17 Hiperbolik, Eliptik ve Parabolik Denklemler

Bu bölümde yalnızca salt ikinci mertebeden türevler içeren sabit katsayılı denklemi inceliyoruz:

\[a\,z_{xx} + b\,z_{xy} + c\,z_{yy} = 0 \tag{$\ast$}\]

Bu basit görünüşlü denklem, ikinci mertebeden denklemlerin ünlü tip sınıflandırmasını (hiperbolik–eliptik–parabolik) doğurur.

17.1 Deneme Fonksiyonu

Çözümün, $m$ belirlenecek bir sabit olmak üzere

\[z(x,y) = f(mx + y) \tag{$\ast\ast$}\]

biçiminde olduğunu varsayalım ($f \in C^2$ keyfi). Türevleri hesaplayıp $(\ast)$’a koyalım; $w = mx+y$ ile

\[z_{xx} = m^2 f''(w), \qquad z_{xy} = m f''(w), \qquad z_{yy} = f''(w)\]

\[\implies \big(a\,m^2 + b\,m + c\big)\,f''(w) = 0\]

$f$ keyfi olduğundan parantez sıfır olmalıdır:

\[a\,m^2 + b\,m + c = 0 \implies m = \frac{-b \mp \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \tag{1}\]

Yani $m$, katsayılardan kurulan ikinci derece denklemin köküdür; kökler diskriminant $\Delta = b^2 - 4ac$’nin işaretine göre üç ayrı karaktere bürünür.

17.2 Üç Tip

Tanım 17.1 (Hiperbolik, Eliptik, Parabolik) $\Delta = b^2 - 4ac$ olmak üzere denklem $(\ast)$:

$\Delta > 0$ ise hiperbolik: $(1)$’in iki farklı gerçel kökü $m_1 \neq m_2$ vardır ve genel çözüm

\[z = f\big(m_1 x + y\big) + g\big(m_2 x + y\big)\]
$\Delta < 0$ ise eliptik: kökler karmaşık eşleniktir ($m_2 = \overline{m_1}$) ve genel çözüm biçimsel olarak yine

\[z = f\big(m_1 x + y\big) + g\big(m_2 x + y\big)\]
$\Delta = 0$ ise parabolik: çakışık tek kök $m$ vardır ve ikinci bağımsız çözüm bir çarpan kazanır:

\[z = f\big(mx + y\big) + y\,g\big(mx + y\big)\]

Parabolik durumda ikinci çözüm nereden geliyor?

Çakışık kökte $f(mx+y)$ tek başına yalnızca bir keyfi fonksiyon verir; oysa ikinci mertebeden denklemin genel çözümü iki fonksiyon taşımalıdır. $z = y\,g(w)$, $w = mx+y$ denemesinin türevlerini hesaplayalım:

\[z_{xx} = m^2\,y\,g'', \qquad z_{xy} = m\,g' + m\,y\,g'', \qquad z_{yy} = 2g' + y\,g''\]

Denklemde toplarsak

\[a\,z_{xx} + b\,z_{xy} + c\,z_{yy} = \underbrace{\big(am^2 + bm + c\big)}_{=\,0}\,y\,g'' + \big(bm + 2c\big)\,g'\]

Çakışık kökte $m = -\tfrac{b}{2a}$ olduğundan

\[bm + 2c = -\frac{b^2}{2a} + 2c = -\frac{b^2 - 4ac}{2a} = -\frac{\Delta}{2a} = 0\]

ve deneme denklemi sağlar. ADD’lerdeki çakışık kök çözümü $x\,e^{\lambda x}$’in birebir karşılığıdır.

Adlar nereden geliyor?

$am^2 + bm + c$ ifadesi, konik sınıflandırmasındaki ikinci derece formla aynı yapıdadır: $\Delta > 0$ hiperbolü, $\Delta < 0$ elipsi, $\Delta = 0$ parabolü verir. Adlar buradan aktarılmıştır; denklemlerin çözümlerinin davranışı da bu geometrik karaktere uyar.

17.3 Üç Prototip

Örnek 17.1 (Dalga, Isı, Laplace) Fiziğin üç temel denkleminin tipleri ($y$ yerine $t$ okunabilir):

$z_{xx} - z_{yy} = 0$ → $\Delta = 0 - 4(1)(-1) = 4 > 0$: hiperbolik — dalga denklemi.
$z_{xx} - z_y = 0$ → salt ikinci mertebeden kısmı $z_{xx}$’tir; $a = 1$, $b = c = 0$ ile $\Delta = 0$: parabolik — ısı denklemi.
$z_{xx} + z_{yy} = 0$ → $\Delta = 0 - 4(1)(1) = -4 < 0$: eliptik — Laplace denklemi.

17.4 Çözümlü Uygulamalar

Örnek 17.2 (Hiperbolik Denklem) $u_{xx} + u_{xy} - 2u_{yy} = 0$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Çözüm

$a = 1$, $b = 1$, $c = -2$:

\[\Delta = 1 - 4(1)(-2) = 9 > 0 \implies \text{hiperbolik}\]

Kök denklemi:

\[m^2 + m - 2 = 0 \implies (m-1)(m+2) = 0 \implies m_1 = 1, \quad m_2 = -2\]

Genel çözüm:

\[u(x,y) = f(x + y) + g(-2x + y)\]

Sağlama. $g(-2x+y)$ için $u_{xx} = 4g''$, $u_{xy} = -2g''$, $u_{yy} = g''$:

\[4g'' - 2g'' - 2g'' = 0 \;\checkmark\]

$\blacksquare$

Örnek 17.3 (Homojen Olmayan Hiperbolik Denklem) $u_{xx} - u_{yy} = 5\cos(2x+y) - 3\sin(2x+y)$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Çözüm

Homojen çözüm. $m^2 - 1 = 0$ olduğundan $m = \mp 1$:

\[u_h = f(x+y) + g(x - y)\]

Burada $-x+y$ ve $x+y$ argümanları yerine eşdeğer olan $x+y$, $x-y$ yazımı kullanılmıştır (keyfi fonksiyonun içindeki işaret keyfiliğe katılabilir).

Özel çözüm. Sağ tarafın argümanı $w = 2x + y$ olduğundan

\[u_p = A\cos w + B\sin w\]

deneyelim:

\[\big(u_p\big)_{xx} = -4A\cos w - 4B\sin w, \qquad \big(u_p\big)_{yy} = -A\cos w - B\sin w\]

\[u_{xx} - u_{yy} = -3A\cos w - 3B\sin w \overset{!}{=} 5\cos w - 3\sin w\]

Katsayılardan $-3A = 5$ ve $-3B = -3$; yani $A = -\dfrac{5}{3}$, $B = 1$.

Genel çözüm:

\[u(x,y) = f(x+y) + g(x-y) - \frac{5}{3}\cos(2x+y) + \sin(2x+y)\]

$\blacksquare$

Örnek 17.4 (Eliptik Denklem: Poisson) $u_{xx} + u_{yy} = 6(x + y)$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Çözüm

Homojen çözüm. $m^2 + 1 = 0$ olduğundan $m = \mp i$: denklem eliptiktir ve

\[u_h = f(x + iy) + g(x - iy)\]

Keyfi fonksiyonlar karmaşık argüman alır; gerçel çözümler, eşlenik çiftlerin uygun kombinasyonlarıyla elde edilir (Laplace denkleminin harmonik fonksiyon kuramına açılan kapısı).

Özel çözüm. Sağ taraf $6x + 6y$ olduğundan $u_p = \kappa_1 x^3 + \kappa_2 y^3$ deneyelim:

\[\big(u_p\big)_{xx} = 6\kappa_1 x, \qquad \big(u_p\big)_{yy} = 6\kappa_2 y \implies 6\kappa_1 x + 6\kappa_2 y = 6x + 6y \implies \kappa_1 = \kappa_2 = 1\]

Genel çözüm:

\[u(x,y) = f(x+iy) + g(x-iy) + x^3 + y^3\]

$\blacksquare$

Örnek 17.5 (Parabolik Denklem) $u_{xx} - 2u_{xy} + u_{yy} = 0$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Çözüm

$a = 1$, $b = -2$, $c = 1$:

\[\Delta = 4 - 4 = 0 \implies \text{parabolik}\]

Kök denklemi $m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2 = 0$ olup çakışık kök $m = 1$’dir. Genel çözüm:

\[u(x,y) = f(x+y) + y\,g(x+y)\]

Sağlama. $z = y\,g(x+y)$ için

\[z_{xx} = y\,g'', \qquad z_{xy} = g' + y\,g'', \qquad z_{yy} = 2g' + y\,g''\]

\[z_{xx} - 2z_{xy} + z_{yy} = y\,g'' - 2g' - 2y\,g'' + 2g' + y\,g'' = 0 \;\checkmark\]

$\blacksquare$

Tip neyi belirler?

Sınıflandırma bir etiketleme egzersizi değildir; denklemin fiziğini ve iyi konulmuş problem tipini belirler:

Hiperbolik denklemler bilgiyi karakteristikler boyunca sonlu hızla taşır (dalga yayılımı); doğal problem başlangıç değer problemidir.
Parabolik denklemler düzleştirir ve tek yönlü zaman akışına sahiptir (ısı yayılımı).
Eliptik denklemler denge durumlarını tanımlar; doğal problem sınır değer problemidir.

Değişken katsayılı denklemlerde $\Delta$’nın işareti noktadan noktaya değişebilir; denklem bölgenin bir kısmında hiperbolik, başka kısmında eliptik olabilir.