3 Sınırlılık, Kompaktlık ve Süreklilik
Bu hafta, ileride varlık teoremlerini kurarken dayanacağımız iki temel taşı yerleştiriyoruz: kompaktlık ve süreklilik. Bolzano-Weierstrass teoremiyle kompaktlığın \(\mathbb{R}^n\)’deki basit karakterizasyonunu, ardından da Weierstrass varlık teoremini elde ediyoruz — konveks analizde bir en yakın noktanın ya da bir minimumun var olduğunu göstermek hemen her zaman bu teoreme indirgenecektir. Yol üzerinde kümeler üzerindeki toplama işlemini ve reel sayılardaki supremum-infimum kavramlarını da topluyor, haftayı ayrılmış ve bağlantılı kümelerle kapatıyoruz.
3.1 Sınırlılık ve Kompaktlık
Tanım 3.1 (Sınırlı Küme ve Sınırlı Dizi) \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) bir küme olmak üzere, eğer \(A \subset \overline{B(0, M)}\), yani her \(x \in A\) için \(\|x\| \le M\) olacak biçimde bir \(M > 0\) varsa \(A\) kümesine bir sınırlı küme denir.
\(\{x_k\}\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi olmak üzere, eğer her \(k \in \mathbb{N}\) için \(\|x_k\| \le M\) olacak biçimde bir \(M > 0\) varsa \(\{x_k\}\) dizisine bir sınırlı dizi denir.
Teorem 3.1 (Bolzano-Weierstrass Teoremi) Her sınırlı dizinin yakınsak bir alt dizisi vardır.
Aşağıdaki kompaktlık kavramı analizde ve optimizasyonda çok önemli bir role sahiptir.
Tanım 3.2 (Kompaktlık) Eğer \(A\) içerisindeki her dizinin, \(A\) içerisindeki bir noktaya yakınsayan bir alt dizisi var ise \(A\) kümesi \(\mathbb{R}^n\) uzayında kompakttır denir.
Aşağıdaki teorem Bolzano-Weierstrass teoreminin bir sonucu olarak elde edilir.
Teorem 3.2 (Kompaktlığın Karakterizasyonu) \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) olmak üzere, \(A\) kümesinin kompakt olması için gerek ve yeter koşul kapalı ve sınırlı olmasıdır.
3.2 Kümeler Üzerinde İşlemler
Tanım 3.3 (Küme Toplamı ve Skaler Katı) \(A, B \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(\lambda > 0\) olmak üzere, kümeler üzerinde aşağıdaki toplama ve skaler ile çarpma işlemleri tanımlansın:
\[A + B = \{x + y : x \in A,\ y \in B\}, \qquad \lambda A = \{\lambda x : x \in A\}.\]
Eğer \(A = \{x\}\) tek nokta kümesi ise \(A + B\) kümesi için \(x + B\) yazılışı kullanılır.
- \(x + B\) kümesine \(B\) kümesinin bir ötelemesi denir.
- \(\lambda A\) kümesine \(A\) kümesinin bir skaler katı denir.
- Eğer \(\lambda \ne 0\) ise \(x + \lambda A\) kümesi \(A\) kümesine homotetiktir denir.
İki kümenin \(A + B\) toplamını görselleştirmeye çalışırken, bu toplamı ötelemelerin birleşimi olarak ifade etmek faydalı olabilir:
\[A + B = \bigcup_{x \in A} (x + B) = \bigcup_{y \in B} (A + y)\]
Önerme 3.1 (Toplamın Topolojik Özellikleri) \(A, B \subseteq \mathbb{R}^n\) olsun.
\(A\) veya \(B\) açık ise \(A + B\) açıktır.
\(A\) kapalı ve \(B\) kompakt ise \(A + B\) kapalıdır.
3.3 Reel Sayılarda Supremum ve İnfimum
Şimdi \(\mathbb{R}\) uzayındaki alt kümelerin sınırları hakkındaki kavramları hatırlayalım.
Tanım 3.4 (Alt ve Üst Sınır) \(D \subseteq \mathbb{R}\) olmak üzere, her \(x \in D\) için \(m \le x\) gerçekleyen bir \(m \in \mathbb{R}\) varsa \(m\) sayısı \(D\) kümesi için bir alt sınırdır ve \(D\) kümesine de alttan sınırlı küme denir.
Benzer biçimde, her \(x \in D\) için \(x \le M\) gerçekleyen bir \(M \in \mathbb{R}\) varsa \(M\) sayısı \(D\) kümesi için bir üst sınırdır ve \(D\) kümesine de üstten sınırlı küme denir.
Aynı zamanda hem alttan hem de üstten sınırlı olan kümeye sınırlı küme denir.
Tanım 3.5 (İnfimum ve Supremum) \(\varnothing \ne D \subset \mathbb{R}\) kümesi alttan sınırlı olsun. \(D\) kümesinin alt sınırlarının en büyüğüne \(D\) kümesinin infimumu denir ve \(\inf D\) ile gösterilir.
\(\varnothing \ne D \subset \mathbb{R}\) kümesi üstten sınırlı olsun. \(D\) kümesinin üst sınırlarının en küçüğüne \(D\) kümesinin supremumu denir ve \(\sup D\) ile gösterilir.
Eğer \(D\) kümesi alttan sınırlı değil ise \(\inf D = -\infty\), üstten sınırlı değil ise \(\sup D = +\infty\) yazılır. Ayrıca \(\inf \varnothing = +\infty\) ve \(\sup \varnothing = -\infty\) kabul edilir.
\(\mathbb{R}\) uzayındaki boştan farklı ve üstten sınırlı her alt kümenin supremumu vardır; bu supremum bir reel sayıdır.
Tamlık aksiyomunu kullanarak, boştan farklı ve alttan sınırlı bir kümenin reel sayı olarak infimumunun var olduğunu görmek zor değildir: \(D\) alttan sınırlıysa \(-D = \{-x : x \in D\}\) üstten sınırlıdır ve \(\inf D = -\sup(-D)\) olur.
3.4 Süreklilik ve Ekstremum Değerler
Tanım 3.6 (Süreklilik) \(f : A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) ve \(x_0 \in A\) olsun. Eğer
\[\forall \varepsilon > 0 \ \text{ için } \ \exists\, \delta > 0 \ \text{ öyle ki } \ x \in A,\ \|x - x_0\| < \delta \ \text{ iken } \ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon\]
gerçekleniyor ise \(f\) fonksiyonu \(x_0\) noktasında süreklidir denir. Eğer \(f\) fonksiyonu \(A\) kümesinin her noktasında sürekli ise \(f\) fonksiyonu \(A\) üzerinde süreklidir denir.
Tanım 3.7 (Dizisel Süreklilik) \(f : A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) ve \(x_0 \in A\) olsun. Eğer \(A\) kümesi içindeki limiti \(x_0\) olan tüm \(\{x_k\}\) dizilerinin \(f\) altındaki görüntülerinden oluşan \(\{f(x_k)\}\) reel sayı dizilerinin limitleri \(f(x_0)\) sayısı ise \(f\) fonksiyonu \(x_0\) noktasında dizisel süreklidir denir.
Önerme 3.2 (Sürekliliğin İki Yüzü) \(f : A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) ve \(x_0 \in A\) olsun. Bu durumda \(f\) fonksiyonunun \(x_0\) noktasında sürekli olması için gerek ve yeter koşul, \(x_0\) noktasında dizisel sürekli olmasıdır.
Tanım 3.8 (Yerel ve Mutlak Ekstremum) \(f : A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) ve \(x_0 \in A\) olsun. Eğer
\[\exists\, \delta > 0 \ \text{ öyle ki } \ \forall x \in B(x_0, \delta) \cap A \ \text{ için } \ f(x_0) \le f(x)\]
gerçekleniyor ise \(f\) fonksiyonu \(A\) üzerinde \(x_0\) noktasında yerel minimuma sahiptir denir.
Eğer
\[\forall x \in A \ \text{ için } \ f(x_0) \le f(x)\]
geçerli ise \(f\) fonksiyonu \(A\) üzerinde \(x_0\) noktasında mutlak minimuma sahiptir denir. Yerel maksimum ve mutlak maksimum kavramları benzer biçimde tanımlanır.
Kompaktlık, sürekli dönüşümler altında korunan bir özelliktir: \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) sürekli bir fonksiyon ve \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) kompakt bir küme ise \(f(A) \subseteq \mathbb{R}^m\) görüntü kümesi de kompakt olur. Dolayısıyla matematik analizin ve optimizasyon teorisinin temel sonuçlarından biri olan aşağıdaki teorem geçerlidir.
Teorem 3.3 (Weierstrass Varlık Teoremi) \(\varnothing \ne K\) kompakt bir küme ve \(f : K \to \mathbb{R}\) sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda \(f\) fonksiyonu kompakt \(K\) kümesi üzerinde mutlak ekstremum değerlerine ulaşır; yani
\[\exists\, x_0, y_0 \in K \ \text{ öyle ki } \ f(x_0) = \min\{f(x) : x \in K\} \ \text{ ve } \ f(y_0) = \max\{f(x) : x \in K\}\]
geçerlidir.
Bu teorem, ileride kuracağımız eniyileme problemlerinin çözümünün var olduğunu garanti eden temel araçtır: konveks analizde bir minimumun varlığını göstermek çoğu zaman kısıt kümesinin kompakt, amaç fonksiyonunun sürekli olduğunu göstermeye indirgenir.
3.5 Ayrılmış ve Bağlantılı Kümeler
Tanım 3.9 (Ayrılmış ve Bağlantılı Kümeler) \(A, B \subseteq \mathbb{R}^n\) kümeleri için \(A \cap \overline{B} = \varnothing = B \cap \overline{A}\) geçerli ise \(A\) ve \(B\) kümeleri ayrılmıştır denir.
Eğer bir küme, boştan farklı iki ayrılmış kümenin birleşimi olarak ifade edilemiyorsa o kümeye bir bağlantılı küme denir.
Örnek 3.1 (Ayrık Olmak ile Ayrılmış Olmak) \(\mathbb{R}\) uzayında \(A = [0, 2]\), \(B = (2, 4)\) ve \(C = (0, 2)\) kümelerini göz önüne alalım. \(A \cup B\) ile \(C \cup B\) kümelerinden hangisi bağlantılıdır?
Çözüm
Dikkat edilirse \(2 \in \overline{B}\) olduğundan \(A \cap \overline{B} \ne \varnothing\) olur; böylece \(A\) ile \(B\) ayrık olmalarına karşın ayrılmış kümeler değildirler. Öte yandan \(C \cap \overline{B} = \varnothing = B \cap \overline{C}\) gerçeklendiğinden \(C\) ile \(B\) ayrılmış kümelerdir.
Dolayısıyla \(A \cup B = [0, 2] \cup (2, 4) = [0, 4)\) kümesi bağlantılıdır; buna karşılık \(C \cup B = (0, 2) \cup (2, 4)\) kümesi bağlantılı değildir.
Bu bölümde toplanan kavramların hepsi, bundan sonra tek bir amaç için kullanılacaktır: konveksliğin getirdiği ek yapının, bu genel topolojik çerçevede ne kadar güçlü sonuçlar doğurduğunu görmek. İlk adım, doğruları içeren kümeleri — yani afin kümeleri — incelemektir.