3 Yardımcı Koşullar ve İyi Konulmuş Problemler
Fiziksel sistemleri modelleyen kısmi diferansiyel denklemlerin genellikle sonsuz sayıda çözümü vardır. Örneğin çözüm türleri bölümünde gördüğümüz genel çözümler, keyfi fonksiyonlar içeriyordu; keyfi fonksiyonun her seçimi ayrı bir çözümdür.
Oysa fiziksel bir problemin tek bir cevabı olmalıdır: telin yarın saat üçteki şekli, odanın şu köşesindeki sıcaklık… Bu tek çözümü sonsuz aday arasından seçebilmek için, modellenen sistemi daha ayrıntılı tarif eden yardımcı koşullar koymamız gerekir. Bu koşullar iki kategoriye ayrılır.
3.1 Başlangıç Koşulları
Tanım 3.1 (Başlangıç Koşulu) Fiziksel sistemin incelenmeye başlandığı anda, \(D\) bölgesinin tamamında sağlanması gereken koşullara başlangıç koşulları (initial conditions) denir.
Tipik bir başlangıç koşulu, \(u\)’nun ve zamana göre türevlerinin bir kombinasyonunu belirler; örneğin \(u(x, 0) = g(x)\) veya \(u_t(x,0) = h(x)\) gibi.
Isı denkleminde çubuğun başlangıç sıcaklık dağılımı, dalga denkleminde telin başlangıç şekli ve başlangıç hızı bu türdendir.
3.2 Sınır Koşulları
Tanım 3.2 (Sınır Koşulu) Denklemin geçerli olduğu \(D\) bölgesinin sınırında (\(\partial D\) üzerinde) sağlanması gereken koşullara sınır koşulları (boundary conditions) denir.
Sınır koşullarının üç özel biçimine ayrı adlar verilmiştir. Aşağıda \(g, \alpha, \beta\) fonksiyonları \(\partial D\) sınırı üzerinde tanımlıdır ve \(\dfrac{\partial u}{\partial n}\), sınırın dışa doğru normal yönündeki türevi gösterir.
Tanım 3.3 (Dirichlet, Neumann ve Robin Koşulları)
Dirichlet koşulu: çözümün kendisi sınırda belirlenir:
\[u = g\]
Neumann koşulu: çözümün normal türevi sınırda belirlenir:
\[\frac{\partial u}{\partial n} = g\]
Karma (Robin) koşulu: ikisinin bir doğrusal kombinasyonu belirlenir:
\[\alpha u + \beta \frac{\partial u}{\partial n} = g\]
Isı iletimi örneğinde üç koşulun somut karşılığı vardır:
- Dirichlet: sınırın sıcaklığı sabit tutuluyor (çubuğun ucu buz banyosunda).
- Neumann: sınırdan geçen ısı akısı belirli (\(\partial u/\partial n = 0\) ise sınır yalıtılmış).
- Robin: sınırdaki ısı akısı, sınır sıcaklığı ile ortam sıcaklığının farkıyla orantılı (Newton soğuma yasası).
3.3 Veri ve Verinin Sürekliliği
Tanım 3.4 (Problemin Verisi) Belirlenen başlangıç ve sınır koşulu fonksiyonları ile denklemin homojen olmayan terimindeki katsayı fonksiyonlarının tümüne, KDD ile modellenen problemin verisi (data) denir.
Tanım 3.5 (Veriye Sürekli Bağlılık) Verideki küçük değişiklikler çözümde de buna karşılık gelen küçük değişiklikler oluşturuyorsa, çözüm veriye sürekli olarak bağlıdır denir.
Bu kavram, modellemenin pratikte işe yaramasının güvencesidir: başlangıç sıcaklığını ölçerken yapılan binde birlik bir hata, öngörülen çözümü tanınmaz hâle getirmemelidir.
3.4 İyi Konulmuş Problem
Tanım 3.6 (İyi Konulmuş (Well-Posed) Problem) Bir problem aşağıdaki üç koşulu birden sağlıyorsa iyi konulmuş (well-posed) olarak adlandırılır:
a) Problemin bir çözümü vardır (varlık),
b) çözüm tektir (teklik),
c) çözüm veriye sürekli olarak bağlıdır (kararlılık).
Bu koşullardan herhangi biri sağlanmıyorsa problem kötü konulmuş (ill-posed) olarak adlandırılır.
- Varlık: koyduğumuz koşullar çok mu kısıtlayıcı? Hiçbir fonksiyon hepsini birden sağlayamıyor olabilir.
- Teklik: koşullar yeterince kısıtlayıcı mı? Hâlâ birden çok aday kalıyor olabilir.
- Kararlılık: ölçüm hatası çözümü patlatıyor mu? Özellikle ters problemlerde en sık bozulan koşul budur.
Yardımcı koşul seçmek bir denge işidir: az koşul tekliği, fazla koşul varlığı bozar.
Bundan sonraki bölümlerde önce denklemleri çözmeyi öğreneceğiz; Cauchy problemlerini incelerken (kuazi-lineer denklemlerde Cauchy problemi) bu kavramlar tekrar karşımıza çıkacak.