11 Otokorelasyon ve Tahmin Hatalarının Ölçülmesi
Zaman serisi analizlerinde, elimizdeki verinin geçmiş değerlerden ne kadar etkilendiğini anlamak ve kurduğumuz tahmin modellerinin ne kadar başarılı olduğunu ölçmek zorundayız. Bu bölümde verinin kendi geçmişiyle ilişkisini ölçen otokorelasyon kavramını ve model performansını test ettiğimiz hata ölçütlerini inceleyeceğiz.
11.1 Otokorelasyon Kavramı
Bir değişkenin farklı bir değişkene göre değil, kendi geçmiş (gecikmeli) değerlerine göre gösterdiği ilişkiye otokorelasyon denir. Örneğin “dünkü hava sıcaklığı bugünkü sıcaklığı etkiliyor mu?” veya “geçen ayki satışlar bu ayki satışların bir göstergesi mi?” sorularının matematiksel cevabını bu yöntemle ararız.
Tanım 11.1 (\(k\). Dereceden Otokorelasyon Katsayısı) \(Y_0, Y_1, \dots, Y_n\) şeklinde sıfırdan başlayan bir zaman serisinde, \(t\) zamanındaki değer ile \(k\) periyot önceki gecikmeli değer arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü ölçen katsayıdır; \(-1\) ile \(+1\) arasında değer alır:
\[r_k = \frac{\sum_{t=k}^{n} (Y_t - \bar{Y})(Y_{t-k} - \bar{Y})}{\sum_{t=0}^{n} (Y_t - \bar{Y})^2}\]
Burada \(n\) serideki son zaman indeksini (toplam veri sayısı \(n+1\)’dir), \(k\) gecikme periyodunu, \(\bar{Y}\) ise serinin aritmetik ortalamasını ifade eder.
Zaman serisi \(t = 0\)’dan başladığı için, gecikmeli terim \(Y_{t-k}\)’nın tanımlı olabilmesi adına paydaki toplam işlemi mutlaka \(t = k\)’dan başlamalıdır; çünkü \(t - k \geq 0 \implies t \geq k\)’dır.
Paydadaki toplam ise serinin tamamı üzerinden, yani \(t = 0\)’dan \(t = n\)’e kadar alınır.
11.2 Tahmin Hatalarının Ölçülmesi
Bir tahmin modeli kurduğumuzda, modelin ürettiği beklenen değerler ile gözlenen gerçek değerler arasındaki farka tahmin hatası denir:
\[e_t = Y_t - \hat{Y}_t\]
Modelin performansını değerlendirmek için, pozitif ve negatif hataların birbirini sıfırlamasını engelleyen dört temel ölçüt kullanılır. Seri \(t = 0\)’dan \(t = n\)’e kadar olduğundan toplam veri sayısı \(n+1\)’dir.
Tanım 11.2 (MAD — Ortalama Mutlak Sapma) Hataların mutlak değerlerinin ortalamasıdır. Hataların yönünü göz ardı ederek hedeften ortalama ne kadar saptığımızı gösterir:
\[\mathrm{MAD} = \frac{\sum_{t=0}^{n} |e_t|}{n+1}\]
Tanım 11.3 (MSE — Ortalama Kareli Hata) Hataların karelerinin ortalamasıdır. Büyük hataların karesini alarak onları daha ağır cezalandırdığı için, modeldeki aşırı sapmaları tespit etmede etkilidir:
\[\mathrm{MSE} = \frac{\sum_{t=0}^{n} e_t^2}{n+1}\]
Tanım 11.4 (MPE — Ortalama Yüzde Hata) Hataların gerçek değere oranlarının ortalamasıdır. Mutlak değer kullanılmadığı için modelin sürekli fazla mı yoksa eksik mi tahmin yaptığını (yanlılığını) gösterir:
\[\mathrm{MPE} = \frac{\sum_{t=0}^{n} \left(\dfrac{e_t}{Y_t}\right)}{n+1}\]
Tanım 11.5 (MAPE — Ortalama Mutlak Yüzde Hata) Mutlak hataların gerçek değerlere oranının ortalamasıdır. Sonucu yüzde olarak verdiği için yorumlanması en kolay ölçüttür:
\[\mathrm{MAPE} = \frac{\sum_{t=0}^{n} \left| \dfrac{e_t}{Y_t} \right|}{n+1}\]
11.3 Adım Adım Çözüm Algoritması
- Ortalamayı bulun. Otokorelasyon için tüm \(Y_t\) değerlerinin aritmetik ortalamasını hesaplayın.
- Sütunları hazırlayın. Hatalar için \(e_t\), \(|e_t|\), \(e_t^2\), \(e_t / Y_t\) ve \(|e_t| / Y_t\) sütunlarını hesaplayıp tabloya yazın.
- Gecikmeli seriyi kaydırın. Otokorelasyon hesabı için \(Y_t\) değerlerini istenen \(k\) periyodu kadar kaydırarak \(Y_{t-k}\) sütununu oluşturun.
- Formülleri uygulayın. Sütun toplamlarını ilgili formüllerde yerine koyun.
11.4 Çözümlü Uygulama
Örnek 11.1 Bir zaman serisine ait gerçekleşen değerler (\(Y_t\)) ve bir tahmin modeliyle elde edilen beklenen değerler (\(\hat{Y}_t\)) aşağıda verilmiştir. İndisin \(t = 0\)’dan başladığını kabul ederek bu veri seti için birinci dereceden otokorelasyon katsayısını ve dört temel hata ölçütünü hesaplayınız.
| \(t\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(Y_t\) | \(10\) | \(12\) | \(15\) | \(14\) | \(17\) |
| \(\hat{Y}_t\) | \(11\) | \(11\) | \(14\) | \(16\) | \(16\) |
Çözüm
1. Hata değerlerinin tablolaştırılması.
Veriler \(t = 0, \dots, 4\) aralığındadır; yani \(n = 4\) ve toplam veri sayısı \(n + 1 = 5\)’tir. Hataları \(e_t = Y_t - \hat{Y}_t\) ile hesaplıyoruz (oranlar virgülden sonra dört basamağa yuvarlanmıştır):
| \(t\) | \(Y_t\) | \(\hat{Y}_t\) | \(e_t\) | \(\lvert e_t \rvert\) | \(e_t^2\) | \(e_t / Y_t\) | \(\lvert e_t \rvert / Y_t\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(10\) | \(11\) | \(-1\) | \(1\) | \(1\) | \(-0{,}1000\) | \(0{,}1000\) |
| \(1\) | \(12\) | \(11\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0{,}0833\) | \(0{,}0833\) |
| \(2\) | \(15\) | \(14\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0{,}0667\) | \(0{,}0667\) |
| \(3\) | \(14\) | \(16\) | \(-2\) | \(2\) | \(4\) | \(-0{,}1429\) | \(0{,}1429\) |
| \(4\) | \(17\) | \(16\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0{,}0588\) | \(0{,}0588\) |
| \(\boldsymbol{\sum}\) | \(\mathbf{0}\) | \(\mathbf{6}\) | \(\mathbf{8}\) | \(\mathbf{-0{,}0341}\) | \(\mathbf{0{,}4517}\) |
2. Hata ölçütlerinin hesaplanması.
\[ \begin{aligned} \mathrm{MAD} &= \frac{6}{5} = 1{,}2 \\ \mathrm{MSE} &= \frac{8}{5} = 1{,}6 \\ \mathrm{MPE} &= \frac{-0{,}0341}{5} = -0{,}0068 \quad (\approx -\%0{,}68) \\ \mathrm{MAPE} &= \frac{0{,}4517}{5} = 0{,}0903 \quad (\approx \%9{,}03) \end{aligned} \]
3. Birinci dereceden otokorelasyon hesabı.
Önce gerçek değerlerin ortalamasını bulalım:
\[\bar{Y} = \frac{10 + 12 + 15 + 14 + 17}{5} = \frac{68}{5} = 13{,}6\]
\(k = 1\) olduğu için gecikmeli çarpım işlemine \(t = 1\)’den başlıyoruz:
| \(t\) | \(Y_t\) | \(Y_t - \bar{Y}\) | \((Y_t - \bar{Y})^2\) | \((Y_t - \bar{Y})(Y_{t-1} - \bar{Y})\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(10\) | \(-3{,}6\) | \(12{,}96\) | — |
| \(1\) | \(12\) | \(-1{,}6\) | \(2{,}56\) | \((-1{,}6)(-3{,}6) = 5{,}76\) |
| \(2\) | \(15\) | \(1{,}4\) | \(1{,}96\) | \((1{,}4)(-1{,}6) = -2{,}24\) |
| \(3\) | \(14\) | \(0{,}4\) | \(0{,}16\) | \((0{,}4)(1{,}4) = 0{,}56\) |
| \(4\) | \(17\) | \(3{,}4\) | \(11{,}56\) | \((3{,}4)(0{,}4) = 1{,}36\) |
| \(\boldsymbol{\sum}\) | \(\mathbf{68}\) | \(\mathbf{0}\) | \(\mathbf{29{,}2}\) | \(\mathbf{5{,}44}\) |
Toplamları formülde yerine koyarsak:
\[r_1 = \frac{\sum_{t=1}^{4} (Y_t - 13{,}6)(Y_{t-1} - 13{,}6)}{\sum_{t=0}^{4} (Y_t - 13{,}6)^2} = \frac{5{,}44}{29{,}2} \approx 0{,}1863\]
Yorum: Zaman serisinde çok zayıf düzeyde pozitif bir otokorelasyon vardır; bir önceki periyodun gelecek üzerindeki doğrusal etkisi oldukça düşüktür.
\(\boxtimes\)