22 Kongrüansların Çözümleri
Sayılar Teorisi I dersinde birinci dereceden (lineer) kongrüansları incelemiştik. Bu derse, yüksek dereceden kongrüanslarla başlamadan önce “çözüm”, “çözüm sayısı” ve “derece” kavramlarını kesin biçimde tanımlamamız gerekiyor.
22.1 Çözüm Kavramı
Tanım 22.1 (Kongrüansın Çözümü) \(n \in \mathbb{N}\), \(n \geq 1\) ve
\[f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\]
olsun (\(a_n \neq 0\); \(a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0 \in \mathbb{Z}\)). \(m \geq 2\) bir tam sayı olsun.
Eğer bir \(u\) tam sayısı için \(f(u) \equiv 0 \pmod m\) oluyorsa, \(u\) tam sayısına \(f(x) \equiv 0 \pmod m\) kongrüansının bir çözümü denir.
Örnek 22.1 \(2\) sayısı, \(x^2 + 2x \equiv 0 \pmod 8\) kongrüansının bir çözümüdür; çünkü
\[2^2 + 2 \cdot 2 = 8 \equiv 0 \pmod 8\]
22.2 Hangi Çözümler “Aynı” Sayılır?
\(u\) tam sayısı \(f(x) \equiv 0 \pmod m\) kongrüansının bir çözümü olsun. \(v\) bir tam sayı olmak üzere \(v \equiv u \pmod m\) ise, bu durumda
\[f(v) \equiv f(u) \equiv 0 \pmod m\]
elde edilir; yani \(v\) de aynı kongrüansın bir çözümüdür.
O hâlde bir kongrüansın tek bir \(u\) çözümü varsa, \(x \equiv u \pmod m\) koşulunu sağlayan sonsuz sayıda tam sayı da bu kongrüansın çözümüdür. Bu yüzden çözümleri tek tek saymak anlamsızdır; çözümleri denklik sınıfları düzeyinde ele almak gerekir.
\(u\) ve \(v\) tam sayıları, \(f(x) \equiv 0 \pmod m\) kongrüansının iki çözümü olsun.
- Eğer \(u \not\equiv v \pmod m\) ise, \(u\) ve \(v\)’yi iki ayrı çözüm olarak sayarız.
- Eğer \(u \equiv v \pmod m\) ise, \(u\) ve \(v\)’yi aynı çözüm olarak sayarız.
Örnek 22.2 \(3\) ve \(8\) sayıları, \(x^2 - x + 4 \equiv 0 \pmod{10}\) kongrüansının çözümleridir:
\[3^2 - 3 + 4 = 10 \equiv 0, \qquad 8^2 - 8 + 4 = 60 \equiv 0 \pmod{10}\]
\(3 \not\equiv 8 \pmod{10}\) olduğundan bunlar kongrüansın iki ayrı çözümüdür.
22.3 Çözüm Sayısı
Tanım 22.2 (Çözüm Sayısı) \(r_1, \dots, r_m\) sayıları modülo \(m\)’ye göre bir tam kalanlar sistemi olsun. \(f(x) \equiv 0 \pmod m\) kongrüansının çözüm sayısı,
\[f(r_i) \equiv 0 \pmod m\]
koşulunu sağlayan \(r_i\) (\(i \in \{1, \dots, m\}\)) tam sayılarının adedidir.
- Bir \(f(x) \equiv 0 \pmod m\) kongrüansının çözüm sayısı, seçilen tam kalanlar sisteminden bağımsızdır.
- Bir \(f(x) \equiv 0 \pmod m\) kongrüansının çözüm sayısı \(m\)’yi geçemez; çünkü modülo \(m\)’de yalnızca \(m\) tane denklik sınıfı vardır.
Örnek 22.3 \(x^2 - 1 \equiv 0 \pmod 8\) kongrüansının çözüm sayısını bulunuz.
Çözüm
\(0, 1, 2, \dots, 7\) tam sayıları modülo \(8\)’e göre bir tam kalanlar sistemidir. \(f(x) = x^2 - 1\) diyelim ve her birini tek tek deneyelim:
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) \bmod 8\) | \(7\) | \(0\) | \(3\) | \(0\) | \(7\) | \(0\) | \(3\) | \(0\) |
\(f(1) \equiv f(3) \equiv f(5) \equiv f(7) \equiv 0 \pmod 8\) ve diğerleri sıfırdan farklı olduğundan, kongrüansın çözüm sayısı \(4\)’tür.
Tüm çözümler:
\[x \equiv 1, \quad x \equiv 3, \quad x \equiv 5, \quad x \equiv 7 \pmod 8\]
22.4 Bir Kongrüansın Derecesi
Bir kongrüansın derecesi, polinomun derecesiyle karıştırılmamalıdır: baş katsayı modüle bölünüyorsa o terim kongrüansta hiçbir rol oynamaz.
Tanım 22.3 (Kongrüansın Derecesi) \(f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\) olsun (\(a_n \neq 0\); katsayılar tam sayı).
- Eğer \(a_n \not\equiv 0 \pmod m\) ise, \(f(x) \equiv 0 \pmod m\) kongrüansının derecesi \(n\) olarak tanımlanır.
- Eğer \(a_n \equiv 0 \pmod m\) ise, kongrüansın derecesi; \(a_j \not\equiv 0 \pmod m\) koşulunu sağlayan en büyük \(j\) tam sayısıdır (\(j \in \{0, \dots, n-1\}\)).
- Eğer \(a_j \not\equiv 0 \pmod m\) koşulunu sağlayan hiçbir \(j\) yoksa — yani bütün katsayılar \(m\) ile bölünüyorsa — kongrüansın derecesi tanımsızdır.
\(f(x) = 6x^3 + 5x^2 + 1\) polinomunun derecesi \(3\)’tür.
Ancak modülo \(6\)’da \(6 \equiv 0\) olduğundan baş terim düşer; bir sonraki katsayı \(5 \not\equiv 0 \pmod 6\)’dır. Dolayısıyla
\[f(x) \equiv 0 \pmod 6\]
kongrüansının derecesi \(2\)’dir.