1 İç Çarpım, Norm ve Komşuluklar
Konveks analiz baştan sona uzaklık ve yakınlık üzerine kuruludur: bir kümenin “içi”, “sınırı” ya da bir noktaya “en yakın nokta” derken hep aynı ölçüye başvururuz. Bu haftada o ölçüyü kuruyoruz — iç çarpım, ondan doğan Öklid normu ve normdan doğan metrik — ve bunların ilk topolojik ürünü olan komşuluk kavramını tanımlıyoruz. Buradaki sonuçların çoğu lineer cebir ve analiz derslerinden tanıdıktır; amacımız onları tek bir dilde toplamak ve ileride hangi biçimde kullanacağımızı belirlemektir.
1.1 \(\mathbb{R}^n\) Uzayı ve İç Çarpım
\(x = (x_1, \dots, x_n)\) biçimindeki tüm reel sayı \(n\)-lilerinin oluşturduğu kümeyi \(\mathbb{R}^n\) ile gösterelim. \(x = (x_1, \dots, x_n)\), \(y = (y_1, \dots, y_n) \in \mathbb{R}^n\) ve \(\lambda \in \mathbb{R}\) olmak üzere
\[x + y = (x_1, \dots, x_n) + (y_1, \dots, y_n) = (x_1 + y_1, \dots, x_n + y_n) \quad \longrightarrow \quad \text{toplama}\]
\[\lambda x = \lambda(x_1, \dots, x_n) = (\lambda x_1, \dots, \lambda x_n) \quad \longrightarrow \quad \text{skaler ile çarpma}\]
işlemlerine göre \(\mathbb{R}^n\) kümesi bir vektör uzayı (lineer uzay) olur.
Herhangi bir karışıklık yaratmayacaksa \(\mathbb{R}^n\) uzayının sıfır elemanı ile \(\mathbb{R}\) kümesinin sıfır sayısını aynı \(0\) notasyonu ile göstereceğiz.
\(\mathbb{R}^n\) uzayının herhangi bir \(x = (x_1, \dots, x_n)\) elemanını, vektör olarak
\[x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = [x_1, x_2, \dots, x_n]^T\]
sütun vektörü ile göstereceğiz; buradaki \(T\) harfi vektör transpozesini ifade etmektedir.
Tanım 1.1 (İç Çarpım) Herhangi iki \(x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\) ve \(y = (y_1, \dots, y_n) \in \mathbb{R}^n\) elemanının iç çarpımı
\[\langle x, y \rangle := \sum_{i=1}^{n} x_i y_i\]
biçiminde tanımlanır.
Önerme 1.1 (İç Çarpımın Özellikleri) Herhangi \(x, y, z \in \mathbb{R}^n\) ve \(\lambda \in \mathbb{R}\) için aşağıdakiler geçerlidir:
\(\langle x, x \rangle \ge 0\); ve \(\langle x, x \rangle = 0\) olması için gerek ve yeter koşul \(x = 0\) olmasıdır,
\(\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle\),
\(\langle \lambda x, y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle\),
\(\langle x, y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle\).
1.2 Norm ve Uzaklık
Tanım 1.2 (Öklid Normu) Bir \(x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\) elemanının Öklid normu
\[\|x\| := \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}\]
biçiminde tanımlanır.
Tanımları doğrudan kullanarak
\[\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}\]
eşitliklerini yazabiliriz.
Önerme 1.2 (Normun Özellikleri) Herhangi \(x, y \in \mathbb{R}^n\) ve \(\lambda \in \mathbb{R}\) için aşağıdakiler geçerlidir:
\(\|x\| \ge 0\); ve \(\|x\| = 0\) olması için gerek ve yeter koşul \(x = 0\) olmasıdır,
\(\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|\),
\(\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|\) (üçgen eşitsizliği),
\(|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \cdot \|y\|\) (Cauchy-Schwarz eşitsizliği).
Üçgen ve Cauchy-Schwarz eşitsizliklerinde eşitlik durumu aşağıdaki hâllerde gerçeklenir:
\(\|x + y\| = \|x\| + \|y\|\) olması için gerek ve yeter koşul, bir \(\alpha \ge 0\) için \(x = \alpha y\) olmasıdır,
\(|\langle x, y \rangle| = \|x\| \cdot \|y\|\) olması için gerek ve yeter koşul, bir \(\alpha \in \mathbb{R}\) için \(x = \alpha y\) olmasıdır.
Birinci koşuldaki \(\alpha \ge 0\) ile ikincisindeki \(\alpha \in \mathbb{R}\) arasındaki fark önemlidir: üçgen eşitsizliğinde eşitlik için vektörlerin aynı yöne bakması gerekir, Cauchy-Schwarz’da ise aynı doğrultuda olmaları yeter.
Tanım 1.3 (Açı ve Ortogonallik) \(0 \ne x, y \in \mathbb{R}^n\) ve \(x\) ile \(y\) vektörleri arasındaki açı \(0 \le \theta \le \pi\) olmak üzere
\[\langle x, y \rangle = \|x\| \cdot \|y\| \cdot \cos\theta\]
eşitliği geçerlidir. Eğer \(\langle x, y \rangle = 0\) ise \(x\) ve \(y\) vektörleri ortogonaldir ya da birbirlerine diktir denir.
Cauchy-Schwarz eşitsizliği, bu eşitlikteki \(\cos\theta\) değerinin \([-1, 1]\) aralığında kalmasının bir başka yazılışıdır; açı kavramını iyi tanımlı kılan da odur.
Örnek 1.1 (Bir Açı ve Diklik Hesabı) \(\mathbb{R}^3\) uzayında \(x = (1, 2, 2)\), \(y = (2, -2, 1)\) ve \(z = (0, 1, -2)\) vektörleri verilsin. \(x\) ile \(y\) arasındaki açıyı belirleyiniz; \(z\) vektörünün bunlardan birine dik olup olmadığını inceleyiniz.
Çözüm
İç çarpım doğrudan hesaplanır:
\[\langle x, y \rangle = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 0.\]
Sıfır çıktığından \(x\) ile \(y\) diktir, yani \(\theta = \pi / 2\)’dir.
\(z\) için ise
\[\langle x, z \rangle = 0 + 2 - 4 = -2, \qquad \langle y, z \rangle = 0 - 2 - 2 = -4\]
olduğundan \(z\) vektörü ikisine de dik değildir. Örneğin \(\|x\| = 3\) ve \(\|z\| = \sqrt{5}\) olduğundan
\[\cos\theta = \frac{\langle x, z \rangle}{\|x\| \cdot \|z\|} = \frac{-2}{3\sqrt{5}}\]
bulunur; değerin negatif olması \(\theta > \pi/2\) demektir. Cauchy-Schwarz eşitsizliği burada \(2 \le 3\sqrt{5}\) biçimindedir ve eşitlikten uzaktır — vektörler aynı doğrultuda değildir.
Tanım 1.4 (Öklid Metriği) Herhangi iki \(x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\) ve \(y = (y_1, \dots, y_n) \in \mathbb{R}^n\) elemanı arasındaki Öklid metriği ya da uzaklığı
\[d(x, y) := \|x - y\|\]
şeklinde tanımlanır.
Doğrudan tanım kullanılarak kolayca
\[d(x, y) = \|x - y\| = \sqrt{\langle x - y, x - y \rangle} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}\]
eşitlikleri elde edilir.
Önerme 1.3 (Metriğin Özellikleri) Herhangi \(x, y, z \in \mathbb{R}^n\) için aşağıdakiler geçerlidir:
\(d(x, y) \ge 0\); ve \(d(x, y) = 0\) olması için gerek ve yeter koşul \(x = y\) olmasıdır,
\(d(x, y) = d(y, x)\),
\(d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)\) (üçgen eşitsizliği).
1.3 Komşuluklar
Öklid normu kullanılarak \(\mathbb{R}^n\)’deki civar (komşuluk) kavramı tanımlanır; daha sonra da civarlar yardımıyla \(\mathbb{R}^n\) uzayındaki diğer topolojik kavramlar elde edilir.
Tanım 1.5 (Komşuluklar) Herhangi bir \(a \in \mathbb{R}^n\) noktasının \(r > 0\) yarıçaplı komşulukları aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:
\[B(a, r) := \{x \in \mathbb{R}^n : \|x - a\| < r\}, \qquad \text{açık komşuluk}\]
\[\overline{B(a, r)} := \{x \in \mathbb{R}^n : \|x - a\| \le r\}, \qquad \text{kapalı komşuluk}\]
\[B^{*}(a, r) := \{x \in \mathbb{R}^n : 0 < \|x - a\| < r\} = B(a, r) \setminus \{a\}, \qquad \text{delinmiş komşuluk}\]
Komşuluk kavramı elimizde olduğuna göre artık bir kümenin hangi noktalarının içeride, hangilerinin kenarda kaldığını sorabiliriz; bir sonraki haftanın konusu budur.