7 Alt Diziler ve Cauchy Dizileri
Tek değişkenli analizde alt diziler, Bolzano–Weierstrass teoremi ve Cauchy dizileri birlikte çalışan üç araçtı: sınırlı bir dizi yakınsak olmasa bile içinde yakınsak bir alt dizi saklar (bkz. Analiz 1), Cauchy koşulu ise limiti bilmeden yakınsaklığa karar vermeyi sağlar (bkz. Analiz 1). ℝⁿ’de Diziler ve Yakınsaklık bölümünde \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizinin yakınsaklığının bileşenlerinin yakınsaklığına indirgendiğini gördük (Teorem 6.3). Bu bölümde aynı üç aracı \(\mathbb{R}^n\)’ye taşıyoruz. Tanımlarda mutlak değerin yerini Öklid normu alır; ispatlar ise ya doğrudan normla ya da bileşenlere inerek yürür.
Bölümün asıl kazancı, önceki bölümlerde açık yuvarlar ve açık örtülerle kurduğumuz topolojik kavramların dizilerle yeniden okunmasıdır. Kapalı bir küme, içindeki yakınsak dizilerin limitlerini de içeren kümedir; kompakt bir küme ise içindeki her dizinin, kümede yakınsayan bir alt dizisi bulunan kümedir. Bu dizisel betimlemeler, sonraki bölümlerde fonksiyonların limitini ve sürekliliğini incelerken en sık başvuracağımız araçlar olacak.
7.1 Alt Diziler
Bir diziden sonsuz tane terimi sırayı bozmadan seçerek yeni bir dizi elde ederiz; \(\mathbb{R}^n\)’de tanım, reel dizilerdekiyle aynıdır (bkz. Analiz 1).
Tanım 7.1 (Alt Dizi) \((x_k)_{k \in \mathbb{N}}\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi ve \((k_j)_{j \in \mathbb{N}}\) kesin artan bir doğal sayı dizisi olsun:
\[k_1 < k_2 < \cdots < k_j < k_{j+1} < \cdots.\]
\(j\)-inci terimi \(x_{k_j}\) olan \((x_{k_j})_{j \in \mathbb{N}}\) dizisine \((x_k)\) dizisinin bir alt dizisi denir.
Yani alt dizinin \(j\)-inci terimi, ana dizinin \(k_j\)-inci terimidir. Diziyi \(k \mapsto x_k\) kuralıyla \(\mathbb{N}\)’den \(\mathbb{R}^n\)’ye, indis dizisini de \(j \mapsto k_j\) kuralıyla \(\mathbb{N}\)’den \(\mathbb{N}\)’ye giden birer fonksiyon olarak düşünürsek alt dizi bu iki fonksiyonun bileşkesidir:
\[j \longmapsto k_j \longmapsto x_{k_j}.\]
İndisler kesin arttığı için her \(j\) için \(k_j \ge j\) olur: ilk seçilen indis en az \(1\), ondan büyük olan ikincisi en az \(2\)’dir ve bu böyle sürer (tümevarımla ispatı için bkz. Analiz 1). Özel olarak \(j \to \infty\) iken \(k_j \to \infty\) olur; alt dizi de ana dizi gibi sonsuza doğru ilerler, yalnızca bazı terimleri atlar.
Alt dizi seçmenin bir başka yolu, sonsuz bir indis kümesi seçmektir. Sonsuz bir \(I \subseteq \mathbb{N}\) kümesinin elemanlarını küçükten büyüğe sıralayalım: \(k_1 = \min I\) olsun ve her \(j\) için \(k_{j+1}\), \(I\) kümesinin \(k_j\)’den büyük elemanlarının en küçüğü olsun. \(I\) sonsuz olduğundan bu elemanlar hiçbir adımda tükenmez ve iyi sıralama ilkesi gereği en küçük eleman her adımda vardır (bkz. Analiz 1). Böylece kesin artan bir \((k_j)\) dizisi, dolayısıyla bir alt dizi elde edilir. Bu gözle bakınca bir alt dizinin alt dizisini seçmek, daha küçük bir sonsuz \(J \subseteq I\) indis kümesi seçmektir; dolayısıyla bir alt dizinin alt dizisi, ana dizinin de bir alt dizisidir.
Son olarak alt dizilerin bileşenlerine bakalım. \(x_k = \big(x_k^{(1)}, \dots, x_k^{(n)}\big)\) ise \(x_{k_j} = \big(x_{k_j}^{(1)}, \dots, x_{k_j}^{(n)}\big)\) olur. Yani alt dizinin \(i\)-inci bileşen dizisi, ana dizinin \(i\)-inci bileşen dizisinin aynı indislerle alınmış alt dizisidir. Bu gözlem, alt dizilerle ilgili soruları Teorem 6.3 yardımıyla reel dizilere indirmemizi sağlar.
Örnek 7.1 (Düzlemde Bir Alt Dizi) \(\left(\dfrac{1}{2j}, 1\right)_{j \in \mathbb{N}}\) dizisinin, genel terimi \(x_k = \left(\dfrac{1}{k}, (-1)^k\right)\) olan dizinin bir alt dizisi olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Çift indisleri seçelim: \(k_j = 2j\). \(k_1 = 2 < k_2 = 4 < k_3 = 6 < \cdots\) dizisi kesin artandır. Her \(j\) için \((-1)^{2j} = 1\) olduğundan
\[x_{k_j} = x_{2j} = \left(\frac{1}{2j}, (-1)^{2j}\right) = \left(\frac{1}{2j}, 1\right)\]
olur. Verilen dizi, \((x_k)\) dizisinin çift indisli terimlerinden oluşan alt dizidir. \(\blacksquare\)
Örnek 7.2 (Uzayda Çift İndisli Alt Dizi) \(\mathbb{R}^3\)’te genel terimi \(x_k = \left((-1)^k, \dfrac{1}{k}, (-1)^{3k}\right)\) olan dizinin çift indisli terimlerinden oluşan alt diziyi yazınız ve limitini bulunuz.
Çözüm
\(k_j = 2j\) alalım. \((-1)^{2j} = 1\) ve \(3 \cdot 2j = 6j\) çift olduğundan \((-1)^{6j} = 1\) olur. Dolayısıyla
\[x_{2j} = \left(1, \frac{1}{2j}, 1\right)\]
bulunur. Bileşen dizileri sırasıyla sabit \(1\) dizisi, \(\dfrac{1}{2j} \to 0\) dizisi ve yine sabit \(1\) dizisidir. Teorem 6.3 gereği
\[\lim_{j \to \infty} x_{2j} = (1, 0, 1).\]
\(\blacksquare\)
Örnek 7.3 (Uzayda Tek İndisli Alt Dizi) \(\mathbb{R}^3\)’te genel terimi \(x_k = \left((-1)^k, \dfrac{1}{k}, (-1)^{3k}\right)\) olan dizinin tek indisli terimlerinden oluşan alt diziyi yazınız ve limitini bulunuz.
Çözüm
\(k_j = 2j - 1\) alalım; \(k_1 = 1 < k_2 = 3 < k_3 = 5 < \cdots\) kesin artandır. \(2j - 1\) ve \(3(2j - 1)\) tek sayılar olduğundan \((-1)^{2j-1} = (-1)^{3(2j-1)} = -1\) olur ve
\[x_{2j-1} = \left(-1, \frac{1}{2j-1}, -1\right)\]
bulunur. \(\dfrac{1}{2j-1} \to 0\) olduğundan Teorem 6.3 gereği
\[\lim_{j \to \infty} x_{2j-1} = (-1, 0, -1).\]
\(\blacksquare\)
7.2 Alt Dizilerin Limiti
Yakınsak bir dizinin terimleri bir yerden sonra limitin çevresindeki her yuvarın içine girer; alt dizinin terimleri bu terimlerin arasından seçildiği için onlar da aynı yuvara girmek zorundadır.
Teorem 7.1 (Alt Dizilerle Yakınsaklık) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi ve \(a \in \mathbb{R}^n\) olsun. \((x_k)\) dizisinin \(a\)’ya yakınsaması için gerek ve yeter koşul, her alt dizisinin \(a\)’ya yakınsamasıdır. Özel olarak yakınsak bir dizinin bütün alt dizileri yakınsaktır ve hepsinin limiti dizinin limitidir.
İspat
(\(\Rightarrow\)) \(\lim_{k \to \infty} x_k = a\) olsun ve \((x_{k_j})\) herhangi bir alt dizi olsun. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Yakınsaklık tanımı (Tanım 6.3) gereği öyle bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır ki \(k \ge N\) olan her \(k\) için \(\|x_k - a\| < \varepsilon\) olur. Şimdi \(j \ge N\) olsun. \(k_j \ge j\) olduğundan \(k_j \ge N\)’dir; eşitsizliği \(k = k_j\) için uygularsak
\[\|x_{k_j} - a\| < \varepsilon \qquad (j \ge N)\]
elde ederiz. Bu, \(\lim_{j \to \infty} x_{k_j} = a\) demektir. Alt dizi için işe yarayan \(N\), ana dizininkiyle aynıdır.
(\(\Leftarrow\)) Her alt dizi \(a\)’ya yakınsasın. \(k_j = j\) seçimi kesin artandır ve bu seçimle elde edilen alt dizi \((x_k)\) dizisinin kendisidir. Dolayısıyla \((x_k)\) de \(a\)’ya yakınsar. \(\blacksquare\)
Aynı sonuca bileşenler üzerinden de varılabilir. \(x_k \to a\) ise Teorem 6.3 gereği her bileşen dizisi \(a\)’nın ilgili bileşenine yakınsar. Reel dizilerde yakınsak dizinin her alt dizisi aynı limite gittiğinden (bkz. Analiz 1) alt dizinin bileşenleri de aynı sayılara yakınsar ve yine Teorem 6.3 ile \(x_{k_j} \to a\) bulunur.
Teoremin asıl kullanımı olumsuz yöndedir: bir dizinin ıraksak olduğunu göstermek için tanımla uğraşmak yerine uygun alt diziler bulmak yeter.
Sonuç 7.1 (Alt Dizilerle Iraksaklık) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi olsun.
- \((x_k)\) dizisinin farklı limitlere yakınsayan iki alt dizisi varsa \((x_k)\) ıraksaktır.
- \((x_k)\) dizisinin ıraksak bir alt dizisi varsa \((x_k)\) ıraksaktır.
İspat
(1) \((x_{k_j})\) alt dizisi \(p\) noktasına, \((x_{m_j})\) alt dizisi \(q\) noktasına yakınsasın ve \(p \ne q\) olsun. \((x_k)\) bir \(a\) noktasına yakınsasaydı Teorem 7.1 gereği iki alt dizi de \(a\)’ya yakınsardı. Limitin tekliğinden (Teorem 6.1) \(p = a\) ve \(q = a\), yani \(p = q\) olurdu; bu bir çelişkidir.
(2) \((x_k)\) yakınsak olsaydı Teorem 7.1 gereği bütün alt dizileri yakınsak olurdu; ıraksak bir alt dizinin varlığı buna aykırıdır. \(\blacksquare\)
- Salınımı bul. Dizinin bir noktaya yerleşmesini engelleyen bileşen belirlenir; \((-1)^k\) gibi işaret değiştiren ya da periyodik çarpanlar çoğu kez ipucudur.
- İndis dizilerini seç. Salınımı sabitleyen iki indis dizisi alınır; çoğu kez \(k_j = 2j\) ve \(k_j = 2j - 1\) yeter, periyodik çarpanlarda periyodun katları alınır.
- Limitleri karşılaştır. Alt dizilerin limitleri Teorem 6.3 ile bileşen bileşen hesaplanır. Limitler farklıysa ya da alt dizilerden biri ıraksaksa Sonuç 7.1 gereği dizi ıraksaktır.
Örnek 7.4 (İki Kollu Bir Düzlem Dizisi) \(\mathbb{R}^2\)’de genel terimi \(x_k = \left((-1)^k, \dfrac{1}{2^k}\right)\) olan dizinin ıraksak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Salınım. İkinci bileşen \(\dfrac{1}{2^k} \to 0\) olduğundan sorun yaratmaz; salınan, birinci bileşendeki \((-1)^k\) çarpanıdır.
İndis dizileri. Çift indisler için \(k_j = 2j\), tek indisler için \(k_j = 2j + 1\) alalım:
\[ \begin{aligned} x_{2j} &= \left(1, \frac{1}{2^{2j}}\right), \\[1mm] x_{2j+1} &= \left(-1, \frac{1}{2^{2j+1}}\right). \end{aligned} \]
Limitler. \(\dfrac{1}{2^{2j}} \to 0\) ve \(\dfrac{1}{2^{2j+1}} \to 0\) olduğundan Teorem 6.3 gereği
\[ \begin{aligned} \lim_{j \to \infty} x_{2j} &= (1, 0), \\[1mm] \lim_{j \to \infty} x_{2j+1} &= (-1, 0) \end{aligned} \]
olur. \((1, 0) \ne (-1, 0)\) olduğundan Sonuç 7.1 gereği \((x_k)\) ıraksaktır. Aynı sonucu Örnek 6.2 içinde yakınsaklık tanımıyla elde etmiştik; alt dizilerle çok daha kısa yoldan ulaştık.
Terimler iki kol hâlinde ilerler: çift indisli terimler \((1, 0)\) noktasına, tek indisli terimler \((-1, 0)\) noktasına yukarıdan ve her adımda yüksekliği yarıya inerek yaklaşır.
\(\blacksquare\)
Örnek 7.2 ve Örnek 7.3 örneklerindeki \(\mathbb{R}^3\) dizisi de aynı nedenle ıraksaktır: iki alt dizisi \((1, 0, 1)\) ve \((-1, 0, -1)\) gibi farklı noktalara yakınsar. En basit örnek yine tek değişkenli \(\big((-1)^k\big)\) dizisidir; çift indisli terimleri \(1\)’e, tek indisli terimleri \(-1\)’e yakınsar.
7.3 Dizinin Yığılma Noktası
Iraksak bir dizinin limiti yoktur, ama terimleri bazı noktaların çevresinde toplanabilir; yukarıdaki örnekte terimler \((1, 0)\) ve \((-1, 0)\) çevresinde yığılıyordu. Bu noktaları alt dizilerle tanımlıyoruz.
Tanım 7.2 (Dizinin Yığılma Noktası) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi ve \(a \in \mathbb{R}^n\) olsun. \((x_k)\) dizisinin \(a\)’ya yakınsayan bir alt dizisi varsa \(a\)’ya \((x_k)\) dizisinin bir yığılma noktası denir.
Yani \(a\), dizinin bir yığılma noktasıdır ancak ve ancak öyle bir \((x_{k_j})\) alt dizisi vardır ki her \(\varepsilon > 0\) için bir \(N \in \mathbb{N}\) bulunur ve \(j \ge N\) olduğunda \(\|x_{k_j} - a\| < \varepsilon\) olur. Bu koşul, “her \(\varepsilon > 0\) için \(\|x_k - a\| < \varepsilon\) eşitsizliğini sağlayan sonsuz çoklukta \(k\) indisi vardır” koşuluna denktir; ispatı, reel dizilerdeki ispatta (bkz. Analiz 1) mutlak değer yerine norm yazılarak elde edilir.
Örneğin \(x_k = \left((-1)^k, \dfrac{1}{2^k}\right)\) dizisinin yığılma noktaları \((1, 0)\) ve \((-1, 0)\)’dır. Başka yığılma noktası yoktur. Gerçekten, bir \((x_{k_j})\) alt dizisinin \(k_j\) indisleri arasında ya sonsuz çoklukta çift sayı ya da sonsuz çoklukta tek sayı bulunur. İlk durumda yalnız çift \(k_j\) indisleriyle alınan terimler hem \((x_{k_j})\) dizisinin hem de \((x_{2j})\) dizisinin bir alt dizisini oluşturur ve \((1, 0)\)’a gider; ikinci durumda aynı akıl yürütmeyle \((-1, 0)\)’a giden bir alt dizi bulunur. \((x_{k_j})\) yakınsaksa bu alt dizisi de aynı limite gideceğinden (Teorem 7.1) limit bu iki noktadan biridir.
Yakınsak bir dizinin ise tek yığılma noktası vardır, o da limitidir: Teorem 7.1 gereği her alt dizi dizinin limitine yakınsar ve limit tektir (Teorem 6.1). Bunun tersi doğru değildir; tek yığılma noktası olan ıraksak diziler vardır (Alıştırma 7.2). Ama dizi sınırlıysa ters yön de doğrudur (Alıştırma 7.3).
7.4 Diziler için Bolzano–Weierstrass Teoremi
Kümeler için Bolzano–Weierstrass teoremi (Teorem 3.6) sınırlı ve sonsuz her kümenin bir yığılma noktası olduğunu söylüyordu. Şimdi bu sonucu dizilere aktarıyoruz. Köprüyü dizinin görüntü kümesi (Tanım 6.2), yani terimlerinden oluşan \(E = \{x_k : k \in \mathbb{N}\}\) kümesi kurar. Görüntü kümesinde tekrarlar sayılmaz; örneğin \(\big((-1)^k\big)\) dizisinin görüntü kümesi \(\{-1, 1\}\)’dir.
Önce görüntü kümesinin yığılma noktalarının dizinin de yığılma noktası olduğunu gösterelim. Hatırlatalım: \(a\) noktası \(E\) kümesinin bir yığılma noktasıdır ancak ve ancak her \(\varepsilon > 0\) için
\[\big(B(a, \varepsilon) \setminus \{a\}\big) \cap E \ne \varnothing\]
olur (Tanım 3.4).
Önerme 7.1 (Görüntü Kümesinin Yığılma Noktaları) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi ve \(E = \{x_k : k \in \mathbb{N}\}\) görüntü kümesi olsun. \(a \in \mathbb{R}^n\) noktası \(E\)’nin bir yığılma noktasıysa \((x_k)\) dizisinin \(a\)’ya yakınsayan bir alt dizisi vardır; yani \(a\) dizinin de bir yığılma noktasıdır.
İspat
Birinci adım: \(a\)’nın her yuvarına sonsuz çoklukta indis düşer. \(\varepsilon > 0\) için
\[I_\varepsilon = \{k \in \mathbb{N} : 0 < \|x_k - a\| < \varepsilon\}\]
indis kümesinin sonsuz olduğunu gösterelim. \(x_k \in B(a, \varepsilon) \setminus \{a\}\) olması tam olarak \(k \in I_\varepsilon\) olması demektir; \(a\) bir yığılma noktası olduğundan \(I_\varepsilon\) boş değildir. Bir \(\varepsilon\) için \(I_\varepsilon\) kümesinin sonlu olduğunu varsayalım ve
\[\delta = \min\{\|x_k - a\| : k \in I_\varepsilon\}\]
diyelim. Sonlu ve boş olmayan bir sayı kümesinin en küçük elemanı vardır; dolayısıyla \(\delta\) tanımlıdır ve \(0 < \delta < \varepsilon\)’dur. Şimdi bir \(x_k\) terimi \(B(a, \delta) \setminus \{a\}\) kümesinde olsaydı \(0 < \|x_k - a\| < \delta < \varepsilon\) olurdu. O zaman \(k \in I_\varepsilon\) olur ve \(\delta\)’nın tanımından \(\|x_k - a\| \ge \delta\) çıkardı; bu bir çelişkidir. Demek ki
\[\big(B(a, \delta) \setminus \{a\}\big) \cap E = \varnothing\]
olur ve bu, \(a\)’nın \(E\)’nin yığılma noktası olmasına aykırıdır. Sonuç olarak her \(\varepsilon > 0\) için \(I_\varepsilon\) sonsuzdur.
İkinci adım: indisleri seçmek. \(I_1\) boş olmadığından bir \(k_1 \in I_1\) seçelim; \(\|x_{k_1} - a\| < 1\) olur. \(k_1 < \cdots < k_j\) seçilmiş olsun. \(I_{1/(j+1)}\) sonsuz bir doğal sayı kümesi olduğundan üstten sınırlı değildir; dolayısıyla \(k_{j+1} > k_j\) koşulunu sağlayan bir \(k_{j+1} \in I_{1/(j+1)}\) vardır. Böylece kesin artan bir \((k_j)\) indis dizisi elde edilir ve her \(j\) için
\[\|x_{k_j} - a\| < \frac{1}{j}\]
olur.
Üçüncü adım: yakınsaklık. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Arşimet özelliği gereği \(N > \dfrac{1}{\varepsilon}\) olan bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır (bkz. Analiz 1). \(j \ge N\) için
\[\|x_{k_j} - a\| < \frac{1}{j} \le \frac{1}{N} < \varepsilon\]
olur. Yani \(\lim_{j \to \infty} x_{k_j} = a\). \(\blacksquare\)
Artık teoremi ispatlamaya hazırız.
Teorem 7.2 (Diziler için Bolzano–Weierstrass Teoremi) \(\mathbb{R}^n\)’de sınırlı her dizinin yakınsak bir alt dizisi vardır. Başka bir deyişle, sınırlı her dizinin en az bir yığılma noktası vardır.
İspat
\((x_k)\) sınırlı bir dizi olsun: her \(k\) için \(\|x_k\| \le M\) olacak biçimde bir \(M > 0\) vardır (Tanım 6.5). \(E = \{x_k : k \in \mathbb{N}\}\) görüntü kümesi ya sonludur ya da sonsuzdur.
\(E\) sonlu ise. \(E = \{p_1, \dots, p_r\}\) olsun ve her \(i\) için \(I_i = \{k \in \mathbb{N} : x_k = p_i\}\) diyelim. Her \(k\) indisi bu kümelerden birine düştüğü için
\[\mathbb{N} = I_1 \cup I_2 \cup \cdots \cup I_r\]
olur. Sonlu tane sonlu kümenin birleşimi sonludur, oysa \(\mathbb{N}\) sonsuzdur; demek ki bu kümelerden en az biri, diyelim \(I_i\), sonsuzdur. \(I_i\) kümesinin elemanlarını küçükten büyüğe dizerek bir \((x_{k_j})\) alt dizisi elde ederiz ve her \(j\) için \(x_{k_j} = p_i\) olur. Sabit dizi yakınsak olduğundan bu alt dizi \(p_i\) noktasına yakınsar.
\(E\) sonsuz ise. \(E\)’nin her elemanı \(\|x_k\| \le M\) eşitsizliğini sağladığından \(E\) sınırlı bir kümedir (Tanım 3.5). Kümeler için Bolzano–Weierstrass teoremi (Teorem 3.6) gereği \(E\)’nin bir \(a \in \mathbb{R}^n\) yığılma noktası vardır. Önerme 7.1 gereği \((x_k)\) dizisinin \(a\)’ya yakınsayan bir alt dizisi vardır. \(\blacksquare\)
Bileşenlerle ikinci ispat
Teoremi reel dizilerdeki Bolzano–Weierstrass teoreminden (bkz. Analiz 1) de çıkarabiliriz. \((x_k)\) sınırlı olsun: her \(k\) için \(\|x_k\| \le M\). Her \(i = 1, \dots, n\) için
\[\big|x_k^{(i)}\big| \le \|x_k\| \le M\]
olduğundan bütün bileşen dizileri sınırlı reel dizilerdir. İndis kümesini bileşen bileşen küçülteceğiz.
Birinci bileşen. \(\big(x_k^{(1)}\big)_{k \in \mathbb{N}}\) sınırlı olduğundan yakınsak bir alt dizisi vardır. Bu alt dizinin indislerinin oluşturduğu sonsuz kümeye \(I_1\), limitine \(a_1\) diyelim.
Sonraki bileşenler. \(I_i\) sonsuz indis kümesi seçilmiş olsun ve \(I_i\) boyunca ilk \(i\) bileşen dizisi sırasıyla \(a_1, \dots, a_i\) sayılarına yakınsasın. \(I_i\) boyunca alınan alt dizinin \((i+1)\)-inci bileşeni sınırlı bir reel dizidir; yakınsak bir alt dizisi vardır. Bu alt dizinin indis kümesine \(I_{i+1} \subseteq I_i\), limitine \(a_{i+1}\) diyelim. \(I_{i+1}\) boyunca ilk \(i\) bileşen de aynı limitlere yakınsamaya devam eder; çünkü \(I_{i+1}\) boyunca alınan her bileşen dizisi, \(I_i\) boyunca alınan yakınsak bileşen dizisinin bir alt dizisidir ve Teorem 7.1 gereği aynı limite gider.
Sonuç. \(n\) adımın sonunda sonsuz bir \(I_n\) indis kümesi elde ederiz. \(I_n\)’nin elemanlarını küçükten büyüğe \(k_1 < k_2 < \cdots\) diye dizersek her \(i = 1, \dots, n\) için \(x_{k_j}^{(i)} \to a_i\) olur. Teorem 6.3 gereği \((x_{k_j})\) alt dizisi \(a = (a_1, \dots, a_n)\) noktasına yakınsar. \(\blacksquare\)
Teorem yakınsak bir alt dizinin varlığını söyler; bu alt dizi tek değildir ve farklı alt diziler farklı limitlere gidebilir. Örnek 7.4 örneğindeki sınırlı dizinin biri \((1, 0)\)’a, öbürü \((-1, 0)\)’a giden iki alt dizisi vardı.
Sınırlılık koşulu atılamaz. \(x_k = k\,e_1 = (k, 0, \dots, 0)\) dizisini düşünelim. Her alt dizi için \(\|x_{k_j}\| = k_j \ge j\) olur; yani her alt dizi sınırsızdır. Yakınsak diziler sınırlı olduğundan (Teorem 6.2) bu dizinin hiçbir alt dizisi yakınsak değildir. Öte yandan sınırsız bir dizinin de yakınsak bir alt dizisi olabilir (Alıştırma 7.2); teorem yalnız, sınırlılığın bunu garanti ettiğini söyler.
İspattan şu da çıktı: görüntü kümesinin her yığılma noktası dizinin de yığılma noktasıdır (Önerme 7.1). Tersi doğru değildir. \(x_k = \big((-1)^k, 0\big)\) dizisinin çift ve tek indisli alt dizileri sabittir; dolayısıyla \((1, 0)\) ve \((-1, 0)\) dizinin yığılma noktalarıdır. Oysa görüntü kümesi iki elemanlı \(E = \{(-1, 0), (1, 0)\}\) kümesidir ve sonlu bir kümenin hiç yığılma noktası yoktur: bir \(a\) noktası verildiğinde \(\varepsilon\) sayısını \(a\)’nın \(E\)’nin kendisinden farklı noktalarına olan uzaklıklarının en küçüğünden küçük seçersek \(B(a, \varepsilon) \setminus \{a\}\) kümesi \(E\)’nin hiçbir noktasını içermez. Kısacası dizinin yığılma noktası terimleri indisleriyle sayar, kümenin yığılma noktası ise yalnız noktalara bakar; tekrar eden terimler dizide yığılma yaratır, kümede yaratmaz.
Örnek 7.5 (Tam Değer Fonksiyonuyla Kurulan Bir Dizi) \(\lfloor t \rfloor\), \(t\) reel sayısının tam değerini (tabanını) göstersin (bkz. Analiz 1). \(\mathbb{R}^2\)’de
\[x_k = \left(\frac{k}{3} - \left\lfloor \frac{k}{3} \right\rfloor,\ \frac{k}{7} - \left\lfloor \frac{k}{7} \right\rfloor\right)\]
dizisinin yakınsak bir alt dizisini bulunuz.
Çözüm
Varlık. Her \(t\) için \(\lfloor t \rfloor \le t < \lfloor t \rfloor + 1\) olduğundan iki bileşen de \([0, 1)\) aralığındadır; dolayısıyla \(\|x_k\| < \sqrt{2}\) ve dizi sınırlıdır. Teorem 7.2 yakınsak bir alt dizinin varlığını garanti eder; şimdi birini açıkça bulalım.
Alt diziyi seçmek. \(k\), \(3\)’ün katıysa birinci bileşen \(0\) olur; \(7\)’nin katıysa ikinci bileşen \(0\) olur. İkisini birden sıfırlamak için \(k\)’yı \(3 \cdot 7 = 21\)’in katı seçelim: \(k_j = 21j\). \(\dfrac{21j}{3} = 7j\) ve \(\dfrac{21j}{7} = 3j\) tam sayılar olduğundan
\[x_{21j} = \big(7j - \lfloor 7j \rfloor,\ 3j - \lfloor 3j \rfloor\big) = (0, 0)\]
olur. \((x_{21j})\) sabit dizidir ve \((0, 0)\) noktasına yakınsar.
Başka seçimler. Yalnız \(k_j = 3j\) almak yetmez: birinci bileşen \(0\) olur, ama ikinci bileşen
\[\frac{3j}{7} - \left\lfloor \frac{3j}{7} \right\rfloor\]
sırasıyla \(\dfrac{3}{7}, \dfrac{6}{7}, \dfrac{2}{7}, \dfrac{5}{7}, \dfrac{1}{7}, \dfrac{4}{7}, 0\) değerlerini alır ve bu yedi değeri döngüyle tekrarlar. \(0\) ve \(\dfrac{3}{7}\) değerlerinin her birini sonsuz kez aldığından Sonuç 7.1 gereği yakınsamaz.
Dizinin tamamına bakınca durum daha da açıktır. Bir sayıya tam sayı eklemek kesirli kısmını değiştirmez ve
\[ \begin{aligned} \frac{k + 21}{3} &= \frac{k}{3} + 7, \\[1mm] \frac{k + 21}{7} &= \frac{k}{7} + 3 \end{aligned} \]
olduğundan her \(k\) için \(x_{k+21} = x_k\) olur. Dizi \(21\) adımda bir kendini tekrar eder; görüntü kümesi sonludur ve her noktası sonsuz çoklukta indiste alınır. Bu, Bolzano–Weierstrass teoreminin ispatındaki “\(E\) sonlu” durumudur. Örneğin \(k_j = 21j + 1\) seçimiyle \(\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{7}\right)\) noktasına yakınsayan sabit bir alt dizi daha bulunur. \(\blacksquare\)
Örnek 7.6 (Normu Üstten Sınırlı Bir Dizi) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi ve her \(k \in \mathbb{N}\) için \(\|x_k\| \le 3\) olsun. \((x_k)\) dizisinin yakınsak bir alt dizisi olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Koşul, dizinin \(M = 3\) ile sınırlı olduğunu söyler (Tanım 6.5). Teorem 7.2 gereği sınırlı her dizinin yakınsak bir alt dizisi vardır.
Aynı sonuç olmayana ergiyle de okunabilir. \((x_k)\) dizisinin hiç yakınsak alt dizisi olmasaydı teoremin karşıt tersi gereği dizi sınırsız olurdu; o zaman özel olarak \(M = 3\) için \(\|x_{k_0}\| > 3\) olan bir \(k_0\) bulunurdu. Bu, her \(k\) için \(\|x_k\| \le 3\) olmasıyla çelişir.
Limit hakkında da bir şey söyleyebiliriz. Alt dizi \(a\)’ya yakınsıyorsa üçgen eşitsizliğinden her \(j\) için
\[\|a\| \le \|a - x_{k_j}\| + \|x_{k_j}\| \le \|a - x_{k_j}\| + 3\]
olur. Sağ taraf \(j \to \infty\) iken \(3\)’e gittiğinden limitlerde sıralama (bkz. Analiz 1) gereği \(\|a\| \le 3\) bulunur; limit de \(B[0, 3]\) kapalı yuvarındadır. Bunun genel nedenini bir sonraki başlıkta göreceğiz. Koşul \(\|x_k\| \ge 3\) olsaydı sonuç yanlış olurdu (Alıştırma 7.1). \(\blacksquare\)
7.5 Kapalı Kümelerin Dizilerle Belirlenmesi
Kapalı kümeleri tümleyeni açık olan kümeler olarak tanımlamış (Tanım 3.3) ve yığılma noktalarının hepsini içeren kümeler olarak betimlemiştik (Teorem 3.7). Dizilerle üçüncü bir betimleme veriyoruz: kapalı küme, limit alarak dışına çıkılamayan kümedir. Reel sayılardaki karşılığı için bkz. Analiz 1.
Teorem 7.3 (Kapalı Kümelerin Dizilerle Belirlenmesi) \(F \subseteq \mathbb{R}^n\) olsun. \(F\)’nin kapalı olması için gerek ve yeter koşul şudur: terimleri \(F\)’de olan ve \(\mathbb{R}^n\)’de yakınsak olan her \((x_k)\) dizisinin limiti \(F\)’ye aittir.
İspat
(\(\Rightarrow\)) \(F\) kapalı olsun. \((x_k)\) dizisinin her terimi \(F\)’de olsun ve \(x_k \to a \in \mathbb{R}^n\) olsun. \(a \in F\) olduğunu göstereceğiz. \(a \notin F\) olduğunu varsayalım. O zaman \(a \in F^c\)’dir ve \(F\) kapalı olduğundan \(F^c\) açıktır; dolayısıyla \(B(a, \varepsilon) \subseteq F^c\) olan bir \(\varepsilon > 0\) vardır. \(x_k \to a\) olduğundan bu \(\varepsilon\) için öyle bir \(N\) vardır ki \(k \ge N\) için \(\|x_k - a\| < \varepsilon\), yani
\[x_k \in B(a, \varepsilon) \subseteq F^c \qquad (k \ge N)\]
olur. Oysa her \(k\) için \(x_k \in F\)’dir. Bu çelişki \(a \in F\) olduğunu gösterir.
(\(\Leftarrow\)) Terimleri \(F\)’de olan yakınsak her dizinin limiti \(F\)’de olsun. \(F\)’nin kapalı olmadığını varsayalım. O zaman \(F^c\) açık değildir: öyle bir \(a \in F^c\) noktası vardır ki hiçbir \(r > 0\) için \(B(a, r) \subseteq F^c\) olmaz. Başka bir deyişle her \(r > 0\) için \(B(a, r) \cap F \ne \varnothing\)’dir. Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(r = \dfrac{1}{k}\) alıp
\[x_k \in B\left(a, \frac{1}{k}\right) \cap F\]
olacak biçimde bir nokta seçelim. Terimlerin hepsi \(F\)’dedir ve \(\|x_k - a\| < \dfrac{1}{k}\)’dır. \(\varepsilon > 0\) verildiğinde \(N > \dfrac{1}{\varepsilon}\) alınırsa \(k \ge N\) için
\[\|x_k - a\| < \frac{1}{k} \le \frac{1}{N} < \varepsilon\]
olur; yani \(x_k \to a\). Varsayım gereği \(a \in F\) olmalıdır; bu \(a \in F^c\) olmasıyla çelişir. Demek ki \(F\) kapalıdır. \(\blacksquare\)
Yani kapalı bir kümenin içinde kalarak bir noktaya yaklaşan her dizi, o noktayı da kümenin içinde bulur; kapalı küme limit almaya karşı “kapalıdır”. Teorem iki yönde kullanılır. Bir kümenin kapalı olmadığını göstermek için kümeden kaçan tek bir yakınsak dizi yeter; kapalı olduğunu göstermek için ise kümeden alınan keyfi bir yakınsak dizinin limitinin kümede kaldığı gösterilir.
- Aday noktayı bul. Kümeye ait olmayan ama kümenin noktalarıyla istenildiği kadar yaklaşılabilen bir \(a\) noktası aranır; bu nokta çoğu kez tanımdaki kesin eşitsizliğin eşitliğe dönüştüğü kenar üzerindedir.
- Diziyi kur. Terimleri kümede olan ve \(a\)’ya yakınsayan bir dizi yazılır; örneğin \(a\)’ya \(\tfrac{1}{k}\) adımlarla içeriden yaklaşan noktalar. Teorem 7.3 gereği küme kapalı değildir.
Örnek 7.7 (Bir Kenarı Eksik Dikdörtgen) \[F = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : -1 \le x < 1,\ 0 \le y \le 1\}\]
kümesinin kapalı olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Aday nokta. \(x < 1\) kesin eşitsizliği, \(x = 1\) kenarının \(F\)’ye ait olmadığını gösterir. Bu kenardan \(a = (1, 0)\) noktasını seçelim; \(a \notin F\)’dir.
Dizi. \(x_k = \left(1 - \dfrac{1}{k}, 0\right)\) dizisini alalım. Her \(k\) için \(0 \le 1 - \dfrac{1}{k} < 1\) ve ikinci bileşen \(0 \in [0, 1]\) olduğundan \(x_k \in F\)’dir. Bileşenler \(1 - \dfrac{1}{k} \to 1\) ve \(0 \to 0\) olduğundan Teorem 6.3 gereği \(x_k \to (1, 0)\) olur. Terimleri \(F\)’de olan yakınsak bir dizinin limiti \(F\)’de değildir; Teorem 7.3 gereği \(F\) kapalı değildir.
Örnek 3.14 örneğinde benzer bir kümenin kapalı olmadığını, tümleyeninin açık olmadığını göstererek kanıtlamıştık; bunun için sınırdaki bir noktanın her yuvarında kümeye ait bir nokta bulmak gerekiyordu. Dizilerle aynı iş, tek bir dizi yazmakla biter. \(\blacksquare\)
Teoremin öbür yönüyle bir kümenin kapalı olduğunu da gösterebiliriz; bunun için kümeyi tanımlayan eşitsizlik limite taşınır.
Örnek 7.8 (Parabolün Üstündeki Bölge) \(F = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y \ge x^2\}\) kümesinin kapalı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Terimleri \(F\)’de olan ve \((a, b)\) noktasına yakınsayan bir \(p_k = (x_k, y_k)\) dizisi alalım. Her \(k\) için \(y_k \ge x_k^2\)’dir. Teorem 6.3 gereği \(x_k \to a\) ve \(y_k \to b\) olur. Reel dizilerde limit çarpma ve çıkarmayla uyumlu olduğundan (bkz. Analiz 1) \(x_k^2 \to a^2\) ve \(y_k - x_k^2 \to b - a^2\) bulunur. Her \(k\) için \(y_k - x_k^2 \ge 0\) olduğundan limitlerde sıralama (bkz. Analiz 1) gereği \(b - a^2 \ge 0\), yani \((a, b) \in F\) olur. Yakınsak her dizinin limiti \(F\)’de kaldığından Teorem 7.3 gereği \(F\) kapalıdır.
Eşitsizliğin kesin olmaması burada kilit rol oynar. \(\{(x, y) : y > x^2\}\) kümesi için aynı akıl yürütme çalışmaz, çünkü limit almak kesin eşitsizliği korumaz. Nitekim \(\left(0, \dfrac{1}{k}\right)\) noktaları \(y > x^2\) koşulunu sağlar ama limitleri olan \((0, 0)\) noktası sağlamaz; dolayısıyla bu küme kapalı değildir. \(\blacksquare\)
7.6 Dizisel Kompaktlık
Kompakt kümeleri açık örtülerle tanımlamış (Tanım 5.2) ve Heine–Borel teoremiyle bunların tam olarak kapalı ve sınırlı kümeler olduğunu görmüştük (Teorem 5.5). Bolzano–Weierstrass teoremi ile kapalı kümelerin dizisel betimlemesi birleşince kompaktlığın dizilerle bir betimlemesi ortaya çıkar.
Teorem 7.4 (Dizisel Kompaktlık Teoremi) \(K \subseteq \mathbb{R}^n\) olsun. \(K\)’nın kompakt olması için gerek ve yeter koşul, terimleri \(K\)’da olan her dizinin, limiti \(K\)’da olan yakınsak bir alt dizisinin bulunmasıdır.
İspat
(\(\Rightarrow\)) \(K\) kompakt olsun ve \((x_k)\), terimleri \(K\)’da olan bir dizi olsun. Heine–Borel teoremi (Teorem 5.5) gereği \(K\) kapalı ve sınırlıdır: her \(x \in K\) için \(\|x\| \le M\) olan bir \(M\) vardır. Terimler \(K\)’da olduğundan \((x_k)\) dizisi de sınırlıdır. Teorem 7.2 gereği yakınsak bir \((x_{k_j})\) alt dizisi vardır; limitine \(a\) diyelim. Alt dizinin terimleri \(K\)’dadır ve \(K\) kapalıdır; Teorem 7.3 gereği \(a \in K\) olur.
(\(\Leftarrow\)) Terimleri \(K\)’da olan her dizinin, limiti \(K\)’da olan yakınsak bir alt dizisi olsun. Heine–Borel teoremi gereği \(K\)’nın sınırlı ve kapalı olduğunu göstermek yeter.
\(K\) sınırlıdır. Sınırlı olmadığını varsayalım. O zaman hiçbir \(M > 0\) için \(K\)’nın bütün noktaları \(\|x\| \le M\) eşitsizliğini sağlamaz; özel olarak her \(k \in \mathbb{N}\) için \(\|x_k\| > k\) olan bir \(x_k \in K\) vardır. Bu dizinin herhangi bir \((x_{k_j})\) alt dizisi için \(\|x_{k_j}\| > k_j \ge j\) olur; yani her alt dizi sınırsızdır. Yakınsak diziler sınırlı olduğundan (Teorem 6.2) hiçbir alt dizi yakınsak değildir. Bu, varsayımla çelişir.
\(K\) kapalıdır. Kapalı olmadığını varsayalım. Teorem 7.3 gereği terimleri \(K\)’da olan ve \(K\)’ya ait olmayan bir \(a\) noktasına yakınsayan bir \((x_k)\) dizisi vardır. Varsayım gereği bu dizinin, bir \(b \in K\) noktasına yakınsayan bir alt dizisi vardır. Oysa Teorem 7.1 gereği bu alt dizi \(a\)’ya da yakınsar ve limitin tekliğinden (Teorem 6.1) \(b = a\) bulunur. \(b \in K\) ve \(a \notin K\) olduğundan bu bir çelişkidir.
\(K\) sınırlı ve kapalı olduğundan Teorem 5.5 gereği kompakttır. \(\blacksquare\)
Yani \(\mathbb{R}^n\)’de kompaktlık üç denk biçimde ifade edilebilir: kümenin her açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü vardır; küme kapalı ve sınırlıdır; kümedeki her dizinin, limiti kümede olan yakınsak bir alt dizisi vardır. Son özelliğe dizisel kompaktlık denir. Uygulamada dizisel biçim çoğu kez en kullanışlısıdır: kompakt bir kümede bir dizinin “gidebileceği bir yer” her zaman vardır. Reel sayılardaki karşılığı için bkz. Analiz 1.
Koşuldaki “limiti \(K\)’da olan” ifadesi atılamaz. \(K = (0, 1]\) aralığında \(\left(\dfrac{1}{k}\right)\) dizisinin her alt dizisi \(\mathbb{R}\)’de yakınsaktır, ama limit olan \(0\) aralığa ait değildir; nitekim \((0, 1]\) kapalı olmadığından kompakt değildir.
Örnek 7.9 (Yakınsak Bir Dizi ile Limitinin Kümesi) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi ve \(\lim_{k \to \infty} x_k = x_0\) olsun.
\[K = \{x_k : k \in \mathbb{N}\} \cup \{x_0\}\]
kümesinin kompakt olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Teorem 7.4 koşulunu doğrulayalım. Terimleri \(K\)’da olan keyfi bir \((y_j)_{j \in \mathbb{N}}\) dizisi alalım; limiti \(K\)’da olan yakınsak bir alt dizisini bulmalıyız. İki durum vardır.
Bir nokta sonsuz kez tekrarlanıyorsa. Bir \(p \in K\) için \(\{j \in \mathbb{N} : y_j = p\}\) indis kümesi sonsuzsa bu indislerle alınan alt dizi sabit \(p\) dizisidir ve \(p \in K\) noktasına yakınsar.
Hiçbir nokta sonsuz kez tekrarlanmıyorsa. Bu durumda \((y_j)\) dizisinin kendisinin \(x_0\)’a yakınsadığını gösterelim. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(x_k \to x_0\) olduğundan \(k \ge N\) için \(\|x_k - x_0\| < \varepsilon\) olan bir \(N\) vardır. \(x_0\) da \(B(x_0, \varepsilon)\) yuvarındadır; demek ki \(K\)’nın bu yuvarın dışında kalan noktaları \(x_1, \dots, x_{N-1}\) arasındadır ve sonlu tanedir (\(N = 1\) ise hiç yoktur). Bu noktaların her biri \((y_j)\) dizisinde yalnız sonlu kez geçtiğinden
\[J = \{j \in \mathbb{N} : \|y_j - x_0\| \ge \varepsilon\}\]
kümesi sonlu tane sonlu kümenin birleşimidir, dolayısıyla sonludur. \(J\)’nin bütün elemanlarından büyük bir \(j_0\) seçersek (\(J\) boşsa \(j_0 = 1\)) \(j \ge j_0\) için \(\|y_j - x_0\| < \varepsilon\) olur. Yani \(y_j \to x_0\) ve \(x_0 \in K\)’dır; aranan alt dizi dizinin kendisidir.
İki durumda da istenen alt dizi bulunduğundan Teorem 7.4 gereği \(K\) kompakttır. Aynı sonucun açık örtü tanımıyla doğrudan ispatı Alıştırma 6.14 çözümündedir. \(\blacksquare\)
Özel olarak \(K\) kapalıdır (Teorem 5.2) ve sınırlıdır (Teorem 5.1). \(x_0\) noktasının kümeye katılması önemlidir: \(x_k = \dfrac{1}{k}\,e_1\) için \(\{x_k : k \in \mathbb{N}\}\) kümesi kapalı değildir, çünkü terimleri bu kümede olan \((x_k)\) dizisi kümeye ait olmayan \(0\) noktasına yakınsar.
7.7 Cauchy Dizileri
Yakınsaklık tanımı limiti önceden bilmeyi gerektirir. Cauchy koşulu ise yalnız terimlerin birbirine olan uzaklıklarına bakar; \(\mathbb{R}^n\)’de bu iki koşulun aynı olduğunu göreceğiz.
Tanım 7.3 (Cauchy Dizisi) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(N \in \mathbb{N}\) varsa ki \(k, m \ge N\) olan her \(k, m\) için
\[\|x_k - x_m\| < \varepsilon\]
olsun, \((x_k)\) dizisine bir Cauchy dizisi denir.
Yani Cauchy dizisinin terimleri bir yerden sonra birbirine istenildiği kadar yakındır. Koşul yalnız ardışık terimler için değil, \(N\)’den sonraki bütün terim çiftleri için aranır; limit ise koşulda hiç geçmez. \(n = 1\) için bu, reel sayılardaki Cauchy dizisi tanımıdır (bkz. Analiz 1).
Örnek 7.10 (İçe Dönen Bir Sarmal) \(x_k = \left(\dfrac{\cos k}{k}, \dfrac{\sin k}{k}\right)\) dizisinin Cauchy dizisi olduğunu tanımla gösteriniz.
Çözüm
\(\cos^2 k + \sin^2 k = 1\) olduğundan
\[\|x_k\| = \sqrt{\frac{\cos^2 k + \sin^2 k}{k^2}} = \frac{1}{k}\]
olur. \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(N > \dfrac{2}{\varepsilon}\) olan bir \(N \in \mathbb{N}\) seçelim. \(k, m \ge N\) için üçgen eşitsizliği (Teorem 1.2) ve \(\|-x_m\| = \|x_m\|\) eşitliği gereği
\[\|x_k - x_m\| \le \|x_k\| + \|x_m\| = \frac{1}{k} + \frac{1}{m} \le \frac{2}{N} < \varepsilon\]
olur. Dizi bir Cauchy dizisidir. Terimler, başlangıç noktası çevresinde dönerken ona yaklaşan bir sarmal üzerinde durur; \(\|x_k\| = \dfrac{1}{k} \to 0\) olduğundan limit \(0\)’dır. \(\blacksquare\)
Cauchy dizilerinin ilk özelliği, yakınsak diziler gibi sınırlı olmalarıdır.
Teorem 7.5 (Cauchy Dizisi Sınırlıdır) \(\mathbb{R}^n\)’deki her Cauchy dizisi sınırlıdır.
İspat
\((x_k)\) bir Cauchy dizisi olsun. Tanımı \(\varepsilon = 1\) için uygulayalım: öyle bir \(N\) vardır ki \(k, m \ge N\) için \(\|x_k - x_m\| < 1\) olur. \(m = N\) alırsak \(k \ge N\) için üçgen eşitsizliğiyle
\[\|x_k\| \le \|x_k - x_N\| + \|x_N\| < 1 + \|x_N\|\]
bulunur. Geriye sonlu tane terim kalır.
\[M = \max\big\{\|x_1\|, \dots, \|x_{N-1}\|,\ 1 + \|x_N\|\big\}\]
diyelim (\(N = 1\) ise listede yalnız \(1 + \|x_1\|\) vardır). \(k < N\) için \(\|x_k\| \le M\) eşitsizliği \(M\)’nin tanımından, \(k \ge N\) için de yukarıdaki eşitsizlikten çıkar. Demek ki her \(k\) için \(\|x_k\| \le M\)’dir ve dizi sınırlıdır (Tanım 6.5). \(\blacksquare\)
Bölümün son büyük teoremi, Cauchy dizileriyle yakınsak dizilerin \(\mathbb{R}^n\)’de aynı olduğunu söyler.
Teorem 7.6 (Cauchy Ölçütü) \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul, Cauchy dizisi olmasıdır.
İspat
(\(\Rightarrow\)) \(x_k \to a\) olsun ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. Yakınsaklık tanımını \(\dfrac{\varepsilon}{2}\) için uygulayalım: \(k \ge N\) için \(\|x_k - a\| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olan bir \(N\) vardır. \(k, m \ge N\) için
\[\|x_k - x_m\| \le \|x_k - a\| + \|a - x_m\| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\]
olur. \((x_k)\) bir Cauchy dizisidir.
(\(\Leftarrow\)) \((x_k)\) bir Cauchy dizisi olsun. Teorem 7.5 gereği sınırlıdır; Teorem 7.2 gereği yakınsak bir \((x_{k_j})\) alt dizisi vardır. Limitine \(a\) diyelim. Dizinin tamamının \(a\)’ya yakınsadığını gösterelim. \(\varepsilon > 0\) verilsin.
- Cauchy koşulundan, \(k, m \ge N_1\) için \(\|x_k - x_m\| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olan bir \(N_1\) vardır.
- Alt dizinin yakınsaklığından, \(j \ge N_2\) için \(\|x_{k_j} - a\| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olan bir \(N_2\) vardır.
\(N = \max\{N_1, N_2\}\) alalım ve \(k \ge N\) olsun. Alt dizinin \(N\)-inci terimini ara nokta olarak kullanacağız. \(N \ge N_2\) olduğundan \(\|x_{k_N} - a\| < \dfrac{\varepsilon}{2}\)’dir. Ayrıca \(k_N \ge N \ge N_1\) ve \(k \ge N_1\) olduğundan \(\|x_k - x_{k_N}\| < \dfrac{\varepsilon}{2}\)’dir. Üçgen eşitsizliğiyle
\[\|x_k - a\| \le \|x_k - x_{k_N}\| + \|x_{k_N} - a\| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\]
olur. Yani \(x_k \to a\). \(\blacksquare\)
Cauchy ölçütünün (\(\Leftarrow\)) yönü \(\mathbb{R}^n\)’nin önemli bir özelliğini dile getirir: Cauchy dizilerinin limiti uzayın içindedir. Her Cauchy dizisinin yakınsak olduğu uzaylara tam uzay denir; teorem, \(\mathbb{R}^n\)’nin tam olduğunu söyler. Reel sayılardaki tam küme kavramı (bkz. Analiz 1) \(\mathbb{R}^n\)’nin alt kümelerine aynen taşınır. Yakınsak her dizinin Cauchy olması her yerde geçerlidir, ama tersi, dizinin “gitmek istediği” noktanın ele alınan kümede bulunmasına bağlıdır. Örneğin \(B(0, 1)\) açık yuvarında \(x_k = \left(1 - \dfrac{1}{k}\right) e_1\) dizisini düşünelim. Terimler yuvardadır ve dizi \(\mathbb{R}^n\)’de \(e_1\)’e yakınsadığı için bir Cauchy dizisidir; ama \(\|e_1\| = 1\) olduğundan limit yuvara ait değildir. Açık yuvar tam değildir; \(\mathbb{R}^n\)’nin kendisi ise tamdır.
Yakınsaklık gibi Cauchy koşulu da bileşenlere ayrılır.
Önerme 7.2 (Cauchy Koşulu Bileşenlerle) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi olsun. \((x_k)\) dizisinin Cauchy dizisi olması için gerek ve yeter koşul, her \(i = 1, \dots, n\) için \(\big(x_k^{(i)}\big)_{k \in \mathbb{N}}\) bileşen dizisinin \(\mathbb{R}\)’de bir Cauchy dizisi olmasıdır.
İspat
Her \(y = (y_1, \dots, y_n) \in \mathbb{R}^n\) ve her \(i\) için
\[|y_i| \le \|y\| \le \sum_{l=1}^{n} |y_l|\]
eşitsizlikleri geçerlidir (ℝⁿ’de Diziler ve Yakınsaklık bölümündeki (1) eşitsizliği). Bu eşitsizlikleri \(y = x_k - x_m\) vektörüne uygulayacağız; bu vektörün \(i\)-inci bileşeni \(x_k^{(i)} - x_m^{(i)}\)’dir.
(\(\Rightarrow\)) \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(k, m \ge N\) için \(\|x_k - x_m\| < \varepsilon\) olan bir \(N\) vardır. Bu \(k, m\) için her \(i\) bileşeninde
\[\big|x_k^{(i)} - x_m^{(i)}\big| \le \|x_k - x_m\| < \varepsilon\]
olur; her bileşen dizisi Cauchy dizisidir.
(\(\Leftarrow\)) \(\varepsilon > 0\) verilsin. Her \(i\) için, \(k, m \ge N_i\) olduğunda \(\big|x_k^{(i)} - x_m^{(i)}\big| < \dfrac{\varepsilon}{n}\) olacak biçimde bir \(N_i\) vardır. \(N = \max\{N_1, \dots, N_n\}\) alalım. \(k, m \ge N\) için
\[\|x_k - x_m\| \le \sum_{i=1}^{n} \big|x_k^{(i)} - x_m^{(i)}\big| < n \cdot \frac{\varepsilon}{n} = \varepsilon\]
olur; \((x_k)\) bir Cauchy dizisidir. \(\blacksquare\)
Bu önerme Cauchy ölçütüne ikinci bir yol açar. \((x_k)\) bir Cauchy dizisiyse bileşen dizileri reel Cauchy dizileridir; reel sayılarda her Cauchy dizisi yakınsak olduğundan (bkz. Analiz 1) her bileşen dizisi yakınsar ve Teorem 6.3 gereği \((x_k)\) yakınsar. Kısacası \(\mathbb{R}^n\)’nin tamlığı, \(\mathbb{R}\)’nin tamlığından bileşen bileşen elde edilir.
Cauchy ölçütünün asıl gücü, limiti hesaplanamayan dizilerde ortaya çıkar.
Örnek 7.11 (Limiti Bilinmeyen Yakınsak Bir Dizi) \(\mathbb{R}^2\)’de
\[x_k = \sum_{l=1}^{k} \frac{1}{l^2}\,(\cos l, \sin l)\]
dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Dizinin limitini hesaplamak kolay değildir; bu yüzden Cauchy ölçütünü kullanalım. \(m > k\) olsun. Fark, \(k\)-ıncı terimden sonraki toplananların toplamıdır:
\[x_m - x_k = \sum_{l=k+1}^{m} \frac{1}{l^2}\,(\cos l, \sin l).\]
Üçgen eşitsizliği tümevarımla sonlu toplamlara genişler ve \(\|(\cos l, \sin l)\| = 1\)’dir. Dolayısıyla
\[\|x_m - x_k\| \le \sum_{l=k+1}^{m} \frac{1}{l^2}\,\|(\cos l, \sin l)\| = \sum_{l=k+1}^{m} \frac{1}{l^2}\]
olur. \(l \ge 2\) için \(\dfrac{1}{l^2} < \dfrac{1}{l(l-1)} = \dfrac{1}{l-1} - \dfrac{1}{l}\) olduğundan toplam teleskopik bir toplamla sınırlanır:
\[\sum_{l=k+1}^{m} \frac{1}{l^2} < \sum_{l=k+1}^{m} \left(\frac{1}{l-1} - \frac{1}{l}\right) = \frac{1}{k} - \frac{1}{m} < \frac{1}{k}.\]
\(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(N > \dfrac{1}{\varepsilon}\) seçilsin. \(m > k \ge N\) için
\[\|x_m - x_k\| < \frac{1}{k} \le \frac{1}{N} < \varepsilon\]
olur; \(m = k\) için fark \(0\)’dır ve \(k\) ile \(m\)’nin rolleri simetriktir. Dizi Cauchy dizisidir ve Teorem 7.6 gereği yakınsaktır. Limitin kapalı bir formülünü bilmeden yakınsaklığı elde ettik. \(\blacksquare\)
Örnek 7.12 (Cauchy Olmayan Bir Dizi) \(x_k = \left((-1)^k, \dfrac{1}{k}\right)\) dizisinin Cauchy dizisi olmadığını, dolayısıyla ıraksak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Cauchy koşulunun olumsuzu şudur: öyle bir \(\varepsilon_0 > 0\) vardır ki her \(N\) için \(\|x_k - x_m\| \ge \varepsilon_0\) olan \(k, m \ge N\) indisleri bulunur. \(\varepsilon_0 = 2\) alalım. \(N\) ne olursa olsun \(k = N\) ve \(m = N + 1\) için birinci bileşenler \((-1)^N\) ve \((-1)^{N+1} = -(-1)^N\) olduğundan, bir vektörün normu bileşeninin mutlak değerinden küçük olamayacağı için
\[\|x_N - x_{N+1}\| \ge \big|(-1)^N - (-1)^{N+1}\big| = 2\]
olur. Dizi Cauchy dizisi değildir ve Teorem 7.6 gereği yakınsak değildir. Aynı sonuca Sonuç 7.1 ile de varılır: çift ve tek indisli alt diziler \((1, 0)\) ve \((-1, 0)\) noktalarına yakınsar. \(\blacksquare\)
7.8 Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmalarda alt diziler, Bolzano–Weierstrass teoremi, kapalılığın ve kompaktlığın dizisel betimlemeleri ve Cauchy ölçütü birlikte kullanılıyor.
Alıştırma 7.1 (Normu Alttan Sınırlı Diziler) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi ve her \(k\) için \(\|x_k\| \ge 3\) olsun. \((x_k)\) dizisinin yakınsak bir alt dizisi olmak zorunda mıdır?
Çözüm
Hayır. \(x_k = (k + 2)\,e_1 = (k + 2, 0, \dots, 0)\) dizisini alalım. Her \(k\) için \(\|x_k\| = k + 2 \ge 3\) olduğundan koşul sağlanır.
Herhangi bir \((x_{k_j})\) alt dizisi için \(k_j \ge j\) olduğundan
\[\|x_{k_j}\| = k_j + 2 \ge j + 2\]
olur; yani her alt dizi sınırsızdır. Yakınsak diziler sınırlı olduğundan (Teorem 6.2) bu dizinin hiçbir alt dizisi yakınsak değildir.
\(\|x_k\| \ge 3\) koşulu terimleri \(B(0, 3)\) yuvarının dışında tutar, ama sonsuza gitmelerini engellemez. Bu koşulu sağlayan bazı dizilerin yakınsak alt dizisi vardır (örneğin sabit \(3e_1\) dizisi), ama bu garanti değildir. Yakınsak bir alt diziyi garanti eden, Örnek 7.6 örneğindeki gibi bir üst sınırdır. \(\blacksquare\)
Alıştırma 7.2 (Tek Yığılma Noktası Yakınsaklık İçin Yetmez) Yakınsak bir dizinin tek yığılma noktası vardır. Tek yığılma noktası olan ama ıraksak olan bir dizi örneği veriniz.
Çözüm
Örnek. \(\mathbb{R}^2\)’de
\[x_k = \begin{cases} (k, 0), & k \text{ çift ise}, \\[1mm] \left(\dfrac{1}{k}, 0\right), & k \text{ tek ise} \end{cases}\]
dizisini alalım. Tek yığılma noktasının \((0, 0)\) olduğunu ve dizinin ıraksak olduğunu göstereceğiz.
Iraksaklık. \(\|x_{2j}\| = 2j\) olduğundan dizi sınırsızdır; yakınsak diziler sınırlı olduğundan (Teorem 6.2) ıraksaktır.
\((0, 0)\) bir yığılma noktasıdır. Tek indisli alt dizi \(x_{2j-1} = \left(\dfrac{1}{2j-1}, 0\right)\) olur ve \((0, 0)\) noktasına yakınsar.
Başka yığılma noktası yoktur. \((x_{k_j})\) alt dizisi bir \(b\) noktasına yakınsasın. Yakınsak olduğu için sınırlıdır: her \(j\) için \(\|x_{k_j}\| \le M\) olan bir \(M\) vardır. \(k_j\) çiftse \(\|x_{k_j}\| = k_j \le M\) olmalıdır. \(k_j\) indisleri birbirinden farklı doğal sayılar olduğundan \(M\)’yi aşmayan çift \(k_j\) sayısı sonludur. Demek ki bir \(j_0\)’dan sonra bütün \(k_j\) indisleri tektir ve \(j \ge j_0\) için
\[\|x_{k_j} - (0, 0)\| = \frac{1}{k_j} \le \frac{1}{j}\]
olur. Buradan \(j \ge j_0\) indisleriyle alınan kuyruğun \((0, 0)\) noktasına yakınsadığı çıkar. Bu kuyruk, \(b\)’ye yakınsayan dizinin bir alt dizisi olduğundan Teorem 7.1 gereği \(b\)’ye de yakınsar; limitin tekliğinden (Teorem 6.1) \(b = (0, 0)\) bulunur.
Dizinin tek yığılma noktası vardır ama dizi ıraksaktır. Tek yığılma noktası, dizi ancak sınırlıysa yakınsaklığı garanti eder (Alıştırma 7.3). \(\blacksquare\)
Alıştırma 7.3 (Sınırlı ve Tek Yığılma Noktalı Dizi) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de sınırlı bir dizi olsun ve tek yığılma noktası \(a\) olsun. \(x_k \to a\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(x_k \to a\) olmadığını varsayalım. Yakınsaklık tanımının olumsuzu gereği öyle bir \(\varepsilon_0 > 0\) vardır ki her \(N\) için \(\|x_k - a\| \ge \varepsilon_0\) olan bir \(k \ge N\) bulunur. Dolayısıyla
\[I = \{k \in \mathbb{N} : \|x_k - a\| \ge \varepsilon_0\}\]
indis kümesi üstten sınırlı değildir, yani sonsuzdur.
\(I\) boyunca alınan alt dizi, sınırlı bir dizinin terimlerinden oluştuğu için sınırlıdır. Teorem 7.2 gereği bu alt dizinin, sonsuz bir \(J \subseteq I\) indis kümesi boyunca alınan yakınsak bir alt dizisi vardır; limitine \(b\) diyelim. Alt dizinin alt dizisi ana dizinin de alt dizisi olduğundan \(b\), \((x_k)\) dizisinin bir yığılma noktasıdır. Tek yığılma noktası \(a\) olduğundan \(b = a\)’dır.
Öte yandan \(J\) boyunca alınan dizi \(a\)’ya yakınsadığından, \(J\)’nin yeterince büyük her \(k\) elemanı için \(\|x_k - a\| < \varepsilon_0\) olur. Oysa \(J \subseteq I\) olduğundan her \(k \in J\) için \(\|x_k - a\| \ge \varepsilon_0\)’dır. Bu çelişki \(x_k \to a\) olduğunu gösterir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 7.4 (Yuvar Yüzeyi Dizilerle Kapalıdır) \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) ve \(r > 0\) olsun. \(S(x_0, r) = \{x \in \mathbb{R}^n : \|x - x_0\| = r\}\) yuvar yüzeyinin kapalı olduğunu Teorem 7.3 yardımıyla gösteriniz.
Çözüm
Terimleri \(S(x_0, r)\) kümesinde olan ve bir \(a \in \mathbb{R}^n\) noktasına yakınsayan bir \((x_k)\) dizisi alalım; \(a \in S(x_0, r)\) olduğunu göstereceğiz.
Ters üçgen eşitsizliği (Sonuç 1.2) gereği her \(k\) için
\[\big|\, \|x_k - x_0\| - \|a - x_0\| \,\big| \le \|(x_k - x_0) - (a - x_0)\| = \|x_k - a\|\]
olur. \(x_k \to a\) olduğundan sağ taraf \(0\)’a gider; sıkıştırma ile \(\|x_k - x_0\| \to \|a - x_0\|\) bulunur. Öte yandan terimler yuvar yüzeyinde olduğundan her \(k\) için \(\|x_k - x_0\| = r\)’dir; yani \(\big(\|x_k - x_0\|\big)\) sabit \(r\) dizisidir ve \(r\)’ye yakınsar. Reel dizilerde limit tek olduğundan \(\|a - x_0\| = r\), yani \(a \in S(x_0, r)\) olur.
Yakınsak her dizinin limiti kümede kaldığından Teorem 7.3 gereği \(S(x_0, r)\) kapalıdır. Aynı akıl yürütme, \(\|x_k - x_0\| \le r\) eşitsizliğine limitlerde sıralama uygulanarak \(B[x_0, r]\) kapalı yuvarının kapalı olduğunu (Sonuç 3.1) da dizilerle yeniden gösterir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 7.5 (Aralıktaki Rasyonel Sayılar) \(A = [0, 1] \cap \mathbb{Q}\) kümesinin kompakt olup olmadığını dizilerle araştırınız.
Çözüm
\(A\) kompakt değildir. Terimleri \(A\)’da olan ve \(A\)’ya ait olmayan bir noktaya yakınsayan bir dizi kuracağız.
Limit noktası. \(a = \sqrt{2} - 1\) olsun. \(1 < \sqrt{2} < 2\) olduğundan \(0 < a < 1\)’dir. \(a\) irrasyoneldir: rasyonel olsaydı \(\sqrt{2} = a + 1\) de rasyonel olurdu (bkz. Analiz 1). Dolayısıyla \(a \notin A\)’dır.
Dizi. \(a\)’nın ondalık açılımını \(k\) basamakta keselim:
\[q_k = \frac{\lfloor 10^k a \rfloor}{10^k}.\]
\(q_k\) iki tam sayının oranı olduğundan rasyoneldir. Taban fonksiyonunun tanımından \(10^k a - 1 < \lfloor 10^k a \rfloor \le 10^k a\) olduğundan
\[a - \frac{1}{10^k} < q_k \le a\]
bulunur. \(10^k a > 0\) olduğundan \(\lfloor 10^k a \rfloor \ge 0\), yani \(q_k \ge 0\)’dır; ayrıca \(q_k \le a < 1\)’dir. Demek ki her \(k\) için \(q_k \in A\)’dır. \(10^k > k\) olduğundan \(|q_k - a| < \dfrac{1}{10^k} < \dfrac{1}{k}\) olur ve \(q_k \to a\) bulunur.
Sonuç. Teorem 7.1 gereği \((q_k)\) dizisinin her alt dizisi \(a\)’ya yakınsar ve limit tek olduğundan hiçbir alt dizi \(A\)’nın bir noktasına yakınsamaz. Teorem 7.4 gereği \(A\) kompakt değildir. \(A\) sınırlıdır; kompaktlığı bozan, kapalı olmamasıdır (Teorem 7.3). \(\blacksquare\)
Alıştırma 7.6 (Düşey Bir Şerit) \[A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le x \le 1\}\]
kümesinin kompakt olup olmadığını dizilerle araştırınız.
Çözüm
\(A\) kompakt değildir. \(p_k = (0, k)\) dizisini alalım; \(0 \le 0 \le 1\) olduğundan her terim \(A\)’dadır. Herhangi bir \((p_{k_j})\) alt dizisi için
\[\|p_{k_j}\| = k_j \ge j\]
olduğundan her alt dizi sınırsızdır; yakınsak diziler sınırlı olduğundan (Teorem 6.2) hiçbir alt dizi yakınsak değildir. Teorem 7.4 gereği \(A\) kompakt değildir.
Burada kompaktlığı bozan, sınırlı olmamaktır. \(A\) kapalıdır: terimleri \(A\)’da olan bir \((x_k, y_k)\) dizisi \((a, b)\)’ye yakınsıyorsa her \(k\) için \(0 \le x_k \le 1\) ve \(x_k \to a\) olduğundan limitlerde sıralama gereği \(0 \le a \le 1\), yani \((a, b) \in A\) olur. \(\blacksquare\)
Alıştırma 7.7 (Hiperbol ile Çemberin Arasındaki Bölge) \[A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : xy \ge 1\} \cap \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 < 5\}\]
kümesinin kompakt olup olmadığını dizilerle araştırınız.
Çözüm
\(A\) kompakt değildir.
Aday nokta. \(x^2 + y^2 < 5\) kesin eşitsizliği, \(x^2 + y^2 = 5\) çemberinin \(A\)’ya ait olmadığını gösterir. Çember üzerinde \(xy \ge 1\) koşulunu sağlayan bir nokta arayalım: \((1, 2)\) için \(1 \cdot 2 = 2 \ge 1\) ve \(1^2 + 2^2 = 5\)’tir. Demek ki \((1, 2) \notin A\)’dır.
Dizi. \(p_k = \left(1, 2 - \dfrac{1}{k}\right)\) dizisini alalım. Her \(k\) için \(1 \le 2 - \dfrac{1}{k} < 2\) olduğundan
\[ \begin{aligned} 1 \cdot \left(2 - \frac{1}{k}\right) &\ge 1, \\[1mm] 1 + \left(2 - \frac{1}{k}\right)^2 &< 1 + 4 = 5 \end{aligned} \]
olur; yani her terim \(A\)’dadır. Teorem 6.3 gereği \(p_k \to (1, 2)\) bulunur.
Sonuç. Teorem 7.1 gereği \((p_k)\) dizisinin her alt dizisi \((1, 2)\) noktasına yakınsar; limit tek olduğundan hiçbir alt dizi \(A\)’nın bir noktasına yakınsamaz. Teorem 7.4 gereği \(A\) kompakt değildir. \(A\) sınırlıdır (her noktası için \(\|(x, y)\| < \sqrt{5}\)); kompaktlığı bozan, kapalı olmamasıdır. \(\blacksquare\)
Alıştırma 7.8 (Ardışık Terimleri Yaklaşan Ama Cauchy Olmayan Dizi) \(x_k = \left(\sqrt{k}, \dfrac{(-1)^k}{k}\right)\) dizisinde ardışık terimler arasındaki uzaklığın \(0\)’a gittiğini, buna karşın dizinin Cauchy dizisi olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Ardışık terimler. Birinci bileşende eşleniğiyle çarparak
\[\sqrt{k+1} - \sqrt{k} = \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} < \frac{1}{2\sqrt{k}}\]
buluruz. İkinci bileşende
\[\left|\frac{(-1)^{k+1}}{k+1} - \frac{(-1)^k}{k}\right| \le \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k} < \frac{2}{k}\]
olur. \(\|y\| \le |y_1| + |y_2|\) eşitsizliğinden (Önerme 7.2 ispatındaki eşitsizlik)
\[\|x_{k+1} - x_k\| < \frac{1}{2\sqrt{k}} + \frac{2}{k}\]
elde edilir. Sağ taraf \(0\)’a gittiğinden sıkıştırma ile \(\|x_{k+1} - x_k\| \to 0\) olur.
Cauchy değildir. \(\|x_k\| \ge \sqrt{k}\) olduğundan dizi sınırsızdır: her \(M > 0\) için \(k > M^2\) olduğunda \(\|x_k\| > M\) olur. Teorem 7.5 gereği Cauchy dizileri sınırlı olduğundan \((x_k)\) bir Cauchy dizisi değildir. Olumsuz koşulu doğrudan da görebiliriz: her \(N\) için \(k = N\) ve \(m = 4N\) alınırsa
\[\|x_{4N} - x_N\| \ge \sqrt{4N} - \sqrt{N} = \sqrt{N} \ge 1\]
olur; \(\varepsilon_0 = 1\) için Cauchy koşulu bozulur.
Cauchy koşulu yalnız ardışık terimlere değil, \(N\)’den sonraki bütün terim çiftlerine bakar; ardışık farkların küçülmesi yetmez. \(\blacksquare\)
Alıştırma 7.9 (Farkları Geometrik Olarak Küçülen Dizi) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi ve her \(k\) için \(\|x_{k+1} - x_k\| \le \dfrac{1}{2^k}\) olsun. \((x_k)\) dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösterip Teorem 7.6 ile sonuca varacağız.
Fark tahmini. \(m > k\) olsun. \(x_m - x_k\) farkını ardışık farkların toplamı olarak yazalım (toplam açılınca ara terimler sadeleşir):
\[x_m - x_k = \sum_{l=k}^{m-1} (x_{l+1} - x_l).\]
Üçgen eşitsizliği ve geometrik toplam formülüyle
\[ \begin{aligned} \|x_m - x_k\| &\le \sum_{l=k}^{m-1} \frac{1}{2^l} = \frac{1}{2^k} \cdot \frac{1 - \frac{1}{2^{m-k}}}{1 - \frac{1}{2}} \\[1mm] &= \frac{2}{2^k} - \frac{2}{2^m} < \frac{2}{2^k} \end{aligned} \]
elde edilir.
Cauchy koşulu. \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(N > \dfrac{2}{\varepsilon}\) seçilsin. Tümevarımla her \(N\) için \(2^N > N\) olduğundan \(m > k \ge N\) için
\[\|x_m - x_k\| < \frac{2}{2^k} \le \frac{2}{2^N} < \frac{2}{N} < \varepsilon\]
olur; \(m = k\) için fark \(0\)’dır. \((x_k)\) bir Cauchy dizisidir ve Teorem 7.6 gereği yakınsaktır. Aynı tahmin reel dizilerde de kullanılır (bkz. Analiz 1); \(\mathbb{R}^n\)’de yalnız mutlak değerin yerini norm alır. \(\blacksquare\)
Bu bölümle birlikte \(\mathbb{R}^n\)’deki dizilerin temel araçları tamamlandı: alt diziler, Bolzano–Weierstrass teoremi, kapalı ve kompakt kümelerin dizisel betimlemeleri ve Cauchy ölçütü. Çok Değişkenli Fonksiyonlar ve Limit bölümünde bu araçları fonksiyonlara uyguluyoruz: çok değişkenli bir fonksiyonun limitini tanımlayacak ve limitin varlığını dizilerle nasıl sınayabileceğimizi göreceğiz.