5 Hiperdüzlemler ve Afin Bağımsızlık
Bir afin kümeye boyut atayabildiğimize göre artık en ilginç durumu ayırabiliriz: boyutu, içinde bulunduğu uzayın boyutundan yalnızca bir eksik olan afin kümeler. Bunlara hiperdüzlem denir ve tek bir lineer denklemle yazılırlar — ayırma teoremlerinin bütün ağırlığını taşıyacak olan yapı budur. Haftanın ikinci konusu olan afin bağımsızlık ise, bir nokta kümesinin afin örtüsünün boyutunu okumanın aracıdır.
5.1 Boyut ve Hiperdüzlemler
Tanım 5.1 (Doğurma, Lineer Bağımsızlık, Taban ve Boyut) \(V\) kümesi \(\mathbb{R}\) üzerinde bir vektör uzayı ve \(A \subseteq V\) olmak üzere, eğer her \(v \in V\) elemanı \(A\) kümesinin elemanlarının bir lineer kombinasyonu şeklinde yazılabiliyor ise \(A\) kümesi \(V\) uzayını doğurur ya da gerer denir.
Eğer \(v_1, \dots, v_m \in V\) vektörleri için
\[\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \dots + \alpha_m v_m = 0\]
denklemi yalnızca \(\alpha_1 = \dots = \alpha_m = 0\) için sağlanıyor ise \(v_1, \dots, v_m\) vektörleri lineer bağımsızdır denir; aksi hâlde lineer bağımlıdır denir.
Bir \(V\) vektör uzayını doğuran lineer bağımsız vektörler kümesine \(V\) uzayının bir tabanı denir. Eğer \(V\) vektör uzayı \(k\) tane elemanı olan sonlu bir tabana sahipse, \(V\)’nin tüm tabanları da \(k\) tane elemana sahiptir; bu \(k\) sayısına \(V\) vektör uzayının boyutu denir ve \(\dim(V) = k\) ile gösterilir.
\(L \subseteq V\) bir lineer alt uzay ise boyutlar arasında \(\dim(L) \le \dim(V)\) eşitsizliği geçerlidir. Aynı boyut kavramı, ötelenmiş hâlleri olan afin kümelere de taşınır.
Tanım 5.2 (Afin Kümenin Boyutu) Bir \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) afin kümesinin boyutu, \(A\) afin kümesine paralel olan lineer alt uzayın boyutu olarak tanımlanır ve \(\dim(A)\) ile gösterilir.
Teorem 4.3 bu tanımı iyi tanımlı kılar: paralel alt uzay tektir.
Alıştırma 5.1 (Küçük Boyutlu Uzayların Alt Uzayları) \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}^2\) ve \(\mathbb{R}^3\) uzaylarının her biri için bir taban belirleyip lineer alt uzaylarını boyutlarına göre sınıflandırınız.
Çözüm
Standart tabanlar sırasıyla \(\{1\}\), \(\{e_1, e_2\}\) ve \(\{e_1, e_2, e_3\}\)’tür; boyutlar \(1\), \(2\) ve \(3\)’tür. Bir lineer alt uzay orijini içermek zorunda olduğundan sınıflandırma boyuta göre şöyledir:
- \(\mathbb{R}\)’de: \(\{0\}\) (boyut \(0\)) ve \(\mathbb{R}\) (boyut \(1\)).
- \(\mathbb{R}^2\)’de: \(\{0\}\); orijinden geçen doğrular (boyut \(1\)); \(\mathbb{R}^2\) (boyut \(2\)).
- \(\mathbb{R}^3\)’te: \(\{0\}\); orijinden geçen doğrular (boyut \(1\)); orijinden geçen düzlemler (boyut \(2\)); \(\mathbb{R}^3\) (boyut \(3\)).
Afin kümeler ise bunların ötelenmişleridir: örneğin \(\mathbb{R}^3\)’te afin kümeler tek noktalar, doğrular, düzlemler ve uzayın kendisidir — orijinden geçme koşulu olmaksızın.
Tanım 5.3 (Hiperdüzlem) \(\mathbb{R}^n\) uzayında boyutu \(n - 1\) olan her afin kümeye bir hiperdüzlem denir.
Alıştırma 5.2 (Küçük Boyutlu Uzaylarda Hiperdüzlemler) \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}^2\) ve \(\mathbb{R}^3\) uzaylarındaki hiperdüzlemleri belirleyiniz.
Çözüm
Hiperdüzlem, uzayın boyutundan bir eksik boyutlu afin kümedir:
- \(\mathbb{R}\)’de boyut \(0\): tek noktalar, yani \(\{a\}\) kümeleri.
- \(\mathbb{R}^2\)’de boyut \(1\): doğrular — orijinden geçmek zorunda değildirler.
- \(\mathbb{R}^3\)’te boyut \(2\): düzlemler.
Üç durumda da hiperdüzlem, tek bir lineer denklemin çözüm kümesidir: sırasıyla \(ax = b\), \(a_1x_1 + a_2x_2 = b\) ve \(a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 = b\) (katsayı vektörü sıfırdan farklı olmak üzere).
Tanım 5.4 (Ortogonal Tümleyen) Bir \(L \subseteq \mathbb{R}^n\) lineer alt uzayı için
\[L^{\perp} = \{y \in \mathbb{R}^n : \langle y, x \rangle = 0,\ \forall x \in L\}\]
şeklinde tanımlanan küme de bir lineer alt uzay olup \(L\) lineer alt uzayının ortogonal tümleyeni olarak adlandırılır.
Her \(x \in \mathbb{R}^n\) vektörü \(x_1 \in L\), \(x_2 \in L^{\perp}\) olmak üzere \(x = x_1 + x_2\) şeklinde tek türlü yazılır ve \(\dim(L) + \dim(L^{\perp}) = n\) geçerlidir. Özel olarak \(L\) bir hiperdüzlem (boyutu \(n-1\) olan alt uzay) olduğunda \(L^{\perp}\) alt uzayı \(1\) boyutlu bir doğru olur.
Teorem 5.1 (Hiperdüzlemin Denklemi) Herhangi bir \(H \subset \mathbb{R}^n\) hiperdüzlemi, belli bir \(0 \ne a \in \mathbb{R}^n\) vektörü ve \(b \in \mathbb{R}\) sayısı için
\[H = \{x \in \mathbb{R}^n : \langle a, x \rangle = b\}\]
kümesi ile gösterilebilir. Üstelik bu biçimde verilen her küme bir hiperdüzlemdir.
İspat
\(H\) kümesi \(\mathbb{R}^n\)’de bir hiperdüzlem olsun. Bu durumda \(H\)’nin boyutu \(n - 1\)’dir ve Teorem 4.3 nedeniyle \(n - 1\) boyutlu bir \(L\) lineer alt uzayı ile belli bir \(x_0 \in H\) için \(H = L + x_0\) geçerlidir. \(\dim(L) = n - 1\) olduğundan \(\dim(L^{\perp}) = 1\) olur; dolayısıyla bir \(0 \ne a \in \mathbb{R}^n\) vektörü için \(L^{\perp} = \{\lambda a : \lambda \in \mathbb{R}\}\) geçerlidir. Böylece
\[x \in H \iff x - x_0 \in L \iff \langle a, x - x_0 \rangle = 0 \iff \langle a, x \rangle = \langle a, x_0 \rangle\]
elde edilir. \(b := \langle a, x_0 \rangle\) denirse \(H = \{x \in \mathbb{R}^n : \langle a, x \rangle = b\}\) bulunur.
\(\blacksquare\)
Tanım 5.5 (Normal Vektör) Hiperdüzlemlerin \(H = \{x : \langle a, x \rangle = b\}\) yazılışlarındaki \(0 \ne a\) vektörüne \(H\) hiperdüzleminin bir normal vektörü denir.
Normal vektör tek değildir: sıfırdan farklı her \(t\) için \(ta\) vektörü de aynı hiperdüzlemin normalidir, yeter ki sağ taraf \(tb\) olarak güncellensin.
Örnek 5.1 (Düzlemde Bir Hiperdüzlem ve Paralelleri) \(\mathbb{R}^2\) uzayında \(x + 2y = 4\) denkleminin belirlediği \(H\) hiperdüzlemini yazınız. \(H\) hiperdüzleminin paralel olduğu \(L\) alt uzayını belirleyiniz. \(H_1 = (1, -4) + H\) paralel hiperdüzlemini bulunuz.
Çözüm
Denklem bir iç çarpım olarak okunursa normal vektör doğrudan görülür:
\[H = \{(x, y) : x + 2y = 4\} = \{(x, y) : \langle (x, y), (1, 2) \rangle = 4\}.\]
Paralel alt uzay, aynı normal ile orijinden geçen hiperdüzlemdir:
\[L = \{(x, y) : \langle (x, y), (1, 2) \rangle = 0\}.\]
Öteleme için \((x, y) \in H\) noktalarına \((1, -4)\) eklenir. \(k = x + 1\), \(t = y - 4\) dönüşümü ile \(x = k - 1\), \(y = t + 4\) yazılırsa
\[H_1 = (1, -4) + H = \{(k, t) : (k - 1) + 2(t + 4) = 4\} = \{(k, t) : k + 2t + 7 = 4\}\]
\[= \{(x, y) : x + 2y = -3\} = \{(x, y) : \langle (x, y), (1, 2) \rangle = -3\}.\]
Üç doğru da \((1, 2)\) vektörüne diktir; öteleme yalnızca sağ taraftaki sayıyı değiştirmiştir.
Trivial çözüme sahip olmayan bir lineer denklemin çözüm kümesi bir hiperdüzlemdir.
Teorem 5.2 (Afin Kümeler Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Kümeleridir) \(A\) bir \(m \times n\) matris ve \(b \in \mathbb{R}^m\) olmak üzere \(M = \{x : Ax = b\}\) kümesi \(\mathbb{R}^n\) uzayında bir afin kümedir; ayrıca herhangi bir afin küme bu şekilde ifade edilebilir.
İspat
Önce \(M = \{x : Ax = b\}\) kümesinin afin olduğunu gösterelim. \(x, y \in M\) ve \(\lambda \in \mathbb{R}\) olsun. \(z := (1 - \lambda)x + \lambda y\) olarak tanımlansın. Bu durumda
\[Az = (1 - \lambda)Ax + \lambda Ay = (1 - \lambda)b + \lambda b = b\]
geçerli olur. Böylece \(z \in M\) gerçeklendiğinden \(M\) kümesi bir afin kümedir.
Şimdi \(\varnothing \ne M\) kümesi \(\mathbb{R}^n\) uzayında herhangi bir afin küme olsun. Teorem 4.3 nedeniyle \(M\) kümesinin paralel olduğu bir \(L\) lineer alt uzayı vardır. \(\{a_1, \dots, a_m\}\) vektör kümesi \(L^{\perp}\) uzayının bir tabanı olsun. Bu durumda
\[L = (L^{\perp})^{\perp} = \{x : x \perp a_1,\ \dots,\ x \perp a_m\} = \{x : \langle a_i, x \rangle = 0,\ i = 1, \dots, m\} = \{x : Ax = 0\}\]
geçerlidir; burada \(A\), satırları \(a_1, \dots, a_m\) olan \(m \times n\) matrisini göstermektedir. \(M\) afin kümesi \(L\) alt uzayına paralel olduğundan, bir \(x_0 \in M\) için
\[M = L + x_0 = \{x : A(x - x_0) = 0\} = \{x : Ax = Ax_0\} = \{x : Ax = b\}\]
geçerli olur; burada \(b := Ax_0\) alınmıştır.
\(\blacksquare\)
Teorem 5.2’ndeki afin küme aşağıdaki biçimde de ifade edilebilir:
\[M = \{x : \langle x, a_i \rangle = b_i,\ i = 1, \dots, m\} = \bigcap_{i=1}^{m} H_i\]
Burada \(a_i\) ile \(A\) matrisinin \(i\). satırı, \(b_i\) ile \(b \in \mathbb{R}^m\) vektörünün \(i\). bileşeni ve \(H_i\) ile \(H_i = \{x : \langle x, a_i \rangle = b_i\}\) kümesi gösterilmektedir. Her bir \(H_i\) kümesi bir hiperdüzlemdir. Dolayısıyla:
\(\mathbb{R}^n\) uzayının her afin alt kümesi, sonlu sayıdaki hiperdüzlemin bir kesişimidir.
5.2 Afin Bağımsızlık
Tanım 5.6 (Afin Bağımsızlık) \(m \ge 1\) olmak üzere \(v_0, v_1, \dots, v_m \in \mathbb{R}^n\) noktaları için
\[\sum_{i=0}^{m} \lambda_i v_i = 0 \ \text{ ve } \ \sum_{i=0}^{m} \lambda_i = 0 \implies \lambda_0 = \lambda_1 = \dots = \lambda_m = 0\]
gerektirmesi doğru oluyor ise \(v_0, v_1, \dots, v_m\) noktaları afin bağımsızdır denir.
Teorem 5.3 (Afin Bağımsızlığın Lineer Karşılığı) \(m \ge 1\) olmak üzere \(v_0, v_1, \dots, v_m \in \mathbb{R}^n\) noktalarının afin bağımsız olabilmesi için gerek ve yeter koşul, \(v_1 - v_0,\ v_2 - v_0,\ \dots,\ v_m - v_0\) vektörlerinin lineer bağımsız olmasıdır.
İspat
Gereklilik. \(v_0, \dots, v_m\) noktaları afin bağımsız olsun ve
\[\sum_{i=1}^{m} \lambda_i (v_i - v_0) = 0\]
denklemini ele alalım. \(\lambda_0 := -\sum_{i=1}^{m} \lambda_i\) olarak tanımlansın; böylece \(\sum_{i=0}^{m} \lambda_i = 0\) olur. Dikkat edilirse
\[\sum_{i=1}^{m} \lambda_i (v_i - v_0) = \sum_{i=1}^{m} \lambda_i v_i - \left( \sum_{i=1}^{m} \lambda_i \right) v_0 = \sum_{i=1}^{m} \lambda_i v_i + \lambda_0 v_0 = \sum_{i=0}^{m} \lambda_i v_i = 0\]
geçerlidir. \(v_0, \dots, v_m\) noktaları afin bağımsız olduğundan her \(i = 0, 1, \dots, m\) için \(\lambda_i = 0\) olur. Dolayısıyla \(v_1 - v_0, \dots, v_m - v_0\) vektörleri lineer bağımsızdır.
Yeterlilik. Tersine \(v_1 - v_0, \dots, v_m - v_0\) vektörleri lineer bağımsız olsun. \(\sum_{i=0}^{m} \lambda_i v_i = 0\) ve \(\sum_{i=0}^{m} \lambda_i = 0\) olsun. İkinci eşitlikten \(\lambda_0 = -\sum_{i=1}^{m}\lambda_i\) yazılıp birincide yerine konursa
\[0 = \sum_{i=0}^{m} \lambda_i v_i = \sum_{i=1}^{m} \lambda_i v_i - \left( \sum_{i=1}^{m} \lambda_i \right) v_0 = \sum_{i=1}^{m} \lambda_i (v_i - v_0)\]
elde edilir. Lineer bağımsızlık nedeniyle \(\lambda_1 = \dots = \lambda_m = 0\), buradan da \(\lambda_0 = 0\) bulunur.
\(\blacksquare\)
Bundan sonra bir \(C \subseteq \mathbb{R}^n\) kümesi tarafından doğurulan uzay \(\operatorname{span}(C)\) ile gösterilecektir. \(\operatorname{span}(C)\) kümesi, \(C\) kümesinin elemanlarının tüm lineer kombinasyonlarının oluşturduğu küme olduğundan bir lineer alt uzaydır.
Lemma 5.1 (Afin Örtüye Paralel Alt Uzay) \(v_0, v_1, \dots, v_m \in \mathbb{R}^n\) ve \(K := \operatorname{aff}\{v_0, v_1, \dots, v_m\}\) ise \(\operatorname{span}\{v_1 - v_0,\ \dots,\ v_m - v_0\}\) kümesi \(K\) kümesine paralel olan alt uzaydır.
İspat
\(K\) afin kümesine paralel olan alt uzay \(L\) ile gösterilsin. \(v_0 \in K\) olduğundan \(K - v_0 = L\) olur; dolayısıyla her \(i = 1, \dots, m\) için \(v_i - v_0 \in L\) ve \(L\) bir alt uzay olduğundan bu elemanların tüm lineer kombinasyonlarını içerir. Bu ise
\[\operatorname{span}\{v_1 - v_0, \dots, v_m - v_0\} \subseteq L\]
kapsamasının geçerli olması demektir.
Tersine, sabit bir \(v \in L\) için \(v + v_0 \in K\) geçerlidir. Dolayısıyla \(K\)’nın tanımı gereği \(v + v_0\) elemanı, \(v_i\)’lerin bir afin kombinasyonu şeklinde yazılır:
\[v + v_0 = \sum_{i=0}^{m} \lambda_i v_i, \qquad \sum_{i=0}^{m} \lambda_i = 1.\]
Bu ise
\[v = \sum_{i=0}^{m} \lambda_i v_i - v_0 = \sum_{i=0}^{m} \lambda_i v_i - \left( \sum_{i=0}^{m} \lambda_i \right) v_0 = \sum_{i=1}^{m} \lambda_i (v_i - v_0) \in \operatorname{span}\{v_1 - v_0, \dots, v_m - v_0\}\]
içermesinin, dolayısıyla da \(L \subseteq \operatorname{span}\{v_1 - v_0, \dots, v_m - v_0\}\) kapsamasının doğru olduğunu söyler. Sonuçta \(K - v_0 = \operatorname{span}\{v_1 - v_0, \dots, v_m - v_0\}\) elde edilir.
\(\blacksquare\)
Sonuç 5.1 (Afin Bağımsızlık ve Boyut) \(m \ge 1\) olmak üzere \(v_0, v_1, \dots, v_m\) noktalarının afin bağımsız olması için gerek ve yeter koşul, \(\operatorname{aff}(\{v_0, v_1, \dots, v_m\})\) kümesinin \(m\) boyutlu olmasıdır.
Neden?
Lemma 5.1 gereği bu afin örtüye paralel alt uzay \(\operatorname{span}\{v_1 - v_0, \dots, v_m - v_0\}\)’dır; boyutu, bu \(m\) vektörün lineer bağımsız olması hâlinde tam olarak \(m\)’dir. Teorem 5.3 ile birleştirilirse iddia elde edilir.
Hiperdüzlemler ile afin bağımsızlık, konveks kümelere geçmeden önce ihtiyacımız olan son afin araçlardı. Bir sonraki haftada bu yapıları koruyan dönüşümleri tanımlayıp dersin asıl nesnesine geçiyoruz.