirdir: elemanlar \(a_1, b_1, a_2, b_2, \dots\) diye dönüşümlü sıralanır, tekrar edenler atılır.
Bu gerçeklerin ayrıntılı ispatları küme kuramında yapılır; burada yalnızca sonuçlarını kullanıyoruz.
Tanım 7.4 (Sayılabilir Tümleyen Topolojisi) \(X\) herhangi bir küme olsun.
\[\tau_{\text{say}} = \{A \subseteq X : X \setminus A \text{ sayılabilir}\} \cup \{\varnothing\}\]
ailesine \(X\) üzerindeki sayılabilir tümleyen topolojisi (cocountable topology, countable complement topology) denir.
Yani sayılabilir tümleyen topolojisinde açık kümeler, boş küme ile tümleyeni sayılabilir olan kümelerdir; bir küme dışarıda en çok sayılabilir çoklukta nokta bırakıyorsa açıktır.
\(X\) sayılabilir ise her alt kümesinin tümleyeni de \(X\)’in bir alt kümesi olarak sayılabilirdir; bu yüzden her alt küme açıktır ve \(\tau_{\text{say}} = \mathcal{P}(X)\) olur. Sayılabilir tümleyen topolojisi ancak \(X\) sayılamaz olduğunda, örneğin \(X = \mathbb{R}\) için, yeni bir topoloji verir.
Sonlu tümleyen topolojisinin ispatını sayılabilir kümelere taşıyabilmek için “iki sonlu kümenin birleşimi sonludur” yerine “iki sayılabilir kümenin birleşimi sayılabilirdir”, “sonlu kümenin alt kümesi sonludur” yerine “sayılabilir kümenin alt kümesi sayılabilirdir” gerçeklerini kullanmamız yeter.
Teorem 7.3 (Sayılabilir Tümleyen Ailesi Bir Topolojidir) \(X\) herhangi bir küme olsun. \(\tau_{\text{say}} = \{A \subseteq X : X \setminus A \text{ sayılabilir}\} \cup \{\varnothing\}\) ailesi \(X\) üzerinde bir topolojidir.
İspat
Kısalık için \(\tau = \tau_{\text{say}}\) yazalım.
(T1). \(\varnothing \in \tau\) tanım gereğidir. \(X \setminus X = \varnothing\) sonlu, dolayısıyla sayılabilir olduğundan \(X \in \tau\).
(T2). \(O_1, O_2 \in \tau\) olsun. Biri boş ise kesişim \(\varnothing \in \tau\). İkisi de boş değilse \(X \setminus O_1\) ve \(X \setminus O_2\) sayılabilirdir. De Morgan kuralıyla
\[X \setminus (O_1 \cap O_2) = (X \setminus O_1) \cup (X \setminus O_2)\]
ve sağ taraf iki sayılabilir kümenin birleşimi olduğundan sayılabilirdir. Bu yüzden \(O_1 \cap O_2 \in \tau\).
(T3). \(I\) herhangi bir küme ve her \(\alpha \in I\) için \(O_\alpha \in \tau\) olsun. \(J = \{\alpha \in I : O_\alpha \neq \varnothing\}\) diyelim; boş kümeler birleşimi değiştirmediğinden \(\bigcup_{\alpha \in I} O_\alpha = \bigcup_{\alpha \in J} O_\alpha\). \(J = \varnothing\) ise birleşim \(\varnothing \in \tau\). \(J \neq \varnothing\) ise bir \(\beta \in J\) seçelim; \(X \setminus O_\beta\) sayılabilirdir. De Morgan kuralıyla
\[X \setminus \Bigl(\bigcup_{\alpha \in J} O_\alpha\Bigr) = \bigcap_{\alpha \in J} (X \setminus O_\alpha) \subseteq X \setminus O_\beta.\]
Sayılabilir bir kümenin alt kümesi sayılabilir olduğundan sol taraf sayılabilirdir. Dolayısıyla \(\bigcup_{\alpha \in I} O_\alpha \in \tau\).
Üç koşul da sağlandığından \(\tau_{\text{say}}\) bir topolojidir.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: sonlu tümleyen ispatının aynısı; “sonlu” sözcüğünün her geçtiği yerde “sayılabilir” yazılır ve sayılabilir kümelerin aynı iki kapanış özelliğine sahip olduğu kullanılır.
Önerme 7.3 (Sayılabilir Tümleyen Topolojisinde Kapalı Kümeler) \(X\) üzerinde sayılabilir tümleyen topolojisi alınsın. Bir \(B \subseteq X\) kümesi kapalıdır \(\Leftrightarrow\) \(B\) sayılabilirdir ya da \(B = X\).
İspat
\(B\) kapalıdır \(\Leftrightarrow\) \(X \setminus B\) açıktır \(\Leftrightarrow\) \(X \setminus (X \setminus B) = B\) sayılabilirdir ya da \(X \setminus B = \varnothing\), yani \(B = X\). Bu, Önerme 7.2 ispatının kelimesi kelimesine aynısıdır; yalnızca “sonlu” yerine “sayılabilir” yazılmıştır.
\(\blacksquare\)
Örnek 7.7 (Reel Sayılarda Sayılabilir Tümleyen Topolojisi) \(\mathbb{R}\) üzerinde sayılabilir tümleyen topolojisi alınsın. \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) ve \([0, 1]\) kümelerinin açık olup olmadığını ve kapalı olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm
Ölçütler: \(A\) açıktır \(\Leftrightarrow\) \(\mathbb{R} \setminus A\) sayılabilirdir ya da \(A = \varnothing\); \(B\) kapalıdır \(\Leftrightarrow\) \(B\) sayılabilirdir ya da \(B = \mathbb{R}\).
\(\mathbb{Q}\). \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) sayılamazdır: sayılabilir olsaydı \(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})\) iki sayılabilir kümenin birleşimi olarak sayılabilir olurdu; oysa \(\mathbb{R}\) sayılamazdır. \(\mathbb{Q} \neq \varnothing\) olduğundan \(\mathbb{Q}\) açık değildir. \(\mathbb{Q}\) sayılabilir olduğundan kapalıdır.
\(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\). Tümleyeni \(\mathbb{Q}\) sayılabilirdir; bu yüzden \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) açıktır. Kendisi sayılamazdır ve \(\mathbb{R}\)’ye eşit değildir; bu yüzden kapalı değildir.
\([0, 1]\). \([0, 1]\) aralığı \((0, 1)\) açık aralığını içerdiğinden sayılamazdır ve \(\mathbb{R}\)’ye eşit değildir; kapalı değildir. Tümleyeni \(\mathbb{R} \setminus [0, 1]\), \((1, 2)\) aralığını içerdiğinden sayılamazdır ve \([0, 1] \neq \varnothing\); bu yüzden \([0, 1]\) açık da değildir. \([0, 1]\) ne açık ne kapalıdır.
Sonlu tümleyen topolojisiyle karşılaştırın: orada \(\mathbb{Q}\) ne açık ne kapalıydı, burada kapalıdır. Aynı küme, farklı topolojilerde farklı davranır.
\(\blacksquare\)
7.6 Daha İnce ve Daha Kaba Topolojiler
Aynı \(X\) kümesi üzerinde birden çok topoloji tanımladık: en kaba topoloji, ayrık topoloji, sonlu tümleyen, sayılabilir tümleyen. Bunları birbirleriyle karşılaştırmanın doğal yolu, hangi topolojinin daha çok açık küme içerdiğine bakmaktır.
Tanım 7.5 (Daha İnce, Daha Kaba ve Karşılaştırılabilir Topolojiler) \(\tau\) ve \(\tau'\), aynı \(X\) kümesi üzerinde iki topoloji olsun.
1. \(\tau' \supseteq \tau\) ise \(\tau'\) topolojisi \(\tau\)’dan daha incedir (finer) denir; bu durumda \(\tau\)’nun \(\tau'\)’den daha kaba (coarser) olduğu da söylenir.
2. \(\tau' \supsetneq \tau\) ise, yani \(\tau'\) topolojisi \(\tau\)’yu içeriyor ama ona eşit değilse, \(\tau'\) topolojisi \(\tau\)’dan kesin daha incedir (strictly finer), \(\tau\) ise \(\tau'\)’den kesin daha kabadır denir.
3. \(\tau' \supseteq \tau\) ya da \(\tau \supseteq \tau'\) ise \(\tau\) ile \(\tau'\) karşılaştırılabilir (comparable) denir.
Yani daha ince topoloji daha çok açık kümeye sahip olandır; “ince” sözcüğü, kümenin daha küçük açık parçalara bölünebildiğini, “kaba” sözcüğü daha az parçaya ayrılabildiğini anlatır. Bir topolojinin bir başkasından daha ince olduğunu göstermek için kabanın her açık kümesinin incede de açık olduğunu göstermek yeter.
İki topolojinin karşılaştırılabilir olması gerekmez; küçük bir örnek bunu hemen gösterir.
Örnek 7.8 (Karşılaştırılamayan İki Topoloji) \(X = \{a, b, c\}\) üzerinde \(\tau_1 = \{\varnothing, X, \{a\}\}\) ve \(\tau_2 = \{\varnothing, X, \{b\}\}\) topolojilerinin karşılaştırılabilir olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Önce \(\tau_1\)’in topoloji olduğunu görelim. \(\varnothing\) ve \(X\) listededir; (T1) sağlanır. Üyelerin ikili kesişimleri \(\{a\} \cap \varnothing = \varnothing\), \(\{a\} \cap X = \{a\}\), \(\varnothing \cap X = \varnothing\) ve ikili birleşimleri \(\{a\} \cup \varnothing = \{a\}\), \(\{a\} \cup X = X\), \(\varnothing \cup X = X\) olup hepsi \(\tau_1\)’dedir; aile sonlu olduğundan her birleşim ikili birleşimlerle elde edilir. Böylece (T2) ve (T3) sağlanır. \(\tau_2\) için aynı hesap \(a\) yerine \(b\) ile yapılır. Şimdi \(\{a\} \in \tau_1\) ama \(\{a\} \notin \tau_2\); bu yüzden \(\tau_1 \not\subseteq \tau_2\). Benzer biçimde \(\{b\} \in \tau_2\) ama \(\{b\} \notin \tau_1\); bu yüzden \(\tau_2 \not\subseteq \tau_1\). Hiçbiri ötekini içermediğinden \(\tau_1\) ile \(\tau_2\) karşılaştırılabilir değildir.
\(\blacksquare\)
Öte yandan iki uç topoloji her topolojiyle karşılaştırılabilir: her topoloji en kaba topolojiden daha ince, ayrık topolojiden daha kabadır.
Önerme 7.4 (En Kaba ve En İnce Topolojiler) \(X\) bir küme ve \(\tau\), \(X\) üzerinde herhangi bir topoloji olsun. O zaman
\[\{\varnothing, X\} \subseteq \tau \subseteq \mathcal{P}(X).\]
Yani en kaba topoloji \(X\) üzerindeki her topolojiden daha kaba, ayrık topoloji her topolojiden daha incedir.
İspat
(T1) koşulu gereği \(\varnothing \in \tau\) ve \(X \in \tau\); bu yüzden \(\{\varnothing, X\} \subseteq \tau\). Öte yandan bir topoloji, tanımı gereği \(X\)’in alt kümelerinden oluşan bir ailedir, yani \(\tau \subseteq \mathcal{P}(X)\).
\(\blacksquare\)
Sonlu ve sayılabilir tümleyen topolojilerini karşılaştırmak için de tek bir gözlem yeter: her sonlu küme sayılabilirdir. Bu yüzden tümleyeni sonlu olan her küme, tümleyeni sayılabilir olan kümelerden biridir. İncelik ne zaman kesin olur sorusunu da tam olarak yanıtlayabiliriz.
Teorem 7.4 (Sayılabilir Tümleyen Topolojisi Sonlu Tümleyen Topolojisinden Daha İncedir) \(X\) herhangi bir küme olsun. \(X\) üzerindeki sonlu tümleyen ve sayılabilir tümleyen topolojileri karşılaştırılabilirdir ve
\[\tau_{\text{sonlu}} \subseteq \tau_{\text{say}},\]
yani \(\tau_{\text{say}}\), \(\tau_{\text{sonlu}}\)’dan daha incedir. Üstelik \(X\) sonlu ise iki topoloji eşittir; \(X\) sonsuz ise \(\tau_{\text{say}}\) kesin daha incedir.
İspat
Kapsama. \(A \in \tau_{\text{sonlu}}\) olsun. \(A = \varnothing\) ise \(A \in \tau_{\text{say}}\), çünkü \(\varnothing\) tanım gereği \(\tau_{\text{say}}\)’dadır. \(A \neq \varnothing\) ise \(X \setminus A\) sonludur; her sonlu küme sayılabilir olduğundan \(X \setminus A\) sayılabilirdir ve dolayısıyla \(A \in \tau_{\text{say}}\). Böylece \(\tau_{\text{sonlu}} \subseteq \tau_{\text{say}}\); iki topoloji karşılaştırılabilirdir ve \(\tau_{\text{say}}\) daha incedir.
\(X\) sonlu ise eşitlik. Yukarıdaki notlarda gördüğümüz gibi \(X\) sonluysa \(\tau_{\text{sonlu}} = \mathcal{P}(X)\); \(X\) sonlu olduğundan sayılabilirdir ve \(\tau_{\text{say}} = \mathcal{P}(X)\). Dolayısıyla \(\tau_{\text{sonlu}} = \tau_{\text{say}}\).
\(X\) sonsuz ise kesin incelik. \(\tau_{\text{say}}\)’da olup \(\tau_{\text{sonlu}}\)’da olmayan bir küme bulmalıyız. Bir \(x_0 \in X\) seçelim. \(X\) sonsuz olduğundan \(X \setminus \{x_0\}\) de sonsuzdur ve sonsuz bir kümeden birbirinden farklı \(x_1, x_2, x_3, \dots\) elemanları seçilebilir. \(C = \{x_1, x_2, x_3, \dots\}\) diyelim; \(C\), \(\mathbb{Z}^+\) ile birebir örten eşlenebildiğinden (\(k \mapsto x_k\)) sayılabilir ve sonsuzdur, ayrıca \(x_0 \notin C\). \(A = X \setminus C\) kümesine bakalım:
- \(X \setminus A = C\) sayılabilir olduğundan \(A \in \tau_{\text{say}}\).
- \(x_0 \in A\) olduğundan \(A \neq \varnothing\); \(X \setminus A = C\) sonsuz olduğundan \(A\)’nın tümleyeni sonlu değildir. Dolayısıyla \(A \notin \tau_{\text{sonlu}}\).
Böylece \(\tau_{\text{sonlu}} \subsetneq \tau_{\text{say}}\); \(\tau_{\text{say}}\) kesin daha incedir.
\(\blacksquare\)
İspatın özü: sonlu tümleyen daima sayılabilir tümleyendir, ama sonsuz bir kümede sayılabilir sonsuz bir tümleyen seçilerek ters yön bozulur.
Bölümde gördüğümüz dört topolojiyi tek bir zincirde toplayabiliriz. \(X\) herhangi bir küme ise
\[\{\varnothing, X\} \subseteq \tau_{\text{sonlu}} \subseteq \tau_{\text{say}} \subseteq \mathcal{P}(X);\]
soldan sağa doğru topolojiler incelir. İlk ve son kapsama Önerme 7.4, ortadaki kapsama Teorem 7.4 gereğidir. \(X = \mathbb{R}\) için dört topoloji de birbirinden farklıdır: \(\{0\}\) kümesi \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\)’de açıkken \(\tau_{\text{say}}\)’da açık değildir; \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{N}\) kümesi \(\tau_{\text{say}}\)’da açıkken \(\tau_{\text{sonlu}}\)’da açık değildir; \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) kümesi \(\tau_{\text{sonlu}}\)’da açıkken en kaba topolojide açık değildir.
7.7 Alıştırmalar
Alıştırma 7.1 (Açık, Kapalı Kümeler ve Tümleyen Topolojileri) a) \(X = \{1, 2, 3, 4\}\) üzerinde \(\tau = \{\varnothing, X, \{1\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}\) bir topolojidir. \((X, \tau)\) uzayının bütün kapalı kümelerini yazınız; \(\{1\}\), \(\{4\}\), \(\{1, 4\}\), \(\{2, 3, 4\}\) kümelerinin açık ve kapalı olup olmadığını belirleyiniz; ne açık ne kapalı bir küme veriniz.
b) \(\mathbb{Q}\) üzerinde ayrık topoloji alınsın. \(\mathbb{Z}\), \(\{0\}\) ve \(\{\sqrt{2}\}\) kümeleri açık mıdır, kapalı mıdır?
c) \(\mathbb{R}\) üzerinde sonlu tümleyen topolojisi alınsın. \(\mathbb{Z}\), \([0, 1]\) ve \(\mathbb{R} \setminus \{\sqrt{2}\}\) kümeleri açık mıdır, kapalı mıdır?
d) \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}\) üzerinde \(\tau_0 = \{A \subseteq \mathbb{N} : 0 \in A\} \cup \{\varnothing\}\) topolojisi alınsın. \(\{0, 1, 2\}\), \(\{5\}\) ve \(\mathbb{N} \setminus \{0\}\) kümeleri açık mıdır, kapalı mıdır?
e) \((\mathbb{R}, \tau_0)\) uzayının kapalı kümelerinin tam olarak \(\widetilde{\tau}_0 = \{A \subseteq \mathbb{R} : 0 \notin A\} \cup \{\mathbb{R}\}\) ailesinin üyeleri olduğunu gösteriniz.
f) \(X\) sayılabilir bir küme ise \(X\) üzerindeki sayılabilir tümleyen topolojisinin ayrık topoloji olduğunu; \(X\) sonlu ise sonlu tümleyen topolojisinin ayrık topoloji olduğunu ispatlayınız.
g) \((X, \tau)\) bir topolojik uzay, \(A\) açık ve \(F\) kapalı olsun. \(A \setminus F\) kümesinin açık, \(F \setminus A\) kümesinin kapalı olduğunu ispatlayınız.
Çözüm
a) Kapalı kümeler açık kümelerin tümleyenleridir: \(X \setminus \varnothing = X\), \(X \setminus X = \varnothing\), \(X \setminus \{1\} = \{2, 3, 4\}\), \(X \setminus \{2, 3\} = \{1, 4\}\), \(X \setminus \{1, 2, 3\} = \{4\}\). Kapalı kümeler: \(X\), \(\varnothing\), \(\{2, 3, 4\}\), \(\{1, 4\}\), \(\{4\}\). Buna göre \(\{1\}\) açıktır (\(\tau\)’da) ama kapalı değildir (kapalı listesinde yok). \(\{4\}\) açık değildir ama kapalıdır. \(\{1, 4\}\) açık değildir ama kapalıdır. \(\{2, 3, 4\}\) açık değildir ama kapalıdır. \(\{1, 2\}\) ne açık listesinde ne kapalı listesinde vardır; ne açık ne kapalıdır.
b) Ayrık topolojide \(\mathbb{Q}\)’nun her alt kümesi hem açık hem kapalıdır (Örnek 7.2). \(\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}\) olduğundan \(\mathbb{Z}\) hem açık hem kapalıdır. \(0 = 0/1 \in \mathbb{Q}\) olduğundan \(\{0\} \subseteq \mathbb{Q}\) ve \(\{0\}\) hem açık hem kapalıdır. \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) olduğundan \(\{\sqrt{2}\}\) kümesi \(\mathbb{Q}\)’nun alt kümesi değildir; uzayın bir alt kümesi olmadığından ne açık ne kapalıdır.
c) Ölçütler Örnek 7.6 çözümündeki gibidir. \(\mathbb{Z}\): tümleyeni \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}\) sonsuzdur (\(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \dots\) elemanlarını içerir) ve \(\mathbb{Z} \neq \varnothing\); açık değildir. \(\mathbb{Z}\) sonsuzdur ve \(\mathbb{Z} \neq \mathbb{R}\); kapalı değildir. \([0, 1]\): tümleyeni \(\mathbb{R} \setminus [0, 1]\) bütün negatif sayıları içerdiğinden sonsuzdur ve \([0, 1] \neq \varnothing\); açık değildir. \([0, 1]\) sonsuzdur (\(\tfrac{1}{n}\) sayılarını içerir) ve \(\mathbb{R}\)’ye eşit değildir; kapalı değildir. \(\mathbb{R} \setminus \{\sqrt{2}\}\): tümleyeni \(\{\sqrt{2}\}\) sonludur; açıktır. Kendisi sonsuzdur ve \(\mathbb{R}\)’ye eşit değildir; kapalı değildir.
d) \(A \subseteq \mathbb{N}\) açıktır \(\Leftrightarrow\) \(0 \in A\) ya da \(A = \varnothing\); \(B \subseteq \mathbb{N}\) kapalıdır \(\Leftrightarrow\) \(0 \notin B\) ya da \(B = \mathbb{N}\) (Örnek 7.5). \(\{0, 1, 2\}\): \(0\)’ı içerdiğinden açıktır; \(0 \in \{0, 1, 2\}\) ve \(\{0, 1, 2\} \neq \mathbb{N}\) olduğundan kapalı değildir. \(\{5\}\): \(0 \notin \{5\}\) ve \(\{5\} \neq \varnothing\) olduğundan açık değildir; \(0 \notin \{5\}\) olduğundan kapalıdır. \(\mathbb{N} \setminus \{0\}\): \(0\)’ı içermez ve boş değildir, açık değildir; \(0\)’ı içermediğinden kapalıdır.
e) \(B \subseteq \mathbb{R}\) olsun. Tanım gereği \(B\), \((\mathbb{R}, \tau_0)\) uzayında kapalıdır \(\Leftrightarrow\) \(\mathbb{R} \setminus B \in \tau_0\) \(\Leftrightarrow\) \(0 \in \mathbb{R} \setminus B\) ya da \(\mathbb{R} \setminus B = \varnothing\). Birinci seçenek “\(0 \notin B\)”, ikinci seçenek “\(B = \mathbb{R}\)” demektir. Dolayısıyla \(B\) kapalıdır \(\Leftrightarrow\) \(0 \notin B\) ya da \(B = \mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow\) \(B \in \widetilde{\tau}_0\). Yani \(\tau_0\)’ın kapalı kümeleri tam olarak \(\widetilde{\tau}_0\)’ın üyeleridir. (Aynı akıl yürütme \(\widetilde{\tau}_0\)’ın kapalı kümelerinin de tam olarak \(\tau_0\)’ın üyeleri olduğunu gösterir.)
f) \(X\) sayılabilir olsun. Herhangi bir \(A \subseteq X\) için \(X \setminus A \subseteq X\); sayılabilir bir kümenin alt kümesi sayılabilir olduğundan \(X \setminus A\) sayılabilirdir ve \(A \in \tau_{\text{say}}\). Böylece \(\mathcal{P}(X) \subseteq \tau_{\text{say}}\); ters kapsama her topoloji için geçerlidir. Dolayısıyla \(\tau_{\text{say}} = \mathcal{P}(X)\). \(X\) sonlu ise aynı akıl yürütme “sayılabilir” yerine “sonlu” ile yapılır: her \(A \subseteq X\) için \(X \setminus A\), sonlu bir kümenin alt kümesi olarak sonludur, bu yüzden \(A \in \tau_{\text{sonlu}}\) ve \(\tau_{\text{sonlu}} = \mathcal{P}(X)\).
g) \(A \setminus F = A \cap (X \setminus F)\) yazalım. \(A\) açıktır; \(F\) kapalı olduğundan \(X \setminus F\) açıktır; iki açık kümenin kesişimi (T2) gereği açıktır. Dolayısıyla \(A \setminus F\) açıktır. Benzer biçimde \(F \setminus A = F \cap (X \setminus A)\); \(F\) kapalıdır ve \(A\) açık olduğundan \(X \setminus A\) kapalıdır (Önerme 7.1); iki kapalı kümenin kesişimi (K2) gereği kapalıdır (Teorem 7.1). Dolayısıyla \(F \setminus A\) kapalıdır.
\(\blacksquare\)
Bir topolojiyi bütün açık kümelerini listeleyerek vermek çoğu zaman olanaksızdır; bir sonraki bölümde topolojiyi daha küçük bir “üretici” aileden kurmayı öğreneceğiz: Baz ve Alt Baz.