15 İkinci Mertebeden Lineer Denklemler ve Operatör Gösterimi
Bu kısımda iki bağımsız değişkenli, ikinci mertebeden lineer denklemleri inceliyoruz:
\[A\,z_{xx} + B\,z_{xy} + C\,z_{yy} + D\,z_x + E\,z_y + F\,z = G \tag{1}\]
Burada \(A, B, C, D, E, F, G\) katsayıları \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) bölgesinde \(x\) ve \(y\)’nin fonksiyonlarıdır (\(A, \dots, G \in C^2(\Omega)\)). Fizikteki üç büyük denklem — dalga, ısı ve Laplace — bu ailedendir; kuramın hedefi bu aileyi anlamaktır.
15.1 Türev Operatörleri
Yazımı kısaltmak için türev alma işlemini bir operatör olarak adlandıralım:
\[D_x = \frac{\partial}{\partial x}, \qquad D_y = \frac{\partial}{\partial y}, \qquad D_x D_y = \frac{\partial^2}{\partial x\, \partial y}, \qquad D_x^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2}, \; \dots\]
Bu gösterimle denklem \((1)\) şöyle yazılır:
\[\underbrace{\Big[A\,D_x^2 + B\,D_x D_y + C\,D_y^2 + D\,D_x + E\,D_y + F\Big]}_{L(D_x, D_y)}\, z = G \implies L(D_x, D_y)\,z = G\]
Tanım 15.1 (Lineer Operatör) Bir \(L\) operatörü, her \(c_1, c_2\) sabiti ve her \(u_1, u_2\) fonksiyonu için
\[L\big(c_1 u_1 + c_2 u_2\big) = c_1\,L(u_1) + c_2\,L(u_2)\]
koşulunu sağlıyorsa lineer operatör olarak adlandırılır.
Türev almanın lineerliği nedeniyle \(L(D_x, D_y)\) bir lineer operatördür. Tümevarımla genelleme de doğrudur: \(u_1, \dots, u_n\) fonksiyonlar ve \(c_1, \dots, c_n\) gerçel sabitler olmak üzere
\[L\Big(\sum_{i=1}^{n} c_i u_i\Big) = \sum_{i=1}^{n} c_i\,L(u_i)\]
\(\sum c_i u_i\) ifadesine \(u_i\)’lerin bir lineer kombinasyonu denir.
15.2 Süperpozisyon İlkesi
Teorem 15.1 (Süperpozisyon İlkesi) \(z_1, z_2, \dots, z_k\) fonksiyonları \(Lz = 0\) homojen denkleminin çözümleri ise, bunların her lineer kombinasyonu da çözümdür.
İspat
Lineerlikten
\[L\big(c_1 z_1 + c_2 z_2 + \cdots + c_k z_k\big) = c_1\underbrace{L(z_1)}_{0} + c_2\underbrace{L(z_2)}_{0} + \cdots + c_k\underbrace{L(z_k)}_{0} = 0\]
\(\blacksquare\)
Teorem 15.2 (Genel Çözümün Yapısı) \(z_p\), \(Lz = G\) denkleminin herhangi bir özel çözümü ve \(z_h\), \(Lz = 0\) homojen denkleminin genel çözümü olsun. Bu durumda \(Lz = G\)’nin genel çözümü
\[z = z_h + z_p\]
biçimindedir.
İspat
\(L(z_h + z_p) = L(z_h) + L(z_p) = 0 + G = G\) olduğundan \(z_h + z_p\) bir çözümdür. Tersine \(w\) herhangi bir çözümse \(L(w - z_p) = G - G = 0\) olduğundan \(w - z_p\) homojen denklemin bir çözümüdür; yani \(w\), \(z_h + z_p\) biçimindedir.
\(\blacksquare\)
Bu yapı, sonraki bölümlerin iş bölümünü belirler:
- Homojen çözüm \(z_h\): operatörü çarpanlara ayırarak ya da \(f(mx+y)\) denemesiyle, iki keyfi fonksiyon içeren genel çözüm bulunur.
- Özel çözüm \(z_p\): sağ tarafa uygun bir deneme fonksiyonuyla (belirsiz katsayılar) tek bir çözüm bulunur.
- İkisi toplanır.
ADD’lerdeki \(y = y_h + y_p\) stratejisinin birebir karşılığıdır; tek fark, sabitlerin yerini fonksiyonların almasıdır.
15.3 Sınıflandırma Alıştırmaları
İkinci mertebeden denklemlerle çalışmaya başlamadan önce, sınıflandırma bölümünün ölçütlerini bu aileye uygulayalım.
Örnek 15.1 (Mertebe, Lineerlik, Homojenlik) Aşağıdaki denklemleri sınıflandırınız.
a) \(x^2\,u_{xx} - y^2\,u_y + u_{yy} + e^x\,u_{xy} = xy^3\)
b) \(u_{xx}^2 + u_{yy}^2 + \sin u = 0\)
Çözüm
a) En yüksek türevler \(u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}\) olduğundan ikinci mertebedendir. \(u\) ve türevleri birinci dereceden, katsayılar (\(x^2\), \(-y^2\), \(1\), \(e^x\)) yalnızca bağımsız değişkenlere bağlı: lineerdir. Sağ taraftaki \(xy^3\) terimi \(u\) içermez: homojen değildir.
b) En yüksek türevler \(u_{xx}\) ve \(u_{yy}\) olduğundan ikinci mertebedendir. En yüksek mertebeli türevlerin karesi alınmış ve \(u\) bir trigonometrik fonksiyonun içinde: nonlineerdir. Bütün terimler \(u\)’yu veya türevlerini içerir: homojendir.
\(\blacksquare\)
Yukarıdaki \((b)\) örneği gibi nonlineer denklemlerde iki çözümün toplamı genellikle çözüm değildir: \(\sin(u_1 + u_2) \neq \sin u_1 + \sin u_2\). Süperpozisyonun tüm gücü — çözümleri parçalara ayırıp toplamak, \(G\)’yi parçalayıp her parçaya ayrı özel çözüm bulmak — lineerliğe dayanır.
Bir sonraki bölümde homojen çözümü üretmenin ilk yolunu görüyoruz: operatörü çarpanlara ayırmak.