11 Konveks Koniler ve Konveks Fonksiyonlar

Bu hafta iki konuyu birleştiriyoruz. Önce ayırma teoremlerinin en verimli uygulandığı yapıları — orijinden çıkan ışınlardan oluşan konileri — ve onların dualini inceliyoruz. Ardından konveks kümeler kuramını fonksiyonlara taşıyoruz; bunun en temiz yolu, bir fonksiyonu grafiğiyle değil, grafiğinin üstünde kalan bölgeyle tanımlamaktır.

11.1 Koniler

Bu yapıların tanımı tek bir kapalılık koşulundan ibarettir: pozitif skaler ile çarpma.

Tanım 11.1 (Koni ve Konveks Koni) $K \subseteq \mathbb{R}^n$ kümesine, her $\lambda > 0$ ve $x \in K$ için $\lambda x \in K$ ise — yani pozitif skaler ile çarpım altında kapalı ise — $K$ kümesine bir koni denir. Eğer $K$ konisi aynı zamanda konveks bir küme ise $K$’ya konveks koni denir.

$\{0\}$ kümesi, lineer alt uzaylar, orijinden geçen hiperdüzlemlerin belirlediği açık ve kapalı yarı uzaylar, pozitif orthant kümesi $\{x \in \mathbb{R}^n : x > 0\}$ ve negatif olmayan orthant kümesi $\{x \in \mathbb{R}^n : x \ge 0\}$ birer konveks konidir.

Koni, pozitif skaler ile çarpma altında kapalı kümedir: x kümedeyse bütün λx (λ > 0) ışını da kümededir. Ortadaki küme bu koşulu sağlar ama konveks değildir — iki kolun noktalarını birleştiren kiriş dışarı çıkar. Bir koninin konveks olması, herhangi iki elemanının konik kombinasyonlarını içermesiyle aynı şeydir.

Tanım 11.2 (Konik Kombinasyon) $x_1, \dots, x_m \in \mathbb{R}^n$, $\lambda_1, \dots, \lambda_m > 0$ olmak üzere $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_m x_m$ toplamına $x_1, \dots, x_m$ noktalarının konik kombinasyonu denir.

Konveks kombinasyondan (Tanım 6.2) farkı, katsayıların toplamı üzerinde bir kısıt bulunmamasıdır.

Teorem 11.1 (Konveks Koninin Karakterizasyonu) $K \subseteq \mathbb{R}^n$ kümesinin konveks koni olması için gerek ve yeter koşul, $\lambda_1, \lambda_2 > 0$ ve $x_1, x_2 \in K$ için $\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 \in K$ olmasıdır.

İspat

Gereklilik. $K$ bir konveks koni, $\lambda_1, \lambda_2 > 0$ ve $x_1, x_2 \in K$ olsun. Bu durumda

\[\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 = \underbrace{(\lambda_1 + \lambda_2)}_{> 0} \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2} x_1 + \frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2} x_2 \right)\]

yazılabilir. Burada $\lambda_1, \lambda_2 > 0$ olduğundan $\lambda_1 + \lambda_2 > 0$ ve

\[\frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2},\ \frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2} \in (0, 1), \qquad \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2} + \frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2} = 1\]

geçerlidir. $K$ konveks olduğundan parantez içindeki konveks kombinasyon $K$’ya aittir; $K$ bir koni olduğundan bu noktanın $(\lambda_1 + \lambda_2)$ katı da $K$’ya aittir.

Yeterlilik. Tersine, $\lambda_1, \lambda_2 > 0$ ve $x_1, x_2 \in K$ için

\[\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 \in K \tag{3}\]

geçerli olsun.

$K$’nın bir koni olduğunu gösterelim: $\lambda > 0$ ve $x \in K$ için

\[\lambda x = \frac{\lambda}{2}x + \frac{\lambda}{2}x \in K\]

yazılabildiğinden $K$ bir koni olur.

Şimdi $K$’nın konveks bir küme olduğunu gösterelim: $0 \le \lambda \le 1$ ve $x_1, x_2 \in K$ olsun. $\lambda = 0$ için sonuç $x_1 \in K$, $\lambda = 1$ için $x_2 \in K$ olarak zaten gerçeklenir. $0 < \lambda < 1$ olduğunda ise $1 - \lambda > 0$ ve $\lambda > 0$ olduğundan $(3)$ nedeniyle

\[\underbrace{(1 - \lambda)}_{> 0} x_1 + \underbrace{\lambda}_{> 0} x_2 \in K\]

içermesi gerçeklenir; bu ise $K$’nın konveks olması demektir. Böylece $K$ hem koni hem de konveks olduğundan konveks bir koni olur.

$\blacksquare$

Böylece konveks koniler, herhangi iki elemanının konik kombinasyonunu içeren kümeler olarak da tanımlanabilir.

Örnek 11.1 (Koni Olan ve Olmayan Kümeler) Aşağıdaki kümelerin koni olup olmadığını, koni iseler konveks olup olmadığını belirleyiniz:

$K_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y \ge |x|\}$, (2) $K_2 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : xy \ge 0\}$, (3) $K_3 = \overline{B\big( (0, 1),\ 1 \big)}$.

Çözüm

1. $\lambda > 0$ ve $(x, y) \in K_1$ için $\lambda y \ge \lambda |x| = |\lambda x|$ olduğundan $\lambda(x, y) \in K_1$’dir; yani $K_1$ bir konidir. Konveksliği Teorem 11.1 ile denetleyelim: $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in K_1$ ve $\lambda_1, \lambda_2 > 0$ için üçgen eşitsizliği

\[|\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2| \le \lambda_1 |x_1| + \lambda_2 |x_2| \le \lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2\]

verir; dolayısıyla konik kombinasyon yine $K_1$’dedir ve $K_1$ konveks bir konidir.

2. $K_2$ kümesi birinci ve üçüncü bölgelerin birleşimidir. $\lambda > 0$ için $(\lambda x)(\lambda y) = \lambda^2 xy \ge 0$ olduğundan $K_2$ bir konidir. Ancak konveks değildir: $(1, 0)$ ve $(0, -1)$ noktalarının ikisi de $K_2$’dedir (çarpımları $0$), oysa orta noktaları $\big( \tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2} \big)$ için çarpım $-\tfrac{1}{4} < 0$’dır.

3. $K_3$, merkezi $(0, 1)$ ve yarıçapı $1$ olan kapalı disktir; bir yuvar olduğundan konvekstir. Buna karşılık $(0, 1) \in K_3$ iken $\lambda = 3$ için $(0, 3) \notin K_3$ olduğundan koni değildir.

Üç örnek birlikte, koni olmak ile konveks olmanın birbirinden bağımsız iki özellik olduğunu gösterir.

Konveks örtünün koni karşılığı da aynı fikirle kurulur: bir kümeyi kapsayan en küçük koniyi, o kümenin noktalarından çıkan ışınların birleşimi olarak yazarız.

Tanım 11.3 (Konik Örtü) $\varnothing \ne X \subseteq \mathbb{R}^n$ olmak üzere

\[\operatorname{cone}(X) = \{\lambda x : \lambda \ge 0,\ x \in X\}\]

kümesine $X$ kümesinin konik örtüsü denir.

$\lambda = 0$ değerine izin verildiğinden konik örtü orijini daima içerir; $X$ konveks bir küme olduğunda ise $\operatorname{cone}(X)$ konveks bir koni olur.

11.2 Dual Koni

Tanım 11.4 (Dual Koni) $\varnothing \ne K \subseteq \mathbb{R}^n$ bir koni olmak üzere

\[K^{*} = \{x^{*} \in \mathbb{R}^n : \forall x \in K,\ \langle x, x^{*} \rangle \ge 0\}\]

kümesine $K$ konisinin dual konisi denir.

u₁ ile u₂ ışınlarının gerdiği K konisi ve onun dual konisi K* = { x* : ⟨x, x*⟩ ≥ 0, her x ∈ K }. K* bir x* vektörünü, K'nın her elemanıyla iç çarpımı negatif olmadığında içerir; bu, K'nın iki kenar ışınına dik iki yarı düzlemin kesişimi demektir. Dar bir koninin duali geniş olur: K burada 60°, K* ise 120° açıklıktadır. Dual koni her zaman kapalı ve konvekstir.

Lemma 11.1 (Dual Koni Kapalı ve Konvekstir) $\varnothing \ne K \subseteq \mathbb{R}^n$ herhangi bir koni olmak üzere $K^{*}$ dual konisi daima konveks ve kapalı bir konidir.

Çözüm

Her $x \in K$ için $H_x^{\ge} := \{x^{*} : \langle x, x^{*} \rangle \ge 0\}$ kümesi, orijinden geçen bir hiperdüzlemin belirlediği kapalı yarı uzaydır. Tanım gereği

\[K^{*} = \bigcap_{x \in K} H_x^{\ge}\]

yazılır. Kapalı yarı uzaylar konveks ve kapalı olduğundan — lineer fonksiyoneller sürekli olduğu için kapalıdırlar — herhangi sayıdaki kesişimleri de konveks ve kapalıdır.

Koni olduğunu görmek için $x^{*} \in K^{*}$ ve $\lambda > 0$ alalım: her $x \in K$ için $\langle x, \lambda x^{*} \rangle = \lambda \langle x, x^{*} \rangle \ge 0$ olduğundan $\lambda x^{*} \in K^{*}$’dır.

Dikkat edilirse burada $K$’nın konveks ya da kapalı olması hiç kullanılmadı: dual koni, ne kadar düzensiz bir koniden üretilirse üretilsin daima kapalı ve konvekstir.

Lemma 11.2 (Koni ile Kapanışının Duali Aynıdır) $\varnothing \ne K \subseteq \mathbb{R}^n$ bir koni olmak üzere $K$ ve $\overline{K}$ aynı dual koniye sahiptir; yani $K^{*} = (\overline{K})^{*}$ geçerlidir.

İspat

$x^{*} \in (\overline{K})^{*}$ ise her $x \in \overline{K}$ için $\langle x, x^{*} \rangle \ge 0$ ve $K \subseteq \overline{K}$ olduğundan özel olarak her $x \in K$ için $\langle x, x^{*} \rangle \ge 0$ gerçeklenir; bu ise $x^{*} \in K^{*}$ demektir.

Tersine $x^{*} \in K^{*}$ olsun. Bu durumda her $x \in K$ için $\langle x, x^{*} \rangle \ge 0$ geçerlidir. Şimdi $\overline{x} \in \overline{K}$ olsun; bu durumda elemanları $K$ konisinden olan ve $x_k \to \overline{x}$ sağlayan bir $\{x_k\}$ dizisi vardır. Böylece her $k \in \mathbb{N}$ için $\langle x_k, x^{*} \rangle \ge 0$ gerçeklenir. İç çarpım sürekli olduğundan $k \to \infty$ için limite geçilirse $\langle \overline{x}, x^{*} \rangle \ge 0$ elde edilir. Buradaki $\overline{x} \in \overline{K}$ herhangi olduğundan $x^{*} \in (\overline{K})^{*}$ bulunur.

$\blacksquare$

Örnek 11.2 (Negatif Olmayan Orthantın Duali) $K = \{x \in \mathbb{R}^n : x \ge 0\}$ negatif olmayan orthantının dual konisini belirleyiniz.

Çözüm

$x^{*} \in K^{*}$ olması, her $x \ge 0$ için $\langle x, x^{*} \rangle \ge 0$ olması demektir. Standart taban vektörleri $e_i$ de $K$ kümesinde olduğundan, özel olarak

\[\langle e_i, x^{*} \rangle = x^{*}_i \ge 0, \qquad i = 1, \dots, n\]

çıkar; yani $x^{*} \ge 0$, dolayısıyla $K^{*} \subseteq K$ geçerlidir.

Tersine $x^{*} \ge 0$ ve $x \ge 0$ ise bütün terimler negatif olmadığından

\[\langle x, x^{*} \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i x^{*}_i \ge 0\]

olur; bu ise $K \subseteq K^{*}$ demektir. Sonuçta

\[K^{*} = K,\]

yani negatif olmayan orthant kendi dualine eşittir; böyle konilere öz-dual denir. Lemma 11.1 ile tutarlı biçimde $K$ zaten kapalı ve konveks bir konidir.

Bu iki lemma birlikte, dualiteyi son derece kullanışlı bir araç yapar: bir koninin dualini almak, onu otomatik olarak kapalı ve konveks bir nesneye çevirir ve bu işlem, koninin kapanışını almakla aynı sonucu verir. Bölümün ikinci yarısında aynı dualite dilinin fonksiyonlara nasıl taşındığını göreceğiz; destek fonksiyonu ile subdiferansiyel ise bir sonraki bölümün konusudur.

11.3 Tanım Kümesi ve Epigraf

$\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\mp\infty\} = [-\infty, +\infty]$ genişletilmiş reel sayılar kümesini kullanarak, bir fonksiyonu grafiğinin üstünde kalan bölge üzerinden okumayı sağlayan iki kavramı tanımlayalım.

Tanım 11.5 (Tanım Kümesi ve Grafiküstü Kümesi) $f : \mathbb{R}^n \to \overline{\mathbb{R}}$ fonksiyonu için

\[\operatorname{dom}(f) = \{x \in \mathbb{R}^n : f(x) < +\infty\}\]

kümesine $f$ fonksiyonunun tanım kümesi,

\[\operatorname{epi}(f) = \{(x, \alpha) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} : f(x) \le \alpha\}\]

kümesine de $f$ fonksiyonunun grafiküstü kümesi (ya da $f$’in epigrafı) denir.

Fonksiyonların $+\infty$ değeri almasına izin vermek yalnızca bir kolaylık değildir: bir kısıtlı problemi kısıtsız yazmanın standart yoludur. Bir kısıt kümesinin dışında fonksiyona $+\infty$ değeri atandığında, o kısıt amaç fonksiyonunun içine gömülmüş olur.

Tanım 11.6 (Konveks Fonksiyon) Grafiküstü kümesi konveks küme olan fonksiyonlara konveks fonksiyon denir. Başka bir deyişle, bir $f : \mathbb{R}^n \to \overline{\mathbb{R}}$ fonksiyonu için $\operatorname{epi}(f)$ kümesi $\mathbb{R}^{n+1}$ uzayında konveks ise $f$ fonksiyonuna $\mathbb{R}^n$ uzayında bir konveks fonksiyon denir.

Eğer $-f$ fonksiyonu konveks ise $f$ fonksiyonuna konkav fonksiyon denir.

Bir fonksiyonun grafiküstü (epigraf) kümesi, grafiğinin üzerinde kalan noktalardan oluşur. Konveks fonksiyon tanımı gereği epigrafı konveks olan fonksiyondur. Sağdaki fonksiyonda epigrafın iki noktasını birleştiren kiriş kümenin dışına düşer; bu, kirişin grafiğin altına inmesiyle aynı şeydir.

Tanım 11.7 (Has (Proper) Fonksiyon) $f : \mathbb{R}^n \to \overline{\mathbb{R}}$ olmak üzere

\[\forall x \in \mathbb{R}^n \ \text{ için } \ -\infty < f(x) \qquad \text{ve} \qquad \exists\, x_0 \in \mathbb{R}^n \ \text{ öyle ki } \ f(x_0) < +\infty\]

sağlayan bir fonksiyona has (proper) fonksiyon denir.

Uyarı

Bundan sonra aksi söylenmedikçe has ve konveks olan fonksiyonlar ile çalışacağız. Has olma koşulu iki uç durumu dışarıda bırakır: hiçbir yerde sonlu olmayan fonksiyonu ve bir noktada bile $-\infty$ değeri alan fonksiyonu.

11.4 Kiriş Eşitsizliği

Teorem 11.2 (Konveksliğin Eşitsizlik Biçimi) $f : \mathbb{R}^n \to \overline{\mathbb{R}}$ olmak üzere, $f$ fonksiyonunun konveks olabilmesi için gerek ve yeter koşul, her $x_1, x_2 \in \mathbb{R}^n$ ve $0 \le \lambda \le 1$ için

\[f\big( \lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2 \big) \ \le\ \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2) \tag{$*$}\]

eşitsizliğinin gerçeklenmesidir.

Konvekslik eşitsizliğinin okunuşu: iki nokta arasındaki kiriş daima grafiğin üstünde kalır. Yatay eksende λ ile alınan ağırlıklı ortalama, düşey eksende fonksiyon değerlerinin aynı ağırlıklarla ortalamasına karşılık gelir; mavi parça bu iki değer arasındaki farktır. Kesin konvekslikte bu fark uç noktalar dışında hep pozitiftir.

İspat

Gereklilik. Eğer $x_1 \notin \operatorname{dom}(f)$ ya da $x_2 \notin \operatorname{dom}(f)$ ise $(*)$’ın sağ tarafı $+\infty$ olacağından eşitsizlik zaten geçerlidir. Varsayalım ki $x_1, x_2 \in \operatorname{dom}(f)$ olsun; bu durumda $f(x_1) \le f(x_1)$ ve $f(x_2) \le f(x_2)$ eşitsizlikleri eşitlik hâliyle sağlandığından

\[\big( x_1, f(x_1) \big) \in \operatorname{epi}(f), \qquad \big( x_2, f(x_2) \big) \in \operatorname{epi}(f)\]

içermeleri geçerlidir. $f$ konveks ise $\operatorname{epi}(f)$ konvekstir; bu nedenle $0 \le \lambda \le 1$ için

\[\lambda \underbrace{\big( x_1, f(x_1) \big)}_{\in \operatorname{epi}(f)} + (1 - \lambda) \underbrace{\big( x_2, f(x_2) \big)}_{\in \operatorname{epi}(f)} = \Big( \lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2,\ \lambda f(x_1) + (1 - \lambda)f(x_2) \Big) \in \operatorname{epi}(f)\]

gerçeklenir. Epigrafın tanımı gereği bu, tam olarak $(*)$ eşitsizliğidir.

Yeterlilik. Tersine $(*)$ geçerli olsun. $(x_1, \alpha_1), (x_2, \alpha_2) \in \operatorname{epi}(f)$, yani $f(x_1) \le \alpha_1$ ve $f(x_2) \le \alpha_2$ olsun. $0 \le \lambda \le 1$ için

\[f\big( \lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2 \big) \le \lambda f(x_1) + (1 - \lambda)f(x_2) \le \lambda \alpha_1 + (1 - \lambda)\alpha_2\]

elde edilir; bu ise $\lambda(x_1, \alpha_1) + (1 - \lambda)(x_2, \alpha_2) \in \operatorname{epi}(f)$ demektir. Dolayısıyla $\operatorname{epi}(f)$ konvekstir.

$\blacksquare$

Teorem 11.2 nedeniyle $(*)$ eşitsizliği çoğu kaynakta doğrudan tanım olarak alınır; iki yaklaşım denktir. Eşitsizliğin geometrik okunuşu şudur: iki nokta arasındaki kiriş daima grafiğin üstünde kalır.

Örnek 11.3 (Norm Fonksiyonu Konvekstir) Her $x \in \mathbb{R}^n$ için $f(x) = \|x\|$ şeklinde tanımlanan norm fonksiyonunun has konveks bir fonksiyon olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Her $x_1, x_2 \in \mathbb{R}^n$ ve $0 \le \lambda \le 1$ için üçgen eşitsizliği ve normun homojenliği ile

\[\big\| \lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2 \big\| \le \|\lambda x_1\| + \|(1 - \lambda)x_2\| = \lambda \|x_1\| + (1 - \lambda)\|x_2\|\]

eşitsizliği geçerlidir; burada $\lambda \ge 0$ ve $1 - \lambda \ge 0$ olduğundan mutlak değerler doğrudan açılabilmiştir. Norm her yerde sonlu ve negatif olmadığından fonksiyon aynı zamanda hastır.

Norm fonksiyonu üçgen eşitsizliği ile homojenlik sayesinde konvekstir: ‖λx₁ + (1−λ)x₂‖ ≤ λ‖x₁‖ + (1−λ)‖x₂‖. Bunun geometrik karşılığı, her normun birim yuvarının konveks olmasıdır — birim yuvar, normun 1 seviye kümesidir.

Konvekslik, kirişin grafiğin altına düşmemesini ister; kirişin grafiğe değmesine izin verir. Bu izni kaldırırsak bir adım daha güçlü bir kavram elde ederiz.

Tanım 11.8 (Kesin Konvekslik) Eğer $x_1 \ne x_2$ ve $0 < \lambda < 1$ için

\[f\big( \lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2 \big) < \lambda f(x_1) + (1 - \lambda)f(x_2)\]

ise — yani Teorem 11.2’teki $(*)$ eşitsizliği kesin ise — $f$ fonksiyonu kesin konvekstir denir.

Kesin konvekslikte uç noktalar dışında kiriş ile grafik hiç değmez. Sağdaki fonksiyon konvekstir ama düz parçası üzerinde kiriş grafiğin tam üstüne oturur; eşitsizlik eşitliğe dönüştüğünden kesin konveks değildir. Kesin konvekslik, bir eniyileme probleminin çözümünün tek olduğunu garanti etmek için istenen ek koşuldur.

Aradaki farkı tek cümlede söylemek mümkündür: kesin konveks bir fonksiyonun grafiği hiçbir doğru parçası içermez. Konveks bir fonksiyon bir aralık boyunca doğrusallaşırsa, o aralığın uçlarını birleştiren kiriş grafiğin tam üstüne oturur ve eşitsizlik kesin olmaktan çıkar.

$f(x)$	konveks	kesin konveks	neden
$x^2$	evet	evet	grafik hiçbir yerde doğrusallaşmaz
$\lvert x \rvert$	evet	hayır	$[0, 1]$ üzerinde doğrusaldır, orada kiriş grafiğe oturur
$2x + 1$	evet	hayır	grafiğin kendisi bir doğrudur, kiriş daima onunla çakışır
$-x^2$	hayır	hayır	kiriş grafiğin altında kalır

Bu fazladan kelimenin somut bir kazancı vardır: kesin konvekslik minimum noktasını tekleştirir.

Önerme 11.1 (Kesin Konvekste Minimum En Fazla Bir Tanedir) $C \subseteq \mathbb{R}^n$ konveks bir küme ve $f$ fonksiyonu $C$ üzerinde kesin konveks olsun. Bu durumda $f$ fonksiyonunun $C$ üzerinde en fazla bir minimum noktası vardır.

İspat

$x_1 \ne x_2$ noktalarının ikisi de minimum noktası olsun ve ortak en küçük değere $m = f(x_1) = f(x_2)$ diyelim. $C$ konveks olduğundan orta nokta $\tfrac{1}{2}(x_1 + x_2)$ da $C$ kümesindedir ve $\lambda = \tfrac{1}{2}$ için kesin konvekslik

\[f\Big( \frac{x_1 + x_2}{2} \Big) \ <\ \tfrac{1}{2} f(x_1) + \tfrac{1}{2} f(x_2) = m\]

verir. Bu ise $m$ sayısının $f$ fonksiyonunun $C$ üzerindeki en küçük değeri olmasıyla çelişir. Demek ki iki farklı minimum noktası bulunamaz.

$\blacksquare$

Konveks olup kesin konveks olmayan fonksiyonlarda böyle bir garanti yoktur: $f \equiv 0$ sabit fonksiyonu konvekstir ve kümenin her noktası onun bir minimum noktasıdır.

11.5 Fonksiyonlarda Konveksliği Koruyan İşlemler

Teorem 11.3 (Konveks Fonksiyonların Supremumu) Her $i \in I$ için $f_i$ fonksiyonları konveks ise, $f(x) = \sup_{i \in I} f_i(x)$ şeklinde tanımlanan supremum fonksiyonu da konvekstir.

Konveks fonksiyonların supremumu yine konvekstir, çünkü epi(sup fᵢ) = ∩ epi(fᵢ) olur ve konveks kümelerin kesişimi konvekstir. Şekilde dört afin fonksiyonun supremumu parçalı doğrusal bir konveks fonksiyon verir. Tersine, her konveks fonksiyon kendisini alttan destekleyen afin fonksiyonların supremumu olarak yazılabilir.

İspat

$f(x) = \sup_{i \in I} f_i(x)$ ise $\operatorname{epi}(f) = \bigcap_{i \in I} \operatorname{epi}(f_i)$ geçerlidir; çünkü

\[(x, \alpha) \in \operatorname{epi}(f) \iff \alpha \ge f(x) = \sup_{i \in I} f_i(x) \iff \forall i \in I,\ \alpha \ge f_i(x)\]

\[\iff \forall i \in I,\ (x, \alpha) \in \operatorname{epi}(f_i) \iff (x, \alpha) \in \bigcap_{i \in I} \operatorname{epi}(f_i).\]

Her $i \in I$ için $f_i$ konveks olduğundan $\operatorname{epi}(f_i)$ kümeleri konvekstir. Konveks kümelerin kesişimi konveks olduğundan (Teorem 6.2) $\operatorname{epi}(f)$ konveks olur; yani $f$ konvekstir.

$\blacksquare$

Bu teoremin gücü, indis kümesinin sonsuz olabilmesindedir: sonsuz çok afin fonksiyonun supremumu olarak yazılan her fonksiyon konvekstir. Tersi de doğrudur — bu, dualite kuramının çıkış noktasıdır.

Supremum işleminin konveksliği korumasına benzer şekilde, infimum işlemi de konkavlığı korur. Bir $f_i(x)$ konkav fonksiyon ailesi için bu özellik, supremum ile infimum arasındaki temel eşitlikten doğrudan elde edilir:

\[ \inf \{ f_i(x) \} = - \sup \{ -f_i(x) \} \]

Her bir $f_i(x)$ konkav olduğundan, $-f_i(x)$ fonksiyonları konvekstir. Konveks fonksiyonların supremumu konveksliği koruduğu için eşitliğin sağ tarafındaki $\sup \{ -f_i(x) \}$ ifadesi konvekstir. İfadenin başındaki eksi çarpımı nedeniyle fonksiyon tekrar tersine döner ve sonuç her zaman konkav bir fonksiyon olur.

Teorem 11.4 (Jensen Eşitsizliği) $f$ konveks fonksiyon olmak üzere $x_1, \dots, x_m \in \mathbb{R}^n$ ve $\lambda_i \ge 0$, $\sum_{i=1}^{m} \lambda_i = 1$ için

\[f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \dots + \lambda_m x_m) \ \le\ \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2) + \dots + \lambda_m f(x_m)\]

eşitsizliği geçerlidir.

İspat

Her $i \in \{1, \dots, m\}$ için $f(x_i) \le f(x_i)$ olduğundan $\big( x_i, f(x_i) \big) \in \operatorname{epi}(f)$ geçerlidir. $f$ konveks olduğundan $\operatorname{epi}(f)$ konveks kümedir; Teorem 8.1 nedeniyle elemanlarının tüm konveks kombinasyonlarını içerir. Dolayısıyla $\lambda_i \ge 0$, $\sum_{i=1}^{m}\lambda_i = 1$ olmak üzere

\[\sum_{i=1}^{m} \lambda_i \big( x_i, f(x_i) \big) = \Big( \sum_{i=1}^{m} \lambda_i x_i,\ \sum_{i=1}^{m} \lambda_i f(x_i) \Big) \in \operatorname{epi}(f)\]

\[\iff f\Big( \sum_{i=1}^{m} \lambda_i x_i \Big) \le \sum_{i=1}^{m} \lambda_i f(x_i)\]

olur.

$\blacksquare$

Teorem 11.5 (Negatif Olmayan Katsayılı Toplamlar) Her $i \in \{1, \dots, m\}$ için $f_i$ fonksiyonları konveks ve $\alpha_i \ge 0$ olmak üzere

\[f(x) = \alpha_1 f_1(x) + \alpha_2 f_2(x) + \dots + \alpha_m f_m(x)\]

fonksiyonu da konvekstir.

İspat

$x, y \in \mathbb{R}^n$ ve $0 \le \lambda \le 1$ olsun. Her $f_i$ için kiriş eşitsizliği yazılıp $\alpha_i \ge 0$ ile çarpılırsa (çarpanlar negatif olmadığından eşitsizlik yönü korunur):

\[f\big( \lambda x + (1 - \lambda)y \big) = \sum_{i=1}^{m} \alpha_i f_i\big( \lambda x + (1 - \lambda)y \big) \le \sum_{i=1}^{m} \alpha_i \Big( \lambda f_i(x) + (1 - \lambda) f_i(y) \Big)\]

\[= \lambda \sum_{i=1}^{m} \alpha_i f_i(x) + (1 - \lambda) \sum_{i=1}^{m} \alpha_i f_i(y) = \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y)\]

gerçeklenir; dolayısıyla $f$ konvekstir.

$\blacksquare$

Konveksliğin ne olduğunu artık biliyoruz; sıra onu pratikte denetlemeye ve türevin var olmadığı noktalarda onun yerine ne kullanacağımıza geldi. Bir sonraki haftanın konusu budur.