10 Tam, Genel ve Tekil İntegraller
Birinci mertebeden en genel denklem
\[F(x, y, z, z_x, z_y) = 0 \tag{1}\]
biçimindedir; \(z_x = p\), \(z_y = q\) kısaltmalarıyla \(F(x,y,z,p,q) = 0\) yazacağız. \(F\)’nin \(p\) ve \(q\)’da lineer olduğu özel durumlar, lineer ve kuazi-lineer denklemler olarak incelendi. Şimdi genel — lineer olmayan — duruma geçiyoruz.
Amacımız, denklem \((1)\)’in iki parametreli bir çözüm ailesini bulmaktır:
\[f(x, y, z, a, b) = 0 \tag{2}\]
Denklem kurma bölümünde bunun tersini yapmıştık: iki parametreli aileden sabitleri yok edip denklemi üretmiştik. Şimdi denklemin çözümlerini üç ayrı integral türü olarak sınıflandırıyoruz.
10.1 Üç İntegral Türü
Tanım 10.1 (Tam İntegral (Complete Integral)) Denklem \((1)\)’in \((2)\) biçimindeki herhangi bir iki parametreli çözüm ailesine denklemin tam integrali denir.
Tanım 10.2 (Genel İntegral) Tam integralde parametreler arasında keyfi bir \(b = \phi(a)\) bağıntısı seçilirse tek parametreli
\[f\big(x, y, z, a, \phi(a)\big) = 0 \tag{3}\]
alt ailesi elde edilir. Bu alt ailenin zarfı (envelope),
\[f\big(x,y,z,a,\phi(a)\big) = 0, \qquad \frac{\partial f}{\partial a} = 0 \tag{4}\]
denklemlerinden \(a\) yok edilerek bulunur. \(\phi\)’nin bütün seçimleri için \((4)\)’ten elde edilen zarf yüzeyleri de denklem \((1)\)’in çözümleridir ve bunlara denklemin genel integrali denir.
Tanım 10.3 (Tekil İntegral (Singular Integral)) İki parametreli \((2)\) ailesinin kendisinin bir zarfı varsa, bu zarf
\[f = 0, \qquad \frac{\partial f}{\partial a} = 0, \qquad \frac{\partial f}{\partial b} = 0 \tag{5}\]
denklemlerinden \(a\) ve \(b\) yok edilerek bulunur. Bu zarf da denklem \((1)\)’i sağlar ve tekil integral (tekil çözüm) olarak adlandırılır.
Gösterimlerin rolü karıştırılmamalıdır:
- \(F(x, y, z, z_x, z_y) = 0\) → denklem (türevleri içerir),
- \(f(x, y, z, a, b) = 0\) → çözüm ailesi (parametreleri içerir).
Tekil integral, zarf olma özelliği sayesinde ailenin her üyesine bir noktada teğettir; ama keyfi fonksiyona hangi değer verilirse verilsin genel integralden elde edilemez. Çözüm türleri bölümündeki tekil çözüm tanımının kesinleştirilmiş hâli budur.
Genel integral tanımındaki \(\phi\) fonksiyonu üzerinden iki özel durum okunur:
- \(\phi\) keyfi bırakılırsa \((4)\)’ten elde edilen ailenin tamamı, denklemin genel çözümüne karşılık gelir.
- \(\phi\) için belirli bir seçim yapılırsa genel çözümden seçilmiş bir özel çözüm elde edilir.
10.2 Çözümlü Uygulama: Birim Küreler Ailesi
Örnek 10.1 (Tam, Genel ve Tekil İntegral Bir Arada) \(z^2\big(1 + z_x^2 + z_y^2\big) = 1\) denklemi için:
a) \((x-a)^2 + (y-b)^2 + z^2 = 1\) ailesinin bir tam integral olduğunu gösteriniz.
b) \(b = \phi(a) = a\) seçimiyle genel integralin verdiği yüzeyi bulunuz.
c) Tekil integrali bulunuz.
Çözüm
a) \(f = (x-a)^2 + (y-b)^2 + z^2 - 1 = 0\) ailesinin (\(z\)’nin örtük fonksiyon olduğu hatırlanarak) \(x\)’e ve \(y\)’ye göre türevlerini alalım:
\[2(x-a) + 2z\,z_x = 0 \implies x - a = -z\,p\]
\[2(y-b) + 2z\,z_y = 0 \implies y - b = -z\,q\]
Aile denkleminde yerine koyalım:
\[z^2 p^2 + z^2 q^2 + z^2 = 1 \implies z^2\big(1 + p^2 + q^2\big) = 1 \;\checkmark\]
Aile, iki keyfi parametre içerdiğinden bir tam integraldir. Geometrik olarak bu, merkezleri \(z = 0\) düzleminde olan birim kürelerin ailesidir.
b) \(b = a\) alalım:
\[f\big(x,y,z,a,a\big) = (x-a)^2 + (y-a)^2 + z^2 - 1 = 0\]
Zarf için \(a\)’ya göre türev alıp sıfıra eşitleyelim:
\[\frac{\partial f}{\partial a} = -2(x-a) - 2(y-a) = 0 \implies a = \frac{x+y}{2}\]
Aile denkleminde yerine koyalım:
\[\Big(x - \frac{x+y}{2}\Big)^2 + \Big(y - \frac{x+y}{2}\Big)^2 + z^2 = 1 \implies \Big(\frac{x-y}{2}\Big)^2 + \Big(\frac{y-x}{2}\Big)^2 + z^2 = 1\]
\[\implies \boxed{\;\frac{(x-y)^2}{2} + z^2 = 1\;}\]
Bu, ekseni \(y = x\), \(z = 0\) doğrusu olan bir silindirdir: merkezleri bu doğru üzerinde kayan birim kürelerin zarfı.
c) Tekil integral için \((5)\) sistemini kuralım:
\[\frac{\partial f}{\partial a} = -2(x-a) = 0 \implies x = a, \qquad \frac{\partial f}{\partial b} = -2(y-b) = 0 \implies y = b\]
Aile denkleminde yerine koyalım:
\[0 + 0 + z^2 - 1 = 0 \implies \boxed{\; z = \mp 1 \;}\]
\(z = 1\) ve \(z = -1\) düzlemleri denklemi sağlar (bu düzlemlerde \(p = q = 0\) ve \(z^2 = 1\)). Bütün birim kürelere üstten ve alttan teğet olan bu iki düzlem, ailenin zarfıdır; hiçbir küre seçiminden elde edilemedikleri için tekil integraldir.
\(\blacksquare\)
10.3 Clairaut Tipine İlk Bakış
Örnek 10.2 (z = x z_x + y z_y Denklemi) \(z = x\,z_x + y\,z_y\) denklemi için:
a) \(z = ax + by\) ailesinin bir tam integral olduğunu gösteriniz.
b) Denklemi Lagrange yöntemiyle çözerek genel çözümü bulunuz.
c) Genel integral tanımıyla \((b)\)’deki sonucun tutarlı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) \(z = ax + by\) için \(p = a\), \(q = b\):
\[x\,p + y\,q = ax + by = z \;\checkmark\]
İki keyfi sabit içerdiğinden tam integraldir: orijinden geçen düzlemler ailesi.
b) Denklem \(p\) ve \(q\)’da lineerdir (\(P = x\), \(Q = y\), \(R = z\)); Lagrange sistemini kuralım:
\[\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y} = \frac{dz}{z}\]
İlk iki orandan \(u = x/y = c_1\), son iki orandan \(v = z/y = c_2\). Genel çözüm:
\[F\Big(\frac{x}{y}, \frac{z}{y}\Big) = 0 \qquad \text{ya da} \qquad z = y\,g\Big(\frac{x}{y}\Big)\]
c) Tam integralden genel integrali türetelim: \(b = \phi(a)\) ile \(f = z - ax - \phi(a)y = 0\) ve
\[\frac{\partial f}{\partial a} = -x - \phi'(a)\,y = 0 \implies \phi'(a) = -\frac{x}{y}\]
$’ $ terslenebilirse \(a = (\phi')^{-1}\big(-x/y\big)\) olur; \(f = 0\)’dan
\[z = a\,x + \phi(a)\,y = y\Big[\underbrace{(\phi')^{-1}\Big(-\frac{x}{y}\Big) \cdot \frac{x}{y} + \phi\Big((\phi')^{-1}\Big(-\frac{x}{y}\Big)\Big)}_{g(x/y)}\Big]\]
Köşeli parantez yalnızca \(x/y\) oranına bağlıdır; yani zarf ailesi tam olarak \(z = y\,g(x/y)\) biçimindedir. İki yol aynı genel çözümü verir.
\(\blacksquare\)
Lineer olmayan kuramın yol haritası şudur: önce denklemin bir tam integralini bulmak yeterlidir; genel integral \(b = \phi(a)\) zarflarıyla, tekil integral ise çift zarf ile tam integralden türetilir. Tam integrali sistematik biçimde bulmanın aracı, iki bölüm sonra göreceğimiz Charpit yöntemidir; yöntemin dayandığı kavram ise sıradaki bölümün konusu olan uyumlu sistemlerdir.