7 En Küçük Ortak Kat
En büyük ortak bölen, iki sayının ortak bölenlerine bakıyordu. Şimdi aynayı çevirip ortak katlarına bakacağız. Ortaya çıkan kavram, en büyük ortak bölenin ikizidir; nitekim ikisi arasında çok kullanışlı bir çarpım bağıntısı vardır.
7.1 Tanım ve Varlık
Tanım 7.1 (En Küçük Ortak Kat) \(a, b\) sıfırdan farklı tam sayılar, \(m\) ise bir pozitif tam sayı olsun. Eğer
- \(a \mid m\) ve \(b \mid m\);
- her \(c \in \mathbb{N}\) için, \(a \mid c\) ve \(b \mid c\) ise \(m \leq c\)
koşulları sağlanırsa \(m\) sayısına \(a\) ile \(b\)’nin en küçük ortak katı denir ve
\[\operatorname{lcm}(a, b)\]
ile gösterilir.
1. En küçük ortak kat gerçekten var mıdır?
Vardır. \(a\) ile \(b\)’nin pozitif ortak katlarının kümesine \(M\) diyelim. \(|ab|\) sayısı hem \(a\)’nın hem de \(b\)’nin katıdır ve pozitiftir; yani \(M \neq \emptyset\)’dır. \(M\) boş olmayan bir doğal sayı kümesi olduğundan, iyi sıralama prensibi gereği bir en küçük elemanı vardır. Bu eleman tanımdaki iki koşulu da sağlar.
2. Neden \(a\) ile \(b\)’nin sıfırdan farklı olması isteniyor?
\(a = 0\) olsaydı, \(0\)’ın tek katı yine \(0\) olduğundan hiçbir pozitif ortak kat bulunamazdı; \(M\) boş kalır ve en küçük eleman tanımlanamazdı.
Ayrıca en küçük eleman tek türlü belirli olduğundan \(\operatorname{lcm}(a,b)\) tek türlü belirlidir.
Örnek 7.1 (İlk Örnekler) \[\operatorname{lcm}(4, 6) = 12, \qquad \operatorname{lcm}(-6, 10) = 30\]
Birincisi için: \(4\)’ün pozitif katları \(4, 8, 12, 16, \dots\) ve \(6\)’nın pozitif katları \(6, 12, 18, \dots\)’dir. Ortak olanların en küçüğü \(12\)’dir.
İkincisinde işaretin bir rolü yoktur; \(-6\)’nın katları ile \(6\)’nın katları aynı kümedir.
Az önceki gözlemi ayrıca kaydedelim: bölünebilme işaretten etkilenmediğinden en küçük ortak kat da etkilenmez.
Önerme 7.1 (EKOK ve İşaret) Sıfırdan farklı her \(a, b\) tam sayısı için
\[\operatorname{lcm}(a,b) = \operatorname{lcm}(-a, b) = \operatorname{lcm}(a, -b) = \operatorname{lcm}(-a, -b)\]
Gerçekten de Teorem 3.1 (13) gereği \(a \mid m\) ile \(-a \mid m\) önermeleri denktir; dolayısıyla dört çiftin pozitif ortak katları aynı kümedir ve en küçük elemanları da aynıdır.
7.2 EBOB ile EKOK Arasındaki Bağıntı
Şimdi iki kavramı birbirine bağlayan teoreme geliyoruz. Teorem pratikte çok işe yarar: en küçük ortak katı hesaplamak için ayrı bir algoritmaya ihtiyaç duymayız, Öklid algoritmasıyla bulduğumuz en büyük ortak bölen yeterlidir.
Teorem 7.1 (EBOB \(\times\) EKOK \(=\) Çarpım) Her \(a, b\) pozitif tam sayısı için
\[a \cdot b = \gcd(a,b) \cdot \operatorname{lcm}(a,b)\]
İspat
\(d := \gcd(a,b)\) olsun. \(d \mid a\) ve \(d \mid b\) olduğundan
\[a = dr, \qquad b = ds\]
olacak biçimde \(r, s\) pozitif tam sayıları vardır. Ayrıca Bézout teoremi gereği
\[d = ax + by\]
olacak biçimde \(x, y\) tam sayıları vardır.
Şimdi aday sayımızı tanımlayalım:
\[m := \frac{a \cdot b}{d}\]
Bu sayının bir tam sayı olduğunu görmek kolaydır:
\[m = \frac{ab}{d} = \frac{(dr)b}{d} = r \cdot b = a \cdot s\]
\(m\) sayısının \(a\) ile \(b\)’nin en küçük ortak katı olduğunu, tanımdaki iki koşulu doğrulayarak gösterelim.
Koşul 1: \(m\) bir ortak kattır. Yukarıdaki yazılışlardan \(m = a \cdot s\) ve \(m = r \cdot b\) olduğundan
\[a \mid m \qquad \text{ve} \qquad b \mid m\]
Ayrıca \(a, b, d > 0\) olduğundan \(m > 0\)’dır.
Koşul 2: \(m\) ortak katların en küçüğüdür. \(c \in \mathbb{N}\) olsun ve \(a \mid c\), \(b \mid c\) olsun. Bu durumda
\[c = a u, \qquad c = b v\]
olacak biçimde \(u, v\) tam sayıları vardır. Şimdi \(c/m\) oranını hesaplayalım ve payda görünen \(d\) yerine Bézout ifadesini koyalım:
\[ \begin{aligned} \frac{c}{m} &= \frac{c \, d}{a b} \\[4pt] &= \frac{c\,(ax + by)}{ab} \\[4pt] &= \frac{c \, a x}{ab} + \frac{c \, b y}{ab} \\[4pt] &= \frac{c}{b}\,x + \frac{c}{a}\,y \\[4pt] &= v x + u y \end{aligned} \]
Son satırda \(c/b = v\) ve \(c/a = u\) olduğunu kullandık. \(vx + uy\) bir tam sayı olduğundan
\[c = m\,(vx + uy)\]
yazılır; yani \(m \mid c\)’dir. \(c\) pozitif olduğundan Teorem 3.1 (8) gereği
\[m \leq c\]
bulunur.
İki koşul da sağlandığından \(m = \operatorname{lcm}(a,b)\)’dir. Buradan
\[\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{ab}{d} = \frac{ab}{\gcd(a,b)}\]
ve düzenlemeyle istenen
\[a \cdot b = \gcd(a,b) \cdot \operatorname{lcm}(a,b)\]
eşitliği elde edilir.
\(\blacksquare\)
İspatın ikinci adımı, teoremin ifadesinden daha fazlasını söylüyordu: her ortak katın \(m\) tarafından bölündüğünü gösterdik, yalnızca \(m\)’den büyük olduğunu değil. Bu kuvvetli biçimi ayrıca kaydedelim.
Sonuç 7.1 (Ortak Katlar EKOK’un Katlarıdır) \(a, b\) sıfırdan farklı tam sayılar ve \(c\) herhangi bir tam sayı olsun. Eğer \(a \mid c\) ve \(b \mid c\) ise
\[\operatorname{lcm}(a,b) \ \mid \ c\]
Bu sonuç, iki kavram arasındaki güzel simetriyi tamamlar:
- EBOB: her ortak bölen, en büyük ortak böleni böler (\(\thinspace\)Teorem 4.2\(\thinspace\)).
- EKOK: en küçük ortak kat, her ortak katı böler.
Yani “en büyük” ve “en küçük” sıfatları aslında sıralamayla değil, bölünebilmeyle ilgilidir.
Sonuç 7.2 (Aralarında Asal Sayılarda EKOK) Her \(a, b\) pozitif tam sayısı için
\[\operatorname{lcm}(a,b) = a \cdot b\]
olabilmesi için gerek ve yeter koşul \(a\) ile \(b\)’nin aralarında asal olmasıdır.
Bu, Teorem 7.1’un doğrudan sonucudur: \(ab = \gcd(a,b) \cdot \operatorname{lcm}(a,b)\) eşitliğinde \(\operatorname{lcm}(a,b) = ab\) olması, ancak ve ancak \(\gcd(a,b) = 1\) olduğunda mümkündür.
Teoremi pozitif sayılar için ifade etmiştik. İşaretlerden bağımsız genel biçimi de kaydedelim.
Sonuç 7.3 (Genel Çarpım Bağıntısı) Sıfırdan farklı her \(a, b\) tam sayısı için
\[|a \cdot b| = \gcd(a,b) \cdot \operatorname{lcm}(a,b)\]
Gerçekten de Önerme 4.2 (3) ile Önerme 7.1 gereği her iki taraf da \(a\) ile \(b\)’nin işaretlerinden etkilenmez; dolayısıyla \(|a|\) ve \(|b|\) pozitif sayılarına Teorem 7.1’u uygulamak yeterlidir.
7.3 Çözümlü Örnekler
Örnek 7.2 (EKOK Hesabı) \(\operatorname{lcm}(182, 70)\) değerini bulunuz.
Çözüm
Örnek 6.1’de Öklid algoritmasıyla \(\gcd(182, 70) = 14\) bulmuştuk. Teorem 7.1 gereği
\[\operatorname{lcm}(182, 70) = \frac{182 \cdot 70}{\gcd(182, 70)} = \frac{12740}{14} = 910\]
(Sağlama: \(910 = 182 \cdot 5 = 70 \cdot 13\) ✓)
\(\blacksquare\)
En küçük ortak katı doğrudan aramak — yani katları tek tek listeleyip ilk ortak olanı bulmak — büyük sayılarda umutsuzdur. Oysa Öklid algoritması birkaç bölmede biter. Bu yüzden pratikte daima önce \(\gcd\) hesaplanır, sonra bölme yapılır.
Bölmeyi çarpmadan önce yapmak da iyi bir alışkanlıktır: \(\dfrac{182}{14} \cdot 70 = 13 \cdot 70 = 910\) hesabı, \(12740\) gibi büyük bir sayı üretmeden aynı sonucu verir.
Örnek 7.3 (EBOB ile EKOK Ne Zaman Eşittir?) \(a, b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) olsun. \(\gcd(a,b) = \operatorname{lcm}(a,b)\) olabilmesi için gerek ve yeter koşulun \(a = \pm b\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
(\(\Rightarrow\)) \(\gcd(a,b) = \operatorname{lcm}(a,b) = m\) olsun.
En büyük ortak bölenin tanımı gereği \(m \mid a\)’dır. En küçük ortak katın tanımı gereği ise \(a \mid m\)’dir. Teorem 3.1 (9) gereği bu ikisi birlikte
\[a = \pm m\]
verir. Tamamen aynı akıl yürütmeyle \(b = \pm m\) bulunur. O hâlde \(a\) ile \(b\) mutlak değerce eşittir:
\[|a| = |b| = m \implies a = \pm b\]
(\(\Leftarrow\)) \(a = \pm b\) olsun. Önerme 4.2 (3) ve Önerme 7.1 gereği işaretler sonucu değiştirmediğinden \(a = b > 0\) durumunu incelemek yeterlidir. Bu durumda
\[\gcd(a, a) = a \qquad \text{ve} \qquad \operatorname{lcm}(a, a) = a\]
olur; yani ikisi eşittir. (İlki için Önerme 4.2 (2)’yi, ikincisi için \(a\)’nın kendisinin en küçük pozitif ortak kat olduğunu kullandık.)
\(\blacksquare\)
Örnek 7.4 (Ortak Katın Bölünmesi) \(a, b\) sıfırdan farklı iki tam sayı, \(c\) ise herhangi bir tam sayı olsun. Eğer \(a \mid c\) ve \(b \mid c\) ise \(\operatorname{lcm}(a,b)\) sayısının da \(c\)’yi böldüğünü gösteriniz.
Çözüm
\(m := \operatorname{lcm}(a,b)\) diyelim. Bölme algoritmasına göre
\[c = m q + r, \qquad 0 \leq r < m\]
olacak biçimde \(q, r\) tam sayıları vardır. Amacımız \(r = 0\) olduğunu göstermek.
\(r\)’yi yalnız bırakalım:
\[r = c - mq\]
Şimdi \(a\) sayısının sağ tarafı böldüğünü gösterelim:
- Hipotez gereği \(a \mid c\)’dir.
- \(m\) bir ortak kat olduğundan \(a \mid m\), dolayısıyla \(a \mid mq\)’dur.
Teorem 3.1 (7) gereği \(a \mid c - mq = r\)’dir. Tamamen benzer biçimde \(b \mid r\)’dir.
Demek ki \(r\) sayısı \(a\) ile \(b\)’nin ortak bir katıdır. Eğer \(r > 0\) olsaydı, en küçük ortak katın tanımındaki ikinci koşul gereği \(m \leq r\) olması gerekirdi; oysa \(r < m\)’dir. Bu çelişki, \(r > 0\) olamayacağını gösterir. O hâlde \(r = 0\) ve
\[c = mq \implies \operatorname{lcm}(a,b) \mid c\]
\(\blacksquare\)
Bu sonucu Teorem 7.1’un ispatı içinde zaten elde etmiştik (\(\thinspace\)Sonuç 7.1\(\thinspace\)). Yukarıdaki ikinci ispat ise Bézout teoremine hiç başvurmaz; yalnızca bölme algoritmasını ve en küçük ortak katın tanımını kullanır.
Bu tür “kalanı yazıp en küçüklüğe ters düşme” argümanı sayılar teorisinde çok yaygındır; Bézout teoreminin ispatında da aynı fikri kullanmıştık.
7.4 Çalışma Problemleri
Alıştırma 7.1 (EKOK Hesapları) Aşağıdaki değerleri hesaplayınız.
a) \(\operatorname{lcm}(12, 18)\) b) \(\operatorname{lcm}(35, 42)\) c) \(\operatorname{lcm}(-24, 36)\) d) \(\operatorname{lcm}(1001, 357)\)
Alıştırma 7.2 (EKOK’un Özellikleri) Pozitif \(a, b, m\) tam sayıları için aşağıdakileri gösteriniz.
a) \(\operatorname{lcm}(ma, mb) = m \cdot \operatorname{lcm}(a,b)\).
b) \(a \mid b\) ise \(\operatorname{lcm}(a,b) = b\).
c) \(\operatorname{lcm}(a,b) = b\) ise \(a \mid b\).
Alıştırma 7.3 (Üç Sayının EKOK’u) Sıfırdan farklı \(a, b, c\) tam sayılarının en küçük ortak katı, üçünün pozitif ortak katlarının en küçüğü olarak tanımlanır.
a) \(\operatorname{lcm}(a,b,c) = \operatorname{lcm}\big( \operatorname{lcm}(a,b),\ c \big)\) olduğunu gösteriniz.
b) \(abc = \gcd(a,b,c) \cdot \operatorname{lcm}(a,b,c)\) eşitliğinin genel olarak yanlış olduğunu bir karşı örnekle gösteriniz.
İpucu (b): \(a = b = c = 2\) deneyiniz.