15 Karma Stratejiler ve Grafik Çözüm Yöntemi
15.1 Ne Zaman Karma Strateji?
Karma stratejili oyunların belirgin özelliği, maximin ve minimax değerlerinin eşit olmamasıdır:
\[\underline{v} \neq \overline{v}\]
Bu durumda eyer noktası yoktur ve oyuncular tek bir stratejide karar kılamaz; stratejilerini belirli olasılıklarla karıştırırlar. Grafik yöntem, böyle problemler için bir çözüm yöntemidir.
Tanım 15.1 (Grafik Yöntemin Uygulanabilirliği) Ödemeler matrisi \((m \times 2)\) veya \((2 \times n)\) boyutlarından birini taşıyorsa oyun grafik yöntem ile çözülebilir.
Diğer bir deyişle satır veya sütunları temsil eden oyunculardan birinin ikiden fazla stratejisi olmamalıdır.
15.2 Yöntemin Kurulması
İki stratejisi olan oyuncunun A olduğunu, yani ödemeler matrisinin \(2 \times n\) boyutlu olduğunu kabul edelim:
\[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \end{pmatrix}\]
Yatay eksen. Koordinat sisteminin yatay ekseni, iki stratejiye sahip oyuncunun birinci stratejisinin gerçekleşme olasılığını gösterir:
\[x_1, \qquad 0 \leq x_1 \leq 1\]
İkinci stratejisinin olasılık değeri ise bu durumda
\[x_2 = 1 - x_1\]
olur.
Beklenen değer doğruları. Daha sonra A oyuncusunun, B oyuncusunun \(Y_j\) stratejileri karşısındaki beklenen değerleri \(E_j(A)\) hesaplanır.
Teorem 15.1 (Beklenen Değer Doğrusu) B oyuncusunun \(j\). stratejisine karşı A oyuncusunun beklenen değeri
\[E_j(A) = a_{1j}\,x_1 + a_{2j}\,x_2 = a_{1j}\,x_1 + a_{2j}(1 - x_1)\]
olur. Düzenlenirse \(x_1\)’e göre birinci dereceden bir denklem elde edilir:
\[\boxed{\;E_j(A) = (a_{1j} - a_{2j})\,x_1 + a_{2j}\;}\]
Grafiğin çizilmesi. Elde edilen doğru denklemleri grafiğe işlenir. Koordinat sisteminin düşey ekseni beklenen değerleri gösterir ve iki düşey eksen vardır:
\[x_1 = 0 \qquad \text{ve} \qquad x_1 = 1\]
Her doğruyu çizmek için bu iki eksendeki değerlerini hesaplamak yeterlidir: \(E_j(A)\) doğrusu \(x_1 = 0\) ekseninde \(a_{2j}\), \(x_1 = 1\) ekseninde ise \(a_{1j}\) değerini alır.
Tanım 15.2 (Optimum Çözüm) Koordinat sistemindeki mümkün çözüm noktaları, doğruların kesiştiği noktalarda gerçekleşir.
A oyuncusunun hareket ettiği göz önüne alındığında, mümkün noktalardan optimum olanı maximin yöntemine göre, yani minimumların maksimumunda gerçekleşenidir.
Her \(x_1\) değeri için A oyuncusunun garantileyebileceği kazanç, o noktadaki doğruların en küçüğüdür. Bütün \(x_1\) değerleri için bu minimumları birleştiren kırık çizgiye alt zarf denir.
Grafik yöntem, kısaca bu alt zarfın en yüksek noktasını aramaktır. O nokta daima iki doğrunun kesişimidir: biri artan, diğeri azalan.
15.3 Çözümlü Uygulama
Örnek 15.1 (Grafik Yöntemle Karma Strateji) Ödemeler matrisi
\[ \begin{array}{c|cccc} & B_1 & B_2 & B_3 & B_4 \\ \hline A_1 & 5 & 3 & 1 & 1 \\ A_2 & 1 & 1 & 3 & 2 \end{array} \]
olan oyunu çözünüz.
Çözüm
1. Oyunun tipini belirleyelim.
| Satır | Satır minimumu |
|---|---|
| \(A_1\) | \(1\) |
| \(A_2\) | \(1\) |
\[\underline{v} = \max\{1,\; 1\} = 1\]
| Sütun | \(B_1\) | \(B_2\) | \(B_3\) | \(B_4\) |
|---|---|---|---|---|
| Sütun maksimumu | \(5\) | \(3\) | \(3\) | \(2\) |
\[\overline{v} = \min\{5,\; 3,\; 3,\; 2\} = 2\]
\(\underline{v} = 1 \neq 2 = \overline{v}\) olduğundan sonuçlar farklıdır; oyun karma stratejilidir. A oyuncusunun iki stratejisi olduğu için grafik yöntem uygulanabilir.
2. Beklenen değer doğrularını kuralım.
\(E_j(A) = (a_{1j} - a_{2j})x_1 + a_{2j}\) formülünü her sütuna uygulayalım:
\[ \begin{aligned} E_1(A) &= (5 - 1)x_1 + 1 = 4x_1 + 1 \\ E_2(A) &= (3 - 1)x_1 + 1 = 2x_1 + 1 \\ E_3(A) &= (1 - 3)x_1 + 3 = 3 - 2x_1 \\ E_4(A) &= (1 - 2)x_1 + 2 = 2 - x_1 \end{aligned} \]
3. Doğruların düşey eksenleri kestiği noktaları bulalım.
| \(x_1 = 0\) | \(x_1 = 1\) | |
|---|---|---|
| \(E_1(A)\) | \(1\) | \(5\) |
| \(E_2(A)\) | \(1\) | \(3\) |
| \(E_3(A)\) | \(3\) | \(1\) |
| \(E_4(A)\) | \(2\) | \(1\) |
4. Grafiği çizelim.
5. Optimum noktayı belirleyelim.
Şekilden görüleceği üzere beklenen değer doğruları altı yerde kesişmektedir. A oyuncusu için en iyi strateji maximin yöntemine göre seçileceğinden, optimum nokta alt zarfın en yüksek noktasıdır ve bu nokta \(E_2(A)\) ile \(E_4(A)\) doğrularından belirlenir.
\[E_2(A) = E_4(A)\]
\[2x_1 + 1 = 2 - x_1 \implies 3x_1 = 1 \implies x_1 = \frac{1}{3}\]
6. Oyunun değerini bulalım.
A oyuncusunun beklenen değeri, kesişen iki doğrudan biri yardımıyla belirlenir:
\[E_2(A) = 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 = \frac{5}{3}, \qquad E_4(A) = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}\]
Sonuç. A oyuncusu birinci stratejisini \(\tfrac13\), ikinci stratejisini \(\tfrac23\) olasılıkla oynamalıdır:
\[x_1 = \frac13, \qquad x_2 = 1 - \frac13 = \frac23\]
Oyunun değeri \(v = \dfrac53\)’tür.
\(\blacksquare\)
Bulunan değer \(\underline{v} = 1\) ile \(\overline{v} = 2\) arasında kalmalıdır:
\[1 \leq \frac53 \leq 2 \;\checkmark\]
Karma stratejili her oyunun değeri bu iki sınır arasındadır. Bu aralığın dışına çıkan bir sonuç, doğrulardan birinin yanlış kurulduğunu gösterir.
Alt zarfın tepe noktasında daima artan bir doğru ile azalan bir doğru buluşur. Bu örnekte \(E_2(A) = 2x_1 + 1\) artan, \(E_4(A) = 2 - x_1\) azalandır.
Bu yüzden bütün kesişim noktalarını hesaplamaya gerek yoktur: \(x_1 = 0\) ve \(x_1 = 1\) eksenlerindeki en küçük değerleri veren doğrulardan başlayıp alt zarfı takip etmek yeterlidir.