12 Charpit Yöntemi
Charpit yöntemi, lineer olmayan birinci mertebeden
\[f(x, y, z, z_x, z_y) = 0 \tag{1}\]
denkleminin tam integralini bulmak için genel bir yol sunar. Fikir zariftir: denklem \((1)\) ile uyumlu ve keyfi bir \(a\) sabiti içeren
\[g(x, y, z, z_x, z_y, a) = 0 \tag{2}\]
biçiminde ikinci bir denklem aranır. \((1)\)–\((2)\) sistemi \(p = z_x\) ve \(q = z_y\) için çözülür:
\[p = p(x,y,z,a), \qquad q = q(x,y,z,a)\]
ve uyumluluk sayesinde
\[dz = p\,dx + q\,dy \tag{3}\]
diferansiyeli integre edilebilir; integrasyondan ikinci bir keyfi sabit \(b\) gelir. Sonuç, iki sabitli
\[F(x, y, z, a, b) = 0 \tag{4}\]
ailesidir — yani denklemin tam integrali.
12.1 Charpit–Lagrange Sistemi
\(g\)’yi bulmak için uyumluluk koşulunu kullanırız: \([f, g] = 0\) olmalıdır. Paranteti açalım:
\[\frac{\partial(f,g)}{\partial(x,p)} + p\,\frac{\partial(f,g)}{\partial(z,p)} + \frac{\partial(f,g)}{\partial(y,q)} + q\,\frac{\partial(f,g)}{\partial(z,q)} = 0\]
Determinantlar açılıp \(g\)’nin türevlerine göre düzenlenirse
\[f_p\,g_x + f_q\,g_y + \big(p f_p + q f_q\big)g_z = \big(f_x + p f_z\big)g_p + \big(f_y + q f_z\big)g_q \tag{5}\]
elde edilir. Buradaki \(f\) bilinen fonksiyondur; yani \((5)\), bilinmeyen \(g\) için — beş bağımsız değişkenli \((x,y,z,p,q)\) — lineer bir birinci mertebeden KDD’dir. Böyle denklemleri Lagrange yöntemiyle çözmeyi biliyoruz.
Teorem 12.1 (Charpit Yardımcı Sistemi) \((5)\) denkleminin Lagrange yardımcı sistemi
\[\frac{dx}{f_p} = \frac{dy}{f_q} = \frac{dz}{p f_p + q f_q} = \frac{-dp}{f_x + p f_z} = \frac{-dq}{f_y + q f_z} = \frac{dg}{0}\]
biçimindedir; Charpit–Lagrange denklemleri olarak adlandırılır. Bu sistemin, içinde \(p\) veya \(q\) bulunan herhangi bir ilk integrali \(g = a\), denklem \((2)\) olarak kullanılabilir.
- \(f\)’nin beş türevini hesapla: \(f_x, f_y, f_z, f_p, f_q\).
- Charpit sistemini yaz; en kolay integre edilen oran çiftini seç (çoğu zaman \(dp\) ya da \(dq\) içeren oranlar).
- \(p\) veya \(q\) içeren bir ilk integral \(g = a\) bul.
- \(f = 0\) ve \(g = a\)’dan \(p\) ile \(q\)’yu çöz.
- \(dz = p\,dx + q\,dy\)’yi integre et; sabit \(b\) ile tam integral çıkar.
12.2 Çözümlü Uygulamalar
Örnek 12.1 (Tam İntegralin Bulunması) \(z_x^2\,x + z_y^2\,y = z\) denkleminin bir tam integralini bulunuz.
Çözüm
\(f = p^2 x + q^2 y - z = 0\) olarak yazalım. Türevler:
\[f_x = p^2, \quad f_y = q^2, \quad f_z = -1, \quad f_p = 2px, \quad f_q = 2qy\]
Charpit sistemi:
\[\frac{dx}{2px} = \frac{dy}{2qy} = \frac{dz}{2p^2x + 2q^2y} = \frac{-dp}{p^2 - p} = \frac{-dq}{q^2 - q}\]
Uyumlu ikinci denklem. Birinci ve dördüncü oranı eşleyelim:
\[\frac{dx}{2px} = \frac{-dp}{p(p-1)} \implies \frac{dx}{2x} = \frac{-dp}{p - 1}\]
İntegre edersek
\[\frac{1}{2}\ln|x| = -\ln|p-1| + \ln|a| \implies (p-1)\sqrt{x} = a \implies p = a\,x^{-1/2} + 1\]
O hâlde \(g = p - a x^{-1/2} - 1 = 0\), keyfi \(a\) sabitini taşıyan uyumlu denklemdir.
\(q\)’yu çöz. \(p\)’yi \(f = 0\)’da yerine koyalım:
\[q^2 y = z - \big(a x^{-1/2} + 1\big)^2 x = z - \big(a^2 + 2a\sqrt{x} + x\big) \implies q = \mp\frac{\big[z - a^2 - 2a\sqrt{x} - x\big]^{1/2}}{\sqrt{y}}\]
İntegrasyon. \(p = z_x\) bilgisini önce tek başına integre edelim; \(h(y)\) belirlenecek bir fonksiyon olmak üzere
\[z = \int \big(a x^{-1/2} + 1\big)\,dx + h(y) = 2a\sqrt{x} + x + h(y)\]
Bunu \(q = z_y\) ifadesiyle karşılaştıralım:
\[h'(y) = q = \frac{\big[\overbrace{2a\sqrt{x} + x + h(y)}^{z} - a^2 - 2a\sqrt{x} - x\big]^{1/2}}{\sqrt{y}} = \frac{\big[h(y) - a^2\big]^{1/2}}{\sqrt{y}}\]
\(x\)’ler tamamen sadeleşti; kalan, \(h\) için ayrılabilir bir ADD’dir:
\[\frac{dh}{\sqrt{h - a^2}} = \frac{dy}{\sqrt{y}} \implies 2\sqrt{h - a^2} = 2\sqrt{y} + 2b \implies h = a^2 + \big(\sqrt{y} + b\big)^2\]
Tam integral:
\[z = 2a\sqrt{x} + x + a^2 + \big(\sqrt{y} + b\big)^2 = \big(\sqrt{x} + a\big)^2 + \big(\sqrt{y} + b\big)^2\]
Sağlama. \(p = \dfrac{\sqrt{x}+a}{\sqrt{x}}\) ve \(q = \dfrac{\sqrt{y}+b}{\sqrt{y}}\) için
\[p^2 x + q^2 y = \big(\sqrt{x}+a\big)^2 + \big(\sqrt{y}+b\big)^2 = z \;\checkmark\]
\(\blacksquare\)
\(h'(y)\) hesabında \(x\)’li terimlerin tamamen yok olması tesadüf değildir: \(g = a\)’nın \(f\) ile uyumlu seçilmesi, tam olarak \(dz = p\,dx + q\,dy\)’nin integre edilebilmesi demektir. Eğer sadeleşme gerçekleşmezse, ya bir işlem hatası vardır ya da seçilen \(g\) gerçekten uyumlu değildir — bu, hesabın kendi içindeki alarm sistemidir.
Örnek 12.2 (dp/dy Eşlemesiyle) \(yz\,z_x^2 - z_y = 0\) denkleminin bir tam integralini bulunuz.
Çözüm
\(f = yzp^2 - q = 0\) olarak yazalım. Türevler:
\[f_x = 0, \quad f_y = zp^2, \quad f_z = yp^2, \quad f_p = 2yzp, \quad f_q = -1\]
Charpit sistemi:
\[\frac{dx}{2yzp} = \frac{dy}{-1} = \frac{dz}{2yzp^2 - q} = \frac{-dp}{yp^3} = \frac{-dq}{zp^2 + yp^2 q}\]
Uyumlu ikinci denklem. İkinci ve dördüncü oranı eşleyelim:
\[\frac{dy}{-1} = \frac{-dp}{yp^3} \implies y\,dy = \frac{dp}{p^3}\]
İntegre edersek
\[\frac{y^2}{2} = -\frac{1}{2p^2} + \frac{a^2}{2} \implies \frac{1}{p^2} = a^2 - y^2 \implies p = \pm\frac{1}{\sqrt{a^2 - y^2}}\]
\(q\)’yu çöz. \(f = 0\)’dan
\[q = yzp^2 = \frac{yz}{a^2 - y^2}\]
İntegrasyon. \(q\) ifadesi \(z\) içerdiğinden bu kez yapıya uygun bir öneriyle ilerleyelim: \(y\)-bağımlılığını \(dz/z\) biçiminde ayırabiliyoruz. Gerçekten \(z_y = \dfrac{yz}{a^2-y^2}\) denklemi ayrılabilirdir:
\[\frac{dz}{z} = \frac{y\,dy}{a^2 - y^2} \implies \ln|z| = -\frac{1}{2}\ln\big|a^2 - y^2\big| + \ln|g(x)|\]
Yani \(z = g(x)\,\big(a^2 - y^2\big)^{-1/2}\) biçimindedir; \(g\) henüz bilinmiyor. Şimdi \(p = z_x\) koşulunu dayatalım:
\[z_x = g'(x)\big(a^2-y^2\big)^{-1/2} \implies z_x^2 = \frac{\big(g'(x)\big)^2}{a^2 - y^2} \overset{!}{=} p^2 = \frac{1}{a^2-y^2}\]
\[\implies \big(g'(x)\big)^2 = 1 \implies g'(x) = 1 \implies g(x) = x + b\]
Tam integral:
\[z = \frac{x + b}{\sqrt{a^2 - y^2}}\]
İki keyfi sabit (\(a\) ve \(b\)) içerdiğinden tam integraldir.
Sağlama. \(p = \big(a^2-y^2\big)^{-1/2}\) ve \(q = (x+b)\,y\,\big(a^2-y^2\big)^{-3/2}\) için
\[yz\,p^2 = y \cdot \frac{x+b}{\sqrt{a^2-y^2}} \cdot \frac{1}{a^2-y^2} = \frac{y(x+b)}{\big(a^2-y^2\big)^{3/2}} = q \;\checkmark\]
\(\blacksquare\)
12.3 Alıştırma
Alıştırma 12.1 (Charpit Uygulaması) \(\big(z_x^2 + z_y^2\big)y - z_y\,z = 0\) denkleminin bir tam integralini Charpit yöntemiyle bulunuz.
İpucu: Charpit sisteminde \(\dfrac{-dp}{f_x + pf_z}\) ve \(\dfrac{-dq}{f_y + qf_z}\) oranlarını eşleyerek başlayın; \(p\,dp + q\,dq\) biçiminde tam bir diferansiyel belirir ve \(p^2 + q^2 = a^2\) ilk integrali çıkar.
Charpit sistemi her denklemde bu kadar hesap istemez: \(f\)’nin özel biçimlerinde ikinci denklem neredeyse bedavaya gelir. Bu kestirmeler, bir sonraki bölümün konusudur: Charpit yönteminde özel durumlar.