📈 Lineer Hale Dönüştürülebilir Modeller

Regresyon analizinde, bağımlı ($Y$) ve bağımsız ($X$) değişkenler arasındaki ilişki her zaman $Y={\beta }_0+{\beta }_{1}X$ gibi dümdüz bir doğru (lineer) şeklinde olmak zorunda değildir. Bazen veriler bir eğri çizerek üstel, logaritmik veya üslü bir şekilde artış/azalış gösterebilir.

Eğrisel bir ilişkiyi modellemek için En Küçük Kareler (EKK) yöntemini doğrudan uygulamaya kalkarsak, çözümü çok zor olan karmaşık denklem sistemleriyle karşılaşırız. Bunun yerine harika bir matematiksel hile yaparız: Orijinal denklemi logaritma veya ters alma gibi işlemlerle doğrusal (lineer) bir formata dönüştürürüz.

📌 Dönüşümün Temel Mantığı

Eğrisel bir modeli çözebilmek için değişkenleri ($Y$ veya $X$) yeni bir isme (örneğin $Y^{\ast }$ ve $X^{\ast }$) atayarak modeli $Y^{\ast }=A+B{X}^{\ast }$ formatına getiririz. Artık denklem lineer olduğu için bildiğimiz standart regresyon işlemlerini (Gauss Denklemlerini) bu yeni yıldızlı değişkenler üzerinden rahatça çözebiliriz. İşlem bitince de ters dönüşüm yaparak orijinal katsayılarımıza geri döneriz.

---

Sık Kullanılan Matematiksel Dönüşümler

Aşağıdaki dönüşüm modelleri, istatistiksel analizlerde en sık karşılaştığımız lineer olmayan (non-lineer) yapılardır.

1. Üstel (Exponential) Model

Verilerin başlangıçta yavaş, sonra aniden hızlanarak arttığı durumlarda kullanılır. Modelin doğrusallaştırılabilmesi için her iki tarafın doğal logaritması ($\ln$) alınır.

🟢 Modelin Doğrusallaştırılması

Genel Denklem:

$$Y=c\cdot e^{aX}$$

Dönüşüm Adımları:

$$\ln (Y)=\ln (c\cdot e^{aX})$$$$\ln (Y)=\ln (c)+\ln (e^{aX})$$$$\ln (Y)=\ln (c)+aX$$

Lineer Format: $Y^{\ast }=\ln (Y)$ ve $c^{\ast }=\ln (c)$ dersek, denklemimiz bildiğimiz doğrusal formata dönüşür:

$$Y^{\ast }=c^{\ast }+aX$$

2. Üslü (Power) Model

Bağımsız değişkenin de bir üs olarak değil, taban olarak yer aldığı modeldir. Bu modeli doğrusallaştırmak için her iki tarafın 10 tabanında logaritması ($\log$) alınır.

🟢 Modelin Doğrusallaştırılması

Genel Denklem:

$$Y=a_1\cdot X^{a_2}$$

Dönüşüm Adımları:

$$\log (Y)=\log (a_1\cdot X^{a_2})$$$$\log (Y)=\log (a_1)+a_2\log (X)$$

Lineer Format: $Y^{\ast }=\log (Y)$, $a_1^{\ast }=\log (a_1)$ ve $X^{\ast }=\log (X)$ dersek modelimiz lineerleşir:

$$Y^{\ast }=a_1^{\ast }+a_2{X}^{\ast }$$

3. Rasyonel (Ters) Model

Bağımlı ve bağımsız değişkenlerin bir kesir (oran) ilişkisi içinde olduğu modeldir. Doğrusallaştırmak için eşitliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersi alınır.

🟢 Modelin Doğrusallaştırılması

Genel Denklem:

$$Y=\frac{a_{1}X}{b_1+X}$$

Dönüşüm Adımları:

$$\frac{1}{Y}=\frac{b_1+X}{a_{1}X}$$$$\frac{1}{Y}=\frac{b_1}{a_{1}X}+\frac{X}{a_{1}X}$$$$\frac{1}{Y}=\left(\frac{b_1}{a_1}\right)\frac{1}{X}+\frac{1}{a_1}$$

Lineer Format: $Y^{\ast }=\frac{1}{Y}$ ve $X^{\ast }=\frac{1}{X}$ dersek denklem lineerleşir:

$$Y^{\ast }=C\cdot X^{\ast }+D\text{(Burada }C=\frac{b_1}{a_1}\text{ ve }D=\frac{1}{a_1}\text{ )}$$

---

⚙️ Adım Adım Çözüm Algoritması: Üstel Model Örneği

Dönüştürülebilir modellerde EKK (Gauss) denklemleri ile çalışırken şu adımları izleriz:

1. Modeli Dönüştür: Soruda verilen modeli logaritma veya ters alma işlemiyle $Y^{\ast }=c^{\ast }+a{X}^{\ast }$ formatına getir.
2. Tabloyu Güncelle: Verilen orijinal değerleri değil, bunların dönüştürülmüş hali olan yıldızlı (${}^{\ast }$) değerleri hesaplayarak yeni bir tablo oluştur.
3. Gauss Denklemlerini Yaz: Yıldızlı değişkenlere göre normal denklemleri (EKK) oluştur.
4. Denklemi Çöz: Tablodaki toplamları yerlerine koyup bilinmeyen katsayıları bul.
5. Orijinal Formata Dön: Bulduğun geçici katsayıları ters işlemle asıl aranan sabitlere çevir ve modeli yaz.

📝 Örnekler

Örnek: Aşağıdaki verilere en uygun $\hat{Y}=c\cdot e^{aX}$ üstel regresyon eğrisini, En Küçük Kareler (EKK) yöntemini kullanarak uydurunuz.

$\mathbf{X}$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$\mathbf{Y}$	$1.5$	$2.5$	$3.5$	$5.0$	$7.5$

💡 Çözümü Göster / Gizle

1. Modelin Lineerleştirilmesi:$Y=c\cdot e^{aX}$ denkleminin iki tarafının $\ln$'ini alıyoruz: $\ln (Y)=\ln (c)+aX⟹Y^{\ast }=c^{\ast }+aX$

2. Tablonun Oluşturulması ($n=5$): Hesaplamalarımızda $Y$ yerine dönüştürülmüş değişken olan $Y^{\ast }=\ln (Y)$ kullanacağız. (İşlemler virgülden sonra 5 basamaklı alınmıştır.)

$X_i$	$Y_i$	$Y_i^{\ast }=\ln (Y_i)$	$X_i^2$	$X_i\cdot Y_i^{\ast }$
0	1.5	0.40547	0	0.00000
1	2.5	0.91629	1	0.91629
2	3.5	1.25276	4	2.50552
3	5.0	1.60944	9	4.82832
4	7.5	2.01490	16	8.05960
$\sum X_i=10$		$\sum Y_i^{\ast }=6.19886$	$\sum X_i^2=30$	$\sum X_i{Y}_i^{\ast }=16.30973$

3. Gauss Normal Denklemlerinin Kurulması: Doğrusal formumuz olan $Y^{\ast }=c^{\ast }+aX$ için normal denklemler:

1. $\sum Y_i^{\ast }=n{c}^{\ast }+a\sum X_i⟹6.19886=5c^{\ast }+10a$
2. $\sum X_i{Y}_i^{\ast }=c^{\ast }\sum X_i+a\sum X_i^2⟹16.30973=10c^{\ast }+30a$

4. Denklemin Çözülmesi: Birinci denklemi $-2$ ile çarpıp ikinci denkleme ekleyelim ki $c^{\ast }$'lar yok olsun: $(-2)\cdot (6.19886)=-12.39772=-10c^{\ast }-20a$$16.30973=10c^{\ast }+30a$

Taraf tarafa topladığımızda: $3.91201=10a⟹\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{0.391201}$

Bulduğumuz $a$'yı birinci denklemde yerine koyalım: $6.19886=5c^{\ast }+10(0.391201)$$6.19886=5c^{\ast }+3.91201⟹5c^{\ast }=2.28685⟹{\mathbf{c}}^{\mathbf{\ast }}\mathbf{=}\mathbf{0.45737}$

5. Orijinal Katsayıya Dönüş:$c^{\ast }=\ln (c)$ demiştik. O halde $c$'yi bulmak için ters işlem uygulayarak $e$'nin üssüne almalıyız: $c=e^{c^{\ast }}=e^{0.45737}⟹\mathbf{c}\mathbf{=}\mathbf{1.5799}$

Sonuç: Elde ettiğimiz değerleri orijinal üstel denklemde ($Y=c\cdot e^{aX}$) yerine koyarsak, regresyon modelimiz şu şekilde olur:

$$\hat{Y}=1.5799\cdot e^{0.3912X}$$

$⊠$