2 Varış Sayma Süreci ve Erlang Dağılımı
Bir sistemde aynı türden olaylar arka arkaya meydana geliyor olsun: bir kavşakta kazalar, bir acil serviste hastalar, bir santralde gelen çağrılar. Bu tür süreçlerde iki farklı bakış açısı vardır ve bunlar birbirinin ikizidir:
- Zamana bakmak: \(n\). olayın gerçekleşmesi ne kadar sürer?
- Saymaya bakmak: \(t\) anına kadar kaç olay gerçekleşir?
Bu bölümde her iki bakışın notasyonunu kurup aralarındaki köprüyü atacağız.
2.1 Temel Büyüklükler
Tanım 2.1 (Varış Süreci Büyüklükleri) Arka arkaya meydana gelen aynı tür olaylar arasındaki zaman boşlukları \(G_1, G_2, \dots\) olsun. Burada \(G_i\), \((i-1)\). olay ile \(i\). olay arasında geçen süredir.
\(T_n\) : \(n\). olay oluncaya kadar geçen toplam süredir: \[T_n = G_1 + G_2 + \cdots + G_n\] \(\{T_n \mid n = 0, 1, 2, \dots\}\) sürecine varış zamanları süreci denir. Anlaşma gereği \(T_0 = 0\)’dır; bunun anlamı “henüz hiçbir olay olmamıştır”.
\(Y_t\) : \(t\) anı dâhil olmak üzere \(t\) zamanına kadar gerçekleşen olay sayısıdır. \(\{Y_t \mid t \geq 0\}\) sürecine varış sayma süreci denir.
\(R_a\) : \(a\) zamanından sonra ilk olayın olmasına kadar geçen süredir; ileri rekürans süresi olarak adlandırılır.
\(G_i\) süreleri genel olarak zamana göre kararlıdır: bir kaza olduktan sonra diğer kazanın ne zaman olacağı belli değildir, ama bekleme süresinin dağılımı değişmez.
Sayma sürecinin farkları da sık kullanılır: \(a \geq 0\) verilsin. \(a\) ile \(a + \Delta a\) zamanları arasında gerçekleşen olay sayısı
\[Y_{a + \Delta a} - Y_a = Y_{\Delta a}\]
biçiminde yazılır. Yani sayma süreci durağan artışlıdır: bir aralıktaki olay sayısının dağılımı, aralığın nerede başladığına değil yalnızca uzunluğuna bağlıdır.
Örnek 2.1 (Fark Notasyonu) Bir kavşakta kazalar olsun. \(T_5 = 4\) ise, 5. kaza olana kadar \(4\) birim zaman geçmiştir.
\[Y_5 - Y_3 = Y_2\]
ifadesi ise “3. ve 5. zaman birimleri arasında olan kaza sayısı” demektir; bu da \(2\) birimlik bir aralıktaki kaza sayısıyla aynı dağılıma sahiptir.
Örnek 2.2 (Sözelden Notasyona) “Bir \(a\) zamanından \(24\) birim zaman sonraya kadar olan olayların sayısının \(30\)’dan fazla olması” olayı
\[\Pr\{\, Y_{a+24} - Y_a > 30 \,\}\]
biçiminde ifade edilir.
2.2 Erlang Dağılımı
Sürekli zamanlı varış süreçlerinde \(G_i\) zaman boşlukları tipik olarak üstel dağılımlıdır. O hâlde \(T_n\), \(n\) tane bağımsız üstel değişkenin toplamıdır.
Teorem 2.1 (Üstellerin Toplamı Erlang’dır) \(G_1, \dots, G_n\) bağımsız ve her biri \(\lambda\) parametreli üstel dağılıma sahip olsun. Bu durumda
\[T_n = G_1 + \cdots + G_n\]
toplamı, \(\lambda\) parametreli \(n\) denemeli Erlang dağılımına sahiptir. Kümülatif dağılım fonksiyonu ve olasılık yoğunluk fonksiyonu \(a \geq 0\) için
\[F_{T_n}(a) = 1 - \sum_{j=0}^{n-1} \frac{e^{-\lambda a}\,(\lambda a)^j}{j!}\]
\[f_{T_n}(a) = \frac{\lambda\,(\lambda a)^{n-1} e^{-\lambda a}}{(n-1)!}\]
biçimindedir.
Yoğunluk fonksiyonu, kümülatif dağılımın türevidir. Toplamdaki terimlerin büyük kısmı sadeleşir ve geriye tek bir terim kalır:
\[\frac{d}{da} F_{T_n}(a) = \lambda e^{-\lambda a}\left[\sum_{j=0}^{n-1} \frac{(\lambda a)^j}{j!} - \sum_{k=0}^{n-2} \frac{(\lambda a)^k}{k!}\right] = \frac{\lambda (\lambda a)^{n-1} e^{-\lambda a}}{(n-1)!}\]
Baştaki çarpanın \(\lambda a\) değil \(\lambda\) olduğuna dikkat edin; aksi hâlde yoğunluğun integrali \(1\) etmez.
\(n = 1\) için Erlang, üstel dağılıma indirgenir:
\[f_{T_1}(a) = \lambda e^{-\lambda a}, \qquad F_{T_1}(a) = 1 - e^{-\lambda a}\]
Ayrıca üstel dağılımın beklenen değeri \(E(G_i) = \dfrac{1}{\lambda}\)’dır; buradan \(E(T_n) = \dfrac{n}{\lambda}\) bulunur.
2.3 Sayma ile Zaman Arasındaki Köprü
Şimdi bölümün en önemli ilişkisine geldik. \(T_n\) ile \(Y_t\) aynı sürecin iki farklı okumasıdır ve birbirine şu denklikle bağlanır.
Teorem 2.2 (Sayma–Zaman Denkliği) Her \(n \geq 1\) ve \(t \geq 0\) için
\[\{\, T_n \leq t \,\} \iff \{\, Y_t \geq n \,\}\]
olayları aynıdır.
İspat
\(T_n \leq t\) demek, \(n\). olayın en geç \(t\) anında gerçekleşmiş olması demektir. O hâlde \(t\) anına kadar en az \(n\) olay gerçekleşmiştir; yani \(Y_t \geq n\)’dir.
Tersine \(Y_t \geq n\) ise, \(t\) anına kadar en az \(n\) olay olmuştur; özel olarak \(n\). olay \(t\)’den önce (ya da tam \(t\)’de) gerçekleşmiştir, yani \(T_n \leq t\)’dir.
\(\blacksquare\)
Bu denklik pratikte çok işe yarar: dağılımı bilinmeyen bir büyüklüğü, dağılımı bilinen diğerine çevirmeyi sağlar. Örneğin \(T_n\)’in Erlang dağılımı doğrudan hesaplanması zor bir ifadedir; ama sayma tarafına geçilirse hesap Poisson olasılıklarına indirgenir:
\[\Pr\{T_n \leq t\} = \Pr\{Y_t \geq n\} = 1 - \sum_{j=0}^{n-1} \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^j}{j!}\]
\[\Pr\{Y_t < n\} = \sum_{j=0}^{n-1} \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^j}{j!}, \qquad \Pr\{Y_t \leq n\} = \sum_{j=0}^{n} \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^j}{j!}\]
İkisinin farkı, tek bir terimi yalıtır:
\[\Pr\{Y_t = n\} = \Pr\{Y_t \leq n\} - \Pr\{Y_t < n\} = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!}\]
Ayrıca tümleyen kuralı her zaman geçerlidir:
\[\Pr\{Y_t \geq n\} + \Pr\{Y_t < n\} = 1\]
Son eşitlik, \(\{Y_t \mid t \geq 0\}\) sürecinin her \(t\) için \(\lambda t\) ortalamalı Poisson dağılımına sahip olduğunu söyler. İşte bu yüzden bu sürece Poisson süreci denir; bir sonraki bölümün konusu odur.