7 Konvekslik Özelliğinin Korunması
Yeni konveks kümeler üretmenin en pratik yolu, elimizdekilerden yola çıkmaktır. Bu hafta konveksliğin hangi işlemler altında korunduğunu topluca inceliyoruz: toplama, skaler ile çarpma, kartezyen çarpım, lineer ve afin dönüşümler, kapanış ve iç alma. Kesişimin konveksliği geçen hafta kurulmuştu ve bu bölümün de en çok kullanılan aracı olmayı sürdürecek.
7.1 Konveksliği Koruyan İşlemler
Konvekslik özelliği bir takım işlemler altında değişmeden korunur. Aşağıdaki teoremler, hangi işlemler altında konveksliğin korunduğuna ilişkindir.
Teorem 7.1 (Toplam Kümesi) \(C_1, C_2 \subseteq \mathbb{R}^n\) konveks ise \(C_1 + C_2 = \{x_1 + x_2 : x_1 \in C_1,\ x_2 \in C_2\}\) toplam kümesi de konvekstir.
İspat
\(x, y \in C_1 + C_2\) ve \(0 \le \lambda \le 1\) olsun. \(x = x_1 + x_2\) ve \(y = y_1 + y_2\) olacak biçimde \(x_1, y_1 \in C_1\) ve \(x_2, y_2 \in C_2\) vardır. Bu durumda
\[(1 - \lambda)x + \lambda y = \underbrace{(1 - \lambda)x_1 + \lambda y_1}_{\in C_1} + \underbrace{(1 - \lambda)x_2 + \lambda y_2}_{\in C_2} \in C_1 + C_2\]
içermesi geçerlidir.
\(\blacksquare\)
Teorem 7.2 (Skaler Kat) \(\alpha \in \mathbb{R}\) ve \(C \subseteq \mathbb{R}^n\) bir konveks küme ise \(\alpha C = \{\alpha x : x \in C\}\) skaler kat kümesi de konvekstir.
İspat
\(x, y \in \alpha C\) ve \(0 \le \lambda \le 1\) olsun. \(x = \alpha x_1\) ve \(y = \alpha x_2\) olacak biçimde \(x_1, x_2 \in C\) vardır. Bu durumda
\[(1 - \lambda)x + \lambda y = \alpha \big[ \underbrace{(1 - \lambda)x_1 + \lambda x_2}_{\in C} \big] \in \alpha C\]
içermesi geçerlidir.
\(\blacksquare\)
Sonuç 7.1 (Lineer Birleşimler) \(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}\) olmak üzere \(C_1, C_2 \subseteq \mathbb{R}^n\) konveks ise \(\lambda_1 C_1 + \lambda_2 C_2\) de konvekstir. Özel olarak \(C_1 - C_2\) konvekstir.
Teorem 7.3 (Kartezyen Çarpım) \(C_1, C_2 \subseteq \mathbb{R}^n\) konveks ise \(C_1 \times C_2 = \{(x_1, x_2) : x_1 \in C_1,\ x_2 \in C_2\}\) kartezyen çarpım kümesi de konvekstir.
İspat
\((x_1, x_2), (y_1, y_2) \in C_1 \times C_2\) ve \(0 \le \lambda \le 1\) olsun. Konveks kombinasyon bileşen bileşen alındığından
\[(1 - \lambda)(x_1, x_2) + \lambda(y_1, y_2) = \big( \underbrace{(1 - \lambda)x_1 + \lambda y_1}_{\in C_1},\ \underbrace{(1 - \lambda)x_2 + \lambda y_2}_{\in C_2} \big) \in C_1 \times C_2\]
elde edilir.
\(\blacksquare\)
Teorem 7.4 (Lineer Dönüşüm Altında Görüntü) \(T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) lineer dönüşüm ve \(C \subseteq \mathbb{R}^n\) konveks olsun. Bu durumda \(T(C) = \{T(x) : x \in C\}\) görüntü kümesi \(\mathbb{R}^m\)’de konvekstir.
İspat
\(y_1, y_2 \in T(C)\) ve \(0 \le \lambda \le 1\) olsun. \(y_1 = T(x_1)\) ve \(y_2 = T(x_2)\) olacak biçimde \(x_1, x_2 \in C\) vardır. Böylece lineerlik ile
\[(1 - \lambda)y_1 + \lambda y_2 = (1 - \lambda)T(x_1) + \lambda T(x_2) = T\big( \underbrace{(1 - \lambda)x_1 + \lambda x_2}_{\in C} \big) \in T(C)\]
doğru olur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.1 (Ters Görüntünün Konveksliği) \(T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) lineer dönüşüm ve \(D \subseteq \mathbb{R}^m\) konveks olsun. Bu durumda \(T^{-1}(D) = \{x \in \mathbb{R}^n : T(x) \in D\}\) ters görüntü kümesinin \(\mathbb{R}^n\)’de konveks olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(x_1, x_2 \in T^{-1}(D)\) ve \(0 \le \lambda \le 1\) olsun. O hâlde \(T(x_1), T(x_2) \in D\) olur. Lineerlik nedeniyle
\[T\big( (1 - \lambda)x_1 + \lambda x_2 \big) = (1 - \lambda)T(x_1) + \lambda T(x_2)\]
yazılır; \(D\) konveks olduğundan sağ taraf \(D\)’ye aittir. Bu ise \((1 - \lambda)x_1 + \lambda x_2 \in T^{-1}(D)\) demektir.
Tanım 7.1 (Afin Dönüşüm) \(F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) dönüşümüne, her \(\lambda \in \mathbb{R}\) ve \(x, y \in \mathbb{R}^n\) için
\[F\big( (1 - \lambda)x + \lambda y \big) = (1 - \lambda)F(x) + \lambda F(y)\]
gerçekliyorsa afin dönüşüm denir.
Her lineer dönüşüm bir afin dönüşümdür; bu, lineerliğin doğrudan bir sonucudur. Tersi ise doğru değildir: sabit bir öteleme afindir ama \(F(0) = 0\) koşulunu sağlamadığı sürece lineer değildir. Aşağıdaki iki sonuç, aradaki farkın tam olarak bir ötelemeden ibaret olduğunu gösterir.
Lemma 7.1 (Orijini Sabitleyen Afin Dönüşüm Lineerdir) \(F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) afin dönüşümü için \(F(0) = 0\) ise \(F\) bir lineer dönüşümdür.
İspat
\(F\) bir afin dönüşüm olmak üzere \(\alpha \in \mathbb{R}\) ve \(x \in \mathbb{R}^n\) olsun. Bu durumda
\[F(\alpha x) = F\big( \alpha x + (1 - \alpha) \cdot 0 \big) = \alpha F(x) + (1 - \alpha)F(0) = \alpha F(x)\]
gerçeklenir. Şimdi \(x, y \in \mathbb{R}^n\) olsun:
\[F(x + y) = F\left( 2\left( \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{2}y \right) + (-1) \cdot 0 \right) = 2F\left( \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{2}y \right) + (-1)F(0)\]
\[= 2 \cdot \tfrac{1}{2}F(x) + 2 \cdot \tfrac{1}{2}F(y) = F(x) + F(y)\]
gerçeklenir. Dolayısıyla \(F\) bir lineer dönüşüm olur.
\(\blacksquare\)
Teorem 7.5 (Afin Dönüşümlerin Yapısı) \(T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) bir lineer dönüşüm ve \(a \in \mathbb{R}^m\) olmak üzere, \(F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) şeklinde tanımlanmış her afin dönüşüm \(F(x) = T(x) + a\) biçimindedir.
İspat
\(F\) bir afin dönüşüm olsun. \(a := F(0) \in \mathbb{R}^m\) ve \(T(x) := F(x) - a\) seçilirse \(T\) dönüşümü de afin bir dönüşüm olur (sabit bir vektörün çıkarılması afinliği bozmaz). Öte yandan \(T(0) = F(0) - a = 0\) geçerlidir. Bu durumda Lemma 7.1 nedeniyle \(T\) bir lineer dönüşümdür; dolayısıyla \(F(x) = T(x) + a\) biçimindedir.
Tersine, \(a \in \mathbb{R}^m\) ve \(T\) lineer dönüşüm olmak üzere \(F(x) = T(x) + a\) ise \(\lambda \in \mathbb{R}\) için
\[F\big( (1 - \lambda)x + \lambda y \big) = T\big( (1 - \lambda)x + \lambda y \big) + a = (1 - \lambda)T(x) + \lambda T(y) + a\]
\[= (1 - \lambda)\big( F(x) - a \big) + \lambda\big( F(y) - a \big) + a = (1 - \lambda)F(x) + \lambda F(y)\]
gerçeklenir. Dolayısıyla \(F\) bir afin dönüşümdür.
\(\blacksquare\)
Bir \(F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) dönüşümünün afin olması için gerek ve yeter koşul, \(T(x) = F(x) - F(0)\) şeklinde tanımlanmış \(T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) dönüşümünün lineer olmasıdır. Buradan, afin dönüşümlerin de konveksliği koruduğu çıkar: öteleme konveksliği bozmaz.
Teorem 7.6 (Kapanışın Konveksliği) \(C \subset \mathbb{R}^n\) konveks ise \(\overline{C}\) kümesi de konvekstir.
İspat
\(x, y \in \overline{C}\) ve \(0 \le \lambda \le 1\) olsun. Elemanları \(C\) kümesinde olan öyle \(\{x_k\}\) ve \(\{y_k\}\) dizileri vardır ki \(\lim_{k \to \infty} x_k = x\) ve \(\lim_{k \to \infty} y_k = y\) gerçeklenir. \(C\) konveks olduğundan her \(k \in \mathbb{N}\) için \((1 - \lambda)x_k + \lambda y_k \in C\)’dir. Limite geçilirse
\[\lim_{k \to \infty} \big( (1 - \lambda)x_k + \lambda y_k \big) = (1 - \lambda)x + \lambda y \in \overline{C}\]
elde edilir. Dolayısıyla \(\overline{C}\) kapanış kümesi konvekstir.
\(\blacksquare\)
Teorem 7.7 (İç Kümenin Konveksliği) \(C \subset \mathbb{R}^n\) konveks ise \(\operatorname{int}(C)\) kümesi de konvekstir.
İspat
\(x, y \in \operatorname{int}(C)\) ve \(0 \le \lambda \le 1\) olsun. Bu durumda \(B(x, r_1) \subset C\) ve \(B(y, r_2) \subset C\) gerçekleyen \(r_1, r_2 > 0\) sayıları vardır. \(r = \min\{r_1, r_2\}\) olsun. \(B\big( (1 - \lambda)x + \lambda y,\ r \big) \subset C\) kapsamasının geçerli olduğunu göstermek yeterli olacaktır.
Önce \(B\big( (1 - \lambda)x + \lambda y,\ r \big) = B(x, r) + \lambda(y - x)\) olduğunu gösterelim:
\[z \in B\big( (1-\lambda)x + \lambda y,\ r \big) \iff \big\| z - \big( (1-\lambda)x + \lambda y \big) \big\| < r \iff \big\| \underbrace{z - \lambda(y - x)}_{=: \, t} - x \big\| < r\]
\[\iff t \in B(x, r) \iff z - \lambda(y - x) \in B(x, r) \iff z \in B(x, r) + \lambda(y - x)\]
olduğundan eşitlik doğrudur.
Şimdi \(w \in B\big( (1-\lambda)x + \lambda y,\ r \big)\), dolayısıyla \(w \in B(x, r) + \lambda(y - x)\) olsun. Bu durumda \(w = w_1 + \lambda(y - x)\) olacak biçimde bir \(w_1 \in B(x, r) \subset B(x, r_1) \subset C\) vardır.
Benzer bir hesapla \(B(x, r) + (y - x) = B(y, r)\) olduğu da gözlenir:
\[z \in B(y, r) \iff \|z - y\| < r \iff \big\| \underbrace{z - (y - x)}_{=: \, t} - x \big\| < r \iff z \in B(x, r) + (y - x).\]
Bu durumda \(w_1 + (y - x) \in B(x, r) + (y - x) = B(y, r) \subset C\) geçerlidir. \(C\) konveks olduğundan
\[w = w_1 + \lambda(y - x) = (1 - \lambda)\underbrace{w_1}_{\in C} + \lambda\big( \underbrace{w_1 + (y - x)}_{\in C} \big) \in C\]
yani \(w \in C\) elde edilir. Böylece \(B\big( (1-\lambda)x + \lambda y,\ r \big) \subset C\) kapsaması geçerli olur.
\(\blacksquare\)
7.2 Göreli İç
Konveks bir kümenin içi boş olabilir: düzlemde bir doğru parçasının hiçbir iç noktası yoktur, çünkü her komşuluğu doğrunun dışına taşar. Oysa aynı doğru parçasına kendi afin örtüsü içinden bakıldığında uç noktaları dışındaki her noktası içeridedir. Bu ayrımı yakalayan kavram, komşuluğun tamamı yerine yalnızca afin örtü ile kesişimini kullanır.
Tanım 7.2 (Göreli İç) \(C \subseteq \mathbb{R}^n\) konveks bir küme olmak üzere
\[\operatorname{ri}(C) = \big\{ x \in C : \exists\, \varepsilon > 0 \ \text{ öyle ki } \ B(x, \varepsilon) \cap \operatorname{aff}(C) \subseteq C \big\}\]
kümesine \(C\) kümesinin göreli içi denir.
İç nokta tanımından tek fark, \(B(x, \varepsilon)\) komşuluğunun tamamının değil, yalnızca \(\operatorname{aff}(C)\) ile kesişiminin \(C\) içinde kalmasının istenmesidir. Dolayısıyla daima
\[\operatorname{int}(C) \ \subseteq \ \operatorname{ri}(C) \ \subseteq \ C \ \subseteq \ \overline{C}\]
kapsamaları geçerlidir. \(\dim(C) = n\), yani \(\operatorname{aff}(C) = \mathbb{R}^n\) olduğunda iki kavram çakışır; boyut düştüğünde ise \(\operatorname{int}(C)\) boşalırken \(\operatorname{ri}(C)\) boş kalmaz. Nitekim boştan farklı her konveks kümenin göreli içi boş değildir — konveks kümelerde “kalınlık” ancak bulunduğu uzaya göre kaybolur, kendi afin örtüsüne göre değil.
Örnek 7.1 (İçi Boş, Göreli İçi Dolu Bir Küme) \(\mathbb{R}^3\) uzayında \(xy\)-düzlemine oturan
\[C = \{(x, y, 0) : x^2 + y^2 \le 1\}\]
birim diski için \(\operatorname{int}(C)\) ve \(\operatorname{ri}(C)\) kümelerini belirleyiniz.
Çözüm
Bir \((x, y, 0) \in C\) noktasının \(\mathbb{R}^3\) uzayındaki her \(B\big( (x,y,0), \varepsilon \big)\) komşuluğu üçüncü bileşeni sıfırdan farklı noktalar içerir ve bunların hiçbiri \(C\) kümesinde değildir. Dolayısıyla hiçbir nokta iç nokta olamaz:
\[\operatorname{int}(C) = \varnothing.\]
Öte yandan \(\operatorname{aff}(C) = \{(x, y, 0) : x, y \in \mathbb{R}\}\), yani \(xy\)-düzlemidir. Komşuluk bu düzlemle kesiştirildiğinde geriye düzlem içinde bir disk kalır ve \(x^2 + y^2 < 1\) olan her nokta için yeterince küçük \(\varepsilon\) bu diski \(C\) içinde tutar; buna karşılık \(x^2 + y^2 = 1\) olan noktalarda komşuluk çemberin dışına taşar. Böylece
\[\operatorname{ri}(C) = \{(x, y, 0) : x^2 + y^2 < 1\}\]
bulunur. Küme \(\mathbb{R}^3\) içinde “ince” olduğundan içi boştur, ama kendi düzlemine göre bakıldığında kalınlığını korur.
Bu araçlarla artık ters yönde bir soru sorabiliriz: verilen herhangi bir kümeyi kapsayan en küçük konveks küme nedir? Bir sonraki haftanın konusu budur.