14 Oyun Teorisine Giriş ve Saf Stratejiler
14.1 Oyun Teorisi Nedir?
Kaynakların kısıtlı ve çıkarların zıt olduğu bir ortamda amaçlarını gerçekleştirmeye çalışan iki ya da daha fazla karar verici rekabet hâlindedir. Karar vericilerin bu rekabeti kendilerine en yüksek getiriyi sağlamak için birbirlerine karşı kullandıkları stratejileri vardır.
Bu stratejiler matematiksel olarak modellenebilir ve çözülebilir. Bunun için geliştirilen yönteme oyun teorisi adı verilmiştir.
14.2 Terminoloji
Tanım 14.1 (Oyuncular) Bir oyunda amaçlarını optimize etmeye çalışan kişi ya da kurumlardır. Bir oyunda en az iki oyuncu bulunmalıdır.
Tanım 14.2 (Stratejiler) Her oyuncunun sahip olduğu eylem seçenekleridir.
Tanım 14.3 (Kazanç ve Ödemeler) Bir oyunun sonucu kazanma, kaybetme veya oyundan çekilme olabilir. Her sonuç veya ödeme; negatif, pozitif veya sıfır olmak üzere her oyuncunun rakibine göre kazancını ya da kaybını belirler.
Tanım 14.4 (Ödemeler Matrisi) Oyuncuların strateji seçimlerinin türlü bileşiminden oluşan kayıp veya kazançları gösteren matristir. Elemanları pozitif, negatif veya sıfır olabilir.
Matrisin herhangi bir elemanı için ödeme yönü şöyledir:
- Pozitif ise, sütunda yer alan oyuncu satırda yer alan oyuncuya bu miktarda ödeme yapar.
- Negatif ise, satırdaki oyuncu sütundaki oyuncuya bu elemanın mutlak değerine eşit ödeme yapar.
- Sıfır ise herhangi bir ödeme yapılmaz.
Ödemeler matrisi daima satır oyuncusunun kazancı olarak yazılır. Bu yüzden satır oyuncusu matristeki değerleri büyütmeye, sütun oyuncusu ise küçültmeye çalışır. Bu derste satır oyuncusuna A, sütun oyuncusuna B diyeceğiz.
Oyunlar oyuncu sayısına göre sınıflandırılır:
- \(n = 2\) ise iki kişilik oyun,
- \(n > 2\) ise \(n\) kişilik oyun
olarak adlandırılır.
14.3 Saf ve Karma Stratejiler
Tanım 14.5 (Saf (Arı) Stratejiler) Oyunun sonucunu tek bir strateji çiftinin oluşturduğu oyunlardır. Bu çift oyunun tepe noktasını belirler.
Tanım 14.6 (Karma Stratejiler) Oyunun sonucunu birden fazla strateji çiftinin belirlemesi durumudur. Strateji çiftleri olasılık değerleriyle ifade edilir ve bu olasılık değerlerinin toplamı \(1\)’dir.
Tanım 14.7 (Beklenen Değer) Oyunun sonucunda herhangi bir oyuncunun elde edeceği değerdir.
14.4 Maximin ve Minimax
Oyunun sonucu ister saf ister karma strateji olsun, çözüm süreci ödemeler matrisi üzerinde gerçekleştirilir. Hangi yöntemin kullanılacağı, çözümü kimin gözünden yaptığımıza bağlıdır.
Tanım 14.8 (Maximin ve Minimax Yöntemleri)
Maximin (minimumların maksimumu): Ödemeler matrisinin satırlarını temsil eden oyuncu için çözüm yöntemidir. Önce her satırın en küçük elemanı seçilir, sonra bu değerler arasından en büyüğü belirlenir.
\[\underline{v} = \max_i \; \min_j \; a_{ij}\]
Minimax (maksimumların minimumu): Sütunları temsil eden oyuncu için çözüm yöntemidir. Önce her sütunun en büyük elemanı seçilir, sonra bunların en küçüğü alınır.
\[\overline{v} = \min_j \; \max_i \; a_{ij}\]
Maximin yönteminde bulunan değer, satırları temsil eden oyuncunun garantileyebileceği en yüksek kazançtır: rakip ne yaparsa yapsın A oyuncusu en az bu kadarını alır.
Sütunları temsil eden oyuncu açısından bakıldığında doğan mantık bunun tersi olur; çünkü sütunları temsil eden oyuncu, diğer oyuncunun maximin stratejisini bilir ve minimax stratejisi ile oynar. Yani her bir sütunun en büyük değerini seçer ve bunların en küçüğü ile yoluna devam eder.
Teorem 14.1 (Eyer Noktası) Bir oyunda
\[\underline{v} = \overline{v} = v\]
ise, yani maximin ve minimax değerleri birbirine eşitse, oyunun saf stratejili bir oyun olduğuna karar verilir. Bu ortak değere oyunun değeri, bu değerin gerçekleştiği \((A_i, B_j)\) strateji çiftine ise eyer noktası denir.
Örnek 14.1 (Rekabet Hâlindeki İki Firma) Rekabet hâlindeki A ve B firmalarından A’nın \(3\), B’nin ise \(4\) stratejisi bulunmaktadır. Yıllık kâr açısından ödemeler matrisi aşağıdaki gibidir. Buna göre A ve B firmaları arasındaki rekabet oyununu değerlendiriniz.
\[ \begin{array}{c|cccc} & B_1 & B_2 & B_3 & B_4 \\ \hline A_1 & 6 & -1 & 5 & 3 \\ A_2 & 10 & 4 & 5 & -3 \\ A_3 & 6 & 5 & 7 & 4 \end{array} \]
Çözüm
Maximin (A firması için). Her satırın en küçük elemanını bulup aralarından en büyüğünü seçelim:
| Satır | Elemanlar | Satır minimumu |
|---|---|---|
| \(A_1\) | \(6,\; -1,\; 5,\; 3\) | \(-1\) |
| \(A_2\) | \(10,\; 4,\; 5,\; -3\) | \(-3\) |
| \(A_3\) | \(6,\; 5,\; 7,\; 4\) | \(\mathbf{4}\) |
\[\underline{v} = \max\{-1,\; -3,\; 4\} = 4 \quad (A_3 \text{ stratejisi})\]
Minimax (B firması için). Her sütunun en büyük elemanını bulup aralarından en küçüğünü seçelim:
| Sütun | Elemanlar | Sütun maksimumu |
|---|---|---|
| \(B_1\) | \(6,\; 10,\; 6\) | \(10\) |
| \(B_2\) | \(-1,\; 4,\; 5\) | \(5\) |
| \(B_3\) | \(5,\; 5,\; 7\) | \(7\) |
| \(B_4\) | \(3,\; -3,\; 4\) | \(\mathbf{4}\) |
\[\overline{v} = \min\{10,\; 5,\; 7,\; 4\} = 4 \quad (B_4 \text{ stratejisi})\]
Sonuç. İki değer birbirine eşittir:
\[\underline{v} = \overline{v} = 4\]
O hâlde bu oyun saf stratejili bir oyundur; eyer noktası \((A_3,\, B_4)\) çiftidir ve oyunun değeri \(v = 4\)’tür.
Oyunun sonucunda A firmasının beklenen değeri \(4\) olarak gerçekleşecektir. Bu değer ise B firması için bir kayıptır.
\(\blacksquare\)
\(a_{34} = 4\) elemanı hem kendi satırının en küçüğü hem de kendi sütununun en büyüğüdür. Eyer noktasının tanımı tam olarak budur; bu yüzden bir eyer noktası bulmak için matrisi taramak, iki tabloyu ayrı ayrı kurmaktan hızlıdır.
\(\underline{v} \neq \overline{v}\) ise oyunun saf stratejili bir çözümü yoktur; hiçbir strateji çifti kararlı değildir. Bu durumda oyuncular stratejilerini belirli olasılıklarla karıştırmak zorundadır.
Böyle oyunların çözümü karma stratejiler ve grafik yöntem bölümünün konusudur.