21 Uygulamalı Özet
Bu sayfa kitabın yöntemlerini ispatsız, soru çözmeye dönük bir kopya kâğıdı olarak toplar. Uygulama sorularının çoğu “düzgün yakınsak mıdır?”, “terim terime türevlenebilir mi?”, “Fourier serisini bulunuz ve şu toplamı hesaplayınız”, “integral yakınsak mıdır?”, “Gamma fonksiyonuyla yazınız” ya da “Leibniz formülüyle türevini bulunuz” biçimindedir. Sayfa her soru tipi için adım adım bir algoritma, sık kullanılan ölçütleri ve formülleri bir arada gösteren tablolar ve kısa ama tam çözülmüş örnekler verir. En ayrıntılı algoritmalar en çok karşılaşılan üç tipe ayrıldı: genelleştirilmiş integralin yakınsaklığı, Fourier serisinin hesabı ve toplamı, parametreye bağlı integralin türevi. Her kural, ayrıntısının ve gerekçesinin bulunduğu bölüme bağlanır.
21.1 Soru Tipine Göre Yöntem
Bir soruyu okuyunca ilk iş, hangi aracın istendiğini ya da hangisinin en kısa yol olduğunu belirlemektir. Aşağıdaki tablo soru kalıplarını yöntemlerle eşleştirir.
| Soruda istenen | Kullanılacak yöntem | Bu sayfada |
|---|---|---|
| Fonksiyon dizisinin noktasal limiti; tanımla ya da bir ölçütle düzgün yakınsaklık | Sınırlama, supremum, nokta dizisi, süreklilik ve sınırlılık ölçütleri | Bölüm 21.2 |
| Limit ile integral ya da türev yer değiştirir mi, terim terime türev alınabilir mi | Yer değiştirme teoremlerinin koşulları | Bölüm 21.3 |
| Fonksiyon serisi düzgün yakınsak mı, terim terime integral ya da türev | Weierstrass M-testi, Dirichlet ve Abel testleri | Bölüm 21.4 |
| Kuvvet serisinin yakınsaklık kümesi, uç noktada limit | Oran ya da kök formülü, uç nokta testleri, Abel limiti | Bölüm 21.5 |
| Bir fonksiyonun Fourier serisi | Katsayı formülleri, simetri, hazır integraller | Bölüm 21.6 |
| Serinin bir noktadaki toplamı, oradan bir sayı serisinin toplamı | Dirichlet yakınsaklık teoremi | Bölüm 21.7 |
| \([0, \pi]\) ya da \([0, L]\) üzerinde sinüs ya da kosinüs serisi | Tek ya da çift genişleme | Bölüm 21.8 |
| Karelerin ya da dördüncü kuvvetlerin terslerinin toplamı | Parseval eşitliği | Bölüm 21.9 |
| Genelleştirilmiş integral yakınsak mı, mutlak mı şartlı mı | Tip belirleme, parçalama, karşılaştırma, kuvvet, Dirichlet ve Abel testleri | Bölüm 21.10 |
| İntegrali Gamma ya da Beta fonksiyonuyla yazmak, hesaplamak | Kalıp tanıma ve değişken değiştirme | Bölüm 21.11 |
| Sınırları parametreye bağlı bir integralin türevi | Leibniz formülü | Bölüm 21.12 |
| İlkeli bulunamayan bir integrali parametre yardımıyla hesaplamak | İntegral işareti altında türev, sıra değiştirme | Bölüm 21.13 |
| Parametreye bağlı genelleştirilmiş integral düzgün yakınsak mı | M-testi, kalanın supremumu, Dirichlet ve Abel testleri | Bölüm 21.14 |
21.2 Noktasal Limit ve Düzgün Yakınsaklık
Bir fonksiyon dizisi sorusu hemen her zaman iki aşamalıdır: önce noktasal limit bulunur, sonra yakınsamanın düzgün olup olmadığına karar verilir. Düzgün limit varsa noktasal limite eşittir, bu yüzden aday tek ve bellidir (Önerme 2.1).
- Noktasal limit. \(x\)’i sabit tut, \(n \to \infty\) limitini al. Davranışın değiştiği noktaları (\(x = 0\), \(x = 1\), \(|x| = 1\), paydanın sıfırları) ayrı incele ve sonucu parçalı bir \(f\) olarak yaz.
- Hızlı olumsuz denetim. Her \(f_n\) sürekli ama \(f\) süreksizse ya da her \(f_n\) sınırlı ama \(f\) sınırsızsa yakınsama düzgün değildir; dur (Sonuç 4.2, Sonuç 4.1).
- Fark fonksiyonu. \(|f_n(x) - f(x)|\) ifadesini tek kesir yap ve sadeleştir.
- Sınırla ya da supremumu al. Fark \(x\) içermeyen bir \(\alpha_n \to 0\) ile sınırlanıyorsa düzgündür (Teorem 3.1). Sınır görünmüyorsa \(d_n = \sup_{x \in E}|f_n(x) - f(x)|\) türevle hesaplanır: kritik noktalar ve kümenin uçları denetlenir (Teorem 3.3).
- Karar. \(d_n \to 0\) ise düzgün, değilse düzgün değil. Olumsuz sonucu tek satırda göstermek için tepe noktasının yerini izleyen bir \(x_n\) seçip \(f_n(x_n) - f(x_n) \not\to 0\) olduğunu yazmak yeter (Teorem 3.2).
Soru “tanım kullanarak” diyorsa dördüncü adımdaki eşitsizlik zinciri \(\varepsilon\) ile sonlandırılır: \(\alpha_n < \varepsilon\) eşitsizliğinden bir \(N(\varepsilon)\) seçilir ve bu \(N\)’nin \(x\)’e bağlı olmadığı vurgulanır (Tanım 2.1). Hangi aracın ne zaman işe yaradığı aşağıda özetlenmiştir.
| Durum | Araç | Sonuç |
|---|---|---|
| Fark, \(x\) içermeyen bir \(\alpha_n \to 0\) ile sınırlanıyor | Sınırlama ölçütü (Teorem 3.1) | Düzgün |
| Fark türevlenebilir, sınır açık değil | Supremum ölçütü (Teorem 3.3) | \(d_n \to 0\) ise ve ancak o zaman düzgün |
| \(f_n\) sürekli, \(f\) süreksiz | Sonuç 4.2 | Düzgün değil |
| \(f_n\) sınırlı, \(f\) sınırsız | Sonuç 4.1 | Düzgün değil |
| \(f_n\)’nin tepesi yükseliyor ya da kayıyor | Nokta dizisi testi (Teorem 3.2) | Düzgün değil |
| Kapalı aralık, \(f_n\) sürekli, monoton yakınsama, \(f\) sürekli | Dini teoremi (Teorem 4.3) | Düzgün |
| Limit fonksiyonu bilinmiyor | Cauchy kriteri (Teorem 3.4) | Düzgün Cauchy ise düzgün |
Supremum hesabında sık karşılaşılan dizilerin sonuçlarını bilmek zaman kazandırır. Tablodaki supremum değerleri kritik noktanın yerine konmasıyla bulunur; örneğin \(nxe^{-nx}\) için türev \(x = \tfrac{1}{n}\)’de sıfırdır ve değer \(e^{-1}\)’dir.
| \(f_n(x)\) | Küme | Noktasal limit | \(\sup \lvert f_n - f \rvert\) | Düzgün mü? |
|---|---|---|---|---|
| \(x^n\) | \([0, 1)\) | \(0\) | \(1\) | hayır |
| \(x^n\) | \([0, a]\), \(a < 1\) | \(0\) | \(a^n\) | evet |
| \(x^n(1 - x)\) | \([0, 1]\) | \(0\) | \(\le \dfrac{1}{n + 1}\) | evet |
| \(nxe^{-nx}\) | \([0, +\infty)\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{e}\) | hayır |
| \(x^2e^{-nx}\) | \([0, +\infty)\) | \(0\) | \(\dfrac{4}{e^2 n^2}\) | evet |
| \(\dfrac{nx}{1 + n^2x^2}\) | \([0, +\infty)\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | hayır |
| \(\dfrac{x}{1 + nx^2}\) | \(\mathbb{R}\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\) | evet |
| \(\dfrac{\sin(nx)}{n}\) | \(\mathbb{R}\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{n}\) | evet |
Düzgün yakınsaklık kümeye bağlıdır. Sorunlu nokta (yukarıda \(x = 1\) ya da \(x = 0\)) kümeden atılıp ondan uzak durulursa düzgün yakınsaklık çoğu zaman geri gelir (Önerme 2.3). Aşağıdaki iki örnek aynı dizinin iki kümedeki davranışını karşılaştırır.
Örnek 21.1 (Sıfırdan Uzakta Düzgün Yakınsaklık) \(a > 0\) olmak üzere \(f_n(x) = \dfrac{2nx}{1 + nx^2}\) dizisinin \([a, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Noktasal limit. \(x \ge a > 0\) sabitken pay ve paydayı \(n\)’ye bölelim: \[f_n(x) = \frac{2x}{\frac{1}{n} + x^2} \longrightarrow \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}.\] Noktasal limit \(f(x) = \dfrac{2}{x}\)’tir.
Fark. Kesirleri eşitleyelim: \[|f_n(x) - f(x)| = \left| \frac{2nx^2 - 2(1 + nx^2)}{x(1 + nx^2)} \right| = \frac{2}{x(1 + nx^2)}.\]
Sınırlama. \(x \ge a\) olduğundan \(x(1 + nx^2) \ge a(1 + na^2)\)’dir. Dolayısıyla her \(x \in [a, +\infty)\) için \[|f_n(x) - f(x)| \le \frac{2}{a(1 + na^2)} = \alpha_n\] olur. \(\alpha_n\) sayısı \(x\) içermez ve \(n \to \infty\) iken \(0\)’a gider. Teorem 3.1 gereği \(f_n \rightrightarrows f\) (\([a, +\infty)\)).
Tanımla yazmak istenirse: \(\varepsilon > 0\) verildiğinde \(\alpha_n < \dfrac{2}{na^3}\) olduğundan \(N > \dfrac{2}{a^3\varepsilon}\) seçmek yeter; bu \(N\) yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır. \(\blacksquare\)
Örnek 21.2 (Sıfıra Kadar Uzanan Aralıkta Bozulma) \(f_n(x) = \dfrac{2nx}{1 + nx^2}\) dizisinin \((0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Noktasal limit, önceki örnekteki gibi \(f(x) = \dfrac{2}{x}\)’tir (\(x > 0\)).
Her \(f_n\) sınırlıdır. Türev \[f_n'(x) = \frac{2n(1 - nx^2)}{(1 + nx^2)^2}\] \(x = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\)’de sıfırdır; \(f_n\) bu noktaya kadar artar, sonra azalır. En büyük değer \(f_n\left( \tfrac{1}{\sqrt{n}} \right) = \sqrt{n}\) olduğundan \(0 < f_n(x) \le \sqrt{n}\)’dir.
Limit sınırsızdır. \(x \to 0^+\) iken \(\dfrac{2}{x} \to +\infty\) olur. Sınırlı fonksiyonların sınırsız limitine yakınsama düzgün olamaz (Sonuç 4.1).
Aynı sonuç nokta dizisiyle de görülür: tepe noktası \(x_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) için \[f_n(x_n) - f(x_n) = \sqrt{n} - 2\sqrt{n} = -\sqrt{n}\] dizisi \(0\)’a gitmez (Teorem 3.2). \(\blacksquare\)
- Noktasal limiti bulurken \(x = 0\) ya da \(x = 1\) gibi özel noktaları ayırmamak. Limit fonksiyonu parçalıysa çoğu zaman cevap oradan çıkar.
- \(N(\varepsilon)\)’yi \(x\)’e bağlı bırakmak. \(N = \dfrac{1}{x\varepsilon}\) gibi bir seçim noktasal yakınsaklığı gösterir, düzgün yakınsaklığı göstermez.
- Supremumu yalnız kritik noktada aramak. Kümenin uçları da denetlenmelidir; uç kümeye ait değilse o uçtaki limit alınır.
- Düzgün yakınsaklığı kümeden bağımsız sanmak. \([a, +\infty)\) üzerindeki olumlu sonuç \((0, +\infty)\) için geçerli değildir.
21.3 Limit, İntegral ve Türev Yer Değiştirir mi?
“Limit ile integral yer değiştirir mi?”, “terim terime türevlenebilir mi?” türündeki soruların hepsi aynı kalıbı izler: ilgili teoremin koşulu düzgün yakınsaklıktır ve iş o koşulu denetlemeye iner. Aşağıdaki tablo dizi, seri ve parametreli integral sürümlerini bir arada verir.
| Soru | Yeterli koşul | Teorem |
|---|---|---|
| \(\lim f_n\) sürekli mi? | \(f_n\) sürekli ve \(f_n \rightrightarrows f\) | Teorem 4.2 |
| \(\lim \int_a^b f_n = \int_a^b \lim f_n\) mi? | \(f_n\) integrallenebilir ve \([a, b]\) üzerinde \(f_n \rightrightarrows f\) | Teorem 5.1 |
| \((\lim f_n)' = \lim f_n'\) mi? | Bir noktada \(\big(f_n(x_0)\big)\) yakınsak ve \(f_n' \rightrightarrows g\) | Teorem 6.1, Sonuç 6.1 |
| \(\sum f_n\) sürekli mi? | \(f_n\) sürekli ve seri düzgün yakınsak | Teorem 8.1 |
| \(\int \sum = \sum \int\) mi? | \(f_n\) integrallenebilir ve seri \([a, b]\) üzerinde düzgün yakınsak | Teorem 8.2 |
| \((\sum f_n)' = \sum f_n'\) mi? | Bir noktada yakınsak ve türev serisi düzgün yakınsak | Teorem 8.3, Sonuç 8.2 |
| Kuvvet serisinde uçta limit | Seri uç noktada yakınsak | Sonuç 9.2 |
| \(\lim_{y \to y_0} \int_a^b f(x, y)\,dx\) içeri girer mi? | \(f\) dikdörtgende sürekli | Teorem 19.2 |
| \(\dfrac{d}{dy} \int_a^b f\,dx = \int_a^b \dfrac{\partial f}{\partial y}\,dx\) mi? | \(f\) ve \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) dikdörtgende sürekli | Teorem 19.3 |
| Genelleştirilmiş integralde aynı işlemler | \([c, d]\) parametre aralığında: süreklilik ve integral için \(\int_a^{+\infty} f\,dx\), türev için \(\int_a^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial y}\,dx\) düzgün yakınsak; türevde ayrıca bir \(y_0\) için \(\int_a^{+\infty} f(x, y_0)\,dx\) yakınsak | Teorem 20.6, Teorem 20.8, Teorem 20.9 |
Koşullar yeterlidir ama gerekli değildir: düzgün yakınsaklık olmadan da eşitlik bazen tesadüfen korunur (Örnek 5.4). Bu yüzden “yer değiştirmez” demek için koşulun bozulduğunu göstermek yetmez; iki yanı ayrı ayrı hesaplayıp farklı çıktıklarını göstermek gerekir (Örnek 5.3).
- Çapa noktası. \(f_n(x_0)\) dizisinin yakınsadığı bir \(x_0\) bul; çoğu zaman \(x_0 = 0\) işe yarar.
- Türev dizisi. \(f_n'\)’yi hesapla ve noktasal limiti \(g\)’yi bul.
- Düzgünlük. \(|f_n'(x) - g(x)|\) farkını \(x\)’ten bağımsız bir sıfır dizisiyle sınırla. Türev dizisi düzgün yakınsamıyorsa teorem uygulanamaz; eşitliği doğrudan denetle.
- Sonuç. \(f = \lim f_n\) türevlenebilirdir ve \(f' = g\)’dir. Sağlama için \(f\)’yi ayrıca bulup türevini \(g\) ile karşılaştır.
Örnek 21.3 (Terim Terime Türevin Uygulanması) \(f_n(x) = \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{\cos(nx)}{n^3}\) dizisi için \(\mathbb{R}\) üzerinde terim terime türev alınabileceğini gösteriniz ve limit fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm
Çapa noktası. \(f_n(0) = \dfrac{1}{n^3} \to 0\); dizi \(x_0 = 0\)’da yakınsaktır.
Türev dizisi. \(f_n'(x) = x - \dfrac{\sin(nx)}{n^2}\) olur ve noktasal limiti \(g(x) = x\)’tir.
Düzgünlük. Her \(x \in \mathbb{R}\) için \[|f_n'(x) - x| = \frac{|\sin(nx)|}{n^2} \le \frac{1}{n^2}\] olduğundan Teorem 3.1 gereği \(f_n' \rightrightarrows g\) (\(\mathbb{R}\)).
Sonuç. Sonuç 6.1 gereği \((f_n)\) bir \(f\) fonksiyonuna yakınsar, \(f\) türevlenebilirdir ve \(f'(x) = x\)’tir.
Sağlama. \(\left| \dfrac{\cos(nx)}{n^3} \right| \le \dfrac{1}{n^3}\) olduğundan \(f(x) = \dfrac{x^2}{2}\)’dir ve gerçekten \(f'(x) = x = \lim f_n'(x)\) olur. \(\blacksquare\)
21.4 Fonksiyon Serilerinde Düzgün Yakınsaklık
Bir fonksiyon serisinin düzgün yakınsaklığı, kısmi toplamlar dizisinin düzgün yakınsaklığıdır (Tanım 7.4). Pratikte kısmi toplamlarla nadiren uğraşılır; aşağıdaki sıra izlenir.
- Gerek koşul. \(\sup_{x \in E} |f_n(x)| \to 0\) mı? Değilse seri \(E\) üzerinde düzgün yakınsak olamaz (Sonuç 7.1).
- M-testi. \(M_n = \sup_{x \in E} |f_n(x)|\) bul: ya açık bir eşitsizlikle (\(|\sin| \le 1\), \(x \ge 1\) ise \(e^{-nx} \le e^{-n}\)) ya da türevle. \(\sum M_n\) yakınsaksa seri mutlak ve düzgün yakınsaktır (Teorem 7.2).
- Salınım varsa. \(\sum M_n\) ıraksak ama terim \(\sin(nx)\), \(\cos(nx)\) ya da \((-1)^n\) çarpanı taşıyorsa Dirichlet testi (kısmi toplamlar düzgün sınırlı, öbür çarpan monoton ve düzgün olarak \(0\)’a gider) ya da Abel testi (bir çarpanın serisi düzgün yakınsak, öbürü monoton ve düzgün sınırlı) denenir (Teorem 7.3, Teorem 7.4).
- Olumsuz cevap. Terimler sürekli ama toplam süreksizse seri düzgün yakınsak değildir (Örnek 8.3).
M-testinde supremum için türev almadan önce aritmetik ve geometrik ortalama eşitsizliğine bakmak çoğu zaman yeter: \(1 + nx^2 \ge 2\sqrt{n}\,|x|\) olduğundan \[\frac{|x|}{1 + nx^2} \le \frac{1}{2\sqrt{n}}\] olur. Dirichlet testinde kullanılan kısmi toplam sınırları aşağıdadır (Örnek 7.6).
| Seri | Kısmi toplamların sınırı | Geçerli olduğu küme |
|---|---|---|
| \(\sum (-1)^k\) | \(1\) | her yerde |
| \(\sum \sin(kx)\) | \(\dfrac{1}{\sin(\delta/2)}\) | \([\delta, 2\pi - \delta]\) |
| \(\sum \cos(kx)\) | \(\dfrac{1}{\sin(\delta/2)}\) | \([\delta, 2\pi - \delta]\) |
Sınır \(\delta\)’ya bağlıdır ve \(\delta \to 0\) iken büyür. Dirichlet testiyle \(\sum \dfrac{\sin(nx)}{n}\) serisi \([\delta, 2\pi - \delta]\) üzerinde düzgün yakınsar. Seri her noktada yakınsaktır, ama \(x = 0\)’ı içeren ya da \(0\)’a uç olarak dayanan bir aralıkta düzgün yakınsamaz: toplam \((0, 2\pi)\) üzerinde \(\dfrac{\pi - x}{2}\), \(x = 0\)’da ise \(0\)’dır, yani süreksizdir (bkz. Örnek 8.3).
Örnek 21.4 (Supremumu Türevle Bulunan M-Testi) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n(1 + nx^2)}\) serisinin \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Supremum. Terim tek fonksiyon olduğundan \(x \ge 0\) ile çalışmak yeter. \(g(x) = \dfrac{x}{n(1 + nx^2)}\) için \[g'(x) = \frac{1 - nx^2}{n(1 + nx^2)^2}\] olur ve tek kritik nokta \(x = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\)’dir. \(g(0) = 0\) ve \(x \to +\infty\) iken \(g(x) \to 0\) olduğundan en büyük değer \[g\left( \frac{1}{\sqrt{n}} \right) = \frac{1/\sqrt{n}}{n \cdot 2} = \frac{1}{2n^{3/2}}\] olur. Dolayısıyla \(M_n = \dfrac{1}{2n^{3/2}}\) alınabilir.
Sayı serisi. \(\displaystyle\sum \frac{1}{2n^{3/2}}\) serisi \(p = \dfrac{3}{2} > 1\) olan bir \(p\)-serisinin katıdır ve yakınsaktır.
Sonuç. Teorem 7.2 gereği seri \(\mathbb{R}\) üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır. Aynı \(M_n\), aritmetik ve geometrik ortalama eşitsizliğinden de çıkar: \(\dfrac{|x|}{n(1 + nx^2)} \le \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{n}}\). \(\blacksquare\)
Örnek 21.5 (Terim Terime İntegralle Bir Sayı) \(\displaystyle S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^3}\) olsun. \(\displaystyle\int_0^{\pi} S(x)\,dx\) değerini bulunuz.
Çözüm
Düzgün yakınsaklık. \(\left| \dfrac{\sin(nx)}{n^3} \right| \le \dfrac{1}{n^3}\) ve \(\sum \dfrac{1}{n^3}\) yakınsak olduğundan seri \([0, \pi]\) üzerinde düzgün yakınsaktır (Teorem 7.2).
Terim terime integral. Teorem 8.2 gereği integral ile toplam yer değiştirir: \[\int_0^{\pi} S(x)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\int_0^{\pi} \sin(nx)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 - (-1)^n}{n^4}.\] Çift \(n\)’lerde pay \(0\), tek \(n\)’lerde \(2\)’dir: \[\int_0^{\pi} S(x)\,dx = 2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k - 1)^4} = 2 \cdot \frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{48}.\] Tek sayıların dördüncü kuvvetlerinin terslerinin toplamı Parseval eşitliğinden gelir (Tablo 21.12). \(\blacksquare\)
21.5 Kuvvet Serileri: Yakınsaklık Kümesi ve Abel Limiti
Kuvvet serisi sorularında önce yakınsaklık kümesi bulunur, sonra bu küme üzerindeki düzgün yakınsaklık ya da bir uç noktadaki limit sorulur. Yarıçap formülleri için bkz. Analiz 2.
- Yarıçap. \(\sum a_n(x - x_0)^n\) için \(R = \lim \left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right|\) ya da \(R = \dfrac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}}\) (bkz. Analiz 2). \(x^{2n}\) gibi atlamalı serilerde oran testini doğrudan terimlere uygula.
- Açık aralık. \(|x - x_0| < R\) için seri mutlak yakınsaktır, \(|x - x_0| > R\) için ıraksaktır.
- Uç noktalar. \(x = x_0 \pm R\) koyup çıkan sayı serisini ayrı ayrı incele.
- Düzgün yakınsaklık. Seri açık aralığın kapalı her alt aralığında düzgün yakınsar. Bir uçta yakınsıyorsa o uca kadar kapalı aralıkta da düzgün yakınsar (Teorem 9.1, Sonuç 9.1).
- Uçta limit ve integral. Seri \(x = x_0 + R\)’de yakınsaksa \(\lim_{x \to (x_0 + R)^-} S(x) = \sum a_n R^n\) olur ve seri uca kadar terim terime integrallenir (Sonuç 9.2).
| Uç noktada çıkan sayı serisi | Karar | Araç |
|---|---|---|
| \(\sum \dfrac{1}{n^p}\) | \(p > 1\) ise yakınsak, \(p \le 1\) ise ıraksak | \(p\)-serisi |
| \(\sum (-1)^n b_n\), \(b_n\) azalarak \(0\)’a gider | Yakınsak | Leibniz testi |
| Terimler \(0\)’a gitmiyor | Iraksak | Gerek koşul |
| \(\sum \dfrac{1}{n(n + 1)}\) gibi teleskopik | Yakınsak, toplam hesaplanır | Kısmi toplam |
| Pozitif terimli, \(\dfrac{1}{n^p}\) gibi davranıyor | Limit karşılaştırma ile \(p\)-serisine bağlanır | Karşılaştırma |
Örnek 21.6 (Merkezi Kaydırılmış Bir Kuvvet Serisi) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x - 1)^n}{n\,2^n}\) serisinin yakınsaklık kümesini bulunuz.
Çözüm
Yarıçap. \(a_n = \dfrac{1}{n\,2^n}\) için \[\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{n\,2^n}{(n + 1)\,2^{n+1}} = \frac{n}{2(n + 1)} \longrightarrow \frac{1}{2}\] olduğundan \(R = 2\)’dir. Seri \(|x - 1| < 2\), yani \(-1 < x < 3\) için mutlak yakınsaktır.
\(x = 3\). Seri \(\displaystyle\sum \frac{2^n}{n\,2^n} = \sum \frac{1}{n}\) olur; harmonik seri ıraksaktır.
\(x = -1\). Seri \(\displaystyle\sum \frac{(-2)^n}{n\,2^n} = \sum \frac{(-1)^n}{n}\) olur. \(\dfrac{1}{n}\) azalarak \(0\)’a gittiğinden Leibniz testi gereği yakınsaktır; mutlak değerler harmonik seriyi verdiğinden yakınsaklık şartlıdır.
Sonuç. Yakınsaklık kümesi \([-1, 3)\)’tür. \(\blacksquare\)
Örnek 21.7 (Uç Noktada Limit) \(\displaystyle S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x - 1)^n}{n\,2^n}\) olsun. \(\displaystyle\lim_{x \to -1^+} S(x)\) limitini bulunuz.
Çözüm
\(t = x - 1\) yazalım: seri \(\sum a_n t^n\) olur, yarıçapı \(R = 2\)’dir ve önceki örneğe göre \(t = -R = -2\)’de yakınsaktır. Teorem 9.1 (ii) gereği seri \(t \in [-2, 0]\), yani \(x \in [-1, 1]\) üzerinde düzgün yakınsaktır. Terimler sürekli olduğundan toplam bu aralıkta süreklidir (Teorem 8.1) ve limit, serinin uçtaki değerine eşittir: \[\lim_{x \to -1^+} S(x) = S(-1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} = -\ln 2.\] Alterne harmonik serinin toplamı için bkz. Analiz 2.
Sağlama. \(|u| < 1\) için \(-\ln(1 - u) = \sum \dfrac{u^n}{n}\) olduğundan \(u = \dfrac{x - 1}{2}\) ile \(S(x) = \ln\dfrac{2}{3 - x}\) bulunur; \(x \to -1^+\) iken bu ifade \(\ln\dfrac{1}{2} = -\ln 2\)’ye gider. \(\blacksquare\)
21.6 Fourier Serisini Hesaplamak
Fourier serisi sorusu bir integral hesabı sorusudur: dikkat edilecek yerler periyot, simetri ve kısmi integrasyondaki sınır terimleridir. Kitabın dört adımlık reçetesini (Tanım 10.3) aralık türünü de kapsayacak biçimde genişletelim.
- Periyot ve aralık. Periyot \(T = 2L\) ise \(L = \dfrac{T}{2}\)’dir. \(T = 2\pi\) ise \(L = \pi\) ve formüller \(\cos(nx)\), \(\sin(nx)\) ile yazılır; değilse \(\cos\dfrac{n\pi x}{L}\), \(\sin\dfrac{n\pi x}{L}\) ile (Tanım 10.4). Fonksiyon \([0, \pi]\) ya da \([0, L]\) üzerinde verilip sinüs ya da kosinüs serisi isteniyorsa Bölüm 21.8 kesimine geç.
- Simetri. \(f\) tekse bütün \(a_n = 0\), çiftse bütün \(b_n = 0\)’dır ve kalan katsayı yarım aralıktaki integralin iki katıyla hesaplanır (Önerme 10.2). Parçalı fonksiyonlarda simetriyi grafikten denetle.
- \(a_0\) ayrı. \(a_0 = \dfrac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(x)\,dx\); \(a_n\) için bulunan kapalı ifadede \(n\)’ye bölme olduğundan oraya \(n = 0\) konamaz; \(a_0\) integralden ayrıca hesaplanır.
- \(a_n\) ve \(b_n\). Parçalı fonksiyonda integrali parçalara böl; \(f = 0\) olan parçalar düşer. Kısmi integrasyonda \(u\) polinom, \(dv\) trigonometrik olsun. Çarpım biçimli integrandlarda (\(x\sin x\), \(|\sin x|\), \(\cos(3x)\cos(nx)\)) çarpımı toplama çevir ve paydayı sıfırlayan \(n\) değerini (\(n = 1\) ya da \(n = 3\) gibi) ayrıca hesapla.
- Sadeleştir ve yaz. \(\sin(n\pi) = 0\), \(\cos(n\pi) = (-1)^n\) kullan; katsayı tek ya da çift \(n\)’de sıfırlanıyorsa seriyi \(n = 2k - 1\) ya da \(n = 2k\) ile yeniden yaz.
| Durum | \(a_n\) | \(b_n\) |
|---|---|---|
| \(2\pi\) periyot | \(\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\) | \(\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\) |
| \(2L\) periyot | \(\dfrac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx\) | \(\dfrac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx\) |
| Çift \(f\), \(2\pi\) periyot | \(\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\) | \(0\) |
| Tek \(f\), \(2\pi\) periyot | \(0\) | \(\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\) |
Seri her durumda \(\dfrac{a_0}{2} + \sum \big( a_n\cos(\cdot) + b_n\sin(\cdot) \big)\) biçimindedir; sabit terim \(a_0\) değil \(\dfrac{a_0}{2}\)’dir. Hesapta en çok şu değerler ve hazır integraller kullanılır (\(n \ge 1\) tam sayı).
| İfade | Değer |
|---|---|
| \(\sin(n\pi)\) | \(0\) |
| \(\cos(n\pi)\) | \((-1)^n\) |
| \(1 - (-1)^n\) | çift \(n\) için \(0\), tek \(n\) için \(2\) |
| \(\sin\dfrac{n\pi}{2}\) | çift \(n\) için \(0\); \(n = 2k - 1\) için \((-1)^{k+1}\) |
| \(\cos\dfrac{n\pi}{2}\) | tek \(n\) için \(0\); \(n = 2k\) için \((-1)^k\) |
| İntegral | Değer |
|---|---|
| \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin(nx)\,dx\) | \(\dfrac{1 - (-1)^n}{n}\) |
| \(\displaystyle\int_0^{\pi} x\cos(nx)\,dx\) | \(\dfrac{(-1)^n - 1}{n^2}\) |
| \(\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx\) | \(\dfrac{(-1)^{n+1}\pi}{n}\) |
| \(\displaystyle\int_0^{\pi} x^2\cos(nx)\,dx\) | \(\dfrac{2(-1)^n\pi}{n^2}\) |
| \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\cos(nx)\,dx\), \(n \ne 1\) | \(\dfrac{1 + (-1)^n}{1 - n^2}\) |
Çarpımı toplama çeviren üç özdeşlik: \[ \begin{aligned} \sin a \cos b &= \tfrac{1}{2}\big[ \sin(a + b) + \sin(a - b) \big], \\[1mm] \cos a \cos b &= \tfrac{1}{2}\big[ \cos(a + b) + \cos(a - b) \big], \\[1mm] \sin a \sin b &= \tfrac{1}{2}\big[ \cos(a - b) - \cos(a + b) \big]. \end{aligned} \] Bir trigonometrik polinom kendi Fourier serisidir (Teorem 10.1). Örneğin \(\cos(3x)\)’in serisi yalnız \(\cos(3x)\) terimidir, \(\sin^2 x\)’in serisi de \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos(2x)\)’tir; integral hesaplamaya gerek yoktur.
Örnek 21.8 (Sağ Yarıda Azalan Doğru) \[f(x) = \begin{cases} 0, & -\pi < x < 0 \\ \pi - x, & 0 \le x \le \pi \end{cases}, \qquad f(x + 2\pi) = f(x)\] fonksiyonunun Fourier serisini bulunuz.
Çözüm
Simetri. \(f\) ne tek ne çifttir; iki katsayı ailesi de hesaplanır. \((-\pi, 0)\) parçasında \(f = 0\) olduğundan bütün integraller \([0, \pi]\) üzerine iner.
\(a_0\). \[a_0 = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} (\pi - x)\,dx = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{2} = \frac{\pi}{2}.\]
\(a_n\). \(u = \pi - x\), \(dv = \cos(nx)\,dx\) alalım; \(du = -dx\), \(v = \dfrac{\sin(nx)}{n}\): \[ \begin{aligned} \int_0^{\pi} (\pi - x)\cos(nx)\,dx &= \left[ \frac{(\pi - x)\sin(nx)}{n} \right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi} \sin(nx)\,dx \\[1mm] &= 0 + \frac{1 - (-1)^n}{n^2}. \end{aligned} \] Dolayısıyla \(a_n = \dfrac{1 - (-1)^n}{\pi n^2}\): tek \(n\) için \(\dfrac{2}{\pi n^2}\), çift \(n\) için \(0\).
\(b_n\). \(u = \pi - x\), \(dv = \sin(nx)\,dx\) alalım; \(v = -\dfrac{\cos(nx)}{n}\): \[ \begin{aligned} \int_0^{\pi} (\pi - x)\sin(nx)\,dx &= \left[ -\frac{(\pi - x)\cos(nx)}{n} \right]_0^{\pi} - \frac{1}{n}\int_0^{\pi} \cos(nx)\,dx \\[1mm] &= \frac{\pi}{n} - 0 = \frac{\pi}{n}. \end{aligned} \] Dolayısıyla \(b_n = \dfrac{1}{n}\).
Seri. \[f(x) \sim \frac{\pi}{4} + \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos\big( (2k - 1)x \big)}{(2k - 1)^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}.\] \(\blacksquare\)
- Sabit terimi \(a_0\) yazmak. Serinin sabit terimi \(\dfrac{a_0}{2}\)’dir; yukarıdaki örnekte \(\dfrac{\pi}{4}\).
- \(a_0\)’ı, \(a_n\) için hesaplanmış kapalı ifadeye \(n = 0\) koyarak bulmaya çalışmak.
- \(2L\) periyotlu fonksiyonda \(L\) yerine periyodun kendisini kullanmak. \(f(x + 4) = f(x)\) ise \(L = 2\)’dir.
- \(\sin\dfrac{n\pi}{2}\)’yi \(0\) sanmak. Yalnız \(\sin(n\pi)\) her \(n\) için sıfırdır.
- \(x\sin x\) ya da \(|\sin x|\) gibi integrandlarda paydası \(1 - n\) olan terimi \(n = 1\) için de kullanmak; \(a_1\) ayrıca hesaplanır.
- Tek ya da çift fonksiyonun integralini \([0, \pi]\)’ye indirirken \(2\) çarpanını unutmak.
21.7 Fourier Serisinin Toplamı: Dirichlet Teoremi
Fourier serisi bulunduktan sonra çoğu zaman “seri şu noktada neye yakınsar?” ya da “buradan şu sayı serisinin toplamını bulunuz” diye sorulur. Cevap, periyodik genişlemenin o noktadaki sağ ve sol limitlerinin ortalamasıdır (Teorem 12.3, Sonuç 12.2).
- Periyodik genişlemeyi çiz. Parçaların birleşme noktalarını ve periyodun uçlarını işaretle; buralarda sıçrama olup olmadığına bak.
- Noktanın türünü belirle. Aşağıdaki tablodan serinin o noktadaki toplamını oku.
- Seriye koy. Seçilen \(x\) değerini seriye yaz; \(\cos(n\pi) = (-1)^n\), \(\sin\dfrac{n\pi}{2}\) gibi değerlerle sayı serisini sadeleştir ve aranan toplamı yalnız bırak.
| Nokta | Serinin toplamı |
|---|---|
| \(f\)’nin sürekli olduğu iç nokta | \(f(x)\) |
| İç sıçrama noktası \(x_0\) | \(\dfrac{f(x_0 + 0) + f(x_0 - 0)}{2}\) |
| \(x = \pm\pi\) (\(2\pi\) periyot) | \(\dfrac{f(-\pi + 0) + f(\pi - 0)}{2}\) |
| Kosinüs serisi, \(x = 0\) ve \(x = \pi\) | \(f(0 + 0)\) ve \(f(\pi - 0)\) |
| Sinüs serisi, \(x = 0\) ve \(x = \pi\) | \(0\) |
Hangi noktanın seçileceğini aranan seri belirler:
- Kosinüslü katsayılarda \((-1)^n\) çarpanı varsa \(x = \pi\) seçilir; \(\cos(n\pi) = (-1)^n\) ile çarpılınca işaretler kaybolur ve işaret değiştirmeyen toplam çıkar.
- Katsayılarda \((-1)^n\) yoksa \(x = 0\) işaret değiştirmeyen toplamı, \(x = \pi\) alterne toplamı verir.
- Sinüslü terimler \(x = 0\) ve \(x = \pi\)’de sıfırdır; sinüslü katsayılardan bir toplam elde etmek için \(x = \dfrac{\pi}{2}\) uygundur ve tek indisli alterne toplamlar çıkar.
Örnek 21.9 (Tek Sayılarla Alterne Toplam) Örnek 21.8 örneğindeki serinin \(x = \dfrac{\pi}{2}\) noktasındaki toplamından yararlanarak \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k - 1}\) toplamını bulunuz.
Çözüm
Toplam. Periyodik genişleme parçalı düzgündür; \(x = \dfrac{\pi}{2}\) noktasında \(f\) süreklidir ve \(f\left( \tfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{\pi}{2}\)’dir. Dolayısıyla seri bu noktada \(\dfrac{\pi}{2}\)’ye yakınsar (Sonuç 12.2).
Seriye koy. \(\cos\dfrac{(2k - 1)\pi}{2} = 0\) olduğundan kosinüslü terimlerin hepsi düşer. Sinüslü toplamda çift \(n\)’ler için \(\sin\dfrac{n\pi}{2} = 0\), \(n = 2k - 1\) için \(\sin\dfrac{n\pi}{2} = (-1)^{k+1}\)’dir: \[\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k - 1}.\]
Sonuç. \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k - 1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots = \frac{\pi}{4}.\] \(\blacksquare\)
Aynı seri başka noktalarda da bilgi verir. \(x = 0\) bir sıçrama noktasıdır: \(f(0 + 0) = \pi\), \(f(0 - 0) = 0\) olduğundan seri \(\dfrac{\pi}{2}\)’ye yakınsar ve sinüslü terimler sıfır olduğundan \[\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k - 1)^2}, \qquad \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k - 1)^2} = \frac{\pi^2}{8}\] bulunur. \(x = \pi\)’de ise \(f(\pi - 0) = 0 = f(-\pi + 0)\) olduğundan genişleme süreklidir ve seri \(0\)’a yakınsar.
21.8 Sinüs ve Kosinüs Serileri
Fonksiyon yalnız \([0, \pi]\) ya da \([0, L]\) üzerinde verilmişse ve sinüs ya da kosinüs serisi isteniyorsa \(f\) önce tek ya da çift genişletilmiş gibi düşünülür (Tanım 14.1). Genişlemeyi açıkça yazmak gerekmez; formüller yalnız \([0, \pi]\) üzerindeki değerleri kullanır (Tanım 14.2).
- Seriyi seç. Kosinüs serisi çift genişlemenin, sinüs serisi tek genişlemenin Fourier serisidir.
- Katsayılar. Kosinüs için \(a_n = \dfrac{2}{L}\displaystyle\int_0^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx\) (\(a_0\) ayrı), sinüs için \(b_n = \dfrac{2}{L}\displaystyle\int_0^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx\); \(L = \pi\) ise kesirler sadeleşir (Tanım 14.3).
- Uçlarda toplam. İçeride seri \(f\)’ye ya da sıçramada ortalamaya, kosinüs serisi uçlarda \(f(0 + 0)\) ile \(f(L - 0)\)’a, sinüs serisi uçlarda \(0\)’a yakınsar (Teorem 14.1).
- Düzgün yakınsaklık. Genişleme sürekli ve parçalı düzgünse seri düzgün yakınsar (Teorem 13.2). Kosinüs serisi için \(f\)’nin \([0, \pi]\) üzerinde sürekli olması yeter; sinüs serisi için ek olarak \(f(0) = 0\) ve \(f(\pi) = 0\) gerekir.
| Kosinüs serisi | Sinüs serisi | |
|---|---|---|
| Genişleme | Çift: \(f(-x) = f(x)\) | Tek: \(f(-x) = -f(x)\) |
| Katsayı (\(L = \pi\)) | \(a_n = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\) | \(b_n = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\) |
| \(x = 0\)’da toplam | \(f(0 + 0)\) | \(0\) |
| \(x = \pi\)’de toplam | \(f(\pi - 0)\) | \(0\) |
| Düzgün yakınsaklık için | \(f\) sürekli ve parçalı düzgün | Ek olarak \(f(0) = f(\pi) = 0\) |
Örnek 21.10 (Çadır Fonksiyonunun Sinüs Serisi) \[f(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x \le \dfrac{\pi}{2} \\[1mm] \pi - x, & \dfrac{\pi}{2} < x \le \pi \end{cases}\] fonksiyonunun \([0, \pi]\) üzerindeki Fourier sinüs serisini bulunuz.
Çözüm
\(b_n = \dfrac{2}{\pi}(I_1 + I_2)\) olsun; \(I_1\) ve \(I_2\) iki parçadaki integrallerdir.
\(I_1\). \(u = x\), \(dv = \sin(nx)\,dx\): \[I_1 = \int_0^{\pi/2} x\sin(nx)\,dx = -\frac{\pi}{2n}\cos\frac{n\pi}{2} + \frac{1}{n^2}\sin\frac{n\pi}{2}.\]
\(I_2\). \(u = \pi - x\), \(dv = \sin(nx)\,dx\): \[ \begin{aligned} I_2 &= \left[ -\frac{(\pi - x)\cos(nx)}{n} \right]_{\pi/2}^{\pi} - \frac{1}{n}\int_{\pi/2}^{\pi} \cos(nx)\,dx \\[1mm] &= \frac{\pi}{2n}\cos\frac{n\pi}{2} + \frac{1}{n^2}\sin\frac{n\pi}{2}. \end{aligned} \]
Toplam. Kosinüslü terimler birbirini götürür: \[b_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2}{n^2}\sin\frac{n\pi}{2} = \frac{4}{\pi n^2}\sin\frac{n\pi}{2}.\] Çift \(n\) için \(b_n = 0\), \(n = 2k - 1\) için \(b_n = \dfrac{4(-1)^{k+1}}{\pi(2k - 1)^2}\)’dir: \[f(x) \sim \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(2k - 1)^2}\sin\big( (2k - 1)x \big).\] \(\blacksquare\)
Örnek 21.11 (Sinüs Serisinin Düzgün Yakınsaklığı) Örnek 21.10 örneğindeki sinüs serisinin \([0, \pi]\) üzerinde \(f\)’ye düzgün yakınsadığını gösteriniz.
Çözüm
Düzgün yakınsaklık. Her \(x\) için \[\left| \frac{4(-1)^{k+1}}{\pi(2k - 1)^2}\sin\big( (2k - 1)x \big) \right| \le \frac{4}{\pi(2k - 1)^2}\] ve \(\sum \dfrac{1}{(2k - 1)^2}\) yakınsak olduğundan seri \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsaktır (Teorem 7.2).
Toplam \(f\)’dir. \(f\) sürekli ve parçalı düzgündür; \(f(0) = f(\pi) = 0\) olduğundan tek genişlemesi \(0\) ve \(\pm\pi\) noktalarında da süreklidir. Teorem 14.1 gereği seri \((0, \pi)\) içinde \(f(x)\)’e, uçlarda \(0 = f(0) = f(\pi)\)’ye yakınsar. Yani düzgün yakınsamanın limiti \([0, \pi]\) üzerinde \(f\)’dir. Aynı sonuç Teorem 13.2 ile de çıkar. \(\blacksquare\)
Bu seri \(x = \dfrac{\pi}{2}\)’de \(f\left( \tfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{\pi}{2}\)’ye eşittir. \(\sin\dfrac{(2k - 1)\pi}{2} = (-1)^{k+1}\) olduğundan işaretler karelenir ve \(\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{4}{\pi}\displaystyle\sum \frac{1}{(2k - 1)^2}\) bulunur; \(\dfrac{\pi^2}{8}\) toplamı bir kez daha elde edilir.
21.9 Parseval ve Bessel ile Seri Toplamı
Dirichlet teoremi katsayıların kendisini toplar, Parseval eşitliği karelerini (Teorem 13.4). Bu yüzden bir Fourier serisinin katsayıları \(\dfrac{1}{n^2}\) gibiyse Dirichlet teoremi \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) türünden, Parseval eşitliği \(\sum \dfrac{1}{n^4}\) türünden toplamlar verir.
- Katsayılar. \(a_0\), \(a_n\), \(b_n\) hazır olsun; sol yan \(\dfrac{a_0^2}{2} + \sum (a_n^2 + b_n^2)\)’dir.
- Sağ yan. \(\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx\). Sinüs ya da kosinüs serisinde ya da \(f\) tek veya çiftse bu \(\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)^2\,dx\) olur. \(2L\) periyotta \(\dfrac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(x)^2\,dx\) yazılır.
- Eşitle. Parseval eşitliği için \(f\)’nin parçalı sürekli olması yeter; süreklilik ya da düzgün yakınsaklık gerekmez.
- Yalnız bırak. Aranan toplamı çek; tek ve çift indisleri ayırma hilesiyle başka toplamlara geç.
Tek ve çift indisleri ayırma. \(S = \sum_{n \ge 1} \dfrac{1}{n^p}\) ve \(T = \sum_{k \ge 1} \dfrac{1}{(2k - 1)^p}\) olsun. Çift indisli terimlerin toplamı \(\dfrac{S}{2^p}\) olduğundan \[S = T + \frac{S}{2^p}, \qquad S = \frac{2^p}{2^p - 1}\,T\] olur. \(p = 2\) için \(T = \dfrac{\pi^2}{8}\)’den \(S = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\pi^2}{8} = \dfrac{\pi^2}{6}\), \(p = 4\) için \(T = \dfrac{\pi^4}{96}\)’dan \(S = \dfrac{16}{15} \cdot \dfrac{\pi^4}{96} = \dfrac{\pi^4}{90}\) çıkar. Alterne toplam da aynı yoldan gelir: \(\sum \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2} = S - \dfrac{2S}{4} = \dfrac{\pi^2}{12}\).
| Toplam | Değer | Fonksiyon ve yöntem | Ayrıntı |
|---|---|---|---|
| \(\displaystyle\sum \frac{1}{n^2}\) | \(\dfrac{\pi^2}{6}\) | \(x^2\), \(x = \pi\)’de toplam | Örnek 12.4 |
| \(\displaystyle\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\) | \(\dfrac{\pi^2}{12}\) | \(x^2\), \(x = 0\)’da toplam | Örnek 12.4 |
| \(\displaystyle\sum \frac{1}{(2k - 1)^2}\) | \(\dfrac{\pi^2}{8}\) | \(\lvert x \rvert\), \(x = 0\)’da toplam | Örnek 12.3 |
| \(\displaystyle\sum \frac{(-1)^{k+1}}{2k - 1}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(x\), \(x = \dfrac{\pi}{2}\)’de toplam | Örnek 12.1 |
| \(\displaystyle\sum \frac{1}{4k^2 - 1}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\lvert \sin x \rvert\), \(x = 0\)’da toplam | Alıştırma 12.3 |
| \(\displaystyle\sum \frac{1}{n^4}\) | \(\dfrac{\pi^4}{90}\) | \(x^2\), Parseval | Alıştırma 13.4 |
| \(\displaystyle\sum \frac{1}{(2k - 1)^4}\) | \(\dfrac{\pi^4}{96}\) | \(\pi - \lvert x \rvert\), Parseval | Örnek 13.4 |
Örnek 21.12 (Çadır Fonksiyonunda Parseval) Örnek 21.10 örneğindeki sinüs serisine Parseval eşitliğini uygulayarak \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k - 1)^4}\) toplamını bulunuz.
Çözüm
Neden uygulanır? Sinüs serisi, \(f\)’nin tek genişlemesinin Fourier serisidir. Tek genişleme \([-\pi, \pi]\) üzerinde süreklidir, dolayısıyla parçalı süreklidir ve Teorem 13.4 uygulanır. Tek genişlemenin karesi çift olduğundan sağ yan \(\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)^2\,dx\)’tir.
Sol yan. \(a_n = 0\) ve \(b_{2k-1}^2 = \dfrac{16}{\pi^2(2k - 1)^4}\), \(b_{2k} = 0\): \[\sum_{n=1}^{\infty} b_n^2 = \frac{16}{\pi^2}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k - 1)^4}.\]
Sağ yan. \(f\), \(x = \dfrac{\pi}{2}\)’ye göre simetrik olduğundan iki parçanın integrali eşittir: \[\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)^2\,dx = \frac{2}{\pi} \cdot 2\int_0^{\pi/2} x^2\,dx = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{\pi^3}{24} = \frac{\pi^2}{6}.\]
Eşitle. \[\frac{16}{\pi^2}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k - 1)^4} = \frac{\pi^2}{6}, \qquad \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k - 1)^4} = \frac{\pi^4}{96}.\] \(\blacksquare\)
Bessel eşitsizliği Parseval eşitliğinin “\(\le\)” sürümüdür ve integrallenebilir her fonksiyon için geçerlidir (Teorem 11.2). İki pratik sonucu vardır: Fourier katsayıları \(0\)’a gider (Sonuç 11.2), ve \(\sum (a_n^2 + b_n^2)\) ıraksak olan bir trigonometrik seri, \(\sum \dfrac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}\) gibi, integrallenebilir hiçbir fonksiyonun Fourier serisi olamaz (Örnek 11.3).
21.10 Genelleştirilmiş İntegralin Yakınsaklığı
Bu tür sorularda integral çoğu zaman hesaplanamaz; istenen yalnız yakınsaklık kararı ve gerekçesidir. Kararın büyük kısmı, integrandın sorunlu noktalarda hangi kuvvet gibi davrandığını görmekten ibarettir. Önce integralin tipini belirlemek gerekir.
| Tip | Sorun | Tanım | Örnek |
|---|---|---|---|
| I. tip | Sınır sonsuz | \(\displaystyle\lim_{b \to +\infty}\int_a^b\) (Tanım 15.1) | \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2}\) |
| II. tip | Fonksiyon bir uçta sınırsız | \(\displaystyle\lim_{t \to a^+}\int_t^b\) (Tanım 17.1) | \(\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}\) |
| İç tekil nokta | Fonksiyon \((a, b)\) içinde sınırsız | İki parçaya ayrılır (Tanım 17.2) | \(\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x}}\) |
| III. tip | Sonsuz sınır ve tekil nokta birlikte | Her parçada tek sorun (Tanım 17.5) | \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}(1 + x)}\) |
- Sorunlu noktaları listele. Sonsuz uçlar ile paydayı sıfırlayan, \(\ln x\) ya da \(\dfrac{1}{x}\) gibi sınırsızlık doğuran noktaları yaz. Her adayda limiti al: limit sonluysa nokta yalnız görünürde tekildir ve o yandaki parça sıradan bir integraldir (Önerme 17.1).
- Parçala. Aralığı her parçada tek sorun kalacak biçimde böl; ara nokta (çoğu zaman \(1\)) serbestçe seçilir. Bütün parçalar yakınsaksa integral yakınsak, biri bile ıraksaksa ıraksaktır.
- İşarete bak. Parçada \(f \ge 0\) ise karşılaştırma ve kuvvet testleri doğrudan uygulanır; \(f \le 0\) ise \(-f\) ile çalışılır. İşaret değişiyorsa önce \(|f|\) ile mutlak yakınsaklık denenir (Teorem 16.5).
- Kuvveti bul. Sonsuzda \(x^p f(x)\), tekil nokta \(a\)’da \((x - a)^p f(x)\) limitini sonlu ve pozitif yapan \(p\)’yi bul. Baskın terimleri ve denklik tablosunu kullan. Karar: sonsuzda \(p > 1\), tekil noktada \(p < 1\) ise yakınsak; aksi hâlde ıraksak (Sonuç 16.1, Sonuç 17.1).
- Limit \(0\) ya da \(\infty\) çıkarsa. Logaritma ya da üstel çarpan varsa \(p\)’yi biraz kaydır: sonsuzda \(l = 0\) ve \(p > 1\) ise yakınsak, \(l = +\infty\) ve \(p \le 1\) ise ıraksak. Tekil noktada aynı kural \(p < 1\) ve \(p \ge 1\) ile işler.
- Salınım. \(\sin\), \(\cos\) çarpanı varsa ve \(|f|\) ile sonuç alınamıyorsa Dirichlet testi (\(F(b) = \int_a^b f\) sınırlı, öbür çarpan monoton ve \(0\)’a gider) ya da Abel testi uygulanır (Teorem 16.6, Teorem 16.7). Şartlı yakınsaklık için \(|\sin x| \ge \sin^2 x = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2}\) eşitsizliği kullanılır.
Kuvvet testinin ölçüsü olan integraller ve kararda sık kullanılan öbür kıyas integralleri aşağıdadır.
| İntegral | Yakınsak olduğu durum | Ayrıntı |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p}\), \(a > 0\) | \(p > 1\) | Teorem 15.2 |
| \(\displaystyle\int_a^b \frac{dx}{(x - a)^p}\) | \(p < 1\) | Teorem 17.1 |
| \(\displaystyle\int_a^{+\infty} e^{-tx}\,dx\) | \(t > 0\) | Örnek 15.6 |
| \(\displaystyle\int_1^{+\infty} x^p e^{-x}\,dx\) | her \(p\) | Örnek 16.5 |
| \(\displaystyle\int_2^{+\infty} \frac{dx}{x(\ln x)^p}\) | \(p > 1\) | Alıştırma 16.3 |
| \(\displaystyle\int_0^1 \ln x\,dx\) | yakınsak, değeri \(-1\) | Örnek 17.7 |
| \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p}\,dx\) | \(p > 1\) mutlak, \(0 < p \le 1\) şartlı | Tablo 16.2 |
Tekil noktadaki davranışı bulmak için standart limitlerden gelen denklikler kullanılır. Tablodaki her satır, \(x \to 0\) iken iki ifadenin oranının \(1\)’e gittiğini söyler; dolayısıyla limit karşılaştırma testinde sol sütun sağ sütunla değiştirilebilir (Teorem 17.5).
| \(x \to 0\) iken | Gibi davranır | \(x \to 0\) iken | Gibi davranır | |
|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\), \(\tan x\) | \(x\) | \(1 - \cos x\) | \(\dfrac{x^2}{2}\) | |
| \(\arcsin x\), \(\arctan x\) | \(x\) | \((1 + x)^a - 1\), \(a \ne 0\) | \(ax\) | |
| \(\ln(1 + x)\) | \(x\) | \(e^x - 1\) | \(x\) |
Sonsuzda ise üç sıralama yeter: her \(\varepsilon > 0\) ve her \(m\) için \(\ln x\), \(x^{\varepsilon}\)’dan; \(x^m\) de \(e^x\)’ten yavaş büyür. \(\arctan x\) sonsuzda \(\dfrac{\pi}{2}\)’ye gider, yani sabit gibi davranır. İntegrandın görünüşüne göre test seçimi şöyle yapılır.
| İntegrandın görünüşü | Önerilen yol |
|---|---|
| Rasyonel ya da köklü ifade | Kuvvet testi: pay ve paydanın baskın derecelerinin farkı \(p\)’yi verir |
| \(\ln x\) çarpanı | Kuvvet testi, \(p\) biraz kaydırılarak (\(l = 0\) ya da \(l = +\infty\) durumu) |
| \(e^{-x}\) çarpanı | \(x^2 f(x) \to 0\) ile \(p = 2\) seçilir |
| \(\sin x\), \(\cos x\) çarpanı ve bir kuvvet | Önce \(\lvert \sin x \rvert \le 1\) ile mutlak yakınsaklık; işlemezse Dirichlet testi |
| Monoton ve sınırlı bir çarpan (\(\arctan x\), \(e^{-1/x}\)) | Abel testi ya da sınırla karşılaştırma |
| Tekil noktada \(\sin\), \(1 - \cos\), \(\ln(1 + \cdot)\), \(\arctan\) | Denklik tablosuyla kuvvete indirgeme |
Örnek 21.13 (İki Ucu Sorunlu Logaritmalı İntegral) \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\ln(1 + x)}{x^{3/2}}\,dx\) integralinin yakınsak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Sorunlu noktalar. Sınır sonsuzdur ve \(x \to 0^+\) iken integrand sınırsızdır: \[\frac{\ln(1 + x)}{x^{3/2}} = \frac{\ln(1 + x)}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}, \qquad \frac{\ln(1 + x)}{x} \to 1, \quad \frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty.\] Bu bir III. tip integraldir; \(x = 1\)’de bölelim: \[\int_0^{+\infty} = \int_0^1 + \int_1^{+\infty} = I_1 + I_2.\] İki parçada da integrand pozitiftir.
\(I_1\) (tekil nokta \(0\)). Denklik tablosundan \(\ln(1 + x)\), \(x\) gibi davranır; integrand \(x^{-1/2}\) gibidir. \(p = \dfrac{1}{2}\) ile \[\lim_{x \to 0^+} x^{1/2}\,\frac{\ln(1 + x)}{x^{3/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\] olur. \(0 < 1 < +\infty\) ve \(p = \dfrac{1}{2} < 1\) olduğundan \(I_1\) yakınsaktır (Sonuç 17.1).
\(I_2\) (sonsuz uç). \(p = \dfrac{3}{2}\) seçilirse \(x^{3/2} f(x) = \ln(1 + x) \to +\infty\) olur; bu durumda test yalnız \(p \le 1\) için karar verir. \(p\)’yi biraz küçültelim, \(p = \dfrac{5}{4}\): \[\lim_{x \to +\infty} x^{5/4}\,\frac{\ln(1 + x)}{x^{3/2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(1 + x)}{x^{1/4}} = 0.\] Limit \(0\) ve \(p = \dfrac{5}{4} > 1\) olduğundan \(I_2\) yakınsaktır (Sonuç 16.1 (ii)).
Sonuç. İki parça da yakınsak olduğundan integral yakınsaktır. \(\blacksquare\)
Örnek 21.14 (Şartlı Yakınsak Salınımlı İntegral) \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x}}\,dx\) integralinin şartlı yakınsak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Görünürde tekil nokta. \(\dfrac{\sin x}{\sqrt{x}} = \dfrac{\sin x}{x} \cdot \sqrt{x} \to 1 \cdot 0 = 0\) (\(x \to 0^+\)). İntegrand \((0, 1]\) üzerinde sınırlıdır; \(\displaystyle\int_0^1\) sıradan bir integraldir (Önerme 17.1). Yalnız \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\) incelenir.
Yakınsaklık. \(f(x) = \sin x\) ve \(g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) alalım. \(F(b) = \displaystyle\int_1^b \sin x\,dx\) integrali \(\cos 1 - \cos b\)’ye eşittir ve \(|F(b)| \le 2\)’dir; \(g\) azalandır ve \(0\)’a gider. Dirichlet testi gereği \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x}}\,dx\) yakınsaktır (Teorem 16.6).
Mutlak yakınsak değil. \(|\sin x| \ge \sin^2 x\) olduğundan \[\frac{|\sin x|}{\sqrt{x}} \ge \frac{\sin^2 x}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{\cos(2x)}{2\sqrt{x}}.\] \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\cos(2x)}{2\sqrt{x}}\,dx\) yine Dirichlet testiyle yakınsaktır, \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dx}{2\sqrt{x}}\) ise \(p = \dfrac{1}{2} \le 1\) olduğundan ıraksaktır. \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{\sqrt{x}}\,dx\) yakınsak olsaydı \[\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\sin^2 x}{\sqrt{x}} + \frac{\cos(2x)}{2\sqrt{x}}\] eşitliği gereği iki yakınsak integralin toplamı olarak \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dx}{2\sqrt{x}}\) de yakınsak olurdu. Öyleyse \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{\sqrt{x}}\,dx\) ıraksaktır ve karşılaştırma testi gereği \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{|\sin x|}{\sqrt{x}}\,dx\) de ıraksaktır (Teorem 16.3).
Sonuç. İntegral yakınsak ama mutlak yakınsak değildir: şartlı yakınsaktır (Tanım 16.1). \(\blacksquare\)
Örnek 21.15 (Denklikle Iraksaklık) \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos x}{x^3}\,dx\) integralinin ıraksak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Tekil nokta. Tek sorunlu nokta \(x = 0\)’dır; denklik tablosundan \(1 - \cos x\), \(\dfrac{x^2}{2}\) gibi davrandığından integrand \(\dfrac{1}{2x}\) gibidir ve sınırsızdır. \((0, \tfrac{\pi}{2}]\) üzerinde integrand pozitiftir.
Kuvvet testi. \(p = 1\) ile \[\lim_{x \to 0^+} x \cdot \frac{1 - \cos x}{x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\] olur. Limit sonlu ve pozitif, \(p = 1 \ge 1\) olduğundan integral ıraksaktır (Sonuç 17.1). \(\blacksquare\)
- Tekil noktayı görmeden Newton–Leibniz formülünü uygulamak. \(\displaystyle\int_0^2 \frac{dx}{(x - 1)^2}\) için ilkelden \(-2\) bulunur, oysa integral ıraksaktır; \(x = 1\) iç tekil noktadır (Tanım 17.2).
- \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\) integralini \(\displaystyle\lim_{c \to +\infty}\int_{-c}^{c}\) olarak hesaplamak. Bu Cauchy temel değeridir; integral yakınsak olmasa da var olabilir (Tanım 15.3).
- Kuvvet testini sonsuzda ve tekil noktada aynı eşikle kullanmak. Sonsuzda \(p > 1\), tekil noktada \(p < 1\) yakınsaklık verir.
- İşaret değiştiren bir integrandda karşılaştırma testini doğrudan uygulamak. Test negatif olmayan fonksiyonlar içindir; önce \(|f|\)’ye geçilir.
- Limit \(0\) çıktığında \(p \le 1\) ile ya da limit \(+\infty\) çıktığında \(p > 1\) ile karar vermek. Bu iki durumda test sonuç vermez; \(p\) kaydırılır.
- tip integralde yalnız bir parçayı incelemek. Bütün parçalar ayrı ayrı yakınsak olmalıdır.
21.11 Gamma ve Beta Fonksiyonlarıyla Hesap
“Gamma fonksiyonuyla yazınız” ya da “Beta fonksiyonundan yararlanarak hesaplayınız” diyen sorular, integrali bir değişken değiştirmeyle tanım kalıbına sokmayı ister. Dört adımlık reçete Euler integralleri bölümündedir; burada formülleri ve kalıpları tek yerde topluyoruz.
| İfade | Eşiti | Koşul | Ayrıntı |
|---|---|---|---|
| \(\Gamma(\alpha)\) | \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x}x^{\alpha - 1}\,dx\) | \(\alpha > 0\) | Tanım 18.1 |
| \(\Gamma(\alpha + 1)\) | \(\alpha\,\Gamma(\alpha)\) | \(\alpha > 0\) | Teorem 18.2 |
| \(\Gamma(n + 1)\) | \(n!\) | \(n \ge 0\) tam sayı | Teorem 18.2 |
| \(\Gamma\left( \tfrac{1}{2} \right)\), \(\Gamma\left( \tfrac{3}{2} \right)\), \(\Gamma\left( \tfrac{5}{2} \right)\) | \(\sqrt{\pi}\), \(\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\), \(\dfrac{3\sqrt{\pi}}{4}\) | Önerme 18.4 | |
| \(\Gamma\left( n + \tfrac{1}{2} \right)\) | \(\dfrac{(2n)!}{4^n\,n!}\sqrt{\pi}\) | \(n \ge 0\) tam sayı | Önerme 18.4 |
| \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-tx}x^{\alpha - 1}\,dx\) | \(\dfrac{\Gamma(\alpha)}{t^{\alpha}}\) | \(t > 0\), \(\alpha > 0\) | Teorem 18.2 |
| \(\beta(x, y)\) | \(\displaystyle\int_0^1 t^{x - 1}(1 - t)^{y - 1}\,dt\) | \(x, y > 0\) | Tanım 18.2 |
| \(\beta(x, y)\) | \(\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}\) | \(x, y > 0\) | Teorem 18.4 |
| \(\beta(m, n)\) | \(\dfrac{(m - 1)!\,(n - 1)!}{(m + n - 1)!}\) | \(m, n \ge 1\) tam sayı | Önerme 18.3 |
| \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^m\theta\cos^n\theta\,d\theta\) | \(\dfrac{1}{2}\beta\left( \dfrac{m + 1}{2}, \dfrac{n + 1}{2} \right)\) | \(m, n > -1\) | Sonuç 18.1 |
| \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\,dx\) | \(\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\) | Sonuç 18.3 |
Sık görülen kalıplar ve onları tanım kalıbına sokan değişken değiştirmeler aşağıdadır. Her satır, ilk sütundaki dönüşümle bir satır hesapla elde edilir.
| İntegral | Dönüşüm | Sonuç |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\int_0^{+\infty} x^m e^{-ax^k}\,dx\) | \(u = ax^k\) | \(\dfrac{1}{k\,a^{(m+1)/k}}\,\Gamma\left( \dfrac{m + 1}{k} \right)\) |
| \(\displaystyle\int_c^{+\infty} (x - c)^m e^{-ax}\,dx\) | \(t = x - c\) | \(e^{-ac}\,\dfrac{\Gamma(m + 1)}{a^{m+1}}\) |
| \(\displaystyle\int_0^1 x^m(-\ln x)^n\,dx\) | \(x = e^{-t}\) | \(\dfrac{\Gamma(n + 1)}{(m + 1)^{n+1}}\) |
| \(\displaystyle\int_0^c x^m(c - x)^n\,dx\) | \(x = ct\) | \(c^{m+n+1}\,\beta(m + 1, n + 1)\) |
| \(\displaystyle\int_0^c x^m(c^2 - x^2)^n\,dx\) | \(x = c\sin\theta\) | \(\sin\), \(\cos\) kuvvetleri, Sonuç 18.1 |
Koşullar: 1. satırda \(a, k > 0\) ve \(m > -1\); 2. satırda \(a > 0\) ve \(m > -1\); 3. satırda \(m > -1\) ve \(n > -1\); 4. satırda \(c > 0\) ve \(m, n > -1\). Yani Gamma’nın argümanı ve Beta’nın iki parametresi pozitif olmalıdır; değilse integral ıraksaktır (Teorem 18.1, Teorem 18.3).
Örnek 21.16 (Ötelenmiş ve Ölçeklenmiş Gamma) \(\displaystyle\int_2^{+\infty} \sqrt{x - 2}\;e^{-3x}\,dx\) integralini Gamma fonksiyonu yardımıyla hesaplayınız.
Çözüm
Öteleme. \(t = x - 2\) alalım; \(x = 2 \Rightarrow t = 0\), \(x \to +\infty \Rightarrow t \to +\infty\) ve \(e^{-3x} = e^{-6}e^{-3t}\) olur: \[\int_2^{+\infty} \sqrt{x - 2}\;e^{-3x}\,dx = e^{-6}\int_0^{+\infty} t^{1/2}e^{-3t}\,dt.\]
Ölçekleme. Kalıpta \(\alpha - 1 = \dfrac{1}{2}\), yani \(\alpha = \dfrac{3}{2}\) ve \(t\) yerine \(3\) vardır. Teorem 18.2 (5) gereği \[\int_0^{+\infty} t^{1/2}e^{-3t}\,dt = \frac{\Gamma\left( \tfrac{3}{2} \right)}{3^{3/2}} = \frac{\sqrt{\pi}/2}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{\pi}}{6\sqrt{3}}.\]
Sonuç. \[\int_2^{+\infty} \sqrt{x - 2}\;e^{-3x}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{6\sqrt{3}\,e^6} = \frac{\sqrt{3\pi}}{18\,e^6}.\] \(\blacksquare\)
Örnek 21.17 (Logaritmanın Kuvvetiyle Gamma) \(\displaystyle\int_0^1 x^2(\ln x)^4\,dx\) integralini Gamma fonksiyonu yardımıyla hesaplayınız.
Çözüm
Dönüşüm. \(x = e^{-t}\) alalım: \(\ln x = -t\), \(dx = -e^{-t}\,dt\); \(x \to 0^+\) iken \(t \to +\infty\), \(x = 1\) iken \(t = 0\): \[\int_0^1 x^2(\ln x)^4\,dx = \int_{+\infty}^{0} e^{-2t}\,t^4\,(-e^{-t})\,dt = \int_0^{+\infty} t^4e^{-3t}\,dt.\] \((\ln x)^4 = (-t)^4 = t^4\) olduğundan işaret sorunu çıkmaz.
Gamma. Kalıpta \(\alpha = 5\) ve \(t\) yerine \(3\) vardır: \[\int_0^{+\infty} t^4e^{-3t}\,dt = \frac{\Gamma(5)}{3^5} = \frac{4!}{243} = \frac{24}{243} = \frac{8}{81}.\] \(\blacksquare\)
Örnek 21.18 (Trigonometrik Dönüşümle Beta) \(\displaystyle\int_0^2 x^2\sqrt{4 - x^2}\,dx\) integralini Beta fonksiyonu yardımıyla hesaplayınız.
Çözüm
Dönüşüm. \(x = 2\sin\theta\) alalım; \(dx = 2\cos\theta\,d\theta\), \(\sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta\) ve \(\theta\), \(0\)’dan \(\dfrac{\pi}{2}\)’ye gider: \[\int_0^2 x^2\sqrt{4 - x^2}\,dx = \int_0^{\pi/2} 4\sin^2\theta \cdot 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta\,d\theta = 16\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta.\]
Beta. Sonuç 18.1 ile \(m = n = 2\): \[16 \cdot \frac{1}{2}\beta\left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) = 8 \cdot \frac{\Gamma\left( \tfrac{3}{2} \right)^2}{\Gamma(3)} = 8 \cdot \frac{\pi/4}{2} = \pi.\] \(\blacksquare\)
21.12 Leibniz Formülü
Sınırları da integrandı da parametreye bağlı bir integralin türevi Leibniz formülüyle bulunur (Sonuç 19.1): \[ \begin{aligned} \frac{d}{dy}\int_{u(y)}^{v(y)} f(x, y)\,dx &= \int_{u(y)}^{v(y)} \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\,dx \\[1mm] &\quad + f\big( v(y), y \big)\,v'(y) - f\big( u(y), y \big)\,u'(y). \end{aligned} \] Formül üç parçalıdır: integrandın türevinden gelen iç kısım ve iki sınır terimi. Sınırlar sabitse yalnız iç kısım kalır (Teorem 19.3); integrand \(y\)’ye bağlı değilse yalnız sınır terimleri kalır ve formül analizin temel teoremine iner.
- Rolleri ayır. İntegral değişkeni \(x\), parametre \(y\)’dir. \(f(x, y)\), \(u(y)\) ve \(v(y)\)’yi açıkça yaz.
- Koşulları denetle. \(f\) ve \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\), \(x\)’in aldığı değerleri ve ilgilenilen \(y\) değerlerini içeren bir dikdörtgende sürekli; \(u\) ve \(v\) türevlenebilir olmalıdır. Sorun çıkaran \(y\) değerlerini (paydayı sıfırlayanlar, logaritmanın tanımsız olduğu yerler) dışarıda bırak.
- İç kısım. \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\)’yi hesapla ve \(x\)’e göre integralle. Logaritma ve arktanjant içeren integrandlarda türev çoğu zaman rasyonel bir ifadeye sadeleşir.
- Sınır terimleri. \(f\)’de \(x\) yerine üst sınırı koy ve \(v'(y)\) ile çarp; alt sınırı koy ve \(u'(y)\) ile çarpıp çıkar. \(f\)’deki \(y\)’ler aynen kalır.
- Topla ve sadeleştir. Logaritmaları birleştir; mümkünse bir \(y\) değerinde sayısal ya da doğrudan hesapla sağlama yap.
Örnek 21.19 (Logaritmalı İntegrandla Leibniz Formülü) \(y > 0\) için \(\displaystyle F(y) = \int_{y}^{y^3} \frac{\ln(1 + xy)}{x}\,dx\) olsun. \(F'(y)\)’yi bulunuz.
Çözüm
Roller ve koşullar. \(f(x, y) = \dfrac{\ln(1 + xy)}{x}\), \(u(y) = y\), \(v(y) = y^3\). \(0 < c < d\) olmak üzere \(y \in [c, d]\) için sınırlar pozitif bir kapalı aralıkta kalır. \(x > 0\), \(y > 0\) bölgesinde \(f\) ve \[\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{1 + xy} = \frac{1}{1 + xy}\] süreklidir; Sonuç 19.1 uygulanır.
İç kısım. \[\int_y^{y^3} \frac{dx}{1 + xy} = \frac{1}{y}\Big[ \ln(1 + xy) \Big]_{x=y}^{x=y^3} = \frac{\ln(1 + y^4) - \ln(1 + y^2)}{y}.\]
Sınır terimleri. Üst sınırda \(f(y^3, y) = \dfrac{\ln(1 + y^4)}{y^3}\) ve \(v'(y) = 3y^2\); alt sınırda \(f(y, y) = \dfrac{\ln(1 + y^2)}{y}\) ve \(u'(y) = 1\): \[f(y^3, y) \cdot 3y^2 - f(y, y) \cdot 1 = \frac{3\ln(1 + y^4)}{y} - \frac{\ln(1 + y^2)}{y}.\]
Toplam. \[F'(y) = \frac{4\ln(1 + y^4) - 2\ln(1 + y^2)}{y} = \frac{2}{y}\ln\frac{(1 + y^4)^2}{1 + y^2}.\] Örneğin \(F'(1) = 2\ln 2 \approx 1{,}386\)’dır; \(F\)’nin sayısal türeviyle aynı değer bulunur. \(\blacksquare\)
- Sınır terimlerini \(u'(y)\) ve \(v'(y)\) ile çarpmayı unutmak.
- Sınır teriminde \(x\) yerine sınırı koyarken \(f\)’deki \(y\)’yi de değiştirmek ya da tam tersine \(x\)’i bırakmak. \(f(v(y), y)\) yalnız \(y\)’ye bağlı bir ifadedir.
- İç kısımda \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) almak. Türev parametreye, yani \(y\)’ye göredir.
- Sabit sınırlı bir integralde sınır terimi eklemek. Sınırlar \(y\)’ye bağlı değilse \(v' = u' = 0\)’dır.
- \(\ln(1 + xy)\) gibi ifadelerin \(y\)’ye göre türevinde iç türevi (\(x\)) unutmak.
21.13 İntegral İşareti Altında Türev ve Sıra Değiştirme
İlkeli temel fonksiyonlarla yazılamayan bir integral, bir parametre ailesinin üyesi yapılarak hesaplanabilir: ya türev alınır ve türevin integrali kolaydır, ya da integrand bir başka integral olarak yazılıp sıra değiştirilir. Beş adımlık reçete Parametreye bağlı genelleştirilmiş integraller bölümündedir; aşağıdaki tablo hangi kalıpta hangi hilenin işe yaradığını gösterir.
| İntegrandda görülen | Hile | Ayrıntı |
|---|---|---|
| \(\dfrac{x^b - x^a}{\ln x}\) | \(\displaystyle\int_a^b x^y\,dy\) olarak yaz ya da \(x^y\) ile türev al | Örnek 19.6 |
| \(\dfrac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x}\) | \(\displaystyle\int_a^b e^{-xy}\,dy\) olarak yaz, sırayı değiştir | Teorem 20.8 |
| \(\ln(1 + y\,\cdot)\), \(\arctan(y\,\cdot)\) | \(y\)’ye göre türev al; \(y = 0\)’daki değer bilinir | Teorem 19.3 |
| \(\dfrac{\sin x}{x}\) | \(e^{-xy}\) çarpanı ekle, türev al | Örnek 20.15 |
Bu hesaplarda sık çıkan sonuçlar:
| İntegral | Değer | Ayrıntı |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-xy}\,dx\) | \(\dfrac{1}{y}\), \(y > 0\) | Örnek 15.6 |
| \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-xy}\cos x\,dx\) | \(\dfrac{y}{1 + y^2}\), \(y > 0\) | Alıştırma 20.6 |
| \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-xy}\sin x\,dx\) | \(\dfrac{1}{1 + y^2}\), \(y > 0\) | Örnek 20.15 |
| \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | Örnek 20.15 |
| \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{x}\,dx\) | \(y > 0\) ise \(\dfrac{\pi}{2}\), \(y = 0\) ise \(0\), \(y < 0\) ise \(-\dfrac{\pi}{2}\) | \(t = \lvert y \rvert x\) dönüşümü |
| \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\,dx\) | \(\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\) | Sonuç 18.3 |
| \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x}\,dx\) | \(\ln\dfrac{b}{a}\), \(a, b > 0\) | Örnek 21.21 |
Örnek 21.20 (Türev Alarak Logaritmalı İntegral) \(y > 0\) için \[I(y) = \int_0^{\pi/2} \ln\big( \cos^2 x + y^2\sin^2 x \big)\,dx\] integralini hesaplayınız.
Çözüm
Koşullar. \(0 < c < d\) olsun. \(y \in [c, d]\) için logaritmanın içi \(\min(1, c^2)\)’den küçük olmaz; \(f\) ve \[\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y\sin^2 x}{\cos^2 x + y^2\sin^2 x}\] \(\left[ 0, \tfrac{\pi}{2} \right] \times [c, d]\) üzerinde süreklidir. Teorem 19.3 gereği \(I'(y)\), bu ifadenin integralidir.
Türev. \(t = \tan x\) dönüşümüyle (\(\sin^2 x = \dfrac{t^2}{1 + t^2}\), \(\cos^2 x = \dfrac{1}{1 + t^2}\), \(dx = \dfrac{dt}{1 + t^2}\)) \[I'(y) = \int_0^{+\infty} \frac{2y\,t^2}{(1 + t^2)(1 + y^2t^2)}\,dt\] olur. \(y \ne 1\) için basit kesirlere ayıralım: \[\frac{2y\,t^2}{(1 + t^2)(1 + y^2t^2)} = \frac{2y}{y^2 - 1}\left( \frac{1}{1 + t^2} - \frac{1}{1 + y^2t^2} \right).\] \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{1 + t^2} = \frac{\pi}{2}\) ve \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{1 + y^2t^2} = \frac{\pi}{2y}\) olduğundan \[I'(y) = \frac{2y}{y^2 - 1} \cdot \frac{\pi}{2}\left( 1 - \frac{1}{y} \right) = \frac{2y}{y^2 - 1} \cdot \frac{\pi(y - 1)}{2y} = \frac{\pi}{y + 1}.\] \(y = 1\)’de doğrudan \(I'(1) = \displaystyle\int_0^{\pi/2} 2\sin^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}\) bulunur; formül bu değeri de verir.
Geri integral. \(I(y) = \pi\ln(1 + y) + C\). \(y = 1\) için logaritmanın içi \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) olduğundan \(I(1) = 0\)’dır; buradan \(C = -\pi\ln 2\): \[I(y) = \pi\ln\frac{1 + y}{2}.\] \(\blacksquare\)
Örnek 21.21 (Sıra Değiştirerek Üstel Fark) \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-2x} - e^{-5x}}{x}\,dx\) integralini hesaplayınız.
Çözüm
İntegral olarak yaz. Her \(x > 0\) için \[\frac{e^{-2x} - e^{-5x}}{x} = \int_2^5 e^{-xy}\,dy\] olur; \(x = 0\)’da iki yan da \(3\)’e eşit tutulursa eşitlik \([0, +\infty)\) üzerinde geçerlidir ve integrand süreklidir.
Düzgün yakınsaklık. \(f(x, y) = e^{-xy}\), \([0, +\infty) \times [2, 5]\) üzerinde süreklidir ve \(0 < e^{-xy} \le e^{-2x}\) olur. \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-2x}\,dx = \frac{1}{2}\) yakınsak olduğundan \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-xy}\,dx\) integrali \([2, 5]\) üzerinde düzgün yakınsaktır (Teorem 20.3).
Sıra değiştir. Teorem 20.8 gereği \[\int_0^{+\infty}\left( \int_2^5 e^{-xy}\,dy \right) dx = \int_2^5\left( \int_0^{+\infty} e^{-xy}\,dx \right) dy = \int_2^5 \frac{dy}{y} = \ln\frac{5}{2}.\] \(\blacksquare\)
21.14 Parametreye Bağlı Genelleştirilmiş İntegrallerde Düzgün Yakınsaklık
Parametreye bağlı bir genelleştirilmiş integralin düzgün yakınsaklığı, kalanın parametreden bağımsız olarak küçülmesidir (Tanım 20.2): \[\lim_{b \to +\infty}\ \sup_{y \in Y} \left| \int_b^{+\infty} f(x, y)\,dx \right| = 0.\] Bu tür soruların büyük çoğunluğu Weierstrass M-testiyle tek satırda çözülür; zor olan, parametreyi yok eden \(M(x)\) sınırını bulmaktır.
- Noktasal yakınsaklık. Her sabit \(y\) için integralin yakınsak olduğunu tek değişkenli testlerle göster.
- M-testi. \(|f(x, y)| \le M(x)\) olacak, \(y\) içermeyen bir \(M\) bul ve \(\displaystyle\int_a^{+\infty} M(x)\,dx\)’in yakınsadığını göster (Teorem 20.3). Tekil noktalı integrallerde aynı test geçerlidir (Sonuç 20.1).
- M-testi işlemezse. Kalan açıkça hesaplanabiliyorsa supremumuna bak. Salınımlı integrallerde Dirichlet ya da Abel testini uygula (Teorem 20.4, Teorem 20.5).
- Olumsuz cevap. Kalanın supremumu \(0\)’a gitmiyorsa ya da \(f\) sürekli olduğu hâlde \(F(y)\) bir noktada süreksizse integral orada düzgün yakınsak değildir (Teorem 20.6). Sorun çoğu zaman parametrenin bir uç değerinde (\(y \to 0\)) çıkar; o uçtan uzak durulan \([c, d]\) aralıklarında düzgünlük geri gelir.
| İfade | Sınır | Geçerli olduğu yer |
|---|---|---|
| \(\lvert \sin(xy) \rvert\), \(\lvert \cos(xy) \rvert\) | \(1\) | her \(x\), \(y\) |
| \(e^{-xy}\) | \(e^{-cx}\) | \(y \ge c > 0\), \(x \ge 0\) |
| \(\lvert \sin(xy) \rvert\) | \(\lvert x \rvert\,\lvert y \rvert\) | her \(x\), \(y\) |
| \(\dfrac{1}{x^2 + y^2}\) | \(\dfrac{1}{x^2}\) | \(x \ne 0\) |
| \(y^k e^{-xy}\) | \(\dfrac{k^k e^{-k}}{x^k}\) (türevle, \(y = \tfrac{k}{x}\)’te) | \(y \ge 0\), \(x > 0\) |
Örnek 21.22 (Parametreyi Türevle Yok Etmek) \(\displaystyle\int_1^{+\infty} y^2 e^{-xy}\,dx\) integralinin \([0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Sınır. \(x \ge 1\) sabitken \(h(y) = y^2e^{-xy}\) fonksiyonunun \(y \ge 0\) üzerindeki en büyük değerini arayalım: \[h'(y) = (2y - xy^2)\,e^{-xy} = y(2 - xy)\,e^{-xy}\] \(y = \dfrac{2}{x}\)’te sıfırdır; \(h\) bu noktaya kadar artar, sonra azalır. En büyük değer \[h\left( \frac{2}{x} \right) = \frac{4}{x^2}\,e^{-2}\] olduğundan her \(x \ge 1\) ve her \(y \ge 0\) için \(0 \le y^2e^{-xy} \le M(x) = \dfrac{4}{e^2x^2}\)’dir.
M-testi. \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{4}{e^2x^2}\,dx = \frac{4}{e^2}\) yakınsaktır. Teorem 20.3 gereği integral \([0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsaktır.
Bir sağlama. \(y > 0\) için integral \(F(y) = y^2 \cdot \dfrac{e^{-y}}{y} = y\,e^{-y}\), \(y = 0\) için \(F(0) = 0\)’dır; \(F\) süreklidir, Teorem 20.6 ile uyumludur. \(\blacksquare\)
Örnek 21.23 (Sıfır Yakınında Düzgünlüğün Bozulması) \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{y}{1 + x^2y^2}\,dx\) integralinin \((0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Noktasal değer. \(y > 0\) için \(\Big[ \arctan(xy) \Big]_0^{+\infty} = \dfrac{\pi}{2}\); integral her \(y > 0\) için yakınsaktır.
Kalan. \(b > 0\) için \[\int_b^{+\infty} \frac{y}{1 + x^2y^2}\,dx = \frac{\pi}{2} - \arctan(by).\] \(y \to 0^+\) iken bu ifade \(\dfrac{\pi}{2}\)’ye gider; dolayısıyla her \(b\) için \[\sup_{y > 0}\left( \frac{\pi}{2} - \arctan(by) \right) = \frac{\pi}{2}\] olur ve \(b \to +\infty\) iken \(0\)’a gitmez. İntegral \((0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak değildir (Tanım 20.2). \(\blacksquare\)
Sorun yalnız \(y = 0\) yakınındadır. \(c > 0\) olmak üzere \([c, +\infty)\) üzerinde kalanın supremumu \(\dfrac{\pi}{2} - \arctan(bc)\)’dir ve \(b \to +\infty\) iken \(0\)’a gider; orada yakınsama düzgündür. \(F(0) = 0\) iken \(y > 0\) için \(F(y) = \dfrac{\pi}{2}\) olması, yani \(F\)’nin \(0\)’da süreksiz olması da \([0, +\infty)\) üzerinde düzgünlüğün bulunamayacağını gösterir.
21.15 Son Kontrol Listesi
Bir çözümü bitirmeden önce şu soruları sor:
- Noktasal limiti bütün özel noktaları ayırarak buldun mu? \(N(\varepsilon)\) ya da supremum \(x\)’ten bağımsız mı?
- Supremumu ararken kritik noktaların yanında kümenin uçlarını da denetledin mi?
- Bir limit, integral ya da türevi içeri alırken gereken düzgün yakınsaklığı gösterdin mi? Terim terime türevde çapa noktasını yazdın mı?
- M-testindeki \(M_n\) ya da \(M(x)\) gerçekten \(x\)’ten (parametreli integralde \(y\)’den) bağımsız mı?
- Kuvvet serisinde iki uç noktayı ayrı ayrı inceledin mi?
- Fourier serisinde periyodu ve \(L\)’yi doğru aldın mı? \(a_0\)’ı ayrı hesapladın mı, sabit terimi \(\dfrac{a_0}{2}\) yazdın mı?
- Seri toplamı sorusunda seçtiğin noktanın sıçrama mı, uç mu, süreklilik noktası mı olduğuna baktın mı?
- Genelleştirilmiş integralde bütün sorunlu noktaları bulup her parçayı ayrı ayrı inceledin mi? Kuvvet testinin eşiğini (sonsuzda \(p > 1\), tekil noktada \(p < 1\)) doğru kullandın mı?
- Gamma ve Beta dönüşümünde sınırları ve \(dx\)’i birlikte dönüştürdün mü? Parametreler pozitif mi?
- Leibniz formülünde iki sınır terimini de türevleriyle çarparak ekledin mi?
Kuralların gerekçeleri ve daha fazla çözümlü örnek için her bölümün alıştırmalarına, ders içeriğinin tamamı için Müfredat ve Giriş sayfasına dönebilirsin.