1 Stokastik Süreç Kavramı
1.1 Stokastik Süreç Nedir?
Stokastik kelimesi “rasgele” ile aynı anlamdadır. Bir sistemin davranışı tamamen kontrol altına alınamıyorsa, yani sistemde giderilemeyen bir belirsizlik varsa, o sistemi olasılık teorisinin diliyle modellemek gerekir.
Tanım 1.1 (Stokastik Süreç) Ortak bir olasılık uzayı üzerinde tanımlı, bir \(T\) indis kümesiyle indislenmiş rasgele değişkenler ailesine stokastik süreç (rasgele süreç) denir:
\[\{X_t \mid t \in T\}\]
Burada \(t\) genellikle zamanı temsil eder. Sürecin aldığı bütün olası değerlerin kümesine durum uzayı denir ve \(S\) ile gösterilir.
Kısacası bir stokastik süreç, belirsizliğe konu olan dinamik bir sistemin olasılıksal modelidir. Tek bir rasgele değişkenden farkı, sistemin zaman içindeki evrimini takip etmesidir.
1.2 Kesikli ve Sürekli Zamanlı Süreçler
Süreçleri ayıran ilk ölçüt, indis kümesi \(T\)’nin yapısıdır.
Tanım 1.2 (Kesikli ve Sürekli Zamanlı Süreç) Kesikli zamanlı stokastik süreç. İndis kümesi \(\{0, 1, 2, \dots\}\) gibi sayılabilir olan süreçtir:
\[\{S_n \mid n = 0, 1, 2, \dots\}\]
Burada \(S_0, S_1, S_2, \dots\) sürecin rasgele değişkenleridir. \(n\) değişkeni çoğu zaman bir adım ya da deneme sayısı anlamı taşır.
Sürekli zamanlı stokastik süreç. İndis kümesi bir aralık olan süreçtir:
\[\{Y_t \mid t \geq 0\}\]
Burada sıralama doğrudan \(t \geq 0\) zaman parametresine göre yapılır.
Her iki durumda da indis genel olarak zamana bağlıdır; fark, zamanın nasıl ölçüldüğündedir.
- Kesikli süreçte \(n\), zamanın dolaylı ölçüsüdür: kaçıncı adımda olduğumuzu söyler.
- Sürekli süreçte \(t\) doğrudan zamandır; iki gözlem arasında istediğiniz kadar ince aralık seçebilirsiniz.
Örnek 1.1 (Kesikli Stokastik Süreç) \(\{S_n \mid n = 0, 1, 2, \dots\}\) süreci verilsin ve \(S_n\)’in durum uzayı \(S = \{1, 2, 3, 4\}\) olsun. Bu dört durum, bir kişinin bankada yapabileceği dört ayrı işlemi göstersin:
\[1 = \text{para çekme}, \quad 2 = \text{para yatırma}, \quad 3 = \text{havale}, \quad 4 = \text{bakiye sorgulama}\]
Burada \(n\), yapılan işlem sayısıdır. Örneğin bir müşteri \(5\) defa para çekme, \(12\) defa para yatırma, \(3\) defa havale ve \(1\) defa bakiye sorgulama yapmışsa
\[n = 5 + 12 + 3 + 1 = 20\]
olur; süreç \(S_1, S_2, \dots, S_{20}\) adımlarıyla izlenir.
Örnek 1.2 (Sürekli Stokastik Süreç) \(\{Y_t \mid t \geq 0\}\) süreci verilsin ve \(Y_t\)’nin durum uzayı \(S = \{0, 1, 2, \dots\}\) olsun.
\(Y_t\), bir alışveriş merkezinin otoparkına \(t\) anına kadar park etmiş araç sayısını göstersin. Zaman kesintisiz aktığı için süreç sürekli zamanlıdır; buna karşılık durum uzayı kesiklidir (araç sayısı bir tam sayıdır).
Son örnek önemli bir noktayı gösteriyor: zamanın ve durum uzayının kesikli/sürekli olması birbirinden bağımsız iki özelliktir. Dolayısıyla dört sınıf vardır:
| Kesikli durum uzayı | Sürekli durum uzayı | |
|---|---|---|
| Kesikli zaman | Yazı-tura dizisi | Günlük kapanış fiyatı |
| Sürekli zaman | Otoparktaki araç sayısı | Bir cismin sıcaklığı |
1.3 Çok Boyutlu Süreçler
Bazı sistemlerde her adımda tek bir sayı değil, birden çok büyüklük birlikte gözlenir. Bu durumda süreç bir rasgele vektör dizisi olarak yazılır.
Tanım 1.3 (Çok Boyutlu Stokastik Süreç) Her adımda \(m\) tane büyüklük gözleniyorsa, \(j\). adımdaki gözlem
\[S_j = \begin{pmatrix} S_{1j} \\ S_{2j} \\ \vdots \\ S_{mj} \end{pmatrix}, \qquad j = 1, \dots, n\]
biçiminde bir rasgele vektördür. Sürecin tamamı ise \(m \times n\) boyutlu
\[\begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} & \cdots & S_{1n} \\ S_{21} & S_{22} & \cdots & S_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ S_{m1} & S_{m2} & \cdots & S_{mn} \end{pmatrix}\]
dizilimiyle temsil edilir; buradaki her \(S_{ij}\) bir rasgele değişkendir.
1.4 Bağımsız Toplamlar: Sarılım
Stokastik süreçlerin çoğu, bağımsız rasgele değişkenlerin birikimli toplamı olarak kurulur. Bu yüzden toplamın dağılımını bilmek gerekir.
Tanım 1.4 (Bağımsız Toplamların Dağılımı) \(X_1, X_2, \dots, X_n\) bağımsız ve aynı dağılımlı rasgele değişkenler olsun; ortak kümülatif dağılım fonksiyonları \(F_X\) olsun. Toplamları
\[Z_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n\]
olarak tanımlansın. Bu durumda \(Z_n\)’in kümülatif dağılım fonksiyonu \(F_{Z_n}\), \(F_X\)’in \(n\) katlı sarılımıdır (konvolüsyonudur).
\(X_i\)’lerin aynı dağılıma sahip olması, dağılımın zamandan etkilenmemesi anlamına gelir. Örneğin bir kaza sürecinde, kazalar arası sürenin dağılımı yılın hangi ayında olduğumuza bağlı değilse süreç bu anlamda kararlıdır.
Örnek 1.3 (Bernoulli’den Binom’a) \(F_X\) bir Bernoulli dağılımı ise (\(X_i \in \{0,1\}\), \(P(X_i = 1) = p\)), toplam \(Z_n\) hangi dağılıma sahiptir?
Çözüm
\(Z_n = X_1 + \cdots + X_n\), \(n\) bağımsız denemedeki başarı sayısını verir; yani \(Z_n\), \(n\) denemeli binom dağılımına sahiptir. Olasılık fonksiyonu
\[P_{Z_n}(b) = \binom{n}{b} p^b q^{n-b} = \frac{n!}{b!\,(n-b)!}\, p^b (1-p)^{n-b}, \qquad b = 0, 1, \dots, n\]
kümülatif dağılım fonksiyonu ise \(0 \leq a \leq n\) için
\[F_{Z_n}(a) = \sum_{j=0}^{\lfloor a \rfloor} \frac{n!}{j!\,(n-j)!}\, p^j (1-p)^{n-j}\]
olur. Burada \(Z_n\), \(n\) denemedeki varış sayısını göstermektedir.
\(\blacksquare\)
Bir sonraki bölümde aynı kurguyu sürekli zamanda tekrarlayacağız: \(X_i\)’ler üstel dağılımlı olduğunda toplamları Erlang dağılımına, sayma süreci ise Poisson sürecine götürecek.