14 Lineer Olmayan Denklemlerde Cauchy Problemi
Kuazi-lineer denklemlerde Cauchy problemi, verilen eğriden karakteristik eğriler fırlatarak çözülüyordu ve karakteristik sistem yalnızca \((x, y, z)\) için üç ADD içeriyordu. Lineer olmayan
\[f(x, y, z, p, q) = 0, \qquad p = z_x, \quad q = z_y\]
denkleminde karakteristik eğrinin gidişatı \(p\) ve \(q\)’ya da bağlıdır; bu yüzden sistem beş bilinmeyene genişler.
14.1 Karakteristik Şerit Denklemleri
Teorem 14.1 (Karakteristik Sistem) \(f(x,y,z,p,q) = 0\) denkleminin karakteristik şeritleri, \(t\) parametresine göre şu beş ADD’nin çözümleridir:
\[\frac{dx}{dt} = f_p, \qquad \frac{dy}{dt} = f_q, \qquad \frac{dz}{dt} = p\,f_p + q\,f_q\]
\[\frac{dp}{dt} = -\big(f_x + p\,f_z\big), \qquad \frac{dq}{dt} = -\big(f_y + q\,f_z\big)\]
Bu, Charpit–Lagrange sisteminin parametrik yazılışıdır. Çözüm eğrisi boyunca yalnızca \((x,y,z)\) noktası değil, o noktadaki teğet düzlem de (\(p, q\) aracılığıyla) taşınır; bu beşliye karakteristik şerit (characteristic strip) denir.
14.2 Başlangıç Şeridinin Kurulması
Cauchy verisi bir eğridir:
\[\Gamma: \quad x = \alpha(v), \qquad y = \beta(v), \qquad z = \gamma(v)\]
Sistemi çözmek için \(t = t_0\) anında beş başlangıç değeri gerekir; eğri yalnızca üçünü verir:
\[x(t_0, v) = \alpha(v), \qquad y(t_0, v) = \beta(v), \qquad z(t_0, v) = \gamma(v)\]
Eksik olan \(p_0(v)\) ve \(q_0(v)\) iki koşuldan belirlenir.
Tanım 14.1 (Başlangıç Şeridi Koşulları) 1) Denklem koşulu: başlangıç değerleri denklemi sağlamalıdır:
\[f\big(\alpha(v), \beta(v), \gamma(v), p_0(v), q_0(v)\big) = 0\]
2) Şerit (bant) koşulu: eğrinin teğeti, taşınan teğet düzlemin içinde olmalıdır; yani \((\alpha', \beta', \gamma')\) teğet vektörü \((p_0, q_0, -1)\) normaline dik olmalıdır:
\[\alpha'(v)\,p_0(v) + \beta'(v)\,q_0(v) - \gamma'(v) = 0\]
Bu iki koşul \(p_0, q_0\) için (genellikle birden çok kökü olan) bir sistemdir; her kök ayrı bir başlangıç şeridi, dolayısıyla ayrı bir çözüm adayı üretir.
14.3 Çözümlü Uygulama
Örnek 14.1 (x Ekseninden Geçen Yüzey) \[z = \frac{1}{2}\big(z_x^2 + z_y^2\big) + \big(z_x - x\big)\big(z_y - y\big)\]
denkleminin \(x\) ekseninden geçen çözümünü bulunuz.
Çözüm
\(f = \dfrac{1}{2}\big(p^2+q^2\big) + (p-x)(q-y) - z = 0\) olarak yazalım. Türevler:
\[f_x = -(q-y), \qquad f_y = -(p-x), \qquad f_z = -1\]
\[f_p = p + q - y, \qquad f_q = q + p - x\]
Karakteristik sistem:
\[\frac{dx}{dt} = p+q-y, \qquad \frac{dy}{dt} = p+q-x, \qquad \frac{dz}{dt} = p(p+q-y) + q(p+q-x)\]
\[\frac{dp}{dt} = -\big(f_x + pf_z\big) = q - y + p, \qquad \frac{dq}{dt} = -\big(f_y + qf_z\big) = p - x + q\]
Başlangıç şeridi. \(x\) ekseni: \(\alpha(v) = v\), \(\beta(v) = 0\), \(\gamma(v) = 0\) (\(t_0 = 0\)).
Şerit koşulu: \(\alpha' = 1\), \(\beta' = \gamma' = 0\) olduğundan
\[1 \cdot p_0 + 0 \cdot q_0 - 0 = 0 \implies p_0 = 0\]
Denklem koşulu: \(f(v, 0, 0, 0, q_0) = \dfrac{1}{2}q_0^2 + (0 - v)\,q_0 = q_0\Big(\dfrac{q_0}{2} - v\Big) = 0\); buradan \(q_0 = 2v\) (sıfırdan farklı kök) seçilir.
Sistemi çözelim. İlk gözlem: \(\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dp}{dt}\) olduğundan \(x - p\) sabittir:
\[x = p + c_1 \overset{t=0}{\implies} v = 0 + c_1 \implies x = p + v\]
Aynı şekilde \(\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dq}{dt}\) olduğundan
\[y = q + c_2 \overset{t=0}{\implies} 0 = 2v + c_2 \implies y = q - 2v\]
Şimdi \(p\) denklemi kendi içine kapanır:
\[\frac{dp}{dt} = p + q - y = p + q - (q - 2v) = p + 2v\]
\[\implies p + 2v = c_3\,e^t \overset{t=0}{\implies} c_3 = 2v \implies p = 2v\big(e^t - 1\big)\]
Benzer biçimde \(q\) için:
\[\frac{dq}{dt} = p + q - x = q - v \implies q - v = c_4\,e^t \overset{t=0}{\implies} c_4 = v \implies q = v\big(e^t + 1\big)\]
Bunlardan konum bileşenleri:
\[x = p + v = v\big(2e^t - 1\big), \qquad y = q - 2v = v\big(e^t - 1\big)\]
Son olarak \(z\):
\[\frac{dz}{dt} = p\big(p + 2v\big) + q\big(q - v\big) = 2v\big(e^t-1\big)\cdot 2ve^t + v\big(e^t+1\big)\cdot ve^t = 5v^2e^{2t} - 3v^2e^t\]
\[\implies z = \frac{5}{2}v^2e^{2t} - 3v^2e^t + c_5 \overset{t=0}{\implies} 0 = \frac{5}{2}v^2 - 3v^2 + c_5 \implies c_5 = \frac{1}{2}v^2\]
\[z = \frac{5}{2}v^2e^{2t} - 3v^2e^t + \frac{1}{2}v^2\]
Parametreleri yok edelim. \(E = e^t\) diyelim; \(x = v(2E-1)\) ve \(y = v(E-1)\)’den
\[x - 2y = v\big(2E - 1 - 2E + 2\big) = v \implies v = x - 2y, \qquad E = \frac{y + v}{v} = \frac{x-y}{x-2y}\]
\(z\) ifadesi \(v^2E^2\), \(v^2E\) ve \(v^2\) terimlerinden oluştuğu için doğrudan yerine koyabiliriz: \(vE = x - y\) olduğundan
\[z = \frac{5}{2}(x-y)^2 - 3(x-y)(x-2y) + \frac{1}{2}(x-2y)^2\]
Açalım:
\[z = \frac{5}{2}\big(x^2 - 2xy + y^2\big) - 3\big(x^2 - 3xy + 2y^2\big) + \frac{1}{2}\big(x^2 - 4xy + 4y^2\big) = 2xy - \frac{3}{2}y^2\]
\[\boxed{\;z(x,y) = \frac{y}{2}\big(4x - 3y\big)\;}\]
Sağlama. \(p = 2y\), \(q = 2x - 3y\) için
\[\frac{1}{2}\big(p^2+q^2\big) + (p-x)(q-y) = \frac{4y^2 + 4x^2 - 12xy + 9y^2}{2} + (2y-x)(2x-4y)\]
\[= 2x^2 + \frac{13}{2}y^2 - 6xy - 2x^2 + 8xy - 8y^2 = 2xy - \frac{3}{2}y^2 = z \;\checkmark\]
Ayrıca \(y = 0\) üzerinde \(z = 0\): yüzey \(x\) ekseninden geçer ✓
\(\blacksquare\)
Başlangıç şeridi kurulurken \(q_0\big(\tfrac{q_0}{2} - v\big) = 0\) denkleminin iki kökü vardı. Seçilmeyen \(q_0 = 0\) kökü de geçerli bir başlangıç şerididir ve aynı adımlar izlenirse
\[z = \frac{y^2}{2}\]
çözümüne ulaşılır; bu fonksiyon da denklemi sağlar ve \(x\) ekseninden geçer (\(p = 0\), \(q = y\) için \(\tfrac{1}{2}y^2 + (0-x)(y-y) = \tfrac{1}{2}y^2 = z\)).
Yani bu Cauchy probleminin birden fazla çözümü vardır. Lineer olmayan denklemlerde bu tipik bir durumdur: her başlangıç şeridi kökü ayrı bir integral yüzeyi üretir ve teklik ancak ek koşullarla sağlanır. İyi konulmuş problem kavramındaki “teklik” maddesinin burada nasıl bozulabildiğine dikkat edin.
- \(f\)’yi ve beş türevini yaz; karakteristik sistemi kur.
- Eğriyi parametrele; şerit koşulu ve \(f = 0\)’dan \(p_0(v), q_0(v)\)’yi bul.
- Sistemde birbirine eşit türevler ara (\(dx/dt = dp/dt\) gibi): her eşitlik bir korunan büyüklük verir ve sistemi kapatır.
- \(t, v\)’yi \(x, y\) cinsinden çözüp \(z\)’de yerine koy.
- Mutlaka sağlama yap: hem denklemi hem başlangıç eğrisini kontrol et.
Birinci mertebeden kuram burada tamamlanıyor. Sıradaki kısımda mertebeyi yükseltiyoruz: ikinci mertebeden lineer denklemler ve operatör gösterimi.