📉 Zaman Serileri: Hareketli Ortalamalar Metodu (HOM)

Zaman serilerinde bazen veriler rastgele ve anlık dalgalanmalar (gürültü) gösterir. Bu anlık zıplamaları veya düşüşleri yumuşatıp serinin asıl gidişatını (ana eğilimi) görmek için Hareketli Ortalamalar Metodu (Moving Averages) kullanılır. Bu yöntemin temel mantığı, geçmişteki belirli sayıda ($n$) periyodun ortalamasını alarak geleceği tahmin etmektir.

Zaman serisinde trend (istikrarlı büyüme/küçülme) olup olmamasına göre bu yöntem ikiye ayrılır: Tek Katlı ve İki Katlı hareketli ortalamalar.

---

1. Tek Katlı Hareketli Ortalamalar (Trend Yoksa)

Eğer verilerde zamanla sürekli artan veya azalan bir trend yoksa, sadece geçmiş $n$ dönemin basit aritmetik ortalaması alınarak bir sonraki periyot tahmin edilir. Zaman ilerledikçe en eski veri hesaplamadan çıkarılır ve en yeni veri dahil edilir; bu yüzden ortalama "hareket eder".

Tanım: Tek Katlı Hareketli Ortalama (${\mu }_t$)

$n$ periyotluk tek katlı hareketli ortalama (${\mu }_t$), $t$ zamanı dahil olmak üzere geçmiş $n$ adet gerçek değerin ortalamasıdır:

$${\mu }_t=\frac{Y_t+Y_{t-1}+Y_{t-2}+\cdots +Y_{t-n+1}}{n}$$

Bir sonraki periyodun tahmini değeri (${\hat{Y}}_{t+1}$), hesaplanan bu ortalamaya eşittir:

$${\hat{Y}}_{t+1}={\mu }_t$$

Burada;

• $n$: Hareketli ortalamanın hesaplanacağı geçmiş periyot sayısını (örneğin 3 aylık, 5 yıllık vb.) ifade eder.

📌 Formül Hatasına Dikkat! (İndis Kuralı)

Bazı ders notlarında formülün pay kısmında $Y_{t+1}$ (gelecek zaman) ifadesinin yer aldığı hatalı yazımlar görebilirsiniz. Bir model, geleceği tahmin etmek için gelecekteki veriyi kullanamaz. Doğru hesaplama, içinde bulunduğumuz $t$ anından geriye doğru giderek ($Y_t,Y_{t-1}$ vb.) tam $n$ adet terimi toplamaktır.

Örnek: Tek Katlı Hareketli Ortalama Çözümü

Aşağıdaki zaman serisi için $3$ aylık ($n=3$) tek katlı hareketli ortalamaları hesaplayarak $6.$ ay için tahmini değeri (${\hat{Y}}_6$) bulunuz.

$t$ (Ay)	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$Y_t$	$12$	$15$	$18$	$14$	$16$

💡 Çözümü Göster / Gizle

Periyot sayımız $n=3$ olduğu için ortalama almaya ancak 3. aydan ($t=3$) itibaren başlayabiliriz. Hesaplamalarımızı adım adım yaparak bir tabloya yerleştirelim:

• $t=3$ için: ${\mu }_3=\frac{12+15+18}{3}=\mathbf{15.00}$ $⟹$ ${\hat{Y}}_4=15.00$
• $t=4$ için: ${\mu }_4=\frac{15+18+14}{3}\approx \mathbf{15.67}$ $⟹$ ${\hat{Y}}_5=15.67$
• $t=5$ için: ${\mu }_5=\frac{18+14+16}{3}=\mathbf{16.00}$ $⟹$ ${\hat{Y}}_6=16.00$

$t$	$Y_t$	${\mu }_t$ (Hareketli Ortalama)	${\hat{Y}}_t$ (Tahmin Edilen)
$1$	$12$	-	-
$2$	$15$	-	-
$3$	$18$	$15.00$	-
$4$	$14$	$15.67$	$15.00$
$5$	$16$	$16.00$	$15.67$
$6$	-	-	$\mathbf{16.00}$

Sonuç: 5. aydaki ortalama değeri kullanarak 6. ayın tahmini değerini ${\hat{Y}}_6=16.00$ olarak buluruz.

$⊠$

---

2. İki Katlı Hareketli Ortalamalar (Trend Varsa)

Verilerde sürekli bir artış veya azalış (trend) varken tek katlı ortalama kullanırsak, tahminlerimiz her zaman gerçek değerlerin gerisinde (altında) kalacaktır. Trendi yakalamak için hareketli ortalamanın da hareketli ortalamasını alır ve bunu doğrusal bir doğru denklemine çeviririz.

Tanım: İki Katlı Hareketli Ortalama Formülleri

İki katlı metot uygulanırken sırasıyla 4 aşamalı bir matematiksel model kurulur:

1. Birinci Ortalama (${\mu }_t$): Standart tek katlı ortalamadır.

$${\mu }_t=\frac{Y_t+Y_{t-1}+\cdots +Y_{t-n+1}}{n}$$

2. İkinci Ortalama (${\mu }_t^{\prime }$): Bulunan birinci ortalamaların kendi içindeki ortalamasıdır.

$${\mu }_t^{\prime }=\frac{{\mu }_t+{\mu }_{t-1}+\cdots +{\mu }_{t-n+1}}{n}$$

3. Düzeltme Katsayıları ($a_t$ ve $b_t$): Gecikmeyi telafi eden doğru denklemi bileşenleridir.

• Sabit Terim (Kesim): $a_t=2{\mu }_t-{\mu }_t^{\prime }$
• Eğim (Trend Hızı): $b_t=\frac{2}{n-1}({\mu }_t-{\mu }_t^{\prime })$

4. Tahmin Denklemi: $t$ anında dururken, $p$ periyot sonrası için yapılacak tahmin formülüdür.

$${\hat{Y}}_{t+p}=a_t+p\cdot b_t$$

Burada;

• $n$: Hareketli ortalamanın hesaplanacağı periyot sayısını (örneğin 3 aylık, 5 yıllık),
• $p$: Bulunduğumuz $t$ anından kaç periyot sonrasını tahmin etmek istediğimizi ifade eder.

Örnek: İki Katlı Hareketli Ortalama Çözümü

Aşağıda belirgin bir yükseliş trendi gösteren veriler için $3$ aylık ($n=3$) hareketli ortalama periyodu kullanarak; $6.$ ve $7.$ aylar için tahmini değerleri (${\hat{Y}}_6$ ve ${\hat{Y}}_7$) hesaplayınız.

$t$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$Y_t$	$10$	$14$	$21$	$29$	$34$

💡 Çözümü Göster / Gizle

Tahmin yapabilmek için en son an olan $t=5$ periyodu için düzeltme katsayılarını ($a_5$ ve $b_5$) bulmamız gerekir. Tüm adımları tablo üzerinde gösterebiliriz:

1. Birinci Ortalamalar (${\mu }_t$): $n=3$ ile $t=3$'ten itibaren hesaplanır.
2. İkinci Ortalamalar (${\mu }_t^{\prime }$): Elimizde $3$ adet ${\mu }_t$ biriktiğinde (yani $t=5$ anında) ${\mu }_5^{\prime }=\frac{15+21.33+28}{3}\approx 21.44$ olarak bulunur.

$t$	$Y_t$	${\mu }_t$ (1. Ortalama)	${\mu }_t^{\prime }$ (2. Ortalama)	$a_t$	$b_t$
$1$	$10$	-	-	-	-
$2$	$14$	-	-	-	-
$3$	$21$	$15.00$	-	-	-
$4$	$29$	$21.33$	-	-	-
$5$	$34$	$28.00$	$21.44$	$34.56$	$6.56$

3. Düzeltme Katsayılarının ($a_5$ ve $b_5$) Hesaplanması: Formülleri doğrudan tabloda bulduğumuz $t=5$ değerleriyle uyguluyoruz:

• $a_5=2{\mu }_5-{\mu }_5^{\prime }=2(28)-21.44=56-21.44=\mathbf{34.56}$
• $b_5=\frac{2}{n-1}({\mu }_5-{\mu }_5^{\prime })=\frac{2}{3-1}(28-21.44)=\frac{2}{2}(6.56)=\mathbf{6.56}$

4. Gelecek Periyotların Tahmini: Tahmin denklemimiz ${\hat{Y}}_{5+p}=a_5+p\cdot b_5$ olarak şekillendi.

• 6. ayın tahmini ($p=1$):${\hat{Y}}_{5+1}={\hat{Y}}_6=34.56+1\cdot (6.56)=\mathbf{41.12}$

• 7. ayın tahmini ($p=2$):${\hat{Y}}_{5+2}={\hat{Y}}_7=34.56+2\cdot (6.56)=\mathbf{47.68}$

(Dikkat ederseniz trend eğilimi korundu ve gelecek aylardaki tahminler de düzenli bir şekilde artmaya devam etti.)

$⊠$