10 Ayrılabilme Teoremleri

Konveks analizin en güçlü fikri şudur: konveks bir kümenin dışındaki her nokta, kümeden bir lineer eşitsizlikle ayırt edilebilir. Bu haftada önce bu iddianın dayanağını kuruyoruz — kapalı konveks bir kümenin dışındaki bir noktaya en yakın nokta vardır ve tektir — sonra bu tek sonuçtan ayırma teoreminin dört farklı biçimini türetiyoruz.

10.1 En Yakın Nokta ve Destek Hiperdüzlemleri

Ayırma teoremlerine giden kapıyı, kümeye en yakın nokta kavramı açar. Bu bölümün ilk iki sonucunu ifade edebilmek için önce bir noktanın bir kümeye uzaklığını adlandıralım.

Tanım 10.1 (Bir Noktanın Bir Kümeye Uzaklığı) $\varnothing \ne C \subseteq \mathbb{R}^n$ ve $y \in \mathbb{R}^n$ olmak üzere

\[\rho(C, y) := \inf\{\|x - y\| : x \in C\}\]

sayısına $y$ noktasının $C$ kümesine uzaklığı denir.

Bu infimumun gerçekten bir noktada alınıp alınmadığı ve alınıyorsa o noktanın tek olup olmadığı, aşağıdaki iki teoremin konusudur.

Teorem 10.1 (En Yakın Noktanın Tekliği) $\varnothing \ne C \subset \mathbb{R}^n$ konveks küme ve $y \notin C$ olsun. Eğer $C$ kümesinin $y$ noktasına en yakın noktası varsa bu nokta tektir; yani $\rho(C, y) = \|z - y\|$ olacak biçimde bir $z \in C$ varsa $z$ tektir.

Kapalı ve konveks bir C kümesinin, dışındaki bir y noktasına en yakın noktası vardır ve tektir. İki aday olsaydı ortalarını almak — konvekslik sayesinde C'de kalan bir nokta — daha kısa bir uzaklık verirdi. Sağdaki küme konveks olmadığından teklik bozulur: iki ayrı en yakın nokta ortaya çıkar. Solda z'den y'ye giden vektörün C'yi destekleyen doğruya dik olduğuna dikkat ediniz.

İspat

Varsayalım ki $x_1, x_2 \in C$ noktaları $y \notin C$ noktasına en yakın olan iki nokta olsun; yani

\[\rho(C, y) = \|x_1 - y\| \overset{(1)}{=} \|x_2 - y\|.\]

$C$ konveks olduğundan $\tfrac{x_1 + x_2}{2} \in C$ olup

\[\rho(C, y) \le \left\| \frac{x_1 + x_2}{2} - y \right\| = \frac{1}{2}\big\| (x_1 - y) + (x_2 - y) \big\| \le \frac{1}{2}\big( \|x_1 - y\| + \|x_2 - y\| \big) = \rho(C, y)\]

eşitsizlikleri sağlanır. Baştaki ve sondaki terimler eşit olduğundan aradaki tüm eşitsizlikler eşitliktir; özellikle

\[\big\| (x_1 - y) + (x_2 - y) \big\| = \|x_1 - y\| + \|x_2 - y\|,\]

yani üçgen eşitsizliğinin eşitlik hâli geçerlidir. Böylece bir $\alpha \ge 0$ için $x_1 - y = \alpha(x_2 - y)$ gerçeklenir. $(1)$ eşitliği nedeniyle $\alpha = 1$, dolayısıyla $x_1 - y = x_2 - y$, buradan da $x_1 = x_2$ bulunur.

$\blacksquare$

Teorem 10.2 (En Yakın Noktanın Varlığı) $\varnothing \ne C \subset \mathbb{R}^n$ kapalı küme ve $y \notin C$ olsun. Bu durumda $C$ kümesinin $y$ noktasına en yakın olan bir $a \in C$ noktası vardır.

İspat

$x_0 \in C$ ve $r > \|x_0 - y\|$ olsun. Bu durumda $C_1 := \overline{B(y, r)} \cap C$ kümesi iyi tanımlıdır: $x_0 \in C_1$ olduğundan $C_1$ boş değildir ve kapalı bir yuvar ile kapalı bir kümenin kesişimi olduğundan kapalı ve sınırlı, yani kompakttır.

\[C_1 \longrightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}, \qquad x \longmapsto \|x - y\|\]

şeklinde tanımlanan fonksiyon $C_1$ üzerinde sürekli olduğundan Teorem 3.3 gereği mutlak minimum değerini bir $a \in C_1 \subseteq C$ noktasında alır. Dolayısıyla her $x \in C_1$ için $\|x - y\| \ge \|a - y\|$ gerçeklenir.

$x \in C$ ve $x \notin C_1$ durumunda ise $\|x - y\| > r$ olur; $r > \|x_0 - y\| \ge \|a - y\|$ olduğundan yine $\|x - y\| > \|a - y\|$ geçerlidir. Böylece $a$ noktası $C$ kümesinin tamamı üzerinde en yakın noktadır.

$\blacksquare$

Sonuç

Teorem 10.1 ve Teorem 10.2 nedeniyle, $C \subset \mathbb{R}^n$ konveks ve kapalı bir küme ve $y \notin C$ ise $C$ kümesinin $y$ noktasına en yakın tek bir noktası vardır. Bu nokta, bölümün devamındaki ayırma teoremlerinin çıkış noktasıdır.

Tanım 10.2 (Destek Hiperdüzlemi) Eğer bir $H = \{x : \langle a, x \rangle = b\}$ hiperdüzlemi bir $M$ kümesinin bir sınır noktasını içeriyor ve bu $M$ kümesinin tamamı $H$ hiperdüzleminin bir tarafında kalıyorsa — yani $H$’nin doğurduğu yarı uzaylardan yalnızca biri tarafından kapsanıyorsa — $H$ hiperdüzlemi $M$ kümesi için bir destek hiperdüzlemidir denir.

Başka bir deyişle, her $m \in M$ için $\langle a, m \rangle \le b$ ya da $\langle a, m \rangle \ge b$ eşitsizliklerinden biri, eşitlik hâliyle birlikte gerçekleniyor ise $H$ hiperdüzlemi $M$ kümesini destekler denir.

Destek hiperdüzlemi, kümenin bir sınır noktasından geçen ve kümenin tamamını bir yanında bırakan hiperdüzlemdir. Düz kenarda ve düzgün sınır noktasında tektir; köşede ise sonsuz çoktur — kesikli doğruların hepsi kümeyi destekler. Ayırma teoremleri, dışarıdaki bir noktayı kümeden ayıran hiperdüzlemi tam olarak bu şekilde üretir.

Destek hiperdüzlemi, kümeyi “dışarıdan yaslanarak” tanımlar. Bölümün geri kalanında bu fikri, iki kümeyi birbirinden ayıran bir hiperdüzlem üretmek için kullanacağız.

10.2 Bir Hiperdüzlem Ne Zaman Ayırır?

Tanım 10.3 (Ayıran Hiperdüzlem) $M, N \subset \mathbb{R}^n$, $0 \ne a \in \mathbb{R}^n$, $b \in \mathbb{R}$ olmak üzere her $m \in M$ ve her $n \in N$ için

\[\langle a, m \rangle \le b \le \langle a, n \rangle\]

eşitsizliği gerçekleniyor ise $H = \{x : \langle a, x \rangle = b\}$ hiperdüzlemi $M$ ve $N$ kümelerini ayırır denir.

Dikkat edilirse $M \subset \{x : \langle a, x \rangle \le b\}$ ve $N \subset \{x : \langle a, x \rangle \ge b\}$ gerçeklendiğinden $M$ ve $N$ kümeleri, $H$ hiperdüzleminin belirlediği iki farklı yarı uzay tarafından kapsanır.

Bir H hiperdüzlemi, M'nin bütün noktalarını ⟨a, x⟩ ≤ b, N'nin bütün noktalarını ⟨a, x⟩ ≥ b yarı uzayında bırakıyorsa iki kümeyi ayırır. Ayırma, iki kümeyi tek bir lineer eşitsizlikle birbirinden ayırt edebilmek demektir; konveks analizin dualite kuramı bu fikrin üzerine kurulur.

Ayırmanın iki derecesi vardır ve aralarındaki fark bu bölümün ana konusudur. Tanım 10.3’daki eşitsizlikler kümelerin hiperdüzleme değmesine izin verir; aşağıdaki güçlü biçim ise arada pozitif genişlikte bir boşluk bırakır.

Tanım 10.4 (Kesin Ayıran Hiperdüzlem) $M, N \subset \mathbb{R}^n$, $0 \ne a \in \mathbb{R}^n$, $b \in \mathbb{R}$ olmak üzere, bir $\varepsilon_0 > 0$ sayısı için her $m \in M$ ve her $n \in N$’de

\[\langle a, m \rangle \le b - \varepsilon_0 \qquad \text{ve} \qquad \langle a, n \rangle \ge b\]

eşitsizlikleri gerçekleniyor ise $H = \{x : \langle a, x \rangle = b\}$ hiperdüzlemi $M$ ve $N$ kümelerini kesin ayırır denir.

10.3 Bir Noktayı Konveks Kümeden Ayırmak

Teorem 10.3 (Kapanışın Dışındaki Bir Noktanın Kesin Ayrılması) $\varnothing \ne M \subset \mathbb{R}^n$ konveks bir küme ve $x_0 \notin \overline{M}$ olsun. Bu durumda öyle bir $a \ne 0$ vektörü ve bir $\varepsilon_0 > 0$ sayısı vardır ki her $x \in \overline{M}$ için

\[\langle a, x \rangle \le \langle a, x_0 \rangle - \varepsilon_0\]

eşitsizliği gerçeklenir.

İspat

$\overline{M}$ kümesi kapalı ve konvekstir (Teorem 7.6) ve $x_0 \notin \overline{M}$ olduğundan, $x_0$ noktasına en yakın olan tek bir $y \in \overline{M}$ noktası vardır. Dolayısıyla her $x \in \overline{M}$ için

\[\|x - x_0\| \ \ge\ \|y - x_0\| \tag{$*$}\]

geçerlidir.

$\overline{M}$ konveks olduğundan $x \in \overline{M}$ ve $0 < \lambda < 1$ için $(1 - \lambda)y + \lambda x \in \overline{M}$’dir. $(*)$ eşitsizliğini bu noktaya uygularsak

\[\|y - x_0\|^2 \le \big\| \underbrace{(1 - \lambda)y + \lambda x}_{\in \overline{M}} - x_0 \big\|^2 = \big\langle y - x_0 + \lambda(x - y),\ y - x_0 + \lambda(x - y) \big\rangle\]

\[= \|y - x_0\|^2 + 2\lambda \langle x - y,\ y - x_0 \rangle + \lambda^2 \|x - y\|^2\]

gerçeklenir. İki taraftan $\|y - x_0\|^2$ atılıp $\lambda > 0$ ile bölünürse, her $x \in \overline{M}$ ve her $0 < \lambda < 1$ için

\[2\langle x - y,\ y - x_0 \rangle + \lambda \|x - y\|^2 \ge 0\]

geçerli olur. Burada $\lambda \to 0^{+}$ için limite geçilirse her $x \in \overline{M}$ için

\[\langle x - y,\ y - x_0 \rangle \ \ge\ 0 \tag{1}\]

elde edilir.

Şimdi $a := x_0 - y$ ve $\varepsilon_0 := \|a\|^2 = \langle a, a \rangle$ diyelim. $x_0 \notin \overline{M}$ olduğundan $a \ne 0$ ve $\varepsilon_0 > 0$ olur. Dolayısıyla $(1)$ eşitsizliği nedeniyle her $x \in \overline{M}$ için

\[\langle x - y,\ -a \rangle \ge 0 \iff \langle a, x \rangle \le \langle a, y \rangle = \langle a,\ \underbrace{x_0 - a}_{= \, y} \rangle = \langle a, x_0 \rangle - \langle a, a \rangle = \langle a, x_0 \rangle - \varepsilon_0\]

elde edilir. $b := \langle a, x_0 \rangle - \varepsilon_0$ denirse her $x \in \overline{M}$ için

\[\langle a, x \rangle \le b < \langle a, x_0 \rangle\]

eşitsizlikleri geçerlidir; bu ise $\{x_0\}$ tek nokta konveks kümesi ile $M$ konveks kümesinin $\{x : \langle a, x \rangle = b\}$ hiperdüzlemi tarafından kesin ayrıldığı anlamına gelir.

Kapalı konveks bir M̄ kümesi ile dışındaki bir x₀ noktası daima kesin ayrılır. İspatın kurulumu şekilde görülüyor: y, x₀'a en yakın nokta; a = x₀ − y ise ayıran hiperdüzlemin normali. Hiperdüzlem y'den geçer ve a'ya diktir; bütün M̄ bir yanda kalırken x₀, ε₀ = ‖a‖² kadar öte yandadır.

$\blacksquare$

Ayıran hiperdüzlemin nasıl kurulduğuna dikkat ediniz: normal vektör $a = x_0 - y$, yani en yakın noktadan dış noktaya giden vektördür; hiperdüzlem ise $y$ noktasından geçer ve $a$’ya diktir. Bu inşa, aynı zamanda $\overline{M}$ için $y$ noktasında bir destek hiperdüzlemi verir.

Örnek 10.1 (Bir Noktayı Yuvardan Ayırmak) $\mathbb{R}^2$ uzayında $C = \overline{B(0,1)}$ kapalı birim yuvarı ile $x_0 = (3, 4)$ noktası verilsin. $x_0$ noktasını $C$ kümesinden kesin ayıran hiperdüzlemleri belirleyiniz.

Çözüm

İspattaki reçeteyi izleyelim: önce en yakın nokta, sonra normal vektör, sonra sağ taraf.

$\|x_0\| = \sqrt{9 + 16} = 5 > 1$ olduğundan $x_0 \notin C$’dir ve $C$ kümesinin $x_0$ noktasına en yakın noktası, $x_0$ doğrultusundaki birim vektördür:

\[y = \frac{x_0}{\|x_0\|} = \Big( \tfrac{3}{5},\ \tfrac{4}{5} \Big).\]

Normal vektör $a = x_0 - y = \big( \tfrac{12}{5},\ \tfrac{16}{5} \big)$ olur; yalnızca doğrultusu önemli olduğundan bunun yerine $a = (3, 4)$ almak da serbesttir. Bu $a$ ile her $x \in C$ için Cauchy-Schwarz eşitsizliği

\[\langle a, x \rangle \le \|a\| \cdot \|x\| \le 5 \cdot 1 = 5\]

verir; öte yandan $\langle a, x_0 \rangle = 9 + 16 = 25$’tir. Dolayısıyla $5 < b < 25$ koşulunu sağlayan her $b$ için

\[H = \{x \in \mathbb{R}^2 : 3x_1 + 4x_2 = b\}\]

hiperdüzlemi $C$ kümesi ile $\{x_0\}$ kümesini kesin ayırır; bırakılan boşluk $\varepsilon_0 = 25 - b > 0$ olarak okunur.

$b = 5$ seçimi ise ayırmayı kesin olmaktan çıkarır: bu hiperdüzlem $y$ noktasında $C$ kümesine değdiğinden onun $y$ noktasındaki destek hiperdüzlemidir.

Nokta kümenin kapanışında ama kendisinde değilse kesin ayırmayı bekleyemeyiz — hiperdüzlem kümeye değmek zorundadır. Bu durumda da ayırma yine mümkündür:

Teorem 10.4 (Kümeye Ait Olmayan Bir Noktanın Ayrılması) $M \subset \mathbb{R}^n$ konveks bir küme ve $x_0 \notin M$ olsun. Bu durumda öyle bir $a \ne 0$ vektörü vardır ki her $x \in M$ için $\langle a, x \rangle \le \langle a, x_0 \rangle$ olur.

İspat

Birinci durum: $x_0 \notin \overline{M}$. Bu durumda Teorem 10.3 nedeniyle her $x \in M$ için $\langle a, x \rangle < \langle a, x_0 \rangle$ gerçeklenir ve ispat biter.

İkinci durum: $x_0 \in \overline{M}$ ama $x_0 \notin M$. Bu durumda $x_0$ noktası $\overline{M}$ kümesinin bir sınır noktasıdır; gerçekten, konveks bir kümenin kapanışı ile kendisinin iç kümeleri çakıştığından $x_0$ bir iç nokta olamaz. Dolayısıyla her $n \in \mathbb{N}$ için $x_n \notin \overline{M}$ ve $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$ gerçekleyen bir $\{x_n\}$ dizisi vardır.

Bu durumda Teorem 10.3 nedeniyle her $n \in \mathbb{N}$ için, her $x \in M$’de

\[\langle a_n, x \rangle \le \langle a_n, x_n \rangle - \varepsilon_n < \langle a_n, x_n \rangle\]

gerçekleyen bir $a_n \ne 0$ vektörü ve $\varepsilon_n > 0$ sayısı vardır. Eşitsizliğin her iki tarafı $\|a_n\| \ne 0$ ile bölünürse, her $n \in \mathbb{N}$ ve her $x \in M$ için

\[\left\langle \frac{a_n}{\|a_n\|},\ x \right\rangle < \left\langle \frac{a_n}{\|a_n\|},\ x_n \right\rangle \tag{2}\]

geçerlidir.

Öte yandan $\left\| \frac{a_n}{\|a_n\|} \right\| = 1$ olduğundan $\left\{ \frac{a_n}{\|a_n\|} \right\}$ dizisi sınırlıdır; Bolzano-Weierstrass teoremi gereği

\[\lim_{k \to \infty} \frac{a_{n_k}}{\|a_{n_k}\|} = a \in \mathbb{R}^n\]

olan yakınsak bir alt dizi vardır. Bu durumda her $k \in \mathbb{N}$ ve her $x \in M$ için $(2)$ eşitsizliği geçerli olduğundan, $k \to \infty$ için limite geçildiğinde — $x_{n_k} \to x_0$ olduğu da kullanılarak — her $x \in M$ için

\[\langle a, x \rangle \le \langle a, x_0 \rangle\]

bulunur. Dikkat edilirse norm sürekli olduğundan $\|a\| = 1$, dolayısıyla $a \ne 0$’dır.

$\blacksquare$

10.4 İki Konveks Kümeyi Ayırmak

Bir noktayı ayırabiliyorsak iki kümeyi de ayırabiliriz: fark kümesine geçmek yeterlidir.

Teorem 10.5 (Ayrık İki Konveks Kümenin Ayrılması) $M_1, M_2 \subset \mathbb{R}^n$ konveks kümeler ve $M_1 \cap M_2 = \varnothing$ olsun. Bu durumda öyle bir $a \ne 0$ vektörü vardır ki her $x_1 \in M_1$ ve her $x_2 \in M_2$ için $\langle a, x_1 \rangle \le \langle a, x_2 \rangle$ olur.

İspat

$M := M_1 - M_2$ diyelim; Sonuç 7.1 gereği $M$ konvekstir. $M_1 \cap M_2 = \varnothing$ olduğundan $0 \notin M$’dir: aksi hâlde $x_1 = x_2$ olacak biçimde ortak bir nokta bulunurdu.

Teorem 10.4 nedeniyle öyle bir $a \ne 0$ vektörü vardır ki her $x \in M$ için $\langle a, x \rangle \le \langle a, 0 \rangle = 0$ olur. Öte yandan

\[x \in M = M_1 - M_2 \iff x = x_1 - x_2, \quad x_1 \in M_1,\ x_2 \in M_2\]

olduğundan her $x_1 \in M_1$ ve $x_2 \in M_2$ için

\[\langle a, x_1 - x_2 \rangle \le 0 \iff \langle a, x_1 \rangle \le \langle a, x_2 \rangle\]

bulunur.

$\blacksquare$

Teorem 10.6 (Kompaktlık Altında Kesin Ayırma) $M_1 \subset \mathbb{R}^n$ kompakt konveks küme, $M_2 \subset \mathbb{R}^n$ kapalı konveks küme ve $M_1 \cap M_2 = \varnothing$ olsun. Bu durumda öyle bir $a \ne 0$ vektörü ve $\varepsilon_0 > 0$ sayısı vardır ki her $x_1 \in M_1$ ve her $x_2 \in M_2$ için

\[\langle a, x_1 \rangle \le \langle a, x_2 \rangle - \varepsilon_0\]

olur.

M₁ kompakt, M₂ kapalı ve ikisi ayrık olduğunda aralarına pozitif genişlikte bir şerit sığar: ayıran hiperdüzlem hiçbir kümeye değmez ve arada ε₀ > 0 genişliğinde bir boşluk kalır. Kesin ayırmayı sıradan ayırmadan ayıran şey tam olarak bu boşluktur.

İspat

$M := M_1 - M_2$ diyelim. $M_1 \cap M_2 = \varnothing$ olduğundan $0 \notin M$’dir ve Sonuç 7.1 gereği $M$ konvekstir.

$M$ kapalıdır. $\{z_n\}$ dizisi $M$ kümesinde yakınsak ve $\lim_{n \to \infty} z_n = z \in \mathbb{R}^n$ olsun; $z \in M$ olduğunu gösterelim. $\{z_n\}$ dizisi $M$ kümesinden alındığından, $M_1$ kümesinde bir $\{x_n\}$ ve $M_2$ kümesinde bir $\{y_n\}$ dizisi vardır ki $z_n = x_n - y_n$ sağlanır. $M_1$ kompakt olduğundan $x_{n_k} \to x \in M_1$ sağlayan yakınsak bir $\{x_{n_k}\}$ alt dizisi vardır. Dolayısıyla

\[y_{n_k} = x_{n_k} - z_{n_k} \longrightarrow x - z\]

geçerlidir. $M_2$ kapalı olduğundan $\lim_{k \to \infty} y_{n_k} = x - z \in M_2$’dir. Böylece

\[z = \underbrace{x}_{\in M_1} - \underbrace{(x - z)}_{\in M_2} \in M_1 - M_2 = M\]

gerçeklenir; bu ise $M$ kümesinin kapalı olması demektir.

Ayırma. Şimdi Teorem 10.3 teoremi, kapalı konveks $M$ kümesi ve $x_0 = 0 \notin M = \overline{M}$ için uygulanırsa, öyle bir $\tilde{a} \ne 0$ ve $\varepsilon_0 > 0$ vardır ki her $x \in M$ için

\[\langle \tilde{a}, x \rangle \le \langle \tilde{a}, 0 \rangle - \varepsilon_0 = -\varepsilon_0.\]

$x = x_1 - x_2$ yazılıp $a := \tilde{a}$ alınırsa, her $x_1 \in M_1$ ve $x_2 \in M_2$ için

\[\langle a, x_1 \rangle - \langle a, x_2 \rangle \le -\varepsilon_0 \iff \langle a, x_1 \rangle \le \langle a, x_2 \rangle - \varepsilon_0\]

elde edilir.

$\blacksquare$

Kompaktlık neden gerekli?

İki kümenin kapalı, konveks ve ayrık olması kesin ayırma için yetmez. $\mathbb{R}^2$ uzayında

\[M_1 = \{(x, y) : x > 0,\ y \ge 1/x\}, \qquad M_2 = \{(x, y) : y \le 0\}\]

kümeleri kapalı, konveks ve ayrıktır; buna karşılık aralarındaki uzaklık $x$ büyüdükçe sıfıra iner. Onları ayıran tek doğru $y = 0$’dır ve bu doğru $M_2$’ye değdiğinden pozitif bir $\varepsilon_0$ boşluğu bırakılamaz. Teorem 10.6’nın kompaktlık koşulu tam da bu durumu dışarıda bırakır.

Kompaktlık koşulu atılamaz. Bu iki küme kapalı, konveks ve ayrıktır; buna karşılık aralarındaki uzaklık x büyüdükçe sıfıra iner. Onları ayıran tek doğru y = 0'dır ve o da M₂'ye değdiğinden pozitif bir ε₀ boşluğu bırakılamaz: kümeler ayrılır ama kesin ayrılamaz.

Ayırma teoremleri, konveks analizin dualite kuramının kapısıdır. Bir sonraki hafta bu fikrin doğal yaşam alanı olan konilere, ardından da konveks fonksiyonlara geçiyoruz.