2  Açık ve Kapalı Kümeler, Diziler

Komşuluklar, \(\mathbb{R}^n\) uzayının topolojisini kurmak için gereken tek malzemedir. Bu haftada onlardan açık ve kapalı küme kavramlarını elde ediyor, ardından aynı kavramları diziler diliyle yeniden yazıyoruz: yığılma noktası, kapanış ve sınır. Bu sözlük ileride konveks bir kümenin kapanışını ve içini incelerken sürekli kullanılacaktır.

2.1 Açık ve Kapalı Kümeler

İlk ayrım, bir noktanın kümenin “içinde” mi yoksa “kenarında” mı durduğudur; ikisini de yalnızca komşuluklar cinsinden ifade edeceğiz.

Tanım 2.1 (İç Nokta) \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(a \in A\) olmak üzere, eğer

\[\exists\, \varepsilon > 0 \ \text{ öyle ki } \ B(a, \varepsilon) \subset A\]

gerçekleniyor ise \(a\) noktası \(A\) kümesinin bir iç noktasıdır denir. \(A\) kümesinin tüm iç noktalarının kümesini \(\operatorname{int} A\) ile göstereceğiz.

Tanım 2.2 (Açık Küme) \(A \subset \mathbb{R}^n\) olmak üzere, eğer \(A\) kümesinin her noktası \(A\) kümesinin bir iç noktası ise \(A\) kümesine \(\mathbb{R}^n\) uzayında bir açık küme denir.

Herhangi bir açık komşuluk, \(\varnothing\) ve \(\mathbb{R}^n\) kümeleri açık kümelerdir.

Önerme 2.1 (Açıklığın Denk İfadeleri) Bir \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) kümesi için aşağıdaki iddialar denktir:

1. \(A\) kümesi açıktır,

2. her \(a \in A\) için \(B(a, \varepsilon) \subset A\) olacak biçimde bir \(\varepsilon > 0\) vardır,

3. \(\operatorname{int} A = A\).

Tanım 2.3 (Kapalı Küme) \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) olmak üzere, eğer \(\mathbb{R}^n \setminus A\) kümesi açık bir küme ise \(A\) kümesine bir kapalı küme denir.

Herhangi bir kapalı komşuluk, \(\varnothing\) ve \(\mathbb{R}^n\) kümeleri kapalı kümelerdir. Açıklık ile kapalılık birbirinin zıddı değildir: bir küme ikisi birden olabileceği gibi, hiçbiri de olmayabilir.

Açık küme sınırının hiçbir noktasını, kapalı küme tümünü içerir. Üçüncü küme ikisi de değildir: çemberi içerdiğinden açık değildir (çember üzerindeki noktalar iç nokta olamaz), sınır noktası olan 0'ı içermediğinden kapalı değildir. Açıklık ile kapalılık birbirinin zıddı değil, tümleyen üzerinden tanımlanan iki ayrı özelliktir.

Önerme 2.2 (Birleşim ve Kesişim) \(\mathbb{R}^n\) uzayındaki açık ve kapalı kümelerin kesişim ve birleşimlerine dair aşağıdaki önermeler doğrudur:

1. herhangi sayıdaki açık kümenin birleşimi açıktır,

2. sonlu sayıdaki açık kümenin kesişimi açıktır,

3. herhangi sayıdaki kapalı kümenin kesişimi kapalıdır,

4. sonlu sayıdaki kapalı kümenin birleşimi kapalıdır.

2.2 Diziler, Yığılma Noktaları ve Kapanış

Tanım 2.4 (Yakınsaklık) Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(x_k \in \mathbb{R}^n\) gerçekleyen bir \(\{x_k\}\) dizisi ve bir \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) noktası göz önüne alınsın. Eğer

\[\lim_{k \to \infty} \|x_k - x_0\| = 0\]

gerçekleniyor ise \(\{x_k\}\) dizisi \(x_0\) noktasına yakınsar denir. \(x_0\) noktasına da \(\{x_k\}\) dizisinin limiti denir ve bu durum

\[\lim_{k \to \infty} x_k = x_0\]

yazılarak ifade edilir.

Tanım 2.5 (Yığılma Noktası) \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(y \in \mathbb{R}^n\) olmak üzere, eğer

\[\forall \varepsilon > 0 \ \text{ için } \ A \cap B^{*}(y, \varepsilon) \ne \varnothing\]

gerçekleniyor ise \(y\) noktasına \(A\) kümesinin bir yığılma noktası ya da limit noktası denir. \(A\) kümesinin tüm yığılma noktalarının kümesini \(\operatorname{Yığ} A\) ile göstereceğiz.

Tanım 2.6 (Kapanış Noktası ve Kapanış) \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(z \in \mathbb{R}^n\) olmak üzere, eğer

\[\forall \varepsilon > 0 \ \text{ için } \ A \cap B(z, \varepsilon) \ne \varnothing\]

gerçekleniyor ise \(z\) noktası \(A\) kümesinin bir kapanış noktasıdır denir. Bu durumda \(z\) noktasının, elemanları \(A\) kümesinden olan yakınsak bir dizinin limiti olacağına dikkat ediniz.

\(A\) kümesinin tüm kapanış noktalarının kümesi \(\overline{A}\) ile gösterilir ve \(A\) kümesinin kapanışı olarak adlandırılır.

Dolayısıyla \(\overline{A}\) kapanış kümesi, elemanları \(A\) kümesinden alınan tüm yakınsak dizilerin limitlerinin kümesidir. Yığılma noktası ile kapanış noktası arasındaki tek fark, birincisinde komşuluğun delinmiş olmasıdır: bu yüzden \(A\)’nın yalıtılmış bir noktası kapanış noktasıdır ama yığılma noktası değildir.

Tanım 2.7 (Sınır Noktası) \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(s \in \mathbb{R}^n\) olmak üzere, eğer

\[\forall \varepsilon > 0 \ \text{ için } \ A \cap B(s, \varepsilon) \ne \varnothing \ \text{ ve } \ (\mathbb{R}^n \setminus A) \cap B(s, \varepsilon) \ne \varnothing\]

gerçekleniyor ise \(s\) noktasına \(A\) kümesinin bir sınır noktası denir. \(A\) kümesinin tüm sınır noktalarının kümesine \(A\)’nın sınırı denir ve \(\operatorname{bd} A\) ile gösterilir.

Bir A kümesine göre üç tür nokta. İç noktanın tamamen A'da kalan bir komşuluğu vardır; dış noktanın A'ya hiç değmeyen bir komşuluğu vardır; sınır noktasının ise her komşuluğu hem A'dan hem de A dışından nokta içerir. intA tüm iç noktaların, bdA tüm sınır noktalarının kümesidir.

Aşağıdaki örnek, üç kavramın (iç, yığılma, kapanış) birbirinden nasıl ayrıldığını tek bir kümede toplar.

Örnek 2.1 (Delinmiş Disk ve Yalıtılmış Nokta) \(\mathbb{R}^2\) uzayında \(q\), birim diskten uzakta bir nokta olmak üzere

\[A = \{x \in \mathbb{R}^2 : 0 < \|x\| < 1\} \cup \{q\}\]

kümesini göz önüne alalım. Bu küme için \(\operatorname{int} A\), \(\operatorname{Yığ} A\), \(\overline{A}\) ve \(\operatorname{bd} A\) kümelerini belirleyiniz.

Çözüm

Delinmiş disk açıktır, dolayısıyla her noktası iç noktadır. Buna karşılık \(q\) noktasının hiçbir komşuluğu \(A\)’nın içinde kalmaz, çünkü \(q\)’nun etrafında \(A\)’ya ait başka nokta yoktur. Böylece

\[\operatorname{int} A = \{x : 0 < \|x\| < 1\}.\]

Yığılma noktaları için: \(\|x\| \le 1\) koşulunu sağlayan her nokta, delinmiş diskten oluşan bir dizinin limitidir; özellikle \(A\)’ya ait olmayan \(0\) noktası ve \(\|x\| = 1\) çemberi de yığılma noktasıdır. \(q\) ise yalıtılmıştır, çünkü yeterince küçük bir \(\varepsilon\) için \(A \cap B^{*}(q, \varepsilon) = \varnothing\) olur. Böylece

\[\operatorname{Yığ} A = \{x : \|x\| \le 1\}.\]

Kapanış \(\overline{A} = A \cup \operatorname{Yığ} A\) olduğundan kapalı disk ile \(q\) noktasının birleşimidir. Son olarak \(\operatorname{bd} A = \overline{A} \setminus \operatorname{int} A\) eşitliği kullanılırsa sınır, \(\|x\| = 1\) çemberi ile \(0\) ve \(q\) noktalarından oluşur.

Delinmiş açık disk ile ondan uzakta duran tek bir q noktasının birleşimi. Yığılma noktalarının kümesi kapalı disktir: q yalıtılmış olduğundan yığılma noktası değildir, buna karşılık kümeye ait olmayan 0 bir yığılma noktasıdır. Kapanış Ā = A ∪ YığA olduğundan sağdaki kümeyi verir; sınır ise Ā \ intA, yani çember ile 0 ve q noktalarıdır.

Alıştırma 2.1 (Kapanış ve İç Küme Özellikleri) Aşağıdaki önermelerin doğru olduğunu gözleyiniz:

1. \(\overline{A} = A \cup \operatorname{Yığ} A\),

2. \(\overline{A}\) kümesi, \(A\) kümesini kapsayan tüm kapalı kümelerin kesişimidir,

3. \(\overline{A}\) kümesi, \(A\) kümesini kapsayan en küçük kapalı kümedir,

4. \(\operatorname{int} A\) kümesi, \(A\) kümesinin kapsadığı tüm açık kümelerin birleşimidir,

5. \(\operatorname{int} A\) kümesi, \(A\) kümesinin kapsadığı en büyük açık kümedir,

6. \(A\) kümesinin kapalı olması için gerek ve yeter koşul \(\operatorname{Yığ} A \subseteq A\) olmasıdır,

7. \(A\) kümesinin kapalı olması için gerek ve yeter koşul \(\overline{A} = A\) olmasıdır,

8. daima \(\operatorname{int} A \subseteq A \subseteq \overline{A}\) geçerlidir,

9. \(\operatorname{bd} A = \overline{A} \setminus \operatorname{int} A\).

Çözüm yolu

1. \(z \in \overline{A}\) ve \(z \notin A\) ise her \(\varepsilon > 0\) için \(A \cap B(z, \varepsilon) \ne \varnothing\) olur; bu kesişimdeki nokta \(z\)’den farklı olmak zorunda olduğundan \(A \cap B^{*}(z, \varepsilon) \ne \varnothing\), yani \(z \in \operatorname{Yığ} A\). Ters kapsama açıktır.

2. ve (iii) \(\overline{A}\)’nın kapalı olduğu (vi) ile görülür; \(A\)’yı kapsayan her kapalı \(F\) kümesi için \(\operatorname{Yığ} A \subseteq \operatorname{Yığ} F \subseteq F\) olduğundan \(\overline{A} \subseteq F\) elde edilir. Kesişim ile en küçüklük ifadeleri bundan çıkar.

3. ve (v) \(A\)’nın kapsadığı her açık \(U\) kümesinin her noktası, tanım gereği \(A\)’nın iç noktasıdır: \(U \subseteq \operatorname{int} A\). Öte yandan \(\operatorname{int} A\) kendisi açıktır, çünkü bir iç noktanın \(A\)’da kalan komşuluğunun her noktası da iç noktadır.

4. ve (vii) \(A\) kapalıysa tümleyeni açıktır; tümleyendeki bir nokta \(A\)’nın yığılma noktası olamaz. Tersine \(\operatorname{Yığ} A \subseteq A\) ise tümleyenin her noktasının \(A\)’ya değmeyen bir komşuluğu vardır, yani tümleyen açıktır. (vii), (i) ile (vi)’nın birleşimidir.

5. \(A\)’nın her noktası kendisinin bir kapanış noktasıdır; iç noktaların \(A\)’ya ait olduğu tanımdan gelir.

6. Bir \(s\) noktasının sınır noktası olması, hem \(\overline{A}\)’da bulunması hem de \(A\)’nın içinde bulunmaması demektir; iki tanım yan yana konduğunda eşitlik doğrudan okunur.

2.3 Alt Diziler

Bir dizinin kendisi yakınsamasa bile, terimlerinin bir kısmını sırasını bozmadan seçerek yakınsak bir dizi elde etmek çoğu zaman mümkündür. Bir sonraki bölümün temel teoremi tam olarak bunu söyleyeceği için, bu seçme işlemine bir ad veriyoruz.

Tanım 2.8 (Alt Dizi) \(\{x_k\}\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi ve \(\{k_l\}\) kesin artan bir doğal sayı dizisi olmak üzere \(\{x_{k_l}\}\) dizisine \(\{x_k\}\) dizisinin bir alt dizisi denir.

Sıra, bu topolojik dilin analizdeki en güçlü iki sonucuna geldi: sınırlılık ile kompaktlığın ilişkisi ve sürekli fonksiyonların kompakt kümeler üzerindeki davranışı.