4 Afin Kümeler
Bir kümeyi “düz” yapan şey nedir? İki farklı yanıt vardır: küme herhangi iki noktasından geçen doğrunun tamamını içeriyorsa afin, yalnızca aradaki doğru parçasını içeriyorsa konveks olur. Bu tek harflik fark, iki bambaşka teori doğurur. Bu haftada bunların ilkini kuruyor ve afin kümelerin lineer cebirle bağını kesinleştiriyoruz: her afin küme, bir lineer alt uzayın ötelenmişidir.
4.1 Doğrular ve Afin Kümeler
Tanım 4.1 (Doğru) \(x, y \in \mathbb{R}^n\) olmak üzere
\[\{(1 - \lambda)x + \lambda y : \lambda \in \mathbb{R}\}\]
veya başka bir yazılış ile
\[\{\lambda_1 x + \lambda_2 y : \lambda_1 + \lambda_2 = 1,\ \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}\}\]
kümesine \(x\) ve \(y\) noktalarından geçen doğru denir.
Tanım 4.2 (Afin Küme) \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) olmak üzere, her \(\lambda \in \mathbb{R}\) ve her \(x, y \in A\) için
\[(1 - \lambda)x + \lambda y \in A\]
gerçekleniyor ise \(A\) kümesine \(\mathbb{R}^n\)’de bir afin küme denir. Başka bir deyişle, herhangi iki noktasından geçen doğruyu içeren kümelere afin küme denir.
\(\varnothing\), \(\mathbb{R}^n\), tek nokta kümeleri, doğrular ve düzlemler birer afin küme örneğidir.
Tanım 4.3 (Afin Kombinasyon) \(x_1, x_2, \dots, x_m \in \mathbb{R}^n\), \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_m \in \mathbb{R}\) ve \(\sum_{i=1}^{m} \lambda_i = 1\) olmak üzere
\[\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \dots + \lambda_m x_m\]
noktasına \(x_1, x_2, \dots, x_m\) noktalarının afin kombinasyonu denir.
Afin kombinasyon kavramını kullanarak, afin kümeleri herhangi iki noktasının afin kombinasyonunu içeren kümeler olarak tanımlamak mümkündür. Aşağıdaki teorem, “iki nokta” ile “sonlu çok nokta” arasında fark olmadığını söyler.
Teorem 4.1 (Afin Kümeler Bütün Afin Kombinasyonları İçerir) Bir \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) kümesinin afin olması için gerek ve yeter koşul, elemanlarının tüm afin kombinasyonlarını içermesidir.
İspat
Yeterlilik. \(A\) kümesi elemanlarının tüm afin kombinasyonlarını içersin; bu durumda herhangi iki noktasının afin kombinasyonunu da içerir, dolayısıyla \(A\) afin küme olur.
Gereklilik. Tersine \(A\) bir afin küme olsun ve \(m > 2\) olmak üzere \(A\) kümesinin \(m - 1\) tane elemanının afin kombinasyonunu içerdiğini kabul edelim (tümevarım hipotezi). Şimdi \(x_1, \dots, x_m \in A\) ve \(\lambda_1, \dots, \lambda_m \in \mathbb{R}\), \(\sum_{i=1}^{m} \lambda_i = 1\) olsun. Amacımız \(x = \sum_{i=1}^{m} \lambda_i x_i \in A\) olduğunu göstermektir.
\(\lambda_1 + \dots + \lambda_m = 1\) olduğundan \(\lambda_i\)’lerden en az biri \(1\)’den farklıdır; genelliği bozmadan \(\lambda_m \ne 1\) olsun. Bu durumda
\[x = \sum_{i=1}^{m-1} \lambda_i x_i + \lambda_m x_m = (1 - \lambda_m) \underbrace{\left( \sum_{i=1}^{m-1} \frac{\lambda_i}{1 - \lambda_m} x_i \right)}_{=: \, y} + \lambda_m x_m\]
yazılabilir. Burada
\[\sum_{i=1}^{m-1} \frac{\lambda_i}{1 - \lambda_m} = \frac{\lambda_1 + \dots + \lambda_{m-1}}{1 - \lambda_m} = \frac{1 - \lambda_m}{1 - \lambda_m} = 1\]
olduğundan \(y\) noktası, \(A\) kümesinin \(m - 1\) tane \(x_i\) elemanının afin kombinasyonudur ve tümevarım hipotezi gereği \(y \in A\)’dır. Böylece \(x = (1 - \lambda_m)y + \lambda_m x_m\) noktası \(A\)’nın iki elemanının afin kombinasyonu olduğundan \(A\) kümesine aittir. Tümevarımla, bir afin kümenin elemanlarının herhangi bir afin kombinasyonunu içerdiği gösterilmiş olur.
\(\blacksquare\)
4.2 Afin Örtü
Tanım 4.4 (Afin Örtü) Bir \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) kümesini kapsayan tüm afin kümelerin kesişimine, yani \(I\) herhangi bir indis kümesi olmak üzere
\[\bigcap_{i \in I} \{A_i : A \subseteq A_i \text{ ve her } i \in I \text{ için } A_i \text{ afindir}\}\]
kesişim kümesine \(A\) kümesinin afin örtüsü ya da afin zarfı denir ve \(\operatorname{aff}(A)\) ile gösterilir.
Sonuç 4.1 (Afin Örtü En Küçüktür) \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) olmak üzere \(\operatorname{aff}(A)\) kümesi, \(A\) kümesini kapsayan en küçük afin kümedir.
Neden?
Afin kümelerin kesişimi yine afindir: kesişimin iki noktası her \(A_i\)’de bulunduğundan, bu iki noktadan geçen doğru da her \(A_i\)’de, dolayısıyla kesişimde kalır. Böylece \(\operatorname{aff}(A)\) afindir ve tanımı gereği \(A\)’yı kapsar. \(A\)’yı kapsayan herhangi bir \(F\) afin kümesi ise kesişimdeki çarpanlardan biridir; dolayısıyla \(\operatorname{aff}(A) \subseteq F\) olur.
Teorem 4.2 (Afin Örtünün İçeriği) Bir \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) kümesi için \(\operatorname{aff}(A)\) afin örtü kümesi, \(A\) kümesinin elemanlarının tüm afin kombinasyonlarının kümesine eşittir.
İspat
\(A\) kümesinin elemanlarının tüm afin kombinasyonlarının kümesi \(W\) ile gösterilsin. Her \(x \in A\) için \(x = 1 \cdot x\) yazılabildiğinden \(A \subseteq W\)’dir. Ayrıca \(W\) afin bir kümedir: iki afin kombinasyonun afin kombinasyonu, katsayıları toplamı yine \(1\) olan bir afin kombinasyondur. Dolayısıyla \(\operatorname{aff}(A) \subseteq W\) geçerlidir.
Öte yandan \(\operatorname{aff}(A)\) kümesi afin olduğundan Teorem 4.1 nedeniyle elemanlarının tüm afin kombinasyonlarını içerir. \(A \subset \operatorname{aff}(A)\) olduğundan özel olarak \(A\) kümesinin elemanlarının tüm afin kombinasyonlarını, yani \(W\) kümesini de kapsar; böylece \(W \subseteq \operatorname{aff}(A)\) olur. Sonuç olarak \(\operatorname{aff}(A) = W\) elde edilir.
\(\blacksquare\)
Örnek 4.1 (Bir Afin Örtü Hesabı) \(\mathbb{R}^3\) uzayında \(v_1 = (1, 0, 0)\), \(v_2 = (0, 1, 0)\), \(v_3 = (0, 0, 1)\) noktalarının afin örtüsünü belirleyiniz.
Çözüm
Teorem 4.2 gereği afin örtü, bu üç noktanın tüm afin kombinasyonlarının kümesidir. \(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 = (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)\) olduğundan katsayılar üzerindeki \(\sum \lambda_i = 1\) koşulu doğrudan noktanın bileşenleri üzerine düşer:
\[\operatorname{aff}\{v_1, v_2, v_3\} = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 1\}.\]
Bu düzlem \(0\) noktasını içermediğinden bir lineer alt uzay değildir. Paralel olduğu alt uzayı bulmak için Teorem 4.3 uyarınca kümeden bir noktası — örneğin \(v_1\) — çıkarılır:
\[L = \operatorname{aff}\{v_1, v_2, v_3\} - v_1 = \{(x, y, z) : x + y + z = 0\}.\]
\(L\) alt uzayının bir tabanı \(\{v_2 - v_1,\ v_3 - v_1\}\), dolayısıyla boyutu \(2\)’dir. Afin kümenin boyutu paralel alt uzayın boyutu olarak tanımlandığından afin örtünün boyutu da \(2\)’dir.
4.3 Lineer Alt Uzaylar ve Paralellik
Tanım 4.5 (Lineer Kombinasyon) \(x_1, x_2, \dots, x_m \in \mathbb{R}^n\) ve \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_m \in \mathbb{R}\) olmak üzere
\[\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \dots + \lambda_m x_m\]
noktasına \(x_1, \dots, x_m\) noktalarının lineer kombinasyonu denir.
Afin kombinasyondan tek farkı, katsayılar üzerinde hiçbir kısıt bulunmamasıdır.
Tanım 4.6 (Lineer Alt Uzay) \(L \subseteq \mathbb{R}^n\) bir küme olmak üzere
\(x_1, x_2 \in L\) için \(x_1 + x_2 \in L\),
\(x \in L\), \(\lambda \in \mathbb{R}\) için \(\lambda x \in L\)
gerçekleniyorsa — ya da eşdeğer olarak \(x_1, x_2 \in L\), \(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}\) için \(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 \in L\) gerçekleniyorsa, yani herhangi iki noktasının lineer kombinasyonunu içeriyorsa — \(L\) kümesine bir lineer alt uzay denir.
Dikkat edilirse her lineer alt uzay aynı zamanda bir afin kümedir. Ancak her afin kümenin lineer alt uzay olması gerekmez: orijinden geçmeyen bir doğru afindir ama \(0\)’ı içermediğinden alt uzay değildir.
Tanım 4.7 (Paralellik) \(A, B \subset \mathbb{R}^n\) iki afin küme olsun. Bir \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) için \(A = B + x_0\) ise \(A\) kümesi \(B\) kümesine paraleldir ya da \(A\) kümesi \(B\) kümesinin \(x_0\) ötelemesidir denir. \(B = A - x_0\) yazılabildiğinden \(B\) kümesinin de \(A\) kümesine paralel olduğuna dikkat ediniz.
Aşağıdaki teorem afin kümeler ile lineer alt uzaylar arasındaki ilişkiyi tam olarak ifade eder: afin kümeler, alt uzayların ötelenmişlerinden başka bir şey değildir.
Teorem 4.3 (Afin Küme = Alt Uzayın Ötelemesi) \(\varnothing \ne A \subset \mathbb{R}^n\) olsun. \(A\) kümesinin afin olması için gerek ve yeter koşul, \(A\)’nın tek bir \(L\) lineer alt uzayına paralel olmasıdır.
İspat
Gereklilik. \(A\) afin olsun ve bir \(x_0 \in A\) seçilsin. Bu durumda \(L = A - x_0\) bir lineer alt uzaydır. Gerçekten:
(i) \(\alpha \in \mathbb{R}\) ve \(x \in L = A - x_0\) olsun. Dolayısıyla \(x = a - x_0\) olacak biçimde bir \(a \in A\) vardır. \(A\) bir afin küme olduğundan \(\alpha a + (1 - \alpha)x_0 \in A\) geçerlidir. Böylece
\[\alpha x = \alpha(a - x_0) = \alpha a - \alpha x_0 + x_0 - x_0 = \underbrace{\big[\alpha a + (1 - \alpha)x_0\big]}_{\in A} - x_0 \in L,\]
yani \(\alpha x \in L\) sağlanır.
(ii) \(x_1, x_2 \in L = A - x_0\) ise \(x_1 = a_1 - x_0\) ve \(x_2 = a_2 - x_0\) olacak biçimde \(a_1, a_2 \in A\) vardır. Bu durumda
\[x_1 + x_2 = a_1 + a_2 - 2x_0 = 2\Big( \underbrace{\tfrac{1}{2}a_1 + \tfrac{1}{2}a_2}_{\in A} - x_0 \Big) \in L\]
elde edilir; burada \(A\) afin olduğundan \(\tfrac{1}{2}a_1 + \tfrac{1}{2}a_2 \in A\) olup parantez içindeki nokta \(L\)’ye aittir, (i) nedeniyle de bu noktanın \(2\) katı \(L\) kümesine aittir.
Sonuçta \(L\) kümesi toplama ve skaler ile çarpma işlemlerine göre kapalıdır, yani bir lineer alt uzaydır. \(L = A - x_0\) ise \(A = L + x_0\) olduğundan \(A\) kümesi \(L\) alt uzayına paraleldir.
Yeterlilik. Tersine \(A\) kümesi bir \(L\) lineer alt uzayına paralel olsun, yani belli bir \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) için \(A = L + x_0\) olsun. \(x_1, x_2 \in A\), \(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}\) ve \(\lambda_1 + \lambda_2 = 1\) olsun. \(x_1, x_2 \in A\) ise \(x_1 = y_1 + x_0\) ve \(x_2 = y_2 + x_0\) olacak biçimde \(y_1, y_2 \in L\) vardır. Böylece
\[\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 = \underbrace{\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2}_{\in L} + \underbrace{(\lambda_1 + \lambda_2)}_{= 1} x_0 \in L + x_0 = A\]
olur; bu ise \(A\) kümesinin afin olması demektir.
Teklik. \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}^n\) ve \(L_1, L_2\) lineer alt uzayları için \(A = L_1 + x_1 = L_2 + x_2\) olsun. Bu durumda \(L_1 = L_2 + (x_2 - x_1)\) olur. Öte yandan \(L_1\) bir lineer alt uzay olduğu için \(0 \in L_1\), dolayısıyla \(0 \in L_2 + (x_2 - x_1)\) olacağından \(-(x_2 - x_1) \in L_2\) ve alt uzay olması nedeniyle \(x_2 - x_1 \in L_2\) olmalıdır. Sonuçta
\[L_1 = L_2 + \underbrace{(x_2 - x_1)}_{\in L_2} = L_2\]
bulunur.
\(\blacksquare\)
Sonuç 4.2 (Alt Uzaylar Orijini İçerir) Lineer alt uzaylar, orijini içeren afin kümelerdir.
Neden?
Her alt uzay afindir ve \(0\)’ı içerir. Tersine \(A\) afin ve \(0 \in A\) ise Teorem 4.3 gereği \(A = L + x_0\) yazılır; \(x_0 = 0\) seçilebileceğinden \(A = L\) olur.
Bu bağ, bir afin kümeye boyut atamamızı sağlar. Bir sonraki haftada boyutu tam olarak \(n - 1\) olan afin kümeleri — hiperdüzlemleri — ayrı bir başlık altında inceleyeceğiz; bütün ayırma teoremlerinin sahnesi onlar olacak.